第二章 一元一次不等式
2.5 節 一元一次不等式的應用問題
小明身上有400 元，想買售價 100 元的鰻魚便當 1 個，售價 80 元的排骨便當數 個，請問小明最多可以買幾個排骨便當？
詳解：
設小明買 x 個排骨便當， x 為正整數。
1 個鰻魚便當和 x 個排骨便當的價格可表示為(10080x)元 小明身上有400 元，便當總價不大於小明有的錢，即：
400 80
100 x 100 400
80x (100移到另一邊變100)
300 80x
80 300
x (80移到另一邊變80)
80
300 x
4
15 x
4 33
x
因為 x 為正整數，故 x 最大值為3。
答：小明最多可以買3 個排骨便當。
2-54
例題
2.5-4
1 個茶壺 100 元，1 個茶杯 80 元，若想買 1 個茶壺和數個茶杯，且總價在 500 元以內，請問最多可以買多少個茶杯？
詳解：
設最多可以買 x 個茶杯。
買 x 個茶杯和1 個茶壺的總價可表示為(80x100)元。
總價在500 元以內，即：
500 100 80x
100 500
80x (100移到另一邊變100)
400 80x
80 400
x (80移到另一邊變80)
5 x
答：最多可以買5 個茶杯。
例題
2.5-5
哥哥有700 元，弟弟有 500 元，兩人同時用掉若干元後，哥哥所剩餘的錢不超過 弟弟剩餘錢的3 倍。請問兩人最多同時用掉多少元？
詳解：
設哥哥和弟弟同時用掉 x 元。
哥哥剩餘的錢為(700x)元。
弟弟剩餘的錢為(500x)元，弟弟剩餘的錢之3 倍為3(500x)元 哥哥所剩餘的錢不超過弟弟剩餘的錢之3 倍，即：
) 500 ( 3
700x x x x 1500 3 700
1500 3
700x x (3x移到另一邊變3x)
1500 2
700 x 700 1500
2x (700移到另一邊變700)
800 2x
2 800
x (
2
移到另一邊變 2
)姊姊剩餘的錢為(20003x)元。
姊姊剩餘的錢比妹妹剩餘的錢多2 倍以上，即：
) 800 ( 2 3
2000 x x x x 1600 2 3
2000 1600 2
3
2000 x x (2x移到另一邊變2x)
1600 2000 x
2000 1600
x (2000移到另一邊變2000)
400
x
) 1 ( ) 400 ( ) 1 ( )
(x (不等式的兩邊同乘以一個負數，不等號會相反)
400 x
答：妹妹的購物金額最多是400 元。
例題
2.5-7
一個學期有三次月考，阿達第一次的數學成績為86 分、第二次的數學成績為 76 分，阿達想要此學期的數學成績平均不低於85 分，請問阿達第三次月考數學成 績至少要多少？
詳解：
要計算成績平均，我們需要把成績總和除以成績數量。
本題中有3 次月考，故成績數量為 3。
設阿達第三次月考數學成績為 x 分，則三次成績總和為(8676x)分。
阿達此學期的數學成績平均可表示為
3 76 86 x
分。
阿達想要此學期的數學成績平均不低於85 分，即：
3 85 76 86 x
3 85 162 x
3 85 3 3
162 x
(不等式的二邊同乘以 3)
255 162 x
162 255
x (162移到另一邊變162)
93 x
答：阿達第三次月考數學成績至少要93 分。
除了以上這些用不等式找出x 之值的應用問題外，我們也常常會遇到 x 介於某一範圍 的應用問題，例如下面的例題2.5-8：
例題
2.5-8
某長方形，長為(x2)公分，寬為5 公分，若此長方形面積不到 30 平方公分，
2-56
則 x 的範圍為何？
詳解：
長方形面積＝長×寬 此長方形面積為5(x2)
此長方形面積不到30 平方公分，列式：
30 ) 2 (
5 x 5 30 2
x
6 2
x
2 6
x
4 x
另外因為邊長需大於0，因此可列式：
0 2
x
2 0
x
2
x
答： x 的範圍為x4且x2。
例題2.5-8 中，我們解出的答案為x4且x2，"且"代表的是 x 需同時滿足x4 與x2這兩個條件。例如x 之值可以是
1
、0、3等。若是取x 之值為－5，那麼 雖然滿足x4，但不滿足x2，因此－5 不算是此題的答案。接著我們再看令一 個問題：例題
2.5-9
台灣去年七月的平均氣溫為28 度，若前年七月的平均氣溫與今年相差 2 度以上，
試求前年七月氣溫的範圍為何? 詳解：
設台灣前年七月的平均氣溫為x 度。
根據題意， 前年七月的平均氣溫與今年相差2 度以上。氣溫有可能是高 2 度以上，
也有可能是低2 度以上，我們將兩種情況都寫下來。
高2 度以上：x282，解得x30
在例題2.5-9 中，x 的範圍為x26或x30，兩個條件之間我們用"或"連結，代表只 需滿足其中一個條件。事實上，我們也不可能找到一個數，能同時滿足x26與x30。 我們再來比較一下"且"與"或"的差異：
1. x2且x5：
答案需同時滿足x2與x5，例如x 為 3、4 等。1、6 則因未同時兩個條件，故非答 案。
2. x2或x5：
答案只需滿x2與x5其中一個條件即可，例如x 為 1、3、4、6 等，都至少滿足一 個條件，因此這些都是答案。
3. x2且x5：
答案需同時滿足x2與x5，但我們找不到這樣的數字，故無答案。
4. x2或x5：
答案只需滿x2與x5其中一個條件即可，例如x 為 0、1、6、7 等，都至少滿足一 個條件，所以這些數字都是答案。但x 為 3、4 時，兩個條件都未滿足。故 3、4 不是 答案。
※在第三章，我們將會搭配圖形與聯立的概念做更詳細地介紹。
2-58