國立宜蘭大學土木工程學系（研究所） 碩士論文 Department of Civil Engineering National Ilan University Master Thesis

國立宜蘭大學土木工程學系（研究所）

碩士論文

Department of Civil Engineering National Ilan University

Master Thesis

應用正規化無網格法探討含系列結構物的水波問題 及其布拉格效應

Numerical investigation on water waves problem and Bragg resonance by using the regularized meshless method

指導教授：歐陽慧濤 博士 Advisor:Huei-Tau Ouyang Ph. D.

指導教授：陳桂鴻 博士 Advisor:Kue-Hong Chen Ph. D.

研究生：蔡啟明 Chi-Ming Tsai

中華民國九十九年六月 June,2010

I

摘要

本文以正規化無網格法(regularized meshless method, RMM)探討線性水 波作用於系列結構物時產生的布拉格效應(Bragg resonance)和結構物最佳化 配置。計算結果與前人的研究成果進行比對驗證，比較結果一致，證明RMM 的準確性。本文針對系列潛堤各項影響因子，如潛堤個數(N_s)、相對堤高比 (h_s/h)、相對堤底寬比(w/h)、堤腳坡度(tan(θ))與系列浮式結構物各影響因 子，如浮體個數(N_f)，相對入水深度比(d_f/h)，相對寬度比(w_f/h)，對布拉格 共振的影響，透過不同系列結構物的配置，了解布拉格共振效應的變化。

針對系列潛堤之各項影響參數，探討能達到最大反射率的配置。計算結果 顯示最佳形狀為矩形潛堤，最佳潛堤高度比為 h_s/h=0.6、最佳堤寬比為 w/h=0.67、最佳堤心比為 2S/L=0.8。

關鍵字:正規化無網格法、布拉格共振效應、系列結構物、正規化、反射率、

最佳化配置

II

Abstract

In this paper, the physical phenomenon of the Bragg resonance and the best configuration of structures is studied by utilizing the Regularized meshless method (RMM) when the linear wave pass a series of structures. After comparing with the results in the references, good accuracy in the RMM is validated. The influence factors of structures, N_s (Number of structures), h_s/h (relative height), w/h (relative width), tan(θ) (toe angle), and influence factors of floating structures, N_f (Number of structures), d_f/h (relative draft) and w_f/h (relative width) for Bragg phenomenon influence are considered to study in this paper. Finally, we discuss the best configuration and size of a series of structures in order to obtain the maximal value of reflection coefficient. From observing the numerical results the best shape is rectangular, the best relative height is 0.6, the best relative width is 0.67 and the best relative distance is 0.8.

Keyword:RMM、Bragg reflection、series of structures、desingularition technique、reflection、best configuration

III

謝誌

三年的研究所生涯，就要畫下句點，回想這段研究所的求學過程，深 深的感謝宜大對我的栽培，感謝良師指導與益友的相陪，更感謝這路上家 人和好友的支持，因為你們的鼓勵與協助才有今天的成果!

本碩士論文之完成首要感謝恩師 歐陽慧濤老師與 陳桂鴻老師的悉心 指導與教誨，提供我研究的方法和方向，並在百忙之中細心修改論文，指 正缺失且提出建議，更衷心感謝老師指導我人生處事的道理，才使論文順 利完成。論文口試及初稿承蒙 陳正宗老師和 徐文信老師在百忙之中參與 且提出寶貴的建議與指正，使本論文更加完整流暢，在此致上由衷的感謝。

感謝好友瀟灑、小栩、阿巨、阿陽、小白祥、壯壯、同學等等還有學 長，學弟和學妹們，在我研究所三年期間內陪我一起歡樂，一起打球，有 你們的陪伴讓我研究所生涯不至於無聊。也要感謝我的女友婷，在口試期 間對我的鼓勵跟支持。另外還要感謝系辦在口試時的幫忙與協助，真的非 常的謝謝你們。

最後要感謝我的爸爸媽媽，為了提供我念研究所，努力的賺錢，你們 辛苦了。感謝你們的支持與栽培，讓我在求學過程中無後顧之憂，並得以 順利完成學位，你們真偉大，我愛你們!

