研究模型之探討

(1) 單根檢定：

在進行資料數列分析前，各時間序列資料變數理論上須符合穩定的狀態，才 能符合迴歸的基本假設，也就是平均數及變異數不隨時間的變動而改變。因為在 時間序列分析過程中，該變數是否符合定態，對於該變數作為統計模型之估計正 確性與否有直接密切關係。所謂定態就是為長期趨勢不隨時間遞延而放大或縮 小，且序列的波動速度，維持固定，不會越快或越慢。

通常判別定態時間數列一般有三個指標：

1、時間數列會沿著一固定的長期平均值而波動。

2、時間數列具有限的變異數，且不會隨時而改變。

3、時間數列之自我相關係數會隨著落後期數的增加而減少。通常使用普通最小 平方法(Ordinary Least Squares，OLS) 或一般最小平方法(General Least Squares，

GLS)，皆假設殘差項必滿足白噪音(white noise)。估計非定態的時間序列資料，

有可能會發生很高的迴歸係數(R² ) 值及顯著的t值，但其結果並無經濟意義，這 種現象稱之為假性迴歸。

若時間序列(Yt)為一穩定序列，則須符合下列三項條件：

μ

=

= E(Y

₊

) )

E(Y

_{t t s}

,

(3.1)

2 s t t

) Var(Y )

Var(Y =

₊

= σ ,

(3.2)

s s t

t

, Y )

Coc(Y

₊

= γ

.

(3.3)

以上三式表示，t、s 表示不同之期數(t、s=1,2,3,4,….)，μ(期望值)，σ²(變異數)，

γs(自我相關係數)三者皆為常數。由(3.1)-(3.3)可知，若一時間數列資料滿足以上 之條件，穩定數列的期望值、變異數、自我相關係數均為固定常數且不隨時間而 改變，其數列會有迴歸平均值(mean reversion)現象，亦即數列會在一個長期平均 值附近波動，稱之為定態序列，否則皆為非定態序列。此外當穩定數列受到外部

衝擊時，僅會產生短暫性的影響，相對地，當非穩定數列受到外部衝擊時則可能 會產生永久性的影響。

通常運用一般迴歸分析時，其時間必須為定態。因定態之時間數列，漸進分配 理論才會成立，檢定步驟才能夠進行。事實上，許多時間數列之資料均為非定態 且有單根現象存在，因此，我們必須對非定態的時間數列採取差分，使資料成為 定態數列。若一時間數列不須經任何的差分過程即為定態序列，則可表示為I(0) 數列。若時間數列為非穩定狀態，但經過d 次差分後可為穩定狀態，則表示經過 d 次差分後可達成定態序列，可用I(d)表示此數列。大多數的經濟變數之時間 數列為I(0)及I(1)數列。

而通常單根檢定有兩種方式：

1. Dickey-Fuller(1979)提出Dickey and Fuller (DF)單根檢定，此方法的缺點在於未 將迴歸殘差項可能有自我相關的現象加以排除，因為迴歸殘差項存在自我相關的 現象，則迴歸殘差便不是白噪音此時估計值將產生偏誤同時不具一致性。

2. Augmented Dickey-Fuller(ADF)，此是由Engle and Yoo (1987)提出以修正DF (Dickey-Fuller)檢定上自我相關之問題，並且指出有高階自我相關問題之時間數 列需使用ADF，其分析結果會較DF檢定嚴謹。因此本研究將用ADF分析預測變 數之時間數列是否具定態，即在迴歸式中加入應變數的落後期，以修正殘差項自 我相關的問題，若時間序列為定態時，對任何外在的衝擊僅會暫時的影響。

在ADF檢定法，基於DF檢定法中之殘差項常會有明顯的自我相關現象產生，為 修正此問題可以在ADF檢定法中的模型加入適當的因數落後項，並假設殘差項為 白噪音。此模型的優點在於同時考慮漂浮項(Drift)與時間趨勢項(Trend)一階自我 相關。其模型檢定有三種

1、無截距項及時間趨勢項

∑

=

+ Δ +

=

Δ

^k

1

j j t-1 t

1 -t 0

t

Y Y

Y β β ε .

