代數第二章
目錄
第二章 一元一次不等式...1
學習目標...1
2.1 節 列出不等式...2
2.1 節 習題...5
2.2 節 一元一次不等式的解...8
2.2 節 習題...13
2.3 節 一元一次不等式的圖示法...15
2.3 節 習題...18
2.4 節 解一元一次不等式...20
2.4.1 節 不等式運算法則...20
2.4.2 節 解一元一次不等式(基本題)...24
2.4.7 節 一元一次不等式的整數解...47
2.4 節 習題...49
2.5 節 一元一次不等式的應用問題...53
2.5 節 習題...60
第二章綜合習題...63
基測與會考模擬試題...69
習題解答...73
2-ii
第二章 一元一次不等式
在第一章我們已瞭解一元一次方程式的意義與解法,而在本章當中,我們將介紹 一元一次不等式,瞭解如何列式與求解,並與數線結合。如此,即可解決生活中遇到 的不等式問題。
學習目標
1.能理解不等號的意義,並將生活中的應用問題以不等式來紀錄。
2.能將一元一次不等式的解在數線上表示,並理解其意義。
3.能找出一元一次不等式的解。
2.1 節 列出不等式
在第一章我們學過的式子都是"等於"的關係,但是生活中我們也常遇到大於或小 於的狀況,例如:玩具的價格超過200 元,我們可以寫成某玩具的價格大於 200 元,
記作『某玩具的價格>200 元』。
在數學上,我們用符號>表示大於,用符號<表示小於,稱>或<這樣的符號為 不等號。
不等號的意義
符號 慣用語 範例
˙大於˙超過 x 大於 7、 x 超過 7,可以用x7表示。
˙小於˙未滿 x 小於 7、 x 未滿 7,可以用x7表示。
˙大於或等於
˙以上
˙不小於
x 在 7 以上、 x 不小於 7、 x 大於或等於 7,
可以用x7表示。
˙小於或等於
˙以下
˙不大於
x 在 7 以下、 x 不大於 7、 x 小於或等於 7,
可以用x7表示。
˙不等於 x 不等於 7,可以用x7表示。
不等式:
用不等號
、
、
、
、 將兩式連結起來的式子,我們稱為不等式。一元一次不等式:
只含一個未知數,且未知數的最高次數是1 的不等式,我們稱為一元一次不等式。
例: 3x11是一元一次不等式
32
2x2 因為未知數的次數為2,故非一元一次不等式。(是一元二次不等式)
2-2
例題
2.1-1
將下列關係列成不等式:
(1)5x 大於20。 (2)7x小於14。
(3)8x不大於16。 (4)3y大於或等於2。
詳解:
(1)5x20 (2)7x14 (3)8x16 (4)3y2 例題
2.1-2
將下列敘述列成不等式:
(1)在一次數學考試中,小明考了 80 分,而小榮考的比小明好,假設小榮考 x 分,
則小榮的分數如何表示?
(2)若小梅考的比小明差,假設小梅考 y 分,則小梅的分數如何表示?
詳解:
(1) 小榮考的比小明好,所以小榮的分數>小明的分數,而小榮的分數為 x 分,因 此小榮的分數可以表示為:x80
(2) 小梅考的比小明差,所以小梅的分數<小明的分數,而小梅的分數為 y 分,
因此小梅的分數可以表示為:y80
再考慮一般考試分數都是正數,不會是負數,因此我們還可以加上y0 (第(1)題中因為x80已經是正數,所以不另外寫x0)
答:(1)x80 (2)y80且y0 例題
2.1-3
將下列敘述列成不等式:
如果考試的成績以60 分為及格分數,設某人考試成績為 a 分,則:
(1)某人考試及格應該如何表示?(2)某人考試不及格應該如何表示?
詳解:
(1) 某人考試及格,也就是某人考試成績大於或等於 60 分,用a60表示。
(2) 某人考試不及格,也就是某人考試成績小於 60 分,用a60表示。
因為一般考試分數都是正數,所以再加上a0
例題
2.1-4
將下列敘述列成不等式:
已知小榮和小和的體重分別為 x 公斤和65 公斤,而小榮的體重比小和重,請問小 榮和小和的體重關係如何表示?