IV

目錄

摘要...I Abstract ... II 謝誌... III 目錄...IV 表目錄...VI 圖目錄...VII 符號表... X

第一章 緒論... 1

1-1 前言... 1

1-2 內容組織... 5

第二章 以 RMM 解水波問題 ... 7

2-1 控制方程式... 7

2-2 邊界條件... 8

2-3 數值方法推導... 11

2-4 計算反射率與穿透率... 19

2-5 模式驗證... 19

第三章 系列結構物之布拉格效應... 31

3-1 布拉格效應... 31

V

3-2 系列矩形潛堤... 32

3-3 系列梯形潛堤... 36

3-4 系列固定浮式結構物... 41

第四章 系列潛堤於海岸防護之最佳配置... 47

4-1 最佳束縮比(w_t/w_b)... 47

4-2 最佳相對堤高比(h_s/h)... 48

4-3 最佳寬度比(w/h)與最佳相對堤心間距比(2S/L)... 51

4-4 最佳列數(N_s) ... 54

第五章 結論與建議... 56

5-1 結論... 56

5-2 建議... 56

參考文獻... 58

附錄A 人工邊界條件的推導 ... 62

附錄B (2-39)式和(2-40)式的細部推導 ... 64

VI

表目錄

表4-1 不同潛堤列數對應的反射率增加率 ... 55

VII

圖目錄

圖1-1 表面波長與沙漣底床波長示意圖 ... 2

圖1-1 矩形潛堤邊界條件 ... 8

圖2-2 梯形潛堤邊界條件 ... 8

圖2-3 浮式結構物邊界條件 ... 9

圖2-4a MFS 內域... 12

圖2-4b RMM 內域... 12

圖2-4c MFS 外域... 13

圖2-4d RMM 外域... 13

圖2-5 系列矩形潛堤示意圖 ... 20

圖2-6 單一矩形潛堤(N_s=1)的反射率在各種波數下的變化(w/h=0.5、 hs/h=0.5) ... 21

圖2-7 系列矩形潛堤(N_s=2)的反射率在各種波數下的變化(w/h=0.5、 h_s/h=0.5、S/h=3)... 22

圖2-8 系列矩形潛堤(N_s=3)的反射率在各種波數下的變化(w/h=0.5、 h_s/h=0.5、S/h=3)... 23

圖2-10 系列梯形潛堤(N_s=2)的反射率對應各種波數之變化(w_b/h=0.5， w_t/w_b=0.5，h_s/h=0.5，S/h=3) ... 25

VIII

圖2-11 系列梯形潛堤(N_s=3)的反射率對應各種波數之變化(w_b/h=0.5，

w_t/w_b=0.5，h_s/h=0.5，S/h=3) ... 26

圖2-13 不同寬度比(w_f/h)下反射率對應波數的變化(d_f/h=0.25) ... 28

圖2-14 不同寬度比(w_f/h)下穿透率對應波數的變化(d_f/h=0.25) ... 29

圖2-15 不同吃水深度(d_f/h)下反射率對應波數的變化(w_f/h=0.25) ... 30

圖2-16 不同吃水深度(d_f/h)下穿透率對應波數的變化(w_f/h=0.25) ... 30

圖3-3 矩形潛堤列數(N_s)的反射率對 2S/L 的結果(h_s/h=0.5、w/h=0.5) ... 33

圖3-4 矩形潛堤之相對堤高比(h_s/h)的反射率對 2S/L 的結果(w/h=0.4) ... 34

圖3-5 矩形潛堤之相對堤底寬比(w/h)的反射率對 2S/L 的影響(h_s/h=0.5) .. 35

圖3-6 梯形潛堤之列數(N_s)的反射率對 2S/L 的影響(h_s/h=0.5、w_b/h=0.5、 wt/wb=0.5)... 37

圖3-7 梯形潛堤之相對堤高比(h_s/h)的反射率對 2S/L 的影響(w_b/h=0.5、 wt/wb=0.5)... 38

圖3-8 梯形潛堤之堤腳坡度(tan(θ))的反射率對 2S/L 影響(h_s/h=0.5)... 39

