為了闡述本文所提出之方法，線性解析解與非線性數值求解主要將針對典型矽 質 類 含 壓 電 層 之 兩 層 不 對 稱 圓 型 板 件 作 探 討 ， 即[Si/Poly-Si](L
a
) 與 [SiO2
/ Poly-Si](Lb
)，其疊層材質與各疊層厚度如表一所示。在各式負荷與相關物理參數，即預拉伸力(k)、側向面壓(P)與電壓(V)大小等條件下，分別求取線性與非線性大撓曲 問題之各式幾何回應與結構回應。其中，板件半徑(a)取為總厚度(h)之 40 倍。同時，
預拉伸力則延Sheplak & Dugundji[13]所取之大小，即 k =1, 5, 10, 20, 50。而電壓(V) 大小則引用Wang et al.[27]所提，亦即 V=1, 5, 10, 20, 30(Volt)，以探討各種參數對構 件之各式幾何回應所造成之影響。唯為驗證本文所提之方法，求解過程將先考量擬 單層疊序之L
a
板件([Si/Poly-Si])，並觀察輕微電壓(V=1(Volt))下之各式幾何回應，以 與Sheplak & Dugundji[13]所提單層圓型板件在純機械負荷下之結果作比較，而壓力 敏性之結果則與Saini et al[58]之解做比較，所得結果如圖二所示。其次，擬單層板 件(La
)與典型不同材質疊層板件(Lb
)之線性解析解，在各種參數條件下之各式幾何回 應(如：中心撓度、全域式之斜率、撓度、曲率與最大徑向應力)，則示於圖 3 至圖 17。對於其非線性問題之數值解，則除了各式參數均與線性解析解相同之外，另同 時考慮不同面壓(P)大小，即 P =1、101
、102
、103
、104
、105
等，以求取其無因次之 側向斜率( /W
0)、撓度(W /W
0)、曲率( / P
)、中心撓度(W /
0P
)、最大線性面壓(P max
)、徑向力合(
S S
r/
0)、環向力合(S S /
0)以及最大徑向應力(
r/ p
0)等。數值求解過程 中，為加快迭代收斂速度所引用之低鬆弛因子
取為 0.2[13]，而數值收斂性判斷所 採用之收斂精準度，即斜率解在迭代前後之精準度則取在 c 0 . 005
以內，以為收 斂，其結果將示於圖18 至圖 37，各式線性解析解與數值結果之物理觀察，分述如下。4-1 壓電效應下大撓曲問題之線性解析解
在前述各式物理參數條件下，所得之各式幾何回應線性解析結果如圖 2 至圖 17 所示。其中，在極低電壓(V=1)條件下，擬單層之 L
a
板件各式幾何回應(如：中心撓 度、無因次之斜率、撓度、曲率與無因次最大徑向應力等)之徑向分佈結果與現有文 獻[13][58]之比較示於圖 2，而各式電壓下不同疊層板件(La
與 Lb
)之中心撓度，以及 全域式斜率、撓度與曲率之徑向分佈暨最大徑向應力解則分別示於圖3、4~7、8~13與圖15~17。唯為觀察模數比的變動對於疊層板件之影響，本文另觀察相同疊層厚度 條件下，在極低電壓(V=1)與不同預拉伸力(k)作用下，其無因次之斜率解，所得結果 示於圖 7。由圖 2 觀察可發現，在不同預拉伸力(k)條件下，L
a
板件之結果與現有文 獻[13][58]均相當脗合。唯由圖 2(d)與(e)發現，曲率與壓力敏性之解在極低預拉伸力 (k=1)下會有些微差異，即輕微電壓(V)作用下壓電效應所產生之些微影響，但並不明 顯。同時，隨預拉伸力(k)之提高兩組曲線便接近重疊，也驗證本文所提線性解法之 正確性。其次，不同疊層板在各式預拉伸力(k)及電壓(V)條件下之中心撓度、斜率、撓度、曲率與壓力敏性的徑向變化將分述如下。
