穩態響應：穩態誤差 - 時間響應分析 - 定義與定理 - I-Shou University Institutional Repository:Item 987654321/1283

第二章定義與定理

2.2 時間響應分析

2.2.5 穩態響應：穩態誤差

對控制系統在穩態響應時所做的性能評估，最重要的性能指標之一為穩態誤差 [19]。當控制系統在穩態時的輸出與參考輸入不一致時，稱系統有穩態誤差的存在。穩 態誤差的測試法則是以標準測試訊號為測試對象，包括單位步階響應、單位斜坡響應及單位拋物線響應。基本上，穩態誤差就是閉迴路控制系統的一種精密度量測。

穩態誤差的定義：

對一個典型的單位回授控制系統，

( )

s G

R Y

( )

圖2-12 單位迴授控制系統誤差訊號定義為：^e

( ) ( ) ( )

^t ⁼^r ^t ⁻^y^t ^，所以

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

s ^R ^s G

s s R G

s s G

s Y s R s E

= +

− +

−

1 1

1 (2.20)

穩態誤差e 定義為時間趨近於無窮大時誤差訊號的行為[14]，亦即 _ss

e e

( )

ss = limt→∞

因此利用拉氏轉換的終值定理來研究穩態誤差e 是最適合的工具，但是根據終值定理的_ss 觀念，任何時域函數必須存在終值才能使用終值定理。以數學的觀點而言，終值定理求解e 的方法如下所示： _ss

( )

ss position e step K

e = = +

1 1

（2）單位斜坡函數測試，

( ) ( )

ss v

ss velocity e ramp K

e = = 1

（3）單位拋物線函數測試，

( ) ( )

ss a

ss acceleration e parabolic K

e = = 1

定義： i

N = ：^G

( )

^s ^{為型式}i系統（Type i system）

系統型式與穩態誤差的關係：

（1）型式 0 系統（ Type 0 system）： K_p =常數， K_v =0， K_a =0

e （ position）ss G

( )

= +K_p

= +

1 1 0

1 1

e （ velocity）ss ⁼ ^s^→ sG

( )

s ⁼^∞ lim 1

e （ acceleration）ss ⁼ ^s^→⁰s²G

( )

s ⁼^∞ lim 1

（2）型式 1 系統（ Type 1 system）： K_p =∞， K_v =常數， K_a =0

e （ position）ss 1

( )

0 ⁰ 1 =

= + G

e （ velocity）ss s sG

( )

s Kv

1 lim 1

0 =

= →

e （ acceleration）ss ⁼ ^s^→⁰s²G

( )

s ⁼^∞ lim 1

（3）型式 2 系統（ Type 2 system）： K_p =∞， K_v =∞， K_a =常數

e （ position）ss 1

( )

0 ⁰ 1 =

= + G

e （ velocity）ss ⁼^lim^s^→⁰ sG¹

( )

s ⁼⁰ e （ acceleration）ss s s G

( )

s Ka

1 lim ₂1

0 =

= →

（4）型式 3 系統（ Type 3 system）： K_p =∞， K_v =∞， K_a =∞

e （ position）ss 1

( )

0 ⁰ 1 =

= + G

e （ velocity）ss ⁼^lim^s^→⁰ sG¹

( )

s ⁼⁰ e （ acceleration）ss ⁼^lim^s^→⁰s²G¹

( )

s ⁼⁰

表 2-2 穩態誤差綜合摘要

系統型式單位步階輸入單位斜坡輸入單位拋物線輸入

N 1+K_p

1 ∞ ∞

N 0

1 ∞

N 0 0

N 0 0 0

討論：

（1）若系統閉迴路穩定，則下列輸入訊號

( )

A t u

( )

t t

A A t

r ⎟⎟ _s

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ⋅

+ +

= 2

3 2 2 1

造成的穩態誤差為

a v ss p

K A K

A K

e A¹ ² ³

1 + +

= +

（ 2 ）誤差常數 K_p，K_v，K_a 是定義在開路轉移函數上的常數，而系統的型式亦是定義在開路轉移函數上。但是很明顯地，誤差常數與系統型式的觀念是要反映閉迴路系統穩態誤差的程度。這個以開路轉移函數上的資料來決定閉迴路系統性質的觀念，在古典控制理論上是非常特殊 且重要的 [19]！

