節 二元一次聯立方程式的綜合題與應用題

) 4 ( ) 3

(  (10x15y)(10x8y)  (15)(100) 100

15 8

10 15

10x y x y   

100 15

) 8 15 ( ) 10 10

( x x  y y    115

23y  

5

 y

再將 y  5代入(1)式，求出 x：

3 3

2x y  

3 ) 5 ( 3

2x     3 15 2x  

15 3 2x   

12 2x 

 6 x

得到解為x 6^{、y  5} (請同學自行驗算看答案是否正確。)

【練習】3.7-1

設x、y 為整數，若 9x3y3  2x3y19  0，求x、y 之值。

例題 3.7-2

得到解為x 7^{、y  6} (請同學自行驗算看答案是否正確。)

【練習】3.7-2

設x、y 為整數，若(10x 2y2)² (5x3y43)²  0，求x、y 之值。

應用題型 解題步驟：

1. 分析題意，將適當的未知數用符號(x、y)表示。

2. 根據題目給的條件，列出兩個二元一次方程式。

3. 列出二元一次聯立方程式。

4. 解二元一次聯立方程式，並寫出答案。

5. 檢查答案是否正確。

例題3.7-3

阿達到便利商店買7 罐可樂及 8 杯咖啡，共花了 227 元，小傑買了 4 罐可樂及 5 杯咖啡，共花了137 元，請問一罐可樂及一杯咖啡各為多少元？

詳解：

題目問一罐可樂及一杯咖啡各為多少元。

我們可以設未知數為一罐可樂及一杯咖啡的價錢，

然後根據下列條件列出聯立方程式：

7 罐可樂及 8 杯咖啡，共花了 227 元 4 罐可樂及 5 杯咖啡，共花了 137 元 最後解二元一次聯立方程式得到答案。

設一罐可樂價格為 x 元，一杯咖啡價格為 y 元。

7 罐可樂及 8 杯咖啡，共花了 227 元 可列式：7x y8 227

4 罐可樂及 5 杯咖啡，共花了 137 元 可列式：4x y5 137

寫成聯立方程式：













) 2 ...(

137 5

4

) 1 ...(

227 8

7 y x

y x

利用加減消去法，(1)4(2)7

可得32y y35 908959，解得y17 將y17代入(1)式，解得x13

得解為x13、y 17

答：一罐可樂13 元、一杯咖啡17 元。

驗算：

7 罐可樂及 8 杯咖啡，共花了 227 元 713817 = 91136 = 227 4 罐可樂及 5 杯咖啡，共花了 137 元

17 5 13

4   = 5285 = 137 計算結果符合題意，故答案正確。

例題3.7-4

小華買了3 顆巧克力糖及 2 顆水果軟糖，共花了 29 元，小龍買了 5 顆巧克力糖 及4 顆水果軟糖，共花了 51 元，請問一顆巧克力糖及一顆水果軟糖各為多少元？

詳解：

題目問一顆巧克力糖及一顆水果軟糖各為多少元。

我們可以設未知數為一顆巧克力糖及一顆水果軟糖的價錢，

然後根據下列條件列出聯立方程式：

3 顆巧克力糖及 2 顆水果軟糖，共花了 29 元 5 顆巧克力糖及 4 顆水果軟糖，共花了 51 元

最後解二元一次聯立方程式得到答案。

設一顆巧克力糖為 x 元，一顆水果軟糖為 y 元。

3 顆巧克力糖及 2 顆水果軟糖，共花了 29 元 可列式：3x y2 29

5 顆巧克力糖及 4 顆水果軟糖，共花了 51 元 可列式：5x y4 51

寫成聯立方程式：













) 2 ...(

51 4

5

) 1 ...(

29 2

3 y x

y x

利用加減消去法，(1)2(2) 可得6x x5 5851，解得x7 將x7代入(1)式，解得y4 得解為x7、y4

答：一顆巧克力糖7 元、一顆水果軟糖4 元。

請自行驗算答案是否正確。

例題3.7-5

有兩團客人看電影，第一團買了2 份爆米花及 3 杯可樂，付 135 元。第二團買了 4 份爆米花及 5 杯可樂，付 245 元，請問一份爆米花及一杯可樂各為多少元？

