節 等差數列的應用

本節中我們將把前面學到的等差數列觀念，應用在各種題目中。

例題

10.3-1

某三角形，其三內角度數成等差數列，且最小角為 40 度，試求最大角之角度。

詳解：

三內角度數成等差數列，設公差為 d 。最小角為 40 度，則另外兩角可表示為

) 40

( d 度、^(402d) 度。

由三角形三內角和為 180 度可列式：

180 ) 2 40 ( ) 40 (

40 d   d  180

3 120 d 

20 d

因此另外兩角角度為^402060 ( 度 ) 、^{4020280} ( 度 ) 最大角為 80 度。

【練習】

10.3-1

某三角形，其三內角度數成等差數列，且最大角為 90 度，試求最小角之角度。

例題

10.3-2

小文下定決心開始運動減肥，第 1週每天運動 20 分鐘，第 2週每天運動 25 分鐘，第 3週每天運動 30 分鐘，依此類推，每週都增加 5分鐘。請問在第幾 週時，小文每天會運動 70 分鐘？

詳解：

因為每週都增加 5分鐘，我們將每週每天的運動時間視為等差數列。

第 1週每天運動視為第 1項，即a1 ²⁰ 。 每週都增加5分鐘，因此公差^{d 5} 。

題目想求第幾週每天會運動70 分鐘，即第幾項會變成 70 。 設第 n 項為 70 ，利用^{an a1(n1)d}

5 ) 1 ( 20

70  n  5 5 20 70  n

55 5n

11 n

第 11 項為 70 ，即在第 11 週時，小文每天會運動 70 分鐘。

【練習】

10.3-2

小哲下定決心開始存錢，現在小哲總存款有 100 元，每天存 5元。即第 1天 存錢後，總存款有 105 元。第 2天存錢後，總存款有 110 元，依此類推。

請問在第幾天時，小哲總存款會有 255 元？ ( 中途小哲都沒有把存款花掉 )

例題

10.3-3

某物體自高空落下，第 1秒落下 4.9公尺，第 2秒落下 14.7 公尺，第 3秒落 下 24.5 公尺 ... 即落下距離每秒增加 9.8公尺。請問：

(1) 第 50 秒落下多少公尺？

(2)1 ～ 50 秒總共落下多少公尺？

詳解：

因為落下距離每秒增加 9.8公尺，因此每秒落下距離可視為等差數列。

第 1秒落下距離視為第 1項，即a1 ^4.9 。 每秒都增加9.8公尺，因此公差^{d 9.8} 。

(1) 求第 50 秒落下的距離，即^a50 之值。

a50 a₁(501)d 8 . 9 ) 1 50 ( 9 .

4  

 1 .

485

得第 50 秒落下 485.1 公尺。

(2)1 ～ 50 秒總共落下多少公尺，即a1 到^a50 之和。

S

2

50 ) (

₁



₅₀





a a

2

50 ) 1 . 485 9 . 4

(  



12250



得第 1～ 50 秒共落下 12250 公尺。

【練習】

10.3-3

某物體自高空落下，第 1秒落下 4.9公尺，第 2秒落下 14.7 公尺，第 3秒落 下 24.5 公尺 ... 即落下距離每秒增加 9.8公尺。請問：

(1) 第 60 秒落下多少公尺？

(2)1 ～ 60 秒總共落下多少公尺？

例題

10.3-4

有一條長 540 公尺的道路，工人想在這條道路一旁裝設路燈。路標 0公尺處裝 第 1個，路標 15 公尺處裝第 2個，路標 30 公尺處裝第 3個…依此類推，每 隔 15 公尺裝 1個路燈，路標 540 公尺處裝最後1個，請問這條道路共會裝多 少個路燈？

詳解：

因為每隔 15 公尺裝 1個路燈，我們可以將路燈的路標位置看成等差數列。

每隔 15 裝 1個路燈，即公差^d15 。 第 1個路燈在路標0公尺處，即a1 ⁰ 。 第 2個路燈在路標 15 公尺處，即a2 ¹⁵ 。 設第 n 個路燈在路標 540 公尺處，即^{an 540} 。 我們利用^{an a1(n1)d} 來求 n 之值。