誤差準則：

在控制系統的設計上，通常是需要滿足某些特定的性能指標規格，如上述介紹的暫態響應與穩態響應規格等。規格的種類當然不限於此，再一些特殊工作下，也可能能產生不同的規格要求。誤差準則(error criteria)的設計觀念，基本上是結合暫態響應與穩態響應的一種性能規格。我們考慮單位回授系統，令誤差 ^e

( ) ( ) ( )

^t ⁼^r ^t ⁻^y^t ，誤差準則的性能指標分類如下： 1. ISE(Integral-squared error criterion)性能指標的定義 [19]：

∫

^∞

= 0

2( dtt) e

ISE ，

其中^{e 為系統誤差。}

( )

2. ITSE(Integral time squared error criterion)性能指標的定義 [19]：

dt t te ITSE⁼

∫

0^∞

2( ) ，其中^{e 為系統誤差。}

( )

3. ITAE (Integral time absolute error criterion)性能指標的定義 [19]：

( )

^t ^dt

e t

ITAE⁼

∫

0^∞ ^⋅ ，其中^{e 為系統誤差。}

( )

從微積分基礎性質我們可以知道，若 ITAE 這個性能指標為有限值，則^{e 的穩態}

( )

值必為0。

4. GEC (Generalized error criterion )性能指標的定義 [32]：

( ) ( )

[

^e ^t ^e^t

]

^dt

GEC ⁼^∞

∫

^⋅ ⁺

& ，

其中e 為系統誤差。

( )

值得一提的是，若GEC 為有限值，則^{e 及}

( )

^t e& 的穩態值必同時為 0。

( )

範例 2-2： [19]

( ) ( ) ( )

且實用的工具是頻率響應法（frequency response）。頻率響應定義為控制系統對正弦輸入（sinusoidal input）訊號的穩態響應，簡單的說，頻率響應就是研究正弦訊號輸入控制系統後，時間趨近於無窮大時的輸出行為。然而我們第一個問題想要思考的是，這樣

證明：因為 ^u

( )

^t = ^Asin

ω

^t，所以

( )

₂ ₂ 將(2.20)、(2.21)代入(2.19)可得：

( ) ( )( )

頻率轉移函數或正弦轉移函數（sinusoidal transfer function）：

若系統的轉移函數為^G

( )

^s ，則其相對應的頻率轉移函數（正弦轉移函數）定義為

( )

ω

( ) ( )

ω

G j

ω

G = ∠

註：頻率響應就是研究系統在正弦輸入與其穩態輸出之間的大小與相位的變化關係，而根據定理 2.3.1 的敘述，這個大小與相位的關係正好與頻率轉移函數G

( )

ω

有直接的關

聯[14]。簡言之，正弦輸入與其穩態輸出之間的振幅大小倍率正好等於G

( )

ω

，正弦輸入與其穩態輸出之間的相位差值正好等於∠G

( )

ω

。

範例 2-3：[19]

考慮圖2-14 所示系統。其轉移函數為

( )

= +1 Ts s K G

Ts K +

1 y

( )

s G x

圖 2-14 一階系統

對於正弦輸入訊號^x

( )

^t = ^Xsin

ω

^t，系統的穩態輸出訊號y_ss

( )

t 可以求得如下：用 j

ω

代替^G

( )

^s ^中的^{s ，得到}

( )

= +1

ω ω

jT j K

G 輸出量對輸入量的幅值比為

( ) ω

1 2

ω

T j K

G = +

而相位角ϕ 則為

( ) ω ω

ϕ

=∠G j =−tan⁻¹T

因此，對正弦輸入訊號^x

( )

^t = ^Xsin

ω

^t，系統的穩態輸出量y_ss

( )

t 可以求得如下：

( ) ( ^ω ^ω )

ω

^t ^T

T t XK

y_ss ¹

2 sin tan

− −

= +

由上式可以看出，當

ω

很小時，穩態輸出y_ss

( )

t 的振幅，約等於輸入量振福的K倍。

當

ω

很小時，輸出量的相位移也很小。當

ω

很大時，輸出量的振幅很小，並且差不多與

ω

成反比關係。當

ω

趨於無窮大時，相位移趨近於−90⁰。

2.3.2 二階系統的暫態響應的性能指標

圖2-15(b) 標準二階系統的頻率響應相位圖 率響應規格：

如同時間響應分析，標準二階系統亦用來作為頻率響應分析的主要對象。利用標準二階系統的頻率響應圖，我們將定義下面的頻率響應規格：

ㄧ、共振頻率ω （resonant frequency）與共振峰值_γ M_γ （resonant peak）

觀察圖2-16，若頻率響應中的大小圖在某個頻率下出現峰值，則稱此頻率為共振頻率，

該峰值稱為共振峰值[19]。

ωr ω

( )

