第四章 研究結果
第一節 等分割活動解題表現
等分割是分數教學中一個重要的概念，如果沒有建立等分割概念，那麼分數 的教學成效將不佳，甚至是無效的，本實驗教學的第一個活動是等分割，分數的 一個重要意義是部分對整體的概念，而前提是必須將全體的連續量或離散量做等 分割。本節的目標是教導學童一些簡易圖形的等分割方法，並能夠辨識出圖形中 分數的大小。有關本節的數學表現分成三部分，內容如下。
一、教師和學童的課室互動 師生的課堂對話
(一)、
圓形等分割T : 小朋友，老師手上有 1 個圓形蛋糕，靜香和弟弟都要吃，你要怎麼切呢?
S02：切成 2 塊就可以了。
T： 如果是 1 大塊 1 小塊，這樣好嗎?
S06：應該要切成一樣大，這樣才會公平。
T： S06 說得很好，重點已經出來了，分數的起點行為要先將圖形或數量做 等分割，等分割時就是要分得公平，只要分割出來的 2 部分面積是相等 的，那就是順利完成等分割。
S06：老師，我覺得應該要往圓心切，這樣才會切出 2 小塊相同面積的圖形。
T： S06 說得很好，只要是通過圓心做切割，就可以將圓形蛋糕 2 等分割。
如果媽媽也要一起分享這 1 個圓形蛋糕，你要怎麼切成 3 等分呢？
S23：嗯，好像不太容易？
T： 是的，如果手上沒有工具，是無法將圓形蛋糕 3 等分的。
S06：請問老師，是什麼工具？。
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較能應用除法的意義來做答，研究者也臆測中、高分組的學童會以除法來做答，
在圈選時會利用上下對稱，左右對稱或並排的圈選方式來做答。
第一堆 第二堆
1 2
2 4
5 6 7 8 9 10 11 12
圖 4-2： 離散量的點數
(四)、
數線的等分割T : 老師在黑板上畫了 1 條數線 A，這是一條有刻度 0 至 12 的線，請將此 數線 2 等分割，你會怎麼做？
S05： 要分成相等的 2 段。
T ： 答對了，既然有刻度，就可以做到正確等分割，請你們先告訴我刻度 1~2一共有幾格？
S03： 一共是 2 格。
T： 答錯了，刻度 1~2 只有 1 格。要注意，在數線上做等分割一定要確定 等分割後的每一個線段，格子數有沒有相同。請你先確定 0~12一共有 幾格，再將此數線 2 等分割，也就是分成等長的 2 段，再看看一段會有 幾格？
S14： 0~12 共有 12 格，12÷ 2 = 6，每一段應該會有 6 格。
T： S14 答對了， 用 12÷ 2 就可以得到正確的答案。等一下在學習單上 也會有類似的題目，不只是算，老師希望你們也可以用畫的。
S23：可以在分割的地方做上記號嗎？
T： 當然可以，這樣的做法是更好的，讓別人看起來一目了然。
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【教師分析】
在進行三年級上學期長度的測量教學時，研究者發現許多學童測量時會從刻 度 1 出發，而不是從刻度 0 出發，因此做出了錯誤的測量。在數線的等分割活動 中，研究者也臆測會有類似問題的發生。在做數線等分割活動時，有 5 位學童不 是從 0 出發最後，也都無法完成數線的等分割。研究者在進行教學實驗時，曾提 醒學童要注意等分割後的每一段的格子數有無相同。高分組的學童大都注意到老 師的提示，也都正確完成了。而低、中分組的學童中，竟然有 5 位小朋友出現錯 誤；並且，不但有人從刻度 1 出發，還有 2 位學童分別從刻度 2 和刻度 5 出發，
這是讓研究者感到比較訝異的地方。
一般學童的數數能力是不錯的，當學童數 1 時，表示他看到了 1 個可數的離 散物，但是在數線上則不是如此。當學童在數線上從刻度 1 數起時，此時刻度 1 是一點，沒有間隔，也沒有距離產生。在數線上，兩個不同刻度之間才會有距離 產生。學童認為數線上刻度 1~2 有 2 格，距離是 2，這是學童的迷失概念。從刻 度 1 到刻度 2，也只有 1 格，而不是 2 格。
