高中數學教科書啟蒙例探究:以99課綱(一)、(二)冊為例
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(2) 摘 要 有鑑於教師數學概念的多元教學蓬勃發展,學生多樣化學習數學也是 目前的趨勢。教師教導學生數學如果只是背公式寫題目,學生在學習上 也容易失去學習興趣,或者無法理解數學深層概念,甚至逐漸放棄數 學。本研究以高中數學教科書為主軸,主旨在探究高中數學教科書裡的 啟蒙例,並加以整理與修改研發。 為了讓高中生能獨自翻閱數學教科書預習數學,以及幫助教師在教學 上能有完備的啟蒙例引起學生學習數學的動機,本研究以高中數學教科 書(99 課綱)一、二冊為核心,整理龍騰、翰林,南一、將這三個版本教 科書中的數學概念引入前、或是數學章節開始前的啟蒙例整理歸納,並 將有數學概念與啟蒙理念融合的啟蒙例精選出來;也將部分啟蒙例修改加 以編輯,融入圖形解說、數學概念、數學史…等等。讓教師在教學上在 引入數學概念時,能夠藉由教科書上的啟蒙例有承先啟後的引入作用; 讓學生在學習上,因為教科書上的啟蒙例增加學習動機與容易理解學習 此概念的目的與精髓。讓數學教科書啟蒙例能成為教師教學上的輔具, 學生預習或複習時的好助手。 關鍵詞:高中數學教科書、啟蒙例、章節啟蒙例、引入概念啟蒙例.
(3) 目錄 摘要..........................................................................................................................I 目錄..........................................................................................................................II. 第一章 緒論.......................................................................................................1~4 第一節 研究背景與動機...................................................................................1 第二節 研究目的................................................................................................2 第三節 研究核心與名詞釋義...........................................................................3 第二章 文獻探討..............................................................................................5~9 第一節 高中教科書沿革....................................................................................5 第二節 高中教科書於教與學的地位..............................................................6 第三節 數學概念啟蒙例研究...........................................................................7 第四節 結論.........................................................................................................8 第三章 研究方法............................................................................................9~33 第一節 研究對象................................................................................................9 第二節 研究流程..............................................................................................10 第三節 資料分析..............................................................................................12 第四章 研究結果..........................................................................................34~85 第一節 高中數學教科書啟蒙例一、二冊(99 課綱)整理精選.................34 第二節 高中數學教科書啟蒙例一、二冊(99 課綱)總整理.....................46 第三節 結論與展望..........................................................................................89 參考文獻..........................................................................................................90~91.
(4) 第一章 緒論 本研究依據高中數學學科中心 99 年實施的「高中數學課程綱要」的 課程內容,在歸納整理民間三個版本教科書啟蒙例,或其加以修編與自 編輯。在本章節分三節個別敘述,研究背景與動機、研究目的、研究核 心與名詞釋義。. 第一節 研究背景與動機. 從就學時期閱讀數學教科書時,往往會被教科書中的補充教材所吸 引,補充教材內容會涉及數學概念發展或者數學家的故事。當自己在看 數學教科書做預習或者複習,每個章節或數學概念閱讀教科書第一個舉 例往往能概略理解其概念想指引的方向,甚至因為其數學故事而更想學 習此數學概念引起學期動機。 當研究者開始從事教學者以後,逐漸理解數學教學是抽象化的概念轉 變為具體化的教學行為的歷程,在傳達新概念知識時,啟蒙的過程尤其 重要,影響到學生的學習動機與概念吸收的與否,在啟蒙的過程想傳達 給學生的數學希望是:發現數學的過程可令人感到驚奇、相關、存疑 美”(Raymond, 1997, p.557)。 研究者在教學的歷程上不斷思考如何啟蒙學生的經驗,與串接起就學 時學習數學閱讀數學教科書的記憶後,研究者想整理與修改編輯啟蒙 例,讓有融合啟蒙特性、教科書章節故事與數學概念的啟蒙例能被看 見,而其他不足的啟蒙例修改進而能成為完善的啟蒙例。 1.
(5) 第二節 研究目的. 基於上述的研究動機與背景,讓研究者去思考學生自主翻閱教科書學 習數學時,教科書的內容要如何啟發學生? Simon(1994)提出情境探索 (Situation Exploration)和概念辨識(Concept Identification)兩階 段的學習循環。在一個學習循環期中,學生須對數學情境做探索,並進 而對所抽離出的概念做辨識。然後,這個新的數學想法會在往後不同的 脈絡中再次被自然地喚起,如此又發動學習循環的另一個來回反覆的過 程。因此,這個架構的循環觀點強調,新的學習「總是」環繞著先前知 識的應用而拓展(引自許秀聰 2007)。所以能成功引起學生自主去探索的 教科書內容,必須先有啟發作用或能承先啟後的數學情境讓學生融入其 中,進而去探索接下來的數學知識。 本研究目的就是希望能整理或改編創造數學教科書中章節或概念引入 前的數學情境,研究者定義為:「章節啟蒙例」 、 「引入概念啟蒙例」 ,在 下一小節會加以解釋說明。 研究者縱向高中數學一、二冊教科書,橫向民間三個版本龍騰、翰 林、南一的方向去進而整理其「章節啟蒙例」、 「引入概念啟蒙例」,部分 加以修改或自編。研究者與指導教授從整理出來的「章節啟蒙例」 、 「引 入概念啟蒙例」中挑選較為完備的啟蒙例,再由數學教科書的啟蒙例定 義去檢視更完備的啟蒙例,冀望能對以後教科書的編輯更有幫助,也可 以提供給教師在教導數學時能作為參考,引入數學概念時能夠使用啟蒙 例的情境。也願此研究結果能讓學生在自行預習數學教科書時能因為教 科書中的「章節啟蒙例」、「引入概念啟蒙例」進而理解此概念往後發展 與延伸而增加學習數學的動機,或是更能了解其概念精隨。 2.
(6) 第三節 研究核心與名詞釋義. 啟蒙例在教與學是不可或缺的重要角色,但啟蒙例本身是非常廣義又 直觀的名詞,具有啟蒙意義的且能幫助學習的例子都能稱為啟蒙例。 學習數學是一種歷程,從認識概念到熟悉概念的過程中,可能出現不 只一個啟蒙例幫助學習,另一個方面來看,教師教導數學也是同樣道 理,從引起學生學習動機到教懂學生此概念,教師可能也不只使用同一 個啟蒙例。 本研究所探究的啟蒙例為高中數學教科書(99 課綱一、二冊)中,每 個章節或引入概念前的啟蒙例。 本研究分類為: 一、 章節啟蒙例: 章節開始前敘述章節由來、應用發展與重點提及的啟蒙例。 二、 引入概念啟蒙例: 數學概念引入前敘述概念背景與概念重點提及的啟蒙例。 這兩種啟蒙例與一般定義的數學啟蒙例較為不同,教科書啟蒙例較著 重於引入而不是數學實作例,呈現的形式也許是個故事,歷史,意示圖 案..等等。 一般的啟蒙例優劣與否的定義要以鄭英豪教授(2000)提出其特性分別樂 學性、易學性、代表性,發展性,四種特性去檢驗,詳盡的意涵會在第 二章文獻探討裡探究。. 3.
(7) 本研究在檢視完備與否的教科書「章節啟蒙例」 、 「引入概念啟蒙例」 的界定是由鄭英豪教授(2000)提出的四種特性再細分與延伸出來的,為 數學教科書中特有的性質。 研究者所定義完備的教科書章節啟蒙例與引入概念啟蒙例應具有下列 特點: 一、 故事性: 在介紹數學章節前可能提及具代表性的數學史,或者發明此概念的 數學家生平事蹟。抑或是此鎔鑄數學概念的情境故事,故事的引入 會增加樂學性。 二、 應用需求性: 引入數學概念時初步了解學習此概念未來能解決什麼需求具有發展 性,甚至學習此概念以後將會有的應用。知道需求或者發展再去學 習更能引起學生的學習動機,教師在教學上也更有理由向學生說明 為什麼要學好此概念。 三、 附輔助意示圖: 要創造好的數學情境讓學生能自主的探索,需要附上輔助的意示 圖,可以幫助學生由趣味的圖案更容易進入此情境,增加其樂學性 。也可以藉由圖示輕易地幫助學生的概理解即將學習的數學章節與 概念,故也具有增加易學性的作用。. 4.
(8) 第二章 文獻探討 在教育的道路上,教科書無論在教與學、老師與學生之間,教科書都 佔有舉足輕重的地位。一個好的教科書啟蒙例,可以幫助學生啟蒙概 念,亦也可以幫助教師教學。教學與學習中必定伴隨著使用教科書,那 教科書中的啟蒙例就格外的重要了。本章針對高中數學教科書與啟蒙例 分節探討之。. 第一節 高中教科書沿革 在我國,因各級學校教育均有教育部頒訂的課程標準,故教科書係指 依照課程標準編定的教學用書,包括課本、學生習作與教學指引(教師 手冊)(詹正信 2000 年)。而因應民間教育改革對本土化及自由化的要 求,民國 78 年後,政府開始推行教科書鬆綁的政策。 依據教育部中等 教育司「高級中學課程標準修訂經過」(教育部 2003),自民國 18 年 教育部首次公布「中學課程暫行標準」開始,其後經過共十一次的修 訂,84 年所修訂之「高級中學課程標準」,已於 88 學年度以後逐年實 施。此波課程改革,我國高中教科書正式由「統編制」改為「審訂 制」,由民間出版社編撰,經教育部委託國立編譯館審訂通過後,由教 育部發給執照,高中各校始得選用。高中教科書開放後,使教科書的編 輯與選用權力移轉,由官方統一編印教科書的機制完全轉移到民間製作 教科書,以及由學校教師負責遴選教科書制度的變革,使得民間出版商 投資大量資本,研發教科書 (引自高勳芳 2005)。近年來高中數學課綱從 5.