ω M

圖2-16 共振峰值與共振頻率為了求解標準二階系統的共振峰值與共振頻率，我們令

ω

_γ

γ =

Ω 為正規化共振頻率

（normalized resonant frequency），則共振頻率與共振峰值可由下推得：

( ) ( )

二、頻帶寬度 BW（bandwidth）

觀察圖2-17，在頻率響應中

Ω 為規格化頻帶寬度（normalized bandwidth），則頻帶寬度可由下推得：

( ) ( ) ⁽ ⁾

率響應中的頻寬愈寬可以反應出步階時間響應中的上升時間愈短，亦即頻寬是響應速度的等效指標。

2 = 1

ξ ξ

圖2-19 BW 對ξ 的曲線圖

2.3.3 引數定理（The principle of the Argument）

假設^F

( )

^s 是單值有理函數（single-value rational function），且其在s 平面上除了在極點之 外都是可解析的。若s 平面上選擇一條不經過^F

( )

^s 任何極點或零點的封閉曲線Γ ，將_s Γ_s 上的點經由^F

( )

^s ^{映射後，在}^F平面上形成一條封閉曲線Γ 。則_F Γ 在_F F平面上繞過原點的次數N 等於

P Z N = − 其中

Z是^F

( )

^s ^在^{s 平面上被封閉曲線}Γ 所包圍的零點數目， _s P是^F

( )

^s ^在^{s 平面上被封閉曲線}Γ 所包圍的極點數目， _s

N 表示Γ 的曲線圍繞_F F平面原點的方向與Γ 在 s 平面的方向相同， _s

N 表示Γ 的曲線圍繞_F F平面原點的方向與Γ 在 s 平面的方向相反， _s

N 表示Γ 不繞過_F F平面原點，或圍繞原點的淨繞數等於零。

圖2-20 為Γ 經由_s ^F

( )

^s ^映射至F平面上Γ 的圖示觀念[9]： _F

( ) s

s s

^{Δ 的零點}

( )

^s − ，p1 − p₂，……，−p_n正是開路系統的極點。

因此，若希望閉迴路系統穩定，則^{Δ 的零點}

( )

^s − ，z′1 −z′₂，……，−z′_n必須落在s 平面的左半平面。奈氏穩定準則就是根據上述的討論，再配合引數定理，而發展出與極座標 相關的頻域穩定準則[9]。

奈氏曲線（Nyquist contour）

為了利用上述的觀念分析控制系統的穩定度，奈氏在 s 平面上取了一條特殊的封閉曲線，這條曲線不經過Δ 的任何極點與零點，並包含整個 s 平面的右半平面。這個曲

( )

線稱之為奈氏曲線或奈氏路徑（Nyquist path）[9]。

如圖2-21 所示，奈氏路徑包含了Δ 在右半平面上所有的零點與極點。

( )

∞

圖2-21 奈氏曲線奈氏穩定準則（Nyquist stability criterion）

將圖順時針方向的奈氏曲線經由開路轉移函數^G

( ) ( )

^s ^H ^s ^映射到^{GH 平面上，所得的}

曲線Γ_GH稱為奈氏圖（Nyquist Plot）。若奈氏圖逆時針方向繞過

(

⁻^{1 j}⁺ ⁰

)

^{點的淨繞數目}

與開路轉移函數^G

( ) ( )

^s ^H ^s ^在s 右半平面的極點數目相同，則閉迴路系統是穩定的。

簡化奈氏穩定準則（Simplified Nyquist stability criterion）

若開路轉移函數^G

( ) ( )

^s ^H ^s ^在s 平面的右半平面沒有極點，則閉迴路系統是穩定的充分必要條件是

(

⁻^{1 j}⁺ ⁰

)

^點落在^G

( ) ( )

^s ^H ^s 極座標圖沿著頻率增加的方向的左邊。

增益邊限與相位邊限（Gain Margin and Phase Margin）

φ ω2

ω1

圖2-22 ^G

( ) ( )

^s ^H ^s ^極座標圖

當

ω

₁，G

( ) ( )

ω

₁ H j

ω

₁ 與單位圓相交，並與負實軸交φ 角；

當

ω

₂，G

(

ω

) (

H j

ω

)

與負實軸相交，此時G

(

ω

₂

) (

H j

ω

₂

)

=a 定義：增益邊限（Gain Margin）

( ) ( )

