第一節
高中數學教科書啟蒙例 一、二冊(99 課綱)整理精選
第一冊第一章
1-1、 數與式(章節啟蒙例)，1-1-1、有理數(引入概念啟蒙例) 1-1-2、無理數(引入概念啟蒙例)，1-2、數線上的幾何(章節啟蒙例) 第一冊第二章
2-1-1、函數的概念(引入概念啟蒙例)
2-4、多項式函數的圖形與多項式不等式(章節啟蒙例) 第一冊第三章
3-1、指數 (章節啟蒙例) 3-3，對數 (章節啟蒙例)
3-4、對數函數 (章節啟蒙例) ，3-5-1、對數表(引入概念啟蒙例) 、 3-5-2、等比數列 (引入概念啟蒙例)
第二冊第一章
1-1、 數列與數學歸納法(章節啟蒙例)，1-2、級數(章節啟蒙例) 第二冊第二章
2-2、排列(章節啟蒙例) ，2-3、組合(章節啟蒙例) 第二冊第三章
3-2-1、古典機率 (引入概念啟蒙例) 3-3、條件機率與貝式定理 (章節啟蒙例) 第二冊第四章
4-2、二維數據分析(章節啟蒙例)
資料版本:龍騰(102)、翰林(102)、南一(102)、修改或自編
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第一冊第一章、1-1、數與式(章節啟蒙例) 龍騰版:
從小到大﹐我們學過很多種數：最 早認識的是計物數 1﹐2﹐3﹐…等
（稱為自然數或正整數）﹐其後加入 了零與負整數﹐自然數因而擴充成 整數﹒另外﹐在分配﹑比率與度量 中會使用分數或小數﹐而國中時藉
由畢氏定理的討論﹐引進了如 2﹑3 5等根號數﹒這一節裡﹐我們 要來回顧這個數字王國﹒
第一冊第一章、1-1-1、有理數(引入概念啟蒙例) 整理修改或自編版:
生活中為了統計數量的平均，
或為了公平在事物上的均分會使用到的「值」。 例如:
一顆大西瓜分給三個孩子吃，
為了平均分給孩子，
每人要吃這一顆西瓜裡的三等份其中一份，
我們稱每人吃1
3份。
這種有整數比例的數，寫成比值我們稱為「有理數」。
有理數在希臘文中稱為 λογος，原意是「成比例的數」。
▲圖 1
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第一冊第一章、1-1-2、無理數(引入概念啟蒙例) 南一版:
數線上每一個“點”都恰好對應一個“數”，這個“數”必然是“有理數或無 理數”，即整條數線都被“有理數”與“無理數”填滿。數線上對應無理數 的點稱為無理點。
除了 2 是無理數外，還有哪些“數”是無理數呢？一般而言：
自然數 n 中不是“完全平方數”者，它的平方根 n 都是無理數。
例如：540＝22．33．51 ( 540 的標準分解式 )，其中 540 含“質因數 3”是 奇數個 ( 含“質因數 5”也是奇數個 )，那麼， 540 就是無理數。
第一冊第一章、1-2、數線上的幾何(章節啟蒙例) 整理修改或自編版:
直尺上往右刻度越大，往左刻度越小。
數線上每一點P也對應到一個實數
x
﹒有了數線之後﹐可以藉由數線更 了解實數的性質﹒例如﹐把數線上的點往右移 1 單位﹐它的坐標會多 1﹐往左移則坐標會變小﹒除此之外﹐數線上的點還有哪些幾何特性 呢？37
第一冊第二章、2-1-1、函數的概念(引入概念啟蒙例) 整理修改或自編版:
