國小學童帶分數與假分數互換表現之研究

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(1)國立臺中教育大學數學教育學系碩士在職專班碩士論文. 指導教授：陳嘉皇. 博士. 國小學童帶分數與假分數互換表現之研究. 研究生：楊欽旭. 撰. 中華民國一○四年四月.

(2) 國小學童帶分數與假分數互換表現之研究摘要本研究的主要目的是利用學習軌道(LTs)理論設計分數概念之活動，來進行教學實驗，探討學童在帶分數與假分數互換活動的表現情形。另一方面透過教師教學實驗後的省思，探討其產出分數概念的學習軌道為何？研究對象為台中市一所公立小學學童與級任導師，利用觀察與錄音方式，記錄師生互動內容，提供事後回溯及省思的參考。本研究採用質性分析方式處理以下資料：課堂師生對話、學童解題表現、教師省思與與課後學童訪談紀錄。研究後發現 1.經由 LTs 設計的課程與教學實驗後，學童在等分割、單位分數、等值分數、分數在數線上的指認、帶分數與假分數互換的表現良好，低分組在數線的等分割上還須加強，低分組在帶分數與假分數轉換的學習上仍有困難。2.經由分數的 LTs 教學實驗後，可以獲得 2 種分數的學習軌道，可提供學童分數概念和解題能力教學之運用。研究者根據研究發現提出建議，可提供未來分數單元教學或研究的參考。. 關鍵字：等分割、學習軌道、帶分數、假分數 I.

(3) The research on elementary childrens’ performance on transit between mixed numbers and improper fractions Abstract The purpose of this study is to design fraction activities by means of LTs theory aimed to understanding childrens’ performances on transit between mixed numbers and improper fractions through implementing experimental instruction. By means of properly planned intructional activities designed by teacher, students can establish the ability on learning this subject. At another side,through teachers’ reflection after experimental instruction, to discuss what the possible LTs therories are. The research object are childrens at one public elementry school and its teacher. Make use of observation and recording, to record the interactions content between teacher and students, to support the reference and reflection after experimental instruction. The study makes use of qualitative research to process following data, dialogs between students and teacher, the students’ performance on classroom, the reflections of teacher and interview between teacher and students. After study, researcher found : 1.Through activies designed by LTs and experimental instruction, students performance on equipartition,unit fraction,equivalent fraction, to recognize fraction on number line,the transit ability between mixed numbers and improper fractions are good, but the abilites of lower parts on equipartition of number line should strengthen,the difficulties remains for lower parts in learning transit between mixed numbers and improper fractions. 2.Through implementing experimental instruction of fractions using LTs, the researcher gains two teaching mode of LTs therories which can supprot on childrens’s concept of fraction and solving-abilites. Finally, based on results in research ,the researcher give some suggestions for further fraction instrction and for further research. .. Keywords：Equipartitioning, learning trajectory, mixed numbers, improper fractions..

(4) 目次摘要………………………………………………………………………………… I 目次…………………………………………………………………………………Ⅱ 表次…………………………………………………………………………………Ⅲ 圖次…………………………………………………………………………………Ⅳ 第一章緒論…………………………………………………………………………1 第一節研究動機…………………………………………………………1 第二節研究目的和研究問題……………………………………………3 第三節名詞釋義…………………………………………………………4 第四節研究範圍…………………………………………………………5 第二章文獻探討……………………………………………………………………7 第一節國小學童分數的概念發展………………………………………7 第二節學習軌道 ………………………………………………………17 第三節國小分數學習的相關研究.……………………………………21 第三章研究方法與步驟 …………………………………………………………23 第一節研究架構 ………………………………………………………23 第二節研究對象 ………………………………………………………26 第三節課程設計 ………………………………………………………28 第四節資料蒐集與處理 ………………………………………………38 第五節研究的信效度.…………………………………………………40 第六節研究流程 ………………………………………………………41 第四章研究結果 …………………………………………………………………43 第一節等分割活動解題表現 …………………………………………43 第二節單位分數解題表現 ……………………………………………62 第三節等值分數解題表現 ……………………………………………70 第四節數線上分數標示的表現 ………………………………………76 第五節帶分數化假分數的解題表現 …………………………………81 第六節假分數化帶分數的解題表現 …………………………………87 第五章研究結論與建議 …………………………………………………………97 第一節研究結論 ………………………………………………………97 第二節研究建議………………………………………………………101 參考文獻 …………………………………………………………………………103 附錄 ………………………………………………………………………………108. Ⅱ.

(5) 表次表 2-1. 九年一貫課程綱要數學領域「分數」教材分年細目能力指標 ………7. 表 3-1 表 3-2 表 3-3. 樣本簡介…………………………………………………………………26 某某版教科書內容的批判………………………………………………28 教學活動設計……………………………………………………………30. Ⅲ.

(6) 圖次圖 3-1 圖 3-2 圖 4-1 圖 4-2 圖 4-3 圖 4-4 圖 4-5 圖 4-6. 分數研究架構圖 …………………………………………………………24 研究流程 …………………………………………………………………42 連續量的 2 等分割 ………………………………………………………46 離散量的點數 ……………………………………………………………47 L01 分數辨識的解題表現 ………………………………………………49 L01 分數辨識的解題表現 ………………………………………………49 L01 分數辨識的解題表現 ………………………………………………50 L01 圓形 2 等分割解題表現 ……………………………………………50. 4-7 4-8 4-9 4-10. L01 長方形 2 等分割解題表現 ………………………………………… 51 M01 長方形 2 等分割的解題表現 ………………………………………51 M01 圓形 4 等分割的解題表現 …………………………………………52 L01 長方形 4 等分割的解題表現 ………………………………………52. 圖圖圖圖. 4-11 4-12 4-13 4-14 4-15. M01 長方形 4 等分割的解題表現 ………………………………………52 M01 簡易分數比較的解題表現 …………………………………………53 H02 離散量等分割的解題表現 …………………………………………54 H02 離散量等分割的解題表現 …………………………………………55 H02 離散量等分割的解題表現 …………………………………………55. 圖圖圖圖圖圖圖圖圖. 4-16 H01 數線等分割的解題表現 ……………………………………………56 4-17 H01 數線等分割的解題表現 ……………………………………………56 4-18 H01 數線等分割的解題表現 ……………………………………………57 4-19 L01 從符號找出單位分數表現……………………………………………65 4-20 L01 從圖形找出單位分數表現……………………………………………66 4-21 L01 從離散量找出單位分數的表現………………………………………66 4-22 L01 從離散量找出單位分數的表現………………………………………67 4-23 M01 從離散量找出單位分數的表現 ……………………………………67 4-24 H01 從離散量找出單位分數的表現………………………………………68. 圖圖圖圖圖圖圖圖圖. 4-25 L01 從圖形看等值分數的表現……………………………………………71 4-26 H02 從圖形看等值分數的表現……………………………………………72 4-27 L01 從圖形看等值分數的表現……………………………………………73 4-28 H02 從圖形看等值分數的表現……………………………………………73 4-29 L02 在數線上標示整數位置的表現………………………………………77 4-30 L02 在數線上標示整數位置的表現………………………………………77 4-31 L02 在數線上標示分數位置的表現………………………………………78 4-32 L02 在數線上標示分數位置的表現………………………………………78 4-33 L01 帶分數化假分數的表現………………………………………………82. 圖圖圖圖圖. Ⅳ.

(7) 圖圖圖圖圖圖圖圖圖圖. 4-34 4-35 4-36 4-37 4-38 4-39 4-40 4-41 4-42 4-43. H02 帶分數化假分數的表現………………………………………………82 L01 帶分數化假分數的表現………………………………………………83 H02 帶分數化假分數的表現………………………………………………84 L01 帶分數化假分數的表現………………………………………………84 H02 帶分數化假分數的表現………………………………………………85 L01 假分數化帶分數的表現………………………………………………88 M02 假分數化帶分數的表現………………………………………………88 H02 假分數化帶分數的表現………………………………………………89 L01 假分數化帶分數的表現………………………………………………89 L01 假分數化帶分數的表現………………………………………………90. 圖 4-44 以數線比對的方式做帶分數和假分數的轉換 ………………………… 93 圖 4-45 原有的學習軌道 ………………………………………………………… 94 圖 4-46 修正後的學習軌道 ……………………………………………………… 95. Ⅳ.

