代數第二章 目錄

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(1)

代數第二章

目錄

第二章 一元一次不等式...1

學習目標...1

2.1 節 列出不等式...2

2.1 節 習題...5

2.2 節 一元一次不等式的解...8

2.2 節 習題...13

2.3 節 一元一次不等式的圖示法...15

2.3 節 習題...18

2.4 節 解一元一次不等式...20

2.4.1 節 不等式運算法則...20

2.4.2 節 解一元一次不等式(基本題)...24

(2)

2.4.7 節 一元一次不等式的整數解...47

2.4 節 習題...49

2.5 節 一元一次不等式的應用問題...53

2.5 節 習題...60

第二章綜合習題...63

基測與會考模擬試題...69

習題解答...73

2-ii

(3)

第二章 一元一次不等式

在第一章我們已瞭解一元一次方程式的意義與解法,而在本章當中,我們將介紹 一元一次不等式,瞭解如何列式與求解,並與數線結合。如此,即可解決生活中遇到 的不等式問題。

學習目標

1.能理解不等號的意義,並將生活中的應用問題以不等式來紀錄。

2.能將一元一次不等式的解在數線上表示,並理解其意義。

3.能找出一元一次不等式的解。

(4)

2.1 節 列出不等式

在第一章我們學過的式子都是"等於"的關係,但是生活中我們也常遇到大於或小 於的狀況,例如:玩具的價格超過200 元,我們可以寫成某玩具的價格大於 200 元,

記作『某玩具的價格>200 元』。

在數學上,我們用符號>表示大於,用符號<表示小於,稱>或<這樣的符號為 不等號。

不等號的意義

符號 慣用語 範例

˙大於

˙超過 x 大於 7、 x 超過 7,可以用x7表示。

˙小於

˙未滿 x 小於 7、 x 未滿 7,可以用x7表示。

˙大於或等於

˙以上

˙不小於

x 在 7 以上、 x 不小於 7、 x 大於或等於 7,

可以用x7表示。

˙小於或等於

˙以下

˙不大於

x 在 7 以下、 x 不大於 7、 x 小於或等於 7,

可以用x7表示。

 ˙不等於 x 不等於 7,可以用x7表示。

不等式:

用不等號

、 將兩式連結起來的式子,我們稱為不等式。

一元一次不等式:

只含一個未知數,且未知數的最高次數是1 的不等式,我們稱為一元一次不等式。

例: 3x11是一元一次不等式

32

2x2  因為未知數的次數為2,故非一元一次不等式。(是一元二次不等式)

2-2

(5)

例題

2.1-1

將下列關係列成不等式:

(1)5x 大於20。 (2)7x小於14。

(3)8x不大於16。 (4)3y大於或等於2。

詳解:

(1)5x20 (2)7x14 (3)8x16 (4)3y2 例題

2.1-2

將下列敘述列成不等式:

(1)在一次數學考試中,小明考了 80 分,而小榮考的比小明好,假設小榮考 x 分,

則小榮的分數如何表示?

(2)若小梅考的比小明差,假設小梅考 y 分,則小梅的分數如何表示?

詳解:

(1) 小榮考的比小明好,所以小榮的分數>小明的分數,而小榮的分數為 x 分,因 此小榮的分數可以表示為:x80

(2) 小梅考的比小明差,所以小梅的分數<小明的分數,而小梅的分數為 y 分,

因此小梅的分數可以表示為:y80

再考慮一般考試分數都是正數,不會是負數,因此我們還可以加上y0 (第(1)題中因為x80已經是正數,所以不另外寫x0)

答:(1)x80 (2)y80y0 例題

2.1-3

將下列敘述列成不等式:

如果考試的成績以60 分為及格分數,設某人考試成績為 a 分,則:

(1)某人考試及格應該如何表示?(2)某人考試不及格應該如何表示?

詳解:

(1) 某人考試及格,也就是某人考試成績大於或等於 60 分,用a60表示。

(2) 某人考試不及格,也就是某人考試成績小於 60 分,用a60表示。

因為一般考試分數都是正數,所以再加上a0

(6)

例題

2.1-4

將下列敘述列成不等式:

已知小榮和小和的體重分別為 x 公斤和65 公斤,而小榮的體重比小和重,請問小 榮和小和的體重關係如何表示?