4-1.1 中心撓度之結果
圖 3 為各式電壓(V)及不同疊層材質條件下，無因次板中心撓度對預拉伸力(k)大 小之關係曲線圖。由圖3 發現，無論電壓(V)大小如何在低預拉伸力範圍內(k =0.1~1)，
曲線均似乎呈水平分佈，亦表示中心撓度與預拉伸力為一線性關係，即 Sheplak &
Dugundji[13]所提之板行為。然而，隨著預拉伸力提高，曲線開始出現轉折並呈現一 近乎(
W
0 1 k
2)之非線性關係，亦即隨著預拉伸力(k)逐漸的提高，板件將由板行為 轉為薄膜行為[13]。此外，比較各式電壓下之結果可發現，隨著電壓(V)提高板件之 轉折行為將越早出現，即表示壓電效應會造成板件呈現板行為之預拉伸力範圍縮 小。另一方面，La
([Si/Poly-Si])板件之中心撓度大於 Lb
([SiO2
/ Poly-Si])板件，且 Lb
板件之轉折行為較L
a
板件更早出現。另外，當電壓提高至(V =20)情況下，則發現在 低預拉伸範圍內，Lb
板件之中心撓度反而高於La
板件，但隨著預拉伸參數逐漸提高，L
b
板件之中心撓度其降低幅度明顯大於La
板件，在k 接近1 時，其中心撓度便低於 La
板件。由此可見，在低預拉伸力條件下，電壓效應的影響較為明顯，反之，高預 拉伸力條件下，前述效應已遠不如預拉伸效應所造成的影響。此外，此結果也代表，L
b
板件於此電壓下，板行為存在之預拉伸力範圍非常狹窄(k =0.0~0.3)，其轉折行為 甚早出現(約略在 k =0.3~1.0 區域)，而薄膜行為則是在相當低的預拉伸力下(k ≒1) 時便已出現。4-1.2 全域式斜率之結果
在各式電壓下，於不同預拉伸力(k)大小時之無因次側向斜率的徑向分佈示於圖
4~6。由結果可發現，無論施於壓電層之電壓(V)大小如何，斜率之徑向變化均在低 預拉伸力(k)時呈平滑之拋物線式分布，並滿足板中心與夾固端零斜率之邊界條件。但隨著預拉伸力(k)之提高，曲線逐漸往夾固端方向偏移，在極大預拉伸力(k=50)時，
明顯於緊鄰夾固邊界呈現出急遽之徑向變動。峰值也似乎隨 k 值之提高而逐漸往夾 固端接近並變大，此即文獻[13]所提之邊界區域效應(Edge Zone Effect)。此峰值之大 小與位置甚至幾乎不受電壓(V)大小變動之影響。換言之，在即高預拉伸力下(k=50)，
預拉伸(機械力)效應明顯可大於壓電效應，也主導幾何回應之結果，此現象明顯可再 由圖5 與圖 6 所提出之固定預拉伸力下不同電壓大小時之斜率結果來證明。於兩圖 中(圖 5 與圖 6)，顯見 k≧20 時，各式電壓下之斜率解均已重疊。
唯比較各圖之結果則可發現，於中、低預拉伸力(k≦20)下，電壓(V)大小之變動 確實對於斜率解有明顯影響，即提高施於壓電層之電壓(V)，將明顯使得不同預拉伸 力(k)下之斜率曲線的差異越趨顯著。亦即中低預拉伸力(k)下，板件將對於電壓(V) 變動有較敏感之回應，代表有較明顯之壓電效應。此現象在極低預拉伸力(k=1)下猶 為明顯，蓋比較圖4 中之 k=1 曲線或圖 5、6 之(a)可發現，不同電壓下之解於此情況 下差異最為顯著。然而比較 L
a
與 Lb
兩板件之結果可發現，不論是在各式電壓(V)或 預拉伸力(k)條件下，其解之間的差異似乎均極輕微，代表疊層材質變動之影響相當 不明顯。略為可見之差異雖在低預拉伸力(k=1)與高電壓(V=30(Volt))下可予窺見，但 依舊不明顯。此外，為了觀察疊層效應對於疊層板件之影響，故本文另在低電壓(V=1)與各式 預拉伸力條件下，依表一之原疊層厚度，但變動其模數比，即E