(8) 第一章. 緒論. 近來學習軌道(learning trajectories, LTs)或學習進程(learning progress, LPs)的研究甚為流行，吸引一些國內外學者紛紛投入此領域的探索(Clements & Sarama, 2004; Sztajn, Confrey, Wilson, & Edgington, 2012)， Clements 和 Sarama (2004)將 LTs 定義為：描述學生對某特殊數學議題的學習，透過相關教學工作的設計，想像一些學生解題的心智步驟或假設的行動，當作臆測路徑，創造支持學生的學習目標，讓學生經歷一發展性的思考層次前進。陳嘉皇(2015)指出，LTs 可提供教師發展所需的數學和教學知識，定義學生可以或能在軌道上進行學習的方法。LTs 可以帶入教室，成為有效教學工具的理由有以下三點：(1) LTs 是以學生的思考作為基礎，探索學習如何隨時間發展的理論；(2)教學會影響學習，所以必須考量學生迷失概念或不成熟的知識如何影響數學新概念的建構；(3)教學決策須以學生學習的形成性評量得到的證據作為基礎。教師可以藉由分析每位學童的學習軌道，調整相關的教學策略或作業目標，並且幫助學童在學習軌道教學實驗之後，建立屬於自己的真實性學習軌道，並以此達到預期的學習目標。本章分為四小節，針對研究動機、研究目的和研究問題、名詞釋義、研究限制，分別敘述如下。. 第一節. 研究動機. 國內外的許多數學教育研究都指出，對國小學童而言，分數的概念是抽象而困難的：而根據研究者多年在國小三、四年級的現場教學經驗，也有同樣的現象。研究者發現，國小三、四學童在學習分數時，經常會有下列的困難: 一、無法瞭解單位分數的意義小三小四學童面對簡單的分數加法問題時，受到整數加法的影響，許多學童會將分子相加，分母也相加的方式進行運算，例如寫出. 2 5. 1 2. +. 1 3. ，許多學童會. ，這是因為許多學童不瞭解單位分數的意義，以至於直接將 2 個不同. 的單位分數相加。由於許多學童不瞭解單位分數的意義，因此，研究者有了想辦法改進教學效果，自己進行課程設計的動機，期待透過教學方法的調整，讓學童能夠真正瞭解單位分數的意義。 1.

(9) 二、在數線上無法找出分數的位置分數是兩個量的比較，但卻是 1 個值，並且可以在數線上找出位置來，數線也可以算是分數的一項重要表徵，但是許多學童卻找不到分數在數線上的正確位置。可見，學童在分數的學習上，的確存在一些迷失概念。三、簡易的分數比較，也經常有錯誤觀念 1 3. >. 1 2. ，這也是學童在學習分數大小比較時，經常會出現的錯誤概念，. 這是因為學童等分概念不清楚的關係，他們認為 3> 2，因此，理所當然的 1. 1. 以為 3 > 2 ，這樣的錯誤，在三、四年級學童的身上常可以看到。而仔細分析國小數學教材，從小三開始，一直到小六，每一學期都有分數的相關教學，甚至在四下和五上，一個學期內就有 2 個關於分數的單元，因此，研究者對分數教學這個主題，有研究探索的動機。研究者以某某教科書為例，將小三至小六有關於分數教學的單元列出如下。在三年級有平分、幾分之幾，分數的加減應用，四年級有分數的類型、帶分數和假分數的互換，等值分數，小數除法與分數，五年級有小數與分數，異分母分數的加減，分數乘法，六年級有分數除法，分數與小數的四則運算。在美國，對國小學童而言，分數也是不易學習的一個主題。67％的五年級， 1. 5. 4. 7. 6. 3. 42％的九年級無法正確比較，，1，. 的大小(Siegler, Fazio, Bailey ＆Zhou,. 2013)。國際上，對學童在分數思考做過大量研究的學者是 Kieran(1980)，他認為，分數最重要的是部分對整體的概念。並且他提出了 4 種有關分數的不同意義，分別是測量、比、商、運算元。也就是因為分數具有不同的意義，因此無論在學習分數的表徵，分數的大小比較，分數的運算時，對學童而言都是複雜而具有挑戰性的。國外研究（Thompson,1996）指出，教師對於數學概念所建立的知識基模，是影響其教學設計的潛在動力，教師本身對數學概念的理解，與教師在課堂上的教學息息相關。Simon(1995)在其學習軌道的理論中提出，教師可以根據學童的學習目標、學習活動及大腦思考等預測路徑來構築一個學習軌道，而教師在教室中實施的教學過程，可以提供驗證學童實際的學習表現和本身所提出的學習軌道之間的符合程度。 2.

(10) 第二節研究目的和研究問題一、研究目的本研究目的在瞭解學童經學習軌道教學後，其等分割、單位分數、等值分數、分數在數線上的標示、帶分數和假分數轉換等能力的表現。透過檢視學童學習單的撰寫，來分析低、中、高分組的學童會有什麼樣的表現，並且透過研究者本身的省思，來檢討課程設計與教學上的缺失，做為改善研究者修正課程設計、改善教學技能的重要參考。透過不斷的修正，期望給不同能力層次的學童適合的幫助。利用學習軌道來設計課程活動，研究者希望可以幫助學童建立等分割、單位分數、等值分數的正確概念，進而學會帶分數和假分數互換的正確方法。綜合上述，本研究的目的可以歸納為以下三點：一、利用學習軌道理論，設計適合學童學習的帶分數和假分數互換之課程材料。二、瞭解不同能力層次的四年級學童，在帶分數和假分數互換單元之學習軌道下的數學表現情形。三、探討研究者利用學習軌道理論，實施帶分數和假分數互換教學後，研究者本身教學信念的改變。. 二、研究問題本研究問題有六點，分別是：一、學童經學習軌道教學實驗後，其等分割解題的表現為何？二、學童經學習軌道教學實驗後，其單位分數的解題表現為何？三、學童經學習軌道教學實驗後，其等值分數解題的表現為何？四、學童經學習軌道教學實驗後，其數線上標示分數位置的解題表現為何？五、學童經學習軌道教學實驗後，其帶分數轉換假分數解題的表現為何？六、學童經學習軌道教學實驗後，其假分數轉換帶分數解題的表現為何？研究者期待，透過這 6 個教學活動，進一步瞭解學童在帶分數和假分數互換解題上的數學思考，提供給學童必要的協助，使學童達到課綱相關能力指標上的要求。. 3.

(11) 第三節. 名詞釋義. 一、等分割(Equipartitioning) （一）連續量等分割本研究的連續量等分割是指將圓形、長方形等圖形分成面積一樣的相同形狀，或面積一樣的不同形狀(等積異形)。（二）離散量等分割是指將離散量的內容物(counter)，等分成若干部分。二、學習軌道學習軌道是指一種預想性的課程實驗設計，以數學重要概念和特定的意義目標，形成學生可能學習路徑的推測，並且順著這些路徑來支持和組織學習。這種軌跡課程的設計，也被認為是一種啟發式的教學。本研究指教師在進行帶分數和假分數互換教學時，依據 1.等分割 2.單位分數 3.等值分數 4.分數在數線上的標示 5.帶分數化假分數 6.假分數化帶分數等六個教學順序。三、等值分數等值分數是指在選取相同基準單位量的情況下，兩個分數等分割數與合成分數不同，但兩分數所代表的量是一樣多的，在數線上是相同的一點。四年級等值分數著重於概念的理解，而並非有約分或擴分的運算內涵。. 4.

