耗損因子 η 的迴歸公式

本節針對介紹如何利用遞迴預測誤差法來迴歸耗損因子

η

的方法。首 先針對試體編號: t5A490，施予頻率 0.5Hz~6Hz 及不同振幅 1mm、2mm、

3mm，4mm，5mm 之擾動，並整理實驗結果，繪製耗損因子

η

與干擾頻 率的關係,詳見圖 4.3a、圖 4.4a、圖 4.5a。耗損因子

η

與干擾頻率的關係, 詳見圖 4.3b、圖 4.4b、圖 4.5b。tan 函數及 tan 函數取絕對值後的圖形詳 如圖 4.6a 與圖 4.6b 所示。

觀察圖 4.3 至圖 4.6 比較如下：

由試驗結果識別出來的損耗因子

η

，其值介於

−∞ +∞ ∼

之間，而且 在接近某一特定頻率時會出現有極大值或極小值，此一特徵與 tangent 週期函數相似。實驗結果顯示其與式（2.8）所定義，

( ) ( )

^tan

K K

η ω δ

ω

= ′′ =

′

^（2.8）

情況相符。耗損因子具有幾個重要的物理意義：

(1.) 耗損因子（loss factor）代表的意義為對每一週期消散的能量，其值 為正。

(2.) 以式（2.8）的定義而言，耗損因子

η

為相位差（phase lag）

δ

的函數，

響，相位差會造成遲滯迴圈主軸的旋轉，因而產生彈性儲存勁度為 負值的現象，詳見圖4.7。

(3.) 負勁度的探討：

由圖4.3 至圖 4.6，顯示

η − f

與tan( )

φ φ −

的曲線特徵相近，以 圖4.6 而言，在

φ = n π

2，

n

=1,3,5,...，會有極值出現，而極值的兩 側應是有對稱性，這是tangent 週期函數的特徵；同理，圖 4.3 至圖 4.6 的 2.5Hz 至 3.0Hz 之間也會出現類似之「臨界頻率」，研判

η

−

f

曲線亦具備類似之週期性。所以，此處之負勁度現象，純粹是因為 相位差引起的遲滯迴圈主軸所致，並非結構勁度損失甚至不穩定的 徵兆；因此可以瞭解式（2.8）的定義在模擬遲滯迴圈時，可以改寫 為

( ) ( )

^tan

K K

η ω δ

ω

= ′′ =

′ （4.6）

另外，由圖 4.3 至圖 4.5 發現，在擾動頻率為 2Hz 以下及 4~6Hz 範 圍內，不同振幅的影響則變小許多，且由以上推論

η

− 曲線類似有週期

f

性，因此某段頻寬的特性，便足以表現耗損因子

η

與頻率的變化情形，

因此遂將迴歸公式頻寬取為 0.5～2.0Hz，且為擾動頻率的函數，吾人定 義其迴歸預測公式如下

^{η = a} ( ) ^{ω b}

^（4.7）

其中 a 與 b 為迴歸參數，

ω

=2 f

π

， f 為擾動頻率。

關於式（4.7）的迴歸過程如下所述：

將第三章表（3.2）至表（3.10）內 0.5Hz~2.0Hz 範圍內的

η

值取對數（log）， 並視為式（2.37）之系統輸出項

^{y k ，即} ( )

( )

^log

( )

y k

=

η

（4.8）

並令

( ) ( )

log ,log

T

⎡

e e ^ω

⎤

Ψ = ⎣ ⎦ （4.9）

[ ]

θ= ,

a b ^T

（4.10）

將式（4.9）與式（4.10）相乘，即第二章式（2.44）的輸出訊號期望值

( )

^,θ

y k

，則其預估誤差定義同第二章式（2.45），經式（2.52）的迭代結 果可得式（4.10）中的 a 與 b 值。茲將參數 a 與 b 值的迴歸結果，整理於 表 4.4。

由第三章圖 3.38 至圖 3.46 之結果，可以確認在頻寬為 0.5Hz~2.0Hz 時，各組實驗關係圖均顯示在此範圍內的曲線變化幾乎相同，這是因為 距離「臨界頻率」較遠所致，故將表中各組所有

a 取平均得 _n a _avg

= −1.834。 同理亦可得所有

b 的平均值為 _n b _avg

=0.213。圖 4.8 至圖 4.10 所示者，即 為直接以

a _avg

與

b _avg

為迴歸常數，預測 0.5Hz~2.0Hz 之

η

− 曲線與實驗結

f

果的

η

− 曲線比較。

f

表4.4 經由各組實驗數據迴歸耗損因子

η

公式之 a 與b 參數

迴歸參數

t4A490 t4B485 t4C480

a -1.8713 -1.7957 -1.7838 b 0.22054 0.21395 0.21157

迴歸參數

t5A490 t5B485 t5C480

a -1.8081 -1.9427 -1.8222 b 0.20678 0.21822 0.21119

迴歸參數

t6A490 t6B485 t4A490

a -1.7201 -1.9427 -1.8222 b 0.19967 0.21651 0.21799

0 1 2 3 4 5 6 7 -10

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

frequenc y ( Hz )

lo s s fa c to r: η

η

-freq. t5A490:1mm

1mm

圖4.3a t5A490 以振幅為 1mm,施予不同頻寬所得

η

− 關係圖

f

圖 4.3b t5A490 以振幅為 1mm,施予不同頻寬所得| | f

η

− 關係圖與相位圖

0 1 2 3 4 5 6 7

0 2 4 6 8 10

η

-freq. t5A490:1mm

lo s s fa c to r: | η |

frequenc y ( Hz )