圖3-9 梯形潛堤之相對堤底寬比(w_b/h)的反射率對 2S/L 的影響(tan(θ)=4、 hs/h=0.5) ... 40

圖3-10 比較矩形與梯形系列潛堤對反射率的影響(w_b/h=0.5、w_t/w_b=0.5、 hs/h=0.5) ... 41

圖3-11 浮式結構物列數(N_f)對反射率的影響(d_f/h=0.25、w_f/h=0.5)... 43

圖3-12 浮式結構物相對入水深度比(d_f/h)對反射率的影響(w_f/h=0.5) ... 44

圖3-13 浮式結構物相對寬度比(w_f/h)的反射率對 2S/L 的影響(d_f/h=0.25).. 45

IX

圖4-1 潛堤的反射率對應列數(N_s)與相對束縮比(w_t/w_b)的變化情形

(h_s/h=0.5，2S/L=0.9) ... 48 圖4-2 矩形潛堤的反射率對應列數(N_s)與堤高比(h_s/h)的變化情形

(w/h=0.5、2S/L=0.9)... 49 圖4-3 矩形潛堤的反射率對應堤心間距比(2S/L)與堤高比(h_s/h)的變化情

形(w/h=0.5) ... 50 圖4-4 矩形潛堤的反射率對應相對堤寬比(w/h)與堤高比(h_s/h)的變化情形

(2S/L=0.9)... 51 圖4-5 矩形潛堤的反射率對於列數(N_s)與堤寬比(w/h)的變化情形

(h_s/h=0.6、2S/L=0.9) ... 52 圖4-6 矩形潛堤的反射率對於列數(N_s)與堤心間距比(2S/L)的變化情形

(h_s/h=0.6、w/h=0.5)... 53 圖4-7 矩形潛堤不同堤心間距比(2S/L)於不同堤寬比(w/h)的反射率結果

(hs/h=0.6)... 54 圖4-8 不同潛堤列數的反射率變化(h_s/h=0.6、w/h=0.67、2S/L=0.8) ... 55

X

:入射波流場流速勢函數 :入射波水位

:入射波波高 :波浪週波數

符號表

h :水深

L :入射波波長

Sl :沙漣底床波長

Φ :波場流速勢函數

ΦI

ηI

AI

k

ω

:波浪角頻率 :重力加速度

T_w :波浪週期

l :人工邊界的長度

t :時間

g

φ

:散射波的流速勢函數

:第Ⅰ區的流速勢函數 :第Ⅱ區的流速勢函數 :第Ⅲ區的流速勢函數

) 1

φ(

) 2

φ( ) 3

φ(

XI

R :反射率

T :穿透率

tan(θ) :堤腳坡度

D :欲解問題的場

De :問題的場外

d :源點離真實邊界的距離

e :外域

B1、B₂ :邊界

φ 、ψ :邊界條件

αj :未定係數

s~j :源點

x~i :觀測點

rij : j 源點與 i 觀測點的距離

: j 源點上的法向量 nj

ni : i 觀測點上的法向量

:邊界上的法向量

、 :雙層勢能徑向基底函數

nx~

) , (s_j x_i

T M(s_j,x_i)

XII

:梯形潛堤底部寬度 :潛堤高度

:堤心間距

w :矩形潛堤寬度

wt :梯形潛堤頂部寬度

wb

hs

S

b t

w w

:束縮比

i : −1

，虛數

Ns :潛堤列數

N_f :浮堤列數

df :入水深度

1

的兩倍，

則波浪會在沙漣底床上逐漸形成駐波，並在沙漣底床佈置區前方形成共振 反射，此現象稱為布拉格反射(Bragg reflection)。布拉格反射現象為布拉格 研究X 射線光波通過二平行晶體的反射，發現當晶體間距為半波長整數倍 時，光波反射為最強，將此反射的條件稱為布拉格定律(Bragg's law)。系列 潛堤即利用此原理，透過適當的潛堤配置，使波浪通過潛堤配置區時形成 共振波，進而使反射波增加，並使到達海岸的波浪減小，減少漂砂活動，

以達到保護海岸的目的。

第一章 緒論

1-1 前言

台灣是一個島嶼國家，四面環海，有三分之二的土地面積屬於山坡地，

所以人口多密集在沿海的平原地區，為了保障沿海的經濟繁榮與居民的生 命財產安全，防護海岸是重要且必須的。傳統防護海岸的方法，多構築離 岸堤、突堤，設計原理單純著重於對抗波浪，使波浪產生反射與繞射現象，

