節 等差數列

生活中，我們經常可以看到一串數字排在一起。例如：

月份有 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10 、 11 、 12 ， 共 12 個月。

本次班上數學段考， 1～ 9號的成績依序為：

90 、 85 、 88 、 96 、 82 、 75 、 63 、 97 、 80 分。

像這樣按順序排列的一串數，就稱為數列。

我們來看數列： 90 、 85 、 88 、 96 、 82 、 75 、 63 、 97 、 80 這串數列共有9個數字，我們稱這串數列有9項。

第 1個項，也稱為首項，我們記為a1 。第 1個項的數為 90 ，因此a1 ⁹⁰ 。 第 2個項，我們記為a2 。第 2個項的數為 85 ，因此a2 ⁸⁵ 。

第 3個項，我們記為a3 。第 3個項的數為 88 ，因此a3 ⁸⁸ 。

依此類推，a4 ⁹⁶ 、^{a5 82} 、^{a6 75} 、^{a7 63} 、^{a8 87} 、^{a9 80} 。 數列的最後一項，也稱為末項，此數列的末項為 80 。

接著我們再看另一個數列：

2、 4、 6、 8、 10 、 12 、 14 、 16 、 18 、 20

此數列每相鄰兩項之間，後項減前項的差都是 2。像這樣相鄰兩項之間有固定的差 之數列，稱為等差數列。

相鄰兩項間，固定的差我們稱為公差，公差常用 d 來代表。此數列的公差為 2，即

2

d 。

例題

10.1-1

(1)1 、 4、 7、 10 、 13 、 16 ，是否為等差數列？

(2)1 、 3、 9、 27 ，是否為等差數列？

詳解：

(1) 此數列相鄰兩項的後項減前項之差都是 3，為等差數列。

(2)^312 、^936，後項減前項之差不固定，非等差數列。

【練習】

10.1-1

(1)2 、 4、 8、 16 、 32 、 64 ，是否為等差數列？

設某市計程車的計費自 70 元起跳，每一次跳 5元。依次寫出計費表上出現的 前 8個數。

詳解：

70 、 75 、 80 、 85 、 90 、 95 、 100 、 105 。

【練習】

10.1-2

假設小黑每天存 55 元，共存了 7天。若將小黑每天的存款總額依序排列出來，

應如何表示？

例題

10.1-3

爸爸練習慢跑，計畫第 1天慢跑 10 分鐘，第 2天慢跑 20 分鐘，第 3天慢跑 30 分鐘，以此類推， 7天的慢跑時間應如何表示？

詳解：

10 、 20 、 30 、 40 、 50 、 60 、 70 ( 分鐘 )

【練習】

10.1-3

小張練習跑步，一共跑了6天，每天都固定跑 800 公尺。若將小張每天的跑步 距離累計，依照順序排列出來，應如何表示？

例題

10.1-4

有一等差數列，首項為 5，公差為 4，試寫出此數列的前 5項。

詳解：

等差數列公差為 4，即後一項都比前一項多 4。

1 5 a

9 4

1 5

2 a d    a

13 4

2 9

3a d   a

17 4

3 13

4 a d  

a

21 4

4 17

5 a d   

a

因此此等差數列前 5項為： 5、 9、 13 、 17 、 21

【練習】

10.1-4

有一等差數列，首項為 4，公差為 6，試寫出此數列的前 5項。

例題

10.1-5

我們已經知道了等差數列的基本寫法，接著我們來看看，若是只知道首項、末項與

例題

10.1-6

例題

10.1-7

(1) 某等差數列，首項為 1，末項為 21 ，公差為 1，請問此數列有幾項？

(2) 某等差數列，首項為 2，末項為 102 ，公差為 2，請問此數列有幾項？

(3) 某等差數列，首項為 18 ，末項為 42 ，公差為 3，請問此數列有幾項？

(4) 某等差數列，首項為－ 8，末項為 22 ，公差為 5，請問此數列有幾項？

詳解：

利用

^{ }

¹

^{ 1}

d a n aⁿ

(1) n ^{ 21}₁^11

 21

(2) n

2 1 2 102 



51

(3) n ^42₃^181

9

(4) n

5 1 ) 8 ( 22  



7

【練習】

10.1-7

(1) 某等差數列，首項為 4，末項為 28 ，公差為 4，請問此數列有幾項？

(2) 某等差數列，首項為 8，末項為 16 ，公差為 2，請問此數列有幾項？

(3) 某等差數列，首項為 1，末項為 31 ，公差為 3，請問此數列有幾項？

(4) 某等差數列，首項為－ 3，末項為 4，公差為 1，請問此數列有幾項？

接著我們來看看更多關於數列的名詞。

例題

10.1-8

瞭解了等差數列的各種基本觀念後，接著讓我們來看看各種變化題型。

例題

10.1-10

在一等差數列中，第一項為¹⁸ ，第六項為⁴⁸ ，試求此等差數列的公差。

詳解：

利用^{an a1(n1)d}

d a

a₆  ₁(61) d ) 1 6 ( 18 48  

d 5 30

6 d

得此數列公差為 6。

【練習】

10.1-10

在一等差數列中，第一項為

12

，第七項為

 24

，試求此等差數列的公差。

例題

10.1-11

因為此 5數為連續整數，且排列由小而大，因此公差為 1。

例題

10.1-14

有一等差數列，首項為 7，公差為 12 ，請問第幾項開始會大於 100 ？ 詳解：

本題要找數字大於 100 的項，當然我們可以用數的：

7、 19 、 31 、 43… ，但這方法在數字大時會很複雜，我們可以利用之前 學過的^{an a1(n1)d} 來計算：

設第 n 項開始會大於 100 ，即^{an 100}。

100 12 ) 1 (

7   

 n

a_n

100 12 12

7 n  105 12n

12

105 n

12 8 9

 n

因為項數為整數，所以我們取^n9 ，即第 9項開始會大於 100 。 我們來驗算看看

第 8項：^{a8 7(81)1291} 第 9項：^{a9 7(91)12103} 可確認在第9項開始會大於 100 。

【練習】

10.1-14

有一等差數列，首項為 7，公差為－ 12 ，請問第幾項開始會小於－ 100 ？

在文檔中 代數第十章 目錄 (頁 3-16)