詳解:

小榮的體重比小和重,也就是小榮的體重>小和的體重,用x65表示。

答:x65

例題

2.1-5

將下列敘述列成不等式:

已知小瀚和小欣的身高分別為 y 公分和165 公分,而小瀚的身高沒有比小欣高,

則小欣和小瀚的身高關係如何表示?

詳解:

小瀚的身高沒有比小欣高,即是小瀚的身高小於或等於小欣的身高 小瀚的身高

小欣的身高,也就是y165

因為身高都是正數,所以再加上y0 答:y 165y0

例題

2.1-6

將下列敘述列成不等式:

(1)小明每天儲蓄 50 元,x 天後,儲蓄的錢超過了 1000 元。

(2)柯西的爺爺 x 歲,柯西、袁太、小傑與小梅都是 15 歲,四人的年齡總和比爺爺 小。

(3)媽媽有 15000 元,小梅有 500 元,過年時媽媽給小梅 x 元的壓歲錢後,媽媽 剩下的錢不少於小梅的錢的5 倍。

(4)設一個二位數的個位數字與十位數字的和為 9,已知此二位數的十位數字為 x,此二位數加上15 後,不超過 80。

2-4

(7)

詳解:

(1) 小明每天儲蓄 50 元,儲蓄 x 天,也就是儲蓄了50x元。

儲蓄的錢超過1000 元,用50x1000表示。

(2) 四人的年齡總和是154歲,四人的年齡總和比爺爺小,

用15 4x表示,或是x154。

(3) 媽媽有 15000 元,小梅有 500 元,媽媽給小梅 x 元後,

媽媽的錢變為(15000x)元,小梅的錢變為(500x)元。

媽媽剩下的錢不少於小梅的錢的5 倍,即媽媽剩下的錢

小梅的錢的5 倍。

15000x(500x)5表示。

(4) 個位數字與十位數字的和為 9,十位數字為 x (x 是 0 以上,9 以下的整數。) 個位數字可用(9x)表示。

二位數的數值為10x(9x)

二位數加上15 後,不超過 80。以10x(9x)1580表示。

答:(1)50x1000;(2)x154;(3)15000x(500x)5;(4)10x(9x)1580

2.1 節 習題

習題 2.1-1

將下列敘述列成不等式:

(1) 3x小於15 (2) 2y(9)大 (3)  y7 2不小於7 (4) 2x1不大於11

(8)

習題 2.1-2

將下列敘述列成不等式:

(1) 3x不大於14 (2) y

2

1 比(30)小 (3) 6x4大於7 (4) y7不小於(1)

習題 2.1-3

飲料店1 杯紅茶 15 元,1 杯奶茶 20 元,小華買了 2 杯紅茶和 x 杯奶茶,所花 的錢少於100 元。請依題意列出不等式。

習題 2.1-4

小明、小華二人的身高分別為160 公分、x 公分,則:

(1)小明跟小華的身高和是多少公分?(用 x 表示)

(2)若二人身高和不低於 312 公分,請依此關係列出不等式。

2-6

(9)

習題 2.1-5

依題意列出不等式:

(1)小雅體重 72 公斤,減重 x 公斤後,小雅體重不超過 56 公斤。

(2)電影票 1 張 x 元,小優身上有 1000 元,買了 4 張電影票後,剩下不到 50 元。

(3)桌上有 10 元硬幣 x 個、50 元硬幣 10 個,桌上硬幣的金額超過 900 元。

(4)1 支烤雞翅 x 元,伯虎買了 5 支烤雞翅,所花金額不小於 150 元。

(10)

2.2 節 一元一次不等式的解

若將一個數代入不等式中,能使式子成立,則稱此數為不等式的解。

不等式的解可能不只一個。

例: 不等式x6

x4時,因為46,所以不等式x6不成立。

x8時,因為86,所以不等式x6成立。8 是此不等式的解。

在不等式x6中,

7、7.3、8、812 、9、10、11、12、13 ……等,都是不等式的解。

例題

2.2-1

x 以下列之值代入不等式x5,檢驗不等式是否成立:

