節 一元一次方程式的應用

將方程式應用到日常生活當中，我們可以將某項數量設成未知數，再利用一元一次 方程式來解它：

解題步驟：

1. 分析題意，將適當的未知數用符號 ( ^x ) 表示。

2. 利用符號列出一元一次方程式。

3. 解一元一次方程式，並寫出答案。

例題

1.5-1

爸爸在便利商店買了 3 瓶相同價格的飲料，付給店員 100元，找回 28 元。請 問 1 瓶飲料的價格是多少元？

詳解：

(1) 設 1 瓶飲料的價格為

^x

元，則 3 瓶飲料的價格為

x  3  3 x

元。

(2) 買了 3 瓶相同價格的飲料，付給店員 100元，找回 28 元。

100元減去 3 瓶飲料的價錢，即為找回的錢。列式如下：

28 3 100  x 

(3) 解一元一次方程式：

28 3 100  x 

100 28 100 3

100  x   

( 等號二邊同減去 100)

72

3  

 x

) 3 ( ) 72 ( ) 3 ( ) 3

(  x      

( 等號二邊同除以

( ^{3 )}

)

 24 x

所以 1 瓶飲料的價格為 24 元。

答： 1 瓶飲料的價格為 24 元。

例題

1.5-2

1 杯珍珠奶茶比 1 杯紅茶貴 5 元，全班 20 個人買了 15 杯珍珠奶茶和 5 杯紅茶，

總共花了 275元。試回答下列問題：

(1) 如果 1 杯紅茶是

^x

元，則 1 杯珍珠奶茶是多少元？ ( 用

^x

表示 ) (2) 5 杯紅茶是多少元？ 15 杯珍珠奶茶是多少元？ ( 用

^x

表示 )

(3) 15 杯珍珠奶茶和 5 杯紅茶總共花了 275元，依題意列出一元一次方程式。

(4) 1 杯珍珠奶茶是多少元？ ( 用數字表示 ) 詳解：

(1) 1 杯珍珠奶茶比 1 杯紅茶貴 5 元，所以若 1 杯紅茶是

^x

元，則 1 杯珍珠奶茶 是(x5) 元。

(2) 5 杯紅茶的價格是 1 杯紅茶價格的 5 倍， 1 杯紅茶是

^x

元， 5 杯紅茶就是 x

x55 ( 元 )

15 杯珍珠奶茶的價格是 1 杯珍珠奶茶的 15 倍， 1 杯珍珠奶茶是(x5) 元， 15 杯珍珠奶茶就是(x5)1515(x5) ( 元 )

(3) 15 杯珍珠奶茶和 5 杯紅茶總共花了 275元，也就是 15 杯珍珠奶茶的價格 加上 5 杯紅茶的價格，等於 275元，列方程式：

275 5

) 5 (

15 x  x (4) 解方程式：

275 5

) 5 (

15 x  x 275 5

75

15x  x 275 75 20x 

75 275 20x 

200 20x

20 200

 x

10

x 。

所以 1 杯紅茶是 10 元， 1 杯珍珠奶茶則是 15 元。 (10 ＋ 5 ＝ 15) 答：

(1) 1 杯珍珠奶茶是(x5) 元；

(2) 5 杯紅茶是 x5 元； 15 杯珍珠奶茶就是15(x5) 元 (3)15(x5)5x275 ；

例題

1.5-3

1 袋紅豆重

^x

公斤， 1袋花生重 2公斤。小周買了 4袋紅豆和 3袋花生，共重 10 公斤，請問 1袋紅豆重多少公斤？

詳解：

(1) 1 袋紅豆重

^x

公斤，買了4袋紅豆，總重量為x44x ( 公斤 ) (2) 1 袋花生重 2公斤，買了 3袋花生，總重量為236 ( 公斤 )

(3) 4 袋紅豆和 3袋花生，共重 10 公斤。也就是4袋紅豆的重量，加上 3袋花 生的重量，結果為 10 公斤。

列方程式與解方程式：

10 6

4x  (4 袋紅豆的重量，加上 3袋花生的重量，結果為 10 公 斤 )