ω

H j

ω

相位為−180 時的頻率，稱之為相位交越頻率（phase crossover ° frequency）ω 。在此頻率下，增益邊限 GM 定義為 _p

( ) ( )

^j _p ^H ^j _p

GM G

ω ω

log 1

=20 dB

定義：相位邊限（Phase Margin）

( ) ( )

ω

H j

ω

大小為1 的頻率，稱之為增益交越頻率（gain crossover frequency）ω 。_g 在此頻率下，相位邊限PM 定義為

PM = 180°+∠G

( ) ( )

jωg H jωg (degree)

2.4 Lyapunov 的穩定性

2.4.1 定義 Lyapunov 穩定

吾人稱平衡點 x=0為 Lyapunov 穩定，若下列條件滿足：對任一

ε

>0，恆存在

δ

δ ( ) ε

，當初始值 x

( )

0 <

ε

滿足時，則恆有 x

( )

t <

ε

， ∀t≥0

也就是說，當x(t)之起始值距離原點在半徑

δ

之範圍內時，則當系統開始動以後，^{x 也}

( )

始終在

ε

之半徑內運動，不會越跑離原點越遠；不管

ε

多小，只要

δ

取的夠小（初始值^x

( )

⁰

離原點夠近），一定可以保證t≥0以後之 x 一定落於原先所指定之

( )

ε

半徑[31]。

圖2-23 Lyapunov 穩定圖

2.4.2 Lyapunov 穩定性判斷

設x=0為^x& ⁼ ^f

( )

^x 之平衡點，D 為x=0之一鄰域。V ：D→ 是一在 D 區域內連R 續可微的函數。

若V 滿足 (a) V(0)=0

(b) V(x)>0 in ^D⁻

{ }

⁰

則稱x=0為Lyapunov 穩定。若V(x)又滿足額外條件

(d) V&(x)<0 in ^D⁻

{ }

⁰ 則x=0為漸進穩定。

圖2-24 Lyapunov 漸進穩定圖 2.4.3 證明 Lyapunov 穩定 [31]

對 ∀

ε

≥0，存在

δ

使得

( )

δ

⇒ x

( )

t <

ε

x 0

對任一給定之

ε

，選擇r∈

(

ε ]

使得

{

^x ^R ^x ^r

}

B_r = ∈ ⁿ ≤ ⊂

設 =min

( )

→ >0

α

V x

x 由條件(b)，再取

β

∈

( )

α

並設Ω_β =

{

x∈B_rV

( )

x ≤

β }

，表Ω_β全部位於B 之內部。 _r

此時Ω_β有一特性，當軌跡在t =0時，由Ω_β內之ㄧ點開始運動時，則此軌跡必一直位

於Ω_β之內，可由下列式子得知條件(c) ⇒V&(x(t))≤0

⇒V^&

( )

t ≤V^&

( )

0 ≤

β

,∀t≥0

由於V 為連續且^V

( )

⁰ ⁼⁰^{，吾人可以找到一}

δ

^>⁰使得

( )

x V x

⊂ Ω

⊂

⇒

≤

β δ

β

於是

( )

0 ∈B_δ ⇒x

( )

0 ∈Ω_β ⇒ tx

( )

∈Ω_β ^⇒^x

( )

^t ^∈^B_r

⇒ x

( )

0 <

δ

⇒ x

( )

t <r≤

ε

,∀t≥0 ⇒ Lyapunov 穩定

第三章主要定理

3.1 系統描述 (Ⅰ)

茲考慮下述時間延遲控制系統：

[ ] ( )

[ ] ( ) ^{( )} ( )

( )

s e ^s s

U s Y t u L

t y

L ₋_τ

= . （3.1）

上述方程式中^U

( )

^s ^{為系統輸入}^{u 之拉氏轉換，}

( )

^t ^Y

( )

^s ^{為系統輸出}

y ( ) t

之拉氏轉換，有理函數^G

( )

^s 假設為一最小相位的轉移函數；其中

τ

表時間延遲常數，且

τ

≥0。

以下針對系統(3.1)，提出一個性能指標定義如下：

定義一：假設t₁,t₂,t₃,L且t₁ <t₂ <t₃ <L，為下述誤差微分函數e& 的解

( )

t =⁰^,∀t≥

τ

誤差振幅的衰減率(The decay ratio of the error`s amplitude)簡稱 DREA，如圖 3-1 所示，

定義為

( )

