應用GM法於階層概念圖

(1)

國立台中教育大學教育測驗統計研究所理學碩士論文

指導教授：胡豐榮博士

應用 GM 法於階層概念圖

研究生：陳俊宏撰

(2)

謝辭

在讀碩士班這兩年半內，首先要感謝的是指導教授胡豐榮老師，胡老師在繁忙的研究工作下，仍不遺餘力給予我在知識及論文方面的指導及建議，在此由衷地感謝胡豐榮老師。同時感謝王道明老師、許天維老師、劉湘川老師以及郭伯臣老師，擔任口試委員，給予許多寶貴的建議及指正。感謝我的父母，這些年的支持及鼓勵，也感謝所上所有的老師，在這兩年半給俊宏的指導，同時也感謝所上每一位同學，給我的鼓勵、及建議，在此再次由衷地感謝老師及同學們。陳俊宏謹致九十五年一月

(3)

應用 GM 法於階層概念圖

中文摘要

將某個領域的知識繪製成階層概念圖，可以讓學習者循著知識的連結走向，幫助學習者閱讀理解及比較，但是複雜的階層概念圖，常因概念所在的位置不佳，使得學習者不容易追蹤閱讀理解，通常處理這樣的問題，不外乎重新製作一張階層概念圖，或是利用重心法來重新排列階層中頂點所在的相對位置，使得階層概念圖中的交錯邊數減少，讓階層概念圖整體看起來清晰容易閱讀。本研究應用 Takeya 所提出的 IM 法，來減少階層概念圖的交錯邊數，同時又可群聚階層概念圖中，與主要概念相關的概念，讓學習者更容易追蹤階層概念圖中的概念。此外，進一步將 IM 法結合貪婪交換法則（稱為 GM 法），進一步減少階層概念圖中的交錯邊數，也保留 IM 法特性，並且實際以國小數學科的教材為實例，選取與數相關的 60 個單元，依據年級學習的次序劃分 6 個階層，繪製成階層概念圖，同時分析、比較階層概念圖，經重心法、IM 法和 GM 法改善交錯邊數和階層概念圖的可讀性。本研究的發現：（1）透過減少交錯邊的機制，可以讓階層概念圖更清晰，容易閱讀理解。

(4)

（2）在本研究的例子中，IM 法在減少交錯邊及階層概念圖的清晰程度都優於重心法。（3）在本研究的例子中，GM 法在減少交錯邊數及階層概念圖的清晰程度都呈現比 IM 法及重心法好。（4）在實證例子中，GM 法比 IM 法更能突顯國小數學科的表徵，分別為小數、分數結構、乘除法、加減法以及數的表徵。 關鍵字：減少交錯邊數、階層概念圖、IM 法、GM 法

(5)

Application of the GM method to the

hierarchical concept map.

Abstract

It is beneficial to students for learning which we made the concept of the hierarchical concept map. It could help students to trace or read ideals point by point. Sometimes, it is not easy to trace ideals if the hierarchical concept map is complex. So, we remade the hierarchical concept map again, or reduced the

crossing edges by using BC method to permute the position of concepts. It is more easily to trace with above process.

We applied the IM method which was issued by Takeya for reducing the crossing edges on the hierarchical concept map. The method is not only to reduce crossing edges but also to group those concepts with the same prior main concept. Moreover, we improved the IM method by using greedy switching method after

running IM method, and named this procedure as GM method. We wished that the GM method can reduce more crossing edges, and kept the properties of the IM method. And, we show the effectiveness of the GM method by analyzing the real example which was the hierarchical concept map about the 60 units concerned number concept from the teaching materials of the element school.

The results of our research are followings;

(6)

finished by those way of the reducing crossing edges.

(2) the IM method can reduce crossing edges more than the BC method in the example of our research.

(3) the GM method under reducing the crossing edges is the best method among the IM method and the BC method in the example of our research.

(4) the GM method under tracing concepts is the better method than the IM method and groups concepts into five classes which was the structure of the decimal fraction, the structure of the fractional number, the structure of multiplication and division, the structure of addition and subtraction, and the characterization of the integer.

Keywords: Reduction of the crossing edges, Hierarchical concept map, IM method, GM method

(7)

目錄

第一章序論………..…..1

第一節研究動機………1

第二節研究目的及限制………2

第三節名詞解釋………3

第二章文獻探討………..13

第一節減少交錯邊………..13

第二節重心法………..14

第三節 IM 法………16

第四節貪婪交換法………..18

第三章研究方法………..19

第一節資料的產生………..19

第二節減少交錯邊數的製作………..26

壹、重心法的製作………..26

貳、IM 法的製作………28

(8)

參、GM 法的製作………...33

第四章研究結果………..35

第一節模擬研究的結果………..35

第二節實證分析的結果………..37

第五章結論及建議………..40

參考文獻

中文文獻………42

日文文獻………....42

英文文獻………43

(9)

表目錄

表 1-1 行重心與列重心值...9 表 1-2 有向邊的重要度...11 表 1-3 頂點的重要度...12 表 3-1 國小數教才單元及編號...23 表 4-1 模擬資料的交錯邊數...35 表 4-2 模擬資料的執行時間...35 表 4-3 數階層圖的交錯邊數...37 表 4-4 數階層圖的執行時間...37

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圖目錄

圖 1-1 有向圖...3 圖 1-2 無向圖 ...3 圖 1-3 階層有向圖...6 圖 1-4 正規階層圖...7 圖 2-1 階層概念圖...13 圖 2-2 重心法圖...17 圖 2-3 IM 法圖...17 圖 3-1 模擬 5 階層 25 個頂點的正規階層圖...21 圖 3-2 國小數教材之階層圖...22 圖 3-3 重心法流程圖...26 圖 3-4 重心法程式...27 圖 3-5 IM 法的子圖...29 圖 3-6 IM 法程式...32 圖 3-7 貪婪交換法程式...34 圖 4-1 原模擬階層圖...36 圖 4-2 模擬的重心法圖...36 圖 4-3 模擬的 IM 法圖...36

