在瞭解介質共振器的行為，品質因數的定義，及其量測方法之 後。本章將敘述耦合於微帶線的介質共振器品質因數量測。
3-1 量測理論
圖 3.1.1 耦合於微帶線之介質共振器。
考慮如圖 3.3.1 所示之介質共振器，其中介質共振器直接置於電 路板上，並未架空。由 1-3-1 A.以及圖 1.3.1 知道，此時介質共振 器主要由磁場與微帶線耦合，其耦合機制可由互感表示。其等效電路 如圖 3.1.2 所示。
圖 3.1.2 考慮耦合效應之介質共振器等效電路。
圖 3.1.3 忽略耦合的自感效應之介質共振器等效電路。
其輸入阻抗為
( )
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ +
+ +
=
r r
r in
L C j R L M j Z
ω ω ω ω
1
2
1 （3.1）
若忽略耦合的自感效應，則（3.1）為一並聯共振表示式。因此若忽 略耦合的自感效應，則圖 3.1.2 可簡化為圖 3.1.3。此時其輸入阻抗 為
jQδ Z R
Zin
+ +
= 0 1 （3.2）
其中δ的定義同（2.18）中的δ。
（3.2）顯示，由於輸入阻抗含有一Z0項，因此無論頻率如何變
在該圓內，參考 2-3-1 的方法，找出（3.2）中分子的虛部等於實部、
因此由（3.8）可以得知，內部品質因數的參考線，係以 ⎟
3-2 模擬與量測結果
本節將敘述依據上述方法，分別進行模擬與量測之結果。使用之 介質共振器係 Trans-Tech 產品，其特性參數如表 3.2.1 所示。量測 儀器包含 Agilent E8364B 向量網路分析儀及 Cascade Microtech MTF-26 微帶線電路板夾具。介質共振器雖係以微帶線激發，但因需 網路分析儀及夾具的校正，因此在進行品質因數的量測前，進行 TRL 校準與驗證，以將量測參考平面移至微帶線上。
介質共振器 直徑(mm) 高度(mm) 介電係數 共振頻率
（GHz）
A 7.747 3.8735 ≒30 ≒8
B 5.842 2.921 ≒30 ≒10.5
C 4.064 2.032 ≒30 ≒14.5
表 3.2.1 實驗使用之介質共振器參數。
3-2-1 TRL 校準與驗證
由於所使用的量測實驗結構單純，因此 TRL 校準套件相當簡易，
圖 3.2.1 為所使用的校準套件與介質共振器。其中延遲線（delay line），即為耦合介質共振器之微帶線。
為了達到 TRL 校準與量測共用硬體的原則，必須要確保放置介質 共振器之後，在新參考平面上的電磁場仍然為單一模態。另外考慮到 TRL 校準計算時，所求解根的鑑別度問題，因此延遲線設計為四分之
圖 3.2.1 TRL 校準套件與介質共振器。
一波長再增加整數個波長長度，以避開介質共振器附近的高階模態。
實際上，係以最低的共振頻率設計延遲線，而在另外兩顆較高頻的介 質共振器的共振頻率時，延遲線大致都接近 )λ
4
(n+1 的要求，因此不
需另外針對其他頻率製作延遲線。
校準之後則直接比較延遲線的 S21相位理論值與量測值，以進行 校準結果驗證。
0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
x 1010 -600
-500 -400 -300 -200 -100 0 100
frequency
Phase of S21
measurement simulation
圖 3.2.2 延遲線 S21相位理論與量測結果。
0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 x 1010 -600
-500 -400 -300 -200 -100 0 100
frequency
Phase of S21
measurement simulation
圖 3.2.3 修正後延遲線 S21相位理論與量測結果。
圖 3.2.2 為比較結果，其中理論值係使用 HFSS 模擬微帶線在 8GHz，根據頻率變化及延遲線的長度而得。其與量測結果之差異，應 係模擬使用的 Al2O3板材介電係數為廠商提供的 9.6，經調整至 10.03 則彼此吻合，如圖 3.2.3 所示。
為確定 Al2O3板材介電係數，則利用此介電係數進行模擬，計算 TRL 套件中反射線之反射係數ΓA的相位，並與量測結果比較。
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
-20 -10 0 10 20 30 40 50 60
frequency(GHz)
Phase of ΓA
measurement simulation
圖 3.2.4 修正介電常數後ΓA相位理論與量測結果。
由圖 3.2.4 顯示，模擬與量測的差異最大約僅 5.615 度，故可說 明校準的正確性。此外上圖在約 9.15 GHz、12.2 GHz 及 15 GHz 有較 劇烈變化，係因延遲線長度在這些頻率時，為 1.5λ、2λ及 2.5λ。
3-2-2 模擬與量測
由於校準後的參考平面所看進去的等效電路不一定如圖 3.1.3 所示，因此取得的軌跡可能不如圖 3.1.4 般在Z =1的圓內，而是會繞 原點旋轉一定角度。另外 TRL 校準後的參考平面，為物理上的某固定 位置，因此在頻率變化時會有少許傳輸線特性調變的問題。為解決上 述問題，可經由尋找 S11的最大點得到共振頻率，接著針對該頻率將 原始結果反轉回原位，最後針對每個頻率點相對於中心頻率抵銷傳輸 線調變效應，由以上流程處理過後的軌跡如圖 3.2.5 所示。