在數線的等分割活動，研究者臆測，高分組的學童會在等分割點上做上記號，
並且會再一次去點數每一段的格子數是否都相等，以確認自己是否正確完成了數 線的等分割。
二、學童的數學表現 (一)、
連續量等分割研究者在此教學活動中有清楚的說明，並且提供學童一些等分割的練習活動，
讓學童明白分數中部分對整體的意義。不論是低、中、高分組的學童都學會了連 續量的等分割。在練習活動中，圖形中等分割成幾塊是整體，而畫上斜線的區塊 是部分，研究者檢視學童的學習單，低、中分組學童的表現和高分組的學童是一 樣的好，看到有等分割的連續量，他們都能明白何謂整體，何謂部分，並都可以 正確寫出斜線部分所代表的分數，低、中、高分組學童的表現並無顯著差異。
圖 4-3 是 L01 的學習單，在分數的辨識上，包括圖 1、圖 2、圖 3 都完成正 確。
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圖 4-3： L01 分數辨識的解題表現 第 2 題是 1 個等分割的圖形，斜線部分是全部圖形的14。
圖 4-4 是 L01 的學習單，在第 2 題的做答情形。
圖 4-4： L01 分數辨識的解題表現
他寫出來的理由是：4 小塊有切成一樣的大小，因此是等分割。
第 3 題雖然不是等分割，但斜線部分仍然是全部圖形的14。受到不等分割圖形 的影響，的確會有學童的回答是錯誤的。第 3 題是比較有難度的分割問題，令人 訝異的 L01 也知道這個圖形不是正確的等分割，但斜線部分還是占整體圖形的 14 。
圖 4-5 是 L01 在第 3 題的做答情形。
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圖 4-5： L01 分數辨識的解題表現
他寫出來的理由是 4 小塊沒有切成一樣的大小，因此不是等分割。但斜線部分還 是占整體圖形的 14 。有些學童會因為圖形不是等分割，在斜線部分佔全部多少 的回答上會出現錯誤或無法回答。、
第 4 題是將圓形做 2 等分，因為大部分的學童在日常生活中都有過切圓形蛋 糕或圓餅的經驗，因此知道要完成圓形等分割，必須通過圓心。圖 4-6 是 L01 的 解題表現。
圖 4-6： L01 圓形 2 等分割解題表現
在第 5 題中，是將長方形做 2 等分割，一般學童會直接利用水平切割或垂直切割，
有的會利用對角線完成 2 等分割。下圖 4-7 是 L01 的做答。
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圖 4-7： L01 長方形 2 等分割解題表現
在圖 4-7 左邊，他是利用對角線將長方形 2 等分割。在圖 4-5 右邊，他做了 一個較高層次的等分割。他將長方形分割成 2 個不規則的四邊形，但 2 個四邊形 是全等的，因此也是完成了長方形的 2 等分割。
另外，在此題的做答中，中分組 M01 的表現是令人激賞的，他做的 2 個等分 割圖形都是屬於高層次的表現。他將長方形做較有創意的等分割，並不是單純的 用水平線或垂直線來做分割。如圖 4-8 所示：
圖 4-8： M01 長方形 2 等分割的解題表現
特別在圖 4-8 右邊，他做了一個不對稱的切割，但 2 個小三角形的面積合起 來，還是等於大三角形的面積，因此也完成了 2 等分割的要求。數學課程不應該 只是一直在進行算式的演練，更應該注重概念的理解。而教師是課程的設計者，
更應該打破教科書的框架，進行更活潑、更有效果的課程設計。
第 6 題是圓的 4 等分割，只要畫任意 2 條通過圓心的垂直線，便可以將圓 4 等分割。下圖 4-9 是 L01 的做答情形，他完成的等分割圖形也是正確的。但因為 是 2 條垂直線，應該教導學童再加上垂直的符號，那麼就會更精確了。
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圖 4-9： L01 圓形 4 等分割的解題表現