15 ) 1 ( 0 540  n

15 15 540 n

37 n

即路標 540 公尺處是第 37 個路燈，因此這條道路總共有 37 個路燈。

【練習】

10.3-4

有一條長 336 公尺的道路，鎮公所想在這條道路一旁擺放花盆。路標0公尺處 擺第 1個，路標 16 公尺擺裝第 2個，路標 32 公尺處擺第 3個…依此類推，

每隔 16 公尺擺 1個花盆，路標 336 公尺處擺最後1個，請問這條道路共會擺 多少個花盆？

例題

10.3-5

某間音樂廳共有 28 排座位，每一排都比前一排多 2個座位。若第 28 排有 80 個座位，請問第 1排有幾個座位？

詳解：

每一排都比前一排多 2個座位，我們可以將每排座位數量看成等差數列。

每一排都比前一排多 2個座位，即公差^{d 2} 。 第 28 排有 80 個座位，即^{a28 80} 。

我們利用^{an a1(n1)d} 來求a1 ，也就是第1排的座位數量。

2 ) 1 28 ( 80 a₁  

54 80 a₁

1 26 a

得到第 1排座位有 26 個。

【練習】

10.3-5

某間演藝廳共有 24 排座位，每一排都比前一排多 3個座位。若第 16 排有 81 個座位，請問第 1排有幾個座位？

例題

10.3-6

某間音樂廳共有 1484個座位，每一排都比前一排多 2個座位。若第1排有 26 個座位，請問這間音樂廳共有幾排座位？

詳解：

每一排都比前一排多 2個座位，我們可以將每排座位數量看成等差數列。

每一排都比前一排多 2個座位，即公差^{d 2} 。 第 1排有 26 個座位，即a1 ²⁶ 。

設共有 n 排，最後一排座位數量^{an a1(n1)d 262(n1)242n} 音樂廳共有1484個座位，我們利用等差級數和公式找出 n 值。

2 ) (

a₁ a n S

 

ⁿ



2 )) 2 24 ( 26

1484(   n n

2 ) 2 50

1484 (  n n

25 2

1484 nn 0 1484

225n 

n

0 ) 53 )(

28

(n n  53 , 28



n ( 排數為正數，負不合 ) 這間音樂廳共有 28 排座位。

【練習】

10.3-6

某間演藝廳共有 1020個座位，每一排都比前一排多 3個座位。若第1排有 36 個座位，請問這間音樂廳共有幾排座位？

例題

10.3-7

圖 10.3-1為一個九宮格，試將空格的數字填完，使得直行、橫列、對角線的三 數都成等差數列。

1 4

1 0 2

0

1 6 圖 10.3-1 詳解：

我們將各空格填入代號，如圖 10.3-2。

1

4 A 1 0 B C D

2

0 E 1 6 圖 10.3-2

因為直行、橫列、對角線的三數都成等差數列，所以中間的數為旁邊兩數的等差 中項。因此可得：

2 12 10 14 

 A

2 17 20 14 

 B

2 15 16 14 

 C

2 13 16 10 

 D

2 18 16 20 

 E

完成九宮格如圖 10.3-3

1 4

1 2

1 0 1

7 1 5

1 3

【練習】

10.3-7

圖 10.3-4 為一個九宮格，試將空格的數字填完，使得直行、橫列、對角線的三數都成等差數列。

1

8 6

3 2

2 0 圖 10.3-4

例題

10.3-8

小文下定決心要每天慢跑健身，第 1天跑 5公里，之後每天多跑 0.6公里。即 第 2天跑 5.6公里，第 3天跑 6.2公里。請問在第幾天開始，小文當天跑步 的距離會超過12 公里？

詳解：

因為每天都多跑 0.6公里，我們可以將每天跑的距離看成等差數列。

第 1項即第 1天跑的距離，a1 ⁵ 。 每天多跑 0.6公里，因此公差^{d 0.6} 。

設第 n 天後，跑步的總距離會超過12 公里。

即 an ^12

12 ) 1

1(n d 

a (^{an a1(n1)d} )

12 6 . 0 ) 1 (

5 n   12 6 . 0 4 .

4  n 6 . 7 6 . 0 n

10 76 10

6 n

3 122 3 38 6 10 10

76  

 n

即第 13 天跑步距離會超過 12 公里。我們可以驗算看看第 12 天與第 13 天 的跑步距離：a12 ⁵⁽¹²¹⁾^0.6^11.6 、a13 ⁵⁽¹³¹⁾^0.6^12.2

可確認是第 13 天開始，跑步距離超過 12 公里。

【練習】

10.3-8

小軒想培養讀書的好習慣，每天都讀數頁的書。第 1天讀 10 頁，之後每天多 讀 3頁。即第 2天讀 13 頁，第 3天讀 16 頁。請問在第幾天開始，小軒一 天讀的頁數會超過 50 頁？

在文檔中 下載 (頁 33-42)