結構物的案例，驗證本法解水波問題的正確性。
第三章 布拉格共振與結構物最佳配置
深入研究在不同共振條件下水面的波形變化，並針對系列結構物各項影響 因子探討布拉格效應。
第四章
本章根據前述數值案例，進一步探討系列結構物於海岸防護之最佳化配 置，並提供設置系列結構物的設計流程。
第五章 結論與建議
整理歸納本文研究，並提出未來的研究方向 附錄A 人工邊界條件的推導
附錄B (2-39)式和(2-40)式的細部推導
7 上式中D 為欲解問題的場(domain)。Laplace 控制方程式需滿足適當邊界條 件才能求得其解。
8 2-2 邊界條件
圖 1-1 矩形潛堤邊界條件
圖 2-2 梯形潛堤邊界條件
9
圖2-3 浮式結構物邊界條件
如圖2-1、2-2、2-3 欲解問題的邊界條件表示如下:
1、 自由表面邊界條件:
) 0 , ( )
,
( − 2 =
∂
∂
g y x y
y
x ω φ
φ (2-7)
2、 底床與剛性結構物邊界條件:
) 0 , (
~
∂ =
∂ nx
y φ x
(2-8)
為邊界上的法向量。
3、 人工邊界條件:
在數值模擬時，基於計算容量的考量，對原本無限長的物理空間，截 取適當的範圍做為計算的領域。本文將原本無限長流場分為三個區域，在 處截取人工邊界，透過下列邊界條件計算出人工邊界條件，第Ⅰ區的 流速勢函數如下，
nx~
l x=±
10
(2-15)式和(2-16)式的來源在附錄 A 中有詳細推導。根據(2-9)-(2-14)式，可 得到反射率與穿透率與φ(2)(x,y)的關係式如下，
11
12
非常重要，需謹慎選擇;經由對核函數的 正規化後，RMM 的源點可直接設置真實邊界上。
上，人工邊界距離真實邊界d，d
2-4a MFS 內域 圖
圖2-4b RMM 內域
13
圖2-4c MFS 外域
圖2-4d RMM 外域
欲求的場解φ利用徑向基底函數(Radial Basis Function, RBF)疊加，如下:
14
15
16 奇異性(hypersingularity)的問題，導致影響係數矩陣奇異性。MFS 的源點須 配置在人工邊界上 人工邊界距離真實邊界 ，因為 影響精度須謹慎。為 了克服以上的缺點 還是將源點 設置真實邊界上 使用subtracting and adding-back[13]的方法來正規化。使用 subtracting and adding-back 的方法須 選擇雙層勢能徑向基底函數的形式，如果選擇單層勢能徑向基底函數，本 式須使用subtracting and adding-back 的方法正規化如下:
∑ ∑
17
(2-37)式和(2-38)式中
∑
和 ，藉由(2-35)式和(2-36) 式的關係式，由於(2-39)式和(2-40)式的細部推導在附錄 B 中說明。(2-23)式和(2-21)式中具有 奇異性的 、 在(2-41)式和(2-42)式中已經轉變為
。
經由subtracting and adding-back 的方法，可以成功消去核函數的奇異項。因 此內域問題的對角線奇異項可以被消除，將 i
18
同樣的，使用subtracting and adding-back[13]的方法求解外域問題，
∑ ∑
19
(2-43)、 (2-44)、(2-47)和(2-48)式對角線奇異項消除之後，線性矩陣經過線 性聯立求出未知αj向量，將αj代入(2-23)式即可計算出流場內的每一個
20
圖2-5 系列矩形潛堤示意圖
如圖2-5 所示， 為水深，h wb為潛堤底部寬度， 為潛堤高度， 為堤 心間距，波浪由負
hs S
x方向往正 方向傳遞。 x
Cho and Lee et al.曾以特徵函數展開法(Eigenfunction expansion method) 進行本算例的計算求解，本文使用RMM 進行分析，分別計算不同潛堤個 數下，反射率變化情形，並與Cho and Lee et al.的結果進行比對，以驗證本 模式的正確性。
在不同週期的波浪下，波高 =0.04m，潛堤列數為 1 至 3 個，潛堤寬 度與水深比為w/h=0.5，潛堤高度與水深比 hs/h=0.5，堤心間距與水深比 S/h=3，固定水深為 h=0.8m，入射波以水平入射，計算反射率的結果分別繪 於圖2-6 至 2-8 中。