進而導致遮蔽區的波浪變小，達到保護海岸的效果，但其最大缺點是突出 水面，破壞了海岸自然環境，也降低人們親水意願。近年來生態環境及休 閒活動受到重視，對一海域之護育不再是單方面的防止波浪入侵，因此在 生態環境與經濟因素考量下，佈置系列潛堤為近年來所考慮的工法之一。

潛堤在建築斷面較離岸堤小，需要之材料工程費較便宜，且不會造成環境 景觀的破壞，同時也具有消波的作用達到防護海岸的效果，故為目前廣泛 研究之工法。

系列潛堤為二道以上之潛堤平行並列於海岸線上。學理上的研究顯 示，如圖1-1，所示若入射波浪之波長(L)為正弦形沙漣底床波長(

s

2

圖 1-1 表面波長與沙漣底床波長示意圖

過去有關潛堤布拉格反射的研究文獻甚多，在理論解析方面，Davies and Heathershaw[11]以攝動法(perturbation theory)解析波浪通過規則起伏之沙洲 底床，研究發現若沙洲底床間距為入射波半波長的整數倍時，則波浪會在 沙洲底床上形成駐波，並且在底床佈置區前方形成共振，即布拉格共振現 象，同時以模型試驗加以驗證。而Mei[20]的理論研究指出，形成沿岸沙洲 的動力機制為波浪在底床邊界層所引起的質量傳輸，若要形成沙洲則此動 力機制需要結合部分駐波才能形成，而此一沙洲造成駐波的巨大反射即布 拉格反射。陳陽益和湯麟武[29]及陳陽益[30]對餘弦波浪形底床上規則前進 重力波之波動作解析，以攝動法求解波形底床在波浪作用下之流速勢，並 對波場解析至第二階，發現因起伏邊界效應作用，會導引出一衍生的波動 場，其強度與波浪尖銳度及波形底床振幅成正比，而當波形底床間距為入 射波波長之一半時，在有限水深下會有布拉格現象產生。

在波浪通過人工沙洲的反射率計算方面，Miles[19]對 Laplace 方程式積 分，利用線性波理論解析等水深底床因微小高度變化造成的反射率公式。

Kirby and Anton[15]擴展 Miles[19]理論，對人工沙洲形狀以富立葉級數展 開，將Miles 之反射公式以顯函數表示，並且同時以理論證實人工沙洲底床

3

間距為入射波長之一半時，波浪將產生布拉格反射，此時反射率最大。引 用Miles[19]的理論，張憲國等人[31]針對矩形、餘弦函數型及三角形三種人 工沙洲進行比較，以斷面水槽實驗分析，其結果顯示，相同個數之沙洲以 矩形之反射率為最大。並同時指出，人工沙洲個數在達到 8 個以上時，幾 乎可達全反射。岳景雲等人[32,33]並以邊界元素法來加以解析波浪通過潛 堤時，若改變波浪入射角度、堤高、堤寬、潛堤形狀及堤邊坡時之反射率 大小。Chen et al.[3]以對偶邊界元素法(Dual boundary element method)解析波 浪斜向入射潛堤的消波影響，計算反射率、穿透率和流場的變化。

前人在處理浮式結構物時，多採用數值計算(Abul-Azm and

Williams[1]、Ijima et al.[14]、Lee[18])或以實驗的方式(Sanmasiraj et al.[22]) 進行研究，藉以克服結構物為任意幾何形狀所造成理論解析上的困難。解 析波浪作用於二維浮式結構物之問題時，入射波浪為已知，受影響的波浪 場與結構物三個自由度的運動量則為未知。對於此問題的求解，因為微小 振幅波理論中線性化的假設，可採用散射問題與輻射問題疊加的概念 (Sarpkaya and Isaacson[21])，讓求解的過程更為明確化。所謂的散射問題與 輻射問題分離的概念，是將浮式結構物在波浪作用下的運動行為分為兩個 部份，一為入射波浪遇到靜止結構物，部份波浪被結構物反射，部份波浪 透過結構物的散射問題，以入射波條件配合結構物邊界條件即可求解；另 一為結構物作週期性運動往外造波的輻射問題，利用已知振幅條件求解。