(9) 84 課程標準、95 暫綱、到至今的 99 課綱,緊接著教育正在擬定 107 課 綱。教科書隨課綱更新而多樣化,民間主要高中數學教科書版本有:龍 騰、翰林、南一..等等。各版本因應教育改革潮流,編輯方向也擺脫過去 部編版本單一的陳述定理與公式,內容皆有創新求變之趨勢。. 第二節 高中數學教科書於教與學的定位 Stodolsky 在 1988 年的研究顯示高達百分之七十五的教室活動與教 科書有關,而學校傳遞正式課程內容的主要工具仍是教科書(引自李宗 薇,1998)。教科書是學校教育、課程與教學的核心,教師上課時大都 使用教科書中的數學問題(Grouws, Smith, & Sztajn, 2004),「教科書是教 材的權威,是教學方案的心臟,沒有教科書就沒有學校;應該教什麼, 要如何教,幾乎完全決定於教科書。」(Chambliss & Calfee, 1999;引自 歐用生 2002)),教科書是教師教學的助手,也是學生學習上的幫手。 教師在數學教學時對教科書有依賴的傾向(Stein, Remillard & Smith, 2007; 引自徐偉民,2013)。在教師使用教科書教學的過程中,教科書的 內容與老師的教學是息息相關的,題目編排與例題的劣優,關係著教師 教學與學生學習成效。數學教科書內容含括著數學概念、數學定義、與 例題….等等。 Remillard (2005)的研究把數學教科書分為兩個架構: 一、主觀的計畫 -課程編寫的哲學與目的 二、客觀的結構 -數學概念的呈現方式 -數學問題的呈現方式 6.
(10) -使用的材料物件和呈現方式 -編排的結構 -呈現的外觀和聲音(voice) 本研究主要針對於 Remillard (2005)提的教科書架構裡:客觀的結構中數 學概念的呈現方式以「章節啟蒙例」、 「引入概念啟蒙例」探討。. 第三節 數學概念啟蒙例研究 Sullivan(1999)認為教學是涉及學生認知歷程、引起學生動機、安 排教學活動、塑造班級規約的一種複雜活動,教師的教學活動是要在 其特定的教學脈絡下,察覺教學問題與可能的解決方法,並有能力做 成教學決策。在數學教學過程中,老師在引入新的數學概念時,通常 有兩種脈絡:「rule-examples」和「examples-rule」。 「rule-examples」的意思是說老師先講解新數學概念的規則或定理,然 用利用一些例子讓學生了解所要學的規則或定理。 「examples-rule」的意思是說老師首先利用一些生活實例或概念應用的 例子,讓學生感受到其中隱含著某些規則與定理,之後再正式介紹此 數學概念。Worthen(1968)的研究指出「examples-rule」取向的教學較 能讓學生保留所學的概念。在「examples-rule」取向中,第一次引入的 例子,我們稱它為啟蒙例。Tall(1986)也說過教學時候總有先後考量, 這時候選一個最具代表性的例子作為概念啟蒙,我們稱它為概念的啟蒙 例(generic example)。啟蒙例的好壞會影響學生概念的發展,好的啟蒙 例能讓學生對所學的概念很好感覺,同時當他碰到無法了解的情境時, 能回憶此啟蒙例(引自李源順 2002)。. 7.
(11) 鄭英豪教授(2000)定義一個好的啟蒙例至少有下列四種屬性: 一、代表性: 啟蒙例的情境要能真正代表欲學的數學概念,這樣才能建立一個正 確的概念心物,降低日後產生概念錯誤的機會。在這樣的考慮下, 啟蒙例絕不僅只是個以具體情境包裝概念的產物,而是一個藉由數 學化過程能形成該數學概念的情境,如此才能讓學生真正感覺到此 概念的內涵。 二、發展性: Pierre & Kieren(1989, 1991)認為學習並非直線前進,而是來來回 回的學習。好的啟蒙例讓學生在學習的過程中並且困難,能回憶這 個例子,做為前進的參照,進而找到調整與發展概念的基礎。 三、樂學性: 一個好的啟蒙例必須要能引起學習興趣,讓學生願意參與學習活動, 這個時候啟蒙例必須讓學生覺得好玩,想要去探究,這樣的屬性稱 為樂學性。 四、易學性: 建構主義強調學生的學習要從他既有的知識基礎出發。好的啟蒙例 能銜接學生的認知,使學生很快的進入狀況,進行學習活動。. 第四節結論 本研究所探討的數學教科書啟蒙例是指數學教科書中,學生學習 新的數學章節時,在尚未進入主軸概念前,所展示的章節概念應用實 例、或伴隨著數學史敘述概念由來。例子的內容是從鄭英豪教授(2000) 所定義的好的啟蒙例四種屬性「代表性」、 「發展性」 、 「易學性」 、 「樂學 性」 ,再細分與延伸出來完善的數學教科書「章節啟蒙例」 、 「引入概念啟 蒙例」應至少具備三大特點:故事性、應用需求性、附輔助意示圖。 8.
(12) 第三章 研究方法 本研究採用「內容分析法(content analysis)」。此一方法係對文件 內容作出有效推論的一組程序(Robert P. Weber, 1985,林義男主譯, 1989),以內容分析法去檢視龍騰、翰林、南一,三個版本一、二冊的數 學教科書啟蒙例,研究者先與指導教授直觀初步篩選出部分較為完備的 章節啟蒙例、引入概念啟蒙例,在個別以表格方式分析是具備其性質, 最後在檢驗其效度,進而達到研究目的。. 第一節 研究對象 本研究為數學領域教科書教材的內容分析,根據教育部 99 學年度實 施的普通高中課程綱要編排而成的教科書,研究採用教育部合格審定的 民間教科書出版社,研究三個版本為高中教科書採用市占率較高的版 本,分別為:龍騰(101)、翰林(101),南一(101),範圍為高中數學一、 二冊。 因三個版本教科書包含文字與圖形,故本研究主要以電子教科書中課 本 word 檔中收集研究材料,修改部分會從三個版本中各取優點部分加以 合併,研究者自己編輯的以第一章第三小節的三大性質為方向編輯。最 後去檢驗的「章節啟蒙例」、「引入概念啟蒙例」包含三個版本選出的, 也有研究自己修改或編輯的。. 9.
(13) 第二節 研究流程 內容分析的方法可分為四方面,依序分別為:一、抽樣;二、類目; 三、分析單元以及四、信度及效度之分析。本節敘述抽樣、類目,教科 書啟蒙與修改自編後的啟蒙例完備與否與效度分析在本章締結資料分析 會詳細描述。. 抽樣. 類目. 分析教科書啟蒙例性質. 效度分析. 一、抽樣 一般抽樣採取隨機抽樣,由於版本不同每個章節不一定有編譯章節啟 蒙例、引入概念啟蒙例,故三個版本中只要有編譯啟蒙例的章節與概念 就是本研究的研究對象,在本論文第四章第二節會以表格方式整理及呈 現各版本(一、二冊)全部的啟蒙例,研究者與指導教授經過反覆討論, 在每一種各版本(一、二冊)的啟蒙例中篩選出一個啟蒙例,或者加以修 改與自編輯新的啟蒙例,先假定為較為完備的概念啟蒙例與引入概念啟 蒙例,整理後放在本論文第四章第一節,也是此章節檢驗的研究樣本。. 二、類目 一般而言,類目可分為說什麼(What is said)和如何說(How it is said): (一) 說什麼(What is said):實質類目,即實質內容,常見有「主題」、 「特性」、「目標」等。 (二) 如何說(How it is said):形式類目,及內容的表達形式,常見有「敘 述」、「強度」、「策略」等。(王石番,1991). 10.
(14) 本研究由抽樣樣本中,編輯啟蒙例類目,分類依照高中99課綱一、二 冊章節編排列出以下類目表格。 冊、章/節/支 章節名稱或概念名稱(啟蒙例分類)-版本 一、1-1. 數與式 (章節啟蒙例)-龍騰版. 一、1-1-1. 有理數(引入概念啟蒙例)-整理修改或自編版. 一、1-1-2. 無理數(引入概念啟蒙例)-南一版. 一、1-2. 數線上的幾何(章節啟蒙例)-整理修改或自編版. 一、2-1-1. 函數的概念(引入概念啟蒙例)-整理修改或自編版. 一、2-4. 多項式函數的圖形與多項式不等式(章節啟蒙例)龍騰版. 一、3-1. 指數 (章節啟蒙例) -整理修改或自編版. 一、3-3. 對數 (章節啟蒙例) -整理修改或自編版. 一、3-4. 對數函數 (章節啟蒙例) -龍騰版. 一、3-5-1. 對數表(引入概念啟蒙例) -龍騰版. 一、3-5-2. 等比數列 (引入概念啟蒙例) -南一版. 二、1-1. 數列與數學歸納法(章節啟蒙例) -龍騰版. 二、1-2. 級數(章節啟蒙例) -龍騰版. 二、2-2. 排列(章節啟蒙例) -整理修改或自編版. 二、2-3. 組合(章節啟蒙例) -整理修改或自編版. 二、3-2-1. 古典機率 (引入概念啟蒙例)-翰林版. 二、3-3. 條件機率與貝式定理 (章節啟蒙例) -龍騰版. 二、4-2. 二維數據分析(章節啟蒙例) -龍騰版. 11.
(15) 第三節 資料分析 本節以研究者在第一章緒論中定義的完備教科書啟蒙例三大特點:故 事性、應用需求性、附輔助意示圖,去評析上一節的篩選出來的研究樣 本。從中舉出研究者與三角校正的其他研究人員一致認為同時擁有三個 特點的教科書啟蒙例加以說明,最後再以附上效度檢驗其確定一致性。. 一、 樣本檢驗. 研究者以三項特點檢驗結果表格:. 性. 應 用 需 求 性. 附輔 助意 示圖. 數與式(章節啟蒙例)-龍騰版. 有. 無. 有. 有理數(引入概念啟蒙例). 有. 有. 有. 冊、章/節/ 章節名稱或概念名稱(啟蒙例分類). 故事. 支. -版本. 一、1-1 一、1-1-1. -整理修改或自編版 一、1-1-2. 無理數(引入概念啟蒙例)-南一版. 無. 有. 無. 一、1-2. 數線上的幾何(章節啟蒙例). 無. 有. 有. 有. 有. 有. 無. 有. 有. -整理修改或自編版 一、2-1-1. 函數的概念(引入概念啟蒙例) -整理修改或自編版. 一、2-4. 多項式函數的圖形與多項式不等式 (章節啟蒙例) -龍騰版 12.