AI
21
kh
R
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
RMM (400 source points) Eigenfunction expansion method
圖2-6 單一矩形潛堤(Ns=1)的反射率在各種波數下的變化(w/h=0.5、hs/h=0.5) 圖2-6 為單一潛堤(Ns=1)時反射率隨著不同波數的變化情形。設置 400 個源點。圖中顯示，RMM 的計算結果與 Cho and Lee et al.的結果相吻合。
圖中同時顯示，當kh 為 1.0 時反射率有最大值產生，此點與 Cho and Lee et al.的結果亦相同。
22
kh
R
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
RMM (460 source points) Eigenfunction expansion method
圖2-7 系列矩形潛堤(Ns=2)的反射率在各種波數下的變化(w/h=0.5、
hs/h=0.5、S/h=3)
圖2-7 為兩個潛堤(Ns=2)時反射率隨著不同波數的變化情形。設置 460 個源點。圖中顯示，模式的計算結果與Cho and Lee et al.的結果相吻合，當 潛堤增加為2 個，kh 在 0.3、1.0、2.0 附近時，反射率有明顯的變大的趨勢，
此點亦符合Cho and Lee et al.的計算結果。
23
kh
R
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
RMM (560 source points) Eigenfunction expansion method
圖2-8 系列矩形潛堤(Ns=3)的反射率在各種波數下的變化(w/h=0.5、
hs/h=0.5、S/h=3)
圖2-8 為三列潛堤(Ns=3) 時反射率隨著不同波數的變化情形。設置 560 個源點。圖中顯示，模式的計算結果依然能符合Cho and Lee et al.的結果，
潛堤個數越多反射率越高，且反射率的尖峰值亦越多。當潛堤增加為3 個，
kh 在 0.16、0.46、1.0、1.4、2.0 時，反射率有明顯變大的趨勢，此點亦與 Cho and Lee et al.的結果相同。
24 驗證二: 系列梯形潛堤
圖2-9 系列梯形潛堤示意圖
本研究第二個算例針對一系列梯形潛堤進行模式的驗證。如圖2-9 所 示，h 為固定水深，wt為潛堤頂部寬度，wb為潛堤底部寬度，hs為潛堤高度，
S為潛堤間距，θ 為潛堤的角度。潛堤寬度與水深比為 wt/h=0.5，堤頂寬與 堤底寬比為wt/wb=0.5，潛堤高度與水深比 hs/h=0.5，堤心間距與水深比 S/h=3，固定水深為 h=0.8m，入射波以水平入射。
25
kh
R
0 1 2 3
0 0.2 0.4 0.6 0.8
RMM (460 source points) Eigenfunction expansion method
圖 2-10 系列梯形潛堤(Ns=2)的反射率對應各種波數之變化(wb/h=0.5，
wt/wb=0.5，hs/h=0.5，S/h=3)
圖2-10 為兩個潛堤(Ns=2) 時反射率隨著不同波數的變化情形。設置 460 個源點。如圖所示，模式的計算結果與Cho and Lee et al.的結果相吻合，當 潛堤增加為2 個，kh 在 0.3、1.0、2.0、3.0 附近時，反射率有明顯的尖峰值 出現，此點與Cho and Lee et al.的結果相同。
26
kh
R
0 1 2 3
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
RMM (560 source points) Eigenfunction expansion method
圖2-11 系列梯形潛堤(Ns=3)的反射率對應各種波數之變化(wb/h=0.5，
wt/wb=0.5，hs/h=0.5，S/h=3)