小明想用 12 公尺長的圍籬 圍出一矩形區域飼養兔子﹒
設矩形的一邊長為 x 公尺﹐
區域的面積為 y 平方公尺﹐則 y 與 x 的關係﹐
可以用數學式 y=x(6-x)表示﹐
亦即 y=-𝑥2+ 6𝑥（ 0 x 6）﹒由上式作 x 與 y 兩變數的對應表﹐
如下：
顯然﹐當 x 的值給定時﹐
都有一個且只有一個對應的 y 值﹐像這種對應關係就是函數的概念﹒
通常對應的 y 值都使用 f（x）為符號方便看出對應關係，而自從西元 1734 年﹐瑞士數學家尤拉（Leonhard Euler﹐1707～1783）首先採用 f
（x）做為函數的符號後﹐函數就成為數學及相關科學發展的重要工具 之一。
x
1 2 3 4 5y 5 8 9 8 5
▲圖 1
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第一冊第二章、2-4、多項式函數的圖形與多項式不等式(章節啟蒙例) 龍騰版:
身體質量指數值（BMI）是一種廣 被認定為肥胖的標準﹐公式是 BMI
2
kg
體重（ ）m 身高的平方（ ）﹒
成年人 BMI 值的正常數值應介於 18.5 到 24.9 之間﹐小於 18.5 則過輕﹐大於 24.9 則過重﹒根據公式﹐身高 170 公分
的成年人的正常體重﹐須維持在 53.465 公斤到 71.961 公斤之間﹒這是 一個與多項式不等式相關的問題﹐而多項式不等式是本節探討的主題之 一﹒
第一冊第三章、3-1、指數 (章節啟蒙例) 整理修改或自編版:
自然界中許多單細胞生物﹐是靠細胞 分裂來繁殖的﹒以草履蟲為例﹐在合適的 環境下﹐平均每 6 小時就可以分裂一次﹒
也就是說﹐一個草履蟲經過一天的時間﹐
可以分裂 4 次而繁殖成2 2 2 2 個﹐我們
以24表示 2 自乘 4 次﹐這就是指數的表示方法﹒學習指數可以幫助我 們了解到其應用與生活息息相關﹐指數函數 ax 常用於描述人口成長﹑
細胞分裂﹑複利與放射性元素的衰變﹐其共同特點是變化量為現有量的 常數倍。
▲圖 1
▲圖 1
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第一冊第三章、3-3、對數 (章節啟蒙例) 整理修改或自編版:
十六世紀，歐洲正處於文藝復興時期，科學技術日新月異，雖然天文、
測繪、航海事業如雨後春筍，蓬勃發展，但同時帶來大量令人頭疼、繁 雜的計算問題，面對這種趨勢，不少數學家在考慮：能否將“乘除運算”
轉化成“加減運算”，以減輕計算上的負擔。十六世紀末，納皮爾 ( John Napier，1550 ～ 1617，蘇格蘭 ) 發明了對數！這種“以簡御繁”的計算 思想乃蘊育而生。在天文學上，對數的發展對於龐大數字的計算有很大 的幫助。
第一冊第三章、3-4、對數函數 (章節啟蒙例) 龍騰版:
在 前 一 節 裡 ﹐ 我 們 知 道 ： 當
0
a ﹐a1﹐且x0時﹐
log
ax
與x
的 對應關係構成對數函數y log
ax
﹐日 常生活中常應用對數函數﹐如圖 1 是 一個對數函數圖形﹐描述星星亮度的 視星等﹒本節中將仿照討論指數函數圖
形的方法﹐描繪並了解對數函數圖形﹐以及探討指數函數和對數函數兩 圖形之間的關係﹒