詳解:
小榮的體重比小和重,也就是小榮的體重>小和的體重,用x65表示。
答:x65
例題
2.1-5
將下列敘述列成不等式:
已知小瀚和小欣的身高分別為 y 公分和165 公分,而小瀚的身高沒有比小欣高,
則小欣和小瀚的身高關係如何表示?
詳解:
小瀚的身高沒有比小欣高,即是小瀚的身高小於或等於小欣的身高 小瀚的身高
小欣的身高,也就是y165因為身高都是正數,所以再加上y0 答:y 165且y0
例題
2.1-6
將下列敘述列成不等式:
(1)小明每天儲蓄 50 元,x 天後,儲蓄的錢超過了 1000 元。
(2)柯西的爺爺 x 歲,柯西、袁太、小傑與小梅都是 15 歲,四人的年齡總和比爺爺 小。
(3)媽媽有 15000 元,小梅有 500 元,過年時媽媽給小梅 x 元的壓歲錢後,媽媽 剩下的錢不少於小梅的錢的5 倍。
(4)設一個二位數的個位數字與十位數字的和為 9,已知此二位數的十位數字為 x,此二位數加上15 後,不超過 80。
2-4
詳解:
(1) 小明每天儲蓄 50 元,儲蓄 x 天,也就是儲蓄了50x元。
儲蓄的錢超過1000 元,用50x1000表示。
(2) 四人的年齡總和是154歲,四人的年齡總和比爺爺小,
用15 4x表示,或是x154。
(3) 媽媽有 15000 元,小梅有 500 元,媽媽給小梅 x 元後,
媽媽的錢變為(15000x)元,小梅的錢變為(500x)元。
媽媽剩下的錢不少於小梅的錢的5 倍,即媽媽剩下的錢
小梅的錢的5 倍。以15000x(500x)5表示。
(4) 個位數字與十位數字的和為 9,十位數字為 x (x 是 0 以上,9 以下的整數。) 個位數字可用(9x)表示。
二位數的數值為10x(9x)
二位數加上15 後,不超過 80。以10x(9x)1580表示。
答:(1)50x1000;(2)x154;(3)15000x(500x)5;(4)10x(9x)1580
2.1 節 習題
習題 2.1-1
將下列敘述列成不等式:
(1) 3x小於15 (2) 2y比(9)大 (3) y7 2不小於7 (4) 2x1不大於11
習題 2.1-2
將下列敘述列成不等式:
(1) 3x不大於14 (2) y
2
1 比(30)小 (3) 6x4大於7 (4) y7不小於(1)
習題 2.1-3
飲料店1 杯紅茶 15 元,1 杯奶茶 20 元,小華買了 2 杯紅茶和 x 杯奶茶,所花 的錢少於100 元。請依題意列出不等式。
習題 2.1-4
小明、小華二人的身高分別為160 公分、x 公分,則:
(1)小明跟小華的身高和是多少公分?(用 x 表示)
(2)若二人身高和不低於 312 公分,請依此關係列出不等式。
2-6
習題 2.1-5
依題意列出不等式:
(1)小雅體重 72 公斤,減重 x 公斤後,小雅體重不超過 56 公斤。
(2)電影票 1 張 x 元,小優身上有 1000 元,買了 4 張電影票後,剩下不到 50 元。
(3)桌上有 10 元硬幣 x 個、50 元硬幣 10 個,桌上硬幣的金額超過 900 元。
(4)1 支烤雞翅 x 元,伯虎買了 5 支烤雞翅,所花金額不小於 150 元。
2.2 節 一元一次不等式的解
若將一個數代入不等式中,能使式子成立,則稱此數為不等式的解。
不等式的解可能不只一個。
例: 不等式x6
當x4時,因為46,所以不等式x6不成立。
當x8時,因為86,所以不等式x6成立。8 是此不等式的解。
在不等式x6中,
7、7.3、8、812 、9、10、11、12、13 ……等,都是不等式的解。
例題
2.2-1
將x 以下列之值代入不等式x5,檢驗不等式是否成立:
(1)x2 (2)x5 (3)x8 詳解:
(1) 當x2時,因為25,所以不等式x5成立。
(2) 當x5時,因為55,所以不等式x5不成立。