(1)x2 (2)x5 (3)x8 詳解:

(1) 當x2時,因為25,所以不等式x5成立。

(2) 當x5時,因為55,所以不等式x5不成立。

(3) 當x8時,因為85,所以不等式x5不成立。

【練習】2.2-1

x 以下列之值代入不等式x3,檢驗不等式是否成立:

(1)x2 (2)x3 (3)x4

2-8

(11)

例題

2.2-2

x 以下列之值代入不等式x5,檢驗不等式是否成立:

(1)x2 (2)x5 (3)x8 詳解:

(1) 當x2時,因為25,所以不等式x5不成立。

(2) 當x5時,因為55,所以不等式x5成立。

(3) 當x8時,因為85,所以不等式x5成立。

【練習】2.2-2

x 以下列之值代入不等式x3,檢驗不等式是否成立:

(1)x2 (2)x3 (3)x4

例題

2.2-3

x 以下列之值代入不等式x8,檢驗不等式是否成立:

(1)x2 (2)x5 (3)x8 詳解:

(1) 當x2時,因為28,所以不等式x8成立。

(2) 當x5時,因為58,所以不等式x8成立。

(3) 當x8時,因為88,所以不等式x8成立。

【練習】2.2-3

x 以下列之值代入不等式x3,檢驗不等式是否成立:

(1)x2 (2)x3 (3)x4

(12)

例題

2.2-4

x 以下列之值代入不等式2x15,檢驗不等式是否成立:

(1)x1 (2)x3 (3)x5 詳解:

(1) 當x 1時,2x12111,15,不等式不成立。

(2) 當x3時,2x12315,55,不等式成立。

(3) 當x5時,2x12519,95,不等式成立。

【練習】2.2-4

x 以下列之值代入不等式3x24,檢驗不等式是否成立:

(1)x2 (2)x3 (3)x4

例題

2.2-5

下列哪些數,是不等式2x715的解?

(1) 1 (2) 4 (3) 5 (4) 7 詳解:

(1) 當x 1時,2x72179,915,不等式不成立。

(2) 當x4時,2x724715,1515,不等式不成立。

(3) 當x5時,2x725717,1715,不等式成立。

所以5 是不等式2x715的解。

(4) 當x7時,2x727721,2115,不等式成立。

所以7 是不等式2x715的解。

【練習】2.2-5

下列哪些數,是不等式4x19的解?

(1) 2 (2) 3 (3) 4

2-10

(13)

例題

2.2-6

下列哪些數,是不等式3x514的解?

(1) 1 (2) 3 (3) 5 (4) 7 詳解:

(1) 當x 1時,3x53158,814,不等式成立。

所以1 是不等式3x514的解。

(2) 當x3時,3x533514,

14  14

,不等式成立。

所以3 是不等式3x514的解。

(3) 當x5時,3x535520,2014,不等式不成立。

(4) 當x7時,3x537526,2614,不等式不成立。

【練習】2.2-6

下列哪些數,是不等式2x79的解?

(1) 1 (2) 2 (3) 3

例題

2.2-7

下列哪些數,是不等式 9

2

8 x1  的解?

(1) 2 (2) 4 (3) -2 (4) -4 詳解:

(1) 當x2時, 2 7

2 8 1 2

8 x1     ,79,不等式不成立。

(2) 當x4時, 4 6

2 8 1 2

8 x1     ,69,不等式不成立。

(3) 當x2時, ( 2) 9

2 8 1 2

8 x1      ,99,不等式不成立。

(4) 當x 4時, ( 4) 10

2 8 1 2

8 x1      ,109,不等式成立。

所以-4 是不等式8 x1 9的解。

(14)

【練習】2.2-7

下列哪些數,是不等式 5

3

7 x1  的解?

(1) 3 (2) 6 (3) 9

2-12

(15)

2.2 節 習題

習題 2.2-1

下列哪些數,是不等式x7的解?

(1) 3 (2) 7 (3) 8

習題 2.2-2

下列哪些數,是不等式x2的解?

(1) 1 (2) 2 (3) 3

習題 2.2-3

下列哪些數,是不等式2x58的解?

(1) 0 (2) 1 (3) 2 (4) 3

(16)

習題 2.2-4

下列哪些數,是不等式 x2 50的解?