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圖 4-4 模擬的 GM 法圖...36 圖 4-5 數課程的階層圖...38 圖 4-6 數課程的重心法圖...38 圖 4-7 數課程的 IM 法圖...39 圖 4-8 數課程的 GM 法圖...39

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第一章序論

第一節研究動機

自 1970 年美國康乃爾大學教育學教授 Novak 等人，共同提出一套方便可行 的學習模式 —概念構圖後，日本學者 Sugiyama (1981)等人進一步指出，一個容易讓人閱讀理解的概念圖應該具備：（一）概念要階層化的處理、（二）關聯的交錯邊數要少、（三）概念能分佈的均勻對稱、（四）連接的邊不要過長（楊維楨、郭乃文，2001）、以及（五）關聯能以直線的方式繪製（Sugiyama，1981），這五項特質。因此，前述的五個特質，將藉由圖形理論轉換成四個具體的解決步驟，讓概念圖能一目了然，分別是（一）去循環邊、（二）階層化、（三）減少交錯邊、以及（四）直線的繪製（Sugiyama，1981）。此外，傳統在設計概念圖的程序，會將主要的概念置於中間，讓其它相關概念放在分枝的部分，形成樹狀結構圖的圖形，所以在進行概念構圖的製作，往往具有多個核心概念所組成的樹狀結構（余民寧，民 86）。因此，日本學者佐佐木整&竹谷誠 (1998)，進一步對針對階層概念圖的製作程序，提出 Illustrative Mapping method（簡稱 IM 法）。可用來改善在製作概念圖的過程中，常面臨到的問題：（一）當代表概念的節點數量非常多時，造成所形成的關聯交錯邊過多，讓概念圖的脈絡交錯、複雜不利於閱讀理解。（二）具有相同的先備知識之概念

(13)

第二節研究目的及限制

本研究在於利用 Matlab 程式實作佐佐木整&竹谷誠（1998）所提出的 IM 法和 Sugiyama (1981)所提出的重心法以及將 IM 法結合貪婪交換法（Greedy Switching method）（往後簡稱 GM 法）並且模擬一筆資料代表階層概念圖，來檢驗這些方法在減少交錯邊的成效，同時實際利用國小數學科教材為實例，實證分析 IM 法、重心法以及 GM 法在概念圖在閱讀理解的可行及效益。針對本研究的目地，將限制在已階層化後的概念圖，及無跨階層邊的正規階層圖之模擬的資料產生，並且針對閱讀理解的特性，侷限在交錯邊數的比較，及概念圖在視覺上的比較。

(14)

第三節名詞定義

本研究真對下列常用之名詞加以定義及解釋：

一、有向圖(directed graph)

G(V,E)稱為有向圖，若且為若頂點集合V ={v1,v2,...,vn}為一有限集合，且邊 集合E ⊆V×V 為頂點集合 V 的二元序對的子集。稱 E 中的元素稱為有向邊， 既有向邊e=

(

v_i,v_j

)

∈E且v_i,v_j∈V ，同時稱為有向邊的起始點，為有向邊的終點。若邊集合中的元素，符合 i v v_j

(

v v

) (

v v

)

E v v V e= _i, _j = _j, _i ∈ 且 _i, _j ∈ ，則稱圖 G(V,E)為無向圖。例如圖 1－1，由頂點集V ={A,B,C,D}和邊集，所組成的圖稱為有向圖，記為。例如圖 1－2，由頂點集 )} , ( ), , ( ), , ( ), , ( ), , {(A B B C C A C B D A E = G(V,E) } , , , {A B C D V = 和邊集E={(A,B),(B,C),(C,A),(D,A)}，所組成的圖稱為無向圖G(V,E)。圖 1－1 有向圖圖 1－2 無向圖

(15)

二、連接矩陣(adjacency matrix)

有向圖 G(V,E)，及頂點集V =

{

v1,v2,...,vn

}

。稱 A 為連接矩陣，若有向邊

(

v_i,v_j

)

∈E，則a_ij =1。若

(

v_i,v_j

)

∉E，則a_ij =0。以圖 1－1 為例的連接矩陣。 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 D C B A D C B A ，則連接矩陣為 。 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 A

三、步道(walk)

由頂點出發到頂點的步道稱為vi vj W vi,vj 若且為若W vi,vj ={vi,vk,...,vj} 是由頂點所組成的序列，且相鄰兩頂點為圖中的有向邊。例如 為一步道。 } , , , , , { ,B D A B C A B D W < >=

四、路徑(path)

j i v v W , 為一步道，其中所經過的頂點皆不一重複，稱為路徑P v_i,v_j 。例 如 W D,B ={D,A,B}既為一路徑，記為P D,B 。 五、連通圖（connected graph） 一無向圖 G(V,E)稱為連通圖，若且為若圖中任一兩頂點都存一條路徑;既 ， ∀vi,vj ∈V ⇒∃P vi,vj 。例如圖 1－2，既為一連通圖。

(16)

五、環路(cycle)

只有步道的起始點與終點為同一頂點且其中所經過的頂點皆不重複，稱為 環路。例如 W C,C =

{

C,A,B,C

}

。

六、可到達頂點及先前頂點

在圖 G(V,E)中，若存在有一步道W vi,vj ，既稱頂點為頂點的可到達 vi vj 頂點，而頂點為頂點的先前頂點。 vj vi

七、可到達頂點集及先前頂點集(reachability set and antecedent set)

R(v_i)={v_j |W v_i,v_j or v_i =v_j}收集與頂點能形成步道的頂點。 v_i v_j } , | { ) (v_i v_j W v_j v_i or v_i v_j A = = 收集與頂點能形成步道的頂點。 v_i v_j

