節 畫出二元一次方程式的圖形

若現在有一個二元一次方程式：x y0

我們將二元一次方程式x y0的解用數對表示，有(5,5)、(3,3)、(2,2)、(0,0)、(4,4) 等無限多組，將這些數對記在直角座標上，如圖 4.2-1。

圖 4.2-1

x

y

4-56

若將圖 4.2-1 的點連接起來，會得到一條直線，如圖 4.2-2：

圖 4.2-2

事實上，二元一次方程式的圖形都是一條直線。

因為兩點可以決定一條直線，所以若我們想在座標平面畫出二元一次方程式的圖形，只 需要找出二元一次方程式的兩組不同的解，標在座標平面上，再畫出過此兩點的直線即 為此二元一次方程式的圖形。

x

y

4-57

例題 4.2.1-1

下表中的x、y 值都是二元一次方程式x y2的解，請完成下表，並在座標平面 上標出各數對的位置。

x 5 3

y 0 －2 －5

詳解：

方程式為x y2

(1)x5時，(5) y2，解得y 3 (2)x3時，(3) y2，解得y 1 (3)y0時，x(0)2，解得x2 (4)y2時，x(2) 2，解得x 0 (5)y5時，x(5)2，解得x 3 填入表格：

x 5 3 2 0 －3

y 3 1 0 －2 －5

標在座標平面：

圖 4.2-3

x

y

4-58

【練習】4.2.1-1

下表中的x、y 值都是二元一次方程式2x y1的解，請完成下表，並在座標平面 上標出各數對的位置。

x 3 1 0

y －3 －5

x

y

4-59

例題 4.2.1-2

在座標平面上畫出二元一次方程式x y3 3的圖形。

詳解：

因為二元一次方程式的圖形是一條直線，所以我們只要找到方便計算的兩組解，

標在座標平面上，再畫出過這兩點的直線即可。

將x0代入x y3 3，得到(0) y3 3，解得y1。即(0,1)為一解。

將y 0代入x y3 3，得到x3(0)3，解得x3。即(3,0)為一解。

將(0,1)和(3,0)畫在座標平面上，並過此兩點做直線。

圖 4.2-4

x

y

4-60

【練習】4.2.1-2

在座標平面上畫出二元一次方程式x y5的圖形。

例題 4.2.1-3

在座標平面上畫出二元一次方程式3x y2 6的圖形。

詳解：

將x0代入3x y2 6，得到3(0)2y6，解得y 3。即(0,3)為一解。

將y 0代入3x y2 6，得到3x2(0)6，解得x2。即(2,0)為一解。

將(0,3)和(2,0)畫在座標平面上，並過此兩點做直線。

x

y

4-61

圖 4.2-5

【練習】4.2.1-3

在座標平面上畫出二元一次方程式4x y3 12的圖形。

x y

x

y

4-62

瞭解了基本的二元一次方程式圖形後，我們再來看看幾個較特殊的方程式：

若方程式的形式為x ，則其圖形為垂直 x 軸或平行 y 軸的直線。 k 若方程式的形式為y h，則其圖形為平行 x 軸或垂直 y 軸的直線。

圖 4.2-6

若方程式的形式為ax by0，也就是常數項為 0。因為將(0,0)代入可使等號成立 )

0 0 0

(a b  ，可知此方程式圖形必通過原點。

圖 4.2-7

x

y

x y

k x

h y

x

y

4-63

例題 4.2.1-4

在座標平面上畫出二元一次方程式x3的圖形。

詳解：

方程式為x3，也就是其解的y 座標為任意數，只要 x 座標為 3 即可。

因此像(3,2)、(3,5)、(3,11)、(3,0)、(3,8) 等全都是解。

我們取其中兩組解(3,2) (3,5)，標在直角座標上畫出圖形。

圖 4.2-8

【練習】4.2.1-4

在座標平面上畫出二元一次方程式y2的圖形。

x y

x

y

4-64

例題 4.2.1-4

在座標平面上畫出下列圖形：

(1) 通過(1,2)且垂直 x 軸的直線。

(2) 通過(3,2)且平行x 軸的直線。

詳解：

(1) 垂直x 軸的直線為鉛垂線。

先在座標平面標出點(1,2)， 再畫出通過此點的鉛垂線。

圖 4.2-9

(2) 平行x 軸的直線為水平線。

先在座標平面標出點(3,2)， 再畫出通過此點的水平線。

圖 4.2-10

x y

x

y

4-65

【練習】4.2.1-5

在座標平面上畫出下列圖形：

(1) 通過(2,2)且垂直 y 軸的直線。

(2) 通過(3,2)且平行 y 軸的直線。

x y

x

y

4-66

例題 4.2.1-6

在座標平面上畫出二元一次方程式2x y3 0的圖形。

詳解：

二元一次方程式常數項等於 0，圖形為通過原點的直線。

將x0代入2x y3 0，得到2(0)3y0，解得y3。即(0,0)為一解。

將x3代入2x y3 0，得到2(3)3y 0，解得y 2。即(3,2)為一解。

將(0,0)和(3,2)畫在座標平面上，並過此兩點做直線。

圖 4.2-11

【練習】4.2.1-6

在座標平面上畫出二元一次方程式4x3y 0的圖形。

x y

x

y

4-67

座標平面上的直線方程式圖形，與x 軸相交時，y 座標為 0。因此，我們若想求直線 與x 軸的交點，將y0代入方程式即可。同樣地，若想求直線與 y 座軸的交點，將

0

x 代入方程式即可。

例題 4.2.1-7

座標平面上有一直線方程式2x y 4，求：

(1)此直線與x 軸、y 軸的交點座標。

(2)此直線與兩軸圍成的三角形面積。

(3)此直線不通過哪個象限?

詳解：

(1) 將y 0代入2x y4，得到2x(0)4，解得x2。 與 x 軸交點為(2,0)。

將x0代入2x y 4，得到2(0) y4，解得y 4。 與 y 軸交點為(0,4)。

(2) 如圖 4.2-12

直線2x y4與兩軸圍成的三角形，

底為 2 ((0,0)到(2,0)距離為 2) 高為 4 ((0,0)到(0,4)距離為 4)

面積為 4

2 4 1

2   (平方單位)

(3) 如圖 4.2-12，此直線不通過第三象限。

圖 4.2-12

x

y

4-68

【練習】4.2.1-7

座標平面上有一直線方程式5x y4 20，求：

(1)此直線與x 軸、y 軸的交點座標。

(2)此直線與兩軸圍成的三角形面積。

(3)此直線不通過哪個象限?

x

y

4-69

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