第五章 多項式
5.2 節 多項式的四則運算
5.2.3 節 多項式的除法運算
介紹完多項式的乘法後，接著我們來看看除法。
以前我們學過由236，可以得到632，其中6 是被除數，3 是除數，2 是商。
同樣地，例題5.2.1-3 中我們寫過(x3)(x1) x2 2x3 寫成除法算式則為(x2 2x3)(x3)(x1)
其中(x2 x2 3)是被除式，(x3)是除式，(x1)是商式。
※因除式為 0 時無意義，本節不考慮除式為 0 的情況
與乘法運算時相同，除法的計算我們先從單項式開始看。
在單項式的除法中，先將原式化為分式，即
除式
被除式 的形式，其中數字部分要均分，
文字部分則利用指數運算 n m n
m
a a
a 來化簡。
舉例： x
x x x
x 3 3
3
2
2 (x0)
x x x x
x 2
3 3 6 6
2
2 (x0)
例題 5.2.3-1
計算下列各式：
(1)6x2 2x (2)15x 3 x (3)5x2 2x 詳解：
(1) x
x x x
x 3
2 2 6 6
2
2
(2) 5
3 3 15
15
x
x x x
(3) x x
x x
x 2
5 2 2 5 5
2 2
【練習】5.2.3-1 計算下列各式：
(1)16x34x (2)25x2 5x (3)30x2 6x (4)81x2 9x
若被除數為多項式，除數為單項式，我們也可以拆解來計算，如下題：
例題 5.2.3-2
計算下列各式：
(1)(x2 )3x x (2)(12x38x2)4x 詳解：
(1)
＝
＝
＝
x x x )3 ( 2
x x x2 3
x x x x2 3
3 x
(2 )
＝
＝
＝
x x
x 8 ) 4
12
( 3 2
x x x
4 8 12 3 2
x x x x
4 8 4
12 3 2
x x 2 3 2
【練習】5.2.3-2 計算下列各式：
(1)(x2 )2x x (2)(9x318x2)3x
接下來我們來看看多項式除以多項式要如何運算，這裡我們使用直式除法計算。
直式除法也稱為長除法，計算方式與一般數字的直式除法類似。
以計算(x2 2x3)(x1)為例：
(1) 先列出直式
1
x 2
x 2x 3
(2) 被除式x2 x2 3的第一項是x ，除式2 x1的第一項是x， x
x
x2 ，因此我們商式的第一項放x， 被除式下面放除式與商式第一項相乘的式子。
x
1
x 2
x 2x 3
x2 x ← (x1)x x2x
(3) 計算(x2 2x3)(x2 x)3x3 x
1
x 2
x 2x 3 x2 x
x
3 3 ← (x2 2x3)(x2 x)3x3 (4) 3x3的第一項是3 ，除式x x1的第一項是x，
3
3x x ，因此我們商式的第二項放3 ， x 3
1
x 2
x 2x 3
x2 x
x
3 3 x
3 3 ← (x1)33x3 (5) 計算(3x3)(3x3)0
x 3 ← 此處(x3)為商式
1
x 2
x 2x 3 x2 x
x
3 3 x
3 3
0 ← (3x3)(3x3)0，此處為餘式
於是我們得到了(x2 2x3)(x1) x3，餘式為0。
驗算： 無餘式時，除式×商式＝被除式 可計算(x1)(x3)x2 2x3
接著再看一題有餘式的計算：
計算(2x2 3x4)(x2)
x
2 1 ← 商式為(2x1)
2
x 2
2x 3x 4
2x2 4x ← (x2)2x2x2 4x
x 4 ← (2x2 3x4)(2x4x)x4
x 2 ← (x2)(1)x2
6 ← (x4)(x2)6，餘式為6
因此我們得到，(2x2 3x4)(x2)，商式為2x1，餘式為6 。 驗算： 有餘式時，除式×商式＋餘式＝被除式
可計算(2x1)(x2)6=(2x2 x3 2)6=2x2 x3 4
例題 5.2.3-3
直式計算下列各式並驗算：
(1)(3x2 5x)(x5) (2)(6x25x)(2x1) 詳解：
(1) (3x2 5x)(x5)
x
3 10
5
x 2
3x 5x 3x2 15x
x
10 x
10 50 50
) 5 ( ) 5 3
( x2 x x 的商式為(3x10)，餘式為50。
驗算：計算(x5)(3x10)503x2 5x
(2) (6x2 5x)(2x1)
x
3 1 1
2x 2
6x 5x 6x2 3x x 2
x
2 1
1
) 1 2 ( ) 5 6