(12) 第四節. 研究範圍和限制. 一、研究範圍本研究以台中市某國小四年級 1 個班級共 20 位學童，進行學習軌道實驗教學，依據上課師生對話、學童學習單的表現、課後訪談內容等內容來分析國小四年級在帶分數和假分數互換的表現情形。. 二、研究限制茲將以研究對象、研究工具與研究方法說明如下： (一)、研究對象本研究僅限於台中市某國小四年級 1 個班級共 20 位學童為取樣範圍，以研究者本身任教的班級來進行研究。選取的樣本有其地域性限制，推論的結果不宜過度解釋，亦無法將分析的結果做普遍性的推論。 (二)、研究工具本研究的學習單的設計係參考國小分數教材及分數相關研究文獻，測驗題型為簡答、填充及做圖題，對於學童分數概念的呈現可能有不足之處。 (三)、研究方法本研究依據上課師生對話、學童學習單的表現、課後訪談內容等來分析國小四年級學童在帶分數與假分數互換的表現情形，並未使用統計方法來分析學童在此議題上的表現，加入統計方法，或許對學童分數概念的發展會有更周延的瞭解。. 5.

(13) 6.

(14) 第二章. 文獻探討. 第一節國小學生分數概念的發展一、分數的重要性及學習在數學教育研究中，分數向來是數學教育學者所重視的研究主題，在日常生活及數學的教材中，可發現分數是重要的概念。在國小數學課程中，將數學領域分為五大主題，分別為數與量、幾何、代數、統計與機率、連結，其中分數在數與量此一主題中具有重要的地位。從二年級到六年級都有分數相關的主題出現。在九年一貫課程綱要(教育部，2008)數學學習領域分年細目能力指標中，N-2-09、N-2-10、 N-2-11、N-2-12、N-3-06、N-3-07、N-3-09、N-3-10、N-3-13、皆是關於分數概念的能力指標，由此可見，分數概念在國小數學教學上的重要性。研究者將上述能力指標列表於如下表中：表 2-1：九年一貫課程綱要數學領域「分數」教材分年細目能力指標階段. 代碼. 能力指標內涵. 第二階段. N-2-09. 能在具體情境中，初步認識分數，並解決同. 三、四年級. 分母分數的比較與加減問題。 N-2-10. 能認識真分數、假分數與帶分數，做同分母分數的比較、加減與整數倍計算，並解決生活中的問題。. N-2-11. 能理解分數之「整數相除」的意涵。. N-2-12. 能認識等值分數，並做簡單的應用。. N-2-16. 能在數線上標記小數，並透過等值分數，標記簡單的分數。. 第三階段. N-3-06. 能理解等值分數、約分、擴分的意義。. 五、六年級. N-3-07. 能理解通分的意義，並用來解決異分母分數的比較與加減問題。. N-3-09. 能理解分數(含小數)乘法的意義及計算方法，並解決生活中的問題. N-3-10. 能理解分數(含小數)除法的意義及計算方法，並解決生活中的問題。. N-3-13. 能做分數與小數的互換，並標記在數線上。. 7.

(15) 在國小階段，分數概念與小數、百分率、比、除法等概念關係密切。國內學者劉秋木(1996)指出，在國小階段，分數是最高的概念，是國小數學的頂石，也是日後學習高深數學的基石，所以，分數是基礎數學和高深數學之間的分水嶺。楊瑞智 (2000)指出，有效的處理分數，可廣泛增進瞭解與掌握真實世界問題的能力；分數提供豐富的領域，發展學童智力及擴展心智結構；分數的瞭解提供了爾後學習小數、比、機率及基本代數運算等的基礎。可見分數概念在數學領域學習中的重要性。瑞士心理學家 Piaget 以其兒童認知發展理論，設計活動研究四到十歲兒童對面積的分割行為，探討兒童對分數概念的發展，指出學童的認知發展是漸進的，從知覺的部分-整體的關係到操作的細分之間有相當大的差別。 Piaget、 Inhelder 與 Szeminska(1960)提出兒童的分數概念發展為： 1、四歲到四歲半的兒童，對一物分為二半感到相當困難，對於不同形狀之分割，長方形較容易，圓形次之，正方形較難。此階段的最大特徵是缺少部分與全體之間任何的關係，兒童不會注意到其所接觸到的部分是某個比較大的全體之中所含的元素。 2、四歲到六歲的兒童對於規則的與小範圍的東西有分半的能力，但如果原來的整體變大了，其分成一半的能力更要延緩且物體分成相等的三部分的能力尚未表現。在分割圖形中利用長方形比較容易解決。 3、六到七歲的兒童能成功的實施三等分的方法，但其操作的了解，還是在具的操層次。此階段的兒童具有整體性的保留概念，兒童能夠瞭解各個分割塊數集聚所得到的總量和整個餅是一樣的。 4、十歲左右的兒童能實施六等分的方法，首先用三分法分一個餅，然後所得的三塊餅再用二分法。 Piaget 等人並指出兒童在瞭解分數運算之前，必須具有下列七個子概念： 1、能將整體分割：除非有一種可以除盡的全體，不然就沒有分數的思考。 2、能決定部分量：一個分數包括各部分的限定數，分配東西時，各部分必須與接受者相對應。 3、分割必須窮盡，沒有餘數。 4、能理解分割數和全體有一個固定的關係。 5、分割後的每一等分都是相等的。 6、知道部分來自於全體，而且部分本身也是自己範圍內的全體。 7、知道部分由全體而來，部分的和會等於全體，全體始終是不變的。. 8.

(16) 二、學童學習分數的困難無論在國內、國外的研究都指出，學童學習分數是困難的。分數是一個兼具多重意義的數學概念，其情境變化繁多，表徵系統亦多，如真實市世界的事物、操作性模型、圖形、語言、符號(Behr, Wachsmush, Post, ＆ Lesh, 1994)。在國小階段，分數就有多種意義，學童在分數概念的學習上也有諸多的困難 (呂玉琴，1991)。參考國內外相關文獻，發現國小學童在學習分數概念時會有下列的困難： (一) 等分割概念薄弱許多研究指出學童在學習分數時，等分割概念不夠穩定的情形普遍存在。對於分割後的每一部分要相等且要分完，在分數學習中是相當重要的概念。學童在判斷是否等分時，常只注意到被分割數，而忽略到分割後的每一塊是否相等，顯示學童等分割概念薄弱。游政雄(2002)以紙筆測驗、個別訪談，探討臺灣北部國小中年級學童分數概念的表現情形，發現：在處理等分割問題時，學童只注意到被分割數量，忽略分割後的每一塊是否相等，也表示學童等分割概念不夠穩定的情形普遍存在。檢視關於分數的研究文獻，Confrey 等(2012)利用公平分配活動的情境創造等分割的研究，透過對學生的訪談，宣稱等分割是分數的開始。Confrey 等(2012)將等分割定義為：將某物件等分大小或將一組個體等分配的認知行為。由此可見，等分割概念的重要。 (二) 單位分數的概念不穩定許多研究顯示單位分數是分數概念中重要的概念，單位分數概念不穩定將會影響學童對其他分數相關概念的學習。許多研究也發現學童在處理和面積、長度有關 1. 1. 1. 1. 的分數問題時，先學會處理，然後再依序為 4 、3 。而影響 2 概念的可能因素 2. 中，與單位分數概念相關的因素有以下幾點： 1.是否能將連續量分成長短或大小面積一樣的 2 部分。 2.學童是否能完成分割東西的動作。 3.將東西分成 2 分後，是否能瞭解其中一分與整體之間的關係。黃靖瑩(2003)探討國小中年級學童分數概念表現也發現：學童處理一半的問題優 1. 於其他三、四等分的問題，顯示學童能處理單位分數是的分數問題，在處理單位分 2 1. 數的不是 2 的分數問題，的確有較多的困難。. 9.

