I-Shou University Institutional Repository:Item 987654321/1283

全文

(1)具多樣性能指標之時間延遲控制系統的規格改善. Specifications improvement for time-lag control systems with multiple performance indexes. 研究生：江玉麒撰指導教授：孫永莒博士. 義守大學電機工程學系碩士班碩士論文. A Thesis Submitted to the Department of Electrical Engineering of I-Shou University in Partial Fulfillment of the Requirements for the Master Degree with a Major in Electrical Engineering June, 2009 Kaohsiung, Taiwan Republic of China. 中華民國九十八年六月 . .

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(4) . 致謝在研究所生涯中的這短短兩年日子裏，首先我要感謝我的指導教授孫永莒博士，不論在研究領域的理論基礎，或是研究方法的奇妙創新，以及學術理論的耐心指導和不厭其煩的解答學生所有的疑惑，讓我受益匪淺，促使我這兩年來的成長及奠定我未來作研究的基本基礎與能力。不管是學業或是待人處事上，都是我該努力效法的楷模。並且感謝高雄大學的潘欣泰教授，永達科技大學的曾俊傑教授，高苑科技大學的江瑞利教授非常細心審閱學生的論文，並在百忙之中撥空前來擔任我的口試委員，給予學生最適切的指導以及提供寶貴的意見，使本論文更臻完備，對此學生由衷感謝。此外更要感謝淳富學長、彥熙學長、緯達學長、哲宏學長、元恩學長、怡靜學姐、偉盛學長、以及通訊組家銘學長研究和課業上指導，還有研究室的同學─崇瑋、志成、盈佐、毓甯、奕安、威廷、永錫、致遠以及學弟子銘、振銘、聖閔在研究上的切磋與生活上的諸多照顧，還有各地好友們在課業上關心與建議。最後，我衷心感謝我摯愛的父母及家人在背後默默辛勞付出與支持是我精神上的最大支柱，讓我在此能無憂無慮的學習，沒有他們的支持與鼓勵，不可能有我今天的小小成果。還有我的女朋友，玉姍對於我生活上的照顧、叮嚀及陪伴我渡過在研究上的種種困難，使我的壓力大大減小，非常感謝她對於我的關心及付出。 I .

(5) . 具多樣性能指標之時間延遲控制系統的規格改善. 研究生:江玉麒. 指導教授:孫永莒. 義守大學電機工程研究所. 摘要本篇論文，擬針對一類時間延遲控制系統提出一項新型性能指標。此外，吾人將針對時間延遲控制系統，利用時域分析法，設計一些簡單且容易硬體製作的回授型控制器，促使整個閉迴路控制系統之暫態響應、穩態響應、時域響應及頻域響應的性能指標均可分別達到某特定範圍內。最後，吾人將提出多個數值範例並輔以電腦模擬來說明本篇論文之主要定理。. 關鍵詞：誤差振幅的衰減率、積分時間乘以誤差微分絕對值、回授型控制器、時間延遲控制系統. II .

(6) . Specifications improvement for time-lag control systems with multiple performance indexes. Advisor: Yeong-Jeu Sun. Student: Yu-Chi Chiang. Department of Electrical Engineering I-Shou University. Abstract In this thesis, we represent a new performance indexes for a class of time-lag control systems. According to the requirement of control system, we can utilize time-domain method to design a simple feedback compensation as follows: (1) We propose simple compensation designs of under which the frequency-domain specifications and time-domain specifications of close-loop time-lag control system can be kept within prescribed limit. (2) We propose a simple compensation designs of some specifications under which the transient response and steady-state response of close-loop time-lag control systems can be kept within prescribed limit. Finally, several numerical examples and computer simulations are provided to illustrate the use of the main results.. Key words: DREA, ITADE, feedback control, time-lag control systems.. III .

(7) . 目錄致謝 ……………….………………………………………….... I 中文摘要…………………………………………………………….…..II 英文摘要…………………………………………………..……………III 目錄……………………………………………….…………………….IV 圖表目錄…...…………………………………………………………VII 第一章. 前言…………………………………………………………1. 1.1 簡介 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … . 1 1.2 符號定義 … … … … … … … … … … … … … … … … … … . … … 2 第二章. 定義與定理……………………………………………………..…3. 2.1 控制系統及其基本架構 … … … … … … … … . . … … … … … … … 3 2.2 時間響應分析………………………………………………..………...5 2.2.1. 時間響應的基本觀念……...……………..……………............. 5. 2.2.2. 一階系統的暫態響應…….………………..…………………...6. 2.2.3. 二階系統的暫態響應…….………………..…………...............8. 2.2.4. 二階系統的暫態響應的性能指標………………………...….13. 2.2.5. 穩態響應：穩態誤差.................…………………………..….17. 2.3 頻率響應分析…………………………………...………………..…..24 2.3.1. 頻率響應的基本觀念……………………………...………….24 IV . .

(8) . 2.3.2. 二階系統的暫態響應的性能指標……………………......…..27. 2.3.3. 引數定理……………………………………………...……….…..31. 2.3.4. 奈氏穩定準則…………………………………...………...…..32. 2.4 Lyapunov 的穩定性 ……...………………………………….. 34 2 . 4 . 1 定義 Lyapunov 穩定 …………………..……….…….…. 34 2 . 4 . 2 Lyapunov 穩定性判斷 ……………..………….………. .35 2 . 4 . 3 證明 Lyapunov 穩定 …………………...…………….….36 第三章. 主要定理………………………………………………….38. 3.1 系統描述 ( I ) . … … … … … … … … … … … … … … … . . … … . . 3 8 3 . 1 . 1 主要定理(I) ………………………………………….…….39 3 . 1 . 2 範例說明(I) …………………...…………………………..42 3.2 系統描述(II).....…………………………………………….…44 3 . 2 . 1 主要定理(II) ……………………………………….......... 45 3 . 2 . 2 範例說明(II) …………………...………………………….48 3.3 系統描述(Ⅲ)……………………………………………… ………...51 3.3.1 主要定理(Ⅲ) ……………………………………………...51 3.3.2 範例說明(Ⅲ).………………...………………..………….55 第四章. 結論與未來研究方向……………………………………………58. 4.1 結論…………………………………………………………….…….. 58 V .

(9) . 4.2 未來研究方向………………………………………………... ……..58 參考文獻…………………………………………………………… ………...59. VI .

(10) . 圖表目錄圖 2-1 開路控制系統的基本方塊示意圖......………..………………………3 圖 2-2 閉路控制系統的基本方塊示意圖......………..………………………4 圖 2-3 標準一階系統方塊圖……………...……………………………….....6 圖 2-4 標準一階系統的單位步階響應圖……………………………………..6 圖 2-5 標準一階系統的單位脈衝響應圖...….…………………………...…..7 圖 2-6 一階系統的比例回授控制……………..………………………………7 圖 2-7 標準二階系統方塊圖………………..…………………………………8 圖 2-8 標準二階系統的單位步階響應圖………..……………………………10 圖 2-9 標準二階系統的單位脈衝響應圖….………………………………...11 圖 2-10 標準二階低阻尼系統的暫態響應性能指標..………….…...………...13 圖 2 - 11 二階系統 … … … … … … … … … … … … … … . . … … … … … … … … … . . . 1 6 圖 2-12 單位回授控制系統…………………………..………………………...17 圖 2-13(a) 控制系統…………………………..……..………………………….23 圖 2-13(b) 帶輸入濾波器的控制系統……….....…..………………………….23 圖 2-14 一階系統……………………………………..………………………...26 圖 2-15(a) 標準二階系統的頻率響應大小圖..……..………………………….27 圖 2-15(b) 標準二階系統的頻率響應相位圖.....…..………………………….28 圖 2- 16 共振峰值與共振頻率關係圖...……………………………………...... 28 圖 2-17 頻帶寬度與頻率關係圖...….…………………………………………. 29 圖 2-18 Mo 對 ξ 與 Mγ 對 ξ 的曲線圖………………………………….…….. 30 圖 2-19 BW 對 ξ 的曲線圖………..…………………………………...……. 31 圖 2 - 2 0 Γs 經由 F (s ) 映射至 F 平面的 ΓF … … … … … … . . … … … … … … . … . 3 2 圖 2-21 奈氏曲線………..……………………………………………..……. 33 圖 2 - 2 2 G (s )H (s ) 極座標圖 … … … . . … … … … … … … … … … . … … … … … . 3 4 VII .

(11) . 圖 2-23 Ly a p u n o v. 穩定圖………..………………..…………………….35. 圖 2-24 Ly a p u n o v. 漸進穩定圖………………………………………….36. 圖 3-1. DREA 物理波動示意圖………..……..…..…………..….38. 圖 3-2. 系統(3.1)之回授控制器設計………..……..…..…………..….40. 圖 3-2.1 系統(3.16)之單位步階響應圖（原始響應圖）.…………..….…..42 圖 3-2.2 系統(3.16)之單位步階響應圖（加入補償器後的圖形）..…...….44 圖 3-3. 系統(3.20)之回授控制器設計………..……..…..…………..….46. 圖 3-3.1 系統(3.34)之單位步階響應圖（原始響應圖）.…………..….…..48 圖 3-3.2 系統(3.34)之單位步階響應圖（加入補償器後的圖形）..…...….50 圖 3-4. 系統(3.38)之回授控制器設計………..……..…..…………..….52. 圖 3-4.1 系統(3.54)之單位步階響應圖（原始響應圖）.…………..….…..55 圖 3-4.2 系統(3.54)之單位步階響應圖（加入補償器後的圖形）..…...….57 表 2-1. 標準測試訊號的數學描述………..……..……………………..5. 表 2-2. 穩態誤差綜合摘要…………..……..………..…………..….21. VIII .