詳解：

題目問一份爆米花及一杯可樂各為多少元。

我們可以設未知數為一份爆米花及一杯可樂的價錢，

然後根據下列條件列出聯立方程式：

2 份爆米花及 3 杯可樂，付 135 元 4 份爆米花及 5 杯可樂，付 245 元 最後解二元一次聯立方程式得到答案。

設一份爆米花為 x 元，一杯可樂為 y 元。

2 份爆米花及 3 杯可樂，付 135 元 可列式：2x y3 135

4 份爆米花及 5 杯可樂，付 245 元 可列式：4x y5 245

寫成聯立方程式：













) 2 ...(

245 5

4

) 1 ...(

135 3

2 y x

y x

利用加減消去法，(1)2(2)

可得6y y5 270245，解得y25 將y25代入(1)式，解得x30 得解為x30、y25

答：一份爆米花30 元、一杯可樂25 元。

請自行驗算答案是否正確。

例題3.7-6

小真因為生病沒辦法上學參加第一天的開學典禮，但是她想知道全班男生與女生 各有多少人，於是老師跟他說，班上男生的人數是女生的兩倍再多1，且全班總 共有34 人，請幫小真算出班上男生與女生的人數各為多少？

詳解：

題目問班上男生與女生的人數各為多少。

我們可以設未知數為男生與女生的人數，

然後根據下列條件列出聯立方程式：

男生的人數是女生的兩倍再多1 全班總共有34 人

最後解二元一次聯立方程式得到答案。

設男生有 x 人，女生有 y 人。

男生的人數是女生的兩倍再多1 可列式：x y2 1

全班總共有34 人 可列式：x y34 寫成聯立方程式：













) 2 ...(

34

) 1 ...(

1 2 y x

y x

利用加減消去法，(2)(1)

可得y(2y)341，解得y 11 將y11代入(1)式，解得x23 得解為x23、y11

解方程式得x23、y11

答：男生有23 人、女生有 11 人。

請自行驗算答案是否正確。

例題3.7-7

袋子裡有黑棋與白棋共96 顆，已知黑棋與白棋的數量比為 5：3，則黑棋和白棋 各有多少顆？

詳解：

題目問黑棋和白棋各有多少顆。

我們可以設未知數為黑棋和白棋的數量，

然後根據下列條件列出聯立方程式：

黑棋與白棋共96 顆

黑棋與白棋的數量比為5：3 最後解二元一次聯立方程式得到答案。

設黑棋有 x 顆，白棋有 y 顆。

黑棋與白棋共96 顆 可列式：x y96

黑棋與白棋的數量比為5：3 可列式： x:y5:3

3

 5 y x 化簡 3x 5 y

0 5 3x y 寫成聯立方程式：













) 2 ...(

0 5 3

) 1 ...(

96 y x

y x

利用加減消去法，(1)3(2)

可得3y(5y)2880，解得y36 將y36代入(1)式，解得x60 得解為x60、y36

答：黑棋有60 顆、白棋有 36 顆。

驗算：

黑棋有60 顆、白棋有 36 顆，合計 96 顆。

黑棋有60 顆：白棋有 36 顆，黑棋與白棋數量比為 60：36＝5：3 符合題意，故答案正確。

例題3.7-8

有一個二位數，其十位數字的2 倍與個位數字的 3 倍的和為 30，將它的十位數字 與個位數字對調後，所得的新數比原數小45，試求此二位數是多少？

詳解：

題目問此二位數是多少。

我們可以設未知數為十位數字和個位數字，

然後根據下列條件列出聯立方程式：

十位數字的2 倍與個位數字的 3 倍的和為 30

設十位數字為 x，個位數字為 y。

十位數字的2 倍與個位數字的 3 倍的和為 30 可列式：2x y3 30

十位數字與個位數字對調後，所得的新數比原數小45 原二位數之值：10x y

對調後二位數之值：10yx 可列式： (10x y)(10yx)45 化簡得 x y5

寫成聯立方程式：













) 2 .(

...