(17) (三) 無法瞭解等值分數的意義等值分數的意義來自於連續量或離散量的再等分割，受到安親班或補習班的影響，學童只知道將分子分母同時乘以一個整數時或同時除以一個整數時，可以得到和原來分數相等的另一分數，但忽略了等值分數原有的意義。莊大慶(2007)在國小高年級等值分數概念的研究，採紙筆測驗，研究發現：五年級未學過擴、約分的學童，以分數單位概念試題最容易，在分數的兩階層部分/全體關係試題，尋找共測單位試題上都有困難。 (四) 相關研究很多人都知道，學童和成人都對分數感到困擾(National Mathematic Advisory Panel, 2008； Noura, 2009)，所以探討和分數有關的課程特別的重要。當我們檢視學童在分數測驗上的表現時，結果經常是令人失望的。在美國，67％的五年級， 1. 5. 4. 7. 6. 3. 42％的九年級無法正確比較，，1，. 大小(Siegler, Fazio, Bailey , ＆ Zhou,. 2013)。國際上對學童在分數思考做過大量研究的學者是 Kieran(1980)，他認為，分數最重要的是部分對整體的概念。並且他提出了 4 種有關分數的不同意義，分別是測量、比、商、運算元。就因為分數具有不同的意義，因此無論在學習分數的表徵，分數的大小比較，分數的運算時，對學童而言都是複雜而具有挑戰性的。當討論分數部分對整體的意義時，等分割是重要的基礎。通常多個東西被等分割時，學生最容易瞭解。例如，2 個學生等分 6 塊餅乾是容易的(因為分完了)，而 2 個學生等分 5 塊餅乾時較不易理解。(剩下 1 塊餅乾還要做等分)(Sielgsr, 2010)。通常用來做等分割的形狀是圓形和長方形，圓形和長方形都是對稱的圖形，只有在往後較高深的數學課程，學童才會被要求做非對稱圖形的等分割。 Petit、 Laird、 Marsden 等人(2010) 的研究中指出，等分割成 2 分對學童而言是最容易的。所以通常等分割活動通常從 2 等分開始，再做 4 等分，8 等分。而 3 等分，5 等分從一開始就是不容易的，但如果學會後，學童會利用 3 等分、 5 等分來完成 6 等分和 10 等分。一開始，等分割的操作可以讓學童使用圓形和長方形的分數板，因為分數板是精確的，例如，將. 1 4. 圓形板放在一個完整的圓形上，可以清楚看出部分對整. 體的關係，而這也會比要學童用畫的來的精確。. 10.

(18) 當 1 個整體等分割成越多分時，有一個重要觀念會呈現，那就是等分割成越多分時，得到的 1 分越小，例 1 4. <. 1 2. 。. 聰明的學童可以馬上知道：. 20÷ 4 小於 20 ÷ 2。因為 1 個東西越多人分，1 個人可以分到的越小。. 學童很容易就能指認左邊是. 1 2. 1 2. 圓，右邊是. 圓和 1 4. 1 4. 圓，即使沒有看到完整的圓。就如下圖所示:. 圓。. 若再以下面長方形為例，學童就比較不容易看出是. 11. 1 2. 個長方形或. 1 4. 個長方形了。.

(19) 雖然如此，這並不表示長方形不好用，他們還是可以用來幫助理解分數中部分對整體的關係。學童應有分辨等分割的練習，不論是 2 等分、3 等分、4 等分，如下圖所示:. 2 等分. 不是2 等分. 3 等分. 不是3 等分. 在剛開始的練習，學童會用簡易、一致的做法來等分割圖形，例如，畫 2 條垂直線來做長方形的 3 等分。當在做 3 等分圓形時，學童就會遇到很大的困難，不過我們還是可以提供. 1 3. 圓的分數卡給學童參考。. 當長方形被等分割，等分割後的形狀不一定相同，但面積要一樣大，舉例如下，下圖是長方形等分割成 4 分，4 個等分割圖形面積相同但形狀並不相同。. 12.

(20) 學童可以把上半部或下半部的圖形取出來，垂直等分後再重組，就可以得到和中. 間部分一樣的圖形。下圖也是長方形等分割成 4 分，雖然形狀不同，但還是可以看出上下圖形面積相同。左右圖形面積相同。. 這 4 個等分割圖形並不容易看出面積是相同的，但利用切割再重組的方式，就可以看出下面的圖形和右邊的圖形有相同的面積。. 若分割數相同，大圖等分割後的圖形會比小圖等分割後的圖形還大。如下圖所示，1 個大長方形等分割成 2 分，1 個小長方形等分割成 2 分，明顯的，大長方形等分割的圖形會大於小長方形等分割的圖形。. 13.

(21) 1. 1. 2. 3. 3. 4. 3. 4. 學童應該注意在、表示出來時，、. 1 3. (斜線部分 ) ,. 也同時表現出來了。如下圖所示:. 2. 3. 3. 4. ,. 1 4. (斜線部分). 也就是說，任何等分割，部分圖形的分數表示出來後，剩餘部分的分數也會表現出來。分數也可以視為集合中的部分，特別在討論到數子(counter)的時候，例如在 1 2. 2. 3. 3. 個有 12 個數子的集合中，代表將全部數子等分成 3 分，而其中的 2 分就是. 。. 如下圖所示：. 我們可以將數子擺放在等分割圖形中，這時集合的等分割和圖形的等分割就做了很巧妙的連結。如下圖所示：. 14.

(22) 對學童而言，能將. 3 5. 視為 3 的. 1 5. ，這是很重要的能力。不論. 部分，長度的一部分，集合的一部分。以面積的等分割成 5 分，把每 1 分當成. 1 5. ，3 個. 1 5. 就是. 3 5. 3 5. 1 5. 是面積的一. 來說，學童必須將單位面積. 。. 以線段的長度為例，學童必須將單位長度等分割成 5 分，1 分是是. 3 5. 1. 3. 5. 5. 。如果以 0 到 1 的數線為例，若以為 1 個單位間距，. 1 5. ，3 分就. 就是在此數線上. 1. 的第 3 個位置上，從 0 開始，1 次跳，共跳了 3 次。 5. 要找出集合的的 3 分就是. 3 5. 3 5. ，學童必須先將這個集合的內容物等分割成 5 分，取其中. 。以下圖為例，1 個集合有 5 的星星，3 個星星就是 15. 3 5. 。.

(23) 1 個集合有 5 的星星，3 個星星就是. 3 5. 1. 3. 5. 5. 當有 3 排星星時，1 排就是，3 排就是. (如上圖)。. 一般而言除了在數線外，部分圖形可以不須要接在一起，如下面 2 個圖形，灰色部分代表的都是. 3 5. 是. 。. 3. 也是. 5. 16. 3 5.

(24) 第二節學習軌道一、學習軌道的定義 Clement 和 Sarama(2004)對 LTs 給予解析並定義為: 描述學童在一特殊數學領域裡的思考和學習，透過相關的教學工作設計，想像一些心智步驟或假設的行動做臆測路徑，創造支持學童在數學領域裡的特殊目標，讓學生經歷一發展性的思考層次前進。LTs 的精髓在於實施課程材料的進程時，以學童既有的學習心智表現作為基礎，教師教學前需先設計課程，臆測學童思考，理解學童想法與解決問題的方式，採取統整宏觀的形成性評量歷程，探索、設計、解決與擴展學童學習經驗，最重要的是強調 LTs 的各航點和活動設計必須環環相扣、緊密連結，才能協助學生達到目標。LTs 理論貼近班級教學的需求，故研究者利用 LTs 作為教學理論的基礎，設計分數概念學習的活動，藉由教學設計與活動順序的安排，進行教學實驗，以期學童在預設的軌道上有良好的學習效果。學習軌道的理念來自於真實數學教育的脈絡問題或真實世界的問題，所使用的一種預想性課程實驗設計。透過數學重要理念和特殊意義的目標，對學生可能學習路徑的推測，在教學活動中順著這樣的路徑去進行，以支持和組織學生學習上可能的學習軌道。 Lange(1996)指出，推動以整合這類真實世界的問題進入教學活動中，是基於四個理由：(1)增進數學的學習；(2)增強具有競爭力的公民；(3)加強一般的問題解決能力與態度；(4)在超越數學領域或日常生活中的問題解決中，增進在數學應用方面的實用性。過去 20 年來，美國 NCTM(National Council of Teachers of Mathematics) 提出了改革數學教育的呼聲。NTCM 認為，所有的學生應該都有均等的機會，有深度的了解數學、學會數學。更進一步的，課程應該由傳統的講述法，轉換為以學生為中心的教學。透過教師有計劃的課程安排，引導學生說出自己的想法，學習的中心應該是學生，教師應只站在從旁協助的角色。Simon(1950)在 1995 首先提出 LTs(Learning Trajectories)的假設，LTs 代表學童學習的可能路徑，每個學童的 LTs 不盡相同，既不是線性的，也不是隨機的，LTs 屬於形成性評量，教師在課程進行前，先安排好課程的先後順序，並且事先臆測學童會有的數學表現及想法，教學過程中，也可適時修正學習軌道，以期讓課程內容更符合學童的須求。因此，學習軌道發展透過教師將真實情境融入教室中，藉由師生彼此之間對情境良好的互動，引發學生對問題的思考和探究歷程，能提供教學者掌握學童知識的發展，進一步提供有效的教學方案，促進目標的順利達成。 17.