上述分離概念理論上是可行的，基本上散射問題與結構物作上下浮動或是 轉動的幅射問題中，因結構物下方的波浪場域有非齊性的邊界條件，若使 用分離變數法則無法直接求解，因此在求解波浪作用於二維浮式結構物的 問題，大都使用數值方法計算。

在各類型的數值方法中，無網格法為近十來研究者的主要探討對象之 一，無網格法於分析物理問題時，無須於計算域設置複雜的網格，而只需

4

要在領域或邊界上設置一些配置點(collocation points)，便可進行計算，且能 達到準確度，因此較FEM、FDM、BEM 等數值方法佔有優勢。

基本解法(The method of fundamental solutions, MFS)為無網格法的一 種 ， 且 曾 經 被 廣 泛 應 用 在 各 種 工 程 問 題 的 分 析 上(Fairweather and karageorghis[12]、Tsai[23]、Young and Tsai et al.[24,25])。為了避開奇異的問 題，MFS 須將源點設置於人工邊界上，人工邊界為一個輔助的邊界，設置 於距真實邊界一段間距之領域外位置上，可是對於一般或複雜的工程問 題，人工邊界與真實邊界的距離受到爭議，因此MFS 沒有成為流行的數值 方法。

Chen et al.[6,7]和 Kang et al.[16,17]以及 Chen et al.[4,5]等人以邊界結點 法(Boundary collocation method, BCM)或(Boundary knot method, BKM)解決 源點在真實邊界時所造成的奇異問題，使用非奇異核函數(the non-singular kernels)代替奇異的基本解(singular fundamental solutions)。BCM 和 BKM 成 功處理很多這種類型的問題，同時改善設置人工邊界含糊不清的缺點。方 法主要的不同在於選擇徑向基底函數(Radial Basis Function, RBF)代替基本 解的技巧上。然而採用非奇異核函數的計算結果比使用奇異基本解的計算 結果較可能產生病態問題(ill-posed)。另一個改善的方法稱為邊界結點混合 法(Hybrid boundary node method, Hybrid BNM)[27,28]，結合移動最小平方法 (the moving least squares, MLS)與混合位移變化公式(hybrid displacement variational formulation)。但這些方法只適合在計算規則的幾何 Dirichlet 邊界 和 Neumann 邊界上。即使這些方法可將源點直接設置在真實邊界上與使用 非奇異核函數，但仍然發生一些在矩陣病態的困難，因此最近我們發展出 正規化無網格法(regularized meshless method, RMM)[26]。

此法對 MFS 進行修正，並建立一套新的方法，稱為正規化無網格法 (regularized meshless method, RMM)，克服 MFS 的缺點。Chen and Chen et

5

al.[9] 和 Chen and Kao et al.[10]以 RMM 求解多連通邊界值問題，成功將源 點設置於邊界上，並求解二維的數值問題，消除MFS 中設置人工邊界上的 困擾，並使用加減扣除法(subtracting and adding-back[13])的技巧將強奇異與 超強奇異(singularity and hypersingularity)的矩陣予以正規化，在求解數值問 題中，解變的穩定不易發散。

本文以 RMM 針對三種結構物做數值模擬，即為系列矩形潛堤、系列 梯形潛堤和系列浮體結構物，在求解水波問題時，將波浪場分為三個區域 並假設邊界，將配置點與源點設置於影響範圍邊界上，建立徑向基底函數 疊加配合邊界條件，求解反射率與穿透率。數值結果與Aubl-Azm[2]與 Cho and Lee et al.[8]的結果作驗證，證明本法的結果與文獻具有的一致性。本文 探討系列潛堤在線性入射波條件下，針對系列潛堤各項影響因子，如潛堤 列數N_s、相對堤高比 h_s/h、相對堤寬比 w/h、堤腳坡度 tan(θ)對布拉格共振 的影響，及浮式結構物的各項影響因子，浮式結構物列數 N_f、相對吃水深 度比d/h、相對寬度 w_f/h 對布拉格反射率的影響，透過不同系列結構物的配 置，了解布拉格共振的情況。進一步，針對系列潛堤之各項影響參數，探 討能達到最大反射率的配置，以提供未來工程設計上之參考。

1-2 內容組織

本文內容分為五個章節，分別說明本文研究方法與計算結果討論，章節內 容分述如下:

第一章 緒論

說明研究目的、文獻回顧、研究方法及內容組織等。

第二章 以RMM 解水波問題

描述求解的問題及正規化無網格法求解的公式推導過程，針對3 種含系列

6

結構物的案例，驗證本法解水波問題的正確性。

第三章 布拉格共振與結構物最佳配置

深入研究在不同共振條件下水面的波形變化，並針對系列結構物各項影響 因子探討布拉格效應。

第四章

本章根據前述數值案例，進一步探討系列結構物於海岸防護之最佳化配 置，並提供設置系列結構物的設計流程。

第五章 結論與建議

整理歸納本文研究，並提出未來的研究方向 附錄A 人工邊界條件的推導

附錄B (2-39)式和(2-40)式的細部推導

7

第二章 以 RMM 解水波問題

2-1 控制方程式

假設波浪場為非黏性、非旋流且不可壓縮的流體，考慮微小振幅入射波為 穩定週期性運動，波浪場流速勢能函數表示如為:

Φ(x,y,t)=φ(x,y)e^−iωt (2-1)

上式中φ( yx, )為散射波的勢能函數。控制方程式為Laplace 控制方程式表示 如下，

0 ) ,

2 ( =

∇ φ x y , (x,y)∈D (2-2) 上式中D 為欲解問題的場(domain)。Laplace 控制方程式需滿足適當邊界條 件才能求得其解。

假設入射波為一正向週期平面波，入射波水位 及入射波造成之流場勢函

數 可分別表示為:

ηI

ΦI

{

}

Re ) ,

( ^{I ikx t}

I x t A e ^ω

η = ^{− +} (2-3)

( )

cosh ( )

( , , )

cosh( )

I I g k y h i

x y t iA e

kh

kx ωt

ω ^{− +}

Φ = + (2-4)

上式中A^I為入射波波高，k 為波浪週波數，ω為波浪角頻率， 為重 力加速度，

g

，

Re

Tw

ω=²π

−1

=

i ，Tw為波浪週期，波浪

分散關係如下，

(2-5) )

tanh(

2 = gk kh

ω

8 2-2 邊界條件

圖 1-1 矩形潛堤邊界條件

圖 2-2 梯形潛堤邊界條件

9

圖2-3 浮式結構物邊界條件

如圖2-1、2-2、2-3 欲解問題的邊界條件表示如下:

1、 自由表面邊界條件:

) 0 , ( )

,

( − ² =

∂

∂

g y x y

y

x ω φ

φ (2-7)

2、 底床與剛性結構物邊界條件:

) 0 , (

~

∂ =

∂ nx

y φ x

(2-8)

為邊界上的法向量。

3、 人工邊界條件:

在數值模擬時，基於計算容量的考量，對原本無限長的物理空間，截 取適當的範圍做為計算的領域。本文將原本無限長流場分為三個區域，在 處截取人工邊界，透過下列邊界條件計算出人工邊界條件，第Ⅰ區的 流速勢函數如下，

nx~

l x=±

10

( ) [ (

) ]

_{( )}

kh y h e k

R e

y

x ^{i x l i xl}

cosh ) ( , cosh

) 1

( +

+

= ^{η + −η +}

φ (2-9)

上式中上標(1)表示第Ⅰ區，R 為反射係數。第Ⅲ區的流速勢函數如下，

( )

( ( ) ) ( )

y h Te k

y

x ^{i x l}

cosh , cosh

) 3

( = ^{η −} +

φ (2-10)

上式中T 為穿透係數。

Ⅰ與Ⅱ區域連續條件如下:

) , ( ) ,

( ⁽²⁾

) 1

( −l y =φ −l y

φ (2-11)

l x l

x x

x ₌₋ ∂ ₌₋

= ∂

∂

∂φ⁽¹⁾ φ⁽²⁾ (2-12)

上標(2)表示第Ⅱ區

Ⅱ與Ⅲ區域連續條件如下:

) , ( )

,

( ⁽²⁾

) 3

( l y φ l y

φ = (2-13)

l x l

x x

x ₌ ∂ ₌

= ∂

∂

∂φ⁽³⁾ φ⁽²⁾ (2-14)