八、可到達矩陣(reachability matrix)

有向圖 G(V,E)，及頂點集V =

{

v1,v2,...,vn

}

。稱 R 為可到達矩陣，若頂點是 vj 頂點的可到達頂點，則vi rij =1，其它記為rij =0。例如圖 1－1 的可到達矩陣 R 為： ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 R

(17)

九、循環圖（cyclic graph）

若圖中有一環路，既稱為循環圖，若圖中沒有環路，既稱為非循環圖。

十、階層圖（hierarchical digraph）

有向非循環圖，稱為 N 階層圖 G(N,V,E)，其中 N 為一正整數值稱為階數，若頂點集 V 可被分割成 N 個不相較的頂點集，既

_U

N 且 i i V V 1 = = Vi IVj = ，φ i≠ j。同時有向邊

(

vi,vj

)

∈E，若且為若vi∈ ，Vh vj∈Vk且1≤h<k ≤ N。圖 1－3 階層有向圖

資料來源：M. Kaufmann & D. Wagner（2000）。

說明：本研究為了同一階層概念圖的模式，所有的階層圖之階層採取由下而上

遞增的模式，而 Kaufmann (2000)文中的階層圖之階層採取由上而下的遞增模

(18)

十一、正規階層圖（proper hierarchical digraph）

N 階層圖 G(N,V,E)中，若有向邊

(

v_i,v_j

)

∈E且v_i ∈V，_h v_j ∈V_h₊₁，既稱有向邊

(

v ,i vj

)

為短邊，反之稱為長邊。若 N 階層圖 G(N,V,E)中所有的邊皆為短邊，既稱 為正規階層圖。反之稱為非正規階層圖。例如圖 1－4。圖 1－4 正規階層圖說明：本圖藉由 Matlab 程式，自動模擬產生 6 階層的正規階層圖及繪製。以圖 1－3 為例。圖中的有向邊（2,4）其中頂點 2 所在的階層是 1，而頂點 4 所在的階層是 2，頂點 2 和頂點 4 階層相差 1，因此稱有向邊（2,4）為短邊。而圖中的有向邊（3,9），頂點所在的階層分別為 1 和 3，階層相差為 2，因此稱有向邊（3,9）為長邊。故圖 1－3 稱為非正規階層圖。

(19)

十二、階層連接矩陣

在正規階層圖中，第 k 層和第 k+1 層間的階層連接矩陣 是一個 p× q 的二元矩陣且 ] [ _ij k m M = i V p= 為第 i 層頂點的個數和q=V_i₊₁ 為第 i+1 層頂點的個數，其中若第 k 層的第 i 個頂點與第 k+1 層的第 j 個頂點有連接邊，反之若第 k 層的第 i 個頂點與第 k+1 層的第 j 個頂點沒有連接邊，則。 1 = ij m 0 = ij m 如圖 1－4 的階層連接矩陣為：，，， ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 M ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 1 0 1 0 0 0 1 1 2 M ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 1 0 1 0 1 0 1 0 3 M ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 0 1 1 0 0 0 1 0 4 M

十三、交錯邊數(number of crossing edges)

若給定第 i 階層與第 i+1 階層間的階層連接矩 ij pxq，且 i m M =[ ] p= V_i 和 1 + =V_i q ，則定義第 i 階層與第 i+1 層間的交錯邊數為：。則 N 階層的概念圖的總交錯邊數為： ，其中 A 為連接矩陣。以圖 1－4 為例。

∑ ∑ ∑ ∑

− = = + − = = + ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 1 1 1 1 1 1 ) ( p j p j k q q i k i j i m m M K α β α β α ) ( ... ) ( ) ( ) (A =K M1 +K M2 + +K Mn−1 K ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = O O O O O M O O O O O M O O O O O M O O O O O M O A 4 3 2 1 ，且 ( 1)=1，，，，則 M K ( 2)=1 M K ( 3)=2 M K ( 4)=2 M K 6 ) ( ) ( ) ( ) ( ) (A =K M1 +K M2 +K M3 +K M4 = K

(20)

說明：在本研究中所謂的交錯邊，是指邊與邊的交錯現象，而交錯邊數是指邊與邊交錯後所形成的數量，與一般圖形理論泛指的交錯數（Crossing number）所探討的並不一樣。

十四、重心值(barycenter)

給定一個階層連接矩陣 i M 分別定義行重心及列重心的計算方式：行重心： ( )/( ), 1,..., ( ) 1 1 i q l i kl q l i kl R ik l m m k p V B =

∑

×

∑

= = = = 。列重心： ( )/( ), 1,..., ( ₁) 1 1 + = = = = × =

∑

p _i k i kl p k i kl C il k m m l q V B 。如圖 1－4 中的階層連接矩陣為例。 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 1 0 1 0 0 0 1 1 2 M 表 1－1 行重心及列重心值 2 M 矩陣頂點 7 頂點 8 頂點 9 行重心頂點 4 1 1 0 1.5 1 1 1 2 1 1 = + × + × 頂點 5 0 0 1 3 1 1 3 = × 頂點 6 0 1 0 2 1 1 2× ₌ 列重心 1 1 1 1× ₌ 2 1 1 1 3 1 1 ₌ + × + × 2 1 1 2× ₌

(21)

十五、重要度(important index)

給定一個階層圖 G(N,V,E)，其中頂點vi和vj ∈V，若

(

vi,vj

)

∈E，則定

義有向

邊的重要成度為：

(

)

⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + × ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ × = 2 1 2 )] ( [ )] ( [ , n n v R N v A N v v I _i _j i j ，反之，若

(

v_i,v_j

)

∉E，則定義

(

v_i,v_j

)

=0 I 。對某一個頂點，加總以為起始點的有向邊之重要度，及加總以為終點的有向邊之重要度，將這個總值定義為頂點的重要度，為：。 i v v_i v_i

( )

