中 華 大 學
碩 士 論 文
預應力下夾固式含壓電不對稱疊層圓型板件 之大撓曲問題分析
Large Deflection Analysis of Pre-stressed and Clamped Un-symmetrically Layered Circular
Plate Including a Piezoelectric Layer
系 所 別：機 械 工 程 學 系 碩 士 班 學號姓名：M09408028 李 儀 威 指導教授：陳 春 福 博 士
中華民國 100 年 7 月
中文摘要
本文主旨乃探討一預應力下受壓電效應之夾固式不對稱疊層圓型板件在均勻面壓 作用下之非線性大撓曲問題，其方法係以馮卡門大撓曲板理論為基礎，並納入壓電效 應之影響，所推導之非線性方程再藉由一無因次併技巧以得出一表達為側向斜率與徑 向力合之非線性聯立耦合方程組。其求解過程則係先在小撓曲之考量下，忽略其非線 性項，以探其簡化之線性問題，並解出表達為貝索函數與修正貝索函數之側向斜率線 性解析解，而非線性問題則運用有限差分法配合一數值迭代技巧，並以先前求得之線 性解析解作為其迭代之初始值來求取其數值解。
針對擬單層板件在輕微電壓作用下所得之解發現與文獻所提之純機械負荷單層板 件之解相當脗合，也驗證了本文所提出之方法。另外，針對兩種含壓電層之不對稱疊層 圓型板的探討結果則發現，線性解於低電壓、低預拉伸力下有其相當準確性，而高電壓 情況下，除高預拉伸情況外，均需仰賴非線性之解法得以修正。其次，電壓效應只在低 負荷(含面壓及預拉伸力)條件下才能顯見其對板件所造成之影響，反之，在較大機械負 荷作用下，其影響便逐漸降低。此外，板件同時受面壓與預拉伸力作用時，兩者會互相 影響並降低彼此效應，而隨著預拉伸力之提高(殘留應力)，板件壓力敏性也會隨之降 低，進一步對板件造成不良影響。
關鍵字：壓電效應、預拉伸力、馮卡門大撓曲板理論、(修正)貝索函數、
有限差分法
Abstract
Problem of nonlinear large-deflection of a clamped and pre-stressed unsymmetrically
layered circular plate including piezoelectric effect due to uniform lateral load is studied.Based on von-Karman large deflection plate theory including the consideration of piezoelectric effect, the thus obtained nonlinear governing equations were formulated in a non-dimensional form in terms of lateral slope and radial force resultant. The small defection condition is considered first, by neglecting the arising nonlinear terms, to study a simplified linear problem. The associated analytical solutions expressible via (Modified)Bessel functions for the lateral slope is obtained. For the nonlinear problem, on the other hand, a finite difference method is employed incorporating with an iteration scheme to seek for the numerical solution, by taking the previously obtained linear solution as an initial guess.
For a layered plate with nearly the same moduli under a slight voltage, the results correlate well with those available for a single-layer plate with pure mechanical load. Thus, the presented approach is checked. The developed methods are implemented with different unsymmetrically layered circular plates including a piezoelectric layer. The obtained results show that linear solution seems to have a reasonable accuracy in a low applied voltage and low pre-tension condition. On the other hand, the nonlinear approach appears to be required, for the case of high applied voltage, unless the pre-tension is relatively large. The structural responses reveal significant piezoelectric and modulus-ratio effects for in a comparatively lower loading (lateral pressure, pre-tension) condition. The extent of their influences will reduce gradually, however, as the mechanical load proceeds. In addition, lateral load tends to interact and compete with the effect of pretension, if both of them are applied at the same time. Moreover, the pressure sensitivity of the plate will be lowered with the increase of pre-tension (i.e., the residual stress), causing an adverse effect to the unsymmetrically layered plate.