(12) . 第一章前言 1.1 簡介承如我們所知，控制系統是藉由控制器的設計，促使系統之輸出達到某種預期的目標。我們常聽到「飛機從起飛所需的跑道長度」、「汽車從起步到車速達 100m/sec 所需的時間」、「飛彈發射後偏離距離目標的大小」…等等各種系統性能的好壞，上述可歸納為兩類，即暫態響應的敏捷性及穩態響應之精確性兩類問題。近年來，時間延遲系統的穩定性分析及控制器設計已被廣泛的研究，如文獻[1-11, 15-29, 30-31, 34-35]。時間延遲系統除了理論上的相關性質，吾人亦可利用時間延遲之各項特性及相關定理來設計各式控制器，而這些控制器往往可用於實驗室及工業界。而本論文擬針對一類時間延遲控制系統提出一個嶄新的性能指標。此外，吾人將針對此類時間延遲控制系統，設計一個簡單且容易硬體製作的回授型控制器，促使整個閉迴路時間延遲系統之時域響應及頻域響應的性能指標均能獲得改善。本章論文的結構介紹如下：第二章為定義與定理探討，第三章為主要定理及範例說明，第四章為本篇論文的結論與未來研究方向。. 1 .

(13) . 1.2 符號定義數學符號定義如下 ℜ + := 所有非負實數集合. f. −1. ( x) := f ( x ) 的反函數。. u (t ) := 系統輸入訊號。 y (t ) := 系統輸出訊號。. α := 阻尼比. β := 自然頻率。. ωγ := 共振頻率。. β o := 頻寬。 N := 自然數。 sup(s ) := 代表集合 s 的最小上界。 ⎧1 , for t ≥ 0 u s (t ) := ⎨ ⎩0 , for t < 0 .. 2 .

(14) . 第二章. 定義與定理. 2.1 控制系統及其基本架構 “控制”一詞意謂著對某一特定命令的調整或追蹤。而”自動控制系統”即為達成此一特定命令所構成的系統。控制系統的主要機構為受控元件與控制元件：受控元件一般稱之為受控廠或受控系統或受控程序；而控制元件則稱為控制器或補償器。控制系統達成控制目標的基本架構，根據是否有回授的存在，分為下列兩大類。 1. 開迴路控制系統(open-loop control system) 輸出訊號對輸入的動作，沒有任何影響的控制系統，定義為開迴路控制系統 [14]。圖 2-1 為開迴路控制系統的基本方塊示意圖：. r. 控制器. u. 受控廠. y. 圖 2-1：開迴路控制系統的基本方塊示意圖其中， r ：參考輸入(reference input)或命令(command)，. u ：致動訊號(actuating signal)， y ：系統輸出(system output)。. 開迴路控制系統的動作原理，是給定一個參考輸入或命令後，希望系統的輸出能自動到達或追隨此一命令，但是動作過程中系統的輸出訊號並不回授。開路控制系統只適用於系統輸入、輸出關係已知，且無任何外來干擾的控制系統。其結構雖然簡單，但系統的精密度也較低。 2. 閉迴路控制系統(closed-loop control system) 輸出訊號對輸入的動作，有直接影響的控制系統，定義為閉迴路控制系統[14]。圖 2-2 為閉迴路控制系統的基本方塊示意圖：. 3 .

(15) . r. 比較器. e. 控制器. u. 受控廠. y. b 測量器. 圖 2-2：閉迴路控制系統的基本方塊示意圖其中， r ：參考輸入(reference input)或命令(command)，. u ：致動訊號(actuating signal)， y ：系統輸出(system output)。. b ：回授訊號(feedback signal)，. e ：誤差訊號(error signal)。閉迴路控制系統的動作原理，是給定一個參考輸入或命令後，將系統的輸出訊號經由測量器回授，命令值 r 與回授訊號 b 在比較器中比較之後，產生誤差訊號. e ，控制器接受誤差訊號後合成致動訊號 u 到授控廠以減少誤差，並降低外來的雜訊及干擾，使輸出漸近達到預定之值。閉迴路控制系統由於回授的存在使得結構較複雜，但系統的精密度卻較高。另外，閉迴路控制系統中，若誤差訊號為參考命令與回授訊號的差，亦即 e = r − b ，則稱為負回授控制系統，否則若. e = r + b ，則稱為正回授控制系統。. 4 .

(16) . 2.2 時間響應分析 2.2.1 時間響應的基本觀念穩定度在回授控制系統中，是最重要的問題。但系統除了穩定度之外，也必須要求工作性能(performance) 方能達到控制系統的工作目的。古典控制理論中研究控制系統性能的方法有很多種，其中較為重要的有所謂的時間響應（time response）與頻率響應(frequency response)兩個方法。本章將首先研究控制系統的時間響應，而時間響應的觀念簡單來說，就是對系統輸入一個控制訊號後，觀察其輸出的響應行為，藉以判斷控制性能的優劣，並找出控制器的設計方法。但是控制系統的輸入訊號並沒有一定的形式，因此我們常規劃一些標準測試訊號來探討系統的性能，雖然控制系統的輸入不一定與這些標準測試訊號完全相同，但基於此類訊號所測試並設計出來的控制器，將來應用到真實系統操作時，通常仍能有令人滿意的結果。下表為標準測試訊號的數學描述：表 2-1 標準測試訊號的數學描述. r (t ). 標準測試訊號. 拉氏轉換 R(s ). 單位步階函數. r (t ) = u s (t ). 1 s. 單位斜坡函數. r (t ) = tu s (t ). 1 s2. 單位拋物線函數. r (t ) =. t2 u s (t ) 2. 1 s3. 控制系統的時間響應可分為兩個部分： (1) 暫態響應(transient response) 暫態響應指的是響應初期的輸出行為，此行為與系統的極點(特根性)及初始值有關。 (2) 穩態響應(steady-state response) 穩態響應指的是時間趨近於無窮大時的系統輸出行為，此行為與系統的輸入訊號及極點(特性根)有關。. 5 .

(17) . 2.2.2 一階系統的暫態響應圖 2-3 為典型的標準一階系統[14]（prototype first order system）方塊圖。 R (s ). 1 Ts. Y (s ). 圖 2-3 標準一階系統方塊圖. 其閉迴路轉移函數為. Y (s ) 1 = = R(s ) Ts + 1. 若輸入為單位步階訊號 R (s ) =. 1 T s+. 1 T. 1 ，則輸出為 s. 1 T. Y (s ) =. s+. 1 T. ×. ⇒ y (t ) = 1 − e. 1 1 = − s s. −. t T. 1 s+. 1 T. ， t≥0. 其中 T 稱為系統的時間常數（time constant）。圖 2-4 為此一階系統的單位步階響應圖[14]： y (t ) 1 0.632 0. 5. 0. 0.982. 0.632. 0.865. 0.95. T. 2T. 3T 4T. 0.993. 5T 6T. t. 圖 2-4 標準一階系統的單位步階響應圖當 t = T 時，系統的單位步階響應值為 y (T ) = 1 − e −1 = 0.632，因此ㄧ階系統的時間常數 T 又定義為單位步階響應到達終值的 63.2% 所需要的時間。另外，系統的單位步階響應在. t = 0 的斜率正好是. 1 。 T. 6 .

(18) . 若輸入為單位脈衝訊號 R(s ) = 1 ，則輸出為 Y (s ) =. 1 T. 1 s+ T. ×1. t. 1 − ⇒ y (t ) = e T ， t ≥ 0 T. 圖 2-5 為此一階系統的單位脈衝響應圖[14]： y (t ) 1 T 0.5 T. 0. 2T. t. 6T. 4T. 圖 2-5 標準一階系統的單位脈衝響應圖就ㄧ階系統而言，其暫態性能的規劃非常簡單，若時間常數 T 值愈小，亦即系統極點s = −. 1 離 s 平面的虛軸愈遠，則相對穩定度愈好，步階或脈衝響應的暫態也就愈快。 T. 基本上我們可以使用下列的比例控制迴路來改變時間常數，也就是改變系統的極點。圖 2-6 為一階系統的比例回授控制器：. R(s ). + +. U (s ). K. 1 Ts. 圖 2-6 一階系統的比例回授控制. 7 . Y (s ).

(19) . Y (s ) 因為此時閉迴路轉移函數為 = R(s ). K T s+. K T. ，閉迴路極點變為 s = −. K ，若 K 值愈大，則 T. 等效而言時間常數愈小，極點離虛軸愈遠，步階或脈衝響應的暫態速度也就愈快。但是暫態速度變快所付出的代價是驅動受控廠. 1 的致動訊號 u 值也將愈大。換言之，系統愈 Ts. 快達成控制目標，在響應初期必須給予系統的能量也就愈大。而實際的控制器硬體可能無法在短時間內提供這麼大的能量需求，因此在設計補償時，極點的位置必須適當的選擇。. 2.2.3 二階系統的暫態響應圖 2-7 為典型的標準二階系統（prototype second order system）方塊圖[19]。. R(s ). ωn 2 s(s + 2ξwn ). Y (s ). 圖 2-7 標準二階系統方塊圖. ω n2 Y (s ) 。其閉迴路轉移函數為 = R (s ) s 2 + 2ξω n s + ω n2 若輸入為單位步階訊號，則輸出可分為下列四種狀況：（1）低阻尼（under damped， 0 < ξ < 1 ， ω n > 0 ）低阻尼的二階系統極點 s = −ξω n ± jω n 1 − ξ 2 為共軛複根， Y (s ) =. ⇒ y (t ) = 1 −. ω n2 s. 2. + 2ξω n s + ω n2. 1 s. ⎛ 1−ξ 2 sin ⎜ ω n 1 − ξ 2 t + tan −1 ⎜ ξ 1−ξ 2 ⎝. e −ξϖ nt. 8 . ×. ⎞ ⎟ ，t ≥ 0 ⎟ ⎠. (2.1).