(16) 一、3-1. 指數 (章節啟蒙例). 有. 有. 無. 有. 有. 有. -整理修改或自編版 一、3-3. 對數 (章節啟蒙例) -整理修改或自編版. 一、3-4. 對數函數 (章節啟蒙例)-龍騰版. 無. 有. 有. 一、3-5-1. 對數表(引入概念啟蒙例)-龍騰版. 有. 有. 有. 一、3-5-2. 等比數列 (引入概念啟蒙例)-南一版. 有. 有. 有. 二、1-1. 數列與數學歸納法(章節啟蒙例). 有. 無. 有. -龍騰版 二、1-2. 級數(章節啟蒙例)-龍騰版. 有. 有. 有. 二、2-2. 排列(章節啟蒙例). 有. 有. 有. 有. 有. 有. 有. 有. 無. 有. 有. 有. 無. 有. 有. -整理修改或自編版 二、2-3. 組合(章節啟蒙例) -整理修改或自編版. 二、3-2-1. 古典機率 (引入概念啟蒙例) -翰林版. 二、3-3. 條件機率與貝式定理 (章節啟蒙例) -龍騰版. 二、4-2. 二維數據分析(章節啟蒙例) -龍騰版. 由18個研究者與指導教授討論挑選出的樣本啟蒙例中,以特性檢驗結 果有8個啟蒙例三項特點都具備,有9個只具備兩項,有1個只具備一項。 代表研究者初步直觀樣本篩選時,選出的章節啟蒙例與引入概念啟蒙例 都已經較為完備,下一個小節將會說明內容檢驗的理由。 13.
(17) 研究者檢驗具備幾項特點啟蒙例表格: 具備三項特點. 具備兩項特點. 具備一項特點. 一、1-1-1 有理數. 一、1-1 數與式. 一、1-1-2 無理數. -整理修改或自編版. -龍騰版. -南一版. 一、2-1-1 函數的概念 一、1-2 數線上的幾何 -整理修改或自編版. -整理修改或自編版. 一、3-3. 一、2-4. 條件機率與貝式定理. 多項式函數的圖形與. -龍騰版. 多項式不等式-龍騰版. 一、3-5-1 對數表. 一、3-1 指數. -龍騰版. -整理修改或自編版. 一、3-5-2 等比數列. 一、3-4 對數函數. -南一版. -龍騰版. 二、1-2 級數. 二、1-1 數列與數學歸. -龍騰版. 納法 -龍騰版. 二、2-2 排列. 二、3-2-1 古典機率. -整理修改或自編版. -翰林版. 二、2-3 組合. 二、4-2 二維數據分析. -整理修改或自編版. -龍騰版. 二、3-3 條件機率與貝式定理 -龍騰版. 14.
(18) 三、 檢驗內容分析說明 針對前一檢驗結果,與效度檢驗其他研究者的結果(下一小節效度檢 驗結果會詳述)挑出共同一致認為三項特點都具備的8個啟蒙例,以列表 格內容說明檢驗理由。三項都具備的8個啟蒙例說明: 第一冊第一章、1-1-1、有理數(引入概念啟蒙例) 整理修改或自編版: 生活中為了統計數量的平均, 或為了公平在事物上的均分會使用到的「值」 。 例如:一顆大西瓜分給三個孩子吃, 為了平均分給孩子, 每人要吃這一顆西瓜裡的三等份其中一份, 1. 我們稱每人吃 份。 3. 這種有整數比例的數, 寫成比值我們稱為「有理數」。 有理數在古希臘文中稱為 λογος,原意是「成比例的數」。. 15.
(19) 檢定符合故事性的理由: 舉了一個生活化的故事「一顆大西瓜分給三個孩子吃,為了平均分給孩 1. 子,每人要吃這一顆西瓜裡的三等份其中一份,我們稱每人吃 份」當 3. 情境引入,貼近生活的故事充分表達有理數其實就存在我們生活之中只 是我們沒有發覺,文末也提及「有理數在古希臘文中稱為 λογος, 原意是『成比例的數』 。」有鑲嵌一點數學史在裡面,讓學生知道古代 人就有定義成比例的數,也就是有理數。. 檢定符合應用需求性的理由: 開始就提及「生活中為了統計數量的平均,或為了公平在事物上的均分 會使用到的『值』 。」敘述生活上的起始需求,為了均分而開始出現比 值,即是有理數概念,其中提及的分西瓜的故事也是生活中有理數的應 用。 檢定符合附輔助意示圖的理由: 以一個趣味的西瓜切片圖呼應所舉例的生活應用故事,由西瓜的各種等 分中,讓學生感覺有理數就藏在我們生活中。. 16.
(20) 第一冊第二章、2-1-1、函數的概念(引入概念啟蒙例) 整理修改或自編版: 小明想用 12 公尺長的圍籬 圍出一矩形區域飼養兔子﹒ 設矩形的一邊長為 x 公尺﹐ 區域的面積為 y 平方公尺﹐則 y 與 x 的關係﹐ ▲圖 1. 可以用數學式 y=x(6-x)表示﹐. 亦即 y=-𝑥 2 + 6𝑥( 0 x 6 ) ﹒由上式作 x 與 y 兩變數的對應表﹐ 如下:. x. 1. 2. 3. 4. 5. y. 5. 8. 9. 8. 5. 顯然﹐當 x 的值給定時﹐ 都有一個且只有一個對應的 y 值﹐像這種對應關係就是函數的概念﹒ 通常對應的 y 值都使用 f(x)為符號方便看出對應關係,而自從西元 1734 年﹐瑞士數學家尤拉(Leonhard Euler﹐1707~1783)首先採用 f (x)做為函數的符號後﹐函數就成為數學及相關科學發展的重要工具 之一。. 17.
(21) 檢定符合故事性的理由: 內容分別提及了兩個故事: 數學史: 「自從西元 1734 年﹐瑞士數學家尤拉(Leonhard Euler﹐1707~ 1783)首先採用 f(x)做為函數的符號後﹐ 函數就成為數學及相關科學發展的重要工具之一。」 情境故事: 「小明想用 12 公尺長的圍籬圍出一矩形區域飼養兔子﹒」 由兩個故事相輔相成,先介紹函數的來歷再舉出一個函數在生活中常見 的情境故事,幫助學生承先啟後的理解函數。. 檢定符合應用需求性的理由: 情境問題舉出生活中函數的需求問題。在總長固定之下,調整長寬之間 的關係就是函數最基本的應用,也反映出生活中可以利用函數的應用這 樣去做調整。 這個例子也隱含著生活中的函數隨處可見,只是在於我們有沒有使用甚 至知道不知道能使用函數找到關係或解決問題。. 檢定符合附輔助意示圖的理由: 附有可愛的兔子以及矩形柵欄呼應情境故事,讓看似枯操的函數關係增 添輕鬆的感覺。 也有列出此題假設的函數 值表,讓對於函數的關係 ▲圖 1. 以代入的方式, 簡易表達。 18.
(22) 第一冊第三章、3-3、對數 (章節啟蒙例) 整理修改或自編版: 十六世紀,歐洲正處於文藝復興時期,科學技術日新月異,雖然天文、 測繪、航海事業如雨後春筍,蓬勃發展,但同時帶來大量令人頭疼、繁 雜的計算問題,面對這種趨勢,不少數學家在考慮:能否將“乘除運算” 轉化成“加減運算”,以減輕計算上的負擔。十六世紀末,納皮爾 ( John Napier,1550 ~ 1617,蘇格蘭 ) 發明了對數!這種“以簡御繁”的計算 思想乃蘊育而生。在天文學上,對數的發展對於龐大數字的計算有很大 的幫助。. 檢定符合故事性的理由: 此啟蒙例全文都是故事承接,開場就提及此概念的歷史發展,十六世紀 因為科技發展迅速所自然發現的問題,爾後還提及發明此概念的數學家 納皮爾 ( John Napier,1550 ~ 1617,蘇格蘭 )。 故事性的介紹很豐富,就像在讀故事書一般輕鬆地簡介對數, 也為準備要學習對數的學生開啟不同的視野,不讓數學教科書只有公式 跟定理。. 19.
(23) 檢定符合應用需求性的理由: 需求部分: 因為「歐洲正處於文藝復興時期,科學技術日新月異,雖然天文、測 繪、航海事業如雨後春筍,蓬勃發展」所以有了「大量令人頭疼、繁雜 的計算問題」需求。 其中在點出此需求的過程中,自然地引入對數的精隨「“乘除運算”轉化 成“加減運算”」。 應用部分: 提及天文,航海,凡指跟大量數字計算有相關的行業,皆與對數有相關 應用。. 檢定符合附輔助意示圖的理由: 研究者在意示圖特地放上地球與葛利斯星球的距離意示圖的用意是, 前陣子因環境污染太嚴重,自然資源逐漸消耗, 尋找第二個地球是國際天文學流行的研究主題, 據說葛利斯星球上的結構跟地球雷同,但是與地球距離太遙遠,如果地 球人要搭太空船前往,如此遙遠的距離就會衍生出很多龐大數字的計算 要使用對數。 研究者希望教科書啟蒙例的圖能夠像這張一樣充滿故事性,老師在教學 還可以帶著同學看圖書故事,能讓課堂更添趣味性。 一般天文學的距離是使用光年,但是因為光年對於學生而言是一個無感 的距離單位,研究者放的這張意示圖距離單位是使用英里,可以讓學生 想想看天文的數字到底有多大,也隱含著必須使用對數的強制性。. 20.