ⁿ_n

n et

t DREA sup e ⁺²

∈

= ，

圖3-1 DREA 物理波動示意圖由上述定義可知，系統的性能指標DREA 要越小越好。

3.1.1 主要定理 (Ⅰ)

以下吾人針對時間延遲控制系統(3.1)，提出主要定理如下：

定理一：

給定任意四個正數a 、b 、c 及 d ，其中0< a<1及0< d<1，若系統（3.1）加入補償器（如圖3-2 所示）

( )

s =G_c

( ) ( ) ( )

[

R s −Y s

]

，其中

( )

₂ ² ₂

2αβ β β

= +

s s s

F ，

{

₄, ₅

}

max

α α

α

= ，（3.2）

( ) ( )

2 2

4 ln

: ln

a a

= +

α π

，（3.3）

( ) ( )

2 2

5 4 ln

: ln

d d

= +

α π

，（3.4）

{

₁^, ₂

}

max

α α

β

= ，（3.5）

⋅b

=α α₄ : ⁴^.⁶

，（3.6）

( )

² ¹⁴

1 :

α α

α

−

⋅

= c

，（3.7）

則此閉迴路控制系統在暫態響應和穩態響應上，必滿足下列五項規格：

(i) 當輸入訊號為任意常數的情況下，系統之穩態誤差為零；

(ii) 閉迴路控制系統的最大超越量必小於或等於a ，其中0< a<1； (iii) 閉迴路控制系統的安定時間(1%)必小於或等於

τ

+b(秒)；

(iv) 當輸入訊號r(t)=k為任意常數的情況下，閉迴路延遲系統的ITAE 必小於或等於c ；

(v) 當輸入訊號r(t)=k為任意常數的情況下，閉迴路延遲系統的DREA 必小於或

(i)-(iii) 由梅森增益公式(Mason’s gain formula)及圖 3-2，吾人可得到閉迴路控制系統的轉移函數為

此外，我們也能輕易獲得

3.1.2 範例說明 (Ⅰ)

考慮下述時間延遲控制系統：

) 1 ( ) ( 2 ) ( )

( + ′ + = −

′′ t y t y t u t

y （3.16）

參照（3.1）可得轉移函數為

2 ) 1

( ₂

= + s s s

G ，（3.17）

及延遲時間

τ

=1。

吾人的目標擬設計一控制器促使整個閉迴路時間延遲系統滿足下列五項規格：

（G1）當輸入訊號為任意常數時，則此系統穩態誤差為 0；

（G2）閉迴路控制系統的最大超越量小於或等於 0.6 ；

（G3）閉迴路控制系統的安定時間(1%)小於或等於 3 (秒)；

（G4）當輸入為單位步階函數時，閉迴路時間延遲系統 ITAE 必小於或等於 2；

（G5）當輸入訊號為單位步階函數時，閉迴路時間延遲系統 DREA 必小於或等於0.5。

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

time

y(t)

圖 3-2.1 系統(3.16)之單位步階原始響應圖

茲比較 (G1) - (G5) 與 (i) - (v)，可得

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

time

y(t)

圖 3-2.2 系統（3.16）之單位步階(加入補償器後)響應圖

3.2 系統描述（Ⅱ）：

茲考慮下述時間延遲控制系統：

[ ] ( )

[ ] ( ) ^{( )} ( )

( )

s e ^s s

U s Y t u L

t y

L ₋_τ

= . （3.20）

上述方程式中^U

( )

^s ^{為系統輸入}^u

( )

^t ^{之拉氏轉換，}^Y

( )

^s ^{為系統輸出}^{y 之拉氏轉換，}

( )

有理函數^G

( )

^s 假設為一最小相位的轉移函數；其中

τ

表時間延遲常數，且

τ

≥0。

有理函數^G

( )

^s 假設為一最小相位的轉移函數；其中

τ

表時間延遲常數，且

τ

≥0。

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穩態響應：穩態誤差

第二章 定義與定理

2.2 時間響應分析

2.2.5 穩態響應：穩態誤差

( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

∫

( )

∫

( )

( )

∫

( )

( )

( ) ( )

[

]

∫

( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

ω

( )

( ) ( )( )

( )

( )

ω

( ) ( )

ω

ω

( )

ω

( )

ω

( )

ω

( )

( )

( )

ω

( )

ω

( )

( )

ω ω

( ) ω

ω

( ) ω ω

ϕ

( )

ω

( )

( ) ( ω ω )

第二章定義與定理

( ) ( ^ω ^ω )

( ) ( ) ⁽ ⁾

2.4 Lyapunov 的穩定性