根據連續條件(2-9)-(2-14)式求得上下游邊界條件如下:

l

kh x

y h k x

ik ₌₋

= +

∂ + ∂

) cosh(

)) ( cosh(

2 1 ⁽²⁾

) 2

( φ

φ (2-15)

l

x x

ik = ₌

∂

− 1 ∂ ⁽²⁾ 0

) 2

( φ

φ (2-16)

(2-15)式和(2-16)式的來源在附錄 A 中有詳細推導。根據(2-9)-(2-14)式，可 得到反射率與穿透率與φ⁽²⁾(x,y)的關係式如下，

11

∫

−

= ^{0 (2)}

0

) cosh(

) , ) (

sinh(

1 h l y ky dy

kh n

R k φ (2-17)

∫

= ^{0 (2)}

0

) cosh(

) , ) (

sinh( ^h l y ky dy

kh n

T k φ (2-18)

上式中，

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

= sinh(2 ) 1 2

2 1

0 kh

n kh (2-19)

2-3 數值方法推導

正規化無網格法(RMM)為基本解法(MFS)的改良，因此本節分為兩小結 介紹數值方法的推導，先介紹MFS 的解題步驟，在推導為 RMM，詳述如 下，

2-3-1 基本解法(MFS)

考慮一個邊界值問題，存在一流速勢能φ(x)，滿足Laplace 方程式，如下:

0 )

2 ( =

∇ φ x ,x∈D (2-20) 邊界條件如下:

φ

φ(x)= ,x∈B₁ (2-21) ψ(x)=ψ ,x∈B₂ (2-22)

上式中 為梯度運算子， 為欲解問題的場， 為問題的場外。 屬於

Dirchlet 邊界定義為

∇ D D^e B₁

φ ;B₂屬於Neumann 邊界定義為ψ，ψ(x)=∂φ(x)/n_x 所示:為內域問題與外域問題

。 和 建構整個問題場內 的邊界。如下圖2-4

MFS 和 RMM 設置源點與配置點的配置。MFS 的源點需設置在人工邊界

B1

B2 D

12

非常重要，需謹慎選擇;經由對核函數的 正規化後，RMM 的源點可直接設置真實邊界上。

上，人工邊界距離真實邊界d，d

2-4a MFS 內域 圖

圖2-4b RMM 內域

13

圖2-4c MFS 外域

圖2-4d RMM 外域

欲求的場解φ利用徑向基底函數(Radial Basis Function, RBF)疊加，如下:

14

∑

= ^N

j

j i j i

i T s x

x

1 )

( (~ ,~ )

~ )

( α

φ ,x~_i ∈B (2-23)

∑

= ^N

j

j i j i

i M s x

x

1 )

( (~ ,~)

~)

( α

ψ ,~x_i∈B (2-24)

上式中T⁽ⁱ⁾(~s_j,~x_i)的上標(i)代表內域的RBF 形式，下標 和i j分別代表源點 與配置點的個數，M(~s_j,~x_i)=∂T(~s_j,x~_i)/∂n_x，α_j為第 j個未定係數，s_j為第 j個 源點，x_i為i個配置點，N為源點的總數目。係數

{ }

本文選擇雙層勢能徑向基底函數，如下所示:

{ }

2

)

~) ((~ ) , (

ij j j i i

j r

n s x x

s

T − ⋅

−

= (2-25)

2 4

) ( )

~ ) )((~

~ ) ((~ 2 ) , (

ij i j ij

i j i j j i i

j r

n n r

n s x n s x x

s

M ⋅

⋅ −

−

⋅

= − (2-26)

上式核函數為兩點的函數，上式中r_ij = ~ −s_j x~_i 為源點與配置點的距離， 為 源點

nj

s~j 上的法向量，n_i 為x~_i配置點上的法向量。將 個配置點置於邊界上，

得到的線性系統形式如下:

N

{ } [ ]

{ } { }

, 2

, 1 ,

, 2 2

, 2 1 , 2

, 1 2

, 1 1 , 1

i j

i j

N N N

N

N N

T a

a a

a a

a

a a

a

φ α

α = =

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

K M O M M

L L

(2-27)

{ } [ ]