Key word：Piezoelectric Effect, Initial Tension, von-Karman Large Deflection
致謝
在求學過程中雖經歷許多變故，但最終還是完成了研究所的學位，對家人及自己 總算有個交代。首先誠摯的感謝指導教授 陳春福博士，雖然讀研究所花費時間比一般 人來得長，吾師仍予以耐心指導，令我於求學過程中學習到組織與解決問題的能力，
使我受益良多。吾師對於學問鑽研相當嚴謹，為我們學習立下優良風範。
本論文完成承蒙長庚大學 蔡明義博士與本校中華大學 邱奕契博士的蒞臨指導。
由於有兩位師長於論文口試時對本研究不吝的指正與建議，令學生更加了解本研究在 學術與實務運用上之貢獻，使本文能夠更完整而嚴謹，在此深表感謝。
多年在中華大學的日子裡，首先要感謝學長 吳宇洲、蔡孟儒在我剛入學懵懵懂懂 時給予許多建議與方向，感謝同窗好友 黃博承、呂傑祺、陳家振以及球場上共同努力 的好友們；學弟 高迺迪、陳炯翰、廖家鉦、許國彥、蔡志龍、湯漢威等人，於求學期 間給予幫助，我銘記在心。
特別感謝從小到大都在背後默默支持與鼓勵的母親 呂鳳妹女士，如果沒有母親的 耐心教養與栽培就沒有今日的我。另外感謝妻子 蔡佩如小姐，在我研究所最後半年期 間打理家中大小事務並予以鼓勵與支持，讓我無後顧之憂專心於學業。感謝家人大姊 李芳宜小姐、二姊 李依萍小姐、三姊 李珊珊小姐，大家幫忙家中事務。
最後，謹以此論文獻給不在人世的父親，雖然未能親眼見證這一刻，願父親能感 受到我這份成果與喜悅。
目錄
中文摘要 ... i
英文摘要 ... ii
致謝 ... iii
目錄 ... iv
圖表目錄 ... vi
符號說明 ... viii
第一章 前言 ... 1
1-1 研究動機與目的 ... 1
1-2 文獻回顧 ... 4
1-3 本文架構 ... 9
第二章 物理問題與基礎理論描述 ... 12
2-1 問題描述 ... 12
2-2 壓電效應下不對稱疊層大撓曲非線性統御方程之推導 ... 12
2-2.1 力與力矩平衡方程 ... 12
2-2.2 力矩平衡方程 ... 14
2-3 無因次化 ... 16
第三章 解析與數值方法推導 ... 17
3-1 大撓曲線性問題之解析解 ... 17
3-1.1 當機械(力)效應大於壓電效應 ... 18
3-1.2 當壓電效應大於機械(力)效應 ... 21
3-2 非線性大撓曲問題之數值解 ... 22
第四章結果與討論 ... 27
4-1 壓電效應下大撓曲問題之線性解析結果 ... 27
4-1.1 中心撓度之結果 ... 28
4-1.2 全域式斜率之結果 ... 29
4-1.3 全域式撓度之結果 ... 30
4-1.4 全域式曲率之結果 ... 30
4-1.5 全域式徑向最大應力之結果 ... 31
4-2 壓電效應下大撓曲問題之非線性數值結果 ... 32
4-2.1 不同電壓下最大線性面壓與預拉伸力關係圖 ... 33
4-2.2 不同電壓下非線性中心撓度與面壓關係圖 ... 34
4-2.3 不同電壓下非線性中心曲率與面壓關係圖 ... 34
4-2.4 不同電壓下全域式斜率之結果 ... 35
4-2.5 不同電壓下全域式撓度之結果 ... 36
4-2.6 不同電壓下全域式曲率之結果 ... 37
4-2.7 不同電壓下全域式徑向力合之結果 ... 38
4-2.8 不同電壓下全域式環向力合之結果 ... 38
4-2.9 不同電壓下非線性全域式徑向最大應力之結果 ... 39
第五章 結論 ... 41
參考文獻 ... 42
圖表整彙 ... 49
圖表目錄
表一、含壓電疊層板疊層材質與厚度尺寸表 ... 49
圖 1、不對稱疊層板自由體圖 ... 50
圖 2、低電壓擬單層線性解析解與 Sheplak & Dugundji[13] 、Saini et al.[59]比較圖 ... 51
圖 3、不同疊層材質板件(La與 Lb)中心撓度線性解對預拉伸參數關係圖 ... 52
圖 4、不同疊層材質板件(La與 Lb)無因次斜率線性解之徑向分佈圖 ... 53
圖 5、La疊層不同預拉伸力與各式電壓下無因次斜率線性解之徑向分佈圖 ... 54
圖 6、Lb疊層不同預拉伸力與各式電壓下無因次斜率線性解之徑向分佈圖 ... 55
圖 7、低電壓(V=1)及各式預拉伸力下不同模數比板件之斜率線性解 ... 56
圖 8、不同疊層材質板件(La與 Lb)無因次撓度線性解之徑向分佈圖 ... 57
圖 9、La板件不同預拉伸力下無因次撓度線性解之徑向分佈圖 ... 58
圖 10、Lb板件不同預拉伸力下無因次撓度線性解之徑向分佈圖 ... 59
圖 11、不同疊層材質板件(La與 Lb)無因次曲率線性解之徑向分佈圖 ... 60
圖 12、La板件不同預拉身力下無因次曲率線性解之徑向分佈圖 ... 61
圖 13、Lb板件不同預拉身力下無因次曲率線性解之徑向分佈圖 ... 62
圖 14、純斜率與撓度線性解之徑向分佈圖 ... 63
圖 15、La與 Lb疊層不同之預拉伸力、電壓下壓力敏性線性解之徑向分佈圖 ... 64
圖 16、La疊層不同預拉伸力與電壓下壓力敏性線性解之徑向分佈圖 ... 65
圖 17、Lb疊層不同預拉伸力與電壓下壓力敏性線性解之徑向分佈圖 ... 66
圖 18、不同電壓下預拉伸參數對線性行為最大面壓圖 ... 67
圖 19、La和 Lb板件不同面壓與電壓下中心撓度與面壓之關係圖 ... 68
圖 20、La板件不同面壓與電壓下中心撓度與面壓之關係圖 ... 69
圖 21、L 板件不同面壓與電壓下中心撓度與面壓之關係圖 ... 70
圖 22、La和 Lb板件不同面壓與電壓下中心曲率非線性解與面壓之關係圖 ... 71
圖 23、La板件不同面壓與電壓下中心曲率非線性解與面壓之關係圖 ... 72
圖 24、Lb板件不同面壓與電壓下中心曲率非線性解與面壓之關係圖 ... 73
圖 25、La和 Lb板件不同面壓與電壓下無因次斜率非線性解之徑向分佈圖 ... 74
圖 26、La板件不同面壓與電壓下無因次斜率非線性解之徑向分佈圖 ... 75
圖 27、Lb板件不同面壓與電壓下無因次斜率非線性解之徑向分佈圖 ... 76
圖 28、La和 Lb板件不同面壓與電壓下無因次撓度非線性解之徑向分佈圖 ... 77