(3) 當x8時,因為85,所以不等式x5不成立。
【練習】2.2-1
將x 以下列之值代入不等式x3,檢驗不等式是否成立:
(1)x2 (2)x3 (3)x4
2-8
例題
2.2-2
將x 以下列之值代入不等式x5,檢驗不等式是否成立:
(1)x2 (2)x5 (3)x8 詳解:
(1) 當x2時,因為25,所以不等式x5不成立。
(2) 當x5時,因為55,所以不等式x5成立。
(3) 當x8時,因為85,所以不等式x5成立。
【練習】2.2-2
將x 以下列之值代入不等式x3,檢驗不等式是否成立:
(1)x2 (2)x3 (3)x4
例題
2.2-3
將x 以下列之值代入不等式x8,檢驗不等式是否成立:
(1)x2 (2)x5 (3)x8 詳解:
(1) 當x2時,因為28,所以不等式x8成立。
(2) 當x5時,因為58,所以不等式x8成立。
(3) 當x8時,因為88,所以不等式x8成立。
【練習】2.2-3
將x 以下列之值代入不等式x3,檢驗不等式是否成立:
(1)x2 (2)x3 (3)x4
例題
2.2-4
將x 以下列之值代入不等式2x15,檢驗不等式是否成立:
(1)x1 (2)x3 (3)x5 詳解:
(1) 當x 1時,2x12111,15,不等式不成立。
(2) 當x3時,2x12315,55,不等式成立。
(3) 當x5時,2x12519,95,不等式成立。
【練習】2.2-4
將x 以下列之值代入不等式3x24,檢驗不等式是否成立:
(1)x2 (2)x3 (3)x4
例題
2.2-5
下列哪些數,是不等式2x715的解?
(1) 1 (2) 4 (3) 5 (4) 7 詳解:
(1) 當x 1時,2x72179,915,不等式不成立。
(2) 當x4時,2x724715,1515,不等式不成立。
(3) 當x5時,2x725717,1715,不等式成立。
所以5 是不等式2x715的解。
(4) 當x7時,2x727721,2115,不等式成立。
所以7 是不等式2x715的解。
【練習】2.2-5
下列哪些數,是不等式4x19的解?
(1) 2 (2) 3 (3) 4
2-10
例題
2.2-6
下列哪些數,是不等式3x514的解?
(1) 1 (2) 3 (3) 5 (4) 7 詳解:
(1) 當x 1時,3x53158,814,不等式成立。
所以1 是不等式3x514的解。
(2) 當x3時,3x533514,
14 14
,不等式成立。所以3 是不等式3x514的解。
(3) 當x5時,3x535520,2014,不等式不成立。
(4) 當x7時,3x537526,2614,不等式不成立。
【練習】2.2-6
下列哪些數,是不等式2x79的解?
(1) 1 (2) 2 (3) 3
例題
2.2-7
下列哪些數,是不等式 9
2
8 x1 的解?
(1) 2 (2) 4 (3) -2 (4) -4 詳解:
(1) 當x2時, 2 7
2 8 1 2
8 x1 ,79,不等式不成立。
(2) 當x4時, 4 6
2 8 1 2
8 x1 ,69,不等式不成立。
(3) 當x2時, ( 2) 9
2 8 1 2
8 x1 ,99,不等式不成立。
(4) 當x 4時, ( 4) 10
2 8 1 2
8 x1 ,109,不等式成立。
所以-4 是不等式8 x1 9的解。
【練習】2.2-7
下列哪些數,是不等式 5
3
7 x1 的解?
(1) 3 (2) 6 (3) 9
2-12
2.2 節 習題
習題 2.2-1
下列哪些數,是不等式x7的解?
(1) 3 (2) 7 (3) 8
習題 2.2-2
下列哪些數,是不等式x2的解?
(1) 1 (2) 2 (3) 3
習題 2.2-3
下列哪些數,是不等式2x58的解?