(1) 0 (2) 2 (3) 2.5 (4) 3 (5) 312

習題 2.2-5

下列哪些數,是不等式2x2x1的解?

(1) 0 (2) 1 (3) 2

2-14

(17)

2.3 節 一元一次不等式的圖示法

為了方便知道一元一次不等式有哪些解,我們可以在數線上將解圖示出來。

圖示描點時,若該點也是不等式的解,則我們用實心圓圈表示;若該點不是 不等式的解,則我們用空心圓圈表示。

例如:

(1)x1

因為在數線上1 右方的數都大於 1,所以 1 右方的數都是不等式x 1的解。

1 也是不等式x1的解,因此1 在圖中用實心圓圈表示,如上圖。

(2)x3

因為在數線上3 左方的數都小於 3,所以 3 左方的數都是不等式x3的解。

3 也是不等式x3的解,因此3 在圖中用實心圓圈表示,如上圖。

(3)x1

因為在數線上1 右方的數都大於 1,所以 1 右方的數都是不等式x 1的解。

1 不是不等式x1的解,因此1 在圖中用空心圓圈表示,如上圖。

(18)

(4)x3

因為在數線上3 左方的數都小於 3,所以 3 左方的數都是不等式x3的解。

3 不是不等式x3的解,因此3 在圖中用空心圓圈表示,如上圖。

例題

2.3-1

在數線上圖示下列不等式的解:

(1) x2 (2) x1 詳解:

(1) x2

(2) x1

例題

2.3-2

在數線上圖示下列不等式的解:

(1) x3 (2) x0 詳解:

(1) x3

(2) x0

2-16

(19)

例題

2.3-3

寫出下列圖示所表示的不等式:

(1)

(2)

詳解:

(1)圖形在 4 為空心,且往左邊,所以代表的不等式為x4。 (2)圖形在 2 為實心,且往右邊,所以代表的不等式為x2

(20)

2.3 節 習題

習題 2.3-1

試寫出下列圖示所表示的不等式:

(1)

(2)

習題 2.3-2

在數線上圖示下列不等式:

(1) x3

(2) x5

(3) x1.5

(4) x113

2-18

(21)

習題 2.3-3

在數線上圖示下列不等式:

(1) x4

(2) x2

(3) x5

(4) x1

(22)

2.4 節 解一元一次不等式

  2.1 節中,我們已經學過,只含一個未知數,且未知數的指數是 1 的不等式,

稱為一元一次不等式。

  本節中我們將學習不等式的運算法則,找出一元一次不等式的解。

2.4.1 節 不等式運算法則

不等式等量公理

(1) 不等式等量加法公理

不等式的兩邊同加一個數後,不等式仍然成立:

不等式x ,二邊同加a b,不等式仍然成立,即xbab。 不等式x ,二邊同加a b,不等式仍然成立,即xbab。 例:

現在有不等式32,我們將不等式二邊同加2,

則不等式左邊變為5,右邊變為 4,54,不等式仍然成立。

2 3

2 2 2 3  

4 5

※ <、

的情況亦同。

(2) 不等式等量減法公理

不等式的兩邊同減一個數後,不等式仍然成立:

不等式x ,二邊同減a b,不等式仍然成立,即xbab。 不等式x ,二邊同減a b,不等式仍然成立,即xbab

2-20

(23)

例:

現在有不等式32,我們將不等式二邊同減2,

則不等式左邊變為1,右邊變為 0,10,不等式仍然成立。

2 3

2 2 2 3  

0 1

<

的情況亦同。

(3) 不等式等量乘法公理

(a) 不等式的兩邊同乘以一個正數,不等式仍然成立。

不等式x ,二邊同乘a b(b0),不等式仍然成立,即xbab。 不等式x ,二邊同乘a b(b0),不等式仍然成立,即xbab。 例:

現在有不等式32,我們將不等式二邊同乘以2,

則不等式左邊變為6,右邊變為 4,64,不等式仍然成立。

2 3

2 2 2 3  

4 6

<

的情況亦同。

(b) 不等式的兩邊同乘一個負數,則大的一邊會變小,小的一邊會變大,也就是 不等號會相反。

不等式x ,二邊同乘以a b(b0),不等號會相反,即xbab。 不等式x ,二邊同乘以a b(b0),不等號會相反,即

x b a b   

。 例:

現在有不等式32,我們將不等式二邊同乘以(-2),

則不等式左邊變為(-6),右邊變為(-4),64,不等號方向相反。

2 3

) 2 ( 2 ) 2 (

3     4

6

 (同乘以負數時,不等號方向會改變!)