圖 29、La板件不同面壓與電壓下無因次撓度非線性解之徑向分佈圖 ... 78
圖 30、Lb板件不同面壓與電壓下無因次撓度非線性解之徑向分佈圖 ... 79
圖 31、La與 Lb板件不同面壓與電壓下無因次曲率非線性解之徑向分佈圖 ... 80
圖 32、La與 Lb板件不同面壓與電壓下無因次徑向力合之分佈圖 ... 81
圖 33、La板件不同面壓與電壓下壓環向力合之徑向分佈圖 ... 82
圖 34、Lb板件不同面壓與電壓下壓環向力合之徑向分佈圖 ... 83
圖 35、La與 Lb板件不同面壓與電壓下壓環向力合之徑向分佈圖 ... 84
圖 36、各式電壓下之 La板件之線性解與非線性解壓力敏性之徑向分佈圖 ... 85
圖 37、La與 Lb疊層不同預拉伸力與電壓下壓力敏性非線性解之徑向分佈圖 ... 86
符號說明
V
電壓N
0 預拉伸力p 0
均勻面壓r
板件之半徑h
i 疊層件各層之厚度E
i 疊層件各層之楊式係數 (Young’s Modulus) i
疊層件各層之蒲松式比 (Poisson’s Ratio)i
疊層件各層之序號u
板件之徑向位移w
板件之側向撓曲量N r
，N
板件中平面(徑向，環向)力合分量Q
r 板件之側向剪力合A r
，A t
板件之拉伸勁度(Extensional Stiffness)元素 r
，
板件之(徑向，環向)應變M
r，M
板件之(徑向，環向)彎力矩合 r
，
板件之(徑向，環向)曲率分量D
r，D t
板件之彎曲勁度( Bending Stiffness )元素P
N r
，N P
板件之(徑向，環向)面內壓電力合分量P
M r
，M P
板件之(徑向，環向)壓電力矩合分量Nˆ
r，Nˆ
(徑向，環向)力合增量S r
，S
無因次之(徑向，環向)力合增量P
無因次面壓k
無因次預拉伸參數
無因次徑向座標W
無因次撓度U
無因次徑向位移
無因次斜率 無因次曲率
r 無因次徑向面內應力
N
板件徑向之數值切割總點數
低鬆弛因子(Under- Relaxation Factor)
斜率矩陣元素d 31
壓電常數V f
電場係數k e
含電效應之預拉伸參數(機械力大於電效應)k c
含電效應之預拉伸參數(電效應大於機械力)第一章 前言 1-1 研究動機與目的
微機電系統(Micro Electro Mechanical System；簡稱 MEMS) 是科技界公認未來最 具發展性及前瞻的研究領域，目前世界各國也正積極投入的一個新興領域。而微機電 系統是一種電子與機械結合的微小裝置，其原理主要係利用微加工技術如矽製程 (Silicon Based)、深刻電鑄模造(Lithographyie Galvanoformung Abformung；簡稱 LIGA) 以及高分子聚合物(Polymer)等，並結合系統技術、材料特性與壓電效應，製造出如微 感測器、訊號處理機及微驅動器等類型元件。此外，壓力感測器是一樣非常重要最早 商品化之微型結構，同時應用也是最為廣泛，並有多種感測原理。其中又以壓阻式 (Piezoresistive)[1]和電容式(Capacitive)[2]最被為廣泛應用，然而壓阻器容易受溫度影 響[3]，對於壓力的靈敏性較低，較不適合用於低壓力之量測。而電容式壓感器有較 佳之壓力靈敏性，不易受溫度影響適合小範圍壓力之量測，所以現在市面上很多觸控 式手機和電腦都使用此類感測器。除此之外，壓力感測元件目前也大量地應用在汽 車、醫療、工業量測、自動控制和各種電子產品上，由於其應用越趨越普遍，其相關 的結構力學問題與物理行為之探討也更顯的重要。
然而，在一般微加工或表面微加工以製作各式微感測器或制動器過程中，特別是 在移除犧牲層的步驟之後，往往會對於元件產生殘留應力，即為起始拉伸力(Initial Tension)。此外，如封裝、熱負荷與鍍膜製程等也是其主要成因。早期文獻如 Voorthuyzen & Bergveld[4]曾研究起始拉伸力對於微型板件之影響。另外， Cho et al.[5]
也曾說明感測薄膜的初始拉伸力可高達 1GPa，並提到此類以撓度為量測基準的感測 元件，也會因此而對於其工作靈敏度(Sensitivity)造成不良影響[6]。除此之外，Olfatnia et al.[7]則利用貝索函數(Bessel Function)與修正貝索函數(Modified Bessel Function)分 析一預應力下之壓電圓型薄膜和板件之振動行為，並與實驗結果做比對。由此可見，
探討起始拉伸力之影響有其相當的重要性。近幾年，同樣有不少關於壓力感測薄膜元 件的研究，如Yasukawa et al.[8]即曾提出一矽質圓型薄膜壓力感測器的設計與開發，
該文係以古典板理論(Classical Plate Theory)結合有限元素法求取薄膜之應變場再轉 換為電壓輸出，並藉此設計出更精準的壓力感測器，但該文並未將起始拉伸力納入考 量。有鑒於前述有關起始拉伸力對於微型板件之影響的重要性，由此可知，與其相關 之感測構件的力學問題確實值得我們深入探討，也是本文探討的重點之ㄧ。
一般而言，壓力感測件其工作原理係以量测壓力薄膜(Diaphram)兩側壓力差所造 成的撓取為基礎，進而求取其結構回應[9]，但在實際應用狀況下，大撓曲問題實相 當常見。而有關大撓曲之研究，最早可追溯Timoshenko & Woinowski-Krieger[10]一書 所提及之典型圓型板件的非線性大撓曲理論基礎，其求解概念至今仍被廣泛延用。早 期對於板件的研究，如Weil & Newmarke[11]、Berger[12]兩者均用里茲法(Ritz Method) 求解，前者針對橢圓板，而後者則分別針對圓、矩型板的大撓曲探討。此外，Sheplak
& Dugundji[13]所求解之夾固式均向圓型之大撓曲問題，係以修正貝索函數(Modified Bessel Function)解得其線性解，再利用差分法解得非線性大撓曲之問題。文中並提及 在邊界的區域會有明顯的邊區效應(Edge Effect)，即是在邊界範圍內，其物理行為會 有急遽的變化。另外，Su et al.[14]則利用 Sheplak & Dugundji[13]之求解技巧，亦即本 文所使用之方法，求解含有凸圓頭型板(Bossed Plate)結構之大撓曲問題。除此之外，
因石英作為壓電材料有相多的優點，如穩定性良好、高機械強度、無遲滯現象以及受 溫度變化影響小，所以Yang & Zhang[15]也曾用此材質作一高敏性的薄膜感測件，分 析其在預應力作用下之靈敏性與各式幾何回應。然而，上述之大撓曲研究文獻均只針 對單層結構件做探討，對於疊層件大撓曲問題並未加以闡述。在疊層結構件大撓曲分 析方面，早期文獻似乎多為疊層樑式構件之問題研究，例如Marco & Ugo[16]與 Chuks