_∑

{

(

) (

}

≠ = + = n i j j i j j i i I v v I v v v I , 1 , ,

)

因為有向階層圖的頂點數是固定，所以為了簡化計算，將有向邊的重要度計算改為：I

(

v_i,v_j

)

= N[A(v_i)]×N[R(v_j)]（陳俊宏、胡豐榮、許天維，民 93）。以圖 1－3 為例，分別計算有向邊及頂點的重要度，同時記錄於表 1－2 及表 1－3。

(22)

表 1－2 有向邊的重要度邊的重要度值邊的重要度值起始點終點重要度起始點終點重要度 1 4 9 7 11 6 2 6 6 8 10 10 3 5 4 8 12 10 4 7 6 9 11 6 4 8 10 10 14 6 5 9 6 11 15 7 6 8 10 12 13 6

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表 1－3 頂點的重要度頂點重要度頂點重要度頂點重要度頂點重要度頂點重要度頂點重要度 1 9 6 16 11 19 2 6 7 12 12 16 3 4 8 40 13 6 4 25 9 12 14 6 5 10 10 16 15 7

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第二章文獻探討

第一節減少交錯邊

想像一個階層概念圖，其中階層與階層之間的脈絡，有複雜邊交錯的現象。如圖 2－1 在這樣邊交錯複雜的關係下，如何找每一階層中頂點的排列次序，達到可以減少階層概念圖中的交錯邊數。要達到減少交錯邊數的目地，不僅僅取決於階層中頂點所在的位置，也取決於頂點與頂點間的相對位置（Kaufmann & Wagner，2000），同時階層中的頂點經重新排列相對次序後，在視覺上要能使得學習者或閱讀者可以容易追蹤概念或節點發生的先後次序（Takeya，1999）。圖 2－1 階層概念圖

(25)

傳統上減少交錯邊的方法，都採用 Sugiyama（1981）所提出的重心法來減

少交錯邊數。重心法是一個直觀而且容易製作、執行的方法，同時可以在很短

的時間內，對於減少交錯邊數有不錯的成效（Kaufmann & Wagner，2000）。

第二節重心法

重心法是由 Sugiyama（1981）提出，針對兩階層的階層圖。利用物理靜態平衡的直觀方式，將其中一階層視為固定點，另一階層視為可移動的質點，並且計算每個質點的重心值大小，計算重心值後依據其質點重心值大小做由小到大的排序，當有兩個質點具有相同的重心值，則嘗試交換兩質點的所在位置，檢驗是否有達到減少交錯邊的目地，若有減少交錯邊數則交換這兩個質點的位置，若交錯邊數沒有減少，則保留原有的相對位置。利用這樣兩階層的重心計算及排序，以及反覆執行重心的排序疊代，所謂重心的排序疊代是由固定第一階層的頂點，計算及排序第二層的頂點，開始反覆執行直到第 i-1 階層中的頂點，計算和排序完第 i 階層的頂點的位置，直到第 N 階層中的頂點排序完為止，在反過來執行固定第 N 階層的頂點，計算和排序第 N-1 階層的頂點，同樣反覆執行直到固定第二階層頂點，計算和排序完第一階層的頂點為止，這樣的程序在 Sugiyama 中分別稱為上重心法及下重心法，或 稱為行重心法及列重心法。

(26)

當每次完成重心的排序疊代後，接著計算每階層中所產生的交錯邊數並且

加總，同時與前一次的交錯邊數比較，直到交錯邊數不再減少，才停止重心的

排序疊代。

雖然重心法在減少交錯邊有很大的成效，同時不需要冗長的執行時間，

Ahmed & Radwan（2002）等人針對重心法的研究，更進一步指出，重心法有兩

個潛在問題：（一）搜尋排序的問題。所謂搜尋排序問題是指，當重心法執行排序的過程中，遇到相同重心值的頂點時，嘗試讓重心值相同的兩點交換，檢視交換後交錯邊數是否能減少，若交換頂點能減少交錯邊數，則交換這兩個頂點，若交換頂點後不能減少交錯邊數，則保留頂點相對位置，無法更進一步排除交錯邊的問題。（二）收斂問題。所謂收斂問題來自於搜尋一個最佳的頂點排列方式，使得階層概念圖在這排列的方式下，所得的交錯邊數是最少。將這樣的問題轉換乘數學的型式，既是找尋一個數列

{ }

X_k ∞_k₌₀的收斂值X ≥0，其中為經過 K 次重心法排序後，所得階層圖的交錯邊數，是一個不小零的非負整數值，同時 為原始階層圖中的交錯邊數。 k X 0 X

(27)

第三節 IM 法

日本學者佐佐木整&竹谷誠 (1998)針對製作概念圖的程序中，會將主要的

概念放置於中間，其它相關的概念，放置在主要概念的兩側，形成像樹狀結構

的圖形，仿製概念圖製作的程序提出 IM 法。如同概念圖的製作，IM 法同樣會

將主要的概念要放置於中間，而被放置中間的概念群，在 IM 法中稱為主軸，同

時利用邏輯流量圖（Logical flow graph）的概念（卓樹樣、胡豐榮、許天維，民

93），所謂邏輯流量是指有向邊可被多少條路徑通過，在將所有的有向邊之通過量，標準化到[0,1]區間，定義出有向邊的重要程度。推廣邏輯流量的想法到代表概念的頂點，將頂點視為邏輯流量的總樞紐，加總與頂點連接的有向邊之重要度，既可定義代表概念的頂點之重要度。依據這樣的關聯及程序，選擇重要度大的頂點放置在最中間，視為主要概念結構的主幹稱之為主軸，執行對概念圖的重要度選擇頂點，這樣的程序稱為選擇法則，並且決定頂點放置的位置，可以使得概念圖中的交錯邊數減少，這樣的程序稱為放置法則。反覆執行選擇法則及放置法則的程序，直到所有頂點都選擇出來，放置完畢為止。 Takeya (1999)指出 IM 法在階層概念圖的應用上，能充分顯現階層概念圖在閱讀理解的特質，如圖 2－2 和圖 2－3 分別為經重心法和 IM 法重新排列階層中的頂點次序後所得到的階層圖。圖 2－2 中的第 15 單元整數的性質，分別為第

