代數第十章
目錄
第十章 等差數列...1
學習目標...1
10.1 節 等差數列...2
10.1 節 習題...15
10.2 節 等差級數...18
10.2 節 習題...31
10.3 節 等差數列的應用...33
10.3 節 習題...42
第十章綜合習題...45
基測與會考試題...50
習題解答...56
第十章 等差數列
等差數列在生活中隨處可見。例如我們小學時就數過的偶數:
2、 4、 6、 8、 10… ,數百元鈔票: 100 元、 200 元、 300 元、
400 元…。本章中我們將學習與等差數列有關的規則,並學習處理相關的應用問題。
學習目標
1. 能理解什麼是數列與等差數列。
2. 能夠計算等差數列的和。
3. 能處理等差數列的應用題。
10.1節 等差數列
生活中,我們經常可以看到一串數字排在一起。例如:
月份有 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10 、 11 、 12 , 共 12 個月。
本次班上數學段考, 1~ 9號的成績依序為:
90 、 85 、 88 、 96 、 82 、 75 、 63 、 97 、 80 分。
像這樣按順序排列的一串數,就稱為數列。
我們來看數列: 90 、 85 、 88 、 96 、 82 、 75 、 63 、 97 、 80 這串數列共有9個數字,我們稱這串數列有9項。
第 1個項,也稱為首項,我們記為a1 。第 1個項的數為 90 ,因此a1 90 。 第 2個項,我們記為a2 。第 2個項的數為 85 ,因此a2 85 。
第 3個項,我們記為a3 。第 3個項的數為 88 ,因此a3 88 。
依此類推,a4 96 、a5 82 、a6 75 、a7 63 、
a
8 97
、a9 80 。 數列的最後一項,也稱為末項,此數列的末項為 80 。接著我們再看另一個數列:
2、 4、 6、 8、 10 、 12 、 14 、 16 、 18 、 20
此數列每相鄰兩項之間,後項減前項的差都是 2。像這樣相鄰兩項之間有固定的差 之數列,稱為等差數列。
相鄰兩項間,固定的差我們稱為公差,公差常用 d 來代表。此數列的公差為 2,即
2
d 。
例題
10.1-1
(1)1 、 4、 7、 10 、 13 、 16 ,是否為等差數列?
(2)1 、 3、 9、 27 ,是否為等差數列?
詳解:
(1) 此數列相鄰兩項的後項減前項之差都是 3,為等差數列。
(2)312 、936,後項減前項之差不固定,非等差數列。
【練習】
10.1-1
例題
10.1-2
設某市計程車的計費自 70 元起跳,每一次跳 5元。依次寫出計費表上出現的 前 8個數。
詳解:
70 、 75 、 80 、 85 、 90 、 95 、 100 、 105 。
【練習】
10.1-2
假設小黑每天存 55 元,共存了 7天。若將小黑每天的存款總額依序排列出來,
應如何表示?
例題
10.1-3
爸爸練習慢跑,計畫第 1天慢跑 10 分鐘,第 2天慢跑 20 分鐘,第 3天慢跑 30 分鐘,以此類推, 7天的慢跑時間應如何表示?
詳解:
10 、 20 、 30 、 40 、 50 、 60 、 70 ( 分鐘 )
【練習】
10.1-3
小張練習跑步,一共跑了6天,每天都固定跑 800 公尺。若將小張每天的跑步 距離累計,依照順序排列出來,應如何表示?
例題
10.1-4
有一等差數列,首項為 5,公差為 4,試寫出此數列的前 5項。
詳解:
等差數列公差為 4,即後一項都比前一項多 4。
1 5 a
9 4
1 5
2 a d a
13 4
2 9
3a d a
17 4
3 13
4 a d
a
21 4
4 17
5 a d
a
因此此等差數列前 5項為: 5、 9、 13 、 17 、 21
【練習】
10.1-4
有一等差數列,首項為 4,公差為 6,試寫出此數列的前 5項。
例題
10.1-5
有一等差數列,首項為 10 ,公差為- 4,試寫出此數列的前 6項。
詳解:
等差數列公差為- 4,即後一項都比前一項多-4,也就是後一項都比前一項 少 4。
1 10 a
6 ) 4 (
1 10
2 a d
a
2 ) 4 (
2 6
3 a d
a
2 ) 4 (
3 2
4 a d
a
6 ) 4 ( ) 2
4 (
5 a d
a
10 ) 4 ( ) 6
5 (
6 a d
a
因此此等差數列前 6項為: 10 、 6、 2、- 2、- 6、- 10
【練習】
10.1-5
有一等差數列,首項為 12 ,公差為- 7,試寫出此數列的前 6項。
我們已經知道了等差數列的基本寫法,接著我們來看看,若是只知道首項、末項與 公差,是否能推得項數呢?