& David[17]。此外，近幾年的文獻中，Kapuria & Dumir[18]曾對一承受熱負荷三層軸 對稱圓型板分析其大撓曲問題，並利用蓋勒琴法(Galerkin Method)解得其中心撓度且 與級數解互相比對。還有 Li et al.[19]則曾根據線性板理論，利用增量負荷技術 (Incremental Load Technique)求解軸對稱簡支撐圓型板之大撓曲問題。由於夾固式板 件夾固時會產生特有的邊界效應，故不難想像疊層感測元件在類似的邊界處之邊區行
為，應該有不同變化之趨向，也是值得深入探討之處。
在實際應用中，疊層式結構板件除對稱型態之外，不對稱型態也時有所見。因感 測元件發展相當迅速，其材質與結構越來越多元化，故不對稱結構之應用更顯得普 及。如Fox et al.[20]即曾提出一新的方法針對含有環帶式壓電驅動器之圓型板件分析 其撓曲之行為，且探討在三種邊界條件下的變化，並與有限元素法之結果做比對，其 組合型態即為相當明顯的不對稱疊層情況。另外，Yulong et al.[21]則係利用絕緣體矽 片(SOI)和低壓化學氣相沉積法(LPCVD)發展出一種可在高溫下使用的壓阻式壓力 錶，使其溫度可高達攝氏200 度之環境下使用。此外，Oh & Lee[22]曾利用層狀式理 論(Layerwise Theory)分析一多層微共振器(Micro-Resonator)之振動行為，而其應用乃 是通訊技術應用中相當重要的元件之ㄧ。前述所提及之研究，其結構均屬不對稱之應 用。由此可見，不對稱微型結構件之應用相當普遍化，但對於預應力下疊層不對稱之 幾何回應以及邊區效應相關研究仍相當欠缺，故有進一步探討之必要。
在感測與驅動元件上應用壓阻或壓電層結構，多年來即為一相當普遍與熱絡的一 項技術。其中，壓電層結構之應用更為廣泛，其原因即由於壓電式驅動機構有甚多優 點例如高能量密度、快速作動與低功率等[23]，其應用普及性在很多諸如精準定位控 制、聲學、壓力與空氣感測器等至為普遍[24]，近年來更遍及生物組織之內視鏡檢測 之 設 計 與 應 用[25] ， 顯 見 其 應 用 有 日 漸 成 為 主 流 之 趨 勢 ， 其 原 理 有 壓 電 效 應 (Piezoelectric Effects)、壓阻效應(Piezoresistive Effects)、以及電容效應。其中，壓電 效應是於西元1880 年由皮埃爾．居里(Pierre Curie)和亞克．居里（Jacques Curie）兄 弟發現材料中機械能與電能互換時，使其產生壓電效應，而壓電效應有正壓電效應與 逆壓電效應兩種。當對壓電材料施以物理壓力時，料體內之電偶極矩因壓縮而變短，
此時壓電材料為抵抗這變化會在材料表面產生正負電荷以保持原狀，此為正壓電效 應。反之，對壓電材料施加電壓(電場)，因電壓作用電偶極矩會被拉長，壓電材料為 抵抗變化會沿著電場方向伸長，即為逆壓電效應，然而在應用上有壓電式聲波元件、
壓電式震盪器、壓電式驅動器與超音波馬達等。此外，最早壓電技術的一項軍事應用
則是由一法國工程師保羅藍杰文 (Paul Langevin)，於西元 1917 年，將石英晶體應用 於水底聲納換能器上，專門用來偵測德國潛水艇。近期，除前述Duval et al.[26]所提 到的如精準定位控制、聲學、壓力與空氣感測器等之外，Wang et al.[27]在所提麥克 風振動板之幾何回應問題研究中，則曾依據古典板理論推導其複合圓型板之掌控方 程，且納入起始拉伸力之影響以求得撓曲量解析解，並與有限元素法之結果做比較。
而在含壓電層元件之結構研究方面，近年則有，Yao & Uchino[28]求解複合懸臂樑與 壓電雙壓晶片(Piezoelectric Bimorph)間的耦合問題。同時，Shen[29]在其所提及的圓 型薄板壓電致動器之分析研究中，則依馮卡門板理論(Von Karman Plate Theory)為基礎 掌控方程，並以奇異擾動法(Singular Perturbation Technique)來求取撓曲變化量。然 而，上述文獻均未探討不對稱之夾固式壓電層板件之各式幾何回應、邊區效應以及預 拉伸力之影響，也是本文之研究動機。
有鑒於微機電系統製程中，所產生之邊區效應、預拉伸力(殘留應力)、不對稱疊 層材料結構與壓電效應實為相當常見的情況。故探討夾固式且含有預應力與壓電效應 之不對稱疊層圓型板(薄膜)件的非線性大撓曲結構回應問題，在學術上與實務應用上 均具有相當重要性。本文乃運用Sheplak & Dugundji[13]所提之方法並參考 Wang et al.[27]將壓電效應納入考量。其中所涉及之影響參數如壓電效應、預拉伸力、面壓以 及疊層模數比，亦是本研究所探討之方向。
1-2 文獻回顧
有 關 於 典 型 板 件 之 大 撓 曲 問 題 的 求 解 方 法 ， 最 早 應 屬 Timoshenko &
Woinowski-Krieger[10]一書中所提之論述，其求解概念仍沿用至今，在壓力感測元件 之結構行為分析方面即為典型一例。而與Timoshenko & Woinowski-Krieger[10]所提之 方法近乎同期關於板件大撓曲之研究，有Berger[12]針對夾固式圓型板件與矩型板件 所求解之大撓曲問題，該文提出貝索函數(Bessel Function)與雙曲函數(Hyperbolic Function)的解析解，並利用里茲法(Ritz Method)配合邊界條件來求解大撓曲問題，同
時探討矩型板件長寬比之效應。此外，在感測元件應用方面如Yasukawa et al.[8]所提 到的矽質圓型薄膜壓力感測器的設計，即以古典板理論(Classical Plate Theory)結合有 限元素法，求取薄膜之應變場再轉換為電壓輸出。而朱惠祺[30]則提出一壓阻式壓力 計之設計，並利用古典板理論(Classical Plate Theory)分析壓力計之小撓曲問題，再藉 由大撓曲理論來說明造成線性誤差的成因。此外，Ma & Wang[31]分別利用三階板理 論和古典板理論探討軸對稱彎曲(Axisymmetric Bending)和挫曲(Buckling)行為之間的 關連性。在其它應用方面，如Tsouvalis & Papazoglou[32] 、 Zhou et al.[33]，兩者均 以古典板理論為基礎，前者利用蓋勒琴法(Galerkin Method)求解疊層板件中心最大撓 曲量、彎曲應力與薄膜之間的週期響應等，而後者則針對引擎壓縮機的風扇葉片 (Engine Compressor's Fan-Blade)變形行為作研究，其方法係將葉片簡化成一懸臂不對 稱之疊層板，並利用雷利-里茲(Rayleigh-Ritz)的方法計算薄板的變形行為，再與有限 元素法所得結果做比較。另外，Ebrahimi & Rastgo[34] 則利用古典板理論分析功能梯 度材料板件(FGM plate)的自由振動(Free vibration)問題。然而，上述文獻雖呈現各式 板件之邊界條件，並運用簡單的古典板理論作為基礎，但均未將製造過程中所產生的 預拉伸力(Initial Tension)與壓力負荷下造成之邊區效應(Edge Effect)納入探討。