5

) 1 ...(

30 3

2 y x

y x

利用加減消去法，(1)(2)2

可得3y(2y)3010，解得y4 將y4代入(1)式，解得x 9

得解為x9、y4

十位數字為9，個位數字為 4，因此二位數為 94 答：94。

驗算：

十位數字的2 倍與個位數字的 3 倍的和為 30 30

12 18 3 4 2

9     

十位數字與個位數字對調後，所得的新數比原數小45 45

49 94 

符合題意，故答案正確。

例題3.7-9

有一個分數，分子的5 倍等於分母的 2 倍，若將分子、分母同時加 6 後，其值與 8 5 相等，試求此分數為何？

詳解：

題目問此此分數為何。

我們可以設未知數為分子和分母，

然後根據下列條件列出聯立方程式：

分子的5 倍等於分母的 2 倍 分子、分母同時加6 後，其值與

8 5相等 最後解二元一次聯立方程式得到答案。

設分子為 x，分母為 y。

分子的5 倍等於分母的 2 倍 可列式：5x 2 y  5x y2 0 分子、分母同時加6 後，其值與

8 5相等

可列式： 8

5 66 



 y x

交差相乘 8(x6)5(y6) 化簡得 8x y5 18 寫成聯立方程式：















) 2 ...(

18 5

8

) 1 ...(

0 2 5

y x

y x

利用加減消去法，(1)8(2)5

可得16y(25y)(90)，解得y 10 將y10代入(1)式，解得x4

得解為x4、y10

分子為4，分母為 10，因此分數為 10

4 (注意答案不需約分)