我們來將等差數列各項用首項與公差來表示:
d a a2 1
d a d d a d a
a3 2 ( 1 ) 12 d a d d a d a
a4 3 ( 12 ) 13 d a d d a d a
a5 4 ( 13 ) 14 d a d d a d a
a6 5 ( 14 ) 15
接著將各項所加公差的數量用項數來表示:
d a
a2 1(21) d a
a3 1(31) d a
a4 1(41) d a
a5 1(51) d a
a6 1 (61)
可以發現各項所加公差的數量,都是 ( 項數- 1) ,因此第 n 項an 可表示為
d n a
an 1( 1)
移項後可得:
1 1
d a n an
若是an 為末項,那麼我們就得到:末項=首項+
( 項數- 1)× 公差
移項得:項數= [(末項-首項 ) /公差 ] + 1例題
10.1-6
(1) 某等差數列,首項為 3,公差為 5,試求第 7項。
(2) 某等差數列,首項為- 2,公差為 4,試求第 6項。
(3) 某等差數列,首項為 7,公差為- 3,試求第 5項。
(4) 某等差數列,首項為 2,公差為 0.5,試求第 13 項。
詳解:
利用an a1(n1)d (1)a7 a1(71)d
5 ) 1 7 (
3
33
(2)a6
d a1(61)
4 ) 1 6 ( ) 2
(
18
(3)a5 a1(51)d ) 3 ( ) 1 5 (
7
5
(4)a13 a1(131)d 5 . 0 ) 1 13 (
2
8
【練習】
10.1-6
(1) 某等差數列,首項為 2,公差為 3,試求第 5項。
(2) 某等差數列,首項為- 6,公差為 7,試求第 8項。
(3) 某等差數列,首項為 0,公差為- 2,試求第 4項。
(4) 某等差數列,首項為 3,公差為 0.1,試求第 101 項。
例題
10.1-7
(1) 某等差數列,首項為 1,末項為 21 ,公差為 1,請問此數列有幾項?
(2) 某等差數列,首項為 2,末項為 102 ,公差為 2,請問此數列有幾項?
(3) 某等差數列,首項為 18 ,末項為 42 ,公差為 3,請問此數列有幾項?
(4) 某等差數列,首項為- 8,末項為 22 ,公差為 5,請問此數列有幾項?
詳解:
利用
1 1
d a n an
(1) n 21111
21
(2) n
2 1 2 102
51
(3) n 423181
9
(4) n
5 1 ) 8 ( 22
7
【練習】
10.1-7
(1) 某等差數列,首項為 4,末項為 28 ,公差為 4,請問此數列有幾項?
(2) 某等差數列,首項為 8,末項為 16 ,公差為 2,請問此數列有幾項?
(3) 某等差數列,首項為 1,末項為 31 ,公差為 3,請問此數列有幾項?
(4) 某等差數列,首項為- 3,末項為 4,公差為 1,請問此數列有幾項?
接著我們來看看更多關於數列的名詞。
中項: 若一數列有3項,我們將中間項 ( 第 2項 ) 稱為其前一項與後一項的 中項。
例如有一數列2、 5、 7,則稱 5為 2與 7的中項。
等差中項:
若一等差數列有 3項,我們將中間項 ( 第 2項 ) 稱為其前一項 與後一項的等差中項。
例如有一等差數列 2、 5、 8,則稱 5為 2與 8的等差中項。
我們來看看如何求出等差中項。
若有一等差數列a1 、a2 、a3 ,公差為 d 。則我們知道:
d a a2 1
d a d a
a3 2 12
2 1
1 1
1 3 1
2 2 2 2
2
2
a a a d a d a d aa
亦即想求出a1 與a3 的等差中項a2 ,只要將a1 與a3 相加再除以2 即可:
2
3 1 2
a a a
奇數項: 一個數列中,項次為奇數的項,稱為奇數項。
例如有一等差數列 2、 5、 8、 11 、 14 、 17 ,則奇數項為 2、 8、 14 。
偶數項: 一個數列中,項次為偶數的項,稱為偶數項。
例如有一等差數列 2、 5、 8、 11 、 14 、 17 ,則偶數項為 5、 11 、 17 。
例題
10.1-8
有一等差數列: 18 、 x 、 44 ,試求 x 之值。
詳解:
x 即 18 和 44 的等差中項
2 31 62 2
44
18
x
【練習】
10.1-8
有一等差數列: 24 、 x 、 72 ,試求 x 之值。
例題
10.1-9
在一等差數列中,已知某兩項的等差中項為 6,且此兩項之積為 20 。 (1) 令此等差數列之公差為 d ,試用 d 表示此兩項。
(2) 求此兩項之值。
詳解:
(1) 此等差數列之公差為 d ,因此 6的後一項為6d ,前一項為6d 。 此兩項為6d 、6d 。
(2) 由兩項之積為 20 可列式:
20 ) 6 )(
6
( d d
2 16 d
4
d
4
d 時, 6的前一項為6 d 642 ,後一項為6 d 6410 。 數列為 2、 6、 10 。
4
d 時, 6的前一項為6 d 6(4)10 ,後一項為6 d 6(4)2 。 數列為 10 、 6、 2。
此兩項為 2和 10 。
【練習】
10.1-9
在一等差數列中,已知某兩項的等差中項為 10 ,且此兩項之積為 91 。 (1) 令此等差數列之公差為 d ,試用 d 表示此兩項。
瞭解了等差數列的各種基本觀念後,接著讓我們來看看各種變化題型。
例題
10.1-10
在一等差數列中,第一項為18 ,第六項為48 ,試求此等差數列的公差。
詳解:
利用an a1(n1)d
d a
a6 1(61) d ) 1 6 ( 18 48
d 5 30
6 d
得此數列公差為 6。
【練習】
10.1-10
在一等差數列中,第一項為
12
,第七項為 24
,試求此等差數列的公差。例題
10.1-11
在一等差數列中,第五項為32 ,公差7 ,試求此等差數列的首項。
詳解:
利用an a1(n1)d
d a
a5 1(51) 7 ) 1 5 ( 32 a1
28 32 a1
14 a
得此數列首項為 4。
【練習】
10.1-11
在一等差數列中,第九項為27 ,公差
4
,試求此等差數列的首項。例題
10.1-12
若在 0與 8之間,插入 4個數字,可使這些數字成等差數列 ( 包含 0與 8) 。試求此 4個數字。
詳解:
題目要使 0、 8與插入的 4個數字成等差數列,因此此數列共有 6項,首項
1 0
a 、a6 8,我們利用an a1(n1)d 來找出公差:
d a
a6 1 (61) d ) 1 6 ( 0 8
d 5 8
6 .