(3.4)

2、有截距項及無時間趨勢項

∑

=

+ Δ +

+

=

Δ

^k

1

j j t-1 t

1 -t 0

t

a Y Y

Y β β ε ^.

^(3.5)

3、有截距項及時間趨勢項

∑

=

+ Δ +

+ +

=

Δ

^k

1

j j t-1 t

1 -t 0

t

a Y rt Y

Y β β ε .

(3.6)

即ΔYt = Yt －Yt-1，△表示一階差分，Yt表示所預測的變數， a 為漂浮項，t 為 時間趨勢項，β 為判定係數，ε t 為誤差項且ε t ~ iid(0,σ²)，k 為落後期數，也就 是選擇合適的k 值使得殘差項趨於白噪音。

ADF檢定結果若拒絕虛無假設，表示拒絕有單根的存在，顯示預測變為定態的 時間數列，為穩定的狀態，如此序列方可作為模型建立基礎；若無拒絕虛無假設，

顯示檢定結果接受單根的存在，即為非恆定性時間序列，必須經過差分才可使其 成為恆定的時間序列。若原始數列無法拒絕虛假設，則將進行差分，並將差分數 列重新利用ADF檢定，檢視若經過一階差分後的數列是否為定態；若檢定結果為 拒絕虛假設，則可確定該原數列為I(1)；而一時間序列若經過了d次差分後可達成 定態序列，可用I(d)表示。

(2) 共整合檢定及因果關係檢定：

共整合是由Engle and Granger(1987)等所發展出的一種統計模式，旨在以共整 合向量研究非恆定變數間長期趨勢移動的相互關係，若兩變數間存在長期均衡關 係，則可視兩變數為共整合。但此統計模式存在部份的限制，常導致在實證上找 不到共整合的向量。因此繼之而起的檢定兩數列是否具有共整合關係的方法有兩 種：(1) Engle and Granger之兩階段共整合檢定法。(2) Johansen(1988)提出應用最 大概似法(maximum likelihood approach)。在兩階段共整合檢定法需經過兩階段的 方式分析，檢定的程序是先產生誤差項數列，再檢定迴歸式是否存在單根。然而 在估計數列之過程可能會產生誤差，此誤差又會繼續影響到第二階段的結果。即

檢定所需的步驟愈多，可能產的誤差就愈多。因此，本研究採用後者Johansen提 出的最大概似共整合檢定，其所包含的訊息較廣，且較具有檢定力，也廣為後來 的相關研究所採用。

非定態時間數列資料將之差分後，即可成為定態資料。若有一行向量，

Xt=(X1t ，X2t ，．．．Xnt )，其差分為定態且所有變數整合階次相同，I(d)，則 可能存在一共整合向量(cointegration vector)，β ＝( β^１ ， β ^２．．．． β t )，使 其與變數Xt 之線性組合 β Xt ＝ β^１X^１t ＋β^２X^２t ＋….β t Xnt ，整合階次為 I(d-b)，b＞0，此時Xt 間之變數具有共整合關係，為共整合變數(cointegrated variables)。綜合上述，對於共整合的定義有以下三點：

1、變數其整合階次必須一致。

2、當變數間存在共整合時，表示變數間有一線性組合關係且具有長期均衡狀態。

3、 如果有n個變數則至多只有n-1個線性獨立共整合向量，而共整合向量數目也 稱為變數的秩(rank)。

目前在共整合方面研究目前主要使用Johansen(1988)及Johansen and Juselius(1990) 所發展之最大概似估計法(maximum likelihood estimation procedure)，估計變數間 是否存在共整合關係，檢定其共整合向量數目以及在受限制情況下共整合向量是 否必須加入截距項，並估計調整速度參數(speed of adjustment parameters)大小。

在共整合檢定中，Johansen 之最大概似估計檢定法，首先以軌跡測試(Trace test) 及最大特性根值檢定法(Maximum Eigenvalue test)加以決定共整合向量的數目。

