下載

(1)

代數第十章

第十章等差數列...1

學習目標...1

10.1 節等差數列...2

10.1 節習題...15

10.2 節等差級數...18

10.2 節習題...31

10.3 節等差數列的應用...33

10.3 節習題...42

第十章綜合習題...45

基測與會考試題...50

習題解答...56

(2)

第十章等差數列

等差數列在生活中隨處可見。例如我們小學時就數過的偶數：

2、 4、 6、 8、 10… ，數百元鈔票： 100 元、 200 元、 300 元、

400 元…。本章中我們將學習與等差數列有關的規則，並學習處理相關的應用問題。

學習目標

1. 能理解什麼是數列與等差數列。

2. 能夠計算等差數列的和。

3. 能處理等差數列的應用題。

(3)

10.1節等差數列

生活中，我們經常可以看到一串數字排在一起。例如：

月份有 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10 、 11 、 12 ，共 12 個月。

本次班上數學段考， 1～ 9號的成績依序為：

90 、 85 、 88 、 96 、 82 、 75 、 63 、 97 、 80 分。

像這樣按順序排列的一串數，就稱為數列。

我們來看數列： 90 、 85 、 88 、 96 、 82 、 75 、 63 、 97 、 80 這串數列共有9個數字，我們稱這串數列有9項。

第 1個項，也稱為首項，我們記為a1 。第 1個項的數為 90 ，因此a1 ⁹⁰ 。第 2個項，我們記為a2 。第 2個項的數為 85 ，因此a2 ⁸⁵ 。

第 3個項，我們記為a3 。第 3個項的數為 88 ，因此a3 ⁸⁸ 。

依此類推，a4 ⁹⁶ 、a5 ⁸² 、a6 ⁷⁵ 、a7 ⁶³ 、

a

₈

 97

、a9 ⁸⁰ 。數列的最後一項，也稱為末項，此數列的末項為 80 。

接著我們再看另一個數列：

2、 4、 6、 8、 10 、 12 、 14 、 16 、 18 、 20

此數列每相鄰兩項之間，後項減前項的差都是 2。像這樣相鄰兩項之間有固定的差之數列，稱為等差數列。

相鄰兩項間，固定的差我們稱為公差，公差常用 d 來代表。此數列的公差為 2，即

2

d 。

例題

10.1-1

(1)1 、 4、 7、 10 、 13 、 16 ，是否為等差數列？

(2)1 、 3、 9、 27 ，是否為等差數列？

詳解：

(1) 此數列相鄰兩項的後項減前項之差都是 3，為等差數列。

(2)³^¹^² 、⁹^³^⁶，後項減前項之差不固定，非等差數列。

【練習】

10.1-1

(4)

例題

10.1-2

設某市計程車的計費自 70 元起跳，每一次跳 5元。依次寫出計費表上出現的前 8個數。

詳解：

70 、 75 、 80 、 85 、 90 、 95 、 100 、 105 。

【練習】

10.1-2

假設小黑每天存 55 元，共存了 7天。若將小黑每天的存款總額依序排列出來，

應如何表示？

(5)

例題

10.1-3

爸爸練習慢跑，計畫第 1天慢跑 10 分鐘，第 2天慢跑 20 分鐘，第 3天慢跑 30 分鐘，以此類推， 7天的慢跑時間應如何表示？

詳解：

10 、 20 、 30 、 40 、 50 、 60 、 70 ( 分鐘 )

【練習】

10.1-3

小張練習跑步，一共跑了6天，每天都固定跑 800 公尺。若將小張每天的跑步距離累計，依照順序排列出來，應如何表示？

例題

10.1-4

有一等差數列，首項為 5，公差為 4，試寫出此數列的前 5項。

詳解：

等差數列公差為 4，即後一項都比前一項多 4。

1 5 a

9 4

1 5

2 a d    a

13 4

2 9

3a d   a

17 4

3 13

4 a d  

a

21 4

4 17

5 a d   

a

因此此等差數列前 5項為： 5、 9、 13 、 17 、 21

【練習】

10.1-4

(6)

例題

10.1-5

有一等差數列，首項為 10 ，公差為－ 4，試寫出此數列的前 6項。

詳解：

等差數列公差為－ 4，即後一項都比前一項多－4，也就是後一項都比前一項少 4。

1 10 a

6 ) 4 (

1 10

2 a d   

a

2 ) 4 (

2 6

3 a d   

a

2 ) 4 (

3 2

4 a d   

a

6 ) 4 ( ) 2

4 (

5 a d     

a

10 ) 4 ( ) 6

5 (

6 a d     

a

因此此等差數列前 6項為： 10 、 6、 2、－ 2、－ 6、－ 10

【練習】

10.1-5

有一等差數列，首項為 12 ，公差為－ 7，試寫出此數列的前 6項。

(7)

我們已經知道了等差數列的基本寫法，接著我們來看看，若是只知道首項、末項與公差，是否能推得項數呢？

我們來將等差數列各項用首項與公差來表示：

d a a₂  ₁

d a d d a d a

a₃ ₂ ( ₁ )  ₁2 d a d d a d a

a₄  ₃ ( ₁2 )  ₁3 d a d d a d a

a₅ ₄ ( ₁3 )  ₁4 d a d d a d a

a₆  ₅ ( ₁4 )  ₁5

接著將各項所加公差的數量用項數來表示：

d a

a₂  ₁(21) d a

a₃ ₁(31) d a

a₄  ₁(41) d a

a₅  ₁(51) d a

a₆  ₁ (61)

可以發現各項所加公差的數量，都是 ( 項數－ 1) ，因此第 n 項^aⁿ 可表示為

d n a

a_n  ₁( 1)

移項後可得：

^ ^

¹

^ ¹

d a n aⁿ

若是^aⁿ 為末項，那麼我們就得到：末項＝首項＋

( 項數－ 1)× 公差

移項得：項數＝ [(末項－首項 ) ／公差 ] ＋ 1

(8)