▲圖 1
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第一冊第三章、3-5-2、等比數列 (引入概念啟蒙例) 南一版:
國際象棋源於古印度，棋盤上有 8 行 8 列共有 64 個方格 ( 如圖 3-28 )。有一則這樣的故事：
舍罕王要獎賞國際象棋發明人 ── 宰相達依爾。
有一天，國王召來達依爾，詢問他 的需求。達依爾跪在國王面前說：
「陛下，請您在棋盤的第 1 個方格 放上 1 顆麥粒，第 2 個方格放上 2 顆麥粒，第 3 個方格放上 4 顆麥粒
…，依此類推，即每個方格放進的
“麥粒數”，都是前一個方格放進“麥粒數的 2 倍”，直到 64 個方格放 完。陛下，把 64 個方格上全部的麥粒都賞我吧！」
國王一聽，覺得達依爾的需求很容易辦到，便欣然同意。
讓我們列表幫達依爾數一數他的賞物 ──“麥粒”到底有多少：
方格序號 1 2 3 4 … 64 麥粒數 1 21 22 23 … 263
圖 3-28
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第二冊第一章、1-1、數列與級數(章節啟蒙例) 龍騰版:
伸出你的左手﹐從大拇指開始﹐如圖 1 所示那樣數數字﹐我們發現﹐
數在大拇指上的數字依序為 1﹐9﹐…﹒想想看﹐這一系列的數字有何 規律呢？又當你數到 999 時﹐所指的是哪根手指頭呢？
本節中﹐我們將認識更多有規律的數列﹐並試著找出這些數列的規律﹒
第二冊第一章、1-2、級數(章節啟蒙例) 龍騰版:
慶功宴上用高腳杯排成如圖 1 的形狀﹐
其最底層為每邊有 4 杯的正三角形﹐每往上 一層﹐正三角形每邊的杯數少 1 杯﹐以此類 推﹐共堆高 4 層﹐最上層恰為 1 杯﹒想想 看！如果慶功宴仿上述方式排成 10 層的高腳 杯﹐那麼需要多少個高腳杯呢？計算所需要 杯數的問題﹐就是本節要討論的重點：級 數﹒
▲圖 1
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3 4
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第二冊第二章、2-2、排列(章節啟蒙例) 整理修改或自編版:
自動販賣機有 3 種飲料可供選擇﹐小 明等三人運動完後各購買一罐不同的飲 料﹐共會有多少種選購的方法呢？
假設場景換成是三種不同的飲料吧檯隨意 給小明等三人去飲用，每人各自去吧檯前 領取，像不像是三個人在做排列的動作呢?
如果推廣到 6 種飲料讓三人各自購買，又有幾種方法呢?
像這些都是數學裡的排列問題﹐也是日常生活中經常碰到的情境﹒
我們將透過前一節所學的內容得出它們的答案﹐
並有系統的導出一般的公式。
第二冊第二章、2-3、組合(章節啟蒙例) 整理修改或自編版:
夏天來臨，多補充水分比較不會中暑，
自動販賣機平常有 6 種飲料可供選擇購買﹐
販賣機飲料供應商，想把這六種飲料挑出三種飲料使它下架，都換成一 樣的礦泉水，會有幾種可能呢?
就是我們這個章節所要探討的 組合問題。
哪三個換成礦泉水呢?
六種飲料上的指示燈，是哪三個飲料會變成礦泉水，有幾種可能?