事實上，在一般微加工或表面微加工過程中，將犧牲層(Sacrificial-Layer)移除時，
往往元件會產生起始拉伸力(Initial Tension)。除此之外，如封裝、熱負荷、鍍膜製程 與殘留應力也是起始拉伸力的成因。例如，Cho et al.[5]就曾在其研究中提到起始拉伸 力可高達1Gpa。此類以撓度為量測基準的感測元件，由於起始拉伸力的存在，將對 工作靈敏度(Sensitivity)造成不良影響。有關此方面之研究，最早係由Voorthuyzen &
Bergevld[4]運用有限差分法(Finite Difference Method)分析感測圓型板之大撓曲問 題，並探討預拉伸力對圓型板件各式回應之影響。此外，Sheplak & Dugundji[13]曾以 修正貝索函數(Modified Bessel Function)和有限差分法，分別求解單層圓型板件的線性 和非線性問題，並探討由零拉伸(即純板件)變化至極大拉伸(相當於純薄膜)情況下之 各式幾何回應，同時在線性問題部份討論其邊區效應，且在其解析解中界定出邊區範
圍之大小。另外，Su et al.[14]，則針對一含有凸緣頭之圓型板件，延伸Sheplak &
Dugundji[13]的求解技巧，求解其板件之非大撓曲問題，並探討凸緣頭與半徑比變化 之影響。前述，Sheplak & Dugundji[13]針對預應力下之單層板件所探討的大撓曲問題 求解方法，並於近幾年由Yu & Balachandran[35]加以延伸，以探討單層感測板件在預 應力作用下元件之動態線性分析，並藉以觀察板行為到薄膜行為之變化。此外，Yu et al.[36] 延 續 Yu & Balachandran[35] 之 研 究 ， 且 分 析 其 動 態 非 線 性 響 應 (Nonlinear Responses)之自然頻率與頻率響應問題，並藉由非線性項探討對於其結構回應之影 響，其所得之結果明顯可做為日後聲學感測器研究與設計之參考依據，尤其是在小尺 寸的感測元件設計上。但上述這些研究皆僅考慮單層結構件，而未論及疊層效應與預 拉伸力之合併影響。
緣此之故，尤靖祺[37]即在近年，針對一含熱效應之夾固式疊層板件，且納入預 拉伸力影響以探討其大撓曲問題，並提到邊區效應，即靠近邊界範圍內，其物理行為 會 有 急 遽 變 化 的 現 象 出 現 。 另 外 ， 近 期Linlin et al.[38] 曾 分 析 一 方 形 摻 硼 矽 (Boron-Doped Silicon)薄膜之極限負荷問題，且藉由總應力解析解和葛里菲斯破壞規 範(Griffith Fracture Criterion) 來 分 析 薄 膜 撓 度 與 極 限 負 荷 ， 並 考 慮 微 蝕 坑 (Micro-etch-holes)與殘留應力(Residual Stress)之影響，其所得之解和實驗結果相符。
而Nayak et al.[39]則提出一種新的有限元素分析方式(Finite Element Formulation)求解 一預應力下三明治複合材料板之動態響應，並探討預應力對板件的撓度和應力造成之 影響。同時，Chen et al.[40]則分析振動板件之非線性頻率響應(Frequency Responses)，
並依據馮卡門的假設和Lo et al.[41]的位移場得到其非線性掌控方程，再利用蓋勒琴法 (Galerkin Method)和郎吉庫塔法(Runge–Kutta Method)求解。另外，黃建瑋[42]在其研 究之微機電電容式麥克風中曾提到，微製程中所產生的殘留應力會有不良影響導致其 性能降低，文中並提到可藉由應力釋放結構來減少殘留應力改善其性能。其他有關疊 層式感測元件的研究方面，如Svedin et al.[43]曾設計ㄧ不受加速度影響的矽氣流感測 器，該文利用對稱疊層結構抑制加速力，並由實驗結果證明出其感測器之設計相當成
功。而Kapuria & Dumir[18]則分析受熱負荷下的制動器之非線性大撓曲和熱挫曲問 題，該文使用蓋勒琴法解得中心撓度，並忽略壓電效應，所得的結果與級數解比較相 符。
此外，過去文獻中有關疊層構件之大撓曲問題的研究，則有Shen[29]，曾分析的 簡支撐預壓力角交(Angle-Ply)與直交(Cross-Ply)疊層板件之撓曲問題，該文在各式初 始壓力大小和疊層材料參數影響下，以擾動法(Perturbation Technique)技巧，求取板件 的撓曲量與彎曲力矩變化。而Dumir et al.[44]則曾利用一階剪變形理論(First-Order Shear Deformation Theory)、正交點配置法(Orthogonal Point Collocation Method)與紐馬 克-貝特法(Newmark-
Method)分析疊層複合板之大撓曲問題，並探討半徑與厚度比 在撓度與應力回應上的影響。另外，Yao et al.[45]、Tanriover & Senocak[46]兩者係針 對疊層板件之動態問題與與大撓曲問題分別做分析，前者係利用簡化的疊層理論及有 限元素法得到掌控方程，並配合雷利-里茲(Rayleigh-Ritz)求解其動態響應。而後者則 利用蓋勒琴法(Galerkin Method)和牛頓-拉福申法(Rewton-Raphson)求解各種邊界條件 下 之 疊 層 板 大 撓 曲 問 題 。 近 年 來 ，Xiang & Wang[47] 利 用 三 角 剪 變 形 理 論 (Trigonometric Shear Deformation Theory) 與 逆 複 合 二 次 徑 向 基 底 函 數 (Inverse Multiquadric RBF)佈點法探討疊層對稱複合板之自由振動。此外，Upadhyay et al.[48]曾利用三階剪變形板理論(Third-order Shear Deformation Plate Theory)與馮卡門非線性 運動學(Von-Karman Non-linear Kinematics)分析在一振動式負荷下之疊層板件之非線 性動態回應。此類強化構件的大撓曲或動態問題之求解方法實有其延伸性，可運用於 典型疊層感測元件相類似問題之探討。