圖2-11 所示，為三個梯形潛堤時反射率對應各種波數的變化情形。設 置560 個源點。如圖所示，模式的計算結果與 Cho and Lee et al.的結果相吻 合，潛堤的個數越多反射率越高，且反射率的尖峰值亦越多。當潛堤增加 為3 個時，kh 在 0.16、0.48、1.0、1.4、2.0、3.0 時，反射率有明顯變大的 趨勢，此點與Cho and Lee et al.的結果相同。
27 驗證三:系列矩形固定浮體結構物
圖 2-12 系列矩形浮式結構物示意圖
本研究的第三個算例則以固定於水面之系列矩形浮體結構物進行模式 的驗證。如圖2-12 所示，穩定週期性入射波浪作用於系列矩形浮式結構物，
結構物的位置固定不動，僅考慮波浪散射問題。當波浪穿過浮式結構物時，
於結構物前方產生反射波，結構物後方則產生穿透波。h 水深為底床至靜水 面的距離，浮體結構物的寬度為wf，結構物吃水深度為df。
Abul-Azm 以特徵函數展開法，在不同波浪條件下，對於不同配置之不 透水浮體結構物，分析其反射率與穿透率的變化。本文配合Abul-Azm 相同 浮體配置條件下，利用RMM 計算不同浮體寬度、不同浮體入水深度下穿 透率與反射率的影響。其中，浮式結構物列數為Nf=1，計算結果分別敘述
28 如下。
圖2-13 及 2-14 分別為不同結構物寬度下穿透率與反射率對應波數的變 化情形。結構物寬度與水深比分別為wf/h=0.5，wf/h=1.0，wf/h=1.5，結構物 入水深度與水深比為df/h=0.25，設置源點與配置點分別為 420 個。如圖顯 示，RMM 的計算結果可以吻合 Abul-Azm 以特徵函數展開法所獲得之結 果。計算結果顯示，隨著結構物的寬度增加，反射率也越大，此點與 Abul-Azm 的結果相同。
kh
R
0 1 2 3 4
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
RMM (wf/h=0.5) RMM (wf/h=1.0) RMM (wf/h=1.5)
Eigenfunction expansion method (wf/h=0.5) Eigenfunction expansion method (wf/h=1.0) Eigenfunction expansion method (wf/h=1.5)
圖2-13 不同寬度比(wf/h)下反射率對應波數的變化(df/h=0.25)
29
kh
T
0 1 2 3 4
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
RMM (wf/h=0.5) RMM (wf/h=1.0) RMM (wf/h=1.5)
Eigenfunction expansion method (wf/h=0.5) Eigenfunction expansion method (wf/h=1.0) Eigenfunction expansion method (wf/h=1.5)
圖2-14 不同寬度比(wf/h)下穿透率對應波數的變化(df/h=0.25)
圖2-15 及 2-16 分別為各種結構物吃水深度下穿透率與反射率隨波數變 化的變化情形。結構物吃水深度與水深比分別為df/h=0.25，df/h=0.5，
df/h=0.75，結構物寬度與水深比為 wf/h=1，設置分別為 420 個源點。如圖 所示，模擬結果與Abul-Azm 的計算結果一致，計算結果顯示，隨著結構物 吃水深度增加，反射率亦越大，而穿透率則越小，此點與Abul-Azm 結果相 同。
30
kh
R
0 1 2 3 4
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
RMM (df/h=0.25) RMM (df/h=0.50) RMM (df/h=0.75)
Eigenfunction expansion method (df/h=0.25) Eigenfunction expansion method (df/h=0.50) Eigenfunction expansion method (df/h=0.75)
圖2-15 不同吃水深度(df/h)下反射率對應波數的變化(wf/h=0.25)
kh
T
0 1 2 3 4
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
RMM (df/h=0.25) RMM (df/h=0.50) RMM (df/h=0.75)