(1) 0 (2) 1 (3) 2 (4) 3
習題 2.2-4
下列哪些數,是不等式 x2 50的解?
(1) 0 (2) 2 (3) 2.5 (4) 3 (5) 312
習題 2.2-5
下列哪些數,是不等式2x2x1的解?
(1) 0 (2) 1 (3) 2
2-14
2.3 節 一元一次不等式的圖示法
為了方便知道一元一次不等式有哪些解,我們可以在數線上將解圖示出來。
圖示描點時,若該點也是不等式的解,則我們用實心圓圈表示;若該點不是 不等式的解,則我們用空心圓圈表示。
例如:
(1)x1
因為在數線上1 右方的數都大於 1,所以 1 右方的數都是不等式x 1的解。
1 也是不等式x1的解,因此1 在圖中用實心圓圈表示,如上圖。
(2)x3
因為在數線上3 左方的數都小於 3,所以 3 左方的數都是不等式x3的解。
3 也是不等式x3的解,因此3 在圖中用實心圓圈表示,如上圖。
(3)x1
因為在數線上1 右方的數都大於 1,所以 1 右方的數都是不等式x 1的解。
1 不是不等式x1的解,因此1 在圖中用空心圓圈表示,如上圖。
(4)x3
因為在數線上3 左方的數都小於 3,所以 3 左方的數都是不等式x3的解。
3 不是不等式x3的解,因此3 在圖中用空心圓圈表示,如上圖。
例題
2.3-1
在數線上圖示下列不等式的解:
(1) x2 (2) x1 詳解:
(1) x2
(2) x1
例題
2.3-2
在數線上圖示下列不等式的解:
(1) x3 (2) x0 詳解:
(1) x3
(2) x0
2-16
例題
2.3-3
寫出下列圖示所表示的不等式:
(1)
(2)
詳解:
(1)圖形在 4 為空心,且往左邊,所以代表的不等式為x4。 (2)圖形在 2 為實心,且往右邊,所以代表的不等式為x2。
2.3 節 習題
習題 2.3-1
試寫出下列圖示所表示的不等式:
(1)
(2)
習題 2.3-2
在數線上圖示下列不等式:
(1) x3
(2) x5
(3) x1.5
(4) x113
2-18
習題 2.3-3
在數線上圖示下列不等式:
(1) x4
(2) x2
(3) x5
(4) x1
2.4 節 解一元一次不等式
2.1 節中,我們已經學過,只含一個未知數,且未知數的指數是 1 的不等式,
稱為一元一次不等式。
本節中我們將學習不等式的運算法則,找出一元一次不等式的解。
2.4.1 節 不等式運算法則
不等式等量公理
(1) 不等式等量加法公理
不等式的兩邊同加一個數後,不等式仍然成立:
不等式x ,二邊同加a b,不等式仍然成立,即xbab。 不等式x ,二邊同加a b,不等式仍然成立,即xbab。 例:
現在有不等式32,我們將不等式二邊同加2,
則不等式左邊變為5,右邊變為 4,54,不等式仍然成立。
2 3
2 2 2 3
4 5
※ <、
與
的情況亦同。(2) 不等式等量減法公理
不等式的兩邊同減一個數後,不等式仍然成立:
不等式x ,二邊同減a b,不等式仍然成立,即xbab。 不等式x ,二邊同減a b,不等式仍然成立,即xbab。
2-20
例:
現在有不等式32,我們將不等式二邊同減2,
則不等式左邊變為1,右邊變為 0,10,不等式仍然成立。
2 3
2 2 2 3
0 1
※
<
、
與
的情況亦同。(3) 不等式等量乘法公理
(a) 不等式的兩邊同乘以一個正數,不等式仍然成立。
不等式x ,二邊同乘a b(b0),不等式仍然成立,即xbab。 不等式x ,二邊同乘a b(b0),不等式仍然成立,即xbab。 例:
現在有不等式32,我們將不等式二邊同乘以2,
則不等式左邊變為6,右邊變為 4,64,不等式仍然成立。
2 3
2 2 2 3
4 6
※
<
、
與
的情況亦同。(b) 不等式的兩邊同乘一個負數,則大的一邊會變小,小的一邊會變大,也就是 不等號會相反。
不等式x ,二邊同乘以a b(b0),不等號會相反,即xbab。 不等式x ,二邊同乘以a b(b0),不等號會相反,即
x b a b
。 例:現在有不等式32,我們將不等式二邊同乘以(-2),
則不等式左邊變為(-6),右邊變為(-4),64,不等號方向相反。
2 3
) 2 ( 2 ) 2 (
3 4
6
(同乘以負數時,不等號方向會改變!)