(25) 二、分數學習軌道理論的相關研究發展分數概念對學童數學的學習是一項重大的挑戰，為協助教師改善困難，一些研究已經建立不少的成果(Izsak,2008)，如發現學童共同的錯誤概念，像是「乘法會變大、除法會變小」的信念，或發展新穎的課程，運用標準資料處理中小學學童的分數重點(NCTM, 2000)。雖然不斷努力，但學童分數學習的困難依然存在。除學童對分數的學習會產生困難和錯誤概念外，研究發現教師對於等值分數的概念與單位分數也是有困難的(Cramer & Lesh, 1998)。由於分數概念非常重要，在整個數學研究基礎及未來學習而言，分數若要成為一有力探索的領域，那麼教師在教學上需讓 LTs 成為有用的方法(Sztajn, Confrey, Holt, Wilson, & Edgington, 2012)。瑞士心理學家皮亞傑指出學童的認知發展是漸進的，皮亞傑曾經設計活動來研究兒童的分數概念發展。而 Confrey 等人(2012)利用公平分配活動的情境創造等分割的研究，透過對學生的訪談，宣稱等分割是分數的開始，且是正式乘除法的入口。Confrey 等人將等分割定義為：將某物件等分大小或將一組個體等分配的認知行為。Confrey 等人綜合文獻及實證工作後，建議一等分割的 LTs 以解釋學生分數概念如何隨時間變化而發展的理解。藉由 Confrey 等人數學理解架構的引導，此 LTs 描述學生如何精緻化其公平分配，隨著時間朝向至最後一般化等分除更聰慧的理解。Confrey 等人提出國小三到五年級的分數學習的軌道內容包含： (一) 3 年級 1.利用等分割方式，將某一部分命名為全部之 1/n，此 1/n 稱為全部的單位分數。 2.a 將某數線圖 0 至 1 當成一完整的組距，將此組距等分成 b 分，並在數線上呈現出來，並且明白每分都是 1/b，且和 1/b 同樣大小。 2.b 在數線圖上從 0 開始，標記出 a 個 1/b，呈現分數 a/b，明白 a/b 在數線上代表的意義。 3.a 理解兩個分數在數線圖相同的位置上，表示大小一樣且等值。 3.b 明白並能產出簡單的等值分數(例如 1/2 = 2/4, 4/6 =2/3)，並用視覺的分數模型解釋為何此分數等值。 3.c 將完整的數用分數表達，例如 1 等於 3/3，2 等於 6/3，並且明白此分數和此整數等值。. 18.

(26) 3.d 透過推理，比較具有相同分子或相同分母之分數的大小，並明白只有當兩個分數在相同的整體時(分母相同)，才能正確比較，並用符號<， = 或 >記錄比較結果，並使用視覺的分數模式加以論證。 (二) 4 年級 1.透過視覺化的分數模式解釋為何 a/b 與分數(n xa)/(n x b)的結果是等值，注意數字和部分的大小如何不同，即便兩個分數本身大小相同時，並運用此法則(擴分或約分)理解和產出等值分數 2.採取創造相同分母或相同分子的方式，或以分數 1/2 做基準點，比較不同分母或分子之分數的大小，明白只有當兩個分數在相同的整體時(分母相同)，才能正確比較，用符號<， = 或 >記錄比較結果，並使用視覺化的分數模式加以論證。 3.a 理解分數的加減法指涉的是相同整體的連結和分離 3.b 採取不只一種的方法，將某分數分解成許多相同分母之分數的組合，藉由方程式記錄其分解，並採取視覺化的分數模式加以論證。 3.c 帶分數的加減，可透過等值分數的方式取代，以加減的關係和運算的律則加以計算。 3.d 透過視覺分數的模式和方程式呈現問題的關係，解決具有相同分母之分數的加減法文字題。 4.能用十分位的分數表達百分位的等值分數，並運用此技巧解決此等問題。 (三) 5 年級 1.透過不同分母之通分產生等值分數的方式，進行分數的加減，並藉由通分方式產出等值的總和，獲得具相同分母但不同的分數。 2. 透過視覺化的分數模式和方程式呈現問題的關係，解決不同分母之分數的加減法文字題，運用標定的分數或分數的數常識進行心算或評估合理的答案。此分數 LTs 關聯的策略、實務與關係，可以描述學童等分割理解的層次，並隨著時間發展累積當成等分除的一般化進程。雖然整個 LTs 包含的概念非常廣泛，但可以敘事方式描述能力的層次，協助解釋研究的結果。最低的層次：描述學童公平分配物件與單一整數的策略。中間層次：描述學童進行等分割與觀察等分割時能說明產出的數學關係。最高層次：描述學童等分配多位數字時所使用的策略和實務，包括帶分數的概念。 Confrey 等運用此 LTs 檢驗數學標準並當 19.

(27) 成診斷評量的基礎，透過 LTs 支援他們理解學生的策略與實務之間的關係，使教師感覺其學生的數學思考，及當學生學習等分割顯現的關係。研究發現，當小學教師擁有較深的數學理解時，他們的學生就會學得更多 (Alexander, 2003; Hill et al., 2005)。Alexander發現初始教師常呈現有限與片段的分數知識，對於問題和計算技巧、分數的基礎概念與解分數文字題能力薄弱，選擇解題方法時，他們只獲得表面的條件並誤用分數算則。LTs的發展與分數錯誤的分析對教師分數的知識與課程資源的運用可提供以下啟示： 1. 學童對於分數的學習多有困難，但依循著對物件等分割、單位分數的概念、進行加減、乘除法運算等進程發展，因此教師課程的安排需以此LTs作為基礎，明確學習目標，安排設計能讓學生順暢學習的作業活動。 2. 學童錯誤知識大多與分數的先備知識有關，他們通常誤用算則，例如當相乘時運用交叉相乘的方式，找出公分母時會將不同的分母相加，或需將分母相乘時，卻讓不同的分母變成一樣。針對此錯誤概念，教師需適時的加以評量與輔導，提供合宜的案例，促進學生思考、修正觀念。 3. 學童有時只獲得表面的條件，像是兩個分數是否有相同的分母，而決定採用某種算則。因此教師需針對不足之概念增補合宜的學習內容，提供學生討論辯證的機會，深化學生分數概念。. 20.