1
/E2
=0.2、0.5、0.9，來觀察預拉伸力與疊層效應之合併影響，如圖 7 所示。由結果發現，在低預拉伸力 (k=1)下，疊層材質效應幾乎不造成任何影響，唯隨著預拉伸力之提高(k≒5~20)，會 逐漸產生些微差異，但當預拉伸力提高至k=50 時，其間的差異又反而變小，其現象 可藉由圖 2(a)之中心撓度解所顯現之轉換行為來解釋。易言之，此一預拉伸力範圍 明顯在板-膜行為之轉折過程中，代表於此範圍內，變動疊層材料性質，會對板件之 幾何回應有明顯影響。另外圖 7 發現，低模數比板件之邊界區域效應略比高模數比
板件來得顯著，推其原因，則應係由於前者上層楊氏係數較高之故，藉由無因次定 義可發現，前者所承受之實際面壓遠大於後者，故其板行為出現之範圍更集中於夾 固端，以致邊界區域也更緊鄰夾固邊界。
4-1.3 全域式撓度之結果
不同疊層材質板件(L a
與 Lb
)在各式電壓(V)條件下，無因次之全域式撓度徑向分 佈圖，示於圖 8~10 觀察其結果可發現，在各式電壓(V)下不同疊層材質之板件其撓 度解均呈現類似餘弦狀之曲線，但值得注意的是其於鄰邊界處，不論k 值與 V 值大 小如何，確實都有曲線反折以滿足零斜率之現象。另外，由圖八可發現，在近乎無 預拉伸力(k=1)情況下，夾固式邊界區域內的徑向撓度變化較為平緩，而隨著預拉伸 力(k)提高，緊鄰邊界處之撓度變化越趨急遽，當預拉伸力提高至 k=50 時，臨邊界區 所對應之曲線幾乎成一斜線，此時呈現之急遽轉折行為，也反應之前所提之邊區效 應現象。此外，由圖 8~10 觀察也可發現，在中、低預拉伸力(k≦20)條件下，隨著電壓(V) 之提高，變動預拉伸力(k)，對於撓度解之影響更趨明顯，以致於不同 k 值下之撓度 解曲線差異更大，近板件中心區之曲線變得較為陡峭，唯隨著預拉伸力(k)提高曲線 則逐漸轉為平緩，而在高預拉伸力(k=50)狀況下，變動電壓(V)大小幾乎不造成影響，
如圖 9、10 之(e)所示。此外，由兩種疊層材質板件之結果比較可發現，兩者在中、
低預拉伸力(k≦10)下會隨著電壓提高產生略微差異，唯此差異似僅在低預拉伸力 (k=1)與高電壓(V=30(Volt))條件下，稍可窺見，但其影響依然不明顯。
4-1.4 全域式曲率之結果
在各式電壓(V)與不同疊層材質(L a
與Lb
)條件下，無因次曲率徑向分佈圖示於圖 11~13。其中，在中低電壓(V =1~10)與低預拉伸力下，曲線均呈現一平緩拋物線狀，亦即於中心區呈負值而大約在
=0.6 位置附近以外區域則呈正值，而隨著預拉伸力 (k)提高，曲線更趨扁平，板件中心區域則逐漸呈水平線分佈。唯在夾固端邊界處，由於受夾固邊界之影響，其曲率有急遽變化，曲線有上揚之趨勢。此外，所對應之 預拉伸力(k)愈高，其夾固邊界曲線揚昇變化更為陡峭，此情形與先前斜率解相同，
即隨著預拉伸力(k)參數提高，板件中心區逐漸呈現零曲率之薄膜行為，僅靠近夾固 邊界處才呈現板行為。另外，由圖12 與 13 發現在各式電壓作用下，中、高預拉伸 力對於電壓(V)變化幾乎不造成影響，僅在低預拉伸力(k=1)下曲率解會隨著電壓增加 而有明顯的增大。
另一方面，從圖 11 發現在中、低預拉伸力(k≦20)條件下，無論施加之電壓大小 如何，兩種疊層材質板件都有明顯差異，由於 L
a
疊層板件上層楊氏(E1
)係數較大，因此由無因次面壓之定義可得知，實際上其所承受之面壓也相對更大，致其曲率解 之勁向變化也較L
