節 等差數列的應用

本節中我們將把前面學到的等差數列觀念，應用在各種題目中。

例題

10.3-1

某三角形，其三內角度數成等差數列，且最小角為 40 度，試求最大角之角度。

詳解：

三內角度數成等差數列，設公差為 d 。最小角為 40 度，則另外兩角可表示為

) 40

( d 度、^(402d) 度。

由三角形三內角和為 180 度可列式：

180 ) 2 40 ( ) 40 (

40 d   d  180

3 120 d 

20 d

因此另外兩角角度為^402060 ( 度 ) 、^{4020280} ( 度 ) 最大角為 80 度。

【練習】

10.3-1

某三角形，其三內角度數成等差數列，且最大角為 90 度，試求最小角之角度。

例題

10.3-2

小文下定決心開始運動減肥，第 1週每天運動 20 分鐘，第 2週每天運動 25 分鐘，第 3週每天運動 30 分鐘，依此類推，每週都增加 5分鐘。請問在第幾 週時，小文每天會運動 70 分鐘？

詳解：

因為每週都增加 5分鐘，我們將每週每天的運動時間視為等差數列。

第 1週每天運動視為第 1項，即a1 ²⁰ 。 每週都增加5分鐘，因此公差^{d 5} 。

題目想求第幾週每天會運動70 分鐘，即第幾項會變成 70 。 設第 n 項為 70 ，利用^{an a1(n1)d}

5 ) 1 ( 20

70  n  5 5 20 70  n

55 5n

11 n

第 11 項為 70 ，即在第 11 週時，小文每天會運動 70 分鐘。

【練習】

10.3-2

小哲下定決心開始存錢，現在小哲總存款有 100 元，每天存 5元。即第 1天 存錢後，總存款有 105 元。第 2天存錢後，總存款有 110 元，依此類推。

請問在第幾天時，小哲總存款會有 255 元？ ( 中途小哲都沒有把存款花掉 )

例題

10.3-3

例題

10.3-4

有一條長 540 公尺的道路，工人想在這條道路一旁裝設路燈。路標 0公尺處裝 第 1個，路標 15 公尺處裝第 2個，路標 30 公尺處裝第 3個…依此類推，每 隔 15 公尺裝 1個路燈，路標 540 公尺處裝最後1個，請問這條道路共會裝多 少個路燈？

詳解：

因為每隔 15 公尺裝 1個路燈，我們可以將路燈的路標位置看成等差數列。

每隔 15 裝 1個路燈，即公差^d15 。 第 1個路燈在路標0公尺處，即a1 ⁰ 。 第 2個路燈在路標 15 公尺處，即a2 ¹⁵ 。 設第 n 個路燈在路標 540 公尺處，即^{an 540} 。 我們利用^{an a1(n1)d} 來求 n 之值。

15 ) 1 ( 0 540  n

15 15 540 n

37 n

即路標 540 公尺處是第 37 個路燈，因此這條道路總共有 37 個路燈。

【練習】

10.3-4

有一條長 336 公尺的道路，鎮公所想在這條道路一旁擺放花盆。路標0公尺處 擺第 1個，路標 16 公尺擺裝第 2個，路標 32 公尺處擺第 3個…依此類推，

每隔 16 公尺擺 1個花盆，路標 336 公尺處擺最後1個，請問這條道路共會擺 多少個花盆？

例題

10.3-5

某間音樂廳共有 28 排座位，每一排都比前一排多 2個座位。若第 28 排有 80 個座位，請問第 1排有幾個座位？

詳解：

每一排都比前一排多 2個座位，我們可以將每排座位數量看成等差數列。

每一排都比前一排多 2個座位，即公差^{d 2} 。 第 28 排有 80 個座位，即^{a28 80} 。

我們利用^{an a1(n1)d} 來求a1 ，也就是第1排的座位數量。

2 ) 1 28 ( 80 a₁  

54 80 a₁

1 26 a

得到第 1排座位有 26 個。

【練習】

10.3-5

某間演藝廳共有 24 排座位，每一排都比前一排多 3個座位。若第 16 排有 81 個座位，請問第 1排有幾個座位？

例題

10.3-6

例題

10.3-7

【練習】

10.3-7

10.3節 習題

習題

10.3-1

某三角形，其三內角度數成等差數列，且最小角為 10 度，試求最大角之角度。

習題

10.3-2

小新下定決心開始游泳訓練，第 1 週每天游 25 公尺，第 2 週每天游 35 公尺，

第 3週每天游 45 公尺，依此類推，每週都增加 10 公尺。請問在第幾週時，

小新每天會游95 公尺？

習題

10.3-3

某物體自高空落下，第 1 秒落下 4.9公尺，第 2 秒落下 14.7 公尺，第 3 秒落 下 24.5 公尺 ... 即落下距離每秒增加 9.8公尺。請問：

(1) 第 30 秒落下多少公尺？

(2)1 ～ 30 秒總共落下多少公尺？

習題

10.3-4

有一條長 232 公尺的道路，工人想在這條道路一旁種樹。路標 0公尺處種第 1 棵，路標 8 公尺處種第 2 棵，路標 16 公尺處種第 3 棵…依此類推，每隔 8 公 尺種 1棵樹，路標 232 公尺處種最後1棵，請問這條道路共會種多少棵樹？

習題

10.3-5

學校大禮堂共有 50 排座位，每一排都比前一排多 4 個座位。若第 15 排有 92 個座位，請問第 1排有幾個座位？

某間音樂廳共有 1320個座位，每一排都比前一排多 2 個座位。若第 1 排有 15 個座位，請問這間音樂廳共有幾排座位？

習題

10.3-7

圖 10.3-5 為一個九宮格，試將空格的數字填完，使得直行、橫列、對角線的三數都成等差數列。

4 2

0 1

6

3 2 圖 10.3-5

習題

10.3-8

群群下定決心要每天慢跑健身，第 1天跑 8 公里，之後每天多跑 1.2公里。即 第 2天跑 9.2公里，第 3天跑 10.4 公里。請問在第幾天開始，群群當天跑步 的距離會超過15 公里？