節 找出二元一次方程式的正整數解

前小節我們學習了如何判斷是否為二元一次方程式的解，本小節我們會練習如何從二 元一次方程式找出正整數解，並應用在一些日常生活的數學問題。

例題 3.2.3-1

請找出2x y 6的所有正整數解。

詳解：

因為是要找出正整數解，

我們將正整數x 1、x  2、x 3…依序代入方程式找出對應的y 值。

當x1^{時，2(1) y  6，解得 y  4，(1,4)為一組正整數解。}

當x  2^{時，2(2) y  6，解得y  2，(2,2)為一組正整數解。}

當x 3^{時，2(3) y  6，解得y 0}，0 不是正整數，不合題目要求。

當x  4^{時，2(4) y 6，解得 y  2}，－2 不是正整數，不合題目要求。

列表：

x 1 2 3 4

y 4 2 0 －2

根據y 值的規律，再往下找，y 之值都會是負數，故不再往下找。正整數解只有 )

4 , 1

( 和(2,2)。

【練習】3.2.3-1

請找出3x y2 12的所有正整數解。

x

y

例題 3.2.3-2

包子每個20 元，饅頭每個 15 元，老李買一些包子與饅頭，共花 100 元，請寫出 所有可能的買法。

詳解：

設包子買了x 個，饅頭 y 個

購買包子的金額＋購買饅頭的金額＝總共花的金額 可依題意列式：20x15y 100

老李包子與饅頭都有買，因此x、y 不會是0 又買包子饅頭的數量必須是整數，且不會是負數 故可知本題要求的是正整數解

我們將x 1^、x  2^、x 3…依序代入方程式找出對應的y 值。

當x1^{時，20(1)15y 100，解得}

3

 16

y ，非整數。

當x  2時，20(2)15y 100，解得y  4，(2,4)為一組正整數解。

當x 3^{時，20(3)15y 100，解得}

3

 8

y ，非整數。

當x  4^{時，20(4)15y 100，解得}

3

 4

y ，非整數。

當x 5時，20(5)15y 100，解得 y 0，0 不合(題目說不能買 0 個)。

根據y 值的規律，再往下找，會發現 y 之值都為負數，故我們不再往下找解。

列表：

x 1 2 3 4 5

y 3

16 4

3 8

3

4 0

正整數解只有(2,4)。

也就是買法只有2 個包子和 4 個饅頭這一種。

答：只有1 種買法，買2 個包子和 4 個饅頭。

【練習】3.2.3-2

原子筆1 枝 15 元，鉛筆 1 枝 10 元，姊姊買了一些鉛筆和原子筆，共花 90 元，

請寫出所有可能的買法。

x

y

例題 3.2.3-3

某飲料店1 杯鮮奶茶 25 元，1 杯紅茶 10 元，哥哥今天這二種飲料各買了一些，

若總共花120 元，請問：

(1)哥哥有幾種買法？

(2)若二種飲料總共買了 9 杯，則鮮奶茶與奶茶各買了幾杯？

詳解：

(1) 設鮮奶茶買了 x 杯，紅茶買了 y 杯

購買奶茶的金額＋購買紅茶的金額＝總共花的金額 可依題意列式：25x10y 120

杯數需為正整數，因此要找出方程式的正整數解。

當x1^{時，25(1)10y 120，解得}

2

 19

y ，非整數。

當x  2時，25(2) 10y 120，解得y  7，(2,7)為一組正整數解。

當x 3^{時，25(3)10y 120，解得}

2

 9

y ，非整數。

當x 4時，25(4)10y 120，解得 y  2，(4,2)為一組正整數解。

1

y 2

19 7

2

9 2

2

 1

因此共有2 種買法： 1.買 2 杯鮮奶茶、7 杯紅茶。

2.買 4 杯鮮奶茶、2 杯紅茶。

(2) 題目說二種飲料總共買了 9 杯 我們觀察第1 小題中的二種買法：

1.買 2 杯鮮奶茶、7 杯紅茶。總共是 9 杯。

2.買 4 杯鮮奶茶、2 杯紅茶。總共是 6 杯。

可知符合共9 杯的買法是買 2 杯鮮奶茶、7 杯紅茶。

答： (1)有 2 種買法。

(2)買 2 杯鮮奶茶、7 杯紅茶。

我們觀察例題3.2.3-3

原本在二元一次方程式25x10y 120找x、y 之解時，找到的解不只一組。

但若是加上第2 小題的條件，二種飲料總共買了 9 杯，則可以找到特定一組解。

二種飲料總共買了9 杯，可依題意將奶茶杯數＋紅茶杯數＝總共杯數，列式成

9

 y x

也就是若x、y 同時滿足方程式25x10y 120與x y 9， 則x、y 可找到特定一組解。

下一節我們將介紹x、y 同時滿足二個二元一次方程式的情形，解二元一次聯立方程式。

3.2 節 習題

習題 3.2-1

化簡下列二元一次方程式：

(1)4x y12x (2)5x2y  x2y (3)5(x y1) 4x3y

習題 3.2-2

化簡下列二元一次方程式：

(1) (3 3 9) 3

) 1 8 6 4 2(

1 x y  x y (2)

2 4 3

y x  

(3) 1

4 2 3

2   

 y x y

x

習題 3.2-3

化簡下列二元一次方程式：

(1) 4 3 1 3x  y

(2) 1 5x  y (3) 5

 1 y

x (y  0) (4)

4 3 1 1



 y

x ( y10)

習題 3.2-4

下列哪些未知數的值是方程式5x y2 0的解？

(A) x1^{，y 1} (B) x  0^{，y 0} (C) x 3^{， y 5} (D) x  2^{， y 5}(E) x 1^{， y 5}

習題 3.2-5

若x 3^{，y  2為方程式ax y2 19 0的解，試求}a 之值。

習題 3.2-6

若x4^{，y  為方程式b 2x y3 14 0的解，試求}b 之值。

習題 3.2-7

請找出3x y 9的所有正整數解。

習題 3.2-8

橘子每個15 元，柳丁每個 10 元，小李買一些橘子與柳丁，共花 50 元，請寫出 所有可能的買法。

習題 3.2-9

哥哥今天到郵局買了一些5 元及 10 元的郵票，若總共花 30 元，請問：

(1)哥哥有幾種買法？

(2)若二種郵票總共買了 5 張，則 5 元及 10 元的郵票各買了幾張？

在文檔中 代數第三章 目錄 (頁 44-50)