b
疊層板件更為劇烈。唯隨著預拉伸力(k)提高，兩者間的差異逐漸 縮小，由圖12、13 可發現，預拉伸力 k≧20 時，各式電壓下之曲率曲線已明顯幾乎 呈零值且完全重疊，僅於極近夾固邊界有略為揚昇之變動。此外，由圖12、13(a)可 發現，在k=1 時，隨著電壓(V)逐漸提高，其曲率解將由拋物線型態逐漸轉為三角函 數式曲線，此情況與撓度解在低預拉伸力(k=1)下，板件隨著電壓增高，其中心區之 撓度曲線越趨陡峭之現象相符，當電壓提升至 V=30(Volt)時，低預拉伸力(k=1)曲率 解之值會呈現正負相反之情況，即其值已超過線性解析解之精確範圍內，本文針對 此一現象另作深入探討，發現正負號變化之極值為(V=22~23 Volt)之間。然而，進一 步作無因次化之後，所得無因次斜率( /W
0)與撓度(W /W
0)之結果其變動趨勢雖與中 低電壓下之解相仿，但其個別之無因次斜率
與撓度W
之解和曲率解相同，在低預 拉伸力(k=1)及高電壓(V=30(Volt))時有正負值完全相反之情況，其個別之無因次斜率
與撓度W
之徑向變化示於圖14。4-1.5 全域式徑向最大應力之結果
在各式電壓(V)與不同預拉伸(k)條件下之無因次徑向最大應力(
r/ p
0)徑向分佈 圖，示於圖15~17。由結果觀察可發現，在中低電壓(V=1~10 Volt)與低預拉伸力時，曲線在中心區均呈現正值，而於大約
=0.6 位置附近則轉為負值之平緩拋物線，而 隨著 k 值逐次提高，板中心區大部分的範圍逐漸貼近水平軸並呈一水平常值分佈，唯受夾固邊界之影響，於鄰近邊界處區域，其解有向下急遽轉折之現象，且隨著預 拉伸力提高轉折更為明顯。此情形與前述斜率解之結果相呼應，即隨著預拉伸力之 提高，板件所呈現的薄膜行為範圍越廣，至鄰近邊界處才有邊界效應之現象。另外，
在低預拉伸力(k=1)狀態下，隨著電壓之提高，曲線分佈會由拋物線型態轉為三角函 數式曲線(圖 16、17 之(a))，其值並逐漸增大，尤其當電壓提高到 V=30(Volt)時，板 中心區之值會由正轉為負，靠近邊界區則是由負轉為正。此乃與前述之曲率解情形 相同，亦即其值已超過線性解析解之精確範圍內，正負轉換之極值範圍大致在 V=26~27 (Volt)之間。
此外，由圖 15 可發現，兩種疊層材質板件之差異與前述之曲率雷同，即在中、
低預拉伸力(k≦20)條件下，施予各式電壓均使兩種疊層材質板件產生明顯差異，此 乃由於 L
a
疊層板件上層楊氏(E1
)係數較大，可由無因次面壓之定義得知，其承受之 面壓也相對更大，因此其最大應力解之勁向變化也較Lb
疊層板件更為劇烈。唯隨著 預拉伸力之提高，兩組曲線逐漸貼近，由圖16 與 17 發現，兩種疊層材質板件，在 預拉伸力提高到k =20 時，均幾乎與零值之水平軸重疊。綜合上述可知，壓電效應與 材質差異雖然會對板件產生影響，但預拉伸力才是最大的影響因子，由此證明殘留 應力(預拉伸力)確實會對板件產生不良影響。4-2 壓電效應下大撓曲問題之非線性數值結果
延用前述線性問題之各式物理參數條件下，同時考慮面壓(P)之變化，即取 P
=1~10
5
，並採用Sheplak & Dugundji[13]的有限差分法及迭代技巧，將半徑方向數值 切割總點數取為N=101。其中，在數值求解過程中，隨著預拉伸力提高數值解收斂性 也隨之趨於緩慢，為加快迭代收斂速度，本文所引用之低鬆弛因子
取為 0.2 [13] ， 而數值收斂性判斷所採用之收斂精準度，即斜率解在迭代前後之誤差精準度則取為005 .
