系統識別迴歸分析

近年來由於數位電子科技的發達，裝設適當之感應器（

Sensors

）進行 量測及配合系統識別分析，可獲得結構之實際動態參數，且已受到廣泛的 應用，例如：橋樑、鐵軌及重要結構的監測等。這類的技術之所以受到推 廣，完全是因可以最少的人力、資源，且迅速有效地掌握結構之動態反應 特性。

本研究主要探討挫屈連桿（

imperfect columns

）於材料降伏（

yielding

） 後之遲滯消能行為，兩端點假設之邊界條件性質介於固定端

(fixed)

與塑角

（

plastic hinge

）之間，且為便於瞭解其非線性行為，本文利用系統識別之

遞迴預測誤差法作為迴歸非線性公式之依據。

本文所引用之識別技巧為推測

-

適應過濾法（

adaptive filtering

），其屬 於時域分析法，該推估近似值的觀念，請參閱文獻【

21,22

】；其大意為，

先於時間域內確立輸入（

input

）與輸出（

output

）之關係（例如：

ARX

，

ARMA,…

等。）；爾后，利用預測誤差之遞迴最小平方準則，推求每一瞬

間之最佳系統參數。如此一來，吾人便可由一簡單的非線性公式與其相關 參數，來描述結構之非線性動力反應。

該法之優點為：毋須建立複雜的結構非線性模型，預期的系統模型建 立可由簡單的單一輸入

-

單一輸出（

SISO

）擴展至單一輸入

-

多重輸出

（

SIMO

），抑或多重輸入

-

多重輸出（

MIMO

）；僅需藉由少量實驗數據，

即 可 獲 得 良 好 的 收 斂 效 果 ； 可 由 加 權 因 子 調 整 ， 應 用 於 時 變 系 統

離散時間系統之輸入-輸出模型：

線性動力系統之等效離散時間模式，以單一輸入與單一輸出（

SISO

） 的情況為例，可以線性差分方程表示為：

y( ) 1 y( 1) , , y( )

n

a

a

k

+

a k

− + ⋅⋅⋅ +

a k

−

n

0 u( ) 1 u( 1) , , u( )

n

b

b

b k b k b k n

= + − + ⋅⋅⋅ + − （

2.29

）

其中

( ) y

⋅ 代表系統之輸出，

a s ^， _i

為輸出訊號係數，

n _a

為其維度；

( )

u

i 代表系統之輸入，

b s ^， _i

為輸入訊號係數，

n _b

為其維度；

令 A( ) 1

₁ ¹

^a

a

n

q

= +

a q ⁻

+ ⋅⋅⋅ +

a q n ⁻ 1

0 1

B( ) ^b

b

n

q

= +

b b q ⁻

+ ⋅⋅⋅ +

b q n ⁻

並將式（2.29）改寫如下：

y( ) B( )u( ) A( )

k q k

=

q

（2.30）

A( ) y( ) B( )u( )

q k

=

q k

（2.31）

含白噪（white noise）系統模型與預測誤差:

在現實量測訊號中，一定會有雜訊存在，是故為符合實際狀況，遂將 系統模式修正如下：

A( ) y( ) B( ) u( ) C( )e( )

q k

=

q k

+

q k

（2.32）

其中，e( )

k

代表雜訊（white noies），一般假設為零均值(zero mean)；C( )

q

則定義為：

1

( , ) k = ^T ( ) k

y θ ψ θ

（

2.44

）

輸出訊號期望值

y ( , ) k θ

，代表在已知之系統參數

θ

下，所預測的輸出值。將 其估測誤差定義為

( , ) k = y ( ) k − y ( , ) k

ε θ θ

（

2.45

）

倘若識別出來的系統參數

θ

完全正確，則

ε ( , ) k θ = e ( ) k

。

遞迴預測誤差法（Recursive Prediction Error Method）：

根據加權最小平方法之原理，定義系統之整體預測誤差為

2 1

V( , ) 1 ( ) ( , ) ( , )

2

k

s

k k k s s

=

= γ ∑ β ε

θ θ

（

2.46

）

其中

β ( , ) k s

為加權因子；

γ ( ) k

為

β ( , ) k s

之正規化因子

(normalization factor)

， 其定義如下：

1

( ) ^k ( ) 1

s

k k,s

=

γ ∑ β =

^（

^2.47

^）

倘若系統為非時變（

time-invariance system

），可令加權因子為

1

，此時即 相當於最小平方法；相對於時變性系統（

time-variable systems

）而言，加權 因子的功能則可應用于追蹤系統參數隨時間變化的特性，即愈接近瞬時

k

的資料，其所給予的權重也愈大。選擇指數視窗

( , ) β k s = λ ( ) ( k β − k 1, ) s

（

2.48

）

其中

( , ) 1 β k k =

（

2.49

）

0 0

( ) k ( k 1) 1

λ = λ λ − + − λ

（

2.50

）

λ

稱為遺忘因子

(forgetting factor)

，通常採用

λ = ₀ 0.99

，

λ (0) 0.95 =

。為避免 識別結果因雜訊影響而隨時間改變，我們將極小化的標準以期望值表示為

[ ]

E V ( , ) k θ = 0

（

2.51

）

另外，上式亦可根據牛頓

-

瑞福森（

Newton-Raphson

）之迭代法，解出系統 模型參數

[ ] ¹ [ ]

( )

k

= (

k

− − α1)

_t

⎡⎣V" , (

k k

−1) ⎤⎦

⁻

V , (

k k

−1)

θ θ θ θ （

2.52

）

上式中令

α _t = 1

，並經運算整理後，即可得到遞迴形式解 ( )

k

= (

k

− +1) L( ) ( )

k

⎡⎣

y k

−

T

( ) (

k k

−1)⎤⎦

θ θ ψ θ （

2.53

）

其中，

P( 1) ( )

L( ) ( ) ( )P( 1) ( )

k k

k k k k k

= −

λ + ^T −

ψ

ψ ψ

^（

2.54

）

P( 1)

P( ) ( ) ( )P( 1) ( )

k k

k k k k

= −

λ + ψ ^T − ψ

^（

2.55

）

依經驗，通常初始條件

P (0)

的值，可以選擇

P (0) 10 ~ 10 = ^{8 10}

，以加快收斂 速度。

在文檔中 挫屈連桿樓板減振系統之初步研究 (頁 44-49)