1 d
由d 1.6 可求出a2 1.6 、a3 3.2、a4 4.8 、a5 6.4。 因此插入的4個數字為 1.6、 3.2、 4.8、 6.4。
【練習】
10.1-12
若在 2與 11 之間,插入 3個數字,可使這些數字成等差數列 ( 包含 2與 11)。試求此 3個數字。
因為此 5數為連續整數,且排列由小而大,因此公差為 1。
設第 1個整數為a1 ,第 2個整數為a2 a11,第 3個整數為a3 a12 ,第 4個整數為a4 a13 ,第 5個整數為a5 a14 。
此 5數和為 95 ,可列式:
5 95
4 3 2
1a a a a a
95 ) 4 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 1
( 1 1 1 1
1 a a a a
a
95 10 5a1
19
12 a
117 a
18
1 1
2 a
a 、a3 a1219 、a4 a1320 、a5 a1421 因此 5個連續整數為 17 、 18 、 19 、 20 、 21 。
【練習】
10.1-13
已知有 5個連續整數成等差數列 ( 由小而大 ) ,且此 5數和為 105 ,試求此 5數。
例題
10.1-14
有一等差數列,首項為 7,公差為 12 ,請問第幾項開始會大於 100 ? 詳解:
本題要找數字大於 100 的項,當然我們可以用數的:
7、 19 、 31 、 43… ,但這方法在數字大時會很複雜,我們可以利用之前 學過的an a1(n1)d 來計算:
設第 n 項開始會大於 100 ,即an 100。
100 12 ) 1 (
7
n
an
100 12 12
7 n 105 12n
12
105 n
12 8 9
n
因為項數為整數,所以我們取n9 ,即第 9項開始會大於 100 。 我們來驗算看看
第 8項:a8 7(81)1291 第 9項:a9 7(91)12103 可確認在第9項開始會大於 100 。
【練習】
10.1-14
有一等差數列,首項為 7,公差為- 12 ,請問第幾項開始會小於- 100 ?
10.1節 習題
習題
10.1-1
(1)5 、 10 、 15 、 20 、 25 、 30 ,是否為等差數列?
(2)4 、 8、 12 、 16 ,是否為等差數列?
習題
10.1-2
設某市遊樂園的收費自基本費 100 元起跳,每多玩一種設施加收 20 元。依 次寫出收費表上出現的前5個數。
習題
10.1-3
妹妹開始存錢,計畫第 1天存 20 元,第 2天存 25 元,第 3天存 30 元,
以此類推,7天的存錢金額應如何表示?
習題
10.1-4
有一等差數列,首項為 2,公差為 5,試寫出此數列的前 5項。
習題
10.1-5
有一等差數列,首項為 5,公差為- 3,試寫出此數列的前 6項。
習題
10.1-6
(1) 某等差數列,首項為 4,公差為 2,試求第 6項。
(2) 某等差數列,首項為- 10 ,公差為 4,試求第 3項。
(3) 某等差數列,首項為 8,公差為- 1,試求第 6項。
(4) 某等差數列,首項為 100 ,公差為 0.1,試求第 101 項。
習題
10.1-7
(1) 某等差數列,首項為 5,末項為 35 ,公差為 2,請問此數列有幾項?
(2) 某等差數列,首項為 3,末項為 24 ,公差為 3,請問此數列有幾項?
(3) 某等差數列,首項為 10 ,末項為 46 ,公差為 4,請問此數列有幾項?
(4) 某等差數列,首項為- 5,末項為 15 ,公差為 4,請問此數列有幾項?
習題
10.1-8
有一等差數列: 16 、 x 、 80 ,試求 x 之值。
習題
10.1-9
在一等差數列中,已知某兩項的等差中項為 8,且此兩項之積為 48 。 (1) 令此等差數列之公差為 d ,試用 d 表示此兩項。
(2) 求此兩項之值。
習題
10.1-10
在一等差數列中,第一項為5,第八項為 26 ,試求此等差數列的公差。
習題
10.1-11
在一等差數列中,第 15 項為 40 ,公差 3,試求此等差數列的首項。
習題
10.1-12
若在 2與 8之間,插入 4個數字,可使這些數字成等差數列 ( 包含 2與 8) 。試求此 4個數字。
習題
10.1-13
已知有 5個連續整數成等差數列 ( 由小而大 ) ,且此 5數和為 90 ,試求此 5 數。
習題
10.1-14
有一等差數列,首項為 9,公差為 18 ,請問第幾項開始會大於 150 ?