{ } { }

, 2

, 1 ,

, 2 2

, 2 1 , 2

, 1 2

, 1 1 , 1

i j

i j

N N N

N

N N

M b

b b

b b

b

b b

b

ψ α

α = =

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

K M O M M

L L

(2-28)

上式中，

15

~)

~ ,

)(

(

i j i

ij T s x

a = , i, j =1,2,...,N (2-29)

~ )

~ ,

)(

(

i j i

ij M s x

b = , i,j =1,2,...,N (2-30) 同樣的，求解外域問題時，

∑

= ^N

j

j i j e

i T s x

x

1 )

( (~ ,~)

~)

( α

φ _,^~_xi∈B (2-31)

∑

= ^N

j

j i j e

i M s x

x

1 )

( (~ ,~ )

~ )

( α

ψ ,x~_i ∈B (2-32)

上式中T^(e)(~s_j,~x_i)的上標 代表外域的RBF 形式，配合邊界條件，得到 線性系統形式如下:

) (e

{ } [ ]

{ } { }

, 2

, 1 ,

, 2 2

, 2 1 , 2

, 1 2

, 1 1 , 1

e j

e j N N N

N

N N

T a

a a

a a

a

a a

a

φ α

α = =

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

K M O M M

L L

(2-33)

{ } [ ]

{ } { }

, 2

, 1 ,

, 2 2

, 2 1 , 2

, 1 2

, 1 1 , 1

e j

e j

N N N

N

N N

M b

b b

b b

b

b b

b

ψ α

α = =

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

K M O M M

L L

(2-34)

同樣以內域問題相同的求解程序，可得到外域問題的場解。內域與外域的 核函數關係式如下:

j i

j i x s T x s T

x s T x

s T

i j e i j i

i j e i

j i

=

≠

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

−

=

, ,

~)

~ , (

~)

~ , (

~)

~ , (

~)

~ , (

) ( )

(

) ( )

(

(2-35)

j i

j i x s M x s M

x s M x s M

i j e i

j i

i j e i

j i

=

≠

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

, ,

~)

~ , (

~)

~ , (

~)

~ , (

~)

~ , (

) ( )

(

) ( )

(

(2-36)

上式中，其判斷方式根據法向量方向而定，在場內和場外設置配置點

16

x~i，內域的核函數T⁽ⁱ⁾(~s_j,~x_i)與外域T^(e)(~s_j,~x_i)的核函數，因源點的法向量方向 相反，核函數相差一個負號;將x~_i趨近 ，內域的核函數與外域的核函數，

源點法向量方向相同，核函數亦相同。同樣在場內和場外設置配置點

s~j

x~i，內 域的核函數M⁽ⁱ⁾(~s_j,~x_i)與外域 ^(e)(~ ,~)

x

i j x

s 的核函數

i

M ，因配置點與源點的法向量

方向皆相反，則核函數相同; 將^~趨近s~_j，內域的核函數與外域的核函數，

配置點與源點法向量方向皆相同，固核函數相同。

MFS 在源點s~_j 與配置點x~_i同在問題邊界上會有奇異性(singularity)與超 奇異性(hypersingularity)的問題，導致影響係數矩陣奇異性。MFS 的源點須 配置在人工邊界上 人工邊界距離真實邊界 ，因為 影響精度須謹慎。為 了克服以上的缺點 還是將源點 設置真實邊界上 使用subtracting and adding-back[13]的方法來正規化。使用 subtracting and adding-back 的方法須 選擇雙層勢能徑向基底函數的形式，如果選擇單層勢能徑向基底函數，本 正規化法將無法使用，詳見[25]。

2-3-2 正規化無網格法(RMM) 當源點

，

，

d d

j ，並

s~

s~j靠近配置點x~_i時，(2-23)、(2-24)式會發生奇異性。(2-23)和(2-24) 式須使用subtracting and adding-back 的方法正規化如下:

∑ ∑

= =

−

= ^N

j

N j

i i j e j

i j i

i T s x T s x

x

1 1

) ( )

( (~ ,~) (~,~)

~)

( α α

φ ,x~_i ∈ B (2-37)

∑ ∑

= =

−

= ^N

j

N j

i i j e j

i j i

i M s x M s x

x

1 1

) ( )

( (~ ,~) (~ ,~)

~)

( α α

ψ ,~x_i ∈B (2-38)