第二章 文獻回顧
2.2 車輛定線問題相關啟發式解法文獻回顧
2.2.1 簡單式啟發式解法
所謂「簡單式啟發式解法」，在分類上屬於第一類啟發式解法，搜尋策略為先 分群後建構路線、插入節省等原則，設計出簡單易執行的啟發式解法，優點為運 算架構簡單，缺點為求解精確度不高且易陷入局部最佳的狀況。下面各節詳細說 明幾種著名的傳統啟發式解法，掃描法、節省法及節線交換法。
A.掃描法（sweep algorithm）
1974 年 Billy E. Gillett 和 Leland R. Miller 首次發表了掃描法，討論了 掃描法之啟發式解題邏輯，並測試掃描法的解題績效。
一個具效率的啟發式演算法名為掃描法。掃描法的特色為：1.計算量隨著節 點數呈線性增加 2.每個節點位置以極座標定義。掃描法是最簡單也是最被廣為流 傳的兩階段演算法(two phase method)之一，整個演算法的第一個階段為集群化，
掃描法集群化的做法為：客戶點以極座標表示，隨機選取某一客戶點為起點，以 該客戶點與場站之間之射線為基準，進行順時針方向或逆時針方向掃描，掃描到 的客戶點即加入該群中，直到該群客戶點總需求量達到車輛容量限制，則該群集 群完成，以上述原則，再開始下一集群之集群化動作，集群化的動作直到所有客 戶點皆加入集群中為止。第二階段違建構路線，在第一階段客戶點集群化動作完 成之後，每一群之客戶點以旅行推銷員問題之演算法進行路線構建。掃描法演算 流程為：
1. 將每個節點依角度大小編號由 2 號開始（1 號節點永遠是 depot）。
2. 在符合車輛容量限制條件下，由二號節點開始以順時針（或逆時針）方向掃描 角度連接各節點，形成路徑。
3. 為使總路徑長度縮短的情況下，進行路線間節點交換，來改善路線成本。
4. 分群組完成後，再進行每個群組之 TSP 問題最佳解求解。
掃描法演算流程如圖 2-2。
其他兩階段演算法的研究尚有 Christofides et al.(1979)和 Tyagi(1968) 等。
B.節省法（saving algorithm）
節省法是由Clarke 及 Wright在 1964 年首先提出，屬於直接建構路線的貪心
（greedy）方法，所謂節省值即指合併兩節點後所能減少的路線成本。首先計算 出所有點對（i,j）的節省值：Sij=Ci0+Coj-Cij，按照節省值由大至小排列，然後選 擇序列中節省值最大之點對構建新路線，並依序檢查下一組點對合併到路線端點 之可行性（主要是檢查是否符合車輛容量限制與是否為連接場站之節點），若可則 合併，否則掠過該點對。若序列中尚有點對未撿視完畢，則繼續檢查下一對點對。
若所有點對皆有車輛服務，則停止。若尚有節點未有車輛路線，則由未有車輛路 線的點對中選擇節省值最大者產生新的路線，再檢視節省值序列中之點對合併到 新路線之可行性，重複上述步驟直到所有客戶點皆受到車輛路線服務為止。
節省法演算流程如圖 2-3。
其 後 有 許 多 對 於 Clarke 及 Wright 的 基 本 節 省 法 模 式 加 以 調 整 的 研 究 ， Gaskell(1967)以及Yello(1970)獨立地介紹一個節省法的修正觀念：Sij-θCij，θ 是一個數量參數(scalar parameter)，藉由改變θ值，使用者可以任命兩點之間 的旅行成本之重視程度大小，這個參數可以改變，同時會得到不同解，再由這些 解裡面選出最佳解。Golden et al.(1977)已經使用電腦科學計算技術來減少 Clarke 及Wright的基本節省法模式的運算時間。
Altinkemer 及 Gavish(1991)在 Clarke 及 Wright 的基本節省法模式中，達 到於單次重複中多對點合併的明顯程度改善計算實行結果。
以場站為原點，計算各 客戶點極座標
隨機選取某一客戶點θ 座標為0
計算其他客戶點θ座 標，並依序排列：L
於序列L中選取θ值最小 者：客戶點 j 加入集群
中
c集群是否超過車輛 容量限制 開始一新集群：c
j 置回序列L中 所有點已加入集群 是