並同時運用下列五種共整合模型進行檢定：1、假設資料無決定趨勢(Test assmues no deterministic trend in data )之檢定，其可分為下列兩種情況：(1)無截距項或趨 勢項之共整合模型。(2)只有截距項(無趨勢項)之共整合模型。2、假設資料為線 型同時有趨勢項(Test allows for linear deterministic trend in data )之檢定分為下列 兩種情況：(1)只有截距項(無趨勢項)之共整合模型。(2)有截距項與趨勢項之共整 合模型。 3、假設資料為二次決定項(Quadratic deterministic trend)之檢定為一有 截距項與趨勢項之共整合模型。

Granger(1969)提出之因果關係，是由預測的角度來定義兩變數間之因果關係。

假設兩變數X 與Y，當對Y進行預測時，除了使用Y過去資料所提供的資訊外，

若再加上X 過去的資料，會使得Y 的預測更為準確，則稱X為Y的因(X Granger cause Y)，相同地，當對X進行預測時，除了使用X過去資料外，若再加上Y過去 的資料，會使得X的預測更為準確，則稱Y為X的因(Y Granger cause X)；若X與Y 兩變數同時互為因果關係，則稱X與Y具有回饋(feedback) 關係。

(3) ARCH 檢定以及不對稱性檢定：

Lagrange Multiplier ( LM )檢定由Engle(1982)所提出，是一更正式檢定 ARCH 效果的方法，步驟如下：

(1) 利用最小平方法(OLS)估計最適合時間序列y t 的模型，如AR(n)：

y

_t

= a

₀

+ a

₁

y

_t-1

+ ... + a

_n

y

_t-n

+ ε

_t

.

(3.12) 研究採用Engle & Ng(1993)發展的符號偏誤檢定(Sign Bias Test，SBT)、負符號偏 誤檢定(Negative Sign Bias Test，NSBT)、正符號偏誤檢定(Positive Sign Bias Test，

PSBT)等檢定來分析波動是否存在著不對稱性。

規模的負向未預期報酬對波動的不同影響。PSBT 是用來檢定不同大小的正向未 影響，亦即存在波動群聚的現象。Engle (1982)為了解決時間序列上變異數不一 致 一 問 題 ， 提 出 自 我 回 歸 異 質 條 件 變 異 數 模 型(Autoregressive Condtional Heteroskedasticity, ARCH)，允許條件變異數會受前期誤差項平方的影響，隱含 條件變異數會隨著時間的經過而改變，解決了傳統計量模型中齊質變異數不合 理的假設。Bollerslev (1986)進一步將 ARCH 模型擴展，提出一般化自我迴歸異 質 條 件 變 異 數 模 型(General Autoregression Conditional Heteroskedasticity, GARCH)。將 ARCH 模型中條件變異數的部分加以修正，認為條件變異數不僅 受到前期誤差平方項的影響，也會受前期條件變異數所影響。GARCH 模不但

其中ht為at之條件常態(Conditional Normal)分配的變異數。 此為 Threshold GARCH Model。

公式（3.19）是用以將一個非線性GARCH模型，依門檻變數分成兩個非線性 模型GARCH模型。在分析時，首先以ARMA模型配適資料，並檢視其殘差具有 ARCH效果則再以Threshold GARCH來處理ARCH效果殘差序列非對稱現象，則 最終模型稱為AR-TGARCH模型。

本模型除具有GARCH 模型之性質外，另外有下列持性

（1） 門檻值不同描條件變異數：模型中以ARMA(m, n)模式描述資料序列及其 干擾項之關係，而以門檻不同則採用不同GARCH(p, q)去刻劃出干擾項平方之關 係。

（2） 干擾項變動方向不同對波動之影響程度會不一樣：干擾項變動對波動之影

響。

(5)GJR-GARCH 模型：

GJR-GARCH 模型為Glosten、Jagannathan、Runkle(1989、1993)所提出，其模型 如下：

E-GARCH 模型為Nelson(1991)所提出，模型如下：

[

t t

]

E-GARCH 模型又稱為指數型GARCH 模型(Exponential GARCH Model)，此模型 特殊的地方是在於透過

g( η

_t

)

的設定，而產生不對稱性效果。

(7)NGARCH 模型：

NGARCH 模型又稱為非線性不對稱一般化自我迴歸異質條件變異數模型，此 模型亦為Engle and Ng(1993)預測日本股價波動所設定，其設定及意義如下:

2

在文檔中 探討亞洲股價與美國股市關聯性 (頁 9-20)