Eigenfunction expansion method (df/h=0.25) Eigenfunction expansion method (df/h=0.50) Eigenfunction expansion method (df/h=0.75)
圖2-16 不同吃水深度(df/h)下穿透率對應波數的變化(wf/h=0.25)
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第三章 系列結構物之布拉格效應
根據Davies and Heathershaw 的研究顯示，若入射波浪之波長為正弦形 沙漣底床波長的兩倍，則波浪會在沙漣底床上逐漸形成駐波，並在沙漣底 床佈置區前方形成共振反射，此現象稱為布拉格反射(Bragg reflection)。本 文以RMM 分別探討系列矩形潛堤，系列梯形潛堤，系列浮式結構物對此 現象的影響，以進一步瞭解結構物與布拉格共振現象之間的關係。探討的 參數如下:(1)矩形潛堤:個數 Ns、相對堤高比hs/h、相對堤底寬比 w/h、堤心 間距2S/L；(2)梯形潛堤: 個數 Ns、相對堤高比hs/h、相對堤底寬比 wb/h、
堤心間距2S/L、堤腳坡度 tan(θ)；(3)浮式結構物:個數 Nf，相對入水深度比 df/h、相對寬度比 wf/h、浮體間距 2S/L。
3-1 布拉格效應
圖3-1 及 3-2 分別為波浪通過矩形系列潛堤時在非布拉格共振條件下和 布拉格共振條件下之自由水面波形，潛堤的位置設置於x/L=6-8 區塊處。在 非布拉格共振條件下，波浪通過系列潛堤時，如圖3-1 所示，自由水面並無 顯著的變化，而在布拉格共振條件下，波浪通過潛堤時，如圖3-2 所示，受 共振機制的影響，潛堤前方出現較大的振幅，而通過潛堤後的穿透波則振 幅明顯變小。
32
x/L
η/H
2 4 6 8 10 12 14
-1 -0.5 0 0.5 1
圖3-1 非布拉格共振條件波數之自由水面變化情形
x/L
η/H
2 4 6 8 10 12 14
-1 -0.5 0 0.5 1
圖 3-2 布拉格共振條件波數之自由水面變化情形
3-2 系列矩形潛堤
本節分別針對系列矩形潛堤各參數與布拉格共振現象之間的關係進行 探討。
(1) 潛堤列數(Ns)
圖3-3 為不同矩形潛堤列數下(Ns=2、3、4)反射率隨堤心間距比(2S/L) 的變化情形。如圖所示，隨著潛堤列數增加，反射率的尖峰值越高，顯示 增加潛堤的數量可提高海岸的保護效果。此外當潛堤的數量增加，布拉格 共振現象在特定的堤心間距比下也明顯出現，如Ns=2 時，在 2S/L=0.9 及 1.7 處，可明顯觀察到兩個反射率的尖峰值，顯示此時有布拉格共振現象的發
33
生。當Ns=3 時，此現象更加明顯，同時，在其他特定堤心間距下也有小規 模的共振現象出現，顯示潛堤的數量增加不僅可提高反射率，同時，也較 易造成布拉格共振現象的發生。
圖中同時顯示，當Ns=2 與 3 時，主諧波區約出現在 2S/L=0.9 處，此結果與 Davies and Heathershaw 的研究結果相近，次諧波區則與 N 的數量有關，當 Ns=3 與 4 時，約出現在 2S/L=1.8 附近，而當 Ns=2 時，則出現在 2S/L=1.7 附近。同時潛堤列數增加則共振時的反射率尖峰值也對應提高。
2S/L
R
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Ns=2 (460 source points) Ns=3 (560 source points) Ns=4 (760 source points)
圖 3-3 矩形潛堤列數(Ns)的反射率對 2S/L 的結果(hs/h=0.5、w/h=0.5)
(2) 相對提高比(hs/h)
圖3-4 為矩形系列潛堤之相對堤高比(hs/h)對反射率 R 的影響。如圖所
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示，相對堤高比(hs/h)越大，布拉格反射率越高。當 hs/h=0.25，布拉格主諧
示，相對堤高比(hs/h)越大，布拉格反射率越高。當 hs/h=0.25，布拉格主諧