(20) . （2）臨界阻尼（critical damped， ξ = 1， ω n > 0 ）臨界阻尼的二階系統極點 s = −ω n ， − ω n 為兩個實重根， Y ( s ) =. ω n2 s. 2. + 2ω n s + ω n2. ×. 1 s. ωn 1 1 = − − s s + ω n (s + ω n )2. (2.2). ⇒ y (t ) = 1 − e −ωnt (1 + ω n t ) , t ≥ 0 （3）過阻尼（over damped， ξ > 1 ， wn > 0 ）過阻尼的二階系統極點 s = −ξω n ± ω n ξ 2 − 1 為相異實根， Y (s ) = =. ω n2 s. 2. + 2ξω n s + ω n2. ×. 1 s. 1 1 1 + × s 2 ξ 2 − 1⎛ ξ + ξ 2 − 1 ⎞ s + ξω + ω ξ 2 − 1 ⎜ ⎟ n n ⎝ ⎠ 1 1 − × 2 2 ξ 2 − 1⎛⎜ ξ + ξ 2 − 1 ⎞⎟ s + ξω n − ω n ξ − 1 ⎝ ⎠. ⇒ y (t ) = 1 +. −. 1 2 ξ 2 − 1⎛⎜ ξ + ξ 2 − 1 ⎞⎟ ⎝ ⎠ 1 2 ξ 2 − 1⎛⎜ ξ − ξ 2 − 1 ⎞⎟ ⎝ ⎠. (2.3). ⎛ −ξω −ω ξ 2 −1 ⎞t ⎜ ⎟ n n ⎠. e⎝. ⎛ −ξω −ω ξ 2 −1 ⎞t ⎜ ⎟ n n ⎠ e⎝. ,t ≥ 0. (4)無阻尼（undamped， ξ = 0 ， ω n > 0 ）無阻尼的二階系統極點 s = ± jω n 為兩個純虛根， Y ( s) = =. ⇒. ω n2 1 × 2 2 s + ωn s s 1 − 2 s s + ω n2. y (t ) = 1 − cos ω n t ， t ≥ 0. 9 . (2.4).

(21) . 圖 2-8 為標準二階系統各種不同阻尼值的單位步階響應圖[19]：. 圖 2-8 標準二階系統的單位步階響應圖. 若輸入為單位脈衝訊號 R(s ) = 1 ，則輸出亦可分為下列四種狀況：（1）低阻尼（under damped， 0 < ξ < 1 ， ω n > 0 ）低阻尼的二階系統極點 s = −ξω n ± jω n 1 − ξ 2 為共軛複根, Y (s ) = = ⇒ y (t ) =. ω n2 s 2 + 2ξω n s + ω n2. ωn 1 − ξ 2. ωn. (. 2 2 2 1 − ξ 2 (s + ξω n ) + ω n 1 − ξ. ωn 1−ξ. 2. ). (2.5). e −ξωnt sin ω n 1 − ξ 2 t , t ≥ 0. （2）臨界阻尼（critical damped， ξ = 1 ， ω n > 0 ）臨界組尼的二階系統極點 s = − wn ， − ω n 為兩個實重根，. Y (s ) =. ω n2 s 2 + 2ξω n s + ω n2. ⇒ y (t ) = ω n2 te −ωnt t ≥ 0. 10 . (2.6).

(22) . (3)過阻尼（over damped， ξ > 1 ， ω n > 0 ）過阻尼的二階系統極點 s = −ξω n ± ω n ξ 2 − 1 為相異實根，. Y (s ) =. ω n2 s 2 + 2ξω n s + ω n2. ⇒ y (t ) =. ωn 2 ξ 2 −1. ⎛ −ξω +ω ξ 2 −1 ⎞t ⎟ ⎜ n n ⎠ e⎝. −. ωn 2 ξ 2 −1. ⎛ −ξω −ω ξ 2 −1 ⎞t ⎟ ⎜ n n ⎠ e⎝. ,t ≥ 0. (2.7). （4）無阻尼（undamped， ξ = 0 ， ω n > 0 ）無阻尼的二階系統極點 s = ± jω n 為兩個純虛根， Y (s ) =. ω n2 s 2 + ω n2. (2.8). ⇒ y (t ) = ω n sin ω n t , t ≥ 0. 圖 2-9 為標準二階系統各種不同阻尼值的單位脈衝響應圖[19]：. 圖 2-9 標準二階系統的單位脈衝響應圖. 註：二階系統的步階或脈衝響應很明顯地均比一階系統來得複雜。以單位步階響應而言，若系統的響應上升速度愈快，則輸出訊號所呈現的超越終值振盪現象也愈劇烈。這意味著二階系統的暫態控制不像一階系統那樣簡單，無法只用一個比例控制器 K ，就能輕易地調整輸出波形。 11 .

(23) . 不同類別阻尼值其時間響應與穩定度的關係： ξ >1 ×. σ. ×. ξ =1. σ. ××. 0 <ξ <1. ×. σ ×. × ξ =0. σ ×. 0 > ξ > −1 ×. σ ×. ξ < −1 ×. ×. σ. 12 .

(24) . 2.2.4 二階系統的暫態響應的性能指標由 2-2-3 節標準二階系統的單位步階與單位脈衝響應可知，其暫態響應的變化要遠比一階系統複雜。因此二階系統的暫態響應性能，通常僅以單位步階響應來規劃，而且以低阻尼系統為標準。圖 2-10 即為標準二階低阻尼系統的單位步階響應所規劃的暫態響應性能指標。. 圖 2-10 標準二階低阻尼系統的暫態響應性能指標. 根據圖 2-10，時域上暫態響應性能的性能指標有下列四項[19]：（1）最大超越量（Maximum overshoot） M o 此性能指標是系統輸出在暫態反應期間，對步階輸入的最大偏移量，通常以最終值的百分比來表示：最大超越量百分比（percent maximum overshoot）=. y (t p ) − y (∞ ) y (∞ ). × 100%. (2.9). 其中 t p 稱為尖峰時間（peak time），是單位步階響應到達第一個高峰所需要的時間。. 13 .

(25) . （2）上升時間（rise time） tγ 單位步階響應由最終值的 10％上升到 90％所需的時間。但對於低阻尼系統，通常指 0％ → 100％所需的時間。（3）延遲時間（delay time） t d 單位步階響應到達終值一半（50％）所需的時間。（4）安定時間（settling time） t s 單位步階響應到達終值的特定百分比範圍內所需的時間。此特定範圍通常為 5 ％、2％或 1％。. 註：上升時間通常代表系統初期響應的速度，而安定時間則代表系統後期響應的速度。根據 2.2.3 節標準二階低阻尼系統的單位步階響應公式（2.1）：. y (t ) = 1 −. ⎛ 1−ξ 2 sin ⎜ ω n 1 − ξ 2 t + tan −1 ⎜ ξ 1−ξ 2 ⎝. e −ξϖ nt. ⎞ ⎟ ⎟ ⎠. (2.10). 現在利用暫態響應所定義的性能指標，分別求出二階系統的暫態響應規格公式。（1）尖峰時間 t p. 令 ωd = ωn 1 − ξ 2. , θ = tan −1. 1−ξ 2. ξ. ξω n −ξωnt 1 d y (t ) = e sin (ω d t + θ ) − e −ξωnt ω d cos(ω d t + θ ) dt 1−ξ 2 1−ξ 2 =. 令. ωn 1−ξ 2. e. −ξωnt. sin ω d t. d y (t ) = 0 得 sin ω d t = 0 , 因此 dt t= ⇒ tp =. nπ. ωn 1 − ξ 2 π ωn 1 − ξ 2 14 . . (2.11). (2.12).

(26) . （ 2 ）最大超越量 M o. ( ). M o = y t p −1 =−. 1−ξ. = e −πξ. 2 ⎛ −1 1 − ξ ⎜ sin π + tan ⎜ ξ ⎝. 1−ξ 2. e −πξ. 2. ⎞ ⎟ ⎟ ⎠. (2.13). 1−ξ 2. （ 3 ）上升時間 t γ ：若以終值 0％ →100％所需的時間定義 t γ ，則. ( ). y tγ = 1 −. ⎛ 1−ξ 2 sin⎜ ω d tγ + tan −1 ⎜ ξ 1−ξ 2 ⎝. e. −ξωntγ. π − tan tγ =. −1. (2.14). 1−ξ 2. ξ. ωn 1 − ξ. ⎞ ⎟ =1 ⎟ ⎠. ,0 <ξ <1. 2. 另外，若以終值 10％ →90％所需的時間定義 t γ ，則在參考文獻[9]一書中，上升時間採用下列的近似公式： tγ ≅. 1 .8. (2.15). ωn. （4）延遲時間 t d ：（近似公式） td ≅. 1 + 0.7ξ. 0 < ξ <1. ,. ωn. (2.16). （5）安定時間 t s 根據 y(t ) 的函數，響應的衰減速度依時間常數（time constant） T = t s ≅ 3T =. 1. ξω n 3. ξω n. 1. ξω n. 之值而定，因此，定義阻尼正弦訊號的. 。若終值響應容許誤差為±5％，則 t s 約為. ,. 0 <ξ <1. (2.17). 0 <ξ <1. (2.18). 若終值響應容許誤差為±2％，則 t s 約為 t s ≅ 4T =. 4. ξω n. ,. 若終值響應容許誤差為±1％，則 t s 約為. 15 .