10.2節 等差級數
前一節我們已經瞭解了等差數列,本節我們將學習求等差數列中各項的和。
設有一數列:a1、 a2、 a3、… an。
算式a1a2a3...an 稱為由此數列得到的級數,總和稱為級數和。習慣上常用符號 S 代表級數和。如果 a1、 a2、 a3、… an是等差數列,則由此得到的級數也可稱為 等差級數。
例題
10.2-1
計算等差級數1234567 之和。
詳解:
我們用基本的加法來計算,可得123456728 。
【練習】
10.2-1
計算等差級數24681012 之和。
在例題 10.2-1中,我們用基本的加法計算出了級數和。但若是題目的項數增加,例 如要計算12345...4950 ,就很難用基本的加法計算出答案。因此我們現在要 學一種能快速計算等差級數和的方法。
設有一等差數列: 1 、 2 、 3 、 4 、 5 、… 49 、 50 我們要計算等差級數之和:12345...4950
令S12345...4950
觀察一下可以發現,第一項與最後一項之和為:15051 ,第二項與倒數第二項之 和為:24951 ,第三項與倒數第三項之和為:34851。如圖 10.2-1之分組:
圖 10.2-1
各組合都是 51 ,我們可以利用這點來求出等差級數之和。
已知S12345...4950
當然我們也可以寫成S5049484746...21 將兩式相加:
S =
+
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 49+ 50
+ ) S =
+
50 + 49+ 48
+ 47 + 46
+ ... + 2
+ 1 2S
=
+
51 + 51+ 51
+ 51 + 51
+ ... + 51
+ 51 得到2S5151515151...5151 ,因為原數列1 ~ 50 共有 50 項,所以我們 可以輕鬆知道 2S 是 50 個 51 相加起來。即:
51 50 2S
2 51 50
S
1275 S
因此12345...49501275
接著我們再來看看,對於一般的等差數列a1、 a2、 a3、… an-1、 an ,如何求出 等差級數之和。
令S a1a2a3...an1an
仿照之前的作法, S 也可以寫成Sanan1an2 ...a2a1 再將兩種寫法相加:
S =
+
a1 + a2 + a3 + . ..+ an-1 + an
+ ) S =
+
an + an-1 + an-2 + . ..+ a2 + a1
2S = (a1 + an)
+ (a2 + an-1)
+ (a3
+ an-2)
+ . ..
+ (an-1
+ a2)
+ (an + a1)
在這裡,我們必須看看 a1+ an、 a2+ an-1、 a3+ an-2等各項是否相等。
利用前面學過的an a1(n1)d :
n
n a d a n d a d a nd d a a n d a a
a
a2 1( 1 )[ 1( 2) ] 1 1 2 1 1( 1) 1
n
n a d a n d a d a nd d a a n d a a
a
a3 2 ( 12 )[ 1( 3) ] 12 1 3 1 1( 1) 1
可知a1an a2an1a3an2
同理也可再推得 a1+ an與 an-1+ a2、 an+ a1等各項全都相等,因此我們將這 些項全都用a1+ an來表示:
) (
) (
...
) (
) (
) (
2S a1an a1an a1an a1an a1an
因為原本的數列 a1、 a2、 a3、… an-1 、 an 有 n 項,因此 2S 也有 n 個 a1
+ an。
2S 可表示為:
n a a
S( n)
2 1
化簡得
2
) (
a1 a nS
n
於是我們知道等差級數之和
2 ) (
a1 a nS
n
即等差數列首項與末項相加,乘以項數後再除以 2,就能得到等差級數之和。
例題
10.2-2
計算等差級數1234...99100 之和。
詳解:
利用等差級數和公式
2 ) (
a1 a n S
n
設此數列有 n 項。首項a1 1 、末項an 100 、項數為n 100 。
S 2
100 ) 100 1
(
2 101100
2 10100
5050
得等差級數1234...99100 之和為 5050 。
【練習】
10.2-2
計算等差級數1234...199200 之和。
例題
10.2-3
計算等差級數3579...3941 之和。
詳解:
設此數列有 n 項。可先利用
1 1
d a
n an 求出項數。
首項a1 3 、末項an 41、公差d 532
項數
1 20
2 3 1 41
1
da n an
得項數n20 ,接著再利用等差級數和公式
2 ) (
a1 a nS
n
求出等差級數之和。S 2
20 ) 41 3
(
2 20 44
440
得等差級數3579...3941 之和為 440。
【練習】
10.2-3
計算等差級數10131619...4346 之和。
例題
10.2-4
計算等差級數73(1)(5)...(29)(33) 之和。
詳解:
設此數列有 n 項。可先利用
1 1
d a
n an 求出項數。
首項a1 7 、末項an 33 、公差d 374
項數
1 11
4 7 ) 33 1 (