例題3.7-10

已知有大小兩數，大數的2 倍比小數的 3 倍少 4，大數的 3 倍比小數的 4 倍多 7，求大小兩數為何？

詳解：

題目求大小兩數為何。

我們可以設未知數為大數和小數，

然後根據下列條件列出聯立方程式：

大數的2 倍比小數的 3 倍少 4 大數的3 倍比小數的 4 倍多 7 最後解二元一次聯立方程式得到答案。

設大數為 x，小數為 y。

大數的2 倍比小數的 3 倍少 4 可列式： 2x y3 4

化簡得 2x y3 4

大數的3 倍比小數的 4 倍多 7 可列式： 3x y4 7

化簡得 3x y4 7 寫成聯立方程式：















) 2 ...(

7 4 3

) 1 ...(

4 3

2 y x

y x

利用加減消去法，(1)3(2)2

可得9y(8y)12(14)，解得y26 將y26代入(1)式，解得x37

得解為x37、y26

答：大數為37、小數為 26。

請自行驗算答案是否正確。

例題3.7-11

老王將雞和兔子養在一個大籠子裡，他發現雞和兔子加起來共13 隻，雞的腳和 兔子的腳加起來共有42 隻腳，請問籠子裡各有幾隻雞和兔子？

詳解：

題目求籠子裡各有幾隻雞和兔子。

我們可以設未知數為雞和兔子的數量，

然後根據下列條件列出聯立方程式：

雞和兔子加起來共13 隻

雞的腳和兔子的腳加起來共有42 隻腳(每隻雞有 2 隻腳，兔子有 4 隻腳) 最後解二元一次聯立方程式得到答案。

設雞有 x 隻，兔子有 y 隻。

雞和兔子加起來共13 隻 可列式： x y 13

雞的腳和兔子的腳加起來共有42 隻腳 可列式： 2x y4 42

寫成聯立方程式：













) 2 ...(

42 4

2

) 1 ...(

13 y x

y x

利用加減消去法，(2)(1)2 可得4y y2 4226，解得y 8 將y8代入(1)式，解得x5 得解為x5、y8

答：雞有5 隻，兔子有 8 隻。

請自行驗算答案是否正確。

例題3.7-12

父子的年齡差28 歲，4 年後父親的年齡正好是兒子的 3 倍，求父親、兒子今年各 幾歲？

詳解：

題目求父親、兒子今年各幾歲。

我們可以設未知數為父親、兒子的年齡，

然後根據下列條件列出聯立方程式：

父子的年齡差28 歲

4 年後父親的年齡正好是兒子的 3 倍 最後解二元一次聯立方程式得到答案。

設今年父 x 歲，子 y 歲。

父子的年齡差28 歲 可列式： x y28

父親4 年後為(x＋4)歲，兒子 4 年後為(y＋4)歲；4 年後父親的年齡正好是 兒子的3 倍

可列式： (x＋4)＝3(y＋4) 化簡得 x y3 8

寫成聯立方程式：













8 3

28 y x

y x

) 2 ...(

) 1 ...(

利用加減消去法，(1)(2)

可得 y(3y)288，解得y10 將y10代入(1)式，解得x 38 得解為x38、y10

答：今年父親38 歲、兒子 10 歲。

請自行驗算答案是否正確。

例題3.7-13

有父子兩人，五年前父親年齡是兒子年齡的3 倍多 20；八年後，父親年齡是兒子 年齡的2 倍多 12，求父子今年各為多少歲？

詳解：

題目求父親、兒子今年各幾歲。

我們可以設未知數為父親、兒子的年齡，

然後根據下列條件列出聯立方程式：

五年前父親年齡是兒子年齡的3 倍多 20 八年後，父親是兒子年齡的2 倍多 12 最後解二元一次聯立方程式得到答案。

設今年父 x 歲，子 y 歲。

五年前父親年齡是(x－5)歲，兒子是(y－5)歲；五年前父親年齡是兒子年齡 的3 倍多 20

可列式： (x5)3(y5)20 化簡得 x y3 10

八年後父親年齡是(x＋8)歲，兒子是(y＋8)歲；八年後，父親是兒子年齡的 2 倍多12

可列式： (x＋8)＝2(y＋8)＋12 化簡得 x y2 20

寫成聯立方程式：













20 2

10 3

y x

y x

) 2 ...(

) 1 ...(

利用加減消去法，(1)(2)

可得3y(2y)1020，解得y 10 將y10代入(1)式，解得x 40

得解為x40、y 10

例題3.7-14

李伯伯去水果攤買水果，發現5 顆蘋果與 3 顆橘子的價錢一樣，李伯伯買了 4 顆 蘋果與6 顆橘子付了 168 元，請問蘋果和橘子一顆各多少錢？

詳解：

題目求蘋果和橘子一顆各多少錢。

我們可以設未知數為一顆蘋果、橘子的價錢，

然後根據下列條件列出聯立方程式：

5 顆蘋果與 3 顆橘子的價錢一樣 4 顆蘋果與 6 顆橘子付了 168 元 最後解二元一次聯立方程式得到答案。

設一顆蘋果 x 元，一顆橘子 y 元。

5 顆蘋果與 3 顆橘子的價錢一樣 可列式： 5x 3 y  5x y3 0 4 顆蘋果與 6 顆橘子付了 168 元 可列式： 4x y6 168

寫成聯立方程式：













168 6

4

0 3 5

y x

y x

) 2 ...(

) 1 ...(

利用加減消去法，(1)2(2) 可得10x x4 0168，解得x12 將x12代入(1)式，解得y20 得解為x12、y 20

答：一顆蘋果12 元，一顆橘子 20 元。

請自行驗算答案是否正確。

例題3.7-15

李伯伯買水果，買了一顆西瓜之後，剩餘的錢為一顆西瓜價錢的兩倍。之後又花了 80 元買晚餐，剩下的錢為原有的一半，請問李伯伯原本有多少錢？

李伯伯買水果，買了一顆西瓜之後，剩餘的錢為一顆西瓜價錢的兩倍。之後又花了 80 元買晚餐，剩下的錢為原有的一半，請問李伯伯原本有多少錢？

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