研究目的及限制

本研究在於利用 Matlab 程式實作佐佐木整&竹谷誠（1998）所提出的 IM 法 和 Sugiyama (1981)所提出的重心法以及將 IM 法結合貪婪交換法（Greedy Switching method）（往後簡稱 GM 法）並且模擬一筆資料代表階層概念圖，來檢 驗這些方法在減少交錯邊的成效，同時實際利用國小數學科教材為實例，實證 分析 IM 法、重心法以及 GM 法在概念圖在閱讀理解的可行及效益。

針對本研究的目地，將限制在已階層化後的概念圖，及無跨階層邊的正規 階層圖之模擬的資料產生，並且針對閱讀理解的特性，侷限在交錯邊數的比較，

及概念圖在視覺上的比較。

第三節 名詞定義

本研究真對下列常用之名詞加以定義及解釋：

一、 有向圖(directed graph)

G(V,E)稱為有向圖，若且為若頂點集合V ={v₁,v₂,...,v_n}為一有限集合，且邊 集合E ⊆V×V 為頂點集合 V 的二元序對的子集。稱 E 中的元素稱為有向邊，

既有向邊^e=

(

^vi,^vj

)

∈^E且^vi,^vj∈^V ，同時稱 為有向邊的起始點， 為有向邊的終 點。若邊集合中的元素，符合

vi v_j

(

^{v v}

) (

^{v v}

)

^{E v v V}

e= _i, _j = _j, _i ∈ 且 _i, _j ∈ ，則稱圖 G(V,E)為無 向圖。例如圖 1－1，由頂點集V ={A,B,C,D}和邊集

，所組成的圖稱為有向圖，記為 。例如

圖 1－2，由頂點集

)}

, ( ), , ( ), , ( ), , ( ), ,

{(A B B C C A C B D A

E = G(V,E)

} , , ,

{A B C D

V = 和邊集E={(A,B),(B,C),(C,A),(D,A)}，所組成的圖 稱為無向圖G(V,E)。

圖 1－1 有向圖 圖 1－2 無向圖

二、 連接矩陣(adjacency matrix)

五、連通圖（connected graph）

一無向圖 G(V,E)稱為連通圖，若且為若圖中任一兩頂點都存一條路徑;既

∀v_i,v_j ∈V，⇒∃P v_i,v_j 。例如圖 1－2，既為一連通圖。

五、 環路(cycle)

七、可到達頂點集及先前頂點集(reachability set and antecedent set)

R(v_i)={v_j |W v_i,v_j or v_i =v_j}收集與頂點 能形成步道的頂點 。 v_i v_j

八、可到達矩陣(reachability matrix)

有向圖 G(V,E)，及頂點集V =

{

v₁,v₂,...,v_n

}

。稱 R 為可到達矩陣，若頂點 是 v_j

九、 循環圖（cyclic graph）

若圖中有一環路，既稱為循環圖，若圖中沒有環路，既稱為非循環圖。

十、 階層圖（hierarchical digraph）

有向非循環圖，稱為 N 階層圖 G(N,V,E)，其中 N 為一正整數值稱為階數，

若頂點集 V 可被分割成 N 個不相較的頂點集，既^{V =}

U

_i^N₌₁^Vi 且^{Vi IVj = ，φ i≠ j。同} 時有向邊

(

^vi,^vj

)

∈^E，若且為若v_i∈ ，V_h v_j∈V_k且1≤h<k ≤ N。

圖 1－3 階層有向圖 資料來源：M. Kaufmann & D. Wagner（2000）。

說明：本研究為了同一階層概念圖的模式，所有的階層圖之階層採取由下而上 遞增的模式，而 Kaufmann (2000)文中的階層圖之階層採取由上而下的遞增模 式，因此本圖改編文中的階層之次序，同時將頂點編號，為了方便後續的說明。

十一、正規階層圖（proper hierarchical digraph）

N 階層圖 G(N,V,E)中，若有向邊 (

^vi,^vj

)

∈^E且v_i ∈V，_h v_j ∈V_h+1，既稱有向邊

(

v ,i vj

)

為短邊，反之稱為長邊。若 N 階層圖 G(N,V,E)中所有的邊皆為短邊，既稱 為正規階層圖。反之稱為非正規階層圖。例如圖 1－4。

圖 1－4 正規階層圖

說明：本圖藉由 Matlab 程式，自動模擬產生 6 階層的正規階層圖及繪製。

以圖 1－3 為例。圖中的有向邊（2,4）其中頂點 2 所在的階層是 1，而頂點 4 所在的階層是 2，頂點 2 和頂點 4 階層相差 1，因此稱有向邊（2,4）為短邊。