(28)

16 單元和第 17 單元的先備知識，但是在圖 2－2 中的第 16 單元和第 17 單元會

比在圖 2－3 中的第 16 單元和第 17 單元分散。

圖 2－2 重心法圖圖 2－3 IM 法圖

說明：圖 2－2 和圖 2－3 截錄於 Takeya (1999)所著 Structure analysis methods for

(29)

廖寶貴、陳俊宏等人（民 94），利用模擬實驗檢驗 IM 法在正規階層圖中，

交錯邊減少的成效，其研究結果發現 IM 法在減少交錯邊的成效，將依階層圖的

結構來決定，而可減少的比率平均由 30%到 70%。

第四節貪婪交換法

貪婪交換法（Greedy Switching method）的原則是希望找尋一頂點在階層中

的最佳位置，使得頂點在這階層中的交錯邊數是最少，利用連續不斷交換相鄰兩頂點所在的位置，檢視交錯邊數是否有減少，若兩頂點交換後交錯邊數有減少，則記錄交換後的位置，若兩頂點交換後交錯邊數沒有減少，則還原先前的為交換的位置。持續這樣的步驟，直到在也沒兩相鄰頂點交換後，可以達到減少交錯邊的機制。 Makinen (1990) 和 Gansner 等人 (1993) 在研究中建議可以將貪婪交換法則與其它的交換法則合併在一起執行，在執行完其它的交換法則後，階層圖已經做過減少交錯邊數的初步整理，這時在透過貪婪交換法則，既不需要逐點執行，而同時又能進一步減少交錯邊數。

(30)

第三章研究方法

本研究主要採實證性分析，利用 Matlab 6.5 版程式，撰寫重心法、IM 法以 及 GM 法程式，用於驗證改善正規階層圖中的交錯邊數的成效，並且利用 Matlab 程式隨機模擬一正規階層圖的連接矩陣，將連接矩陣分別帶入重心法、IM 法以及結合貪婪交換法則的 IM 法，檢視這三種方法在減少交錯邊數的成效。此外，實際以國小數學科的數學教材製成階層概念圖為實例，驗證階層概念圖分別在這三種方法在容易閱讀理解的成效上。

第一節資料的產生

當正規階層圖的連接矩陣，依據頂點所在的階層，由第一階層到第 N 階層的次序排列，則矩陣可以表示成數個階層連接矩陣及不同大小零矩陣所組成的分割矩陣。如。因此，利用這樣的特性，可以讓 Matlab 程式隨機產生四個階層連接矩陣，皆以 0.75 為閥值，當隨機值大於 0.75，則視為兩頂點有方向邊，反之兩頂點則無連接邊，在利用正規階層圖的連接矩陣的特性，組合成一個 5 階層、25 個頂點的連接矩陣。 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = − O O M O O O M O O O O O M O A N . . . . . ... . 1 2 1 為了確定程式產生的連接矩陣，能代表一個有向非循環圖的階層圖，在隨

(31)

制步驟為：（一）找出所有在連接矩陣中的入支數為 0，但是出支數不為 0 的頂點。（二）假設第一步驟找出 N 個頂點，準備一個 N×N 的方陣並命為 M，同時將第一步驟所找到的頂點依序編號。（三）在步驟二中，編號頂點為 i 的頂點 v 之可到達集，與編號頂點為 j 的頂點 u 之可到達集，若頂點 v 的可到達集和頂點 u 的可到達集的交集非空，則M(i, j)=M(j,i)=1，反之M(i, j)=M(j,i)=0。（四）計算 M 矩陣的可到達矩陣，同時檢驗可到達矩陣中，每一元素值是否皆為 1，若每一元素值皆為 1，則原連接矩陣既為一有向非循環圖的正規階層圖，反之，若存在其中一個元素值不為 1，則原連接矩陣既不是一有向非循環圖的正規階層圖，需重新隨機產生。利用上述的機制，實際以 Matlab 隨機產生一 5 階層、每一階層各 5 個頂點，共 25 個頂點的連接矩陣 A，代表一有向非循環圖的正規階層圖，並繪製如圖 3 －1。同時計算階層圖的交錯邊數總共有 48 個交錯邊。 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = O O O O O M O O O O O M O O O O O M O O O O O M O A 4 3 2 1 ，其中，， ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 M ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 2 M

(32)

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 3 M ，和分別為階層連接矩陣。 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 4 M 圖 3－1 模擬 5 階層 25 個頂點正規階層圖為了更進一步說明重心法、IM 法以及結合貪婪法則的 IM 法，這三種方法在階層概念圖於閱讀理解的效益，實際蒐集康軒版國小數學科 1 到 12 冊，從中選取與數相關的課程單元，共 60 個單元（見表 3－1）為例，並依照學習的年級，將單元劃分 6 個階層，兩階層中的課程單元，依據有無學習的先後次序，繪製單元的連結邊，製成 6 個階層的概念階層圖（見圖 3－2），同時將單元編號並依

(33)

據階層由小到大製成代表階層圖的連接矩陣 A。圖 3－2 國小數教材之階層圖代表圖二的連接矩陣，其中，， ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = O O O O O O M O O O O O O M O O O O O O M O O O O O O M O O O O O O M O A 5 4 3 2 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 M ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 M

(34)

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 3 M ，，，分別為階層連接矩陣。 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 M ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 5 M 表 3－1 國小數教材單元及編號編號單元名稱編號單元名稱 1 數數看 2 排順序、比多少 3 分與合 4 加和減 5 數到 20 6 數到 50 7 加和減（一） 8 加和減（二） 9 數到 100 10 兩步驟的加減 11 200 以內的數 12 二位數的加減（一）