※
<
、
與
的情況亦同。(4) 不等式等量除法公理
(a) 不等式的兩邊同除以一個正數,不等式仍然成立。
不等式x ,二邊同除以a b(b0),不等式仍然成立,即xbab。 不等式x ,二邊同除以a b(b0),不等式仍然成立,即xbab。 例:
現在有不等式64,我們將不等式二邊同除以2,
則不等式左邊變為3,右邊變為 2,32,不等式仍然成立。
4 6
2 4 2 6
2 3
※<、
與
的情況亦同。(b) 不等式的兩邊同除一個負數,則大的一邊會變小,小的一邊會變大,也就是 不等號會相反。
不等式x ,二邊同除以a b(b0),不等式仍然成立,即xbab。 不等式x ,二邊同除以a b(b0),不等式仍然成立,即xbab。 例:
現在有不等式1510,我們將不等式二邊同除以(-5),
則不等式左邊變為(-3),右邊變為(-2),32,不等號方向相反。
10 15
) 5 ( 10 ) 5 (
15 2
3
(同除以負數時,不等號方向會改變!)
※
<
、
與
的情況亦同。2-22
不等式移項法則:
與第一章一元一次方程式相同,我們可以從等量公理推導出移項法則。
法則一加減 abc
c c b c
a 利用等量公理,不等號二邊同減 c 。
b c
a 所以右邊的
c
移到左邊,會變成 c 。 法則二減加 abcc c b c
a 利用等量公理,等號二邊同加 c 。
b c
a 所以右邊的 c 移到左邊,會變成
c
。 法則三乘除 abc0
c 時
c c b c
a 利用等量公理,等號二邊同除以 c 。
b c
a 所以右邊的 c 移到左邊,會變成 c 。
0
c 時
c c b c
a 不等式二邊同除以一個負數,不等號相反。
b c a
法則四除乘 abc
0
c 時
c c b c
a 利用等量公理,等號二邊同乘以 c 。
b c
a 所以右邊的 c 移到左邊,會變成 c 。
0
c 時
c c b c
a 不等式二邊同乘以一個負數,不等號相反。
b c a
不等式移項法則整理如下:
法則一 abc acb (不等號右邊的+c,移到左邊變-c) 法則二 abc acb (不等號右邊的-c,移到左邊變+c) 法則三 c0時,abc acb
0
c 時,abc acb
(不等號右邊的× c,移到左邊變÷ c,c0時不等號會相反) 法則四 c0時,abc acb
0
c 時,abc acb
(不等號右邊的÷ c,移到左邊變× c,c0時不等號會相反)
※其餘不等號
、
、
也有相同性質。2.4.2 節 解一元一次不等式(基本題)
例題
2.4.2-1
請解下列不等式:
(1) x23 (2) x10 (3) x52 (4) x36 詳解:
等量公理解法 (1) x23
x2232 (不等式的兩邊同減一個數,不等式仍然成立) x1
(2) x10
x1101 (不等式的兩邊同加一個數,不等式仍然成立) x1
2-24
(3) x52
x5525 (不等式的兩邊同減一個數,不等式仍然成立) x7
(4) x36
x3363 (不等式的兩邊同加一個數,不等式仍然成立) x3
移項法則解法 (1) x23
x32 (
2
移到另一邊變成 2
) x1(2) x10
x01 (
1
移到另一邊變成 1
) x1(3) x52
x25 (5移到另一邊變成5) x7
(4) x36
x63 (3移到另一邊變成3) x3
【練習】2.4.2-1
請解下列不等式:
(1) x13 (2) x50 (3) x32 (4) x21
例題
2.4.2-2
請解下列不等式:
(1) 2x6 (2) 3x9 (3) 0.5x7 (4) 3
5 3x
詳解:
等量公理解法 (1) 2x6
2x262 (不等式的兩邊同除以一個正數,不等式仍然成立) x3
(2) 3x9