而圖中的有向邊（3,9），頂點所在的階層分別為 1 和 3，階層相差為 2，因此稱 有向邊（3,9）為長邊。故圖 1－3 稱為非正規階層圖。

十二、階層連接矩陣

十三、交錯邊數(number of crossing edges)

若給定第 i 階層與第 i+1 階層間的階層連接矩

Mⁱ =[m_ij]_pxq，且p= V_i 和

說明：在本研究中所謂的交錯邊，是指邊與邊的交錯現象，而交錯邊數是指邊 與邊交錯後所形成的數量，與一般圖形理論泛指的交錯數（Crossing number）所 探討的並不一樣。

十四、重心值(barycenter)

給定一個階層連接矩陣Mⁱ分別定義行重心及列重心的計算方式：

十五、重要度(important index)

表 1－2 有向邊的重要度

邊的重要度值 邊的重要度值

起始點 終點 重要度 起始點 終點 重要度 1 4 9 7 11 6 2 6 6 8 10 10 3 5 4 8 12 10 4 7 6 9 11 6 4 8 10 10 14 6 5 9 6 11 15 7 6 8 10 12 13 6

表 1－3 頂點的重要度

頂點重要度 頂點重要度 頂點重要度 頂點 重要度 頂點 重要度 頂點 重要度

1 9 6 16 11 19 2 6 7 12 12 16 3 4 8 40 13 6 4 25 9 12 14 6 5 10 10 16 15 7

第二章 文獻探討

第一節 減少交錯邊

想像一個階層概念圖，其中階層與階層之間的脈絡，有複雜邊交錯的現象。

如圖 2－1 在這樣邊交錯複雜的關係下，如何找每一階層中頂點的排列次序，達 到可以減少階層概念圖中的交錯邊數。要達到減少交錯邊數的目地，不僅僅取 決於階層中頂點所在的位置，也取決於頂點與頂點間的相對位置（Kaufmann &

Wagner，2000），同時階層中的頂點經重新排列相對次序後，在視覺上要能使得 學習者或閱讀者可以容易追蹤概念或節點發生的先後次序（Takeya，1999）。

圖 2－1 階層概念圖

傳統上減少交錯邊的方法，都採用 Sugiyama（1981）所提出的重心法來減 少交錯邊數。重心法是一個直觀而且容易製作、執行的方法，同時可以在很短 的時間內，對於減少交錯邊數有不錯的成效（Kaufmann & Wagner，2000）。

第二節 重心法

重心法是由 Sugiyama（1981）提出，針對兩階層的階層圖。利用物理靜態 平衡的直觀方式，將其中一階層視為固定點，另一階層視為可移動的質點，並 且計算每個質點的重心值大小，計算重心值後依據其質點重心值大小做由小到 大的排序，當有兩個質點具有相同的重心值，則嘗試交換兩質點的所在位置，

檢驗是否有達到減少交錯邊的目地，若有減少交錯邊數則交換這兩個質點的位 置，若交錯邊數沒有減少，則保留原有的相對位置。

利用這樣兩階層的重心計算及排序，以及反覆執行重心的排序疊代，所謂 重心的排序疊代是由固定第一階層的頂點，計算及排序第二層的頂點，開始反 覆執行直到第 i-1 階層中的頂點，計算和排序完第 i 階層的頂點的位置，直到第 N 階層中的頂點排序完為止，在反過來執行固定第 N 階層的頂點，計算和排序 第 N-1 階層的頂點，同樣反覆執行直到固定第二階層頂點，計算和排序完第一 階層的頂點為止，這樣的程序在 Sugiyama 中分別稱為上重心法及下重心法，或 稱為行重心法及列重心法。

當每次完成重心的排序疊代後，接著計算每階層中所產生的交錯邊數並且 加總，同時與前一次的交錯邊數比較，直到交錯邊數不再減少，才停止重心的 排序疊代。

雖然重心法在減少交錯邊有很大的成效，同時不需要冗長的執行時間，

Ahmed & Radwan（2002）等人針對重心法的研究，更進一步指出，重心法有兩 個潛在問題：（一）搜尋排序的問題。所謂搜尋排序問題是指，當重心法執行排 序的過程中，遇到相同重心值的頂點時，嘗試讓重心值相同的兩點交換，檢視 交換後交錯邊數是否能減少，若交換頂點能減少交錯邊數，則交換這兩個頂點，

若交換頂點後不能減少交錯邊數，則保留頂點相對位置，無法更進一步排除交 錯邊的問題。（二）收斂問題。所謂收斂問題來自於搜尋一個最佳的頂點排列方 式，使得階層概念圖在這排列的方式下，所得的交錯邊數是最少。將這樣的問 題轉換乘數學的型式，既是找尋一個數列