中 否
所有客戶點集群進行 TSP演算法進行路線構建
是
求得VRP解
否
圖 2-2 掃描法演算流程圖
計算點對節省值Sij
由大到小排序Sij：L
序列L中的節省值是 否皆以檢視完畢
選擇L中最小之節省值
是否選取的點對兩 點皆為端點
是否超過車輛容量 限制
連接點對(i,j)，刪除節 線(0,i)、(j,0)
該點對自序列L中刪除 將該點對暫存於序列T中
是否所有點皆受到 車輛巡行服務
結束
將序列T中依大小併入 L中
否 是
否
否
是
是
是
否
圖 2-3 節省法演算流程圖
C.K-Opt 節線交換法
K-Opt 節線交換法是由 Lin 在 1965 年所提出，其中 K 代表的每次交換的節線
數目，一般常用者為 K 為 2 或 3，此交換法原先設計用於旅行推銷員問題上，而 對於車輛定線問題而言，可用在路線內的節線交換。
以圖 2-4 說明 2-Opt 的解題觀念由圖 2-4(a)中可看出，若刪除（1,4）及（2,3）
兩條節線，然後連接（1,2）及（4,3）兩條節線，將可維持一個路線的完整性且 可能節省路線成本。根據這樣的觀念，對任一條路線而言，可依上述的觀念交換 路線上任兩條不相鄰的節線，然後檢查交換後得到之新解是否優於交換前之解，
若是，則更新解；若否則維持原解，繼續交換其他條節線直到所有可能交換之節 線皆檢視完成。
1
2
3
4
(a)
1
2
3
4
(b)
圖 2-4 2-Opt 的解題觀念
Christofides 及 Eilon(1969)使用 Lin 及 Kernighan(1973)的 3-Opt 交換方 法來求解 VRP 問題解，其中加入一個要求為任何交換的節線不可以超越車輛容量 限制。Russell(1977)改善 Christofides 及 Eilon(1969)的程序，他選擇性的考 量一些包含三節線以上的交換。更多的改善方法研究可見 Savelsberg(1985)和 Thompson(1988)的報告。
表 2-2 中的第一個啟發式方法結果為 Christofides et al.(1979)的節省法，
第二個為 Gillett 及 Miller(1974)的掃描法，第三個啟發式方法為 Christofides 及 Eilon(1969)，第四個啟發式方法為 Russell(1977)，掃描法的解是使用不同起 始顧客 n 次執行後最佳的那個解，求解時間是做這些運算所需時間和，應該注意 的是 Altinkemer 及 Gavish(1991)使用大型機器運算 Clarke-Wright 基礎的平行 運算已經達到問題五解為 1351，但是他們並無揭露出求解計算時間為多少。
表 2-2 簡單式啟發試解法計算比較 (Fisher,1995) Clarke
& Wright
Gillett
& Miller
到 1980 年代，Fisher 及 Jaikumar(1981)提出以數學規劃為主之最佳化方法 來處理包含大約 50 個顧客點之問題。將 VRP 問題放鬆(Relax)成較簡單的 MP 模 式，如一般化指派問題、集合分割問題或集合涵蓋法，以便將需求點分群，然後 再針對各群求解 TSP 子問題。
數學規劃基礎啟發式解法與簡單式啟發式解法特點差異大，此類方法是解出 車輛定線問題之概似最佳解，以下介紹兩種普遍且通常優於簡單式啟發式解法之 模式，第一為一般性指派問題(generalized assignment problem)，第二為集合 分割問題(set partitioning problem,簡稱 SPP)。
A. 一般性指派問題
Fisher 及 Jaikumar(1981)以一般性指派問題求解車輛定線問題，顧客被分配 到對應的車輛，然後再針對顧客作 TSP 問題求解，為了激發一般性指派問題概似
, 閉表(closed form)，一般性指派問題的啟發式解法通常將 用一個線性的趨 近式表示：
∑
，加以求解此一般性指派問題而把顧客指派到相對的車輛上，選擇種子顧客的方法有許多啟發式解法，Fisher 及 Jaikumar(1981)建議用平 面的方法，意指他們在平面上指派 K 個種子點 ，而不是指派 K 個種子顧