3x393 (不等式的兩邊同除以一個正數,不等式仍然成立) x3
(3) 0.5x7
0.5x2(7)2 (不等式的兩邊同乘以一個正數,不等式仍然成立) x14
(4) 53x3
53x35 (3)35 (不等式的兩邊同乘以一個正數,不等式仍然成立) x5
移項法則解法 (1) 2x6
x62 (2x也就是 2x,與 x2相同,
2
移到另一邊變 2
) x3(2) 3x9
x93 (3移到另一邊變3) x3
(3) 0.5x7
2-26
x(7)0.5 (0.5移到另一邊變0.5) x14
(4) 3
5
3x
x(3)53 (53 移到另一邊變
5
3) 3
) 5 3 (
x
x5
【練習】2.4.2-2
請解下列不等式:
(1) 3x12 (2) 5x30 (3) 0.5x3 (4) 76x7
例題
2.4.2-3
請解下列不等式:
(1) x2 6 (2) x4 20 (3) x21 8 (4) x32 14 詳解:
等量公理解法 (1) x2 6
( x2 )(2)(6)(2) (不等式的兩邊同除以一個負數,不等號會相反) x3
(4) 14
32
x
( x32 )(23)14(23) (不等式的兩邊同乘以一個負數,不等號會相反) x21
移項法則解法 (1) x2 6
x(6)(2) ((2)移到另一邊變(2),乘除負數移項時,
x3 不等號會相反)
(2) x4 20
x20(4) ((4)移到另一邊變(4),乘除負數移項時,
x5 不等號會相反)
(3) 8
21
x
x8(12) ((12)移到另一邊變 )
2 (1
,乘除負數移項時,
x8(2) 不等號會相反) x16
2-28
(4) 14
32
x
x14(32) ((32)移到另一邊變 )
3 (2
,乘除負數移項時,
)
2 ( 3 14
x 不等號會相反)
x21
【練習】2.4.2-3
請解下列不等式:
(1) x8 (2) x4 28 (3) 9
31
x (4) 26
52
x
2.4.3 節 解多項型一元一次不等式
若不等式有多項時,我們會將含x 的項整理至不等號一邊,不含 x 的項整理至不等號 的另一邊,化簡不等式求解。
例題
2.4.3-1
請解下列不等式:
(1) 3x416 (2) 4x59 詳解:
等量公理解法 (1) 3x416
3x44164 (不等式的兩邊同減一個數,不等式仍然成立) 3x12
3 12 3
3x (不等式的兩邊同除以一個正數,不等式仍然成立)
4 x
(2) 4x59
4x5595 (不等式的兩邊同減一個數,不等式仍然成立) 4x4
4 4 4
4x (不等式的兩邊同除以一個正數,不等式仍然成立)
1 x
移項法則解法 (1) 3x416
3x164 (
4
移到另一邊變 4
) 3x123 12
x (3移到另一邊變3)
4 x
2-30
(2) 4x59
4x95 (5移到另一邊變5) 4x4
4 4
x (
4
移到另一邊變 4
)1 x
【練習】2.4.3-1
請解下列不等式:
(1) 3x517 (2) 4x715
例題
2.4.3-2
請解下列不等式:
(1) x76x (2) 5x x3 6 (3) xx8 (4) 5x x3 4 (5) 2x12x
詳解:
等量公理解法 (1) x76x
x6x76x6x (不等式的兩邊同加一個數,不等式仍然成立) 7x7
7 7 7
7x (不等式的兩邊同除以一個正數,不等式仍然成立)
(3) xx8
x x x
x
8 (不等式的兩邊同減一個數,不等式仍然成立)
8 2
x
) 2 ( 8 ) 2 ( ) 2
( x (不等式的兩邊同除以一個負數,不等號會相反)
4
x
(4) 5x x3 4
x x
x
x 3 3 4 3
5 (不等式的兩邊同減一個數,不等式仍然成立)
4 2x
2 4 2