例題

10.1-6

(1) 某等差數列，首項為 3，公差為 5，試求第 7項。

(2) 某等差數列，首項為－ 2，公差為 4，試求第 6項。

(3) 某等差數列，首項為 7，公差為－ 3，試求第 5項。

(4) 某等差數列，首項為 2，公差為 0.5，試求第 13 項。

詳解：

利用âⁿ ^â¹^⁽ⁿ^¹⁾^d (1)â⁷ â1⁽⁷¹⁾^d

5 ) 1 7 (

3  



33

(2)^a⁶

d a₁(61)



4 ) 1 6 ( ) 2

(   



18

(3)^a⁵ ^a1⁽⁵¹⁾^d ) 3 ( ) 1 5 (

7   



5



(4)^a¹³ ^a1⁽¹³¹⁾^d 5 . 0 ) 1 13 (

2  



8

【練習】

10.1-6

(2) 某等差數列，首項為－ 6，公差為 7，試求第 8項。

(4) 某等差數列，首項為 3，公差為 0.1，試求第 101 項。

(9)

例題

10.1-7

(1) 某等差數列，首項為 1，末項為 21 ，公差為 1，請問此數列有幾項？

(3) 某等差數列，首項為 18 ，末項為 42 ，公差為 3，請問此數列有幾項？

(4) 某等差數列，首項為－ 8，末項為 22 ，公差為 5，請問此數列有幾項？

詳解：

利用

^ ^

¹

^ ¹

d a n aⁿ

(1) n ^ ²¹₁^¹^¹

 21

(2) n

2 1 2 102 



51

(3) n ^⁴²₃^¹⁸^¹

9

(4) n

5 1 ) 8 ( 22  



7

【練習】

10.1-7

(4) 某等差數列，首項為－ 3，末項為 4，公差為 1，請問此數列有幾項？

(10)

接著我們來看看更多關於數列的名詞。

中項：若一數列有3項，我們將中間項 ( 第 2項 ) 稱為其前一項與後一項的中項。

例如有一數列2、 5、 7，則稱 5為 2與 7的中項。

等差中項：

若一等差數列有 3項，我們將中間項 ( 第 2項 ) 稱為其前一項與後一項的等差中項。

例如有一等差數列 2、 5、 8，則稱 5為 2與 8的等差中項。

我們來看看如何求出等差中項。

若有一等差數列a1 、a2 、^a³ ，公差為 d 。則我們知道：

d a a₂  ₁

d a d a

a₃ ₂  ₁2

2 1

1 1

1 3 1

2 2 2 2

2

a a a d a d a d a

a

   

 

 



亦即想求出a1 與^a³ 的等差中項a2 ，只要將a1 與^a³ 相加再除以2 即可：

2

3 1 2

a a a





奇數項：一個數列中，項次為奇數的項，稱為奇數項。

例如有一等差數列 2、 5、 8、 11 、 14 、 17 ，則奇數項為 2、 8、 14 。

偶數項：一個數列中，項次為偶數的項，稱為偶數項。

例如有一等差數列 2、 5、 8、 11 、 14 、 17 ，則偶數項為 5、 11 、 17 。

(11)

例題

10.1-8

有一等差數列： 18 、 x 、 44 ，試求 x 之值。

詳解：

x 即 18 和 44 的等差中項

2 31 62 2

44

18  

 x

【練習】

10.1-8

有一等差數列： 24 、 x 、 72 ，試求 x 之值。

例題

10.1-9

在一等差數列中，已知某兩項的等差中項為 6，且此兩項之積為 20 。 (1) 令此等差數列之公差為 d ，試用 d 表示此兩項。

(2) 求此兩項之值。

詳解：

(1) 此等差數列之公差為 d ，因此 6的後一項為⁶^^d ，前一項為6d 。此兩項為6d 、6d 。

(2) 由兩項之積為 20 可列式：

20 ) 6 )(

6

( d d 

2 16 d

4

 d

4

d 時， 6的前一項為⁶^{ d} ^⁶^⁴^² ，後一項為6 d 6410 。數列為 2、 6、 10 。

4



d 時， 6的前一項為⁶^{ d} ^⁶^⁽^⁴⁾^¹⁰ ，後一項為⁶^{ d} ^⁶^⁽^⁴⁾^² 。數列為 10 、 6、 2。

此兩項為 2和 10 。

【練習】

10.1-9

在一等差數列中，已知某兩項的等差中項為 10 ，且此兩項之積為 91 。 (1) 令此等差數列之公差為 d ，試用 d 表示此兩項。

(12)

瞭解了等差數列的各種基本觀念後，接著讓我們來看看各種變化題型。

例題

10.1-10

在一等差數列中，第一項為¹⁸ ，第六項為⁴⁸ ，試求此等差數列的公差。

詳解：

利用^aⁿ ^^a¹^⁽ⁿ^¹⁾^d

d a

a₆  ₁(61) d ) 1 6 ( 18 48  

d 5 30

6 d

得此數列公差為 6。

【練習】

10.1-10

在一等差數列中，第一項為

12

，第七項為

 24

，試求此等差數列的公差。

(13)

例題

10.1-11

在一等差數列中，第五項為³² ，公差⁷ ，試求此等差數列的首項。

詳解：

利用^aⁿ ^^a¹^⁽ⁿ^¹⁾^d

d a

a₅  ₁(51) 7 ) 1 5 ( 32 a₁   

28 32 a₁

14 a

得此數列首項為 4。

【練習】

10.1-11

在一等差數列中，第九項為27 ，公差

4

，試求此等差數列的首項。

例題

10.1-12

若在 0與 8之間，插入 4個數字，可使這些數字成等差數列 ( 包含 0與 8) 。試求此 4個數字。

詳解：

題目要使 0、 8與插入的 4個數字成等差數列，因此此數列共有 6項，首項

1 0

a 、a6 ⁸，我們利用^an ^a₁(ⁿ1)^d 來找出公差：

d a

a₆  ₁ (61) d ) 1 6 ( 0 8  

d 5 8

6 .