-1 -0.5 0 0.5 1
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8
1 Modified
simulation measurement
上圖為共振頻率在 8GHz 附近介質共振器 A 之結果，雖然由此圖，
（3.14）顯示，在並聯模型下，過去所介紹與參考線交會的頻率 點為便於計算的特例。理想情況下，由（3.14）所得到的品質因數對
δ作圖應該是一條直線。但實際情況，原本的模型可能無法描述遠離 共振點時的高階效應。故量測的結果應如圖 3.2.6 所示，在共振頻率 附近趨於平坦，而在遠離共振時，所計算出的品質因數則失去參考 性。其中模擬部分，其板材之損耗正切設定為 0.006，介質共振器為 無損耗。
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6
x 10-3 100
150 200 250 300 350 400 450 500
Qu
δ
Qu
(a)
-0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015
150 200 250
300 Qu
δ
Qu
(b)
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 x 10-3 -3
-2 -1 0 1 2 3 4 5
δ
tan(φ)
（a）
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25
real(Zn)
imag(Zn)
（b）
圖 3.2.7 tanφ對δ作圖之(a)量測結果及(b)正規化輸入阻抗。
由（3.14）顯示，圖 3.2.6 中在遠離共振頻率時的變異只可能是 tanφ與β。若tanφ對頻率變化不為線性，或β不為常數，都有可能造 成上圖彎曲。因此觀察其對頻率的變化，便可以進一步瞭解原因。
圖 3.2.7（a）中的斜直線為tanφ在-0.002<δ<0.002 趨勢的延伸
線，而圖(b)中的虛線圓，為當耦合係數為常數時，所繪之輸入阻抗 軌跡。顯示雖然兩者在遠離共振頻率時皆有偏移，但由於圖(b)中的 耦合係數，直接正比於軌跡上各點與圓心的距離，因此可明顯看出β 對頻率的變動相當和緩。反觀tanφ的變異趨勢與圖 3.2.6(a)很類似。
尤其在最低頻處，比較後可發現tanφ由約 2.7 躍升到 4，與同一頻率 的品質因數從原本的 270 成為 400，有相當高的相似性。因此可以知 道造成圖 3.2.6 彎曲的主要原因，為共振器輸入阻抗的虛部，隨頻率 的改變超過原模型所預期。
此外由圖 3.2.8 可以了解模擬與量測的共振頻率有所差異，且先 前計算得到的品質因數也明顯不同。造成差異的主要原因，可能是模 擬時使用的介質共振器的介電係數為廠商提供的 30，與其實際值有 差異。此外模擬時，介質共振器與微帶線邊緣的間距，設定為 0.25mm，
而實際量測的情形如圖 3.2.9 所示，共振器是以鑷子擺放並微調位 置，其實際間距難以控制及量測，因而造成模擬與量測之間的差異。
上述過程主要敘述共振於 8GHz 共振器，其品質因數模擬和實驗 結果。以下係再針對另兩顆介質共振器，重複上述步驟以量得其品質 因數，結果如圖 3.2.10 至圖 3.2.14 所示。
由比較介質震盪器 A～C 的量測結果可以發現，其共通點為，在 偏離共振頻率之後，品質因數都有上升的趨勢。但隨著共振頻率增
加，品質因數對頻率的變化也越劇烈。基於品質因數與tanφ變化趨勢 的相似性，推測共振於高頻的介質共振器，其等效電感與電容對頻率 的變化較低頻共振器顯著。另外圖 3.2.15（b）顯示，共振器 C 的耦 合係數隨頻率的變動相較於共振器 B 及 C 更為顯著。推測共振器 C 的 耦合機制與 B 及 C 相較有較明顯的高階效應，而無法單純以圖 3.1.2 的耦合電感描述。
8.05 8.1 8.15 8.2 8.25 8.3 8.35
x 109 -25
-20 -15 -10 -5 0
frequency
dB
S11(measurement) S21(measurement) S11(simulation) S21(simulation)
圖 3.2.8 S11及 S21模擬與量測結果。
圖 3.2.9 實驗裝置。
-1 -0.5 0 0.5 1 -1
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Modified
simulation measurement
圖 3.2.10 介質共振器 B 其修正後反射係數模擬與量測結果。
-0.01 -0.008 -0.006 -0.004 -0.002 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 150
200 250 300 350 400 450 500
550 Qu
δ
Qu
(a)
-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