1
d a n an得項數n11 ,接著再利用等差級數和公式
2 ) (
a1 a nS
n
求出等差級數之和。S 2
11 )) 33 ( 7
(
2 11 ) 26 (
143
得等差級數73(1)(5)...(29)(33) 之和為- 143。
【練習】
10.2-4
計算等差級數5(2)(9)(16)...(86)(93) 之和。
例題
10.2-5
有一等差數列,首項為 6,公差為 8,試求前 15 項的和。
詳解:
題目要求前 15 項的和,我們已知首項,卻不知末項 ( 第 15 項 ) ,因此本題 需先利用an a1(n1)d 求出第 15 項。
118 8 14 6 ) 1 15
1 (
15 a d
a
得a15 118 ,接下來就可利用等差級數和公式
2 ) (
a1 a nS
n
求出前 15 項之和。首項a1 6 、末項a15 118 、項數n15
S 2
15 ) 118 6
(
2 15 124
930
得前 15 項的和為 930。
【練習】
10.2-5
有一等差數列,首項為 5,公差為- 3,試求前 23 項的和。
例題
10.2-6
有一等差數列,第 7項為 35 ,公差為 6,試求第 1項到第 15 項的和。
詳解:
題目要求第1項到第 15 項的和,我們需要先找出第1項、第 15 項才能計算。
先利用an a1(n1)d 找出第 1項與第 15 項
d a
a7 1(71) 6 ) 1 7 (
35 a1
1 1 a
d a
a15 1(151) 6 ) 1 15 ( ) 1
15 (
a
15 83 a
利用等差級數和公式
2 ) (
a1 a nS
n
求出第 1項到第 15 項的和。S 2
15 ) 83 ) 1
((
2 15 82
615
得第 1項到第 15 項的和為 615。
【練習】
10.2-6
有一等差數列,第 9項為 35 ,公差為 3,試求第 1項到第 13 項的和。
例題
10.2-7
有一等差數列,首項為-6,公差為 7,試求第 7項到第 10 項的和。
詳解:
題目要求第7項到第 10 項的和,我們需要先找出第7項、第 10 項才能計算。
先利用an a1(n1)d 找出第 7項與第 10 項
d a
a7 1(71) 7 ) 1 7 ( ) 6
7 (
a
7 36 a
d a
a10 1(101) 7 ) 1 10 ( ) 6
10 (
a
10 57 a
利用等差級數和公式
2 ) (
a1 a nS
n
求出第 7項到第 10 項的和。S 2
4 ) 57 36
(
( 第 7項到第 10 項共有 4項 )
2 934
186
得第 7項到第 10 項的和為 186。
【練習】
10.2-7
有一等差數列,首項為- 12 ,公差為 9,試求第 10 項到第 15 項的和。
例題
10.2-8
有一等差數列,首項為 3,第 6項為 18 ,前 n 項之和為 135 ,試求 n 。 詳解:
先利用首項為3,第 6項為 18 ,找出此數列的公差
d a
a6 1(61) d 5 3 18
3 d
得到公差d 3 ,因此第 n 項可表示為:an a1(n1)d 3(n1)3 前 n 項之和為 135 ,利用等差級數和公式
2 ) (
a1 a nS
n
可知:2 ) 3
135 (
an
n2 ) 3 ) 1 ( 3 3
135 ( n n ( 利用an 3(n1)3 )
2 ) 3 3 3 3
135 ( n n
2 3 135 3
n2
n
270 3
3n2 n 0
2 n90 n
0 ) 9 )(
10
(n n ( 利用十字交乘 )
9 ,
10
n
但因為項數沒有負數,故n10 不合,因此項數n9 。
【練習】
10.2-8
有一等差數列,首項為 7,第 5項為 35 ,前 n 項之和為 385 ,試求 n 。
例題
10.2-9
有一等差數列2、 5、 8、 11 、 14 、 17 、 20 、 23 、 26 。試 求:
(1) 奇數項之和。
(2) 偶數項之和。
詳解:
(1) 奇數項是項次為奇數的項,因此奇數項為2、 8、 14 、 20 、 26 。 可視為首項為2,末項為 26 ,共 5項公差為 6的等差數列。
利用等差級數和公式
2 ) (
a1 a nS
n
計算奇數項之和S 2
5 ) 26 2
(
70
得奇數項之和為 70 。
(2) 偶數項是項次為偶數的項,因此偶數項為5、 11 、 17 、 23 。 可視為首項為5,末項為 23 ,共 4項公差為 6的等差數列。
利用等差級數和公式
2 ) (
a1 a nS
n
計算奇數項之和S 2
4 ) 23 5
(
56
得偶數項之和為 56 。
【練習】
10.2-9
有一等差數列-3、 2、 7、 12 、 17 、 22 、 27 、 32 、 37 。試求:
(1) 奇數項之和。
(2) 偶數項之和。
例題
10.2-10
有一等差數列,共有 8項,若奇數項之和為 52 ,偶數項之和為 60 。試求:
(1) 此等差數列各項之和。
(2) 此等差數列之公差。
詳解:
(1) 此等差數列有8項,設此數列為:a1 、a2 、a3 、a4 、a5 、a6 、a7 、
a8 。
則奇數項數列為:a1 、a3 、a5 、a7 ,且a1a3a5a752 。 偶數項數列為:a2 、a4 、a6 、a8 ,且a2a4a6a8 60 。 此等差數列各項之和 a1a2a3a4a5a6a7a8