2x (不等式的兩邊同除以一個正數,不等式仍然成立)
2 x
(5) 2x12x
x x x
x12
2 (不等式的兩邊同加一個數,不等式仍然成立)
0 12 3x
12 0 12 12
3x (不等式的兩邊同加一個數,不等式仍然成立)
12 3x
3 12 3
3x (不等式的兩邊同除以一個正數,不等式仍然成立)
4 x
移項法則解法 (1) x76x
x x6 7 (6x移到另一邊變6x) 7x7
7 7
x (7移到另一邊變7)
1 x
2-32
(2) 5x x3 6
5x x3 6 (3x移到另一邊變3x) 2x6
2 ) 6 (
x (
2
移到另一邊變 2
)3
x
(3) xx8
8
x x (
x
移到另一邊變 x )8 2
x
) 2 ( 8
x ((2)移到另一邊變(2),乘除負數移項時,
4
x 不等號會相反)
(4) 5x x3 4
4 3
5x x (3x移到另一邊變3x)
4 2x
2 4
x (
2
移到另一邊變 2
)2 x
(5) 2x12x
0 12
2x x ( x 移到另一邊變
x
)0 12 3x
12 0
3x (
12
移到另一邊變 12
)12 3x
【練習】2.4.3-2
請解下列不等式:
(1) x188x (2) 9x x5 4 (3) x3x8 (4) 7x x3 12 (5) 5x18x
例題
2.4.3-3
請解下列不等式:
(1) 4x67x9 (2) 5x5x7 (3) 2x13x1 (4) 3x25x6 詳解:
等量公理解法
(1) 4x67x9
4x67x7x97x (不等式的兩邊同減一個數,不等式仍然成立) x3 69
6 9 6 6
3
x (不等式的兩邊同加一個數,不等式仍然成立)
15 3
x
) 3 ( 15 ) 3 ( ) 3
( x (不等式的兩邊同除以一個負數,不等號會相反)
5
x
(2) 5x5x7
5x5xx7x (不等式的兩邊同加一個數,不等式仍然成立) 6x57
5 7 5 5
6x (不等式的兩邊同加一個數,不等式仍然成立)
2-34
2 6x
6 ) 2 ( 6
6x (不等式的兩邊同除以一個正數,不等式仍然成立)
3
1
x
(3) 2x13x1
x x
x
x 1 3 3 1 3
2
(不等式的兩邊同加一個數,不等式仍然成立)
1 1
x
1 1 1
1
x (不等式的兩邊同減一個數,不等式仍然成立)
2
x
(4) 3x25x6
x x
x
x 2 5 5 6 5
3 (不等式的兩邊同減一個數,不等式仍然成立)
6 2 2
x
2 6 2 2
2
x (不等式的兩邊同加一個數,不等式仍然成立)
8 2
x
) 2 ( 8 ) 2 ( ) 2
( x (不等式的兩邊同除以一個負數,不等號會相反)
4
x
移項法則解法
(1) 4x67x9
4x67x9 (7x移到另一邊變7x) x3 69
6 9 3
x (6移到另一邊變6)
5 7
6x (5移到另一邊變5)
2 6x
6 ) 2 (
x (6移到另一邊變6)
3
1
x
(3) 2x13x1
1 3 1
2
x x (3x移到另一邊變3x)
1 1
x
11
x (
1
移到另一邊變 1
)2
x
(4) 3x25x6
6 5 2
3x x (5x移到另一邊變5x)
6 2 2
x
2 6 2
x (
2
移到另一邊變 2
)8 2
x
) 2 ( 8
x ((2)移到另一邊變(2),乘除負數移項時,
4
x 不等號會相反)
2-36
【練習】2.4.3-3
請解下列不等式:
(1) 2x67x14 (2) 3x5x1
例題
2.4.3-4
請解下列不等式:
(1) 5x2(x1)8 (2) x33(x1)(x5) (3) 3x12(x4)4x5
詳解:
等量公理解法
(1) 5x2(x1)8
5x x2 28 (注意2(x1)2x2) 3x28