(35)

13 二位數的加減（二） 14 幾的幾倍 15 二位數的加減 16 乘法（一） 17 乘法（二） 18 分分看 19 分數 20 1000 以內的數 21 2000 以內的數 22 三位數的加減 23 乘法 24 除法 25 分數 26 乘與除 27 分數的加減 28 小數 29 10 萬以內的數 30 乘法 31 分數 32 除法 33 整數四則運用 34 數列 35 整數的乘法 36 分數的加減 37 概數 38 小數 39 整數除法 40 分數 41 圖形與數 42 小數 43 估算與小數乘法 44 數量關係 45 整數四則 46 等值分數 47 數的十進結構 48 因數與倍數

(36)

49 分數的加減 50 分數的乘法 51 整數乘法與小數乘法 52 除法 53 比與比值 54 分數除法 55 小數除法 56 比率、百分率及成正比 57 以符號代表數 58 分數四則應用 59 等式與數量關係 60 速率

(37)

第二節減少交錯邊的製作

壹、重心法的實作

依據 Sugiyama(1981)提出的程序繪製的流程圖（見圖 3－3）：原階層圖固定i階層頂點圖 3－3 重心法流程圖依重心值排序固定j階層頂點計算j-1階層頂點重心依重心值排序計算交錯邊數是否最少是否 i=1,…n-1 j=n,…2

(38)

依據上述的流程圖，撰寫成 Mathlab 程式，其主程式法如圖 3－4。 function [n_cross]=iter_BC(A,layer) to=clock; [n_cross,cross_o]=main_BC(A,layer); o_cross=cross_o; stop_cond=cross_o - n_cross; % 原來的減去後來的交錯邊數 load('BC_map','n_perm','layer','BCmat') temp=[]; temp=[temp;n_perm];

while (stop_cond >0) % stop_cond 比 0 大就執行疊代 [n_cross,cross_o]=main_BC(BCmat,layer); stop_cond=cross_o - n_cross; % 原來的減去後來的交錯邊數 load('BC_map','n_perm','layer','BCmat') temp=[temp;n_perm]; temp_1=[]; [r,c]=size(temp); for i=1:1:c temp_1(i)=temp(1,temp(2,i)); end temp=temp_1; end p_mut=temp; iter_time=r; save('BC_map_2','p_mut','BCmat','iter_time','n_cross','o_cross') picture(A,layer,4) picture(A,layer,3) etime(clock,to) 圖 3－4 重心法程式

(39)

貳、IM 法的製作

佐佐木整&竹谷誠 (1998)提出能讓概念構圖的製作程序實現的機制，分別為選擇法則及放置法則。所謂選擇法則，是指針對已選擇出且放置好的頂點稱為概念子圖，蒐集與概念子圖有邊連接的頂點，這些頂點所成的集合稱為相鄰頂點集記為 S，分別計算 S 中每一元素在下列的加權值，並比較大小，當比較第一步驟中有兩個以上的頂點具有相同加權值，則比較第二步驟的加權值，同理在第二步驟依然有兩個以上的頂點具有相同的加權值，則比較第三步驟的加權值，依序比較直到第五步驟，如果在第五步驟仍然有兩個以上的頂點具有相同的加權值，則任意選擇一個頂點。（一）

( )

∑

[

{

(

) (

)

}

]

，其中 ≠ = + = n i j j ij i j j i i I v v I v v W v I , 1 , , j j j ij N n N W = − +1且代表與頂點在同一階層位於在主軸左方或右方的頂點總數，而代表頂點相距於主軸的頂點數＋1。如圖 3-5，位於主軸的左方，同時在與相同階層的頂點共有 4 個頂點，所以，而頂點相距於主軸有兩個頂點，因此 j N vj j n v_j j v v_j 4 = j N v_j n_j =2+1=3。

(40)

圖 3－5 IM 法的子圖源於佐佐木整&竹谷誠 (1998) （二）

( )

∑

{

(

) (

)

}

。 ≠ = + = n i j j i j j i i I V V IV V V I , 1 , , （三）在子圖中，計算在相鄰頂點的堆疊裡，每一頂點 V 對子圖中的頂點連接的頂點數。（四）相鄰頂點的堆疊中，每一頂點 V，在原先階層圖中的重要度值。 （五）相鄰頂點的堆疊中，每一頂點 V，在原先階層圖圖中的連接頂點數。 所謂放置法則，是指判斷在選擇法則中所挑選出來的頂點 v，應放置在主軸的左邊或右邊，因此選出來的頂點，分別先預放在主軸之左邊及右邊，並計算下列的加權值。若第一步驟左邊的加權值大於右邊的加權值，則頂點放置在左邊，若右邊的加權值大於左邊的加權值，則放置在右邊，如果左、右兩邊的加

(41)

方，但是若加權值一樣大時，則比較第三步驟的左右加權值，不同於第一和第二步驟，將頂點放置於加權值小的那一方，但是加權值一樣時，則比較第四步驟的加權值，將頂點放置加權值小的一方，但是此時加權值仍一樣，則任選一方放置。 （1）

( )

∑

[

{

(

) (

)

}

]

，其中 ≠ = + = ' , 1 * , , n i j j ij i j j i i I v v I v v W v I j j ij N n sign W* = 且 sign 代表頂點與，是否同側，當與同時都位於主軸的左方、或右方時 sign 取＋，反之當與 一個位於主軸的右方、一個位於主軸的左方時，sign 取－。 j v vi j v v_i v_j v_i 以圖 3－5 為例中，因為與同時都位於主軸的左方，所以 sign 取正號。 vj vi （2）

( )

∑

[

{

(

) (

)

}

]