) (
)
(a1a3a5a7 a2a4a6a8
60 52
112
得此等差數列各項之和為 112 。
(2) 要求此等差數列之公差,我們可以將偶數項之和減去奇數項之和。
偶數項之和-偶數項之和=60 - 52
52 60 ) (
)
(a2a4a6a8 a1a3a5a7 52
7 60
5 3 1 8 6 4
2a a a a a a a a
52
7 60
8 5 6 3 4 1
2a a a a a a a a
8 ) (
) (
) (
)
(a2a1 a4a3 a6 a5 a8a7
8
d d d
d (後一項減前一項為公差,令公差為 d)
8 4d
2 d
得此等差數列之公差為 2。
【練習】
10.2-10
有一等差數列,共有 10 項,若奇數項之和為 42 ,偶數項之和為 37 。試求:
10.2節 習題
習題
10.2-1
計算等差級數12345678910 之和。
習題
10.2-2
計算等差級數1234...4950 之和。
習題
10.2-3
計算等差級數681012...8890 之和。
習題
10.2-4
計算等差級數83(2)(7)...(42)(47) 之和。
習題
10.2-5
有一等差數列,首項為 7,公差為 3,試求前 18 項的和。
習題
10.2-6
有一等差數列,第 8項為 47 ,公差為 6,試求第 1項到第 14 項的和。
習題
10.2-8
有一等差數列,首項為 1,第 5項為 29 ,前 n 項之和為 396 ,試求 n 。
習題
10.2-9
有一等差數列- 8 、- 2 、 4 、 10 、 16 、 22 、 28 ,試求其奇數 項之和。
習題
10.2-10
有一等差數列,共有 12 項,若奇數項之和為 72 ,偶數項之和為 60 ,試求 此等差數列之公差。
10.3節 等差數列的應用
本節中我們將把前面學到的等差數列觀念,應用在各種題目中。
例題
10.3-1
某三角形,其三內角度數成等差數列,且最小角為 40 度,試求最大角之角度。
詳解:
三內角度數成等差數列,設公差為 d 。最小角為 40 度,則另外兩角可表示為
) 40
( d 度、(402d) 度。
由三角形三內角和為 180 度可列式:
180 ) 2 40 ( ) 40 (
40 d d 180
3 120 d
20 d
因此另外兩角角度為402060 ( 度 ) 、4020280 ( 度 ) 最大角為 80 度。
【練習】
10.3-1
某三角形,其三內角度數成等差數列,且最大角為 90 度,試求最小角之角度。
例題
10.3-2
小文下定決心開始運動減肥,第 1週每天運動 20 分鐘,第 2週每天運動 25 分鐘,第 3週每天運動 30 分鐘,依此類推,每週都增加 5分鐘。請問在第幾 週時,小文每天會運動 70 分鐘?
詳解:
因為每週都增加 5分鐘,我們將每週每天的運動時間視為等差數列。
第 1週每天運動視為第 1項,即a1 20 。 每週都增加5分鐘,因此公差d 5 。
題目想求第幾週每天會運動70 分鐘,即第幾項會變成 70 。 設第 n 項為 70 ,利用an a1(n1)d
5 ) 1 ( 20
70 n 5 5 20 70 n
55 5n
11 n
第 11 項為 70 ,即在第 11 週時,小文每天會運動 70 分鐘。
【練習】
10.3-2
小哲下定決心開始存錢,現在小哲總存款有 100 元,每天存 5元。即第 1天 存錢後,總存款有 105 元。第 2天存錢後,總存款有 110 元,依此類推。
請問在第幾天時,小哲總存款會有 255 元? ( 中途小哲都沒有把存款花掉 )
例題
10.3-3
某物體自高空落下,第 1秒落下 4.9公尺,第 2秒落下 14.7 公尺,第 3秒落 下 24.5 公尺 ... 即落下距離每秒增加 9.8公尺。請問:
(1) 第 50 秒落下多少公尺?
(2)1 ~ 50 秒總共落下多少公尺?
詳解:
因為落下距離每秒增加 9.8公尺,因此每秒落下距離可視為等差數列。
第 1秒落下距離視為第 1項,即a1 4.9 。 每秒都增加9.8公尺,因此公差d 9.8 。
(1) 求第 50 秒落下的距離,即a50 之值。
a50 a1(501)d 8 . 9 ) 1 50 ( 9 .
4
1 .
485
得第 50 秒落下 485.1 公尺。
(2)1 ~ 50 秒總共落下多少公尺,即a1 到a50 之和。
S
2
50 ) (
1
50
a a2
50 ) 1 . 485 9 . 4
(
12250
得第 1~ 50 秒共落下 12250 公尺。
【練習】
10.3-3
某物體自高空落下,第 1秒落下 4.9公尺,第 2秒落下 14.7 公尺,第 3秒落 下 24.5 公尺 ... 即落下距離每秒增加 9.8公尺。請問:
(1) 第 60 秒落下多少公尺?
(2)1 ~ 60 秒總共落下多少公尺?
例題
10.3-4
有一條長 540 公尺的道路,工人想在這條道路一旁裝設路燈。路標 0公尺處裝 第 1個,路標 15 公尺處裝第 2個,路標 30 公尺處裝第 3個…依此類推,每 隔 15 公尺裝 1個路燈,路標 540 公尺處裝最後1個,請問這條道路共會裝多 少個路燈?
