簡介

由於品質因數在微波電路的設計及分析上相當重要，而透過對品 質因數量測法的瞭解以及實地操作，便能知道各量測法的優劣與限 制，並依需求加以推廣。從而在設計微波電路時，選擇適當的量測法，

並分析出正確可靠的數據，因此本論文著重在品質因數量測法的理論 與實作。本章的前段將討論品質因數，首先由定義出發，導出較為廣 泛引用的定義之後，介紹外部品質因數以及整體品質因數。最後在後 段說明實驗中所使用的介質共振器之模態與電磁模型，並於末節總結 本章論述。

1-1 品質因數定義

品質因數（quality factor,簡稱 Q）是一個在微波領域中相當 常見的參數，用以描述共振特性。一般說來，Q 值越大，其共振頻寬 越窄，在簡單證明這一點之前，必須先對 Q 值原始定義有所瞭解，

loss e m

P W

Q≡ × =ωW +

功率損失

均能量 貯存於電場和磁場的平

ω ( )

(1.1)

其中W_m及W_e分別為一週期內的平均磁場及電場貯能，

∫

= ^T m

m U dt

W T

0

1 ， ^{We =}_T ∫0^TUedt

1 (1.2)

故品質因數為描述一週期內的平均總貯能與總消耗能量的比值。

將（1.3b）及（1.3c）分別代入（1.4）可得

RC

C

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -1

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

圖 1.1.2 史密斯圖上的 Q 軌跡。

圖 1.1.3 考慮外接損耗之串聯共振器。

得注意的是，這些軌跡的形成是直接將阻抗平面（impedance plane）

上實部與虛部相差固定倍數的點，對應到史密斯圖上，是一個直接的 結果，而與品質因數的原始定義並沒有直接關係。

由於共振器在接上外接電路之後，相當於將自身的能量向外傳 輸，對共振器而言，等於增加損耗，其品質因數勢必有所改變。因此，

為了方便後續與外接電路的分析，必須將原始定義做適當的延伸。今 考慮一串聯共振器如圖 1.1.3 所示，其中R_L即為描述外接所形成的損 耗。由(1.5)知該串聯共振器的品質因數為

R Q ω⁰L

= ，而仿照前面的流 程，可得到考慮R_L之後的品質因數為

L

L R R

Q L

= ω+⁰

（1.11）

若定義外部品質因數（external quality factor）為

L

由（1.14a）至（1.14c）也可得到（1.13）的結論。

由於在實際應用上，共振器必定存有外部損失，而品質因數也必

圖 1.2.1 長方體共振腔及其 TE¹⁰¹共振模態。

其中

walls t s

1 1 器（dielectric resonator），係以等效電磁模型，或數值分析方法 近似表示，而無數學解析式，使得其在一般共振腔的品質因數計算上

)

圖 1.3.1 介質共振器之 TE^01δ與耦合於微帶線之磁場示意圖。

圖 1.3.2 介質共振器 TE^01δ的電場分佈。

微帶線的磁場能自然地接合，如圖 1.3.1 所示，因此在耦合於微帶線 的相關電路中，多使用其 TE^01δ主模態。由於 TE^01δ的電場分佈與微帶 線的電場方向幾乎正交，故在激發 TE 模態上，電場幾乎沒有耦合發 生，如圖 1.3.2 所示。因此當考慮介質共振器操作在 TE 模態，且耦 合於微帶線時，其耦合機制多以電感描述，以符合磁場耦合的現象。

B. 橫磁模態（TM）

TM 模態與 TE 模態可由類比對應，只需將磁場與電場互換便能得 到橫磁模態的場分佈。因此以微帶線激發 TM 模態時，只要將圖 1.3.1 中的介質共振器轉九十度置放，就是一種簡單的耦合方式，如圖 1.3.3 所示。除了以微帶線激發之外，只要將介質共振器的中心軸垂直於長

圖 1.3.3 以微帶線激發 TM^01δ模態之磁場分佈。

方體導波管的縱向，以及 TE⁰¹的電場方向擺放，則此時 TM^01δ與導波管 的磁場為同向，因此 TM^01δ也可以由長方體導波管的 TE⁰¹模態激發。另 外由於 TM^01δ的電場分佈與 TE^01δ的磁場類似（如圖 1.3.1 所示），都是 貫穿共振器的中心軸而出，又 TE^01δ在中心軸的電場相當微弱，因此 在某些只需要 TE^01δ存在，而不希望出現 TM^01δ的應用時，會使用管狀 的共振器，甚至在中心軸的部分置入金屬柱以抑制 TM^01δ的電場。

C. 電磁混成模態（HEM）

最後，圓柱形介質共振器尚存有電磁混成模態。該模態中擁有最 低頻率的是 HEM^11δ，此模態可用於設計天線[5]以及雙模態濾波器[6 7]。其電場分佈以及激發方式如圖 1.3.4 所示，顯示由於其電場的特 性，因此可以使用一半高度的介質共振器，置放於金屬平板上，經過 適當的激發之後，就能產生 HEM^11δ響應。然而值得注意的是，HEM^11δ 有時候共振頻率會相當接近 TE^01δ。因此，在一些主要操作在 TE^01δ模 態的電路裡，為了避免 HEM^11δ模態的干擾，可以透過瞭解這兩者的電 場特性，如圖 1.3.5 所示，在共振器上綁上模態抑制金屬線，由圖