。 ≠ = + = ' , 1 , , n i j j i j j i i IV V I V V sign V I （3）在子圖中以中心軸為基準，分別計算左、右兩側頂點與頂點 V 的連接邊數。 （4）在子圖中以不越過中心軸為基準，分別計算左、右兩側頂點 V 可到達的頂 點數。將上述的步驟利用 Matlab 撰寫成程式，其主程式碼如圖 3－6：

(42)

function []=im_fix(A,layer) % IM method 的主程式 % A 是一連接矩陣，大小為 |V|X|V|的方陣，且|V|為頂點總數 % layer 為已編號頂點所在的階層，大小為 |V|X1 的行向量 % main_temp:為主軸，儲存要放置在主軸的頂點 % right_temp:為儲存要放在主軸右邊的頂點 % left_temp:為儲存要放在主軸左邊的頂點 layers=max(floor_point,[],1); % layers 為階層數 [ie,r_A]=Ie(A);% 計算邊的重要度 [im_p]=IMpoint(ie,r_A);% 計算點的重要度 % max_point:最大重要度點 [in_v,max_point]=max(im_p(:,2),[],1); main_temp=zeros(layers,1); right_temp=[];left_temp=[]; main_temp(floor_point(max_point) )=max_point; REA=A; % REA is 剩餘的連接矩陣

[REA]=delpoint(REA,max_point); % first pick up node % order ofchoose，選擇點的次序

choose_order=[max_point]; % 紀錄已選擇出來的頂點 MA=zeros(size(A));

(43)

%反覆執行選擇法則與放置法則，直到所有頂點都選擇完畢及放置完畢 for iter=1:1:(size(A,1)-1) % choose_method:選擇法則，依據選擇法則選擇頂點 [choose_point]=choose_method(temp_adj,A,REA,MA,choose_order); % 將選擇的點加入 choose_order=[choose_order;choose_point]; % 紀錄 is nX1 matrix [r_choose,c_choose]=size(choose_order); for j=1:1:r_choose MA(choose_order(j),choose_point)=A(choose_order(j),choose_point); MA(choose_point,choose_order(j))=A(choose_point,choose_order(j)); end % 加入堆疊 [temp_adj]=collectset(A,temp_adj,choose_point); % 刪除點 [REA]=delpoint(REA,choose_point); % 依據放置法則，決定所選擇出來的頂點應放置的位置 [P]=position_method(choose_point,MA,A,REA,L); [main_temp,right_temp,left_temp]=place(choose_point,P,L); end % 繪製經 IM 法排序後的階層概念圖 picture(A,layer,1) 圖 3－6 IM 法的程式

(44)

參、GM 法的製作

Makinen (1990) 和 Gansner 等人 (1993) 在研究中建議可以將貪婪交換法則與其它的交換法則合併在一起執行，並且貪婪交換法則，是以鄰近頂點相互交換的機制，同時不會破壞 IM 法在製作階層概念圖的基本概念，以某些重要的概念置於中間，其與置於左、右兩側。當階層概念圖中的頂點藉由 IM 法整理過後，再經由貪婪交換法的頂點，將會是某個主要概念所延伸出來的樹狀結構，但卻不能在 IM 法的機制下，使得交錯邊數是最少，但是經由貪婪交換法則後，交錯邊數可以逼近極少值。貪婪交換法則程式如圖 3－7。

(45)

function [o_cross]=greedy(L,n_cross)

load('for_greedy','n_adj','permut'); A=n_adj; o_cross=n_cross; temp_change=permut; stop_condition=100; stop_1=0;

while stop_condition

for i_L=1:1:max(L,[],1) % L is layer [index]=select(L,i_L);

if index(end)~=index(1) % means that there is only one element for i=index(1) : 1 : index(end)-1

[change_cross,change_mat]=c_cross(A,i,i+1); if o_cross > change_cross A=change_mat; o_cross=change_cross; temp_per=permut; temp_per(i)=permut(i+1); temp_per(i+1)=permut(i); temp_change=[temp_change;temp_per]; permut=temp_per; stop_1=1; end end end end stop_condition=(stop_condition-1)*stop_1; stop_1=0; end save('gridy','temp_change') 圖 3-7 貪婪交換法程式

(46)

第四章研究結果

第一節模擬研究的結果

將隨機產生的模擬之連接矩陣 A，分別輸入重心法程式、IM 法程式以及 GM 法去執行，計算及比較經這三種方法後所得的交錯邊數、執行時間以及階層圖的繪製。表 4－1

模擬資料的交錯邊數

原階層圖重心法圖 IM 法圖 GM 法圖交錯邊數 48 19 12 5 表 4－2

模擬資料的執行時間

重心法 IM 法 GM 法執行時間 2.634 秒 2.463 秒 4.296 秒圖 4－1 是原階層圖、圖 4－2 是經重心法改善的階層圖、圖 4－3 是經 IM 法改善的階層圖、圖 4－4 是經 GM 法所得階層圖。

(47)

圖 4－1

模擬的

原階層圖圖 4－2

模擬的

重心法圖

(48)

第二節實證分析的結果

將國小數學科與數相關單元的階層概念圖，轉換成連接矩陣分別輸入於重 心法程式、IM 法程式以及 GM 法程式，計算所得的交錯邊數、及程式執行的時間和繪製成階層圖。表 4－3

數階層圖的交錯邊數

原階層圖重心法圖 IM 法圖 GM 法圖交錯邊數 338 139 123 107 表 4－4

數階層圖的執行時間

重心法 IM 法 GM 法執行時間 5.979 秒 14.701 秒 155.644 秒圖 4－5 是原階層圖、圖 4－6 是經重心法改善的階層圖、圖 4－7 是經 IM 法改善的階層圖、圖 4－8 是經 GM 法所得階層圖。將上述圖圖 4－5、圖 4－6、圖 4－7 以及圖 4－8 並列在一起，同時請十位在國小任教的老師，評選這些圖的優先次序，所得到的結果，這十位教師一致認同圖 4－8 優於圖 4－7 優於圖 4－6 優於圖 4－5。