唯前述之研究均僅侷限於對稱疊層結構，但在疊層式結構甚或典型微感測元件應 用型態上，除了前述所提到的對稱疊層組態之外，事實上不對稱結構型態也相當常 見，例如Yulong et al.[21]利用絕緣體矽片(SOI)和低壓化學氣相沉積法(LPCVD)，研發 出一種可在高溫環境下使用的壓阻式壓力錶，可應用在油田業與航空業上。此外，
Diaconu & Weaver[49]則利用蓋勒琴法與有限元素法探討在軸向壓縮負荷下之不對稱
疊層板件後挫曲行為(Post-buckling)。另外，Aydogdu[50]使用古典板理論研究不對稱 功能梯度板之挫曲問題，並遵循虎克定律應變與位移關係式來改寫其運動方程式。除 此之外，Fox et al.[20]則提出一新的方法針對環狀壓電驅動器之撓曲做分析，且探討 在三種邊界條件下的的結果，並與有限元素法之結果做比對。而上述文獻雖論及不對 稱結構之應用，但都未探討在壓電效應影響下之各式結構幾何回應，故有再深入探討 之必要。
另一方面，在實際工程應用上，就典型的微感測器或驅動元件而言，其所使用的 材料已越趨多元。其中，壓電材料的使用堪稱目前最為常見之種類。由於壓電材料具 有低消耗功率、高精密度控制，微小定位佳、響應速度快、轉換效率高、體積小與重 量輕等優點 [51]，因此可應用其壓電之特性於結構控制與變形分析上。然而，有關 壓電效應之運用，早在西元1950年，梅森(Mason)即曾完美的結合彈性力學與壓電效 應，使壓電效應結合力學理論完整呈現於世人。此外，早期對於壓電結構力學研究文 獻方面，如Lee et al.[52] 曾利用壓電薄膜及金屬製成複合材料懸臂樑形式制動器，並 討論彎曲位移與輸入電壓的關係。而Kang et al.[53]則使用壓電材料製作制動器與感測 器，並進行最佳化之振動控制分析。另外，近期內也有不少論及感測構件與壓電材料 之耦合效應的文獻，如Yao & Uchino[28]求解複合懸臂樑與壓電雙晶片(Piezoelectric Bimorph)間的耦合問題。同時，Wang et al.[27]所提到的麥克風上的振動板，係依據古 典疊層板理論推導其複合圓型板之掌控方程，並納入起始拉伸力之影響，求得之斜率 及撓曲量解析解再與有限元素法作比對。此外，Juuti et al.[54]曾設計出低成本的壓電 致動器，該文提及利用粉末冶金來降低預應力，並將預應力與大撓曲納入考量。另外，
王湘均[55]曾將壓力感測器運用在六足機器人之腳上，可以改善機器人行走在不平的 表面的能力，並做出高度反射動作。除此之外，Jiang et al.[56]利用懸臂梁機構和光纖 光柵技術製成光纖感測器，可用來感測震動訊號。其中，光纖光柵原理[57]是一繞射 原理，當光源入射到具有狹縫之平面，會因入射光波長與狹縫的寬度，而於另一端產 生不同間距的明暗相間以貝索函數分佈呈現的繞射條紋，將繞射原理中單狹縫改為週
期性的狹縫，則可得到疊加效果，此結構即為光柵(Grating)結構，若運用在光纖上則 為光纖光柵(Fiber Grating)。唯綜觀上述文獻，其中雖已有不少關於感測構件與壓電效 應之研究，但均未探討預應力下不對稱夾固式壓電疊層板件之大撓曲問題、以及其各 式幾何回應、邊區效應與預拉伸力之影響，也實有待吾人再作探討。
1-3 本文架構
本文主旨在探討ㄧ均勻側向面壓下不對稱夾固式圓型壓電疊層板件之非線性大 撓曲問題，並考慮壓電層之偏極化(Polarized)在厚度方向，其求解方法乃依據馮卡門 大撓曲理論為基礎，且延伸Sheplak & Dugundji[13]所使用之方法與技巧，再參考 Wang et al.[27]所提之概念將壓電效應納入考量，以分別求取一簡化式線性問題之解析解與 非線性問題之數值解，並探討包括預應力、側向面壓與施於壓電層之電壓以及疊層模 數比等效應對於板件結構行為的影響。同時，並觀察緊臨板件夾固端的邊界效應以及 在各式不同參數下板件之轉折行為與非線性行為。探討的結構物理量，則有幾何回應 如:中心撓度、全域式之撓度與斜率、曲率，以及應力與力合回應。其中，應力與力 合回應包括全域式之徑向力合、環向力合與全域式面內應力等。
第一章係主要在描述研究動機與目的，並藉由前人的研究文獻，說明現今各式微 型壓力感測器之應用，且探討殘留應力對於元件之不良影響，再針對各式板件結構與 壓電效應闡述過去文獻所未涉及之部分做一研析，以突顯本文探討之意義及重要性。
第二章則描述本研究之物理問題與其基礎理論，在馮卡門大撓曲板理論之基礎下，延 伸Sheplak & Dugundji[13]所提之單層圓型板件之非性大撓曲理論至一預應力下含壓 電層夾固式不對稱疊層板件之情況，其中應力-應變、應變-位移與力矩-曲率關係式將 同時延用以推導不對稱疊層板之基本平衡方程式，再納入Wang et al.[27]所考量之壓 電效應，以建立預應力下不對稱含壓電層疊層板大撓曲之非線性統御方程式組，並予 以無因次化，同時闡述原物理問題之邊界條件，其關係式也將以類似之無因次化方式 做描述。第三章則針對前述所推導之非線性不對稱大撓曲問題，尋求簡化式的線性問
題解析解與非線性問題之數值解。由於對於研發人員與研究人員而言，能以最快速直 接的方法取得線性解析解用來分析感測元件的結構行為有相當之重要性，且其結果亦 可與非線性數值解做為比對之依據，是故，線性問題解析解有其工程實務上相當之重 要性。其中，線性問題之解析解係在小撓曲情況之考量下，可將原非線性聯立方程組 中之非線性項予以忽略，並藉由修正貝索及貝索函數的微分、積分等定義，且配合夾 固式邊界條件加以求解。此外，所得之簡化線性微分方程，因隨著機械力與壓電效應 之變動，其中會有機械力大於壓電效應與壓電效應大於機械力兩種情況，也因此將會 有不同之表達形式。另外，在非線性問題求解步驟上，本研究乃延用 Sheplak &