2 8 2 2
3x (不等式的兩邊同減一個數,不等式仍然成立)
6 3x
3 6 3
3x (不等式的兩邊同除以一個正數,不等式仍然成立)
2 x
(2) x33(x1)(x5)
x33x3x5 (注意(x5)x5) x32x2
x x
x
x32 2 22
5 4 7
x
x
x x
x
x74 4 54 (不等式的兩邊同減一個數,不等式仍然成立)
5 7 3
x
7 5 7 7
3
x (不等式的兩邊同加一個數,不等式仍然成立)
12 3
x
) 3 ( 12 ) 3 ( ) 3
( x (不等式的兩邊同除以一個負數,不等號會相反)
4
x
移項法則解法
(1) 5x2(x1)8
5x x2 28 (注意2(x1)2x2) 3x28
2 8
3x (
2
移到另一邊變 2
)6 3x
3 6
x (3移到另一邊變3)
2 x
(2) x33(x1)(x5)
x33x3x5 (注意(x5)x5) x32x2
2 2 3
x
x (2x移到另一邊變2x)
2 3
x
3 2
x (3移到另一邊變3)
5
x
) 1 ( 5 ) 1 ( )
(x (不等式的兩邊同乘以一個負數,不等號會相反)
5
x
2-38
(3) 3x12(x4)4x5
5 4 8 2 1
3x x x (注意2(x4)2x8)
5 4 7
x
x
5 4 7
x
x (4x移到另一邊變4x)
5 7 3
x
7 5 3
x (7移到另一邊變7)
12 3
x
) 3 ( 12
x ((3)移到另一邊變(3),乘除負數移項時,
4
x ,不等號會相反)
【練習】2.4.3-4
請解下列不等式:
(1) 7x2(x1)8 (2) x62(x1)3(x4)
2.4.4 節 解分數型一元一次不等式
若要解分數型的不等式,我們可以先將不等式二邊乘上所有分母的最小公倍數,以 消去分母。
例題
2.4.4-1
請解下列不等式:
(1) 3 1 6x
(2)
6 1 2 12
9
5x x
(3) 1
8 5 2 6
5
x
x
詳解:
等量公理解法 (1) 6x 31
3 6 6 1 6x
(不等式的二邊同乘以 6,消去分母)
2 x
(2) 5x129 2x61
5x129122x6112 (不等式的二邊同乘以 12,消去分母) 5x9(2x1)2
2 4 9
5x x
x x
x
x 9 4 4 2 4
5 (不等式的兩邊同減一個數,不等式仍然成立)
2 9
x
9 2 9 9
x (不等式的兩邊同加一個數,不等式仍然成立)
11 x
(3) x652x851
[x65 2x85]24(1)24 (不等式的二邊同乘以 24,消去分母) (x5)4(2x5)324
24 15 6 20
4x x 24 35 2
x
35 24 35 35
2
x (不等式的兩邊同加一個數,不等式仍然成立)
11 2
x
) 2 ( 11 ) 2 ( ) 2
( x (不等式的兩邊同除以一個負數,不等號會相反)
2
11
x
移項法則解法
2-40
(1) 3 1 6x
3 6 6 1 6x
(不等式的二邊同乘以 6,消去分母)
2 x
(2) 5x129 2x61
5x129122x6112 (不等式的二邊同乘以 12,消去分母) 5x9(2x1)2
2 4 9
5x x 2 4 9
5x x (
4x
移到另一邊變- 4x
)2 9
x
9 2
x (9移到另一邊變9)
11 x
(3) x652x851
[x65 2x85]24(1)24 (不等式的二邊同乘以 24,消去分母) (x5)4(2x5)324
24 15 6 20
4x x 24 35 2
x
35 24 2
x (35移到另一邊變35)
11 2
x
) 2 ( 11
x ((2)移到另一邊變(2),乘除負數移項時,
2
11
x 不等號會相反)