<

的情況亦同。

(24)

(4) 不等式等量除法公理

(a) 不等式的兩邊同除以一個正數,不等式仍然成立。

不等式x ,二邊同除以a b(b0),不等式仍然成立,即xbab。 不等式x ,二邊同除以a b(b0),不等式仍然成立,即xbab。 例:

現在有不等式64,我們將不等式二邊同除以2,

則不等式左邊變為3,右邊變為 2,32,不等式仍然成立。

4 6

2 4 2 6  

2 3

※<、

的情況亦同。

(b) 不等式的兩邊同除一個負數,則大的一邊會變小,小的一邊會變大,也就是 不等號會相反。

不等式x ,二邊同除以a b(b0),不等式仍然成立,即xbab。 不等式x ,二邊同除以a b(b0),不等式仍然成立,即xbab。 例:

現在有不等式1510,我們將不等式二邊同除以(-5),

則不等式左邊變為(-3),右邊變為(-2),32,不等號方向相反。

10 15

) 5 ( 10 ) 5 (

15     2

3

 (同除以負數時,不等號方向會改變!)

<

的情況亦同。

2-22

(25)

不等式移項法則:

與第一章一元一次方程式相同,我們可以從等量公理推導出移項法則。

法則一加減 abc

c c b c

a 利用等量公理,不等號二邊同減 c 。

b c

a  所以右邊的

c

移到左邊,會變成 c 。 法則二減加 abc

c c b c

a 利用等量公理,等號二邊同加 c 。

b c

a  所以右邊的 c 移到左邊,會變成

c

。 法則三乘除 abc

0

c

c c b c

a 利用等量公理,等號二邊同除以 c 。

b c

a  所以右邊的 c 移到左邊,會變成 c 。

0

c

c c b c

a 不等式二邊同除以一個負數,不等號相反。

b c a 

法則四除乘 abc

0

c

c c b c

a 利用等量公理,等號二邊同乘以 c 。

b c

a  所以右邊的 c 移到左邊,會變成 c 。

0

c

c c b c

a 不等式二邊同乘以一個負數,不等號相反。

b c a 

(26)

不等式移項法則整理如下:

法則一 abcacb (不等號右邊的+c,移到左邊變-c) 法則二 abcacb (不等號右邊的-c,移到左邊變+c) 法則三 c0時,abcacb

0

c 時,abcacb

(不等號右邊的× c,移到左邊變÷ c,c0時不等號會相反) 法則四 c0時,abcacb

0

c 時,abcacb

(不等號右邊的÷ c,移到左邊變× c,c0時不等號會相反)

※其餘不等號

也有相同性質。

2.4.2 節 解一元一次不等式(基本題)

例題

2.4.2-1

請解下列不等式:

(1) x23 (2) x10 (3) x52 (4) x36 詳解:

等量公理解法 (1) x23

x2232 (不等式的兩邊同減一個數,不等式仍然成立) x1

(2) x10

x1101 (不等式的兩邊同加一個數,不等式仍然成立) x1

2-24

(27)

(3) x52

x5525 (不等式的兩邊同減一個數,不等式仍然成立) x7

(4) x36

x3363 (不等式的兩邊同加一個數,不等式仍然成立) x3

移項法則解法 (1) x23

x32 (

 2

移到另一邊變成

 2

) x1

(2) x10

x01 (

 1

移到另一邊變成

 1

) x1

(3) x52

x25 (5移到另一邊變成5) x7

(4) x36

x63 (3移到另一邊變成3) x3

【練習】2.4.2-1

請解下列不等式:

(1) x13 (2) x50 (3) x32 (4) x21

(28)

例題

2.4.2-2

請解下列不等式:

(1) 2x6 (2) 3x9 (3) 0.5x7 (4) 3

5 3x

詳解:

等量公理解法 (1) 2x6

2x262 (不等式的兩邊同除以一個正數,不等式仍然成立) x3

(2) 3x9

3x393 (不等式的兩邊同除以一個正數,不等式仍然成立) x3

(3) 0.5x7

0.5x2(7)2 (不等式的兩邊同乘以一個正數,不等式仍然成立) x14

(4) 53x3

53x35 (3)35 (不等式的兩邊同乘以一個正數,不等式仍然成立) x5

移項法則解法 (1) 2x6

x62 (2x也就是 2x,與 x2相同,

2

移到另一邊變

 2

) x3

(2) 3x9

x93 (3移到另一邊變3) x3

(3) 0.5x7

2-26

(29)

x(7)0.5 (0.5移到另一邊變0.5) x14

(4) 3

5

3x

x(3)53 (53 移到另一邊變

5

3) 3

) 5 3 ( 

x

x5

【練習】2.4.2-2

請解下列不等式:

(1) 3x12 (2) 5x30 (3) 0.5x3 (4) 76x7

例題

2.4.2-3

請解下列不等式:

(1)  x2 6 (2)  x4 20 (3)  x21 8 (4)  x32 14 詳解:

等量公理解法 (1)  x2 6

( x2 )(2)(6)(2) (不等式的兩邊同除以一個負數,不等號會相反) x3

(30)

(4) 14

32 

 x

( x32 )(23)14(23) (不等式的兩邊同乘以一個負數,不等號會相反) x21

移項法則解法 (1)  x2 6

x(6)(2) ((2)移到另一邊變(2),乘除負數移項時,

x3 不等號會相反)

(2)  x4 20

x20(4) ((4)移到另一邊變(4),乘除負數移項時,

x5 不等號會相反)

(3) 8

21 

 x

x8(12) ((12)移到另一邊變 )

2 (1

 ,乘除負數移項時,

x8(2) 不等號會相反) x16

2-28

(31)

(4) 14

32 

 x

x14(32) ((32)移到另一邊變 )

3 (2

 ,乘除負數移項時,

)

2 ( 3 14 

x 不等號會相反)

x21

【練習】2.4.2-3

請解下列不等式:

(1)  x8 (2)  x4 28 (3) 9

31 

 x (4) 26

52 

 x

(32)

2.4.3 節 解多項型一元一次不等式

若不等式有多項時,我們會將含x 的項整理至不等號一邊,不含 x 的項整理至不等號 的另一邊,化簡不等式求解。

例題

2.4.3-1

請解下列不等式:

(1) 3x416 (2) 4x59 詳解:

等量公理解法 (1) 3x416

3x44164 (不等式的兩邊同減一個數,不等式仍然成立) 3x12

3 12 3

3x   (不等式的兩邊同除以一個正數,不等式仍然成立)

4 x

(2) 4x59

4x5595 (不等式的兩邊同減一個數,不等式仍然成立) 4x4

4 4 4

4x   (不等式的兩邊同除以一個正數,不等式仍然成立)

1 x

移項法則解法 (1) 3x416

3x164 (

4

移到另一邊變

4

) 3x12

3 12

x (3移到另一邊變3)

4 x

2-30

(33)

(2) 4x59

4x95 (5移到另一邊變5) 4x4

4 4

x (

4

移到另一邊變

4

)

1 x

【練習】2.4.3-1

請解下列不等式:

(1) 3x517 (2) 4x715

例題

2.4.3-2

請解下列不等式:

(1) x76x (2) 5x x3 6 (3) xx8 (4) 5x x3 4 (5) 2x12x

詳解:

等量公理解法 (1) x76x

x6x76x6x (不等式的兩邊同加一個數,不等式仍然成立) 7x7

7 7 7

7x   (不等式的兩邊同除以一個正數,不等式仍然成立)

(34)

(3) xx8

x x x

x   

 8 (不等式的兩邊同減一個數,不等式仍然成立)

8 2 

 x

) 2 ( 8 ) 2 ( ) 2

( x      (不等式的兩邊同除以一個負數,不等號會相反)

4

x

(4) 5x x3 4

x x

x

x 3 3 4 3

5     (不等式的兩邊同減一個數,不等式仍然成立)