Dugundji[13]其 文 中 所 使 用 之 迭 代 技 巧 與 有 限 差 分 法 ， 並 結 合 中 央 差 分(Central Diffrerencing)的概念，將原非線性方程式改寫成一代數式矩陣方程式，同時運用 Anderson et al.[26]提及的低鬆弛因子(Under-Relaxation Factor)技巧，來加速迭代時收 歛的速度。第四章則針對典型感測元件疊層組件之大撓曲問題，檢視其各式參數條 件，即預拉伸力、側向面壓、壓電效應以及模數比等各式結構幾何回應。所考量之疊 層板將包含 Si[13]、SiO2[37]與 Poly-Si[14]等疊層材質以針對兩種疊層組合，即為 [Si/Poly-Si]與[SiO2/Poly-Si]作探討。其中，前者疊層組合材料性質較為相近，可視為 一擬單層疊層板，後者則為一典型不對稱疊層板。另外，預拉伸力與面壓之大小則延 用Sheplak & Dugundji[13]所提之數據，而電壓參數與壓電常數則參考自 Wang et al.[27]
文中所引用之數值，來求取大撓曲情況下各式幾何回應與結構回應之線性解析解與非 線性數值解。唯為驗證本文所提出之方法，本文將先考量前述之擬單層疊層板件 [Si/Poly-Si]，在低電壓(V=1Volt)下求解其大撓曲問題之各式幾何回應，並與 Sheplak &
Dugundji[13]所得之結果作比較，以驗證本文所提方法之正確性。同時，在上述各參 數，即側向面壓、預拉伸力、壓電效應以及不同模數比條件下，求解含壓電之不對稱 疊層圓型板件之大撓曲問題，以分析各式對於各式結構回應之影響。
由於從前述諸多文獻中顯而易見，微型感測元件考量預應力下及不對稱疊層效應 有其必要性，而將壓電效應納入大撓曲變形考量之文獻似仍不多見，故本文乃針對一
均勻側向面壓下不對稱夾固式圓型壓電疊層板件之問題，尋求其線性解析解與非線性 數值解，並對其結果作ㄧ系列之探討。其次，在第五章將做最後的歸納重點與總結由 所得結果發現，擬單層各式幾何回應所呈現之結果大致與Sheplak & Dugundji[13]所 提單層圓型板件吻合。此外，比較兩種疊層組態板件所得結果則發現，不對稱效應對 於板件在中、低預拉伸力與中、低面壓條件下之各式幾何回應有顯著的影響，但在極 低和極高之預拉伸力與面壓條件下兩種疊層組態板件之各式幾何回應所呈現曲線幾 乎重疊。另外，壓電效應在中、低預拉伸力與中、低面壓下對於板件也有顯著影響，
而預拉伸力與面壓越高其壓電效應之作用越趨微小化，由此可知殘留應力將對元件產 生不良影響，上述所提之物理現象也將在第五章更詳細的歸納。
第二章 物理問題與基礎理論描述
本章主要係描述含有預拉伸力、不對稱與壓電效應之夾固式疊層板件大撓曲問 題，並描述非線性統馭方程推導之過程，同時提出相對應之邊界條件。其基礎掌控方 程 乃 延 自 於 馮 卡 門 大 撓 曲(Von-Karman Large Deflection) 理 論 ， 延 伸 Sheplak &
Dugundji[13]所提的單層圓型板件之非線性大撓曲理論至本文研究之物理問題，並納 入Wang et al.[27]所考量之壓電效應，且將相關之物理量定義與邊界條件，均以無因 次化方式做描述。
2-1 問題描述
考慮一夾固式含壓電效應不對稱疊層圓型板件，承受均勻面內( In-plane )預拉伸 負載
N
0及側向面壓，P
z p
0，且在壓電效應作用下，求解其大撓曲問題問題，如 圖 1 所示。其中，r
為圓型板件的半徑，E
s,
s, h
s、E
p,
p, h
p (E
p,
p, h
p E
1,
1, h
1;s s
s
h
E , , E
2,
2, h
2)分別為疊層板件的典型半導體層與壓電層的楊氏係數、蒲松比與厚 度。此外，V 為施於壓電層之電壓，厚度方向之z
座標，並以所受之側向面壓方向為 正。在各式參數條件下(如：電壓、預拉伸力、側向面壓和模數比等)，求解各式不對 稱疊層板件在大撓曲情況下之幾何回應(如:中心撓度與全域式之撓度、斜率、曲率等) 以及應力與應變回應(全域式之徑向力合、環向與全域式面內應力等)，並觀察各式參 數之影響。2-2 壓電效應下不對稱疊層大撓曲非線性統馭方程之推
導
典型疊層板件之掌控方程係延自靜平衡條件，包含徑向、側向之力平衡與徑向之 合力矩平衡，其方程式將分述如下：
2-2.1 力與力矩平衡方程：
0
), (
), , (
), (
0 ),
(
0
r r
r
r r r r r r
r r
rQ M rM
r p w
rN rQ
N rN
(1)
其中，
N
r與N
為板件之徑向與環向之力合(Force Resultant)分量，Q r
則為側向剪力 合(Shear Force Resultant)。其中，由於不對稱疊層之故，其徑向、環向之應力合與徑 向、環向之應變分量其關係式可表示如下，
p p r r
r t
t r r
r t
t r r
N N B
B B B A
A A A N
N
(2)上式中，
N
rp與N
p為徑向與環向面內壓電力合分量，由於本文係考慮篇極化在厚度 方向之壓電層材料，故其定義可參考 Wang et al.[27]提出之關係式即，
bt
z
z f
p p
r
dz
d q d N E
N
31 31
此外，
E
f E
f V h
p
，d
31=50m/V(Wang et al.[27])分別為電場係數與壓電常數，其中 d 為板件在厚度方向施加的單位電壓產生的橫向應變，故稱為橫向壓電係數，而31z
t，z
b則分別代表壓電層的頂底面座標。另外， q
(i)為板件第i 層之褪減勁度(Reduced Stiffness)矩陣，並可表示成：
1 1
1
2 ii i
i
i
v
v v
q E
r與
分別為板件之徑向及環向曲率分量，其定義即為：r
w,
rr ,
w,rr此外，
A
r與A
t為板件之拉伸勁度矩陣 (Extensional Stiffness Matrix) 元素，其定義分 別為：
1
1
1
2
n i ii i
i
r
E z z
A
，
n
i
i i i i i
t
E z z
A
1 2 1
1
上式中，
E
i,
i, h
i為典型第i
層之楊氏係數、蒲松比與厚度，而n
則為疊層總數。而B
r 與B
t為板件之耦合勁度矩陣 (Coupling Stiffness Matrix) 元素，其定義為：
21
2
1 2
2 1 1
n i ii i
i
r
E z z
B
，
n
i
i i i i i
t
E z z
B
1
2 1 2
1
22 1
然而，根據馮卡門大撓曲板理論，板件之徑向及環向應變，
r、
，可表示成側向 撓曲量及徑向位移量，w
與u
的關係式，如下，
r w u
u r r
r
, ,
2
, 1 2
(3)藉由
r
與
合併，其相關匹配式(Compatibility form)寫法，可表示為
0
2
1 2
dr
dw dr
r d r
(4)
2-2.2 力矩平衡方程：
板件之力矩平衡方程式可表示為：
r M Q r 0 dr
M
rdM
r
r (5)而
M
r與M
為板件之徑向與環向力矩合分量，其與曲率之關係式為：