0
c 以內，以確定為收斂。在各式面壓下所得之非線性數值結果，包含最大線性面壓(P
max
)、中心撓度與曲率(W0
、0
)以及無因次之全域式幾何回應( /W
0、/W
0W
、 / P
)暨無因次力合(S S
r/
0、S S /
0)與最大應力(
r/ p
0)等分別示於圖 18、19~24、25~31、32~35 與 36~37 等，分述如下。
4-2.1 不同電壓下最大線性面壓與預拉伸力關係圖
在各式電壓下線性行為之最大面壓(P
max
)對預拉伸參數(k)關係圖，示於圖 18，其 P
max
之定義係參照[13]文獻所提，以非線性中心撓度解偏離其線性解達 5%時所對 應之面壓(P)大小，訂定為線性解可成立之最大面壓值。由結果發現，於低電壓(V=1) 下，兩板件之 Pmax
對 k 值關係曲線無論是在低或無預拉伸力範圍均與 Sheplak &Dugundji[13]之解相近。在各式電壓下，P
max
對 k 值關係曲線圖都有相似之分佈，即 在低預拉伸力範圍(約 k≦1)內，其解為一近乎水平常值分佈，而隨著預拉伸力逐漸的 提高，其對應之Pmax
也隨之變大，至較高預拉伸力範圍(約 k≧10)時，其解則由水平 分佈轉折呈現一上揚斜直線，且兩者間轉換為(P
max k
3)之非線性正比關係。上述之 情況，可發現均與Sheplak & Dugundji[13]純機械力負荷之單層板件結果雷同，即在 低預拉伸力下，板件呈現板行為(水平分佈範圍)，當預拉伸力較小時，板件受面壓作 用時較容易變形，因此 Pmax
也相對較低。唯隨著預拉伸力逐次增加，板件也逐漸轉 折而呈現出薄膜行為(斜直線範圍)，此時所對應之最大線性面壓也依正比關係相對提 高。此外，針對各式電壓條件下觀察可發現，在低預拉伸力範圍時，P
max
會隨著電壓 逐漸增高而降低，同時水平範圍也會逐漸變狹窄，且轉折行為也更早出現，即表示當 電壓越高，板件呈現板行為之預拉伸力範圍縮小。然而，當預拉伸力(k 值)達約20，不論電壓大小如何，所對應之曲線幾乎重疊，亦即表示預拉伸力作用遠大於壓電效應 作用，唯在中低預拉伸力下，才能顯現壓電效應對於 P
max
之影響。另一方面，由所 得結果也可發現，Lb
板件之Pmax
大於La
板件，且隨著電壓提高兩者之曲線越趨靠近，其差異也均僅出現在低預拉伸力範圍內，亦即疊層材質差異雖然會對 P
max
-預拉伸參 數(k)關係圖有略微影響，但其影響遠低於預拉伸力效應。4-2.2 不同電壓下非線性中心撓度與面壓之關係圖
在各式電壓與預拉伸力下，兩種不同材質疊層板件之中心撓度(W
0
)對無因次面壓 (P)之關係曲線，示於圖 19~21。由圖 19(a)可發現，低電壓(V=1)條件下，La
板件之解 與文獻[13]之結果相近，即在低面壓下 W0
與 P 兩者呈現一線性關係(W
0 P
)，而在較大面壓下，則呈現為
W
0 P
13之非線性關係。此外，隨著k 值提高，板件線性行為 所能容許之面壓也相對提高，與前述 Pmax
結果相符。其次，所得結果顯示，無論預 拉伸力與施加電壓之大小如何，La
板件之無因次中心撓度(W0
)均大於 Lb
板件，此乃 由於無因次面壓定義之故，致 La