1 d

由d 1.6 可求出a2 ¹^.⁶ 、a3 ³^.²、a4 ⁴^.⁸ 、a5 ⁶^.⁴。因此插入的4個數字為 1.6、 3.2、 4.8、 6.4。

【練習】

10.1-12

若在 2與 11 之間，插入 3個數字，可使這些數字成等差數列 ( 包含 2與 11)。試求此 3個數字。

(14)

因為此 5數為連續整數，且排列由小而大，因此公差為 1。

設第 1個整數為a1 ，第 2個整數為a2  a1¹，第 3個整數為^a³ ^{ a}¹^² ，第 4個整數為a4  a1³ ，第 5個整數為^a⁵ ^{ a}¹^⁴ 。

此 5數和為 95 ，可列式：

5 95

4 3 2

1a a a a  a

95 ) 4 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 1

( ₁ ₁ ₁ ₁

1 a   a   a   a  

a

95 10 5a₁ 

19

12 a

117 a

18

1 1

2  a  

a 、^a³ ^{ a}¹^²^¹⁹ 、a4  a1³²⁰ 、^a⁵ ^{ a}¹^⁴^²¹ 因此 5個連續整數為 17 、 18 、 19 、 20 、 21 。

【練習】

10.1-13

已知有 5個連續整數成等差數列 ( 由小而大 ) ，且此 5數和為 105 ，試求此 5數。

(15)

例題

10.1-14

有一等差數列，首項為 7，公差為 12 ，請問第幾項開始會大於 100 ？詳解：

本題要找數字大於 100 的項，當然我們可以用數的：

7、 19 、 31 、 43… ，但這方法在數字大時會很複雜，我們可以利用之前學過的^aⁿ ^^a¹^⁽ⁿ^¹⁾^d 來計算：

設第 n 項開始會大於 100 ，即^aⁿ ^¹⁰⁰。

100 12 ) 1 (

7   

 n

a_n

100 12 12

7 n  105 12n

12

105 n

12 8 9

 n

因為項數為整數，所以我們取ⁿ^⁹ ，即第 9項開始會大於 100 。我們來驗算看看

第 8項：^a⁸ ^⁷^⁽⁸^¹⁾^¹²^⁹¹ 第 9項：^a⁹ ^⁷^⁽⁹^¹⁾^¹²^¹⁰³ 可確認在第9項開始會大於 100 。

【練習】

10.1-14

有一等差數列，首項為 7，公差為－ 12 ，請問第幾項開始會小於－ 100 ？

(16)

10.1節習題

習題

10.1-1

(1)5 、 10 、 15 、 20 、 25 、 30 ，是否為等差數列？

(2)4 、 8、 12 、 16 ，是否為等差數列？

習題

10.1-2

設某市遊樂園的收費自基本費 100 元起跳，每多玩一種設施加收 20 元。依次寫出收費表上出現的前5個數。

習題

10.1-3

妹妹開始存錢，計畫第 1天存 20 元，第 2天存 25 元，第 3天存 30 元，

以此類推，7天的存錢金額應如何表示？

習題

10.1-4

習題

10.1-5

有一等差數列，首項為 5，公差為－ 3，試寫出此數列的前 6項。

習題

10.1-6

(2) 某等差數列，首項為－ 10 ，公差為 4，試求第 3項。

(4) 某等差數列，首項為 100 ，公差為 0.1，試求第 101 項。

習題

10.1-7

(3) 某等差數列，首項為 10 ，末項為 46 ，公差為 4，請問此數列有幾項？

(4) 某等差數列，首項為－ 5，末項為 15 ，公差為 4，請問此數列有幾項？

(17)

習題

10.1-8

有一等差數列： 16 、 x 、 80 ，試求 x 之值。

習題

10.1-9

習題

10.1-10

在一等差數列中，第一項為5，第八項為 26 ，試求此等差數列的公差。

習題

10.1-11

在一等差數列中，第 15 項為 40 ，公差 3，試求此等差數列的首項。

習題

10.1-12

若在 2與 8之間，插入 4個數字，可使這些數字成等差數列 ( 包含 2與 8) 。試求此 4個數字。

習題

10.1-13

已知有 5個連續整數成等差數列 ( 由小而大 ) ，且此 5數和為 90 ，試求此 5 數。

習題

10.1-14

有一等差數列，首項為 9，公差為 18 ，請問第幾項開始會大於 150 ？

(18)

10.2節等差級數

前一節我們已經瞭解了等差數列，本節我們將學習求等差數列中各項的和。

設有一數列：a1、 a2、 a3、… an。

算式â¹^â²^â³^^...^âⁿ 稱為由此數列得到的級數，總和稱為級數和。習慣上常用符號 S 代表級數和。如果 a1、 a2、 a3、… an是等差數列，則由此得到的級數也可稱為等差級數。

例題

10.2-1

計算等差級數¹^²^³^⁴^⁵^⁶^⁷ 之和。

詳解：

我們用基本的加法來計算，可得¹^²^³^⁴^⁵^⁶^⁷^²⁸ 。

【練習】

10.2-1

計算等差級數24681012 之和。

在例題 10.2-1中，我們用基本的加法計算出了級數和。但若是題目的項數增加，例如要計算12345...4950 ，就很難用基本的加法計算出答案。因此我們現在要學一種能快速計算等差級數和的方法。

(19)

設有一等差數列： 1 、 2 、 3 、 4 、 5 、… 49 、 50 我們要計算等差級數之和：¹^²^³^⁴^⁵^^...^⁴⁹^⁵⁰

令^S^¹^²^³^⁴^⁵^^...^⁴⁹^⁵⁰

觀察一下可以發現，第一項與最後一項之和為：¹^⁵⁰^⁵¹ ，第二項與倒數第二項之和為：²^⁴⁹^⁵¹ ，第三項與倒數第三項之和為：³^⁴⁸^⁵¹。如圖 10.2-1之分組：