6 10 4x 

4 4x

4 4

 x

1 x

所以 1 袋紅豆重 1 公斤。

答： 1 袋紅豆重 1 公斤。

例題

1.5-4

兄弟二人共有 800 元，且哥哥的錢比弟弟多 100 元，請問弟弟有多少元？

詳解：

(1) 哥哥的錢比弟弟多 100 元，我們設弟弟的錢為

^x

元，則哥哥有(x100) 元。

(2) 兄弟二人共有 800 元，也就是哥哥與弟弟的錢加起來等於 800 元，列方程 式：(x100)x800

(3) 解方程式：

例題

1.5-6

若甲數的 5 倍再減去 7 ，剛好是 23 。請回答下列問題：

(1) 若設甲數為

^x

，則甲數的 5 倍應如何表示？

(2) 甲數的 5 倍再減去 7 ，應如何表示？

(3) 依題意列式並求出甲數之值。

詳解：

(1) 甲數為

^x

，則甲數的 5 倍為

x  5  5 x

。 (2) 甲數的 5 倍再減去 7 ，也就是

5 x  7

。

(3) 甲數的 5 倍再減去 7 ，剛好是 23 。列式為

5 x  7  23

求出甲數：

23 7 5 x  

7 23 5 x  

30 5 x 

5 30 

 x

 6 x

所以甲數為 6 。

答： (1)

5 x

； (2)

5 x  7

； (3)