(27) . t s ≅ 4.6T =. 4 .6. ,. ξω n. 0 <ξ <1. (2.19). 範例 2-1：[19] 考慮圖 2-11 所示系統，其中 ξ = 0.6 ， ω n = 5 弧度/秒。當系統受到單位步階輸入訊號作用時，試求上升時間 t r ，尖峰時間 t p ，最大超越量 M o ，和安定時間 t s 。. R(s ). ωn 2 s(s + 2ξwn ). Y (s ). 圖 2-11 二階系統解：根據給定的 ξ 和 ω n 值，可以求得 ω d = ω n 1 − ξ 2 = 4 和 σ = ξω n = 3 。上升時間 t r ：上升時間為 tr =. π −β π −β = ωd 4. β = tan −1. ωd 4 = tan −1 = 0.93 弧度 3 σ. 因此，可求得上升時間 t r 為 tr =. π − 0.93 4. = 0.55 秒. 尖峰時間 t p ：峰值時間為 tp =. π π = = 0.785 秒 ωd 4. 最大超越量 M o ：最大超越量為. M o = e −(σ. ωd )π. = e −(3 4 )×π = 0.095. 因此，最大超越量百分比為 9.5% 。安定時間 t s ：對於 2% 誤差標準，安定時間為 ts =. 4. σ. =. 4 = 1.33 秒 3 16 . .

(28) . 對於 5% 誤差標準，安定時間為 ts =. 3. σ. =. 3 =1 秒 3. 2.2.5 穩態響應：穩態誤差對控制系統在穩態響應時所做的性能評估，最重要的性能指標之一為穩態誤差 [19]。當控制系統在穩態時的輸出與參考輸入不一致時，稱系統有穩態誤差的存在。穩態誤差的測試法則是以標準測試訊號為測試對象，包括單位步階響應、單位斜坡響應及單位拋物線響應。基本上，穩態誤差就是閉迴路控制系統的一種精密度量測。穩態誤差的定義：對一個典型的單位回授控制系統，. R(s ). G (s ). Y (s ). 圖 2-12 單位迴授控制系統誤差訊號定義為： e(t ) = r (t ) − y(t ) ，所以. E (s ) = R(s ) − Y (s ) G (s ) = R (s ) − R (s ) 1 + G (s ) 1 = R (s ) 1 + G (s ). (2.20). 穩態誤差 ess 定義為時間趨近於無窮大時誤差訊號的行為[14]，亦即. e ss = lim e(t ) t →∞. 因此利用拉氏轉換的終值定理來研究穩態誤差 ess 是最適合的工具，但是根據終值定理的觀念，任何時域函數必須存在終值才能使用終值定理。以數學的觀點而言，終值定理求解 ess 的方法如下所示：. 17 .

(29) . e ss = lim e(t ) = lim sE (s ) t →∞. (2.21). s →0. 上述（2.21）能夠成立的條件是 sE (s ) 的所有極點都必須在 s 左半平面，而根據（2.20），就是 s ×. 1 R(s ) 的所有極點必須在 s 左半平面。因為 1 + G(s ) 正好為閉迴路的特性方 1 + G (s ). 程式，所以穩態誤差的考慮，其基本前提是閉迴路控制系統必須是穩定的。當然除了閉迴路的極點之外，輸入訊號 R (s ) 的極點也關係著（2.21）的終值定理是否成立。所以穩態誤差的研究將與閉迴路穩定度以及輸入訊號的種類兩者同時有關。註 : 輸入訊號為標準測試訊號的單位步階函數 R (s ) =. s×. 1 1 R (s ) = ，此時只要閉迴路穩定 ,穩態誤差公式即可成立。 1 + G (s ) 1 + G (s ). 穩態誤差與標準測試訊號間的關係（ 1 ）單位步階函數測試， r (t ) = u s (t ) ， R (s ) =. 1 ， s. ess (step ) = lim e(t ) = lim sE (s ) t →∞. s →0. 1 1 = lim s × × s →0 1 + G (s ) s 1 = 1 + G (0 ). （ 2 ）單位斜坡函數測試， r (t ) = tu s (t ) ， R(s ) =. 1 s2. ，. ess (ramp ) = lim e(t ) = lim sE (s ) t →∞. s →0. = lim s × s →0. 1 1 × 2 1 + G (s ) s. 1 s →0 sG (s ). = lim. （ 3 ）單位拋物線函數測試， r (t ) =. t2 1 u s (t ) ， R (s ) = 3 ， 2 s. e ss ( parabolic ) = lim e(t ) = lim sE (s ) t →∞. = lim s × t →∞. s →0. 1 1 × 3 1 + G (s ) s 18 . . 1 s. , 則.

(30) . = lim. 1. s →0 s 2 G. (s ). 為了更簡潔地表達穩態誤差的觀念，ㄧ般我們定義下列誤差常數（ error. constant ）的觀念，以便將上述標準測試訊號所推導的穩態誤差公式進ㄧ步簡化 [19]。誤差常數：位置誤差常數 (position error constant) ： K p = lim G (s ) s →0. 速度誤差常數 (velocity error constant ）： K v = lim sG (s ) s →0. 加速度誤差常數 (acceleration error constant) ： K a = lim s 2 G (s ) s →0. 根據誤差常數，穩態誤差與標準測試訊號間的關係便可以用非常簡潔的方法表示：（ 1 ）單位步階函數測試， ess ( position ) = ess (step ) =. 1 1+ K p. （ 2 ）單位斜坡函數測試， e ss (velocity ) = ess (ramp ) =. 1 Kv. （ 3 ）單位拋物線函數測試， e ss (acceleration ) = e ss ( parabolic ) =. 1 Ka. 基本上單位步階函數測試的穩態誤差可視為系統閉迴路追蹤能力的指標，而單位斜坡函數測試與單位拋物線函數測試的穩態誤差則可分別視為系統閉迴路速度追蹤能力與加速度追蹤能力的指標 [19]。回授控制系統的型式分類（ Type of Feedback Control System ）回授控制系統常根據系統跟隨步階、斜坡或拋物線輸入的能力而分類。假設單位回授控制系統的開路轉移函數為 G (s ) = =. K (1 + Tz1 s )(1 + Tz 2 s )....(1 + Tzm s ). (. )(. ) (. s N 1 + T p1 s 1 + T p 2 s .... 1 + T pn s K ' (s + z1 )(s + z 2 )....(s + z m ). s N (s + p1 )(s + p 2 )....(s + p n ). 19 . ).

(31) . 定義：. N = i ： G(s ) 為型式 i 系統（ Type i system ）系統型式與穩態誤差的關係：（ 1 ）型式 0 系統（ Type 0 system ）： K p = 常數， K v = 0 ， K a = 0. e ss （ position ） =. 1 1 = 1 + G (0 ) 1 + K p. e ss （ velocity ） = lim s →0. e ss （ acceleration ） = lim s →0. 1 =∞ sG (s ) 1 =∞ s G (s ) 2. （ 2 ）型式 1 系統（ Type 1 system ）： K p = ∞ ， K v = 常數， K a = 0. e ss （ position ） =. 1 =0 1 + G (0 ). e ss （ velocity ） = lim. 1 1 = sG (s ) K v. e ss （ acceleration ） = lim. 1 =∞ s G (s ). s →0. s →0. 2. （ 3 ）型式 2 系統（ Type 2 system ）： K p = ∞ ， K v = ∞ ， K a = 常數. e ss （ position ） =. 1 =0 1 + G (0 ). e ss （ velocity ） = lim s →0. e ss （ acceleration ） = lim s →0. 1 =0 sG (s ) 1 1 = s G (s ) K a 2. （ 4 ）型式 3 系統（ Type 3 system ）： K p = ∞ ， K v = ∞ ， K a = ∞. e ss （ position ） =. 1 =0 1 + G (0 ). e ss （ velocity ） = lim s →0. e ss （ acceleration ） = lim s →0. 1 =0 sG (s ) 1 =0 s G (s ). 20 . 2.

(32) . 表 2-2 穩態誤差綜合摘要系統型式. 單位步階輸入. 單位斜坡輸入. 單位拋物線輸入. N =0. 1 1+ K p. ∞. ∞. N =1. 0. 1 Kv. ∞. N =2. 0. 0. 1 Ka. N =3. 0. 0. 0. 討論： ⎛ A3 ⋅ t 2 ⎜ （ 1 ）若系統閉迴路穩定，則下列輸入訊號 r (t ) = A1 + A2 t + ⎜ 2 ⎝. ⎞ ⎟u s (t ) ⎟ ⎠. 造成的穩態誤差為 ess =. A A1 A + 2 + 3 1+ K p Kv Ka. （ 2 ）誤差常數 K p，K v，K a 是定義在開路轉移函數上的常數，而系統的型式亦是定義在開路轉移函數上。但是很明顯地，誤差常數與系統型式的觀念是要反映閉迴路系統穩態誤差的程度。這個以開路轉移函數上的資料來決定閉迴路系統性質的觀念，在古典控制理論上是非常特殊且重要的 [19]！. 21 .

(33) . 誤差準則：在控制系統的設計上，通常是需要滿足某些特定的性能指標規格，如上述介紹的暫態響應與穩態響應規格等。規格的種類當然不限於此，再一些特殊工作下，也可能能產生不同的規格要求。誤差準則 (error criteria) 的設計觀念，基本上是結合暫態響應與穩態響應的一種性能規格。我們考慮單位回授系統，令誤差 e(t ) = r (t ) − y(t ) ，誤差準則的性能指標分類如下： 1. ISE(Integral-squared error criterion)性能指標的定義 [19]： ∞. ISE = ∫ e 2 (t )dt ， 0. 其中 e(t ) 為系統誤差。 2. ITSE(Integral time squared error criterion)性能指標的定義 [19]： ∞. ITSE = ∫ te 2 (t )dt ， 0. 其中 e(t ) 為系統誤差。 3. ITAE (Integral time absolute error criterion)性能指標的定義 [19]： ∞. ITAE = ∫ t ⋅ e(t )dt ， 0. 其中 e(t ) 為系統誤差。從微積分基礎性質我們可以知道，若 ITAE 這個性能指標為有限值，則 e(t ) 的穩態值必為 0。 4. GEC (Generalized error criterion )性能指標的定義 [32]： ∞. GEC = ∫ t ⋅ [ e(t ) + e&(t ) ]dt ， 0. 其中 e(t ) 為系統誤差。值得一提的是，若 GEC 為有限值，則 e(t ) 及 e&(t ) 的穩態值必同時為 0。. 22 .