圖 10.2-1

各組合都是 51 ，我們可以利用這點來求出等差級數之和。

已知^S^¹^²^³^⁴^⁵^^...^⁴⁹^⁵⁰

當然我們也可以寫成^S^⁵⁰^⁴⁹^⁴⁸^⁴⁷^⁴⁶^^...^²^¹ 將兩式相加：

S ＝

＋

1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 4 ＋ 5 ＋ ... ＋ 49

＋ 50

＋ ) S ＝

＋

50 ＋ 49

＋ 48

＋ 47 ＋ 46

＋ ... ＋ 2

＋ 1 2S

＝

＋

51 ＋ 51

＋ 51

＋ 51 ＋ 51

＋ ... ＋ 51

＋ 51 得到2S5151515151...5151 ，因為原數列1 ～ 50 共有 50 項，所以我們可以輕鬆知道 2S 是 50 個 51 相加起來。即：

51 50 2S 

2 51 50

 S

1275 S

因此12345...49501275

(20)

接著我們再來看看，對於一般的等差數列a1、 a2、 a3、… an-1、 an ，如何求出等差級數之和。

令^S ^â¹^â²^â³^^...^âⁿ^1^âⁿ

仿照之前的作法， S 也可以寫成^S^âⁿ^âⁿ^¹^âⁿ^² ^^...^â²^â¹ 再將兩種寫法相加：

S ＝

＋

a1 ＋ a2 ＋ a3 ＋ . ..

＋ an-1 ＋ an

＋ ) S ＝

＋

an ＋ an-1 ＋ an-2 ＋ . ..

＋ a2 ＋ a1

2S ＝ (a1 ＋ an)

＋ (a2 ＋ an-1)

＋ (a3

＋ an-2)

＋ . ..

＋ (an-1

＋ a2)

＋ (an ＋ a1)

在這裡，我們必須看看 a1＋ an、 a2＋ an-1、 a3＋ an-2等各項是否相等。

利用前面學過的^an ^a₁(ⁿ1)^d ：

n

n a d a n d a d a nd d a a n d a a

a

a₂ _₁( ₁ )[ ₁( 2) ] ₁  ₁ 2  ₁ ₁( 1)  ₁

n

n a d a n d a d a nd d a a n d a a

a

a₃ _₂ ( ₁2 )[ ₁( 3) ] ₁2  ₁ 3  ₁ ₁( 1)  ₁

可知a1a_n a2a_n1a3a_n2

同理也可再推得 a1＋ an與 an-1＋ a2、 an＋ a1等各項全都相等，因此我們將這些項全都用a1＋ an來表示：

) (

...

) (

2S a₁a_n  a₁a_n  a₁a_n   a₁a_n  a₁a_n

因為原本的數列 a1、 a2、 a3、… an-1 、 an 有 n 項，因此 2S 也有 n 個 a1

＋ an。

2S 可表示為：

n a a

S(  _n)

2 ₁

化簡得

2 ) (

a₁ a n

S



ⁿ





於是我們知道等差級數之和

2 ) (

a₁ a n

S



ⁿ





即等差數列首項與末項相加，乘以項數後再除以 2，就能得到等差級數之和。

例題

10.2-2

計算等差級數1234...99100 之和。

詳解：

(21)

利用等差級數和公式

2 ) (

a₁ a n S

 

ⁿ



設此數列有 n 項。首項a1 ¹ 、末項^aⁿ ^¹⁰⁰ 、項數為ⁿ ^¹⁰⁰ 。

S 2

100 ) 100 1

(  



2 101100



2 10100



5050

得等差級數¹^²^³^⁴^^...^⁹⁹^¹⁰⁰ 之和為 5050 。

【練習】

10.2-2

計算等差級數1234...199200 之和。

(22)

例題

10.2-3

計算等差級數³^⁵^⁷^⁹^^...^³⁹^⁴¹ 之和。

詳解：

設此數列有 n 項。可先利用

^ ^

¹

^ ¹

d a

n aⁿ 求出項數。

首項a1 ³ 、末項^aⁿ ^⁴¹、公差^d ^⁵^³^²

項數

¹ ²⁰

2 3 1 41

1

    

 

d

a n aⁿ

得項數n20 ，接著再利用等差級數和公式

2 ) (

a₁ a n

S

 

ⁿ



求出等差級數之和。

S 2

20 ) 41 3

(  



2 20 44



440

得等差級數³^⁵^⁷^⁹^^...^³⁹^⁴¹ 之和為 440。

【練習】

10.2-3

計算等差級數10131619...4346 之和。

(23)

例題

10.2-4

計算等差級數⁷^³^⁽^¹⁾^⁽^⁵⁾^^...^⁽^²⁹⁾^⁽^³³⁾ 之和。

詳解：

設此數列有 n 項。可先利用

^ ^

¹

^ ¹

d a

n aⁿ 求出項數。

首項a1 ⁷ 、末項^aⁿ ^^³³ 、公差^d ^³^⁷^^⁴

項數

¹ ¹¹

4 7 ) 33 1 (

1

 



 

 



d a n aⁿ

得項數n11 ，接著再利用等差級數和公式

2 ) (

a₁ a n

S

 

ⁿ



求出等差級數之和。

S 2

11 )) 33 ( 7

(   



2 11 ) 26 ( 



143



得等差級數⁷^³^⁽^¹⁾^⁽^⁵⁾^^...^⁽^²⁹⁾^⁽^³³⁾ 之和為－ 143。

【練習】

10.2-4

計算等差級數⁵^⁽^²⁾^⁽^⁹⁾^⁽^¹⁶⁾^^...^⁽^⁸⁶⁾^⁽^⁹³⁾ 之和。

(24)

例題

10.2-5

有一等差數列，首項為 6，公差為 8，試求前 15 項的和。

詳解：

題目要求前 15 項的和，我們已知首項，卻不知末項 ( 第 15 項 ) ，因此本題需先利用^aⁿ ^^a¹^⁽ⁿ^¹⁾^d 求出第 15 項。

118 8 14 6 ) 1 15

1 (

15 a   d    

a

得a15 ¹¹⁸ ，接下來就可利用等差級數和公式

2 ) (

a₁ a n

S

 