(28) 第三節國小分數學習的相關研究探討分數概念學習的研究論文頗多，然而研究取向各有差異，以下說明國內外學者對學童分數相關研究重要發現及迷失概念部分整理如下：一、等分割李曉莉(1998)，以教學晤談法針對三個國小二年級學童進行分數概念之研究。其研究發現：1.二年級學童在處理離散量及連續量的分割問題採用的策略不同。2.在連續量情境中用來描述單位量，單位分量的分數詞，會有單位詞混淆的情形。許多研究指出學童在學習分數時，等分概念不夠穩固的情形普遍存在，對於分割後的每一個部分都要相等且要分完，在分數學習中是相當重要的概念。學童在判斷是否等分數時，常只注意到被分割數，而忽略分割後的每一塊是否相等，顯示學童等分概念薄弱。邵宜翠(2003)，以試題關聯結構分析法分析國小三年級學童分數概念。研究發現：學童對於分數概念的形成，是先具有「等分割」概念，然後才形成「單位分數」概念。瑞士心理學家 Piaget 以其兒童認知發展理論，設計活動研究四到十歲兒童對面積的分割行為，探討兒童對分數概念的發展，指出學童的認知發展是漸進的，從知覺的部分-整體的關係到操作的細分之間有相當大的差別。二、單位分數許多研究顯示單位分數概念是分數概念中重要的概念，單位分數概念若不穩固，將會影響學童在其它分數相關概念的學習。邵宜翠(2003)的研究也發現：單位分數的概念是發展是由「圖形表徵」到「符號表徵」。三、等值分數彭海燕(1998)，利用紙筆測驗及訪談探討國小四到六年級學童等值分數概念的表現。其研究中發現：1.學童等值分數概念上的表現，先後的發展次序如下：兒童會做分數的分母等於分割個數的題目；會接受分母是分割個數倍數、因數的等值分數，會以圖形的再等分割來說明擴分的概念。2. 學童具備組合能力。3.學童具備單位形成能力。4.學童具備運作思考能力，可以不接受干擾而判斷等積異形的相等關係。李彥典(2008)，應用徑路搜尋之方法探討國小四年級學童在分數概念 21.

(29) 的知識結構。研究發現：1.國小四年級學童在等值分數及單位量概念普遍存在學習困難。2.等分概念為國小四年級學童分數概念的基礎概念。四、數線上分數的標示 Hunnula( 2003)，研究五年級和七年級學生的分數數線概念，透過訪談 3. 發現學生所犯的錯誤大致有以下三種：1.把 4 視為 3.4。2.. 3 4. 不是一個數。. 3.在數線上找到任意 4 段再標出其中的 3 段。依據民國八十二年教育部所頒布的國小數學課程標準(教育部，1993)，分數是數線上的一數值，分別表示線段長及表徵為數線上的一點。五、帶分數與假分數的轉換目前並未發現有學者特別針對此議題進行研究，但在九年一貫課程綱數學領域「分數」教材分年能力指標四年級，代碼 4-n-06 中，明確要求四年級學童：能在平分情境中，能理解分數之「整數相除」的意涵，能認識真分數、假分數與帶分數，熟練假分數與帶分數的互換，並進行同分母分數的比較、加、減與非帶分數的整數倍的計算。上述內容是研究者進行分數學習軌道的主要議題，研究者期待，透過這些航點的設計，可以充分瞭解學童在學習帶分數與假分數的轉換時，會遭遇何種困難，有何迷失概念，瞭解學童在帶分數和假分數互換解題上的數學思考，提供給學童必要的協助，使學童達到課綱相關能力指標上的要求。此外，國內有關學童等分割方面的研究比較少，研究者希望研究結果可以提供給國內日後研究等分割的一個參考。. 22.

(30) 第三章. 研究方法與步驟. 本章共分五節，主要在說明採用的研究設計及實施方式，各節分別為研究架構、研究對象、課程設計、資料蒐集與處理、研究流程，分述如後。. 第一節研究架構本研究應用學習軌道在國小四年級分數概念的課程設計上，並透過教學活動及各項資料的分析，探討學童分數的理解和思考過程，以協助了解學童的學習過程。為了完成軌道的設計與目標設定，研究的前置作業首先針對現行教科書在帶分數和假分數互換課程的安排進行分析，了解教科書安排對學童學習可能的影響，學童在那些地方可能會遇到困難，可以加入、補充那些題材來幫助學童學習。藉由研究者的引導，安排適合學童學習的路徑、軌道，使學童的分數的概念可以適當串連，達成學習的目標。研究者提出本研究之架構圖如圖 3-1。. 23.

(31) 分析某某版教科書分數教材. 運運用學習軌道進行課程設計. 等分割. 單. 等. 位. 值. 分. 分. 數. 數. 數線上分數的標示. 帶分數化假分數. 假分數化帶分數. 進行學習軌道實驗教學. 1、分析學生概念及表現 2、教師省思. 圖 3-1：分數研究架構圖本分數研究架構的內涵包括：一、針對某某版四年級數學教科書，有關分數教學的部分，進行分析根據研究者多年的現場教學經驗，數學教科書中有關分數的課程編排有其缺失，高分組的學童在教師的帶領下，可以學會帶分數與假分數的互換，但許多中、低分組的學童無法正確完成帶分數和假分數的互換。也因此研究者有了自行設計教學課程的動機。二、設計學習軌道的內容利用學習軌道進行教學設計是一個好的教學方式，為了讓學童達到某一種數學能力指標，教學者可以事先列出要達到此能力指標，學童應具備的能力，並將 24.

(32) 這些能力規劃成幾個課程活動，而透過這些課程活動進行，使學童具備該有的能力，最後自然學會此特定的能力指標。三、進行教學實驗為了使學童順利具備帶分數和假分數互換的能力，本教學實驗包含 6 個活動，分別是等分割、單位分數、等值分數、數線上分數的指認，帶分數化假分數、假分數化帶分數。四、分析學生的表現並做教師省思研究根據教學實驗活動，設計 8 張學習單，在每一個實驗教學活動完成後，請學童填寫學習單，研究者透過學習單的檢視，來分析學童在各個教學活動的學習成果。最後，所有資料的分析結果，可以提供給研究者做省思。. 25.

(33) 第二節. 研究對象. 本研究以台中市某國小內四年級的 1 個班級，共 20 個學童來進行教學研究，根據上課時師生的對話，學童學習單的撰寫，上課時的錄影來分析國小四年級學生的分數相關概念，特別是在帶分數與假分數轉換時會有什麼樣的表現，會遇到的困難，並且由學童的表現來省思研究者的教學，做為日後改進教學課程設計的參考。為瞭解學童數學思考，分析學童分數概念的表現，研究者設計了學習單來引導學生學習分數的重要概念，並在 20 個學童中，將學童區分為低、中、高分組，各取出 2 名學童的學習單來做為分析的研究樣本。選擇的依據是依學童數學成績表現，低分組的學童特徵是學習及理解能力不佳，數學評量成績在班級中屬於後百分之三十的學生；中分組學童的特徵是數學理解能力尚可，但解題時會粗心，思考速度稍慢，數學評量成績在班上屬於中等；高分組學童則是數學學習及思考能力佳，數學評量成績在班上屬於前百分之三十的學生。研究者已經擔任這個班級一年半的級任導師，因此選定時也考慮到學生成績穩定性的因素，排除成績忽好忽壞這類不穩定的學童。6 名學童依照三年級上、下學期的平時作業表現和定期評量成績，分為低、中、高分組，學童的能力及基本特質說明如表 3-1：表 3-1：樣本簡介樣本代碼性別 L01. 男. 層次. 背景分析. 低. 家中開早餐店，好動。三年級時從他校轉入，三年級的期中、期末數學成績都落在 60 分左右。. L02. 女. 低. 外配子女，活潑外向、上課時喜歡做自己的事，有上安親班，上課時不專心，老師請她專心時，她總是回答：安親班已教過。但是數學成績一直不理想。. M01. 男. 中. 父親是上班族，母親是家庭主婦，母親重視孩子的教育，孩子沒有上安親班，功課都是媽媽親自指導。此學童熱愛閱讀，喜歡思考。. 26.