{ }

X_k ^∞_k=0的收斂值X ≥0，其中 為經過 K 次重心法排序後，所得階層圖的交錯邊數，是一個不小零的非負整數值，同 時 為原始階層圖中的交錯邊數。

Xk

X0

第三節 IM 法

日本學者佐佐木整&竹谷誠 (1998)針對製作概念圖的程序中，會將主要的 概念放置於中間，其它相關的概念，放置在主要概念的兩側，形成像樹狀結構 的圖形，仿製概念圖製作的程序提出 IM 法。如同概念圖的製作，IM 法同樣會 將主要的概念要放置於中間，而被放置中間的概念群，在 IM 法中稱為主軸，同 時利用邏輯流量圖（Logical flow graph）的概念（卓樹樣、胡豐榮、許天維，民 93），所謂邏輯流量是指有向邊可被多少條路徑通過，在將所有的有向邊之通過 量，標準化到[0,1]區間，定義出有向邊的重要程度。推廣邏輯流量的想法到代表 概念的頂點，將頂點視為邏輯流量的總樞紐，加總與頂點連接的有向邊之重要 度，既可定義代表概念的頂點之重要度。

依據這樣的關聯及程序，選擇重要度大的頂點放置在最中間，視為主要概 念結構的主幹稱之為主軸，執行對概念圖的重要度選擇頂點，這樣的程序稱為 選擇法則，並且決定頂點放置的位置，可以使得概念圖中的交錯邊數減少，這 樣的程序稱為放置法則。反覆執行選擇法則及放置法則的程序，直到所有頂點 都選擇出來，放置完畢為止。

Takeya (1999)指出 IM 法在階層概念圖的應用上，能充分顯現階層概念圖在 閱讀理解的特質，如圖 2－2 和圖 2－3 分別為經重心法和 IM 法重新排列階層中 的頂點次序後所得到的階層圖。圖 2－2 中的第 15 單元整數的性質，分別為第

16 單元和第 17 單元的先備知識，但是在圖 2－2 中的第 16 單元和第 17 單元會 比在圖 2－3 中的第 16 單元和第 17 單元分散。

圖 2－2 重心法圖 圖 2－3 IM 法圖

說明：圖 2－2 和圖 2－3 截錄於 Takeya (1999)所著 Structure analysis methods for instruction. P－68 和 P－69。

廖寶貴、陳俊宏等人（民 94），利用模擬實驗檢驗 IM 法在正規階層圖中，

交錯邊減少的成效，其研究結果發現 IM 法在減少交錯邊的成效，將依階層圖的 結構來決定，而可減少的比率平均由 30%到 70%。

第四節 貪婪交換法

貪婪交換法（Greedy Switching method）的原則是希望找尋一頂點在階層中 的最佳位置，使得頂點在這階層中的交錯邊數是最少，利用連續不斷交換相鄰 兩頂點所在的位置，檢視交錯邊數是否有減少，若兩頂點交換後交錯邊數有減 少，則記錄交換後的位置，若兩頂點交換後交錯邊數沒有減少，則還原先前的 為交換的位置。持續這樣的步驟，直到在也沒兩相鄰頂點交換後，可以達到減 少交錯邊的機制。

Makinen (1990) 和 Gansner 等人 (1993) 在研究中建議可以將貪婪交換法 則與其它的交換法則合併在一起執行，在執行完其它的交換法則後，階層圖已 經做過減少交錯邊數的初步整理，這時在透過貪婪交換法則，既不需要逐點執 行，而同時又能進一步減少交錯邊數。

第三章 研究方法

制步驟為：

⎥⎥

據階層由小到大製成代表階層圖的連接矩陣 A。

⎥⎥

13 二位數的加減（二） 14 幾的幾倍 15 二位數的加減 16 乘法（一）

17 乘法（二） 18 分分看

19 分數 20 1000 以內的數

21 2000 以內的數 22 三位數的加減

23 乘法 24 除法

25 分數 26 乘與除

27 分數的加減 28 小數

29 10 萬以內的數 30 乘法

31 分數 32 除法

33 整數四則運用 34 數列

35 整數的乘法 36 分數的加減

37 概數 38 小數

39 整數除法 40 分數

41 圖形與數 42 小數

43 估算與小數乘法 44 數量關係

45 整數四則 46 等值分數

47 數的十進結構 48 因數與倍數

49 分數的加減 50 分數的乘法 51 整數乘法與小數乘法 52 除法

53 比與比值 54 分數除法

55 小數除法 56 比率、百分率及成正比

57 以符號代表數 58 分數四則應用 59 等式與數量關係 60 速率

第二節 減少交錯邊的製作

壹、重心法的實作

依據 Sugiyama(1981)提出的程序繪製的流程圖（見圖 3－3）：

原階層圖

固定i階層頂點

固定i階層頂點

在文檔中 應用GM法於階層概念圖 (頁 13-0)