第二章 文獻回顧
2.3 集合涵蓋模式
分割問題(set partitioning problem)之限制式(2-12)，限制顧客只可被涵蓋一 次，如果改成 不等式，則是所謂的集合裝運問題(set packing problem)，限制 式(2-16)表示所有 為 0-1 整數變數。。 題描述。例如 Hoffman 及 Padberg(1993)以集合涵蓋模式應用在車隊排程問題
（ crew scheduling problem ）。 對 於 多 場 站 之 車 輛 排 程 問 題 ， Ribeiro 及 Soumisu(1994)也成功應用集合涵蓋模式求解。Irnich(2000)將一多點位撿貨運送 問題，轉化成集合涵蓋問題後再進行求解。張育彰（2001）應用基因演算法於台
鐵列車駕駛員排班與輪班整合問題之研究中，亦使用集合涵蓋模式概念，在排班 與輪班整合求解階段，將排班問題視為一集合涵蓋問題，從可行工作班集合中選 擇能涵蓋到所有乘務的工作班解集合。
有關集合涵蓋法之數學模式在車輛定線問題的應用，最先被 Cullen et al.(1981)成功將此法應用設計車輛定線問題的啟發式解法，另外尚有 Agarwal et al.(1989) 基 於 此 法 發 展 求 解 車 輛 定 線 問 題 之 精 確 的 演 算 法 ， 近 年 來 Bixby(1998)，Hadjiconstantinou et al.(1995)亦對演算法有相當程度的發展，
此法普遍應用在求解數量大之問題。
對於含時間窗限制但無容量限制之車輛定線問題，Desrosiers et al.(1984) 應用集合涵蓋問題模式求解此類問題得出最佳解。對於有容量限制車輛定線問題
（CVRP）及有時間窗限制車輛定線問題（VRPTW），Desrosiers et al.(1992)引伸 一定限分支演算法來求解 Solomon(1986)的部分含時間窗限制問題，亦可達到將 近最佳或是最佳解。
應用集合涵蓋問題可以找到 VRP 的最佳解，但前提是候選車輛路線解須產生 所有可行解，但對於大型問題，所有可行的候選車輛路線解數目龐大，以致求解 沒有效率，甚至無法產生所有的可行候選車輛路線解。
2.3.3 集合涵蓋問題之啟發式解法
集合涵蓋問題的啟發式解法通常使會用貪心法則，(例如在每一個循環 iteration 裡，短淺地去選擇最好的下一步)；也使用交換的方法，也就是交換一 個或是多個以上的列，只要目標式的解有所改善，在實務上非常快速，但是特徵 是不能提供高品質的解(Fisher and Wolsey ,1982)。其他更新的啟發式解法方式 還有 Feo et al.(1989)使用機率搜尋，Johnson et al.(1989)使用模擬退火法，
Levineg(1992)使用基因演算法，Aourid 及 Kaminska(1994)使用類神經網路法 等，但是這些應用發法之間尚未出現比較的標準，來決定出在何情況下是哪個方 法比較優秀。
集合涵蓋問題亦可以用上下限夾集的方法加以尋找確切解，由前段所提之啟 發式解法皆可得到好的問題解上限，通常問題解的下限值是藉由放鬆限制式而求 解來的，有兩種經典的放鬆集合涵蓋問題的方法，第一是拉格蘭式放鬆法(可行解 集合還是保有 0-1 的可行解性質，但是會有限制式被移到目標式去)，第二是線性 放鬆法(也就是整數限制式被放鬆，而目標式則依然和原本相同)。
第 一 種 採 用 拉 式 放 鬆 法 (Lagrangian relaxation) 以 及 次 梯 度 最 佳 化 (subgradient optimization) 是非常具有效率的的 SCP 啟發式解法，也就是跟隨 Balas 及 Ho(1980)的發展研究、Beasley(1990)、Balas 及 Carrera(1996)的改善 研究。
第二種採用放鬆集合涵蓋問題線性限制（也就是移走xr變數的整數限制），因為 集合涵蓋問題中含有大量的變數，所以我們可使用Gimore及Gomory (1961,1963)
發展的列運算技巧(column generation，以下泛稱CG)方法求解。
以下我們參考Bramel及Simchi-Levi(1995)，將一次車輛路線巡迴視為一個集 合，轉換為類似集合涵蓋問題(set covering problems, SCP)的數學規劃模式，
放鬆整數限制式後，以列運算求解，詳細介紹如下：
將一次車輛路線巡迴視為一個組合，轉換為類似集合涵蓋問題(set covering problems, SCP)的數學規劃模式，以P 為原模式代號：
使用這些部分集合解代入後，讓x 為P'問題中的最佳解，且讓π =
{
π1,π2,...,πn}
為個分枝定限法求解 CG，Bixby et al.(1997)發展一個切割平面法(cutting plane algorithm)求解問題 CG，此法還可以詳見 Bixby(1998)的研究。
有些執行的小技巧可以幫助我們改善求解列運算問題時的收斂，通常列運算 裡的步驟三是最耗時間的，為了減少此步驟所花費的時間，我們可以採行以下方 法，第一是：在步驟一時，產生一個好的起始解是非常重要的，而要辦到如此，
已經有許多 CVRP 演算法可以使用了，事實上，如果可得一個好的對偶解，那麼此 解便可以拿來幫助產生負減少成本的車輛路線(指在對偶問題裡)，有一些評估良 好對偶變數的方法可見 Agarwal et al.(1989)的研究，第二是：在步驟三的每個 循環裡，產生較多的負減少成本之車輛路線解，不要只產生一個。
整理 Column generation 列運算演算法，求解線性放鬆問題(P')的步驟如下：
1. 產生初始部分路線集合R'。
2. 以部分解R 代入求解 '' P ，並得到最佳原始變數解，及最佳對偶變數解。
3. 解問題 CG，找出滿足減少路線成本(reduced cost)小於零的路線集合。
4. 對每個r∈ ，且減少路線成本(reduced cost)小於零的 r，將 r 加入 'R R ， 回到步驟 2。
5. 如果沒有任何 r 的減少路線成本cr小於零，則停止。
簡單來說，我們使用代入部分解所產生最佳的對偶變數，判斷是否有集合解 應該被涵蓋，以此求解較為簡單的最佳化問題，接著再繼續求解直到沒有任何集 合解可以再更減低目標值，當這個使用部分解出發的線性放鬆問題(P')的最佳解 x 被找到，目標式的值
∑
r∈ 'Rcryr (應為分數形式)也就是此 CVRP 問題的下界值。從現有產生的集合出發（或許只是總集合的一小部份集合），再使用如切割平 面法(cutting plane approach)或是分支法(branch-and-cut approach)求解為整 數可行解，此法不保證會是所有集合中最佳的整數解，但是非常容易趨近於收斂。