(34) 女. M02. 中. 父母親都是上班族，一二年級名列前茅，生上三年級後，數學成績明顯退步，對自己的數學能力開始感到信心不足。. 女. H01. 高. 喜歡美工、繪畫，上課專注，爸媽都是上班族，沒有太多時間指導孩子，但孩子一直主動學習，上進心強。. 男. H02. 高. 學校小鐵人成員，反應敏捷，每天花不少的時間在小鐵人的訓練上。此學童的特質是動作快，做事效率高，在班上成成績一直保持領先。. 該學區位於臺中市郊區，一個年級有 5 班，屬於中型學校。學校已有五十多年的歷史，家長的職業以工商業居多，少數是公務人員。學校附近商店鄰立，補習班、安親班的數量不少。該校是臺中市百大閱讀重點學校，校內有一個圖書館，館內藏書豐富。為鼓勵學童閱讀，該校亦規劃了閱讀線上認證課程，凡通過這些認證課程的學童(從 100 本、200 本到 1000 本)，學校也提供獎狀與獎品來鼓勵這些學童。此外，該校的另一特色是擁有小鐵人隊，利用課餘時間積極訓練學童游泳、騎單車、慢跑的能力。該校小鐵人隊多年來南征北討，在全國的大小比賽中，都留下亮麗的成績。研究者畢業於北部某大學，大學畢業後在師範大學修畢專業教育學程學分，經過教師甄試後，順利成為小學教師。研究者曾在偏遠山區任教，後來請調回到台中市郊區的某小學，目前在此校服務已超過 10 年。就讀研究所期間，曾經修習數學教育研究、數學認知實務、統計等課程。. 27.

(35) 第三節課程設計課程設計是數學教師一項十分重要的能力，好的課程設計，可以引導學童的在課堂上的學習，積極投入課程，說出自己的數學想法，讓學童在課堂上的學習更明確，更有效果。. 一、某某版四年級數學教科書的分析研究者為在職研究生，在學校裡一直擔任三、四年級的級任導師，負責班上國語和數學科的教學，長期以來，數學科一直使用某某版的教科書。在研究所修課時，多位任課教授皆十分推崇芬蘭的數學教育，特別數學教師在課程設計的能力，並鼓勵研究者要有批判數學教科書的能力，也應該具備課程設計的能力，如此才能規劃出有效果、符合學童需求的課程。研究者將某某版教科書四上數學第 9 單元分數，以及四下數學第 6 單元等值分數 2 單元中，和假分數、帶分數互換有關的課程部分，分析如下：表 3-2：某某版教科書內容的批判缺失. 建議. 1:不符合能力指標 4-n-10. 應加入數線教學，讓小朋友可以在數. 4-n-10 能將簡單分數標記在數線上。. 線上標示出分數的正確位置。. 但教材中沒有出現數線，並不符合此單元的能力指標。甚至在三四年級的. 0. 1. 數學教科書中，都沒有數線的教學改善方式:可以加入從簡單的數線填充. 1. 0. 1. 2. 做起，再逐步加入分數填充。例如:. 0. 0 10. 20 (. ). (. ) 0. 10 個 10 個一數，讓小朋友在 (. ) 分別填入 30，40。. 1. 2. 3. 4. 4. 4. 4. 4. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 8. 8. 8. 8. 8. 8. 8. 8. 2. 在數線上也可以看出 1= 2 = (1 的等值分數). 也可看出 28. 1 2. =. 2 4. =. 4 8. =... 4 4. =. 8 8.

(36) (. 1. 的等值分數). 2. 2:沒有前置作業，教材一開始直接進應加入等分割活動，包括連續量、離入 1 的等值分數，學生無法進入狀況散量、數線的等分割，複習分數的基本概念，特別是部分對整體的意義。。例如 2 =1 請學童指認斜線部分占全部圖形的多 2 少?例如圖一和圖二. 圖一. 圖二. 3：用彩帶來說明等值分數也可以，但 1、要注意將 1 條彩帶剪成 2 等分，很必須強調原來彩帶的長。原來的 1 條多小朋友會認為變成 2 條了，而不是彩帶是全體，剪成 2 小條後變 2 部分，. 2個. 1. 1 2. 條。要提醒小朋友，原有彩. 1 小條是原有彩帶的2，2 小條合起來才是原有的彩帶長。圓是 1 個完整的圖案，而且是所有小朋友都熟悉的圖形。 1 個圓等分割成 2 個半圓，沒有小朋友會說變成 2 個圓了。在剛開始介紹分數概念時，分數卡是好的工具。. 1. 帶剪斷後變成 2 個2 條了。 2、要注意將 1 條彩帶剪成 2 等分，很多小朋友會認為變成 2 條了，而不是 2個. 1 2. 條。要提醒小朋友，原有彩 1. 帶剪斷後變成 2 個2 條了。例如: 此為 1 條彩帶從中間剪斷後，變成 1 2. 1 個圓. 1 2. 個圓. 29. 條. 1 2. 條.

(37) 4:本單元並沒有涉及簡單的分數和小應該提供一些練習，讓學童做簡單的數的互換，與能力指標不符。分數和小數的互換。 4-n-8 能理解等值分數，並用來做簡單 1 5 例: 10 = 0.1， 0.05= 100 ，的分數和小數的互換。 1 4. = 0.25. 二、修正後的軌道課程設計為了讓學童更容易學會帶分數和假分數之間的互換，研究者將課程設計成 6 個教學活動，1 個教學活動是 1 節課。6 個教學活動的說明如表 3-3 所示: 表 3-3：教學活動設計活動名稱. 教學目標. 內容描述. 臆測學生反應的說明 (圖示如附錄 1). 圖形的等分割. 讓學生瞭解分數的意等分割活動包含義，並且有能力執行簡 (1)連續量的等分割易的等分割. 低：以水平或垂直切割圖形中：會以對稱圖形做. (2)離散量的等分割. 切割高：會以對稱圖形做切割，甚至以非對稱圖形做切割低：無法做答或用點數方式算出分割量中：會先用除法算出分割量，再圈選. (3)數線的等分割 (0~12 等分割). 分割量高：會先用除法算出分割量，再圈選分割量低：會有人從數線 1 算起，無法正確分割中：先用除法做，找出等分點，可以正確完成分割高：先用除法做，先. 30.

(38) 單位分數. 1.讓學生瞭解單位分數的意義，看到一個分數後，能夠正確找出分數的單位分數。. 2.讓學生瞭解單位分數的意義，看到一個連續. 找出等分點，可以正確完成 (1)從分數中找單位低：無法找出單位分分數數中：可以正確找出單位分數高：可以正確找出單位分數 (1) 從圖形中找單位低：無法找出單位分分數數. 量等分割圖形後，能夠正確指出此圖形的單位分數。. 中：可以正確找出單位分數高：可以正確找出單位分數. 3.讓學生瞭解單位分數 (2) 從離散量中找出低：無法找出單位分的意義，看到一堆離散單位分數、所對數散後、能夠正確指出離應的離散量中：部分無法找出單散量的單位分數及所位分數對應的離散量。高：可以正確找出單位分數等值分數. 讓學生瞭解等值分數的意義。. (1)從圖形瞭解 (圖形的再等分割) (2)從數線上瞭解. 低：有困難中：可以瞭解等值分數的意義高：可以瞭解等值分數的意義. 數線上分. 讓學生能夠清楚在數. (1)10 個一數. 低：可以正確標示. 數的標示. 線上標示整數的正確位置. (2)5 個一數. 整數的位置中：可以正確標示整數的位置高：可以正確標示整數的位置低：可以正確標示整數的位置中：可以正確標示整數的位置高：可以正確標示. 31.

(39) 整數的位置讓學生能夠清楚在數線上標示分數的正確位置. (3)0~1 二等分. 低：無法正確標示. 1. 1. 找出2. 2. 的位置. 中：可以正確標示 1 2. 的位置. 高：可以正確標示 1 2. 的位置. 低：無法正確標示 (4)0~1 五等分 1. 2. 1 3. 4. 找出5、5、5、5 5. 、5 的位置. 5. 的位置. 中：可以正確標示 1 5. 的位置. 高：可以正確標示 1 5. 帶分數化為假分數. 讓學生能夠將帶分數轉換為假分數. (1) 整數部分化為假分數. 的位置. 低：列式會出現錯誤中：可以正確先將整數部分化為假分數高：可以正確先將整數部分化為假分數. (2) 同分母分數的相加. 32. 低：無法正確完成將分子加分子分母也加分母中：可正確完成同分母分數的相加高：可正確完成同分母分數的相加.