ⁿ



求出前 15 項之和。

首項a1 ⁶ 、末項^a¹⁵ ^¹¹⁸ 、項數ⁿ^¹⁵

S 2

15 ) 118 6

(  



2 15 124



930

得前 15 項的和為 930。

【練習】

10.2-5

有一等差數列，首項為 5，公差為－ 3，試求前 23 項的和。

(25)

例題

10.2-6

有一等差數列，第 7項為 35 ，公差為 6，試求第 1項到第 15 項的和。

詳解：

題目要求第1項到第 15 項的和，我們需要先找出第1項、第 15 項才能計算。

先利用^aⁿ ^^a¹^⁽ⁿ^¹⁾^d 找出第 1項與第 15 項

d a

a₇  ₁(71) 6 ) 1 7 (

35 a₁  

1 1 a

d a

a₁₅  ₁(151) 6 ) 1 15 ( ) 1

15 (   

a

15 83 a

2 ) (

a₁ a n

S

 

ⁿ



求出第 1項到第 15 項的和。

S 2

15 ) 83 ) 1

((  



2 15 82



615

得第 1項到第 15 項的和為 615。

【練習】

10.2-6

(26)

例題

10.2-7

有一等差數列，首項為－6，公差為 7，試求第 7項到第 10 項的和。

詳解：

題目要求第7項到第 10 項的和，我們需要先找出第7項、第 10 項才能計算。

先利用^aⁿ ^^a¹^⁽ⁿ^¹⁾^d 找出第 7項與第 10 項

d a

a₇  ₁(71) 7 ) 1 7 ( ) 6

7 (   

a

7 36 a

d a

a₁₀  ₁(101) 7 ) 1 10 ( ) 6

10 (   

a

10 57 a

2 ) (

a₁ a n

S

 

ⁿ



求出第 7項到第 10 項的和。

S 2

4 ) 57 36

(  

 ( 第 7項到第 10 項共有 4項 )

2 934



186

得第 7項到第 10 項的和為 186。

【練習】

10.2-7

有一等差數列，首項為－ 12 ，公差為 9，試求第 10 項到第 15 項的和。

(27)

例題

10.2-8

有一等差數列，首項為 3，第 6項為 18 ，前 n 項之和為 135 ，試求 n 。 詳解：

先利用首項為3，第 6項為 18 ，找出此數列的公差

d a

a₆  ₁(61) d 5 3 18 

3 d

得到公差^d ^³ ，因此第 n 項可表示為：^aⁿ ^^a¹^⁽ⁿ^¹⁾^d ^³^⁽ⁿ^¹⁾^³ 前 n 項之和為 135 ，利用等差級數和公式

2 ) (

a₁ a n

S

 

ⁿ



可知：

2 ) 3

135  ( 

a_n



n

2 ) 3 ) 1 ( 3 3

135 (   n  n ( 利用^aⁿ ^³^⁽ⁿ^¹⁾^³ )

2 ) 3 3 3 3

135 (   n n

2 3 135 3

n2

n



270 3

3n²  n 0

2  n90 n

0 ) 9 )(

10

(n n  ( 利用十字交乘 )

9 ,

10

 n

但因為項數沒有負數，故ⁿ^^¹⁰ 不合，因此項數ⁿ^⁹ 。

【練習】

10.2-8

有一等差數列，首項為 7，第 5項為 35 ，前 n 項之和為 385 ，試求 n 。

(28)

例題

10.2-9

有一等差數列2、 5、 8、 11 、 14 、 17 、 20 、 23 、 26 。試求：

(1) 奇數項之和。

(2) 偶數項之和。

詳解：

(1) 奇數項是項次為奇數的項，因此奇數項為2、 8、 14 、 20 、 26 。可視為首項為2，末項為 26 ，共 5項公差為 6的等差數列。

2 ) (

a₁ a n

S

 

ⁿ



計算奇數項之和

S 2

5 ) 26 2

(  



70

得奇數項之和為 70 。

(2) 偶數項是項次為偶數的項，因此偶數項為5、 11 、 17 、 23 。可視為首項為5，末項為 23 ，共 4項公差為 6的等差數列。

2 ) (

a₁ a n

S

 

ⁿ



計算奇數項之和

S 2

4 ) 23 5

(  



56

得偶數項之和為 56 。

【練習】

10.2-9

有一等差數列－

3、 2、 7、 12 、 17 、 22 、 27 、 32 、 37 。試求：

(1) 奇數項之和。

(2) 偶數項之和。

(29)

例題

10.2-10

有一等差數列，共有 8項，若奇數項之和為 52 ，偶數項之和為 60 。試求：

(1) 此等差數列各項之和。

(2) 此等差數列之公差。

詳解：

(1) 此等差數列有8項，設此數列為：a1 、a2 、â³ 、a4 、â⁵ 、â⁶ 、â⁷ 、

a8 。

則奇數項數列為：a1 、â³ 、â⁵ 、â⁷ ，且â¹^â³^â⁵^â⁷^⁵² 。偶數項數列為：a2 、a4 、â⁶ 、â⁸ ，且â²^â⁴^â⁶^â⁸ ^⁶⁰ 。此等差數列各項之和 ^â¹^â²^â³^â⁴^â⁵^â⁶^â⁷^â⁸

) (

)

(a₁a₃a₅a₇  a₂a₄a₆a₈



60 52



 112

得此等差數列各項之和為 112 。

(2) 要求此等差數列之公差，我們可以將偶數項之和減去奇數項之和。

偶數項之和－偶數項之和＝60 － 52

52 60 ) (

)

(a₂a₄a₆a₈  a₁a₃a₅a₇   52

7 60

5 3 1 8 6 4

2a a a a a a a   a

52

7 60

8 5 6 3 4 1

2a a a a a a a   a

8 ) (

) (

)