0 1 2 3 4 5 6 7

0 30 60 90 120 150 180

p has e an gle : δ ( ω )

frequenc y ( Hz )

0 1 2 3 4 5 6 7 -10

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

frequenc y ( Hz )

lo s s fa c to r: η

η

-freq. t5A490:2mm

1mm

圖4.4a t5A490 以振幅為 2mm,施予不同頻寬所得

η

− 關係圖

f

0 1 2 3 4 5 6 7

0 2 4 6 8 10

η

-freq. t5A490:2mm

lo s s fa c to r: | η |

frequenc y ( Hz )

0 1 2 3 4 5 6 7

0 30 60 90 120 150 180

pha s e ang le : δ ( ω )

frequenc y ( Hz )

圖4.4a t5A490 以振幅為 2mm,施予不同頻寬所得| | f

η

− 關係圖與相位圖

0 1 2 3 4 5 6 7 -10

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

frequenc y ( Hz )

lo s s fa c to r: η

η

-freq. t5A490:3mm

η

圖4.5a t5A490 以振幅為 3mm,施予不同頻寬所得

η

− 關係圖

f

0 1 2 3 4 5 6 7

0 2 4 6 8 10

η

-freq. t5A490:3mm

lo s s fa c to r: | η |

frequenc y ( Hz )

0 1 2 3 4 5 6 7

0 30 60 90 120 150 180

pha s e ang le : δ ( ω )

frequenc y ( Hz )

0 2 4 6 8 10 -15

-10 -5 0 5 10 15

tan(

φ

) function

t an( φ )

2 φ

π π

圖 4.6a 一般 tan 函數

2

π π

0 2 4 6 8 10

-15 -10 -5 0 5 10 15

| tan(

φ

) | function

| t a n ( φ ) |

φ

圖 4.6b tan 函數取絕對值後的曲線

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 -400

-300 -200 -100 0 100 200 300 400

Hysteresis Loops:3HzS3mm(t5A490)

dis plac em ent (m m )

fo rc e (k g f)

圖 4.7a t5A490 擾動頻率 3Hz 振幅 3mm 之遲滯迴圈

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

-400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400

Hysteresis Loops:4HzS3mm(t5A490)

dis plac em ent (m m )

fo rc e (k g f)

圖 4.7b t5A490 擾動頻率 4Hz 振幅 3mm 之遲滯迴圈

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -400

-300 -200 -100 0 100 200 300 400

d i s p l a ce m e n t (m m )

fo rc e (k g f)

Hys teres is Loops :S3m m (t5A490)

1Hz 2Hz 3Hz 4Hz 5Hz

圖 4.7c t5A490 振幅 3mm 擾動頻率為 1Hz 至 5Hz 之遲滯迴圈

0 1 2 3 4 5 6 7 -10

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

frequenc y ( Hz )

lo s s fa c to r: η

η-freq. t4A490:1mm~5mm

1mm 2mm 3mm 4mm 5mm pred.

圖 4.8a t4A490 之預測

η − f

與實驗

η

− 曲線比較

f

0 1 2 3 4 5 6 7

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

frequenc y ( Hz )

lo s s fa c to r: η

η-freq. t4B485:1mm~5mm

1mm 2mm 3mm 4mm 5mm pred.

圖 4.8b t4B485 之預測

η − f

與實驗

η

− 曲線比較

f

0 1 2 3 4 5 6 7 -10

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

frequenc y ( Hz )

lo s s fa c to r: η

η-freq. t4C480:1mm~5mm

1mm 2mm 3mm 4mm 5mm pred.

圖4.8c t4C480 之預測

η − f

與實驗

η

− 曲線比較

f

0 1 2 3 4 5 6 7 -10

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

frequenc y ( Hz )

lo ss f a ct o r: η

η-freq. t5A490:1mm~5mm

1mm 2mm 3mm 4mm 5mm pred.

圖 4.9a t5A490 之預測

η − f

與實驗

η

− 曲線比較

f

0 1 2 3 4 5 6 7

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

frequenc y ( Hz )

lo ss f a ct o r: η

η-freq. t5B485:1mm~5mm

1mm 2mm 3mm 4mm 5mm pred.

圖 4.9b t5B485 之預測

η − f

與實驗

η

− 曲線比較

f

0 1 2 3 4 5 6 7 -10

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

frequenc y ( Hz )

lo s s fa c to r: η

η-freq. t5C480:1mm~5mm

1mm 2mm 3mm 4mm 5mm pred.

圖4.9c t5C480 之預測

η − f

與實驗

η

− 曲線比較

f

0 1 2 3 4 5 6 7 -10

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

frequenc y ( Hz )

lo s s fa c to r: η

η-freq. t6A490:1mm~5mm

1mm 2mm 3mm 4mm 5mm pred.

圖4.10a t6A490 之預測

η − f

與實驗

η

− 曲線比較

f

0 1 2 3 4 5 6 7

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

frequenc y ( Hz )

lo s s fa c to r: η

η-freq. t6B485:1mm~5mm

1mm

2mm

3mm

4mm

5mm

pred.

0 1 2 3 4 5 6 7 -10

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

frequenc y ( Hz )

lo s s fa c to r: η

η-freq. t6C480:1mm~5mm

1mm 2mm 3mm 4mm 5mm pred.

圖4.10c t4A490 之預測

η − f

與實驗

η

− 曲線比較

f

在文檔中 挫屈連桿樓板減振系統之初步研究 (頁 180-196)