4 2x

2 4 2

2x   (不等式的兩邊同除以一個正數,不等式仍然成立)

2 x

(5) 2x12x

x x x

x12  

2 (不等式的兩邊同加一個數,不等式仍然成立)

0 12 3x 

12 0 12 12

3x    (不等式的兩邊同加一個數,不等式仍然成立)

12 3x

3 12 3

3x   (不等式的兩邊同除以一個正數,不等式仍然成立)

4 x

移項法則解法 (1) x76x

x x6 7 (6x移到另一邊變6x) 7x7

7 7

x (7移到另一邊變7)

1 x

2-32

(35)

(2) 5x x3 6

5x x3 6 (3x移到另一邊變3x) 2x6

2 ) 6 ( 

x (

2

移到另一邊變

2

)

3

x

(3) xx8

8

x x (

x

移到另一邊變 x )

8 2 

 x

) 2 ( 8 

x ((2)移到另一邊變(2),乘除負數移項時,

4

x 不等號會相反)

(4) 5x x3 4

4 3

5x x (3x移到另一邊變3x)

4 2x

2 4

x (

2

移到另一邊變

2

)

2 x

(5) 2x12x

0 12

2x x( x 移到另一邊變

x

)

0 12 3x 

12 0

3x  (

12

移到另一邊變

12

)

12 3x

(36)

【練習】2.4.3-2

請解下列不等式:

(1) x188x (2) 9x x5 4 (3) x3x8 (4) 7x x3 12 (5) 5x18x

例題

2.4.3-3

請解下列不等式:

(1) 4x67x9 (2) 5x5x7 (3) 2x13x1 (4) 3x25x6 詳解:

等量公理解法

(1) 4x67x9

4x67x7x97x (不等式的兩邊同減一個數,不等式仍然成立)  x3 69

6 9 6 6

3    

 x (不等式的兩邊同加一個數,不等式仍然成立)

15 3 

 x

) 3 ( 15 ) 3 ( ) 3

( x      (不等式的兩邊同除以一個負數,不等號會相反)

5

x

(2) 5x5x7

5x5xx7x (不等式的兩邊同加一個數,不等式仍然成立) 6x57

5 7 5 5

6x    (不等式的兩邊同加一個數,不等式仍然成立)

2-34

(37)

2 6x

6 ) 2 ( 6

6x    (不等式的兩邊同除以一個正數,不等式仍然成立)

3

1

x

(3) 2x13x1

x x

x

x 1 3 3 1 3

2     

 (不等式的兩邊同加一個數,不等式仍然成立)

1 1

x

1 1 1

1  

x (不等式的兩邊同減一個數,不等式仍然成立)

2

x

(4) 3x25x6

x x

x

x 2 5 5 6 5

3      (不等式的兩邊同減一個數,不等式仍然成立)

6 2 2  

 x

2 6 2 2

2    

 x (不等式的兩邊同加一個數,不等式仍然成立)

8 2 

 x

) 2 ( 8 ) 2 ( ) 2

( x      (不等式的兩邊同除以一個負數,不等號會相反)

4

x

移項法則解法

(1) 4x67x9

4x67x9 (7x移到另一邊變7x)  x3 69

6 9 3  

 x (6移到另一邊變6)

(38)

5 7

6x  (5移到另一邊變5)

2 6x

6 ) 2 ( 

x (6移到另一邊變6)

3

1

x

(3) 2x13x1

1 3 1

2   

x x (3x移到另一邊變3x)

1 1

x

11

x (

1

移到另一邊變

1

)

2

x

(4) 3x25x6

6 5 2

3x  x (5x移到另一邊變5x)

6 2 2  

 x

2 6 2  

 x (

2

移到另一邊變

2

)

8 2 

 x

) 2 ( 8 

x ((2)移到另一邊變(2),乘除負數移項時,

4

x 不等號會相反)

2-36

(39)

【練習】2.4.3-3

請解下列不等式:

(1) 2x67x14 (2) 3x5x1

例題

2.4.3-4

請解下列不等式:

(1) 5x2(x1)8 (2) x33(x1)(x5) (3) 3x12(x4)4x5

詳解:

等量公理解法

(1) 5x2(x1)8

5x x2 28 (注意2(x1)2x2) 3x28

2 8 2 2

3x    (不等式的兩邊同減一個數,不等式仍然成立)

6 3x

3 6 3

3x   (不等式的兩邊同除以一個正數,不等式仍然成立)

2 x

(2) x33(x1)(x5)

x33x3x5 (注意(x5)x5) x32x2

x x

x

x32 2 22

(40)

5 4 7 

x

x

x x

x

x74 4 54 (不等式的兩邊同減一個數,不等式仍然成立)

5 7 3  

 x

7 5 7 7

3    

 x (不等式的兩邊同加一個數,不等式仍然成立)

12 3 

 x

) 3 ( 12 ) 3 ( ) 3

( x      (不等式的兩邊同除以一個負數,不等號會相反)

4

x

移項法則解法

(1) 5x2(x1)8

5x x2 28 (注意2(x1)2x2) 3x28

2 8

3x  (

2

移到另一邊變

2

)

6 3x

3 6

x (3移到另一邊變3)

2 x

(2) x33(x1)(x5)

x33x3x5 (注意(x5)x5) x32x2

2 2 3 

x

x (2x移到另一邊變2x)

2 3

 x

3 2

 x (3移到另一邊變3)

5

 x

) 1 ( 5 ) 1 ( )

(x      (不等式的兩邊同乘以一個負數,不等號會相反)

5

x

2-38

(41)

(3) 3x12(x4)4x5

5 4 8 2 1

3x  x  x (注意2(x4)2x8)

5 4 7 

x

x

5 4 7 

x

x (4x移到另一邊變4x)

5 7 3  

 x

7 5 3  

 x (7移到另一邊變7)

12 3 

 x

) 3 ( 12 

x ((3)移到另一邊變(3),乘除負數移項時,

4

x ,不等號會相反)

【練習】2.4.3-4

請解下列不等式:

(1) 7x2(x1)8 (2) x62(x1)3(x4)

(42)

2.4.4 節 解分數型一元一次不等式

若要解分數型的不等式,我們可以先將不等式二邊乘上所有分母的最小公倍數,以 消去分母。

例題

2.4.4-1

請解下列不等式:

(1) 3 1 6x

(2)

6 1 2 12

9

5x  x

(3) 1

8 5 2 6

5  

x

x

詳解:

等量公理解法 (1) 6x 31

3 6 6 1 6x  

(不等式的二邊同乘以 6,消去分母)

2 x

(2) 5x129 2x61

5x129122x6112 (不等式的二邊同乘以 12,消去分母) 5x9(2x1)2

2 4 9

5x  x

x x

x

x 9 4 4 2 4

5      (不等式的兩邊同減一個數,不等式仍然成立)

2 9

x

9 2 9 9  

x (不等式的兩邊同加一個數,不等式仍然成立)

11 x

(3) x652x851

[x65 2x85]24(1)24 (不等式的二邊同乘以 24,消去分母) (x5)4(2x5)324

24 15 6 20

4x  x  24 35 2  

 x

35 24 35 35

2    

 x (不等式的兩邊同加一個數,不等式仍然成立)

11 2 

 x

) 2 ( 11 ) 2 ( ) 2

( x      (不等式的兩邊同除以一個負數,不等號會相反)

2

11

x

移項法則解法

2-40

(43)

(1) 3 1 6x

3 6 6 1 6x  

(不等式的二邊同乘以 6,消去分母)

2 x

(2) 5x129 2x61

5x129122x6112 (不等式的二邊同乘以 12,消去分母) 5x9(2x1)2

2 4 9

5x  x 2 4 9

5x  x (

4x

移到另一邊變

4x

)

2 9

x

9 2

x (9移到另一邊變9)

11 x

(3) x652x851

[x65 2x85]24(1)24 (不等式的二邊同乘以 24,消去分母) (x5)4(2x5)324

24 15 6 20

4x  x  24 35 2  

 x

35 24 2  

 x (35移到另一邊變35)

11 2 

 x

) 2 ( 11 

x ((2)移到另一邊變(2),乘除負數移項時,

2

11

x 不等號會相反)

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