詳解:
因為每隔 15 公尺裝 1個路燈,我們可以將路燈的路標位置看成等差數列。
每隔 15 裝 1個路燈,即公差d15 。 第 1個路燈在路標0公尺處,即a1 0 。 第 2個路燈在路標 15 公尺處,即a2 15 。 設第 n 個路燈在路標 540 公尺處,即an 540 。 我們利用an a1(n1)d 來求 n 之值。
15 ) 1 ( 0 540 n
15 15 540 n
37 n
即路標 540 公尺處是第 37 個路燈,因此這條道路總共有 37 個路燈。
【練習】
10.3-4
有一條長 336 公尺的道路,鎮公所想在這條道路一旁擺放花盆。路標0公尺處 擺第 1個,路標 16 公尺擺裝第 2個,路標 32 公尺處擺第 3個…依此類推,
每隔 16 公尺擺 1個花盆,路標 336 公尺處擺最後1個,請問這條道路共會擺 多少個花盆?
例題
10.3-5
某間音樂廳共有 28 排座位,每一排都比前一排多 2個座位。若第 28 排有 80 個座位,請問第 1排有幾個座位?
詳解:
每一排都比前一排多 2個座位,我們可以將每排座位數量看成等差數列。
每一排都比前一排多 2個座位,即公差d 2 。 第 28 排有 80 個座位,即a28 80 。
我們利用an a1(n1)d 來求a1 ,也就是第1排的座位數量。
2 ) 1 28 ( 80 a1
54 80 a1
1 26 a
得到第 1排座位有 26 個。
【練習】
10.3-5
某間演藝廳共有 24 排座位,每一排都比前一排多 3個座位。若第 16 排有 81 個座位,請問第 1排有幾個座位?
例題
10.3-6
某間音樂廳共有 1484個座位,每一排都比前一排多 2個座位。若第1排有 26 個座位,請問這間音樂廳共有幾排座位?
詳解:
每一排都比前一排多 2個座位,我們可以將每排座位數量看成等差數列。
每一排都比前一排多 2個座位,即公差d 2 。 第 1排有 26 個座位,即a1 26 。
設共有 n 排,最後一排座位數量an a1(n1)d 262(n1)242n 音樂廳共有1484個座位,我們利用等差級數和公式找出 n 值。
2 ) (
a1 a n S
n
2 )) 2 24 ( 26
1484( n n
2 ) 2 50
1484 ( n n
25 2
1484 nn 0 1484
225n
n
0 ) 53 )(
28
(n n 53 , 28
n ( 排數為正數,負不合 ) 這間音樂廳共有 28 排座位。
【練習】
10.3-6
某間演藝廳共有 1020個座位,每一排都比前一排多 3個座位。若第1排有 36 個座位,請問這間音樂廳共有幾排座位?
例題
10.3-7
圖 10.3-1為一個九宮格,試將空格的數字填完,使得直行、橫列、對角線的三 數都成等差數列。
1 4
1 0 2
0
1 6 圖 10.3-1 詳解:
我們將各空格填入代號,如圖 10.3-2。
1
4 A 1 0 B C D
2
0 E 1 6 圖 10.3-2
因為直行、橫列、對角線的三數都成等差數列,所以中間的數為旁邊兩數的等差 中項。因此可得:
2 12 10 14
A
2 17 20 14
B
2 15 16 14
C
2 13 16 10
D
2 18 16 20
E
完成九宮格如圖 10.3-3
1 4
1 2
1 0 1
7 1 5
1 3
【練習】
10.3-7
圖 10.3-4 為一個九宮格,試將空格的數字填完,使得直行、橫列、對角線的三數都成等差數列。
1
8 6
3 2
2 0 圖 10.3-4
例題
10.3-8
小文下定決心要每天慢跑健身,第 1天跑 5公里,之後每天多跑 0.6公里。即 第 2天跑 5.6公里,第 3天跑 6.2公里。請問在第幾天開始,小文當天跑步 的距離會超過12 公里?
詳解:
因為每天都多跑 0.6公里,我們可以將每天跑的距離看成等差數列。
第 1項即第 1天跑的距離,a1 5 。 每天多跑 0.6公里,因此公差d 0.6 。
設第 n 天後,跑步的總距離會超過12 公里。
即 an 12
12 ) 1
1(n d
a (an a1(n1)d )
12 6 . 0 ) 1 (
5 n 12 6 . 0 4 .
4 n 6 . 7 6 . 0 n
10 76 10
6 n
3 122 3 38 6 10 10
76
n
即第 13 天跑步距離會超過 12 公里。我們可以驗算看看第 12 天與第 13 天 的跑步距離:a12 5(121)0.611.6 、a13 5(131)0.612.2
可確認是第 13 天開始,跑步距離超過 12 公里。
【練習】
10.3-8
小軒想培養讀書的好習慣,每天都讀數頁的書。第 1天讀 10 頁,之後每天多 讀 3頁。即第 2天讀 13 頁,第 3天讀 16 頁。請問在第幾天開始,小軒一 天讀的頁數會超過 50 頁?
10.3節 習題
習題
10.3-1
某三角形,其三內角度數成等差數列,且最小角為 10 度,試求最大角之角度。
習題
10.3-2
小新下定決心開始游泳訓練,第 1 週每天游 25 公尺,第 2 週每天游 35 公尺,
第 3週每天游 45 公尺,依此類推,每週都增加 10 公尺。請問在第幾週時,
小新每天會游95 公尺?
