φ cos sin cos cossin
3.2 搖桿系統分析
3.2.2 系統穩定度
F K x K X t
h
=−r
=−r
+ε
(3.15)在靜止狀態，無其他外力下
F h = F m
，所以由(3.13)式與(3.15)式可得下列關係 式r
( )
d
K X t
K X
ε
= +
(3.16)_ r d ( ) - 2 ( ) 2
d
K K t
err k t
K X
ε δ ε δ
= − = ≤ < (3.17)
由(3.17)式可知彈簧的模擬誤差正比於量化單位的大小，且工作的位移量越小將使 得模擬的誤差更大，我們可以在之後的彈簧模擬實驗中看出這樣的結果。
3.2.2 系統穩定度
為了探討整組搖桿系統之穩定度分析，以下我們針對以下分就「簡單彈簧模 擬穩定度問題」、「完整系統穩定度分析」、「摩擦力補償」幾個方向討論與探討，
其說明如下。
3.2.2.1 簡單彈簧模擬穩定度問題
一個系統的穩定與否通常可以由這個系統的能量為收斂還是發散來判斷，在 真實世界中的基本阻抗原件都是被動性原件，只會儲存或是消耗能量，不會造成 能量的增加，但經過數位系統模擬的虛擬阻抗原件卻會因為需要取樣時間間隔的 關係，有可能會變成主動原件，我們可以用一個模擬彈簧說明這個現象。圖3-2-2 即為模擬一個虛擬彈簧，使用者一個簡單的壓縮彈簧後放鬆的動作所得的結果，
圖中每一次的位移量為操作速度與取樣週期的積。由於位置編碼器取樣以及零階 保持器的關係（zero order hold）每週期系統的輸出位移與輸出力量值都會保持一 整個取樣週期，也造成如圖的情況。能量可為施力與位移的積，而當使用者壓縮
彈簧時，彈簧系統會儲存紅色曲線以下的面積大小的能量，但放鬆彈簧確會釋放 出藍色曲線以下的面積大小的能量，很顯然的釋放的能量比原本供應儲存的能量 要大，也造成虛擬彈簧系統的不穩定因素。但搖桿系統本身的物理阻抗卻可以消 耗能量抵銷由於數位系統取樣所造成的能量發散，若我們考慮一個簡單的模擬彈 簧系統，整個系統方塊圖如圖3-2-3 所示。
圖 3-2-2 虛擬彈簧能量示意圖
圖 3-2-3 模擬彈簧系統方塊圖
在圖3-2-3 中，整個系統輸入為位置訊號 X(s)與輸出訊號為力量 F(s)，則轉移 函數可獲得如下
2 2 2
( ) ( )
( ) ( ) 1 ( 1 )
sT sT
sT sT
F s Ke ms bs Ke
G s X s K e ms bs Ke
ms bs
− −
− −
= = = +
⎡ + ⎤ ⎡ ⎣ + + ⎤ ⎦
⎢ + ⎥
⎣ ⎦
(3.18)
若取樣週期T 與自然頻率 s 的乘積非常小（約小於 0.1），則我們可以將e-sT做二階
將(3.19)式代入(3.18)式中，我們可得
2
為了分析系統之穩定度，由奈式穩定準則(Nyquist stability criterion)可知，假 如上述之系統轉移函數要穩定的話，其必須滿足所有的極點全在左半平面之限制
圖 3-2-4 加入使用者動態 Zo 之系統方塊圖
根據Colgate 所推倒的被動性理論(Passivity criterion)分析，數位取樣系統要能 滿足被動性，必須滿足下式【3-4】 阻尼系統（spring&damper system），虛擬的彈性係數為 K，黏滯係數為 B，則迴授 系統H(z)變成
( ) z 1
H z K B Tz
= + −
(3.24)將(3.24)式代入(3.23)式之中，則可得
1 1
cos 0
2 N
b
>T K
−B ω T
≤ω ω
≤ (3.26)以下就分別討論系統是否有黏滯係數之分析
第一種情況：若模擬的系統沒有黏滯係數（B＝0），則上式結果與 3.2.2.1 的 結果類似，從(3.26)式也可以清楚知道，要增加模擬系統的阻抗值且仍然維持系統 的被動性，可以增加取樣的頻率或是加裝阻尼器提高搖桿系統的物理黏滯係數。
第二種情況：若系統輸入模擬有黏滯係數(B
≠
0)，由(3.26)式中可知，當0 ≤
ω<
ωN2
時，模擬的黏滯係數 B 會幫助系統穩定，但當ωN2 ≤
ω<
ωN 時，模擬的黏滯係數 B 反而會破壞系統穩定，而系統的共振頻率(harmonic vibration angular frequency) ω 為K
ω
=m
(3.27)其中 K 為模擬彈簧係數，m 為等效質量。若要使黏滯係數 B 幫助系統穩定，則下 式必須成立
2
K f
m
> π
(3.28)上式中的
f
為系統的取樣頻率，我們分別代入系統X 軸方向與 Y 軸方向等效質量 mx=0.0345Kg 與 my=0.0315Kg，對上式做圖，分別為圖 3-2-5(a)與圖 3-2-5(b)，可以由圖看出在不同的狀況下，黏滯係數 B 對系統的影響。
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9x 104
系統取樣頻率(Hz)
彈性係數(N/m)
(a) X方向B系數穩定曲線
不穩定區
穩定區
圖 3-2-5(a) 在 X 軸方向之 K-f 變化下黏滯係數對系統穩定關係圖
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 0
1 2