(34) . 範例 2-2： [19] 考慮圖 2-13(a) 所示。系統對單位斜坡輸入訊號的穩態誤差為. ess =. 2ξ. ωn. 。試證明，如果輸入訊號通過比例 -加 -微分濾波器加進系統中，圖. 2-13(b) 所示，並且適當設置 k 值，那麼系統跟隨斜坡輸入訊號的穩態誤差可以被消除掉。注意，誤差 e(t ) 由 r (t ) − c(t ) 給定。解：. ωn 2 s (s + 2ξwn ). r (t ). c(t ). 2-13 (a) 控制系統. R(s ). ωn 2 s(s + 2ξwn ). 1 + ks. 2-13 (b)帶輸入濾波器的控制系統圖 2-13(b) 所示系統的閉迴路轉移函數為. (1 + ks )ω n2 C (s ) = 2 R (s ) s + 2ξω n s + ω n2 於是. ⎛ s 2 + 2ξω n s − ω n2 ks ⎞ ⎟ R (s ) R (s ) − C (s ) = ⎜ 2 ⎜ s + 2ξω s + ω 2 ⎟ n n ⎠ ⎝ 如果輸入訊號是單位斜坡訊號，則穩態誤差為. 23 . C (s ).

(35) . e(∞ ) = r (∞ ) − c(∞ ) ⎛ s 2 + 2ξωn s − ω n2 ks ⎞ 1 ⎟ = lim s⎜ 2 s →0 ⎜ s + 2ξω s + ω 2 ⎟ s 2 n n ⎠ ⎝ =. 2ξωn − ω n2 k. ω n2. =. 2ξ. ωn. −k. 所以，如果選擇 k為 k=. 2ξ. ωn. 則跟隨斜坡輸入訊號的穩態誤差將為零。也就是說，如果存在因環境變化或元件老化而引起的 ξ 值和（或） ω n 值的任何變化，將會導致斜坡響應的非零穩態誤差。. 2.3 頻率響應分析 2.3.1 頻率響應的基本觀念在上一節中，我們討論了控制系統利用時間響應來分析性能的觀念。但是在古典控制理論中，控制系統性能的分析與設計，除了時間響應法外，另外一個非常重要且實用的工具是頻率響應法（frequency response）。頻率響應定義為控制系統對正弦輸入（sinusoidal input）訊號的穩態響應，簡單的說，頻率響應就是研究正弦訊號輸入控制系統後，時間趨近於無窮大時的輸出行為。然而我們第一個問題想要思考的是，這樣的正弦輸入之穩態響應有何物理意義？下面定理說明了一個很重要的事實。定理 2.3.1：考慮一個線性非時變的穩定系統，假設系統轉移函數為 G(s ) 當輸入正弦訊號，且暫態響應完全消失後，輸出的穩態響應將呈現一個與輸入相同頻率，但振幅大小（magnitude）與相位角（phase）可能不同的正弦訊號[14]。換言之，若輸入訊號為 u (t ) = A sin ωt ，則輸出的穩態響應 y ss (t ) = B sin (ωt + φ ) ，其中，. B = A G( jω ). , φ = ∠G ( jω ). 24 .

(36) . 證明：因為 u (t ) = A sin ωt ，所以 U (s ) = Y (s ) = G (s ) × =. Aω s2 + ω 2. 。而輸出 Y (s ) 為. Aω 2. s +ω2. kn k1 V V ω s +L+ + 1 2 + 2 2 2 s + p1 s + pn ω s + ω ω s +ω2. 其中 − p1 ，… − p n 代表 G(s ) 的極點， k1 … k n 分別是 s = − p1 ‚… − p n 的剩值。因為. G(s ) 是穩定的系統，所以 G(s ) 的極點均位於 s 左半平面，亦即 y ss (t ) = lim y (t ) = t →∞. V1. ω. sin ωt +. V2. ω. cos ωt. (2.19). 利用共軛複數根部分分式的做法， V1 與 V2 的求解如下所示：. (s. 2. ). + ω 2 Y (s ). s = jω. = AωG ( jω ) = Aω G ( jw) e j∠G ( jω ) = Aω G ( jω ) cos φ + jAω G ( jω ) sin φ. 其中 φ = ∠G ( jω ) 。因此. V1 = Aω G ( jω ) cos φ. (2.20). V2 = Aω G ( jω ) sin φ. (2.21). 將(2.20)、(2.21)代入(2.19)可得：. y ss (t ) = A G(s )(sin ωt cos φ + cos ωt sin φ ). = A G (s ) sin (ωt + φ ). (2.22). 頻率轉移函數或正弦轉移函數（sinusoidal transfer function）：若系統的轉移函數為 G(s ) ，則其相對應的頻率轉移函數（正弦轉移函數）定義為. G( jω ) = G( jω ) ∠G( jω ) 註：頻率響應就是研究系統在正弦輸入與其穩態輸出之間的大小與相位的變化關係，而根據定理 2.3.1 的敘述，這個大小與相位的關係正好與頻率轉移函數 G ( jω ) 有直接的關. 25 .

(37) . 聯[14]。簡言之，正弦輸入與其穩態輸出之間的振幅大小倍率正好等於 G ( jω ) ，正弦輸入與其穩態輸出之間的相位差值正好等於 ∠G ( jω ) 。. 範例 2-3：[19] 考慮圖 2-14 所示系統。其轉移函數為 G (s ) =. K Ts + 1. K 1 + Ts. x. y. G (s ). 圖 2-14 一階系統對於正弦輸入訊號 x(t ) = X sin ωt ，系統的穩態輸出訊號 y ss (t ) 可以求得如下：用 jω 代替 G(s ) 中的 s ，得到. G ( jω ) =. K jTω + 1. 輸出量對輸入量的幅值比為. K. G ( jω ) =. 1 + T 2ω 2. 而相位角 ϕ 則為. ϕ = ∠G( jω ) = − tan −1 Tω 因此，對正弦輸入訊號 x(t ) = X sin ωt ，系統的穩態輸出量 y ss (t ) 可以求得如下：. y ss (t ) =. XK 2. 1+ T ω. 2. (. sin ωt − tan −1 Tω. ). 由上式可以看出，當 ω 很小時，穩態輸出 y ss (t ) 的振幅，約等於輸入量振福的 K 倍。當 ω 很小時，輸出量的相位移也很小。當 ω 很大時，輸出量的振幅很小，並且差不多與. ω 成反比關係。當 ω 趨於無窮大時，相位移趨近於 − 90 0 。 26 .

(38) . 2.3.2 二階系統的暫態響應的性能指標有了 2.3.1 節的基本觀念之後，若想進ㄧ步了解頻率響應的特性，標準二階系統是最理想的研究對象。由此我們也將定義某些性能指標，作為控制系統的頻率響應規格 [19]。現在考慮標準二階系統的閉迴路轉移函數：. ω n2 Y (s ) = T (s ) = 2 R (s ) s + 2ξω n s + ω n2 其頻率轉移函數為， s = jω. ω n2 Y ( jω ) = T (s ) = R ( jω ) ( jω )2 + 2ξω n ( jω ) + ω n2 為了方便分析，令 Ω =. ω ，則 ωn. Y ( jΩ ) 1 = T ( jΩ ) = 2 R ( jΩ ) 1 − Ω + j 2ξΩ. (. ). 因此頻率響應的大小值與相位值分別為. T ( jω ) = M (Ω ) =. 1. (1 − Ω ). 2 2. ∠T ( jΩ ) = φ (Ω ) = − tan −1. + (2ξΩ )2 2ξΩ. 1− Ω2 若以 Ω （頻率）為橫軸，大小與相位為縱軸，則可得到標準二階系統的頻率響應圖，如圖 2-15 所示[19]。. ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ 圖 2-15(a) 標準二階系統的頻率響應大小圖 27 .

(39) . 圖 2-15(b) 標準二階系統的頻率響應相位圖率響應規格：如同時間響應分析，標準二階系統亦用來作為頻率響應分析的主要對象。利用標準二階系統的頻率響應圖，我們將定義下面的頻率響應規格：ㄧ、共振頻率 ωγ （resonant frequency）與共振峰值 M γ （resonant peak）觀察圖 2-16，若頻率響應中的大小圖在某個頻率下出現峰值，則稱此頻率為共振頻率，該峰值稱為共振峰值[19]。 M (ω ) Mr. ω. ωr 圖 2-16 共振峰值與共振頻率為了求解標準二階系統的共振峰值與共振頻率，我們令 Ω γ =. ωγ 為正規化共振頻率 ωn. （normalized resonant frequency），則共振頻率與共振峰值可由下推得：. 28 .