( x2 x x 的商式為(3x1)，餘式為( 。1) 驗算：計算(2x1)(3x1)(1)6x2 5x
【練習】5.2.3-3
直式計算下列各式並驗算：
(1)(18x2 15x)(6x3) (2)(4x2 7x)(2x1)
例題 5.2.3-4
直式計算下列各式並驗算：
(1)(48x2 30x3)(6x3) (2)(12x2 6x4)(6x1) 詳解：
(1)(48x2 30x3)(6x3)
x
8 1 3
6x 2
48x 30x 3 48x2 24x
x
6 3 x
6 3 0
) 3 6 ( ) 3 30 48
( x2 x x 的商式為(8x1)，餘式為0。
驗算：計算(6x3)(8x1)48x2 30x3
(2)(12x2 6x4)(6x1)
x
2 3
2
1
6x 2
12x 6x 4 12x2 2x
x
4 4 x
4 3
2
3 31
) 1 6 ( ) 4 6 12
( x2 x x 的商式為 )
3 2 2
( x ，餘式為 3 3 。1
驗算：計算 12 6 4
3 31 3) 2 2 ( ) 1 6
( x x x2 x
【練習】5.2.3-4
直式計算下列各式並驗算：
(1)(5x2 9x2)(x2) (2)(8x2 2x6)(4x3)
例題 5.2.3-5
直式計算並驗算：
) 2 3 5 ( ) 1 4 4 15
( x3 x2 x x2 x 詳解：
) 2 3 5 ( ) 1 4 4 15
( x3 x2 x x2 x
x
3 1 2
3
5x2 x 15x3 4x2 4x 1 15x3 9x2 6x
5x2
2x 1 5x2
3x 2 x 3
) 2 3 5 ( ) 1 4 4 15
( x3 x2 x x2 x 的商式為(3x1)，餘式為(x3)。 驗算：計算(5x23x2)(3x1)(x3)15x34x2 4x1
【練習】5.2.3-5
直式計算並驗算：
) 2 3 2 ( ) 2 5 2 8
( x3 x2 x x2 x
例題 5.2.3-6 (缺 x 一次項的直式除法) 直式計算下列各式並驗算：
(1)(16x2 6)(4x3) (2)(9x2 4)(3x2) 詳解：
(1)(16x2 6)(4x3)
x
4 3 3
4x 16x2 0x 6 ← 缺項時補上 0，讓算式更清楚 16x2 12x
x
12 6 x
12 9 15
) 3 4 ( ) 6 16
( x2 x 的商式為(4x3)，餘式為15。
驗算：計算(4x3)(4x3)1516x26
(2)(9x2 4)(3x2)
x
3 2 2
3x 9x2 0x 4 ← 缺項時補上 0，讓算式更清楚 9x2 6x
x
6 4 x
6 4 0
) 2 3 ( ) 4 9
( x2 x 的商式為(3x2)，餘式為0。
驗算：計算(3x2)(3x2)9x2 4
【練習】5.2.3-6
直式計算下列各式並驗算：
(1)(8x2 6)(2x1) (2)(9x22)(3x1)
若在一個多項式除法中，被除式為A，除式為 B，商式為 Q，餘式為 R。(B 不為 0) 也就是：AB QR
我們在前面驗算時寫成： A BQR
也可以將此式同除以B 寫成：
B Q R B
A
即 除式
商式 餘式 除式
被除式
例題 5.2.3-7
有兩多項式A、B，若 A 除以 B，得商式為 Q，餘式為 R，則：
(1)寫出 A、B、Q、R 的關係式。 (2)求 2A 除以 B 的商式與餘式。
(3)求 A 除以 5B 的商式與餘式。
詳解：
(1) 除式
商式 餘式 除式
被除式
多項式A 除以 B，商式為 Q，餘式為 R。
關係式為 B
Q R B
A
(2) 求 2A 除以 B 的商式與餘式。
將 B
Q R B
A 同乘以2
得 2( )2 B Q R B
A
化簡為 B
Q R B
A 2
2 2
對照 除式
商式 餘式 除式
被除式
即2A 除以 B，商式為2Q，餘式為 2R。
(3) 求 A 除以 5B 的商式與餘式。
將 B
Q R B
A 同除以5
得 5( )5 B Q R B
A
化簡為 B
R Q B A
5 5 5
對照 除式
商式 餘式 除式
被除式
即A 除以 5B，商式為 5
Q，餘式為R。
【練習】5.2.3-7
有兩多項式A、B，若 A 除以 B，得商式為 Q，餘式為 R，則：
(1)求 4A 除以 B 的商式與餘式。 (2)求 A 除以 2B 的商式與餘式。