(40) 假分數化為帶分數. 讓學生能夠將假分數轉換為帶分數. (1) 假分數分子整除分母. 低：有困難中：可以正確整除高：可以正確整除. (2) 將假分母拆成整數和真分數的和. 低：有困難中：可以正確拆解高：可以正確拆解. 三、課程設計的理由課程設計須考量學習者的起始能力，詳細規劃課程內容及順序，如此才能能學童真正學會教學內容。以下分六部分，分別說明本課程設計的理由。 (一)、等分割等分割是分數教學中一個非常重要的概念，分數第一個意義是部分對整體，學生對分數的概念經常停留在：3 分中的 1 分是. 1 3. ，7 個中的 2 個是. 2 7. ，這樣的. 概念是不清楚、不夠精確的。分數的概念必須建立在等分割上，在美國的國小教科書上，有關分數教學的部分，一開始都會強調等分割的重要，並且會有等分割的練習活動，反觀國內的國小的分數教學，大多止於分數的辨識，也就是在先畫好的等分割圖形上，直接讓學生去辨識分數，而少有等分割這樣的教學活動。因此研究者安排的第一個教學活動就是等分割教學，藉由簡易、常用的圖形等分割活動，來穩固學生基本分數的概念。在進行圖形的等分割活動時，研究者會特別強調等分割後的每一個區塊面積都要是一樣大的，即使有些區塊的形狀看起來不一樣，但是只要每個區塊的面積相同，就是完成等分割的活動。舉例說明如下：. 左圖 2 個分割圖形形狀不同，但是經過如右圖的切割後，可以發現 2 個圖形的面積都是 8 小塊，如此，也算完成了圖形的等分割。 33.

(41) 藉由研究者設計的等分割活動，包括圖形等分割、離散量等分割、線段的等分割等，可以幫助學生建立正確的分數概念，正確辨別有無等分割，哪些是部分，哪些是整體，部分是占全體的多少。 (二)、單位分數在建立分數等分割的概念後，接下來可以來檢視、鞏固學童單位分數的概念， 1. 2. 4. 4. 在課堂上，當研究者在黑板上問了以下的問題，和. 合起來是多少？許多學. 3. 童會不假思索直接回答 8，受到整數四則運算的影響，許多學童直接將分子相加，同樣的，學童也將分母直接相加。這是因為學童單位分數概念不清楚的原因，以至於會有這樣的答案。相同的情況，當老師問學童 1 打鉛筆有 12 枝，. 2 3. 打有幾枝？面對這樣的問. 題，大部分的學童會感到困擾，不知如何下手。這樣的情形都是因為學童單位分數、單位量的概念不清楚的原因，只要建立正確的單位分數、單位量的概念，這類的問題便可以迎刃而解。因此研究者參考美國小學分數的一些教學方法，來建立學童正確的單位分數的概念。 a. 國外有關分數的教科書均建議，當學生看到一個分數 b 時，可以將 a. 1. b. b. 1 b. 視為. 單位分數，表示有 a 分的。而當情境是離散量的時候，可以將內容物乘以單位分數，或是先除以分母，先算出單位量，再算出要求的數量。以上述問題為例，要算出. 2 3. 打有有幾枝，必須先知道. 將內容物等分成 3 小分後的 1 小分，而. 2 3. 打就是 2 個. 1 3. 1 3. 1. 打有幾枝，打就是指 3. 打的意思。. (三)、等值分數在學童建立單位分數的概念後，接下來要引進的重要觀念是等值分數。透過圓形的折紙活動，學生可以建立等值分數的基本概念，那就是，1 個圖形或 1 個線段等分割數雖然不同，但是只要占原來圖形或線段的大小是一樣，那就是等值分數。說明如下，. 甲圖. 乙圖 34.

(42) 1. 甲圖是將圓對折，斜線部分是全部圖形的，乙圖是將同樣的圓對折後再對折， 2. 2. 可得四等分的圓形，斜線部分是全部圖形的，但仍然和圖一斜線部分是一樣大， 4. 1. 2. 2. 4. 因此我們可以推論， =. 。上述 2 個圖形等分割數雖然不同，但斜線部分的面. 積是相同的，甲圖、乙圖斜線部分都是圓形的一半。另外一個可以強調等值分數概念的重要工具是數線，如下圖所示：. 0. 1. A 0. (. 1 2. 2. ). 2. B 1. 0. (. 4. 2 4. ). (. 3 4. 4. ). 4 1. 將 0 到 1 的數線等分割成 2 段，得到數線 A，中點是。再將 0 到 1 的數線等分 2. 2. 割成 4 段，得到數線 B，中心點是。仔細觀察 A、B 兩數線， 4. 1 2. 2. 1. 2. 和 4 在數線上代表的是同一點，也就是相同的數。因此 2 和 4 是等值分數。 2. 4. 2. 4. 另外 1、、都在數線的同一個位置，也就是這 3 個數是等值的，我們可以用等號連結如右：1=. 2 2. 4. = ，由此也可以推知，當 1 個分數，分子等於分母時， 4. 它的值就等於 1。. (四)、數線上分數位置的指認對四年級學童而言，分數依然是一個抽象的概念，分數有多大，在數線上找得到位置嗎？接下來，可以進行在數線上標示分數位置的教學，能在數線上標出分數的位置來，這也是學童在學習分數時一項重要的能力。. 35.

(43) 1. 2. 2. 3. 通常，像、 5 2. 8. 、. 3. 8. 、 8、. 5. 3. 像1 、2 2. 8. 5. 、 8 …這樣的分數，它的分子小於分母，叫做真分數。像. 9 5. 、3. 4 5. 、. 5 5. …這樣的分數，它的分子大於或等於分母，叫做假分數。. …這樣帶有整數的分數，叫做帶分數。. 假分數和帶分數常因為計算時的需求，有時必須做換算，而根據研究者以往的教學經驗，許多學童在做轉換時會遇到困難，不知所措。那是因為學童在前述的幾個數學概念不穩固、不清楚的情況下而導致的結果，只要學童的等分割概念正確，確實瞭解單位分數的意義、等值分數的意義、分數的類型等這幾個重要的概念，學童自然而然的可以學會帶分數與假分數之間的轉換。知道單位分數、等值分數的意義後，學童可以學會 2 個同分母分數的簡易的大小比較，例如 3個. 1 5. 3 5. 和. 2. 1. 5. 5. ，是2個. 2 5. 3. 要做比較，運用單位分數的概念，學童可以知道，是. ，3 個. 5. 1 5. 1. 當然大於 2 個。而根據研究者以往的教學經驗， 5. 遇到整數與分數做比較，或整數和帶分數做比較時，學童會不知所措。有了等值分數的概念，就可以正確的進行這 2 類的比較。例如請學童比較 1 與 5. 4. 5. 5. 面對這樣的問題，我們可以請學童把 1 化成，如此便可以和 4. 6. 6. 4. 6. 6. 6. 6. 童比較 2 和 3 的大小時，可以請學童將 3 化為 2 ，2 > 2 都是 2，而. 6 6. >. 4 6. 4 5. 的大小，. 進行比較。請學，因為整數部分. 4. ，所以3 > 2 6 。. (五)、帶分數化為假分數帶分數是 1 個整數再加上 1 個真分數，看到 1 個帶分數，請學童將帶分數視 1. 1. 為 1 個整數和 1 個真分數的和。例如將 2 是 2 加上 3 的結果。在前面的教學活 3. 3. 動，學童已經知道等值分數的意義，此時將整數部分化為假分數，2=1 + 1 = 3 + 3 3. 1. 6. 6. 1. 7. = 3 ，再加上原有的真分數，即可順利完成轉換，2 = + = 。 3 3 3 3. 36.

(44) (六)、假分數化為帶分數學童知道等值分數的意義後，也可以順利將假分數轉換為帶分數。例如看到 13 3. ，可以將假分數改寫成. 13 3. =. 12 3. =4+ =4. +. 1 3. 1 3. 1 3. 37.