▲圖 1
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第二冊第三章、3-2-1、古典機率(引入概念啟蒙例) 翰林版:
在文藝復興接近尾聲的十七世紀上半﹐人們對一些人力所無法控制的隨 機現象產生興趣﹐特別是賭博背後的理論。於是有一群義大利的賭徒找 上當時數學家伽利略（Galileo Galilei﹐1564～1642﹐義大利天文與 物理學家）﹐詢問一些擲骰子的相關問題﹐伽利略於百忙之中﹐不只回 答了所提的問題﹐也把機會遊戲的理論加以整理並出版。
幾年後﹐同樣的歷史在法國重演﹐此時的賭徒不只會賭博﹐也是業 餘的數學家﹐他們尋求當代有名數學家巴斯卡的幫助。也因此使巴斯卡 與另一數學家費馬（Pierre de Fermat﹐1601～1665﹐法國）開始書信 往來﹐這不只把賭徒問題徹底解決且建立了許多機會遊戲方面問題的解 決方案﹐這被公認為是機率理論的誕生時刻。
第二冊第三章、3-3、條件機率與貝式定理(章節啟蒙例) 龍騰版:
在一社團中男女生各半﹐從中任意抽出一 人﹐在不知道任何訊息時﹐會抽中男生的機率 是 1
2 ；但是若知道抽中的人身高超過 170 公 分﹐你覺得此人是男生的機率還是 1
2 嗎？像
這種探討兩事件發生的機率﹐是日常生活中經常碰到的情境﹐也是本節 所要探討的重點﹒
▲圖 1
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第二冊第四章、4-2、二維數據分析(章節啟蒙例) 龍騰版:
日常生活中﹐我們常常將兩個變數相 提並論﹐比如：每天睡眠時數與肥胖 程度﹐國民所得與壽命﹐每週吸菸量 與罹患肺癌的機率﹐所攝取的咖啡因 量與罹患骨質疏鬆症的年齡等等﹒這
裡我們要討論兩個變數之間是否有關聯﹐其關聯程度是多少﹐以及預測 可能發生的結果﹐所討論的兩個變數稱為二維數據﹒「散布圖」﹐「相關 係數」與「迴歸直線」是本節學習的重點﹒
▲圖 1
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第二節
高中數學教科書啟蒙例 一、二冊(99 課綱)總整理
第一冊第一章
1-1、 數與式(章節啟蒙例) 1-1-1、有理數(引入概念啟蒙例) 1-1-2、無理數(引入概念啟蒙例) 1-1-3、實數(引入概念啟蒙例).
1-2、 數線上的幾何(章節啟蒙例)
第一冊第二章
2-1-1、函數的概念(引入概念啟蒙例) 2-2、多項式方程式(章節啟蒙例)
2-2-1、整係數一次因式檢驗法(引入概念啟蒙例) 2-3、多項式方程式(章節啟蒙例)
2-4、多項式函數的圖形與多項式不等式(章節啟蒙例)
第一冊第三章
3-1、指數 (章節啟蒙例)
3-1-1、實數指數 (引入概念啟蒙例) 3-2、指數函數 (章節啟蒙例)
3-3、對數 (章節啟蒙例) 3-4、對數函數 (章節啟蒙例)
3-5、指數與對數的應用(章節啟蒙例) 3-5-1、對數表(引入概念啟蒙例)
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3-5-2、等比數列 (引入概念啟蒙例)
第二冊第一章
1-2、 數列與數學歸納法(章節啟蒙例) 1-1-1、數學歸納法(引入概念啟蒙例) 1-2、級數(章節啟蒙例)
第二冊第二章
2-1、邏輯與計數原理(章節啟蒙例) 2-2、排列(章節啟蒙例)
2-3、組合(章節啟蒙例)
2-4、二項式定理 (章節啟蒙例)
第二冊第三章
3-1、樣本空間與事件 (章節啟蒙例) 3-2、機率的性質 (章節啟蒙例) 3-2-1、古典機率 (引入概念啟蒙例) 3-3、條件機率與貝式定理 (章節啟蒙例)
第二冊第四章
4-1、一維數據分析 (章節啟蒙例) 4-2、二維數據分析(章節啟蒙例)
資料版本:龍騰(102)、翰林(102)、南一(102)、修改或自編
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如阿拉伯數字 1﹐2﹐3﹐4﹐5﹐6﹐…﹐100﹐101﹐102﹐…﹐一個接續 一個無止盡地延伸下去﹐這些數字常作為日常生活中的計數工具﹐例如 描述草原上有 8 匹馬﹐5 頭牛和 20 隻羊。
南一版(有理數-引入概念啟蒙例):
平常，我們用的整數與小數都是“十進位數”( 逢 10 進 1 位的數 )
平常，我們用的整數與小數都是“十進位數”( 逢 10 進 1 位的數 )