(24) 第一冊第三章、3-5-1、對數表(引入概念啟蒙例) 龍騰版: 對一個正數 x﹐欲求對數 log x 的值﹐可以利用計 算機或是查對數表﹒以 log1.36 為例﹐使用計算機(或 納皮爾. 電腦 windows 中的小算盤﹐及部分手機中的計算功. (John. 能)﹐可依次按鍵: 1.36 . Napier﹐蘇格. 搜尋列中﹐輸入 log(1.36)﹐即可得到 log 1.36 的近似. 蘭﹐1550~. 值﹐如圖 2 所示﹒. ;或在電腦 Google 的. 1617)是對數 的發明者﹐他 花了 20 年的時 間建立了常用 對數表﹐由於 他的努力﹐讓 科學界很快的 使用對數﹐簡 化了許許多多 繁複的計算﹒ 圖 2 求 log 1.36 近似值的第二個方法﹐是利用常用 對數表(見本書末附錄)﹒這個表的底數是 10﹐我們 將以 10 為底數的對數稱為常用對數﹐這是因為日常 生活中常用十進位制的緣故﹒. 21.
(25) 檢定符合故事性的理由: 在啟蒙例左邊附上數學家的故事是龍騰版特有的特色,此數學家的故事 是與此概念以「對數表」相呼應,簡介納皮爾(John Napier﹐蘇格蘭﹐ 1550~1617)除了發明對數以外,還努力建構對數表,讓學生知道階段 我們方便使用的對數表是先人努力 20 年的成果。. 檢定符合應用需求性的理由: 介紹其他查log的工具,如例子是使用大家常用的網站google,以及計算 機,相對反映在無這些工具情況下,對數表也可以幫助求出log的值, 以反向操作導入應用需求性。. 檢定符合附輔助意示圖的理由: 數學家肖像讓學生更能相信此偉大數學真實存在, 以及附上其他可以查詢log的工具意示圖:計算機,google網站。. 22.
(26) 第二冊第一章、1-2、級數(章節啟蒙例) 龍騰版: 慶功宴上用高腳杯排成如圖 1 的形狀﹐ 其最底層為每邊有 4 杯的正三角形﹐每往上 一層﹐正三角形每邊的杯數少 1 杯﹐以此類 推﹐共堆高 4 層﹐最上層恰為 1 杯﹒想想 看!如果慶功宴仿上述方式排成 10 層的高腳 杯﹐那麼需要多少個高腳杯呢?計算所需要 杯數的問題﹐就是本節要討論的重點:級 數﹒ ▲圖 1. 23.
(27) 檢定符合故事性的理由: 此章節啟蒙例使用生活常見故事情境引入章節重點,故事背景使用慶功 宴常見的酒杯金字塔,為了使其穩固不倒一層一層必須是等差數列。此 啟蒙例是想闡述當我們仔細觀察生活中習以為常的事物,數列其實隱含 在其中。 檢定符合應用需求性的理由: 此章節啟蒙例最後提問:[如果慶功宴仿上述方式排成10層 的高腳杯,那麼需要多少個高腳杯?]這個提問其實充分指出應用需求 性。因為在生活中,數列是隨處可見的,但是級數的應用反而更加有需 求性。以這題的情境來說,我們可以反學生,如果你是慶功宴的策劃 人,你今天高腳杯子的數量有限,能堆幾層是不是也可以先用級數算出 各層需要的總數量,再來評估我們可以堆幾層,而不用一層一層堆,省 時又省力。 檢定符合附輔助意示圖的理由: 仿真的高腳杯層層堆疊的意示圖, 學生可以用數數看每一層是不是有規則? 每一層分開看是不是一個數列? 在級數的概念中有圖能幫助學生找出數列的 規則進而學習級數。. ▲圖 1. 24.
(28) 第二冊第二章、2-2、排列(章節啟蒙例) 整理修改或自編版: 自動販賣機有 3 種飲料可供選擇﹐小 明等三人運動完後各購買一罐不同的飲 料﹐共會有多少種選購的方法呢? 假設場景換成是三種不同的飲料吧檯隨意 給小明等三人去飲用,每人各自去吧檯前 領取,像不像是三個人在做排列的動作呢? 如果推廣到 6 種飲料讓三人各自購買,又 有幾種方法呢? 像這些都是數學裡的排列問題﹐ 也是日常生活中經常碰到的情境﹒ 我們將透過前一節所學的內容得出它們的答案﹐ 並有系統的導出一般的公式。. 25. ▲圖 1.
(29) 檢定符合故事性的理由: 以生活自然情境故事引入,同一個故事用兩個不同的敘述: 「自動販賣機有3種飲料可供選擇﹐小明等三人運動完後各購買一罐不 同的飲料」,「三種不同的飲料吧檯隨意給小明等三人去飲用,每人各 自去吧檯前領取」。 一樣的解法,但是完全不同的情境故事,想表達排列的核心概念:差異 性=排序性。對於學生在尚未學習排列之前可以概略理解排列的多元呈 現方式,也透漏此章節許多各式各樣的題目都是「換湯不換藥」的概 念。 檢定符合應用需求性的理由: 排列在生活中的應用是隨處可見,但是要讓學生有感覺容易去連結, 舉的例子必須非常貼近他們生活。 學生在學校使用販賣機買飲料就是一個容易讓學生有感的實例,啟蒙例 最後提到「像這些都是數學裡的排列問題﹐也是日常生活中經常碰到的 情境」這句就把排列與生活應做一個連結的說明。 檢定符合附輔助意示圖的理由: 以三位學生在飲料販賣機前的圖示 呼應生活化的情境圖。 欲想表達排列概念就是生活中 最容易使用到的工具。 ▲圖 1. 附註:. 因為此章節啟蒙為研究者修改自龍騰版龍騰版的故事背景, 一樣的故事所以研究者採用龍騰版的附輔助意示圖. 26.
(30) 第二冊第二章、2-3、組合(章節啟蒙例) 整理修改或自編版: 夏天來臨,多補充水分比較不會中暑, 自動販賣機平常有 6 種飲料可供選擇購買﹐ 販賣機飲料供應商,想把這六種飲料挑出三種飲料使它下架,都換成一 樣的礦泉水,會有幾種可能呢? 當只在意各種組合而不討論順 序或差異性時, 就是我們這個章節所要探討的 組合問題。 哪三個換成礦泉水呢? 六種飲料上的指示燈,是哪三個飲料會變成礦泉水,有幾種可能?. 27.
(31) 檢定符合故事性的理由: 生活情境的故事引入,但是研究者為了讓學生有接續感,使用與前一章 節排列的章節啟蒙例。 故事背景一模一樣但是遇到不同的狀況,讓學生更能進入狀況,從一樣 的故事卻延伸出不同問題中學習此組合概念與排列的不同。. 檢定符合應用需求性的理由: 與排列一樣的故事背景,但是換一個情況需求。 前一章節排列的需求是:「三人運動完後各購買一罐不同的飲料﹐共會 有多少種選購的方法呢?」 此章節組合的需求是: 「夏天來臨,多補充水分比較不會中暑, 自動販賣機平常有 6 種飲料可供選擇購買﹐ 飲料供應商,想把這六種飲料挑出三種飲料使它下架,都換成礦泉水共 有幾種可能呢?」 讓學生可以去分辨這兩個情況與所學習的工具應用層面上的不同。. 檢定符合附輔助意示圖的理由: 圖片很直觀的做出販賣機售完的可能情況,會有那三個被換掉呢?幫助 學生去想像那個畫面,進而理解到此概念沒有排列只需要組合的情況。. 哪三個改成礦泉水? 28.
(32) 第二冊第三章、3-3、條件機率與貝式定理(章節啟蒙例) 龍騰版: 在一社團中男女生各半﹐從中任意抽出一人﹐ 在不知道任何訊息時﹐會抽中男生的機率是 1 ; 2. 但是若知道抽中的人身高超過170公分﹐ 你覺得此人是男生的機率還是 1 嗎? 2. 像這種探討兩事件發生的機率﹐ 是日常生活中經常碰到的情境﹐ 也是本節所要探討的重點﹒. ▲圖 1. 29.
(33) 檢定符合故事性的理由: 由抽籤情境故事帶入條件再去理解條件機率的意涵。 原本情境: 「在一社團中男女生各半﹐從中任意抽出一人﹐ 在不知道任何訊息時﹐會抽中男生的機率是 1 」, 2. 引入條件:「但是若知道抽中的人身高超過170公分﹐你覺得此人是男生 的機率還是 1 嗎?」 2. 引入帶著條件考慮機率時, 機率會產生變化的反映條件機率與古典機率的不同。. 檢定符合應用需求性的理由: 藉由原本的情境改變加上條件, 並詢問同學加了條件以後機率還會一樣嗎? 引出條件機率與古典機率的差異, 也藉此反映條件機率在生活中的需求性。. 檢定符合附輔助意示圖的理由: 圖片只是意示歡樂的人群,可惜無項題目所指具備身高條件。 研究者建議應該分兩個圖示來詮釋, 圖示一: 男女人數各半坐旁邊等待被抽籤的圖 圖示二: 男女人數一樣個半,但是都站起來看得出身高差異,依然等待被抽籤的 圖樣. 30.
(34) 四、 檢驗效度 Rist(1977)認為質性的研究比較偏重效度,強調主觀性,並重視全貌 分析。Merriam(1988)和 Maxwell(1996)認為質性研究確定內在效度的策 略包含:三角校正、成員檢查在現場的長期觀察或重複觀察相同的現象、 同事的檢驗....等等。質性研究的三角校正包含資料的三角校正(多種資 料來源)、調查人員的三角校正(多位研究人員)、理論的三角校正(利用 多種觀點解釋同一現象)、方法的三角校正(多重的研究方法來確認同一 問題)等(Lincoln and Gina,1985;Stake,1988;Janesick,1998,簡良平 2001,何金針 2004)。 本研究所使用的是調查人員的三角校正,邀請兩位師範大學研究生, 一位是數學教育組104年獲碩士學位的呂同學,另一位是科教所數學組 104年獲碩士學位的黃同學,兩位檢驗者皆有修中等教育學程,擁有實務 的教學經驗。以下為研究者自己的結果: 具備三項特點. 具備兩項特點. 具備一項特點. 一、1-1-1,. 一、1-1,. 一、1-1-2. 一、2-1-1,. 一、1-2. 一、3-3 ,. 一、2-4,. 一、3-5-1. 一、3-1,. 一、3-5-2. 一、3-4,. 二、1-2,. 二、1-1,. 二、2-2. 二、3-2-1. 二、2-3, 二、3-3. 二、4-2. , 31.