p p r r
r t
t r r
r t
t r r
M M D
D D D B
B B B M
M
(6)在此，
D
r與D 為板件之彎曲勁度矩陣( Bending Stiffness Matrix )元素，其定義分別如t 下：
31
3
1
1
23 1
n i ii i
i
r
E z z
D
，
n
i
i i i i i
t
E z z
D
1
3 1 3
1
23 1
藉由 (1) 式中的第二方程，
Q
r可表示成，r M dr dM r
Q
r M
r
r
(7)而
M
rp與M
p為徑向與環向面內壓電力矩合分量，其定義可參照Wang et al.[27]所提 出之關係式，如下：
bt
z
z f
p p
r
zdz
d q d M E
M
31 31
此外，倒轉應力合與應變關係式(2)，可將板件之徑向與環向應變，
r 與
，改寫 成力合增量之表示式，如下，
P t r r
r r t
t r r
t r r r
N A A C
C N A N A
N A A C
C N A N A
) (
) (
1 1 1
1
P r 1 1 1
1
(8)
其中
C
A
t1B
r A
r1B
t，C A
t1B
t A
r1B
r，2 2 1
t r
r
r
A A
A A
， 1 2 2
t r
t
t
A A
A A
。
參照Sheplak & Dugundji[13]之求解方法，在預拉伸力N 作用下復承受側向面壓 0
p 0
之問題，其力合分量
N r
，N
可表示為含壓電效應之增量合成(Incremental Resultants) 型式，即，p p
r r
r N N N N N N N
N ˆ , ˆ
0 0
而將(8)式代入前述匹配式(4)中，並將其改寫成增量型式，即：
A1NˆA1Nˆ
A Nˆ Nˆ
C
rwwwr
w22 0r t r r a r (9) (7)式與(6)式代入(5)式中，可將其改寫成一增量表示式，即：
2 0 ˆ )
2 ( _
ˆ 3 3 ˆ
ˆ ˆ
0 0 2
1 1
1 1
r w p
N N N w w B r w
B r
w r T w
w T C B w
r C B N
A N A N
A N A r B
p r r
r a
a r
r r
r t t
r t
r
(10)
其中,
A a A r 1 A t 1
,B _ B
r B
t , Ta BrC Dr 藉由上述(1)第一式、(9) 與(10)即組成本文壓電效應下疊層大撓曲非線性統馭方程組，即，
2 0 ˆ
ˆ ˆ
ˆ
2 0 ˆ )
2 ( _
ˆ 3 3 ˆ
ˆ ˆ
ˆ 0 ˆ ), (
1 2 1
0 0 2
1 1
1 1
r w w w
w r C N N A N A N A r
r w p N N N w w B r w B r
w r T w
w T C B w
r C B N A N A N
A N A r B
N N r
r a
r r t
p r r
r a
a r
r r
r t t
r t r
r r
(11)
其次，再利用方程式合併技巧，可將上式改寫為如下之非線性聯立耦合形式，即，
2 0 ˆ
3 ˆ
2 0 ˆ )
2 ( _
3 6
6 3
2 2 2
1
0 0 2
2 1 1
w r
w r w r C w
N r N r A
r w p
N N N w w B r w
B r
w r T w
w T C B w
r C B N N r N r A N N r A B
r r
r
p r r
r a
a r
r r r
r r r r t r
(12)
2-3 無因次化：
延用 Sheplak&Dugundji[13]無因次化定義可將前述(12)式改寫成一無因次非線性 方程組，如下所示：
2 2 1
2 2 3
3 1 2 2
2 2
2 1 1
3 2
2 0 2
_
6 3 6
3
D C A S h
S
D h PE D
a S N
k B B
D T
D T C B D
C S B
S S
A S S A B
r r r
r
r r
p r r r
r a
r a r
r r r
r r
r r r t r
(13)
其中，無因次物理量之定義為：
h W w a r
;
;
;
2 22 dr
w d h a d d dr
dw h a d dW
4
1 4 0 2
2 0 2
;
; ,
, E h
a P p D
a k N
D N a N S
S
r r
r
r
而相對應之無因次邊界條件則可表示成如下關係，
(1)
當
0 時：
0 , U0，即板中心處，其斜率、徑向位移為零。(2)
當 1
時：
0 , U0，即夾固端，其斜率、撓曲量與徑向位移為零。第三章 解析與數值方法推導
本章將針對前述推導所得之大撓曲非線性問題，提出其簡化式線性問題之解析解 與非線性問題之數值解，並將壓電效應與疊層不對稱的影響納入考量。其中，線性問 題之解析解係在小撓曲情況考量下，忽略原非線性聯立方程組中之非線性項，以簡化 成一線性聯立方程組，且就側向斜率而言，可發現隨著機械力與壓電效應間相對大小 之變動，其掌控方程可表示為修正貝索方程或是貝索方程。其相對應之解析解也可藉 由修正貝索函數(Modified Bessel Function)與貝索函數(Bessel Function)的微分、積分 等相關定義並配合夾固式邊界條件來求解。而在非線性問題之數值求解方面，本文則 將延用Sheplak & Dugundji[13]所提出之有限差分法，建構一迭代技巧，來求取含壓 電效應之不對稱疊層板件大撓曲問題，其迭代過程並取前述之線性解析解作為迭代初 始值。
3-1 線性小撓曲問題之解析解
由於工程研發上快速取得線性解析解對研究人員有相當之重要性，並可作為求解 非線性問題之基礎，故本文將先針對其小撓曲線性問題做一初步探討。由於，在板件 小撓曲情況考量下，可想見斜率解乃至於力合分量也相對較小，是故原非線性聯立方 程中相關的非線性項如
2、
、S
r 等可予以忽略，是故 (13)式可簡化成一線性聯 立方程組，如下所示：
r r r
r
r r
p r r
a
r a r
r r r r r
r r r t r
D A C S h
S
D h PE D
a k N
D T
D T C B D
C S B
S S
A S S A B
1 2 2
2 3
3 1 2
2 2
2 1 1
3
2 0 6 3 6
3
(14)
其線性問題求解概念乃修正Sheplak & Dugundji[13]所提出之解析方法，分別求取含 壓電不對稱疊層圓型板件的斜率、撓度、曲率與面內應力之解析解。由於(14)式中的 第一式為含有