第 7 題是長方形的 4 等分割，以下 L01 的做答情形，在圖 4-10 左邊，他畫 了 3 條鉛垂線，完成了長方形的 4 等分割。在圖 4-10 右邊，他連接了 2 條長方 形的對角線，順利完成 4 等分割。
圖 4-10： L01 長方形 4 等分割的解題表現
值得一提的是中分組的 M01，在第 7 題的分割活動中有出色的表現，在圖 4-11 左邊，一開始先將圖形做垂直 2 等分割，再分別從不同方向(水平和垂直)來做 2 圖形的等分割，最後畫出 2 對形狀不同但等面積的 4 等分圖形。在圖 4-11 右邊，
他的等分割做法也是屬於高層次的思考，先做水平 2 等分割，再分別將 2 等分割 圖形分別從對角線分割，進而做出另一個 4 等分割的圖形。
圖 4-11： M01 長方形 4 等分割的解題表現
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在第 8 題折紙活動中，不論是低、中、高分組的學童都成功比較出 14 和 12 的 大小。這是一個很好的簡易分數比較大小的活動，透過折紙的活動，讓學童親自 做出 14 和 12 圓，並且完成比較。圖 4-12 是 L01 的做答：
圖 4-12： M01 簡易分數比較的解題表現
L01 提出的理由是他發現，1
2 圓中有 2 個 14圓，1
2圓是 14 圓的 2 倍，因此他 確定：1
2 圓> 1
4 圓 。受到整數比較過度遷移的影響(4 > 2)，許多學童會認為：
1
4 圓> 1
2 圓 ，這是學童進行簡易分數比較時，常會出現的迷失概念。透過研 究者設計的這個折紙活動，可以建立學童簡易分數的比較概念，同一個圖形的等 分割數越多，所得到的 1 小塊是越來越小。也就是同一圖形，做 m 等分割和 n 等分割，若 m>n，則 m1 < 1𝑛 。
(二)、
離散量的等分割第 1 題是離散量的等分割，要將 24 個小球 2 等分割。不論是低、中、高分 組的學童都知道應該將小球平分，他們使用的方法是除法。下圖 4-13 是 H02 的 解答。
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圖 4-13： H02 離散量等分割的解題表現
在做法一到四，他用了 4 種不同的圈選方法，順利將 24 個小球 2 等分。他 的想法是:24 的一半是 12。在圈選圖形的策略中，做法一和做法三是左右對稱，
做法二是上下對稱。
第 2 題是 24 個小球的 3 等分割，他也用了 4 種不同的圈選方法，完成了 3 等分割。他的想法是 : 24÷ 3 = 8，下圖 4-14 是 H02 的解答。做法一是屬於並排 式的對稱，做法二和三是類似的畫法，先圈選 8 個，剩下的 16 個再用上下對稱 的方式來圈選。做法四是先圈選中間 8 個，再利用上下對稱來圈選剩下的 16 個。
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圖 4-14： H02 離散量等分割的解題表現
第 3 題是 24 個小球的 4 等分割，他也用了 4 種不同的圈選方法，完成了 4 等分割。他的想法是:24÷ 4=6，下圖 4-15 是 H02 的解答。在作法一他先圈選第 一列 8 個，再用並排方式圈選 3 個圖形。作法二是一、二列用上下對稱圈選，三、
四列用左右對稱圈選。
圖 4-15： H02 離散量等分割的解題表現
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(三)、
數線等分割的表現在數線等分割活動中，高分組的 H01 除了正確寫出每 1 等分位置外，她還 用顏色來清楚標示等分割的位置，她的作法也在研究者的臆測當中，是屬於比較
在數線等分割活動中，高分組的 H01 除了正確寫出每 1 等分位置外，她還 用顏色來清楚標示等分割的位置，她的作法也在研究者的臆測當中，是屬於比較