(49)

圖 4－5 數課程的階層圖

(50)

(51)

第五章結論及建議

本研究的結論有：一、在減少交錯邊數的研究，模擬的階層資料說明，佐佐木整和竹谷誠所提出的 IM 法，如同重心法在減少交錯邊的作用，是一可行的方法，但是為要提升 IM 法在減少交錯邊的比率，將 IM 法結合貪婪交換法則的 GM 法，將增加執行所需的時間。雖然，模擬資料，及實證資料的結果，都說明 IM 法及 GM 法優於重心法，但是缺乏理論的基礎，及更多的模擬資料的比較，無法說 IM 法及 GM 法絕對優於重心法，不過 IM 法結合貪婪交換法的確能改善 IM 法在減少交錯邊不足的部分。二、在閱讀理解的部分之研究，階層化的概念圖，在有經過減少交錯邊的相關方法，會比沒經過在有經過減少交錯邊的相關方法的階層概念圖，更容易閱讀追蹤相關知識。三、在閱讀理解的實證分析研究，IM 法在排列階層頂點的方式地確優於重心法，與佐佐木整和竹谷誠所做的研究的結果一致。四、在閱讀理解的實證分析研究，GM 法，更能突顯，概念圖是具備多個主要概念為主軸，所延伸出的樹狀結構。本研究的建議：一、針對模擬資料的部分，可以更進一步地控制每一階層的頂點數的數目，符

(52)

合隨機的特性，同時階層和階層間的連邊之機制，可以更隨機，組合不同的隨機分佈，讓連接矩陣更符合實際的階層概念圖。二、針對減少交錯邊數的效益，可以更進一步地比較，什麼方式的減少交錯邊的機制，最適合階層構圖？三、針對於實證性的研究，建議可以應用更多領域的階層概念圖，如社會科、自然科或者能力指標等等的階層概念圖之繪製。

(53)

參考文獻

中文部分

陳俊宏、廖寶貴、胡豐榮、許天維（民 94）。正規階層圖在 IM 法下的研究。

測

驗統計年刊

（接受）楊維楨，郭乃文 (民 90)。一種增進何氏圖可讀性的方法。

淡江人文社會學刊

， 9，81－110。陳俊宏、胡豐榮、許天維（民 93）。IM 法及其在教育上之應用。

測驗統計簡

訊

, 60, 21－32 卓樹樣、胡豐榮、許天維（民 93）。在 LFT 計分下之評量理論。

測驗統計簡訊

, 60, 1－20 余民寧（民 86）。

有意義的學習：概念構圖之研究

。台北市：商鼎文化。林福來（民 81）。

離散數學初步。

台北市：九章出版社。

日文部分

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英文部分

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應用GM法於階層概念圖

國立台中教育大學教育測驗統計研究所理學碩士論文

指導教授：胡豐榮 博士

應用 GM 法於階層概念圖

研究生：陳俊宏 撰

謝 辭

應用 GM 法於階層概念圖

中文摘要

Application of the GM method to the

hierarchical concept map.

Abstract

目 錄

第一章 序論………..…..1

第一節 研究動機………1

第二節 研究目的及限制………2

第三節 名詞解釋………3

第二章 文獻探討………..13

第一節 減少交錯邊………..13

第二節 重心法………..14

第三節 IM 法………16

第四節 貪婪交換法………..18

第三章 研究方法………..19

第一節 資料的產生………..19

第二節 減少交錯邊數的製作………..26

壹、重心法的製作………..26

貳、IM 法的製作………28

參、GM 法的製作………...33

第四章 研究結果………..35

第一節 模擬研究的結果………..35

第二節 實證分析的結果………..37

第五章 結論及建議………..40

參考文獻

中文文獻………42

日文文獻………....42

英文文獻………43

表目錄

圖目錄

第一章 序論

第一節 研究動機

第二節 研究目的及限制

第三節 名詞定義

一、 有向圖(directed graph)

(

)

(

) (

)

二、 連接矩陣(adjacency matrix)

{

}

(

)

(

)

三、 步道(walk)

四、 路徑(path)

五、 環路(cycle)

{

}

六、 可到達頂點及先前頂點

七、可到達頂點集及先前頂點集(reachability set and antecedent set)

八、可到達矩陣(reachability matrix)

{

}

九、 循環圖（cyclic graph）

十、 階層圖（hierarchical digraph）

U

(

)

十一、正規階層圖（proper hierarchical digraph）

(

)

(

)

十二、階層連接矩陣

十三、交錯邊數(number of crossing edges)

∑ ∑ ∑ ∑

十四、重心值(barycenter)

∑

∑

指導教授：胡豐榮博士

研究生：陳俊宏撰

謝辭

目錄

第一章序論………..…..1

第一節研究動機………1

第二節研究目的及限制………2

第三節名詞解釋………3

第二章文獻探討………..13

第一節減少交錯邊………..13

第二節重心法………..14

第四節貪婪交換法………..18

第三章研究方法………..19

第一節資料的產生………..19

第二節減少交錯邊數的製作………..26

第四章研究結果………..35

第一節模擬研究的結果………..35

第二節實證分析的結果………..37

第五章結論及建議………..40

第一章序論

第一節研究動機

第二節研究目的及限制

第三節名詞定義

一、有向圖(directed graph)

二、連接矩陣(adjacency matrix)

三、步道(walk)

四、路徑(path)

五、環路(cycle)

六、可到達頂點及先前頂點

九、循環圖（cyclic graph）

十、階層圖（hierarchical digraph）

_U

_∑

第二章文獻探討

第一節減少交錯邊

第二節重心法

第四節貪婪交換法

第三章研究方法

第一節資料的產生

第二節減少交錯邊的製作

第四章研究結果