(40) . (. ). 1 − 4 1 − Ω 2 Ω + 8ξ 2 Ω dM (Ω ) =− 3 2 dΩ 2 ⎡ 1 − Ω 2 + 4ξ 2 Ω 2 ⎤ 2 ⎢⎣ ⎥⎦. (. ). ⇒ 4Ω 3 − 4Ω + 8ξ 2 Ω = 0 ⇒ Ω = Ω γ = 1 − 2ξ 2 (2.23). ⇒ ωγ = Ω γ ω n = ω n 1 − 2ξ 2 ⇒ M γ = M (Ω ) Ω=Ω = γ. （1）共振峰值僅在 0 < ξ <. 1 2. 1 2ξ 1 − ξ 2. 時存在，其中 ωγ 恆小於 ω n 且 M γ 恆大於 1。當 ξ 趨近於. 零時， M γ 趨近於無窮大，而且 ωγ 會趨近於 ω n 。ㄧ般而言， M γ 是愈小愈好。（2）當阻尼值 ξ ≥. 1 2. 時，閉迴路頻率響應的大小值 M 會隨著頻率的增加而遞減。. 此時不存在共振頻率，且 M 最大值發生在 ω = 0 （直流），而最大值為 M = 1 。二、頻帶寬度 BW（bandwidth）觀察圖 2-17，在頻率響應中 M ≥. 1 2. 的頻率範圍，稱為頻帶寬度。但是若閉迴路系統. T (s ) 的直流增益（DC Gain） T ( j 0) 不等於 1，則頻寬定義為下[19]。 T ( jBW ) = T ( j 0) ×. 1. (2.24). 2. M (ω ) Mr. 1. 2. ωr. BW. ω. 圖 2-17 頻帶寬度令 Ωb =. BW. ωn. 為規格化頻帶寬度（normalized bandwidth），則頻帶寬度可由下推得：. 29 .

(41) . M (Ω ) =. 1. (1 − Ω ). 2 2. (. + (2ξΩ )2. =. 1 2 1 4 ⎞2. ). ⇒. Ω 4 − 2 1 − 2ξ 2 Ω 2 − 1 = 0Ω = Ω b = ⎛⎜1 − 2ξ 2 + 2 − 4ξ 2 + 4ξ ⎟ ⎝ ⎠. ⇒. Ω = Ω b = ⎛⎜1 − 2ξ 2 + 2 − 4ξ 2 + 4ξ 4 ⎞⎟ 2 ⎝ ⎠. ⇒. BW = Ω bω n = ω n ⎛⎜1 − 2ξ 2 + 2 − 4ξ 2 + 4ξ 4 ⎞⎟ 2 ⎝ ⎠. 1. 1. 標準二階系統頻率響應與步階時間響應的比較（1）當阻尼比 0 < ξ < 1 時，標準二階系統的步階時間響應會產生最大超越量 M o ，若限制阻尼比於 0 < ξ < 所以當阻尼比為 0 < ξ <. 1 2 1 2. ，標準二階系統的頻率響應會產生共振峰值 M γ 。時，M o 與 M γ 同時存在。而且 M o 與 M γ 都僅為 ξ 的. 函數。圖 2-18 顯示 M o 對 ξ 與 M γ 對 ξ 的關係圖。由圖可看出頻率響應的共振峰值 M γ 與步階時間響應中的最大超越量 M o 是成正比的，亦即 M o 愈小， M γ 就愈小，而系統的閉迴路性能就愈好。. Mr. Mo. ζ. 圖 2-18 M o 對 ξ 與 M γ 對 ξ 的曲線圖（2）在標準二階系統的頻率響應中，若固定 ω n 值，考慮頻寬 BW 對阻尼比 ξ 的變化，圖 2-19 顯示 BW 與 ξ 的曲線圖。由圖可看出基本上 ξ 愈小則 BW 愈寬。而在標準二階系統的步階時間響應中，若固定 ω n 值， ξ 愈小則上升時間 tγ 愈短。因此，頻 30 .

(42) . 率響應中的頻寬愈寬可以反應出步階時間響應中的上升時間愈短，亦即頻寬是響應速度的等效指標。. ξ =1 2. ξ. 圖 2-19 BW 對 ξ 的曲線圖 2.3.3 引數定理（The principle of the Argument）假設 F (s ) 是單值有理函數（single-value rational function），且其在 s 平面上除了在極點之外都是可解析的。若 s 平面上選擇一條不經過 F (s ) 任何極點或零點的封閉曲線 Γs ，將 Γs 上的點經由 F (s ) 映射後，在 F 平面上形成一條封閉曲線 ΓF 。則 ΓF 在 F 平面上繞過原點的次數 N 等於. N =Z −P 其中 Z 是 F (s ) 在 s 平面上被封閉曲線 Γs 所包圍的零點數目， P 是 F (s ) 在 s 平面上被封閉曲線 Γs 所包圍的極點數目，. N > 0 表示 ΓF 的曲線圍繞 F 平面原點的方向與 Γs 在 s 平面的方向相同， N < 0 表示 ΓF 的曲線圍繞 F 平面原點的方向與 Γs 在 s 平面的方向相反， N = 0 表示 ΓF 不繞過 F 平面原點，或圍繞原點的淨繞數等於零。圖 2-20 為 Γs 經由 F (s ) 映射至 F 平面上 ΓF 的圖示觀念[9]：. 31 .

(43) . jω. Im F. Γs. σ. F (s ) s∈Γ. ΓF. s. Re F. F F. s 圖 2-20 Γs 經由 F (s ) 映射至 F 平面的 ΓF. 2.3.4 奈氏穩定準則基本觀念：考慮下圖之閉迴路控制系統：. 閉迴路系統特性方程式為 Δ(s ) = 1 + G(s )H (s ) = 0 ，令開路轉移函數為. G (s )H (s ) =. K (s + z1 )(s + z 2 )L (s + z m ) ，n > m (s + p1 )(s + p1 )L(s + p n ). 則. Δ (s ) = 1 +. K (s + z1 )(s + z 2 )L (s + z m ) (s + p1 )(s + p 2 )L(s + pn ). (s + p1 )(s + p 2 )L(s + p n ) + K (s + z1 )(s + z 2 )L(s + z m ) (s + p1 )(s + p2 )L (s + pn ) (s + z1′ )(s + z 2′ )L(s + z n′ ) = (s + p1 )(s + p 2 )L(s + p n ) =. 其中 Δ(s ) 的零點 − z1′ ， − z 2′ ，……， − z ′n 正是閉迴路系統的極點， 32 .

(44) . Δ(s ) 的零點 − p1 ， − p 2 ，……， − p n 正是開路系統的極點。因此，若希望閉迴路系統穩定，則 Δ(s ) 的零點 − z1′ ， − z ′2 ，……， − z n′ 必須落在 s 平面的左半平面。奈氏穩定準則就是根據上述的討論，再配合引數定理，而發展出與極座標相關的頻域穩定準則[9]。奈氏曲線（Nyquist contour）為了利用上述的觀念分析控制系統的穩定度，奈氏在 s 平面上取了一條特殊的封閉曲線，這條曲線不經過 Δ(s ) 的任何極點與零點，並包含整個 s 平面的右半平面。這個曲線稱之為奈氏曲線或奈氏路徑（Nyquist path）[9]。如圖 2-21 所示，奈氏路徑包含了 Δ(s ) 在右半平面上所有的零點與極點。. C4. C3 C2. C5. C1 ∞. C8 C7. C6. 圖 2-21 奈氏曲線奈氏穩定準則（Nyquist stability criterion）將圖順時針方向的奈氏曲線經由開路轉移函數 G (s )H (s ) 映射到 GH 平面上，所得的曲線 ΓGH 稱為奈氏圖（Nyquist Plot）。若奈氏圖逆時針方向繞過 (− 1 + j 0) 點的淨繞數目與開路轉移函數 G (s )H (s ) 在 s 右半平面的極點數目相同，則閉迴路系統是穩定的。簡化奈氏穩定準則（Simplified Nyquist stability criterion）若開路轉移函數 G (s )H (s ) 在 s 平面的右半平面沒有極點，則閉迴路系統是穩定的充分必要條件是 (− 1 + j 0) 點落在 G (s )H (s ) 極座標圖沿著頻率增加的方向的左邊。 33 .

(45) . 增益邊限與相位邊限（Gain Margin and Phase Margin）. ω2. φ. ω1. 圖 2-22 G (s )H (s ) 極座標圖當 ω = ω1 ， G( jω1 )H ( jω1 ) 與單位圓相交，並與負實軸交 φ 角；當 ω = ω 2 ， G ( jω 2 )H ( jω 2 ) 與負實軸相交，此時 G ( jω 2 )H ( jω 2 ) = a 定義：增益邊限（Gain Margin）. G( jω )H ( jω ) 相位為 −180° 時的頻率，稱之為相位交越頻率（phase crossover frequency） ω p 。在此頻率下，增益邊限 GM 定義為 GM = 20 log. 1. (. ) (. G jω p H jω p. ). dB. 定義：相位邊限（Phase Margin）. G( jω )H ( jω ) 大小為 1 的頻率，稱之為增益交越頻率（gain crossover frequency）ω g 。在此頻率下，相位邊限 PM 定義為. (. ) (. PM = 180° + ∠G jω g H jω g. ). (degree). 2.4 Lyapunov 的穩定性 2.4.1 定義 Lyapunov 穩定吾人稱平衡點 x = 0 為 Lyapunov 穩定，若下列條件滿足：對任一 ε > 0 ，恆存在 δ = δ (ε ) ，當初始值 x(0) < ε 滿足時，則恆有 x(t ) < ε ， ∀t ≥ 0. 34 .