x 10-3 180
200 220 240 260 280
300 Qu
δ
Qu
(b)
圖 3.2.11 介質共振器 B 其品質因數對δ作圖之(a)量測及(b)模擬結
-0.01 -0.008 -0.006 -0.004 -0.002 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 -5
0 5 10 15 20
δ
tan(φ)
（a）
-0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4
real(Zn)
imag(Zn)
（b）
圖 3.2.12 介質共振器 B 其tanφ對δ作圖之(a)量測結果與(b)正規化 輸入阻抗。
-1 -0.5 0 0.5 1 -1
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8
1 Modified
simulation measurement
圖 3.2.13 介質共振器 C 其修正後反射係數模擬與量測結果。
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
x 10-3 100
200 300 400 500 600 700 800
Qu
δ
Qu
（a）
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
x 10-3 280
285 290 295 300 305 310
315 Qu
δ
Qu
（b）
圖 3.2.14 介質共振器 C 其品質因數對δ作圖之(a)量測及(b)模擬結
-4 -2 0 2 4 6 8 x 10-3 -14
-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4
δ
tan(φ)
（a）
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
real(Zn)
imag(Zn)
（b）
圖 3.2.15 介質共振器 C 其tanφ對δ作圖之(a)量測結果與(b)正規化 輸入阻抗。
第四章 結論
經由第三章所描述的過程，可以量得耦合於微帶線上的介質共振 器的各品質因數，並且依據（3.14）繪得內在品質因數 Q 與δ的關係 圖。經由該圖可以得知，在何種δ區間裡計算的品質因數是正確可信 賴的，進而得知依據 3-1 節計算而得之品質因數是否具有參考價值。
參考廠商提供的介質共振器參數，顯示實驗所使用的介質共振 器，其品質因數可達千位甚至萬位的數量級，但實驗量測結果卻約為 數百。造成差異的原因主要是實驗環境的不同，廠商係提供單獨介質 共振器的品質因數，量測時係將其放置在圓柱形共振腔內，並以電磁 特性接近空氣的材料架空介質共振器，以期近似在自由空間中的情 形。而在本論文所使用的方法，係將介電常數約 30 的介質共振器，
直接放在介電常數為 10 的氧化鋁基板上，因此共振器包覆電磁場的 能力，便不如處在自由空間中一般。而由品質因數的原始定義知道，
若共振器內貯存電磁能的能力下降，則品質因數也會隨之下降。因此 放置在基板上的介質共振器品質因數，自然比放在圓柱形共振腔內 低。
另外，由於耦合係數與等效電路中的電阻相關，且由共振頻率可 以求得電感與電容互乘值，最後品質因數又相關於電阻與電抗的比
值。因此透過量測品質因數，可以建立在該架構下的等效共振電路。
以共振於 10GHz 的介質共振器 B 為例，假設微帶線特性阻抗為 1，若 取 R=0.76228、L=0.042742pH 及 C=4.988nF，如圖 4.1 所示，與圖 3.2.11(a)比較，顯示在共振頻率附近的品質因數極為相近，且在史 密斯圖上的軌跡也幾乎重疊，如圖 4.2 所示。
-0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 180
200 220 240 260 280 300 320
340 Qu
Qu
δ
圖 4.1 介質共振器 B 由等效電路所得之品質因數。
-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8
-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6
Modified
等等電等 介介介介介
圖 4.2 介質共振器 B 與其等效電路在史密斯圖上的軌跡。
圖 4.3 微帶線的品質因數
透過分析 TRL 驗證時所取得的延遲線 S21數據，並利用 α β
2 一式便
能求出本實驗所使用的微帶線的品質因數，如圖 4.3 所示。觀察該圖 可發現在 8GHz、10GHz 及 14GHz 的品質因數相當接近介質共振器 A、
B 及 C 的量測結果。而與廠商所提供的約數千或數萬的介質共振器品 質因數比較，可知本實驗所量得的結果實際上為微帶線所主導。該現 象說明了如欲量測一共振器之品質因數，則其耦合環境的 Q 值越高，
所得到的結果也越接近該共振器本身的品質因數。因此以高品質因數 的共振腔耦合，可以得到比微帶線耦合更準確的介質共振器品質因 數。
雖然依據以上方法可以量得耦合於微帶線上之介質共振器的品
雖然依據以上方法可以量得耦合於微帶線上之介質共振器的品