(a₂a₁  a₄a₃  a₆ a₅  a₈a₇ 

8



d d d

d (後一項減前一項為公差，令公差為 d)

8 4d 

2 d

得此等差數列之公差為 2。

【練習】

10.2-10

有一等差數列，共有 10 項，若奇數項之和為 42 ，偶數項之和為 37 。試求：

(30)

(31)

10.2節習題

習題

10.2-1

計算等差級數¹^²^³^⁴^⁵^⁶^⁷^⁸^⁹^¹⁰ 之和。

習題

10.2-2

計算等差級數¹^²^³^⁴^^...^⁴⁹^⁵⁰ 之和。

習題

10.2-3

計算等差級數⁶^⁸^¹⁰^¹²^^...^⁸⁸^⁹⁰ 之和。

習題

10.2-4

計算等差級數⁸^³^⁽^²⁾^⁽^⁷⁾^^...^⁽^⁴²⁾^⁽^⁴⁷⁾ 之和。

習題

10.2-5

有一等差數列，首項為 7，公差為 3，試求前 18 項的和。

習題

10.2-6

(32)

習題

10.2-8

習題

10.2-9

有一等差數列－ 8 、－ 2 、 4 、 10 、 16 、 22 、 28 ，試求其奇數項之和。

習題

10.2-10

有一等差數列，共有 12 項，若奇數項之和為 72 ，偶數項之和為 60 ，試求此等差數列之公差。

(33)

10.3節等差數列的應用

本節中我們將把前面學到的等差數列觀念，應用在各種題目中。

例題

10.3-1

某三角形，其三內角度數成等差數列，且最小角為 40 度，試求最大角之角度。

詳解：

三內角度數成等差數列，設公差為 d 。最小角為 40 度，則另外兩角可表示為

) 40

( d 度、⁽⁴⁰^²^d⁾ 度。

由三角形三內角和為 180 度可列式：

180 ) 2 40 ( ) 40 (

40 d   d  180

3 120 d 

20 d

因此另外兩角角度為⁴⁰^²⁰^⁶⁰ ( 度 ) 、⁴⁰^²⁰^²^⁸⁰ ( 度 ) 最大角為 80 度。

【練習】

10.3-1

某三角形，其三內角度數成等差數列，且最大角為 90 度，試求最小角之角度。

(34)

例題

10.3-2

小文下定決心開始運動減肥，第 1週每天運動 20 分鐘，第 2週每天運動 25 分鐘，第 3週每天運動 30 分鐘，依此類推，每週都增加 5分鐘。請問在第幾週時，小文每天會運動 70 分鐘？

詳解：

因為每週都增加 5分鐘，我們將每週每天的運動時間視為等差數列。

第 1週每天運動視為第 1項，即a1 ²⁰ 。每週都增加5分鐘，因此公差^d ^⁵ 。

題目想求第幾週每天會運動70 分鐘，即第幾項會變成 70 。設第 n 項為 70 ，利用^aⁿ ^^a¹^⁽ⁿ^¹⁾^d

5 ) 1 ( 20

70  n  5 5 20 70  n

55 5n

11 n

第 11 項為 70 ，即在第 11 週時，小文每天會運動 70 分鐘。

【練習】

10.3-2

小哲下定決心開始存錢，現在小哲總存款有 100 元，每天存 5元。即第 1天存錢後，總存款有 105 元。第 2天存錢後，總存款有 110 元，依此類推。

請問在第幾天時，小哲總存款會有 255 元？ ( 中途小哲都沒有把存款花掉 )

(35)

例題

10.3-3

某物體自高空落下，第 1秒落下 4.9公尺，第 2秒落下 14.7 公尺，第 3秒落下 24.5 公尺 ... 即落下距離每秒增加 9.8公尺。請問：

(1) 第 50 秒落下多少公尺？

(2)1 ～ 50 秒總共落下多少公尺？

詳解：

因為落下距離每秒增加 9.8公尺，因此每秒落下距離可視為等差數列。

第 1秒落下距離視為第 1項，即a1 ⁴^.⁹ 。每秒都增加9.8公尺，因此公差^d ^⁹^.⁸ 。

(1) 求第 50 秒落下的距離，即^a⁵⁰ 之值。

a50 a₁(501)d 8 . 9 ) 1 50 ( 9 .

4  

 1 .

485

得第 50 秒落下 485.1 公尺。

(2)1 ～ 50 秒總共落下多少公尺，即a1 到^a⁵⁰ 之和。

S

2 50 ) (

₁



₅₀





a a

2

50 ) 1 . 485 9 . 4

(  



12250



得第 1～ 50 秒共落下 12250 公尺。

【練習】

10.3-3

某物體自高空落下，第 1秒落下 4.9公尺，第 2秒落下 14.7 公尺，第 3秒落下 24.5 公尺 ... 即落下距離每秒增加 9.8公尺。請問：

(36)

例題

10.3-4

有一條長 540 公尺的道路，工人想在這條道路一旁裝設路燈。路標 0公尺處裝第 1個，路標 15 公尺處裝第 2個，路標 30 公尺處裝第 3個…依此類推，每隔 15 公尺裝 1個路燈，路標 540 公尺處裝最後1個，請問這條道路共會裝多少個路燈？

詳解：

因為每隔 15 公尺裝 1個路燈，我們可以將路燈的路標位置看成等差數列。

每隔 15 裝 1個路燈，即公差^d^¹⁵ 。第 1個路燈在路標0公尺處，即a1 ⁰ 。第 2個路燈在路標 15 公尺處，即a2 ¹⁵ 。設第 n 個路燈在路標 540 公尺處，即âⁿ ^⁵⁴⁰ 。我們利用âⁿ ^â¹^⁽ⁿ^¹⁾^d 來求 n 之值。