(46) . 也就是說，當 x(t)之起始值距離原點在半徑 δ 之範圍內時，則當系統開始動以後， x(t ) 也始終在 ε 之半徑內運動，不會越跑離原點越遠；不管 ε 多小，只要 δ 取的夠小（初始值 x(0) 離原點夠近），一定可以保證 t ≥ 0 以後之 x(t ) 一定落於原先所指定之 ε 半徑[31]。. 圖 2-23 Lyapunov 穩定圖. 2.4.2 Lyapunov 穩定性判斷設 x = 0 為 x& = f (x ) 之平衡點， D 為 x = 0 之一鄰域。 V ： D → R 是一在 D 區域內連續可微的函數。若 V 滿足. (a) V (0) = 0 (b) V ( x ) > 0 in D − {0} (c) V& ( x) ≤ 0 in D 則稱 x = 0 為 Lyapunov 穩定。若 V ( x ) 又滿足額外條件. (d) V& ( x) < 0 in D − {0} 則 x = 0 為漸進穩定。 35 .

(47) . 圖 2-24 Lyapunov 漸進穩定圖 2.4.3 證明 Lyapunov 穩定 [31] 對 ∀ε ≥ 0 ，存在 δ 使得. x(0) < δ ⇒ x(t ) < ε 對任一給定之 ε ，選擇 r ∈ (0, ε ] 使得. {. }. Br = x ∈ R n x ≤ r ⊂ D. 設 α = min V ( x ) → α > 0 由條件(b)，再取 β ∈ (0, α ) 並設 Ω β = {x ∈ Br V ( x ) ≤ β }，表 Ω β 全 x =r. 部位於 Br 之內部。此時 Ω β 有一特性，當軌跡在 t = 0 時，由 Ω β 內之ㄧ點開始運動時，則此軌跡必一直位於 Ω β 之內，可由下列式子得知條件(c) ⇒ V& ( x(t )) ≤ 0. ⇒ V& ( x(t )) ≤ V& (x(0)) ≤ β , ∀t ≥ 0 由於 V 為連續且 V (0) = 0 ，吾人可以找到一 δ > 0 使得. x ≤ β ⇒ V (x ) < β Bδ ⊂ Ω β ⊂ Br 36 .

(48) . 於是 x(0 ) ∈ Bδ ⇒ x(0 ) ∈ Ω β ⇒ x(t ) ∈ Ω β. ⇒ x(t ) ∈ Br ⇒ x(0) < δ ⇒ x(t ) < r ≤ ε , ∀t ≥ 0 ⇒ Lyapunov 穩定. 37 .

(49) . 第三章主要定理 3.1 系統描述 (Ⅰ) 茲考慮下述時間延遲控制系統：. L[ y (t )] Y (s ) = = G (s )e −τs . L[u (t )] U (s ). （3.1）. 上述方程式中 U (s ) 為系統輸入 u (t ) 之拉氏轉換， Y (s ) 為系統輸出 y(t ) 之拉氏轉換，有理函數 G(s ) 假設為一最小相位的轉移函數；其中 τ 表時間延遲常數，且 τ ≥ 0 。以下針對系統(3.1)，提出一個性能指標定義如下：定義一：假設 t1 , t 2 , t 3 ,L 且 t1 < t 2 < t 3 < L ，為下述誤差微分函數 e&(t ) 的解. e&(t ) = 0, ∀ t ≥ τ . 誤差振幅的衰減率(The decay ratio of the error`s amplitude)簡稱 DREA，如圖 3-1 所示，定義為. DREA = sup n∈N. e(t n+ 2 ) ， e(t n ). 圖 3-1 DREA 物理波動示意圖由上述定義可知，系統的性能指標 DREA 要越小越好。. 38 .

(50) . 3.1.1 主要定理 (Ⅰ) 以下吾人針對時間延遲控制系統(3.1)，提出主要定理如下：定理一：給定任意四個正數 a 、 b 、 c 及 d ，其中 0 < a < 1 及 0 < d < 1 ，若系統（3.1）加入補償器（如圖 3-2 所示）. U (s ) = Gc (s )[R(s ) − Y (s )]，其中. β2. F (s ) =. s 2 + 2αβ s + β 2. ，. α := max{α 4 , α 5 } ，. （3.2）. α 4 :=. (ln a )2 π 2 + (ln a )2. ，. （3.3）. α 5 :=. (ln d )2 4π 2 + (ln d )2. ，. （3.4）. β := max{α1 , α 2 } ， α 4 :=. α 2 :=. （3.5）. 4.6 α ⋅b ，. （3.6）. k. (. α ⋅ c ⋅ 1−α 2. )1 4. ，. （3.7）. 則此閉迴路控制系統在暫態響應和穩態響應上，必滿足下列五項規格：. (i). 當輸入訊號為任意常數的情況下，系統之穩態誤差為零；. (ii) 閉迴路控制系統的最大超越量必小於或等於 a ，其中 0 < a < 1 ； (iii) 閉迴路控制系統的安定時間(1%)必小於或等於 τ + b (秒)； (iv) 當輸入訊號 r (t ) = k 為任意常數的情況下，閉迴路延遲系統的 ITAE 必小於或等於 c ；. 39 .

(51) . (v) 當輸入訊號 r (t ) = k 為任意常數的情況下，閉迴路延遲系統的 DREA 必小於或等於 d ，其中 0 < d < 1 。 Gc (s ). R(s ). +. +. −. +. 1 G (s ). F (s ). U (s ). G (s )e −τs. Y (s ). e −τs. 圖 3-2 系統(3.1)之回授控制器設計證明:. (i)-(iii) 由梅森增益公式(Mason’s gain formula)及圖 3-2，吾人可得到閉迴路控制系統的轉移函數為 T (s ) :=. Y (s ) β2 e −τs . = 2 2 R (s ) s + 2αβ s + β. （3.8）. 當 r (t ) = k 時，我們可以得到. ⎡ 1 y (t ) = k ⎢1 − e [−αβ (t −τ )]⋅ sin ⎡ β 1 − α 2 (t − τ ) + cos −1 α ⎤ ⎤⎥ ⋅ u s (t − τ ) ，（3.9） ⎢⎣ ⎥⎦ ⎦ 2 ⎢⎣ 1−α 及. e(t ) = r (t ) − y (t ) ⎡ 1 ， = k⎢ e [−αβ (t −τ )]⋅ sin ⎡ β 1 − α 2 (t − τ ) + cos −1 α ⎤ ⎤⎥ ⋅ u s (t − τ ) ⎢⎣ ⎥⎦ ⎦ 2 ⎣⎢ 1 − α. （3.10）. 如此可推得. e ss = lim e(t ) = 0 t →∞. （3.11）. 及. ts = τ + =τ +. 4.6. αβ 4.6 α ⋅ α1. =τ +b. . 40 . （3.12）.

(52) . 此外，我們也能輕易獲得. ⎛ ⎞ ⎟ M o = exp⎜ − πα ⎜ 2⎟ 1−α ⎠ ⎝ ⎛ ⎞ ⎟ ≤ exp⎜ − πα 4 ⎜ 2⎟ 1−α4 ⎠ ⎝ = a.. （3.13）. (iv) ∞. ITAE = ∫ t ⋅ e(t )dt 0. 1. ∞. ≤ ∫ t⋅ k ⋅ 0. ≤ ≤. 1−α. 2. α 2β 2 1− α 2. ). k. (. k. (. e −αβ (t −τ ) ⋅ u s (t − τ )dt. α 2 ⋅ α 22 ⋅ 1 − α 2. ). ≤ c.. （3.14）. (v). DREA = max n∈N. e(t n+ 2 ) e(t n ). ⎡ − 2πα ⎤ = exp⎢ ⎥ ⎢⎣ 1 − α 2 ⎥⎦ ⎡ − 2πα ⎤ 5 ⎥ ≤ exp⎢ ⎢ 1−α 2 ⎥ 5 ⎦ ⎣ =d. 由上述(i) ~(v)，五項規格均得證。. . 41 . （3.15）.

(53) . 3.1.2 範例說明 (Ⅰ) 考慮下述時間延遲控制系統： y′′(t ) + y′(t ) + 2 y (t ) = u (t − 1). （3.16）. 參照（3.1）可得轉移函數為. G ( s) =. 1 2. s +s+2. （3.17）. ，. 及延遲時間 τ = 1 。吾人的目標擬設計一控制器促使整個閉迴路時間延遲系統滿足下列五項規格：（G1）當輸入訊號為任意常數時，則此系統穩態誤差為 0；（G2）閉迴路控制系統的最大超越量小於或等於 0.6 ；（G3）閉迴路控制系統的安定時間(1%)小於或等於 3 (秒)；（G4）當輸入為單位步階函數時，閉迴路時間延遲系統 ITAE 必小於或等於 2；（G5）當輸入訊號為單位步階函數時，閉迴路時間延遲系統 DREA 必小於或等於 0.5。. 0.7. 0.6. 0.5. y(t). 0.4. 0.3. 0.2. 0.1. 0. 0. 2. 4. 6. 8. 10 time. 12. 14. 16. 18. 圖 3-2.1 系統(3.16)之單位步階原始響應圖. . 42 . 20.

(54) . 茲比較 (G1) - (G5) 與 (i) - (v)，可得 a = 0.6, b = 2, c = 2,. d = 0.5,. k =1. 由（3.2）-（3.7）式中，則可得到下列參數. α 4 = 0.16, α 5 = 0.11, α = 0.16, α1 = 14.375, α 2 = 4.44, β = 14.375. 由定理一，吾人得知系統（3.16）加入補償器（如圖 3-2 所示）. U ( s ) = Gc ( s )[R( s ) − Y ( s )] ，. （3.18）. 其中. F (s) =. 206.6 s 2 + 4.6s + 206.6. ，. （3.19）. 則閉迴路時間延遲系統會滿足下列五項規格：（G1）當輸入訊號為任意常數時，則此系統穩態誤差為 0；（G2）閉迴路控制系統的最大超越量小於或等於 0.6 ；（G3）閉迴路控制系統的安定時間(1%)小於或等於 3 (秒)；（G4）當輸入為單位步階函數時，閉迴路時間延遲系統 ITAE 必小於或等於 2；（G5）當輸入訊號為單位步階函數時，閉迴路時間延遲系統 DREA 必小於或等於 0.5。. . 43 .