(35) 呂同學研究者的結果: 具備三項特點. 具備兩項特點. 具備一項特點. 一、1-1-1,. 一、1-1,. 一、1-1-2. 一、2-1-1,. 一、1-2. 一、3-3 ,. 一、2-4,. 一、3-4,. 一、3-1,. 一、3-5-1,. 二、1-1,. 一、3-5-2. 二、3-2-1. 二、1-2,. 二、4-2. 二、2-2 二、2-3, 二、3-3. ,. 黃同學研究者的結果: 具備三項特點. 具備兩項特點. 具備一項特點. 一、1-1-1,. 一、1-1,. 一、1-1-2. 一、1-2. 一、2-4. 一、2-1-1,. 一、3-1,. 一、3-3 ,. 一、3-4,. 一、3-5-1. 二、1-1,. 一、3-5-2. 二、3-2-1. 二、1-2,. 二、4-2. 二、2-2 二、2-3, 二、3-3. , 32.
(36) 四、效度成果 18個啟蒙例檢驗結果,三項都具備的交集有8個,兩項都具備的交集 有6個,具備一項的有1個,以比率表示的表格如下: 具備三項特點交集. 具備兩項特點交集. 具備一項特點交集. 一、1-1-1,. 一、1-1,. 一、1-1-2. 一、2-1-1,. 一、2-4,. 一、3-3 ,. 一、3-1,. 一、3-5-1. 二、1-1,. 二、1-2,. 二、3-2-1. 二、2-2. 二、4-2. 二、2-3, 佔本研究者:88%. 佔本研究者:75%. 佔本研究者:100%. 佔呂研究者:80%. 佔呂研究者:85%. 佔呂研究者:100%. 佔黃研究者:80%. 佔黃研究者:85%. 佔黃研究者:100%. 平均:82.66%. 平均:81.67%. 平均:100%. 三位研究者個別檢驗此18個啟蒙例,檢驗結果符合三項條件都具備的 平均一致性為82.66%,符合兩項條件都具備的平均一致性為81.67%,指 符合一項條件具備的平均一致性為100%。 總和平均皆超過8成以上,達成效度檢驗一致性。. 33.
(37) 第四章 研究結果 第一節 高中數學教科書啟蒙例 一、二冊(99 課綱)整理精選 第一冊第一章 1-1、 數與式(章節啟蒙例),1-1-1、有理數(引入概念啟蒙例) 1-1-2、無理數(引入概念啟蒙例),1-2、數線上的幾何(章節啟蒙例) 第一冊第二章 2-1-1、函數的概念(引入概念啟蒙例) 2-4、多項式函數的圖形與多項式不等式(章節啟蒙例) 第一冊第三章 3-1、指數 (章節啟蒙例) 3-3,對數 (章節啟蒙例) 3-4、對數函數 (章節啟蒙例) ,3-5-1、對數表(引入概念啟蒙例) 、 3-5-2、等比數列 (引入概念啟蒙例) 第二冊第一章 1-1、 數列與數學歸納法(章節啟蒙例),1-2、級數(章節啟蒙例) 第二冊第二章 2-2、排列(章節啟蒙例) ,2-3、組合(章節啟蒙例) 第二冊第三章 3-2-1、古典機率 (引入概念啟蒙例) 3-3、條件機率與貝式定理 (章節啟蒙例) 第二冊第四章 4-2、二維數據分析(章節啟蒙例) 資料版本:龍騰(102)、翰林(102)、南一(102)、修改或自編 34.
(38) 第一冊第一章、1-1、數與式(章節啟蒙例) 龍騰版: 從小到大﹐我們學過很多種數:最 早認識的是計物數 1﹐2﹐3﹐…等 (稱為自然數或正整數)﹐其後加入 了零與負整數﹐自然數因而擴充成 ▲圖 1. 整數﹒另外﹐在分配﹑比率與度量 中會使用分數或小數﹐而國中時藉 由畢氏定理的討論﹐引進了如. 2. ﹑ 3. 5 等根號數﹒這一節裡﹐我們. 要來回顧這個數字王國﹒ 第一冊第一章、1-1-1、有理數(引入概念啟蒙例) 整理修改或自編版: 生活中為了統計數量的平均, 或為了公平在事物上的均分會使用到的「值」 。 例如: 一顆大西瓜分給三個孩子吃, 為了平均分給孩子, 每人要吃這一顆西瓜裡的三等份其中一份, 1. 我們稱每人吃 份。 3. 這種有整數比例的數,寫成比值我們稱為「有理數」 。 有理數在希臘文中稱為 λογος,原意是「成比例的數」。. 35.
(39) 第一冊第一章、1-1-2、無理數(引入概念啟蒙例) 南一版: 數線上每一個“點”都恰好對應一個“數”,這個“數”必然是“有理數或無 理數”,即整條數線都被“有理數”與“無理數”填滿。數線上對應無理數 的點稱為無理點。 除了 2 是無理數外,還有哪些“數”是無理數呢?一般而言: 自然數 n 中不是“完全平方數”者,它的平方根 n 都是無理數。 例如:540=22.33.51 ( 540 的標準分解式 ),其中 540 含“質因數 3”是 奇數個 ( 含“質因數 5”也是奇數個 ),那麼, 540 就是無理數。 第一冊第一章、1-2、數線上的幾何(章節啟蒙例) 整理修改或自編版:. 直尺上往右刻度越大,往左刻度越小。 數線上每一點 P 也對應到一個實數 x ﹒有了數線之後﹐可以藉由數線更 了解實數的性質﹒例如﹐把數線上的點往右移 1 單位﹐它的坐標會多 1﹐往左移則坐標會變小﹒除此之外﹐數線上的點還有哪些幾何特性 呢?. 36.
(40) 第一冊第二章、2-1-1、函數的概念(引入概念啟蒙例) 整理修改或自編版: 小明想用 12 公尺長的圍籬 圍出一矩形區域飼養兔子﹒ 設矩形的一邊長為 x 公尺﹐ 區域的面積為 y 平方公尺﹐則 y 與 x 的關係﹐. ▲圖 1. 可以用數學式 y=x(6-x)表示﹐ 亦即 y=-𝑥 2 + 6𝑥( 0 x 6 ) ﹒由上式作 x 與 y 兩變數的對應表﹐ 如下:. x. 1. 2. 3. 4. 5. y. 5. 8. 9. 8. 5. 顯然﹐當 x 的值給定時﹐ 都有一個且只有一個對應的 y 值﹐像這種對應關係就是函數的概念﹒ 通常對應的 y 值都使用 f(x)為符號方便看出對應關係,而自從西元 1734 年﹐瑞士數學家尤拉(Leonhard Euler﹐1707~1783)首先採用 f (x)做為函數的符號後﹐函數就成為數學及相關科學發展的重要工具 之一。. 37.
(41) 第一冊第二章、2-4、多項式函數的圖形與多項式不等式(章節啟蒙例) 龍騰版: 身體質量指數值(BMI)是一種廣 被認定為肥胖的標準﹐公式是 BMI. . 體重( kg ) ﹒ 身高的平方( m2 ). 成年人 BMI 值的正常數值應介於 18.5 到 24.9 之間﹐小於 18.5 則過輕﹐大於 ▲圖 1. 24.9 則過重﹒根據公式﹐身高 170 公分 的成年人的正常體重﹐須維持在 53.465 公斤到 71.961 公斤之間﹒這是 一個與多項式不等式相關的問題﹐而多項式不等式是本節探討的主題之 一﹒ 第一冊第三章、3-1、指數 (章節啟蒙例) 整理修改或自編版: 自然界中許多單細胞生物﹐是靠細胞 分裂來繁殖的﹒以草履蟲為例﹐在合適的 環境下﹐平均每 6 小時就可以分裂一次﹒ 也就是說﹐一個草履蟲經過一天的時間﹐ 可以分裂 4 次而繁殖成 2 2 2 2 個﹐我們. ▲圖 1. 以 24 表示 2 自乘 4 次﹐這就是指數的表示方法﹒學習指數可以幫助我 們了解到其應用與生活息息相關﹐指數函數 ax 常用於描述人口成長﹑ 細胞分裂﹑複利與放射性元素的衰變﹐其共同特點是變化量為現有量的 常數倍。. 38.
(42) 第一冊第三章、3-3、對數 (章節啟蒙例) 整理修改或自編版: 十六世紀,歐洲正處於文藝復興時期,科學技術日新月異,雖然天文、 測繪、航海事業如雨後春筍,蓬勃發展,但同時帶來大量令人頭疼、繁 雜的計算問題,面對這種趨勢,不少數學家在考慮:能否將“乘除運算” 轉化成“加減運算”,以減輕計算上的負擔。十六世紀末,納皮爾 ( John Napier,1550 ~ 1617,蘇格蘭 ) 發明了對數!這種“以簡御繁”的計算 思想乃蘊育而生。在天文學上,對數的發展對於龐大數字的計算有很大 的幫助。. 第一冊第三章、3-4、對數函數 (章節啟蒙例) 龍騰版: 在前一節裡﹐我們知道:當 a 0 ﹐a 1 ﹐且 x 0 時﹐loga x 與 x 的. 對應關係構成對數函數 y loga x ﹐日 常生活中常應用對數函數﹐如圖 1 是 一個對數函數圖形﹐描述星星亮度的 視星等﹒. ▲圖 1. 本節中將仿照討論指數函數圖 形的方法﹐描繪並了解對數函數圖形﹐以及探討指數函數和對數函數兩 圖形之間的關係﹒. 39.