15 ) 1 ( 0 540  n

15 15 540 n

37 n

即路標 540 公尺處是第 37 個路燈，因此這條道路總共有 37 個路燈。

【練習】

10.3-4

有一條長 336 公尺的道路，鎮公所想在這條道路一旁擺放花盆。路標0公尺處擺第 1個，路標 16 公尺擺裝第 2個，路標 32 公尺處擺第 3個…依此類推，

每隔 16 公尺擺 1個花盆，路標 336 公尺處擺最後1個，請問這條道路共會擺多少個花盆？

(37)

例題

10.3-5

某間音樂廳共有 28 排座位，每一排都比前一排多 2個座位。若第 28 排有 80 個座位，請問第 1排有幾個座位？

詳解：

每一排都比前一排多 2個座位，我們可以將每排座位數量看成等差數列。

每一排都比前一排多 2個座位，即公差^d ^² 。第 28 排有 80 個座位，即^a²⁸ ^⁸⁰ 。

我們利用^aⁿ ^^a¹^⁽ⁿ^¹⁾^d 來求a1 ，也就是第1排的座位數量。

2 ) 1 28 ( 80 a₁  

54 80 a₁

1 26 a

得到第 1排座位有 26 個。

【練習】

10.3-5

某間演藝廳共有 24 排座位，每一排都比前一排多 3個座位。若第 16 排有 81 個座位，請問第 1排有幾個座位？

(38)

例題

10.3-6

某間音樂廳共有 1484個座位，每一排都比前一排多 2個座位。若第1排有 26 個座位，請問這間音樂廳共有幾排座位？

詳解：

每一排都比前一排多 2個座位，我們可以將每排座位數量看成等差數列。

每一排都比前一排多 2個座位，即公差^d ^² 。第 1排有 26 個座位，即a1 ²⁶ 。

設共有 n 排，最後一排座位數量^aⁿ ^^a¹^⁽ⁿ^¹⁾^d ^²⁶^²⁽ⁿ^¹⁾^²⁴^²ⁿ 音樂廳共有1484個座位，我們利用等差級數和公式找出 n 值。

2 ) (

a₁ a n S

 

ⁿ



2 )) 2 24 ( 26

1484(   n n

2 ) 2 50

1484 (  n n

25 2

1484 nn 0 1484

225n 

n

0 ) 53 )(

28

(n n  53 , 28



n ( 排數為正數，負不合 ) 這間音樂廳共有 28 排座位。

【練習】

10.3-6

某間演藝廳共有 1020個座位，每一排都比前一排多 3個座位。若第1排有 36 個座位，請問這間音樂廳共有幾排座位？

(39)

例題

10.3-7

圖 10.3-1為一個九宮格，試將空格的數字填完，使得直行、橫列、對角線的三數都成等差數列。

1 4

1 0 2

0

1 6 圖 10.3-1 詳解：

我們將各空格填入代號，如圖 10.3-2。

1

4 A 1 0 B C D

2

0 E 1 6 圖 10.3-2

因為直行、橫列、對角線的三數都成等差數列，所以中間的數為旁邊兩數的等差中項。因此可得：

2 12 10 14 

 A

2 17 20 14 

 B

2 15 16 14 

 C

2 13 16 10 

 D

2 18 16 20 

 E

完成九宮格如圖 10.3-3

1 4

1 2

1 0 1

7 1 5

1 3

(40)

【練習】

10.3-7

圖 10.3-4 為一個九宮格，試將空格的數字填完，使得直行、橫列、對角線的三數都成等差數列。

1

8 6

3 2

2 0 圖 10.3-4

例題

10.3-8

小文下定決心要每天慢跑健身，第 1天跑 5公里，之後每天多跑 0.6公里。即第 2天跑 5.6公里，第 3天跑 6.2公里。請問在第幾天開始，小文當天跑步的距離會超過12 公里？

詳解：

因為每天都多跑 0.6公里，我們可以將每天跑的距離看成等差數列。

第 1項即第 1天跑的距離，a1 ⁵ 。每天多跑 0.6公里，因此公差^d ^⁰^.⁶ 。

設第 n 天後，跑步的總距離會超過12 公里。

即 an ^¹²

12 ) 1

1(n d 

a (^aⁿ ^^a¹^⁽ⁿ^¹⁾^d )

12 6 . 0 ) 1 (

5 n   12 6 . 0 4 .

4  n 6 . 7 6 . 0 n

10 76 10

6 n

3 122 3 38 6 10 10

76  

 n

即第 13 天跑步距離會超過 12 公里。我們可以驗算看看第 12 天與第 13 天的跑步距離：a12 ⁵⁽¹²¹⁾⁰^.⁶¹¹^.⁶ 、a13 ⁵⁽¹³¹⁾⁰^.⁶¹²^.²

可確認是第 13 天開始，跑步距離超過 12 公里。

【練習】

10.3-8

小軒想培養讀書的好習慣，每天都讀數頁的書。第 1天讀 10 頁，之後每天多讀 3頁。即第 2天讀 13 頁，第 3天讀 16 頁。請問在第幾天開始，小軒一天讀的頁數會超過 50 頁？

(41)

(42)

10.3節習題

習題

10.3-1

某三角形，其三內角度數成等差數列，且最小角為 10 度，試求最大角之角度。

習題

10.3-2

小新下定決心開始游泳訓練，第 1 週每天游 25 公尺，第 2 週每天游 35 公尺，

第 3週每天游 45 公尺，依此類推，每週都增加 10 公尺。請問在第幾週時，

小新每天會游95 公尺？

習題

10.3-3

某物體自高空落下，第 1 秒落下 4.9公尺，第 2 秒落下 14.7 公尺，第 3 秒落下 24.5 公尺 ... 即落下距離每秒增加 9.8公尺。請問：

習題

10.3-4

有一條長 232 公尺的道路，工人想在這條道路一旁種樹。路標 0公尺處種第 1 棵，路標 8 公尺處種第 2 棵，路標 16 公尺處種第 3 棵…依此類推，每隔 8 公尺種 1棵樹，路標 232 公尺處種最後1棵，請問這條道路共會種多少棵樹？

習題

10.3-5

學校大禮堂共有 50 排座位，每一排都比前一排多 4 個座位。若第 15 排有 92 個座位，請問第 1排有幾個座位？

(43)