板件所承受之實際作用面壓大小遠高於 Lb
板件之 故。唯V=30(Volt)與 k=1 情況下，約 P≦0.3 時，Lb
板件之W0
反而高過La
板件，代表 在該條件下，壓電效應之影響略大於機械負荷效應。另外，由圖 20、21 可發現，在各式電壓條件下，k≦10 之曲線會有隨著電壓提 升而逐漸往左偏移之趨勢，且其轉折行為也越早出現，同時線性範圍會變得更狹窄，
即在中低預拉伸力(k≦10)下，電壓之提升會造成板件所能承受的 P
max
降低。其中，由兩圖之(a)也可發現，當 k=1 電壓達 V=30(Volt)時，曲線幾乎完全呈現非線性狀態，
與先前線性結果相符，即代表在高電壓(V=30(Volt))與低預拉伸力(k=1)情況下，已經 達到非線性狀態。然而，當預拉伸力提高至k=20 時，各式電壓下之解幾乎完全重疊，
代表其已幾乎完全不受電壓變動之影響。
4-2.3 不同電壓下非線性中心曲率與面壓之關係圖
不同疊層材質板件在各式電壓與預拉伸力作用下，其中心曲率
0
對面壓大小關 係曲線圖，示於圖22~24。其中，在低電壓情況下，La
板件在各式預拉伸力下所對應 之0
與 P 關係曲線均與 Sheplak & Dugundji[13]所提之單層板件之解幾乎重疊。此 外，在各式預拉伸力作用下之曲線趨勢與前述W0
與P 之結果相似(圖 19)，即在低面 壓下0
與 P 兩者呈現一線性關係(
0 P
)，在低預拉伸力下，線性行為所能承受的面壓相對較小，且隨著預拉伸力之提高，線性行為所容許的面壓也逐漸的變大，是故 板件在較大面壓下才呈現非線性之行為(
0 P
13)。另外，由圖 22 也可發現，La
板 件之0
大於 Lb
板件，與先前所提之線性結果脗合，其原因乃由於無因次面壓定義之 故，以致於在相同面壓下，La
板件實際所承受之面壓相對較大。此外，也可發現，在 k=1 情況下，兩疊層板件之結果會隨著電壓提升而逐漸靠近，並於電壓 V=30 與面壓 P≦1 時，Lb
板件之0
反而大於La
板件。此外，由圖 23、24 之進一步觀察可發現，在低預拉伸力範圍 k≦10 內，隨著電 壓逐次提高，其中心曲率值也隨著提高，同時在低面壓區間(P≦10
2
)內之曲線有往左 偏移之情況，且線性轉為非線性之行為也越早出現。其中，圖 23、24(a)也可發現，在電壓 V=30(Volt)與預拉伸力 k=1 情況下與 W
0
結果相仿，即未承受任何面壓就已呈 現非線性狀態，其結果也與先前所提之線性結果相符。唯隨著預拉伸力提高，壓電效 應之影響也逐漸降低，至k=20 時，無論電壓大小如何，即已不對板件產生任何影響。其次，比較上述各式電壓之結果可發現，當k=1 時，
0
之解隨著 P 增大其曲線由線 性轉為非線性過程中，會有輕微下凹再轉折成非線性曲線，且會隨著電壓提高其凹陷 情形更加明顯。其原因乃由於電壓與面壓互相抗衡所造成之結果，但隨著面壓提高，壓電效應逐漸被面壓所涵蓋，故上述情形將不復存在，曲線則呈現非線性關係之斜直 線上揚。此亦表示，電壓、面壓與預拉身力三者互為抗衡關係，但預拉伸力還是最大 的影響原因。
4-2.4 不同電壓下全域式斜率之結果
在 k=0 以及各式電壓與不同面壓情況下，兩種疊層材質板件之無因次斜率(