(55) . 1.8 1.6 1.4 1.2. y(t). 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0. 0. 1. 2. 3. 4. 5 time. 6. 7. 8. 9. 10. 圖 3-2.2 系統（3.16）之單位步階(加入補償器後)響應圖. 3.2 系統描述（Ⅱ）：茲考慮下述時間延遲控制系統：. L[ y (t )] Y (s ) = = G (s )e −τs . L[u (t )] U (s ). （3.20）. 上述方程式中 U (s ) 為系統輸入 u (t ) 之拉氏轉換， Y (s ) 為系統輸出 y(t ) 之拉氏轉換，有理函數 G(s ) 假設為一最小相位的轉移函數；其中 τ 表時間延遲常數，且 τ ≥ 0 。針對系統(3.20)，提出以下性能指標：定義二：積分時間乘以誤差微分絕對值性能指標(The integral of time multiplied by absolute of. differential of the error criterion)簡稱 ITADE，定義為 ∞. ITADE =. ∫ (t − τ ) ⋅ e&(t ) dt ， 0. 其中 e(t ) 為系統誤差。. . 44 .

(56) . 從微積分基礎性質可以知，若 ITADE 為有限值，則 e&(t ) 的穩態值必為 0。. 3.2.1 主要定理（Ⅱ）：以下針對時間延遲控制系統(3.20)，提出本篇第二個主要定理如下：定理二：給定任意四個正數 a 、 b 、 c 及 d ，若系統（3.20）加入補償器（如圖 3-3 所示）. U (s ) = Gc (s )[R(s ) − Y (s )]，其中 F (s ) =. α :=. β2 ， s 2 + 2αβ s + β 2. (ln a )2 4π 2 + (ln a )2. ，. β := max{α1 , α 2 , α 3 }，. α1 :=. α 2 :=. α 3 :=. b 1 − 2α. 2. 2α ⋅ c ⋅ 1 − α k. α 2 ⋅ 1−α 2 ⋅ d. 2. （3.22）（3.23）. ，. k. （3.21）. ，. （3.24）. ，. （3.25）. 則此閉迴路控制系統在時域響應和頻域響應上，必滿足下列五項規格：. (i). 當輸入訊號為任意常數的情況下，系統之穩態誤差為零；. (ii) 當輸入訊號 r (t ) = k 為任意常數的情況下，閉迴路延遲系統的 DREA 必小於或等於 a ；. (iii) 閉迴路延遲系統的共振頻率必大於或等於 b (rad/sec)；. . 45 .

(57) . (iv) 當輸入訊號 r (t ) = k 為任意常數的情況下，閉迴路延遲系統的 ITSE 必小於或等於 c ；. (v) 當輸入訊號 r (t ) = k 為任意常數的情況下，閉迴路延遲系統的 ITADE 必小於或等於 d 。 Gc (s ). R(s ). +. +. −. +. 1 G (s ). F (s ). U (s ). G (s )e −τs. Y (s ). e −τs. 圖 3-3 系統（3.20）之回授控制器設計證明:. (i)-(iii) 由梅森增益公式(Mason’s gain formula)及圖 3-3，吾人可得到閉迴路控制系統的轉移函數為 T (s ) :=. Y (s ) β2 e −τs . = 2 2 R (s ) s + 2αβ s + β. （3.26）. 如果 r (t ) = k 時，則我們可以得到. ⎡ 1 y (t ) = k ⎢1 − e [−αβ (t −τ )]⋅ sin ⎡ β 1 − α 2 (t − τ ) + cos −1 α ⎤ ⎤⎥ ⋅ u s (t − τ ) ，（3.27） ⎢⎣ ⎥⎦ ⎦ 1−α 2 ⎣⎢ 及. e(t ) = r (t ) − y (t ) ⎡ 1 ， = k⎢ e [−αβ (t −τ )]⋅ sin ⎡ β 1 − α 2 (t − τ ) + cos −1 α ⎤ ⎤⎥ ⋅ u s (t − τ ) ⎢⎣ ⎥⎦ ⎦ ⎢⎣ 1 − α 2. （3.28）. 如此可推得. ess = lim e(t ) = 0 . t →∞. . 46 . （3.29）.

(58) . 此外，我們也能輕易獲得. e(t n + 2 ) n∈ N e(t n ). DREA = max. ⎡ − 2πα = exp ⎢ ⎢⎣ 1 − α 2 = a.. ⎤ ⎥ ⎥⎦ （3.30）. 同時亦可得. d T (iw) dw. = 0 ⇒ w = β 1 − 2α 2 ≥ α1 1 - 2α 2 = b.. （3.31）. 亦即閉迴路控制系統的共振頻率大於或等於 b (rad/sec)。. (iv) ITSE = ∫. ∞. 0. ≤∫. ∞. 0. ≤ ≤. (t − τ ) ⋅ e 2 (t )dt (t − τ ) ⋅. (. k2 1−α. 2. e − 2αβ (t −τ ) ⋅ u s (t − τ )dt. k2. ). （3.32）. 4 ⋅ 1 − α 2 ⋅α 2β 2. (. k2. ). 4 ⋅ 1 − α 2 ⋅α 2 ⋅α 22. = c. (v) ∞. ITADE = ∫ (t − τ ) ⋅ e&(t )dt 0. ≤ ≤. k. (. α 2β 1− α 2 k. (. ). α 2 ⋅α3 ⋅ 1 − α 2. ). = d. （3.33）由上述(i) ~(v)，五項規格均得證。. . 47 .

(59) . 3.2.2 範例說明 (Ⅱ) 考慮下述時間延遲控制系統： y ′′(t ) + y ′(t ) + 9 y (t ) = 2u (t − 1). （3.34）. 比較（3.20）與（3.34）可得轉移函數為. G ( s) =. 2 2. s +s+9. （3.35）. ，. 及延遲時間 τ = 1 。吾人的目標擬設計一控制器促使整個閉迴路時間延遲系統滿足下列五項規格：（G1）當輸入訊號為任意常數時，系統之穩態誤差為 0；（G2）閉迴路時間延遲系統的 DREA 小於或等於 2；（G3）閉迴路時間延遲系統的共振頻率大於或等於 10 (rad/sec)；（G4）當輸入為單位步階函數時，閉迴路時間延遲系統的 ITSE 小於或等於 3；（G5）當輸入為單位步階函數時，閉迴路時間延遲系統的 ITADE 小於或等於 3。. 0.4 0.35 0.3. y(t). 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0. 0. 2. 4. 6. 8. 10 time. 12. 14. 16. 18. 圖 3-3.1 系統（3.34）之單位步階原始響應圖. . 48 . 20.

(60) . 茲比較 (G1) - (G5) 與 (i) - (v)，可得 a = 2, b = 10, c = d = 3, k = 1. 由（3.21）-（3.25）式中，則可得到下列參數. α = 0.11, α1 = 10.1, α 2 = 2.64, α 3 = 27.7, β = 27.7. 由定理二，吾人得知系統（3.34）加入補償器（如圖 3-3 所示） U ( s) = Gc ( s)[R( s) − Y ( s)]，. （3.36）. 其中. F (s) =. 767.3 s 2 + 6.1s + 767.3. ，. （3.37）. 則閉迴路時間延遲系統會滿足下列五項規格：（G1）當輸入訊號為任意常數時，系統之穩態誤差為 0；（G2）當輸入為單位步階函數時，閉迴路時間延遲系統的 DREA 小於或等於 2；（G3）閉迴路時間延遲系統的共振頻率大於或等於 10 (rad/sec)；（G4）當輸入為單位步階函數時，閉迴路時間延遲系統的 ITSE 小於或等於 3；（G5）當輸入為單位步階函數時，閉迴路時間延遲系統的 ITADE 小於或等於 3。. . 49 .

(61) . 1.8 1.6 1.4 1.2. y(t). 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0. 0. 1. 2. 3. 4. 5 time. 6. 7. 8. 9. 10. 圖 3-3.2 系統（3.34）之單位步階(加入補償器後)響應圖. . 50 .

(62) . 3.3 系統描述（Ⅲ）：茲考慮下述時間延遲控制系統：. L[ y (t )] Y (s ) = = G (s )e −τs . L[u (t )] U (s ). （3.38）. 上述方程式中 U (s ) 為系統輸入 u (t ) 之拉氏轉換， Y (s ) 為系統輸出 y(t ) 之拉氏轉換，有理函數 G(s ) 假設為一最小相位的轉移函數， τ 表時間延遲常數，且 τ ≥ 0 。. 3.3.1 主要定理（Ⅲ）：以下針對時間延遲控制系統(3.38)，吾人提出本篇第三個主要定理如下：定理三：給定任意五個正數 a 、 b 、 c 、 d 及 h ，若系統（3.38）加入補償器（如圖 3-4 所示）. U (s ) = Gc (s )[R(s ) − Y (s )]，其中 F (s ) =. α :=. β2 ， s 2 + 2αβ s + β 2. (ln h )2 4π 2 + (ln h )2. （3.39）. ，. β := max{α1 , α 2 , α 3, α 4 }，. α1 := α 2 :=. a ⋅ 1−α 2. （3.41）. ，. b ⎡1 − 2α 2 + 2 − 4α 2 + 4α 4 ⎤ ⎢⎣ ⎥⎦. α 3 :=. . π. （3.40）. k2. (. 2α 2 ⋅ c ⋅ 1 − α 2. 51 . ). ，. 1. ，. （3.42）. 2. （3.43）.