某間音樂廳共有 1320個座位，每一排都比前一排多 2 個座位。若第 1 排有 15 個座位，請問這間音樂廳共有幾排座位？

習題

10.3-7

圖 10.3-5 為一個九宮格，試將空格的數字填完，使得直行、橫列、對角線的三數都成等差數列。

4 2

0 1

6

3 2 圖 10.3-5

(44)

習題

10.3-8

群群下定決心要每天慢跑健身，第 1天跑 8 公里，之後每天多跑 1.2公里。即第 2天跑 9.2公里，第 3天跑 10.4 公里。請問在第幾天開始，群群當天跑步的距離會超過15 公里？

(45)

第十章綜合習題

習題

1：

(1) 哥哥為運動會練習跑步，一共跑了 5 天，每天都固定跑 1000公尺，

每天的跑步距離累計，依照順序排列出來，應如何表示？

(2) 工人刷油漆，一共花了 8 天，每天都固定刷 120 平方公尺，每天刷油漆的面積累計，依照順序排列出來，應如何表示？

習題

2：

(1) 有一等差數列，首項為 8，公差為－ 2，試求此等差數列的第 10 項。

(2) 有一等差數列，首項為 17 ，末項為 59 ，公差為 3，請問此數列有幾項？

(3) 有一等差數列： 18 、⁴^x^² 、⁵^x^¹⁰ ，試求 x 之值。

(4) 有一等差數列，首項為 19 ，第 5項為 3，試求此等差數列的公差。

(5) 有一等差數列，第 8項為 42 ，公差 3，試求此等差數列的首項。

習題

3：

習題

4：

(1) 已知有 5個連續偶數成等差數列 ( 由小而大 ) ，且此 5數和為 90 ，試求此 5數。

(2) 已知有 5個連續奇數成等差數列 ( 由小而大 ) ，且此 5數和為 115 ，試求此 5數。

習題

5：

從^⁸ 、

 2

、

2

、

4

四個數中刪掉一個數，剩下的三個數由小而大，依序

(46)

有一等差數列，首項為 85 ，公差為^⁶ ，請問第幾項開始會小於0？

習題

7：

(1) 計算等差級數²^⁴^⁶^^^^^^^^⁹⁸^¹⁰⁰ 之和。

(2) 計算等差級數¹⁰^⁷^⁴^^^^^^^^⁽^¹³⁷⁾^⁽^¹⁴⁰⁾ 之和。

習題

8：

(1) 有一等差數列，首項為 8，公差為 4，試求前 10 項的和。

(2) 有一等差數列，首項為 2，第 5項為 38 ，試求第 8項到第 10 項的和。

(3) 有一等差數列，首項為 4，公差為^³ ，試求第 6項到第 10 項的和。

習題

9：

習題

10 ：

某四邊形，其四內角度數成等差數列，且最小角為 45 度，試求最大角之角度。

習題

11 ：

有一等差數列，第 3項為

 1

，第 7項為

 21

，試求下列問題：

(1) 第 5項為何？

(2) 首項及公差為何？

(47)

習題

12 ：

小育做數學練習題，第 1週每天練習 15 題，第 2週每天練習 18 題，第 3週每天練習 21 題，依此類推，每週都增加3題。請問在第幾週時，小育每天會練習 30 題？

習題

13 ：

某物體自高空落下，第 1 秒落下 4.9公尺，第 2 秒落下 14.7 公尺，第 3 秒落下 24.5 公尺 ... 即落下距離每秒增加 9.8公尺。請問：

習題

14 ：

有一條長 360 公里的高速公路，政府想在這條道路設匝道。路標 0公里處設第 1個匝道，路標 30 公里處設第 2個匝道，路標 60 公里處設第 3個匝道…依此類推，每隔 30 公里設 1個匝道，路標 360 公里處設最後1個匝道，請問這條高速公路共會有幾個匝道？

習題

15 ：

某球場共有 36 排座位，每一排都比前一排多 5個座位。若第 10 排有 65 個座位，請問 (1) 第 1排有幾個座位？ (2) 全場總共有幾個座位？

(48)

6 a b

c d e

f g 2

0 圖 10-1

習題

17 ：

小美開始存錢，第 1天原有 15 元，之後每天多存 4元。即第 2天有 19 元，

第 3天有 23 元。請問在第幾天開始，小美的錢會超過 60 元？

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代數第十章

目錄

第十章 等差數列...1

學習目標...1

10.1 節 等差數列...2

10.1 節 習題...15

10.2 節 等差級數...18

10.2 節 習題...31

10.3 節 等差數列的應用...33

10.3 節 習題...42

第十章綜合習題...45

基測與會考試題...50

習題解答...56

第十章 等差數列

學習目標

10.1節 等差數列

a

 97

10.1-1

10.1-1

10.1-2

10.1-2

10.1-3

10.1-3

10.1-4

10.1-4

10.1-5

10.1-5

 

 1

( 項數－ 1)× 公差

10.1-6

10.1-6

10.1-7

 

 1

 21

10.1-7

2 2 2 2

2

2

   

 

 



2





10.1-8

10.1-8

10.1-9

10.1-9

10.1-10

10.1-10

12

 24

10.1-11

10.1-11

4

10.1-12

10.1-12

10.1-13

10.1-14

10.1-14

10.1節 習題

10.1-1

10.1-2

10.1-3

10.1-4

10.1-5

10.1-6

10.1-7

10.1-8

10.1-9

10.1-10

10.1-11

10.1-12

10.1-13

第十章等差數列...1

10.1 節等差數列...2

10.1 節習題...15

10.2 節等差級數...18

10.2 節習題...31

10.3 節等差數列的應用...33

10.3 節習題...42

第十章等差數列

10.1節等差數列

^ ^

^ ¹

^ ^

^ ¹

10.1節習題

10.2節等差級數

^ ^

^ ¹

¹ ²⁰

^ ^

^ ¹

¹ ¹¹