(43) 第一冊第三章、3-5-1、對數表(引入概念啟蒙例) 龍騰版: 對一個正數 x﹐欲求對數 log x 的值﹐可以利用計 算機或是查對數表﹒以 log1.36 為例﹐使用計算機(或 納皮爾. 電腦 windows 中的小算盤﹐及部分手機中的計算功. (John. 能)﹐可依次按鍵: 1.36 . Napier﹐蘇格. 搜尋列中﹐輸入 log(1.36)﹐即可得到 log 1.36 的近似. 蘭﹐1550~. 值﹐如圖 2 所示﹒. ;或在電腦 Google 的. 1617)是對數 的發明者﹐他 花了 20 年的 時間建立了常. 圖 2. 用對數表﹐由 於他的努力﹐ 讓科學界很快 的使用對數﹐ 簡化了許許多. 求 log 1.36 近似值的第二個方法﹐是利用常用對 數表(見本書末附錄)﹒這個表的底數是 10﹐我們將以 10 為底數的對數稱為常用對數﹐這是因為日常生活 中常用十進位制的緣故﹒. 多繁複的計 算﹒. 40.
(44) 第一冊第三章、3-5-2、等比數列 (引入概念啟蒙例) 南一版: 國際象棋源於古印度,棋盤上有 8 行 8 列共有 64 個方格 ( 如圖 328 )。有一則這樣的故事: 舍罕王要獎賞國際象棋發明人 ── 宰相達依爾。 有一天,國王召來達依爾,詢問他 的需求。達依爾跪在國王面前說: 「陛下,請您在棋盤的第 1 個方格 放上 1 顆麥粒,第 2 個方格放上 2. 圖 3-28. 顆麥粒,第 3 個方格放上 4 顆麥粒 …,依此類推,即每個方格放進的 “麥粒數”,都是前一個方格放進“麥粒數的 2 倍”,直到 64 個方格放 完。陛下,把 64 個方格上全部的麥粒都賞我吧!」 國王一聽,覺得達依爾的需求很容易辦到,便欣然同意。 讓我們列表幫達依爾數一數他的賞物 ──“麥粒”到底有多少: 方格序號. 1. 2. 3. 4. …. 64. 麥粒數. 1. 21. 22. 23. …. 263. 41.
(45) 第二冊第一章、1-1、數列與級數(章節啟蒙例) 龍騰版: 伸出你的左手﹐從大拇指開始﹐如圖 1 所示那樣數數字﹐我們發現﹐ 數在大拇指上的數字依序為 1﹐9﹐…﹒想想看﹐這一系列的數字有何 規律呢?又當你數到 999 時﹐所指的是哪根手指頭呢? 本節中﹐我們將認識更多有規律的數列﹐並試著找出這些數列的規律﹒. 9 1. 10 8 2. 7 3 4 6 5. 第二冊第一章、1-2、級數(章節啟蒙例) 龍騰版: 慶功宴上用高腳杯排成如圖 1 的形狀﹐ 其最底層為每邊有 4 杯的正三角形﹐每往上 一層﹐正三角形每邊的杯數少 1 杯﹐以此類 推﹐共堆高 4 層﹐最上層恰為 1 杯﹒想想 看!如果慶功宴仿上述方式排成 10 層的高腳 杯﹐那麼需要多少個高腳杯呢?計算所需要 杯數的問題﹐就是本節要討論的重點:級 數﹒ ▲圖 1. 42.
(46) 第二冊第二章、2-2、排列(章節啟蒙例) 整理修改或自編版: 自動販賣機有 3 種飲料可供選擇﹐小 明等三人運動完後各購買一罐不同的飲 料﹐共會有多少種選購的方法呢? 假設場景換成是三種不同的飲料吧檯隨意 給小明等三人去飲用,每人各自去吧檯前 領取,像不像是三個人在做排列的動作呢?. ▲圖 1. 如果推廣到 6 種飲料讓三人各自購買,又有幾種方法呢? 像這些都是數學裡的排列問題﹐也是日常生活中經常碰到的情境﹒ 我們將透過前一節所學的內容得出它們的答案﹐ 並有系統的導出一般的公式。. 第二冊第二章、2-3、組合(章節啟蒙例) 整理修改或自編版: 夏天來臨,多補充水分比較不會中暑, 自動販賣機平常有 6 種飲料可供選擇購買﹐ 販賣機飲料供應商,想把這六種飲料挑出三種飲料使它下架,都換成一 樣的礦泉水,會有幾種可能呢?. 就是我們這個章節所要探討的 組合問題。. 哪三個換成礦泉水呢? 六種飲料上的指示燈,是哪三個飲料會變成礦泉水,有幾種可能?. 43.
(47) 第二冊第三章、3-2-1、古典機率(引入概念啟蒙例) 翰林版: 在文藝復興接近尾聲的十七世紀上半﹐人們對一些人力所無法控制的隨 機現象產生興趣﹐特別是賭博背後的理論。於是有一群義大利的賭徒找 上當時數學家伽利略(Galileo Galilei﹐1564~1642﹐義大利天文與 物理學家)﹐詢問一些擲骰子的相關問題﹐伽利略於百忙之中﹐不只回 答了所提的問題﹐也把機會遊戲的理論加以整理並出版。 幾年後﹐同樣的歷史在法國重演﹐此時的賭徒不只會賭博﹐也是業 餘的數學家﹐他們尋求當代有名數學家巴斯卡的幫助。也因此使巴斯卡 與另一數學家費馬(Pierre de Fermat﹐1601~1665﹐法國)開始書信 往來﹐這不只把賭徒問題徹底解決且建立了許多機會遊戲方面問題的解 決方案﹐這被公認為是機率理論的誕生時刻。 第二冊第三章、3-3、條件機率與貝式定理(章節啟蒙例) 龍騰版: 在一社團中男女生各半﹐從中任意抽出一 人﹐在不知道任何訊息時﹐會抽中男生的機率 是 1 ;但是若知道抽中的人身高超過 170 公 2. 分﹐你覺得此人是男生的機率還是 1 嗎?像 2. ▲圖 1. 這種探討兩事件發生的機率﹐是日常生活中經常碰到的情境﹐也是本節 所要探討的重點﹒. 44.
(48) 第二冊第四章、4-2、二維數據分析(章節啟蒙例) 龍騰版: 日常生活中﹐我們常常將兩個變數相 提並論﹐比如:每天睡眠時數與肥胖 程度﹐國民所得與壽命﹐每週吸菸量 與罹患肺癌的機率﹐所攝取的咖啡因 量與罹患骨質疏鬆症的年齡等等﹒這. ▲圖 1. 裡我們要討論兩個變數之間是否有關聯﹐其關聯程度是多少﹐以及預測 可能發生的結果﹐所討論的兩個變數稱為二維數據﹒ 「散布圖」﹐ 「相關 係數」與「迴歸直線」是本節學習的重點﹒. 45.
(49) 第二節 高中數學教科書啟蒙例 一、二冊(99 課綱)總整理 第一冊第一章 1-1、 數與式(章節啟蒙例) 1-1-1、有理數(引入概念啟蒙例) 1-1-2、無理數(引入概念啟蒙例) 1-1-3、實數(引入概念啟蒙例). 1-2、 數線上的幾何(章節啟蒙例). 第一冊第二章 2-1-1、函數的概念(引入概念啟蒙例) 2-2、多項式方程式(章節啟蒙例) 2-2-1、整係數一次因式檢驗法(引入概念啟蒙例) 2-3、多項式方程式(章節啟蒙例) 2-4、多項式函數的圖形與多項式不等式(章節啟蒙例). 第一冊第三章 3-1、指數 (章節啟蒙例) 3-1-1、實數指數 (引入概念啟蒙例) 3-2、指數函數 (章節啟蒙例) 3-3、對數 (章節啟蒙例) 3-4、對數函數 (章節啟蒙例) 3-5、指數與對數的應用(章節啟蒙例) 3-5-1、對數表(引入概念啟蒙例) 46.
(50) 3-5-2、等比數列 (引入概念啟蒙例). 第二冊第一章 1-2、 數列與數學歸納法(章節啟蒙例) 1-1-1、數學歸納法(引入概念啟蒙例) 1-2、級數(章節啟蒙例). 第二冊第二章 2-1、邏輯與計數原理(章節啟蒙例) 2-2、排列(章節啟蒙例) 2-3、組合(章節啟蒙例) 2-4、二項式定理 (章節啟蒙例). 第二冊第三章 3-1、樣本空間與事件 (章節啟蒙例) 3-2、機率的性質 (章節啟蒙例) 3-2-1、古典機率 (引入概念啟蒙例) 3-3、條件機率與貝式定理 (章節啟蒙例). 第二冊第四章 4-1、一維數據分析 (章節啟蒙例) 4-2、二維數據分析(章節啟蒙例). 資料版本:龍騰(102)、翰林(102)、南一(102)、修改或自編 47.
(51) 第一冊第一章、1-1、數與式(章節啟蒙例) 龍騰版(數與式-章節啟蒙例): 從小到大﹐我們學過很多種數:最 早認識的是計物數 1﹐2﹐3﹐…等 (稱為自然數或正整數)﹐其後加入 了零與負整數﹐自然數因而擴充成 整數﹒另外﹐在分配﹑比率與度量 中會使用分數或小數﹐而國中時藉 由畢氏定理的討論﹐引進了如 2 ﹑ 3 5 等根號數﹒這一節裡﹐我們 要來回顧這個數字王國﹒. ▲圖 1. 翰林版(數與式-章節啟蒙例): 將一數用十進位的數字表示﹐未帶有小數的歸類為整數;整數是有理 數的一部分﹐另外帶有小數的﹐若所帶小數部分為有限或循環時﹐也歸 類為有理數;若所帶小數部分為無限且不循環時﹐歸類為無理數。 南一版(數與式-章節啟蒙例): 整數 笛卡兒 ( René Descartes,1596~1650,法國 ) 是坐標幾何的創始人, 他把當時大家都很難了解的 “負數”概念,用“數線”具體表現出來,如圖 1-1。. ▲笛卡兒 圖 1-1 全體的“整數”:…,-3,-2,-1,0,1,2,3,… 包含了“正整 數、零、負整數”三類。 分數的起源在於“分”字。日常生活中,不免碰到財物的“分配”問題,比 如:某家企業老闆有三個孝順、勤勞的兒女,老闆生前寫下遺言 ( 右 邊色紙上的 ) :換句話說,若將企業老闆的“全部家產”視為 1 個單 位,則遺產的分配如下表: 將全部家產平均分 分配 公益事業 長子 次子 幼子 成七等份。. 1 7. 2 7. 2 7. 2 7. 一份捐出作公益, 二份贈長子, 1 2 二份贈長女, 上面分配表中的分數: , 其分子、分母都是“整數”, 7 7 二份贈幼子。. 各得. 它們正是本節要介紹的有理數。. 48.