集合分割啟發式解法由產生一些候選車輛路線解開始，一個候選車輛路線解
典型的集合分割問題一開始由 Balinski 及 Ouandt(1964)所提出，雖然當時 並未能求解大規模問題，大規模問題一直到許久之後才有人解出。Foster 及 Ryan(1976)成功應用此模式在拖車排程(truck scheduling)問題，Fleuren(1988) 則應用在有時間窗的的排程問題，Fisher 及 Rosenwein(1989)也有相同應用在排 程問題上。
表 2-3 整理此節介紹 Fisher 及 Jaikumar(1981)的一般性指派模式與 Foster 及 Ryan(1976)的集合分割模式之數學規劃啟發式解法比較。
關於亦屬於此節解法之集合涵蓋模式，由於此模式與本研究最為相關，故提 放在 2.3 節加以說明。
表 2-3 數學規劃式啟發式解法計算比較(Fisher,1995) Problem n Fisher & Jaikumar Foster & Ryan
Cost CPUa Cost CPUb 1 50 524 9.33 523 2.6 2 75 857 11.95 864 6.8 3 100 833 17.7 825 16.9 4 150 1014 33.6 c c 5 199 1420 40.1 c c
6 100 824 6.1 c c
aDEC 10 秒 b IBM 370/168 秒 c尚未有解 2.2.3 人工智慧啟發式解法
自 80 年代開始，由於電腦運算能力的精進，組合最佳化問題之求解方法乃發 展朝向更有效率的解題工具，其發展方向大致有二：一方面借重專家系統（expert system）的建立，對不同問題個案建議最合適求解方法；另一方面則是改變傳統 的局部搜尋法，建立通用性搜尋（genenic search）的演算法，其中這些演算法 與傳統演算法之間的差異在於，具有可跳脫局部最佳解的機制，但在運算過程中 仍需要借助傳統的搜尋方法。以下是一些人工智慧啟發式演算法的介紹與回顧。
A.基因演算法（Genetic Algorithms,GA）
基因演算法（genetic algorithm,GA）是 Holland 教授於 1975 年和他的同 事與學生共同研究出來，其基本理論以達爾文之「進化論」為根基，模擬「物競 天擇，適者生存」自然遺傳之搜尋法則。GA 是以一個族群為模擬對象，並選擇族 群中環境適應能力較強之個體，當作繁殖下一代之種子（親代），經過複製、交配、
突變等演化過程，產生新的下一代，如此反覆進行，最後得到適應環境最強的下 一代。以演算法的角度來看，GA 中相關名詞意義為：
1. 基因（Gene）：相當於決策變數，其實際的值視編碼方法而定。
2. 染色體（Chromosome,String）：一組決策變數，相當於搜尋過程中的一 個暫行解，也就是在決策空間中的一個搜尋點。
3. 族群：所有的染色體集合的集合，這也是基因最佳化方法的特色，傳統 方法大多以一個暫行解單線搜尋，而 GA 是多線平行搜尋。
4. 世代（Generation）：相當於所有暫行解同時進行的一個搜尋步驟
（Iteration）。
5. 適應度（Fittness）：相當於某個暫行解的目標值，目標值愈好則適應 度越好。
GA 包括幾個重要部分，一個典型的 GA 流程為：
1. 將每個染色體的基因設定一個初始值;
2. 一個個世代的反覆演進;
3. 將所有過程中最好的結果輸出。
其中第二個部分「世代反覆演進」包括計算適應度、與三個基因運算：複製
（Reproduction）、交配（Crossover）、突變（Mutation），這個部分是 GA 中能跳 出局部最佳解的機制，也是 GA 中最主要的一個部分。
（Reproduction）、交配（Crossover）、突變（Mutation），這個部分是 GA 中能跳 出局部最佳解的機制，也是 GA 中最主要的一個部分。