（a） （b）

圖 1.3.4 介質共振器之（a）HEM^11δ模態電場分佈及（b）激發方式。

圖 1.3.5 HEM^11δ模態抑制法。

1.3.2、圖 1.3.4（a）以及圖 1.3.5 顯示，HEM^11δ在共振器邊界附近 的電場，皆平行於金屬線，反觀 TE^01δ在邊界上的電場皆與金屬線垂 直，故此法可以在不破壞 TE^01δ模態的情況下，達到抑制 HEM^11δ模態的 目的。

1-3-2 圓柱形介質共振器電磁模型

在瞭解了圓柱形介質共振器的模態之後，本節將介紹幾個介質共

εr的介質共振器。若從共振器內部向外看出去，則在ρ=a處的反射係 數為

1 1

0 0

+

= − +

= −

r r

ε ε η η

η

Γ η （1.28）

（1.28）顯示當ε_r極大時，反射係數趨近於 1，其行為類似完全磁導 體（PMC）或開路。故在建構介質共振器的電磁模型，常會引用 PMC 邊界條件。值得一提的是，若觀察點在共振器外面，則反射係數將與

（1.28）差一個負號，亦即原本的 PMC 可置換成完全電導體（PEC）。

以一個置於金屬空腔裡的介質共振器為例，若腔內的電場平行於共振 器的上下邊界，則可如下圖近似

圖 1.3.6 存有介質共振器之金屬空腔近似模型。

圖 1.3.7 考慮外洩電磁場之獨立介質共振器電磁模型。

圖 1.3.8 考慮電路板及金屬空腔之介質共振器電磁模型。

由（1.28）已知介質共振器的邊界可以 PMC 近似，因此最簡單的 模型，係在共振器外包覆一層 PMC，不過很明顯的，這個模型無法考 慮到外洩的電磁場，而與量測的結果有約 20%的誤差[8]。

為了修正上述模型的誤差，Cohn[9]提出該模型的延伸，如圖 1.3.7 所示，保留原共振器的側邊 PMC，並將其無限延伸，以及移除 上下方的 PMC。整個電磁模型成為一個充滿空氣，並以 PMC 包覆的圓 形導波管，其中一段放置一塊介電質。由於相對於介電質的區段，導 波管內的空氣為低介電常數，因此從共振器外洩到管內的電磁場，將 因低於導波管的截止頻率而成為衰減波。

依據此模型可準確描述介質共振器，實際應用時如擺放於電路板 上，如圖 1.3.8 所示。此一模型為圖 1.3.7 的延伸。主要是將原本無 限長的 PMC 導波管兩端以 PEC 封閉，並引入板材的介電常數。相較於 上兩個模型，圖 1.3.8 較具可適性。例如將 L²無限延伸，就是共振器 置於板上的情況。若 L、L 為零，便為平行板夾住共振器的情況。因

此本節將依據此模型分別描述區域 1、區域 2 及區域 3 的電磁場，再 利用類似模態匹配（mode matching）方式，求得此模型的電磁場特 性。

將（1.29）代入（1.30a）及（1.30b）可得

( )

( )^ρ

表 1.3.1 第一類貝索函數的零點。

同樣將（1.32）代入（1.30a），再引入（1.34），可得H_ρ

( )

( )^ρ

( ) ^α

( )

( )^ρρ

（1.35）、（1.31a）以及（1.37）、（1.31b）可得

(

^L

)

^{A B}

B 強度相同，亦即

將（1.47）代回（1.44），則

( )

⎟⎟

若再將（1.48）代回（1.45）

( )

⎟⎟

經由以上流程，可以獲得較為準確的模型，透過比較此模型與精 確的數值分析結果，其共振頻率誤差可以縮小到-4.8%[8]，較 PMC 空 腔共振器模型 32%誤差，已有相當改善。

然而由於未考慮ρ>a以外的場，故仍有一定程度的誤差，因此有 其他改良方法提出。其中一種較為直接的方法，係將圖 1.3.8 的模型 再延伸至圖 1.3.9。

其分析方式概述如下，首先引用圖 1.3.8 模型的結論，設定區域 1、6 及 2 內部的電場，接著將 PMC 移走，引入延伸的區域 3、4 及 5。

由於在這些延伸區域中的電場，隨ρ增加而遞減，故在假設這些區域 的電場時，需引入具有相同遞減特性的第二類修正型貝索函數，最後 再使用各邊界的場連續性進行求解。

另一種改良方式係由 Itoh 及 Rudokas 所提出[10]，它與以上模 型的差別，在於直接從介電質導波管出發，因此能精準地描述區域 6 與區域 4 之間的電磁場變化。

圖 1.3.9 考慮ρ>a 處電磁場的介質共振器電磁模型。

1-4 結論

本章首先敘述品質因數的定義，以及一般常出現的表示方式，同 時由於外部電路的影響，進而介紹外部品質因數。之後由簡單的電 路，敘述品質因數與半功率頻寬的關係，從而可應用於量測品質因 數。接著簡單介紹介質共振器的模態及電磁模型，透過以上基礎，便 可以考慮更接近實際的品質因數量測法，並將於下章敘述。

最後可定義共振器與外部電路的耦合係數

Qe

= Q

β （1.53）

其物理意義即為共振器內部與外部所消耗的能量比。分析共振電路 時，常利用此式將（1.13）改寫成^{Q= 1}

(

^+β

)

^{QL，並可根據耦合係數的}

大小，將共振電路分為三類，如表 1.4.1 所示。

表 1.4.1 耦合係數分類。

β<1 低耦合 （under couple）

β=1 臨界耦合（critical couple）

β>1 過耦合 （over couple）

在文檔中 耦合於微帶線之介質共振器品質因數量測 (頁 14-34)