5 x  7  23

，甲數為 6 。

例題

1.5-7

有 3 個連續整數，其和為 42 。請問此 3 數分別為多少？

詳解：

(1) 什麼是連續整數？

意思是有一組整數，從小排到大，每個相鄰的數字，其差都為 1 。 例如 11 、 12 、 13 、 14 這組為連續整數。

而 15 、 16 、 18 、 19 ，因為 16 和 18 的差為 2 ，所以這組非 連續整數。

(2) 題目說有 3 個連續整數。

我們可以設最小的整數為

^x

，因為每個相鄰的數字都差1 ，

所以

^x

的下一個整數是x1 ，再下一個整數是(x1)1 ，也就是x2 3 個連續整數可設成：

^x

、x1 、x2

(3) 有 3 個連續整數，其和為 42 也就是：x(x1)(x2)42 解方程式：

42 ) 2 ( ) 1

(    

 x x x

42 2 1  



x x x

42 3 3x 

3 42 3x 

39 3x

3 39

 x

13 x

所以最小的整數是x13 下一個整數是x113114 再下一個整數是x213215

3 個連續整數為： 13 、 14 、 15 答：此 3 數分別為 13 、 14 、 15 。

例題

1.5-8

有 3 個連續奇數，其和為 27 。請問此 3 奇數分別為多少？

詳解：

(1) 什麼是連續奇數？

意思是有一組奇數，從小排到大，每個相鄰的數字，其差都為 2 。 例如 13 、 15 、 17 、 19 這組為連續奇數。

而 21 、 23 、 25 、 26 ，因為 25 和 26 的差為 1 ，所以這組非 連續奇數。

27 、 29 、 31 、 35 ，因為 31 與 35 的差為 4 ，所以這一組也 不是連續奇數。

(2) 題目說有 3 個連續奇數。

我們可以設最小的奇數為

^x

，因為每個相鄰的數字都差 2 ，

所以

^x

的下一個奇數是x2 ，再下一個奇數是(x2)2 ，也就是x4 3 個連續奇數可設成：

^x

、x2 、x4

(3) 有 3 個連續奇數，其和為 27 也就是：x(x2)(x4) 27 解方程式：

27 ) 4 ( ) 2

(    

 x x x

27 4 2  



x x x

27 6 3x 

6 27 3x 

21 3x

3 21

 x

7 x

所以最小的奇數是x7 下一個奇數是x2729 再下一個奇數是x47411

3 個連續奇數為： 7 、 9 、 11 答：此 3 奇數分別為 7 、 9 、 11 。

例題

1.5-9

3和－ 9各加一個數

^x

後，便互為相反數，請問

^x

為多少？

詳解：

(1) 做本題之前，我們先複習什麼是相反數：

若

^a

、b 兩數互為相反數，則ba 例如： 3 、－ 3 互為相反數

7 、－ 7 互為相反數

5 、－ 2 則不互為相反數 ( 因為(2)25 ) (2) 3和－ 9各加一個數

^x

後，便互為相反數。

也就是(3x) 和(9x)互為相反數 依相反數定義：(3x)(9x) 解方程式：

) 9 ( ) 3

( x   x x x 

 9 3

3 9 

 x x

x x 6

6

 x x

6 2x

2 6

 x

3 x 答：x3 。

例題

1.5-10

例題

1.5-12

例題

1.5-13

一條繩子原長

4 x

公尺，平均剪成等長的 5段後，發現每段繩子剛好是(x2) 公尺，請問繩子的原長是多少公尺？

詳解：

(1) 一條繩子原長

4 x

公尺，平均剪成等長的 5段。

想要表示剪下的每段繩子長度，我們可以將繩子原長除以 5：

^{x x} 5 5 4 4  

(2) 每段繩子剛好是(x2) 公尺

也就是繩子原長除以 5會等於(x2) ，列式：

2 5

4 x  x 

解方程式：

5 2

4 x  x 

5 ) 2 ( 5 5

4 x   x  

( 等號二邊同乘以 5)

10 5 4 x  x 

10 5

4 x  x  

 10



 x

) 1 ( ) 10 ( ) 1 ( )

(x       ( 等號二邊同乘以(1) )