(52) 第一冊第一章、1-1-1、有理數(引入概念啟蒙例) 龍騰版(有理數-引入概念啟蒙例): 生活中常遇到需要表示平均或記載長度的「量」﹒例如:7 公尺長的 布平分給 3 人﹐每人所得的布比 2 公尺長﹐但比 3 公尺短﹐我們以分數 3. 來表示﹒數學上﹐凡是可以表示成分數形式的數都稱為有理數﹒. 7. 翰林版(有理數-引入概念啟蒙例): 我們熟知的正整數指的是「數」 ﹐ 「數字」是用來表示數的符號: 如阿拉伯數字 1﹐2﹐3﹐4﹐5﹐6﹐…﹐100﹐101﹐102﹐…﹐一個接續 一個無止盡地延伸下去﹐這些數字常作為日常生活中的計數工具﹐例如 描述草原上有 8 匹馬﹐5 頭牛和 20 隻羊。 南一版(有理數-引入概念啟蒙例): 平常,我們用的整數與小數都是“十進位數”( 逢 10 進 1 位的數 ) 例如: 2653=2000+600+50+3=2.103+6.102+5.101+3。 7 3 2 + 2+ 3。 10 10 10 在“十進位數”中,哪些數可以寫成以“整數比”表示的有理數? -5 6 0 整數:6= , 0= , -5= 。 1 1 1 -618 4 571 有限小數:0.4= ,5.71= ,-0.618= 10 100 1000 所以,“整數、有限小數”都是有理數。 1.732=1+0.7+0.03+0.002=1+. 另外,我們也知道:. 1 =0.333…=0. 3 ;換句話說,循環小數 3. 1 也是有理數。事實上,“循環小數”都可化成“兩個整數的比” 3 (“循環小數化成分數”的證明,待高三課程再處理 )。 整理修改或自編版(有理數-引入概念啟蒙例): 生活中為了統計數量的平均,或為了公平在事物上的均分會使用到的 「值」。 例如:一顆大西瓜分給三個孩子吃,為了公平, 0. 3 =. 1. 每人要吃這一顆西瓜裡的三等份其中一份,我們稱每人吃 。 3. 這種有整數比例的數,寫成比值我們稱為「有理數」 。 有理數在希臘文中稱為 λογος,原意是「成比例的數」 49.
(53) 第一冊第一章、1-1-2、無理數(引入概念啟蒙例) 龍騰版(無理數-引入概念啟蒙例): 在數線上﹐有理數的分布雖然是密密麻麻的﹐但仍存在著無法用有理 數形式表示的數﹒例如:邊長是 1 的正方形其對角線的長. 2. 就不是一. 個有理數﹐如圖 4﹒(這是古希臘時期畢達哥拉斯學派首先發現的﹐關 於「. 2. 不是有理數」的證明放在本書書末的附錄中). 1. 0. 1 2 2. ▲圖 4 數線上﹐像這種「不是有理數的數」﹐我們都稱之為無理數﹒ 翰林版(無理數-引入概念啟蒙例): 小數中的有限小數與循環小數都可以化成分數﹐剩下不循環的無限小 數無法化成分數﹐則稱為無理數﹐例如 示﹐所以它是一無理數﹐ 計算機將. 2 無法用兩個整數的比來表. 2是無理數的證明請參閱本書的附錄。運用. 2 表成小數﹐為 1.41421356237 …﹐. 此小數表示法也提供. 2 的一些有理近似值﹐. 例如: 1﹐1.4﹐1.41﹐1.414﹐1.4142﹐1.41421﹐1.414213﹐1.4142135﹐…。 此外﹐圓周率 π 也是一無理數﹐π 表示成小數為 3.1415926535 …。 南一版(無理數-引入概念啟蒙例): 數線上每一個“點”都恰好對應一個“數”,這個“數”必然是“有理數或無 理數”,即整條數線都被“有理數”與“無理數”填滿。數線上對應無理數 的點稱為無理點。 除了 2 是無理數外,還有哪些“數”是無理數呢?一般而言: (1) 自然數 n 中不是“完全平方數”者,它的平方根 n 都是無理數。 例如:540=22.33.51 ( 540 的標準分解式 ),其中 540 含“質因數 3”是奇數個 ( 含“質因數 5”也是奇數個 ),那麼, 540 就是無理 數。 50.
(54) 第一冊第一章、1-1-3、實數(引入概念啟蒙例) 龍騰版(實數-引入概念啟蒙例): 事實上﹐所有的無理數都是不循環的無限小數﹐我們將有理數和 無理數統稱為實數﹒ 重要性質 正整數 數 負整數 整 零 有理數 有限小數 循環小數 實數 無理數(不循環的無限小數). ﹒ 翰林版(實數-引入概念啟蒙例): 實數是由有理數與無理數組合而成﹐下面的樹形圖表示實數的成員。. 我們引用記號 分別表示正整數﹑整數﹑有理數與實數﹐ 它們之間的包含關係如圖 1-3 所示。. 圖 1-3 51.
(55) 南一版(實數-引入概念啟蒙例): 數線上每一個點所對應的“數”分為“有理數或無理數”兩類。 反之, 有理數與無理數合在一起,描出數線上所有的“點”。 有理數與無理數合在一起,統稱為實數。即 (1)“全體的實數”與“數線上所有的點”形成一對一的對應。每一個 “實數”可以看成數線上的“點”,數線上每一個“點”亦可看成“實 數”。 (2) 數線上 A 點對應的“實數 a”稱為 A 點的坐標,記作 A (a)。 ●. 實數. 實數的體系表. 有理數 . ●. 整數(正整數、零、負整數) 有限小數 循環小數. 無理數 ( 不循環的無限小數 ). 52.
(56) 第一冊第一章、1-2、數線上的幾何(章節啟蒙例) 龍騰版(數線上的幾何-章節啟蒙例): 前一節介紹過﹐有理數和無理數都可以 在數線上找到對應的點;同樣的﹐數線上每 一點 P 也對應到一個實數 x ﹒有了數線之 後﹐可以藉由數線更了解實數的性質﹒例 如﹐把數線上的點往右移 1 單位﹐它的坐標 會多 1﹐往左移則坐標會變小﹒除此之外﹐數. ▲圖 1. 線上的點還有哪些幾何特性呢? 南一版(數線上的-幾何章節啟蒙例): 用“文字”代表特定的“數”來呈現式子,可以突顯“數”的規律,會讓我們 的視野更寬廣。( 如第 27 頁 ) 用“文字”代表“未知數”,處理應用問題時,就有“解方程式”或“解不等 式”的統一方法。 用“文字”代表“任意數”,我們就有各種公式,如恆等式、不等式…。 “式”是指由“數與文字”透過“運算符號”聯結而成的。 “數與式”是數學的基本物件。 整理修改或自編版(數線上的幾何章節啟蒙例):. 直尺上往右刻度越大,往左刻度越小。 數線上每一點 P 也對應到一個實數 x ﹒有了數線之後﹐ 可以藉由數線更了解實數的性質﹒ 例如﹐把數線上的點往右移 1 單位﹐它的坐標會多 1﹐往左移則坐標會 變小﹒除此之外﹐數線上的點還有哪些幾何特性呢?. 53.
(57) 第一冊第二章、2-1-1、函數的概念(引入概念啟蒙例) 龍騰版(函數的概念-引入概念啟蒙例): 小明想用 12 公尺長的圍籬圍出 一矩形區域飼養兔子﹒設矩形的一 邊長為 x 公尺﹐區域的面積為 y 平 方公尺﹐則 y 與 x 的關係﹐可以用 數學式 y=x(6-x)表示﹐ 亦即 y=-𝑥 2 + 6𝑥( 0 x 6 ) ﹒ ▲圖 1 由上式作 x 與 y 兩變數的對應表﹐ 如下: x 1 2 3 4 5 y 5 8 9 8 5 顯然﹐當 x 的值給定時﹐都有一個且只有一個對應的 y 值﹐ 像這種對應關係就是函數的概念﹒. 翰林版(函數的概念-引入概念啟蒙例): 自從西元 1734 年﹐瑞士數學家尤拉(Leonhard Euler﹐1707~ 1783)首先採用 f(x)做為函數的符號後﹐函數就成為數學及相關科 學發展的重要工具之一。 例如我們以 y 表示邊長是 x 之正方形的周長﹐則有 y=4x(x>0) ﹐此 關係式建立了正方形的周長與邊長之間的關係﹐從這關係式可得到以下 的數據: 邊長 x. 0.25. 0.5. 0.75. 1. 1.25. 1.5. 周長 y. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 南一版(函數的概念-引入概念啟蒙例): 函數是描述兩個變量 ( 變數 ) 間的“對應變化”關係,在高中數學裡, 它是一個既重要又基本的概念。 例如: (1)“距離與時間”的關係。 乘“高鐵”從起站出發,車行 10 公里後開始計時, 以均速 250 公里/時飛馳, 車行的“距離”S ( 公里 ) 與“時間”t ( 時 ) 有下列關係:S=250t+10 ( 0 t 1.6 ) (A) 54.