習題
10.3-3
某物體自高空落下,第 1 秒落下 4.9公尺,第 2 秒落下 14.7 公尺,第 3 秒落 下 24.5 公尺 ... 即落下距離每秒增加 9.8公尺。請問:
(1) 第 30 秒落下多少公尺?
(2)1 ~ 30 秒總共落下多少公尺?
習題
10.3-4
有一條長 232 公尺的道路,工人想在這條道路一旁種樹。路標 0公尺處種第 1 棵,路標 8 公尺處種第 2 棵,路標 16 公尺處種第 3 棵…依此類推,每隔 8 公 尺種 1棵樹,路標 232 公尺處種最後1棵,請問這條道路共會種多少棵樹?
習題
10.3-5
學校大禮堂共有 50 排座位,每一排都比前一排多 4 個座位。若第 15 排有 92 個座位,請問第 1排有幾個座位?
某間音樂廳共有 1320個座位,每一排都比前一排多 2 個座位。若第 1 排有 15 個座位,請問這間音樂廳共有幾排座位?
習題
10.3-7
圖 10.3-5 為一個九宮格,試將空格的數字填完,使得直行、橫列、對角線的三數都成等差數列。
4 2
0 1
6
3 2 圖 10.3-5
習題
10.3-8
群群下定決心要每天慢跑健身,第 1天跑 8 公里,之後每天多跑 1.2公里。即 第 2天跑 9.2公里,第 3天跑 10.4 公里。請問在第幾天開始,群群當天跑步 的距離會超過15 公里?
第十章綜合習題
習題
1:
(1) 哥哥為運動會練習跑步,一共跑了 5 天,每天都固定跑 1000公尺,
每天的跑步距離累計,依照順序排列出來,應如何表示?
(2) 工人刷油漆,一共花了 8 天,每天都固定刷 120 平方公尺,每天刷油 漆的面積累計,依照順序排列出來,應如何表示?
習題
2:
(1) 有一等差數列,首項為 8,公差為- 2,試求此等差數列的第 10 項。
(2) 有一等差數列,首項為 17 ,末項為 59 ,公差為 3,請問此數列有幾項?
(3) 有一等差數列: 18 、4x2 、5x10 ,試求 x 之值。
(4) 有一等差數列,首項為 19 ,第 5項為 3,試求此等差數列的公差。
(5) 有一等差數列,第 8項為 42 ,公差 3,試求此等差數列的首項。
習題
3:
在一等差數列中,已知某兩項的等差中項為 7,且此兩項之積為 40 。 (1) 令此等差數列之公差為 d ,試用 d 表示此兩項。
(2) 求此兩項之值。
習題
4:
(1) 已知有 5個連續偶數成等差數列 ( 由小而大 ) ,且此 5數和為 90 ,試求 此 5數。
(2) 已知有 5個連續奇數成等差數列 ( 由小而大 ) ,且此 5數和為 115 ,試 求此 5數。
習題
5:
從8 、
2
、2
、4
四個數中刪掉一個數,剩下的三個數由小而大,依序有一等差數列,首項為 85 ,公差為6 ,請問第幾項開始會小於0?
習題
7:
(1) 計算等差級數24698100 之和。
(2) 計算等差級數1074(137)(140) 之和。
習題
8:
(1) 有一等差數列,首項為 8,公差為 4,試求前 10 項的和。
(2) 有一等差數列,首項為 2,第 5項為 38 ,試求第 8項到第 10 項的和。
(3) 有一等差數列,首項為 4,公差為3 ,試求第 6項到第 10 項的和。
習題
9:
有一等差數列,首項為 6,第 3項為 16 ,前 n 項之和為 188 ,試求 n 。
習題
10 :
某四邊形,其四內角度數成等差數列,且最小角為 45 度,試求最大角之角度。
習題
11 :
有一等差數列,第 3項為
1
,第 7項為 21
,試求下列問題:(1) 第 5項為何?
(2) 首項及公差為何?
習題
12 :
小育做數學練習題,第 1週每天練習 15 題,第 2週每天練習 18 題,第 3週 每天練習 21 題,依此類推,每週都增加3題。請問在第幾週時,小育每天會練 習 30 題?
習題
13 :
某物體自高空落下,第 1 秒落下 4.9公尺,第 2 秒落下 14.7 公尺,第 3 秒落 下 24.5 公尺 ... 即落下距離每秒增加 9.8公尺。請問:
(1) 第 10 秒落下多少公尺?
(2)1 ~ 10 秒總共落下多少公尺?
習題
14 :
有一條長 360 公里的高速公路,政府想在這條道路設匝道。路標 0公里處設第 1個匝道,路標 30 公里處設第 2個匝道,路標 60 公里處設第 3個匝道…依此 類推,每隔 30 公里設 1個匝道,路標 360 公里處設最後1個匝道,請問這條 高速公路共會有幾個匝道?
習題
15 :
某球場共有 36 排座位,每一排都比前一排多 5個座位。若第 10 排有 65 個 座位,請問 (1) 第 1排有幾個座位? (2) 全場總共有幾個座位?
6 a b
c d e
f g 2
0 圖 10-1
習題
17 :
小美開始存錢,第 1天原有 15 元,之後每天多存 4元。即第 2天有 19 元,
第 3天有 23 元。請問在第幾天開始,小美的錢會超過 60 元?