 10 x

繩子原長

4 x

公尺，將

x  10

代入 繩子原長：

4 x  4  10  40

答：繩子原長是 40 公尺。

例題

1.5-14

有紅、藍 2條繩子，紅繩長 60 公分，藍繩長

^x

公分，若藍繩長度的 1.2倍剛 好是紅繩的長度，則藍繩的長度應是多少公分？

詳解：

(1) 藍繩長度的1.2倍如何表示？

藍繩長

^x

公分， 1.2倍也就是

x  1 . 2  1 . 2 x

(2) 藍繩長度的1.2倍等於紅繩的長度，列式：

1 . 2 x  60

解方程式：

60 2 . 1 x 

2 . 1 60 

 x

10 60  12

 x

12 60  10

 x

 50

x

所以藍繩長度是 50 公分。

答：藍繩長度是 50 公分。

例題

1.5-15

例題

1.5-16

有一塊土地，土地面積的

5

2

圍成公園，公園面積的

4

1

規劃成草地，若草地的面積

是 400 平方公尺，請問這塊土地的總面積是多少平方公尺？

詳解：

(1) 我們設土地的總面積是

^x

平方公尺。

土地面積的

5

2

圍成公園，也就是土地面積乘以

5

2

等於公園面積。

所以公園面積可表示成：

5

 2 x

(2) 公園面積的

4

1

規劃成草地，也就是公園面積乘以

4

1

等於草地面積。

所以草地面積可表示成：

4 ) 1 5 ( x  2 

(3) 草地的面積是400平方公尺，依題意列式：

400 4

) 1 5

( x  2  

解方程式：

4 400 ) 1 5

( x  2  

4 400 1 5

2 x  

20 400 2 x 

2

答：土地的總面積是 4000 平方公尺。

例題

1.5-17

百貨公司年終大拍賣，某自行車打 8折之後的價格是 7200元，請問此自行車 的原價應是多少元？

詳解：

在第 1 節我們學過折數的計算，再來複習一次：

打 9 折：原價的 90% 打 8 折：原價的 80%

打 5 折：原價的 50% 打 1 折：原價的 10%

打 95 折：原價的 95% 打 75 折：原價的 75%

設自行車的原價是

^x

元

依題意，

^x

元打 8 折之後是 7200 元。也就是

^x

乘以 80% 等於 7200 元 列式如下：

7200

% 80 

 x

100 80  7200

 x

5 7200

 4  x

5 7200  4

 x

4 7200  5

 x

9000 x

所以自行車的原價是 9000 元 答：自行車的原價是 9000 元。

比例式應用題

在 1.5節中，我們曾學過與比例式相關的一元一次方程式解法，這些比例式可以 衍伸出其他的應用。

例題

1.5-18

某飲料店，1杯奶茶與 1杯綠茶價錢之比為 34: ，若 1 杯綠茶為 15 元，則 1 杯奶茶應為多少元？

詳解：

(1) 設 1 杯奶茶為

^x

元，因 1 杯綠茶為 15 元，所以 1杯奶茶與 1杯綠茶價錢 之比可表示為x:15 。

(2) 根據題目，1杯奶茶與 1杯綠茶價錢之比為 34: ，因此可列式：x:154:3 (3) 解方程式：

3 : 4 15 :  x

4 15 3 



x ( 外項乘積等於內項乘積 ) 60

3x 3 60

 x

20

x 所以 1 杯奶茶為 20 元。

答： 1 杯奶茶為 20 元。

例題

1.5-19

例題

1.5-21

例題

1.5-22

進階問題

例題

1.5-24

有甲、乙 2個袋子，都裝有相同數量的球，若從甲袋拿出 6顆球放入乙袋，則 乙袋球的數量會變成甲袋的4倍，請問 2個袋子內總共有多少顆球？

詳解：

(1) 甲、乙 2個袋子，都裝有相同數量的球，設 2個袋子內都有

^x

顆球。

(2) 從甲袋拿出6顆球放入乙袋

則甲袋少了6顆球，甲袋的球表示為：x6 乙袋多了 6顆球，乙袋的球表示為：x6 (3) 乙袋球的數量變成甲袋的4倍

甲袋的 4倍表示為：(x6)4

乙袋球的數量等於甲袋的4倍，列式： x6(x6)4 解方程式：

4 ) 6 (

6  

 x x

24 4 6 

 x x

24 4

6 

 x x

24 6 3  

 x

6 24 3  

 x 30 3 

 x

) 3 ( ) 30 (  

 x

10 x

所以甲袋與乙袋原本都有 10 顆球，總共有 20 顆球 (101020 ) 。 答： 2個袋子內總共有 20 顆球。

例題

1.5-25

大賣場進了一種新商品，每件商品進貨價為

^x

元，老闆按進貨價加 3成作為定 價，再以定價的 8折賣出，每件賣價為 364 元，請問：

(1) 以 x 表示定價。

(2) 以 x 表示定價的8折。

(3) 一件商品的進貨價為多少元？

詳解：

(1) 按進貨價加3成作為定價，即為價錢增加 30% 。 我們可以將定價表示成：

x x x 0 . 3 x 1 . 3 x

100

30   



( 元 )

或是：

x x 1 . 3 x 100

130 100

130  



( 元 )

(2) 定價是1.3x 元，打 8 折就是乘以 80% ： x

x

x 80% 1.3 0.8 1.04 3

.

1     ( 元 ) (3) 以定價的 8折賣出，賣價為 364 元。

也就是1.04x364 解方程式：

364 04

. 1 x

04 . 1 364

 x

350 x

所以進貨價為350元。

答： (1) 定價是1.3x 元； (2) 定價的 8 折是1.04x 元； (3) 進貨價為 350元。

例題

1.5-26

例題

1.5-27

叔叔對小敏說：「我在你這個年齡的時候，你只有 9歲，等你到了我這年紀的時 候，我就 45 歲了。」請問小敏現年幾歲？

詳解：

(1) 本題有 3個時間點：

1. 過去：叔叔的年齡等於小敏現在的年齡 ( 小敏為 9歲 ) 2. 現在

3. 未來：小敏的年齡等於叔叔現在的年齡 ( 叔叔為 45 歲 )

在年齡問題中，不管在哪一個時間點，相同二人的年齡差距都不會變，本題 中我們設小敏和叔叔的年齡差距為

^x

歲。

(2) 在過去，小敏為 9歲，因為二人年齡差距

^x

歲，故叔叔在過去的年齡可表 示為(9x) 歲。

(3) 因為小敏現在的年齡等於叔叔過去的年齡，所以小敏現在的年齡可以也用 )

9

( x 歲表示，叔叔現在的年齡就再加

^x

歲，也就是(92x) 歲。

(4) 在未來，小敏的年齡等於叔叔現在的年齡，所以小敏未來的年齡可以用 )

2 9

(  x 歲表示，因為二人年齡差距

^x

歲，故叔叔在未來的年齡可表示為 )

3 9

(  x 歲。

(5) 年齡關係列表如下：

時間 小敏 ( 歲 ) 叔叔 ( 歲 )