(58) (2)“面積與半徑”的關係。 圓盤面積 A 與半徑 r 的關係為 A=πr2 ( r 0 ) (B) (3) 氣體的“體積與氣壓”的關係 ( 波義耳定律 )。 常溫下的氣體,它的體積 V 與氣壓 p 成反比, 1 ( k 是常數,p>0 ) (C) p 上面三個例子都是函數關係。 距離 S 的遠近隨時間 t 的變化而改變, t 在某一個時段內取任一個值, 就對應 S 唯一又確定的值,S 稱為 t 的函數。 同理,A 稱為 r 的函數,V 也是 p 的函數。 即 V=k.. 整理修改或自編版(函數的概念-引入概念啟蒙例): 小明想用 12 公尺長的圍籬 圍出一矩形區域飼養兔子﹒ 設矩形的一邊長為 x 公尺﹐ 區域的面積為 y 平方公尺﹐ 則 y 與 x 的關係﹐ 可以用數學式 y=x(6-x)表示﹐ 亦即 y=-𝑥 2 + 6𝑥( 0 x 6 ) ﹒. ▲圖 1. 由上式作 x 與 y 兩變數的對應表﹐ 如下:. x. 1. 2. 3. 4. 5. y. 5. 8. 9. 8. 5. 顯然﹐當 x 的值給定時﹐都有一個且只有一個對應的 y 值﹐ 像這種對應關係就是函數的概念﹒ 通常對應的 y 值都使用 f(x)為符號方便看出對應關係,而自從西元 1734 年﹐瑞士數學家尤拉(Leonhard Euler﹐1707~1783)首先採用 f (x)做為函數的符號後﹐函數就成為數學及相關科學發展的重要工具 之一。. 55.
(59) 第一冊第二章、2-2、多項式方程式(章節啟蒙例) 龍騰版(多項式方程式-章節啟蒙例): 我們常利用符號代表數來描述數與數之間的關 係﹒ 例如: 當攝氏溫度為 x 度時﹐華氏溫度為 9 x 32 度﹒ 5. 像 9 x 32 這種用數及符號 x 經過加﹑減﹑乘運算, 5. 所形成的式子稱為 x 的多項式﹒. ▲圖 1. 南一版(多項式方程式-章節啟蒙例): 我們學過的一次函數 y=3x+2,二次函數 y=2x2-4x+1,三次函數 y =4x3-x, 所對應的式子:3x+2,2x2-4x+1,4x3-x 都是 x 的多項式 ( 含單項 式 )。 像下列的式子: x-1 1 x+1 (1) x+ , - ,分母含有“變數 x”,它們都是分式。 x x-1 x+1 3 (2) x- x , ,根號內含有“變數 x”,它們都是根式。 x+ x 分式與根式都不是多項式。什麼是多項式?. 56.
(60) 第一冊第二章、2-2-1、整係數一次因式檢驗法(引入概念啟蒙例) 龍騰版(整係數一次因式檢驗法-引入概念啟蒙例): 有什麼方法可以幫助我們找出多項式. f x 6 x3 13x 2 9 x 35 的一次因式呢? 觀察. 2 x 5 3x2 x 7 6 x3 13x2 9 x 35 ﹒ 可知 2x 5 是 6x3 13x2 9x 35 的一次因式﹐ 牛頓(Isaac Newton﹐英﹐ 1643~1727) 他從理論上推導出克卜勒 (Kepler)的行星運動定 律﹐ 從此揭開了天體運動的神秘 性﹐破除迷信﹐ 對後世影響極深遠﹒. 而且 (1) 因式 2x 5 的一次項 係數 2 是倍式 f x 的 最高次項係數 6 的因數﹒ (2) 因式 2x 5 的常數項 5 是倍式 f x 的常數項 35 的因數﹒ (3) 2x 5 的非零常數倍 4x 10 ﹐ 2x 5 ﹐…等也都是 f x 的因式. 名言:「如果我看得比較. ﹐因此考慮一個多項式的整係數一次. 遠﹐那是因為我站在巨人的. 因式 ax b 時﹐. 肩上﹒」. 可以只考慮 a 是正整數﹐ b 是整數﹐ 且 a ﹐ b 互質的情形﹒ 事實上﹐這個觀察並非巧合﹐ 它是有名的牛頓定理﹐. 57.
(61) 翰林版(整係數一次因式檢驗法-引入概念啟蒙例): 因式定理提供了檢驗多項式一次因式的方法﹐ b 若多項式 f(x)有一次因式 ax-b﹐則 f( )=0﹐反之亦然。 a 例如將多項式 2x2+x-6 分解為一次因式﹐ 先由領導係數 2 與常數項-6 著手﹐可從下列十字交乘法. 得出 2x2+x-6=(x+2) (2x-3)﹐ 觀察到一次因式 x+2 的一次項係數 1 與常數項 2 分別是 2x2+x-6 的領導係數 2 與常數項-6 的因數;而 2x-3 也有一樣的性質。 現在我們把這種找一次整係數因式的方法運用在多項式上。. 南一版(整係數一次因式檢驗法-引入概念啟蒙例): “因式的乘積”與“因式的分解”是一體的兩面。我們先了解因式如何相 乘,再進一步去探索如何分解因式。看下面的例子說明。 (1) 因式的乘積: “首項係數”乘積. ( 3x-1 ) ( 1x2-x+5 )= 3 x3-4x2+16x+ (-5 ) =f (x)。 “常數項”乘積. 3 | 3。( 3是f (x) 的“首項係數3”的正因數 ) f (x)含因式 ( 3x-1 ) 1 | (-5 )。( 1是f (x)“常數項 (-5 )”的因數 ) (2) 分解因式: 反之,如何找出 f (x)=3x3-4x2+16x+(-5 ) 的整係數一次因式 px- q。由上面因式乘積的啟示,可考慮: 從 f (x) 的“首項係數 3”的正因數中選 p,從 f (x) 的“常數項 (-5 )”的因 數中選 q。 3的正因數:p=1,3 -5的因數:q=±1,±5 ( px-q ) 可能的組合為 x±1, x±5, 3x±1,3x±5。上面有八個一次式 px-q,並不是每一個都是 f (x) 的因 式,我們可透過“因式定理”或“綜合除法”來篩選。f (1)≠0,f (-. 1 )≠0,…,f (. 1 )=0。 3 58.
(62) 所以,f (x) 含有一次因式 3x-1 (. 1 是 f (x)=0 的有理根 ), 3. 再由右欄的綜合除法知: 3 - 4 + 16 - 5 +). + 1 -. 1 3. 1 + 5. 1 3 - 3 + 15 + 0 =f ( 3 ). 1 ) ( 3x2-3x+15 ) 3 =( 3x-1 ) ( x2-x+5 )。 方程式 3x3-4x2+16x-5=0 f (x)=( x-. 有一個“有理根”. 1 1± 19 i ,另兩個是共軛虛根 。 3 2. 上面求 f (x)=3x3-4x2+16x-5 的一次因式 3x-1 所採用的方法叫作一次因式檢驗法。 此法 早在十七世紀, 科學家牛頓 ( Isaac Newton,1643 ~ 1727,英國 ) 就發現,故此法又稱牛頓定理。. ▲牛頓. 59.
(63) 第一冊第二章、2-3、多項式方程式(章節啟蒙例) 龍騰版(多項式方程式-章節啟蒙例): 我們知道:任一個實數的平方必為正數或 0﹒因此﹐方程式 x2 1 在實數系中無解﹒ 於是數學家們引進「虛數」﹐把實數系擴張成一個 較大的數系─複數系﹐ 使得所有的多項式方程式在這個數系中都有解﹒ ▲圖 1. 南一版(多項式方程式-章節啟蒙例): 有一塊矩形的金屬薄片,長 23 公分、寬 18 公分,在四個角上各剪去一 個邊長 x 公分的小正方形,然後摺成無蓋的長方體盒子,使它的容積為 600 立方公分,如下圖所示:. 圖 2-41 那麼,x 應取多少公分?長方體盒子的容積 V (x) 為 V (x)=( 23-2x ) ( 18-2x ).x=4x3-82x2+414x。( 0<x<9 ) 這個問題,就是要找出 x 值,使 4x3-82x2+414x=600, 或 4x3-82x2+414x-600=0。 (1) (1)式的左邊是實係數三次多項式 f (x)=4x3-82x2+414x-600,我們稱 等式 f (x)=0 為三次方程式。 一般而言,若 f (x) 是實係數 n 次多項式,則等式 f (x)=0, 稱為實係數 n 次多項式方程式,簡稱 n 次方程式。( 本書所談的 n 次方 程式都是“實係數”。). 60.
(64) 第一冊第二章、2-4、多項式函數的圖形與多項式不等式(章節啟蒙例) 龍騰版(多項式函數的圖形與多項式不等式-章節啟蒙例): 身體質量指數值(BMI)是一種廣被認定為肥胖的標準﹐公式是 BMI . 體重( kg ) ﹒ 身高的平方( m2 ). 成年人 BMI 值的正常數值應介於 18.5 到 24.9 之間﹐小於 18.5 則過輕﹐大於 24.9 則過重﹒根據公式﹐身高 170 公分 的成年人的正常體重﹐須維持在 53.465 公斤到 71.961 公斤之間﹒這是一個與 多項式不等式相關的問題﹐而多項式不 ▲圖 1. 等式是本節探討的主題之一﹒. 翰林版(多項式函數的圖形與多項式不等式-章節啟蒙例): 單靠描點作圖所描繪出的多項式函數圖形﹐ 有時不會十分準確﹐但是如果利用電腦或數學繪圖軟體﹐ 因描的點數增多可以使圖形的正確性大大地提高。 一般常被選用的繪圖工具﹐只要輸入函數﹐即可看到函數的圖形﹐ 以下我們用電腦繪圖來分析多項式函數值正負的所在區間﹐ 並用於解多項式不等式。. 南一版(多項式函數的圖形與多項式不等式-章節啟蒙例): 設 f (x) 是實係數 n 次多項式,那麼, 下列任一個不等式:f (x)>0,f (x)<0,f (x) 0,f (x) 0 都叫作 n 次不等式。 當不等式的未知數 x 用“實數 α”代入不等式,該不等式會成立, 則 α 稱為不等式的解。 所謂解不等式就是要找出“所有滿足該不等式的實數解”。. 61.
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