過去 9 9x

現在 9x 92x

未來 92x 93x

(6) 題目說叔叔未來的年齡是 45 歲，且由 (5) ，叔叔的年齡可以表示成(93x) 歲。故可列式：9 x3 45

解方程式：

45 3 9 x

9 45 3x 

36 3x

3 36

 x

12 x

叔叔和小敏的年齡差距是 12 歲。小敏現在的年齡是：9 x 91221 ( 歲 )

答：小敏現年 21 歲。

例題

1.5-28

某水果店販賣西瓜、梨子及蘋果，已知一個西瓜的價錢比 6 個梨子多 6 元，一 個蘋果的價錢比 2 個梨子少 2 元。判斷下列敘述何者正確？

(97 年基測試題 )

(A) 一個西瓜的價錢是一個蘋果的 3 倍

(B) 若一個西瓜降價 4 元，則其價錢是一個蘋果的 3 倍 (C) 若一個西瓜降價 8 元，則其價錢是一個蘋果的 3 倍 (D) 若一個西瓜降價 12 元，則其價錢是一個蘋果的 3 倍 詳解：

(1) 設一個梨子的價錢為

^x

元，則一個西瓜的價錢為(6x6) 元，一個蘋果的 價錢為(2x2) 元。

(2) 選項 (A) ，蘋果價錢的3倍是：(2x2)36x6 與西瓜的價錢(6x6) 不同，故選項(A) 錯誤。

(3) 選項 (B) ，一個西瓜降價 4 元，則價格為：(6x6)46x2 與蘋果價錢的的 3 倍(6x6) 不同，故選項(B) 錯誤。

與蘋果價錢的的 3 倍(6x6) 相同，故選項(D) 正確。

(6) 答案為 (D) 。

例題

1.5-29

小芬買 15 份禮物，共花了 900元。已知每份禮物內都有 1 包餅乾及每支售價 20 元的棒棒糖 2 支。若每包餅乾的售價為

^x

元，則依題意可列出下列哪一個一 元一次方程式？ (99 年基測試題 )

(A) 15(2x20)900 (B) 15x202900

(C) 15(x202)900 (D) 15 x220 900 詳解：

(1) 每份禮物內都有 1 包餅乾及每支售價 20 元的棒棒糖 2 支。

每支售價 20 元的棒棒糖 2 支，共是20 元。2

(2) 每包餅乾的售價為

^x

元，加上 2 支棒棒糖的價錢，每份禮物是(x202) 元。

(3) 小芬買 15 份禮物，共花了 900元。

所以每份禮物的價格乘以 15 等於 900。

列式： (2x202)15900 900 ) 2 20 (

15 x   (4) 答案為 (C) 。

例題

1.5-30

動物園的門票售價：成人票每張 50 元，兒童票每張 30 元。某日動物園售出 門票 700張，共得 29000元。設兒童票售出 x 張，依題意可列出下列哪一個一 元一次方程式？ (98 年基測試題 )

(A) 30x50(700x)29000 (B) 50x30(700x)29000 (C) 30x50(700x)29000 (D) 50x30(700x)29000 詳解：

(1) 動物園共售出門票 700張，其中兒童票售出

^x

張，剩下的是成人票，所以 成人票售出(700x) 張。

(2) 兒童票售出

^x

張，兒童票每張 30 元。所以售出兒童票得到的錢共是：

x x 30

30  ( 元 ) 。

(3) 成人票售出(700x) 張，成人票每張 50 元。所以售出成人票得到的錢共 是：(700x)5050(700x) ( 元 ) 。

(4) 兒童票和成人票共售出的金額可表示為：30x50(700x) 售出共得 29000元，列式：30x50(700x) 29000 。 (5) 答案為 (A) 。

例題

1.5-31

1 瓶可樂的價錢是 1 瓶紅茶的 2 倍多 5 元，小俊買了 5 瓶可樂與 3 瓶紅茶總共 需要花費 155元，請問 1 瓶可樂與 1 瓶紅茶的價錢各是多少？

詳解：

(1) 假設 1 瓶紅茶的價格是

^x

元， 1 瓶可樂的價錢是 1 瓶紅茶的 2 倍多 5 元，所以 1 瓶可樂的價格可表示為(2x5) 元。

(1) 假設 1 瓶紅茶的價格是

^x

元， 1 瓶可樂的價錢是 1 瓶紅茶的 2 倍多 5 元，所以 1 瓶可樂的價格可表示為(2x5) 元。

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