元素尺度效應、等效密度因子與元素正向勁度
為使元素間正向彈簧勁度在材料上更具有物理意義，可以使用彈簧串聯公式將其轉換 為砂漿元素之正向勁度，由公式(3)可推得：
n 2 n
m m
K = k (6)
n
K ：砂漿材料之正向勁度(具有物理意義) m
n
k ：砂漿元素間正向彈簧之勁度 m
針對直徑 10mm、5mm、4mm、3mm 等四種不同尺度之砂漿元素進行模擬後，元素直 徑、等效密度因子與砂漿材料正向勁度之關係如表 1、表 2 及圖 8 所示。砂漿材料勁度在 1kN/m 時，等效密度因子之變化較大；若僅觀察 5kN/m 至 10kN/m 部份，等效密度因子隨 著元素尺度降低而逼近至 1.6 左右。由於文獻中對於單一球體隨機堆積密度上限之解析解 為 0.65 (Jaeger and Nagel, 1992) ， 換 算 為 等 效 密 度 放 大 因 子 後 ， 即 表 示 其 下 限 為
1 0.65 1.538≈ ，顯示本研究對於砂漿堆積已經相當密實(砂漿材料勁度在 1kN/m 的等效密度
因子會低於 1.538 是由於 DEM 理論在低正向勁度時容許較大的元素重疊量所致)。為降低 等效密度因子對後續研究之影響，本研究選擇砂漿材料正向勁度為 10kN/m，亦即砂漿元素 間正向彈簧勁度為 5kN/m；此外，由於 5mm 與 10mm 砂漿元素之等效密度因子與其他尺度 有較顯著之差異，並不適合作為數值模擬之選擇。
重量與邊界壓力之檢核
在砂漿溶液靜止時，可檢核數值解之重量與邊界壓力是否合乎物理意義。本研究針對 直徑 10mm、5mm、4mm、3mm 等四種不同尺度之砂漿元素計算其誤差(如圖 9 所示)，顯 示 10mm 砂漿元素在邊界壓力上之誤差明顯高於其他尺度，同樣證實尺度效應之影響。與 等效密度因子在尺度效應上之結果合併比較，本研究建議砂漿元素直徑上限應限定在 4mm。
工作性指標
本研究調整前述各砂漿元素之微觀參數，對其進行 V 形漏斗與 L 箱形試驗之模擬，所 量測出之工作性指標數值解與實驗室量測值的比較如圖 7b 所示。研究顯示目前定義的微觀 參數範圍已經可以適當地表達出 SCC 砂漿試驗之工作性，建議砂漿元素之微觀參數應遵循 之範圍如表 3 所示，微觀參數變動時對所模擬之 SCC 砂漿溶液流動行為則如圖 10 及圖 11 所示。
(a) 實驗室資料(劉誼曦, 2002) (b) 實驗室資料與數值模擬資料之比對 圖 7 SCC 砂將試驗工作性指標圖
表 1 SCC 砂漿靜止狀態(V 形漏斗)所量測之物理量(等效密度因子、重量、邊界壓力) Model Analytical
solution
Simulation
VFP01 VFP02 VFP03 VFP04 Stiffness kn (kN/m) 0.5 1.0 5.0 10.0
Density factor fd 1.505 1.560 1.610 1.620 Number of mortar elements 53,347 51,333 49,750 49,500
Average specific gravity 2.000 2.002 1.997 1.997 1.999 Error on average specific gravity (%) 0.091 0.168 0.145 0.030 Boundary contact force caused by liquid
pressure (N) 196.979 220.653 217.173 214.861 205.759 Error on boundary contact force (%) 12.019 10.252 9.078 4.457
表 2 SCC 砂漿靜止狀態(L 箱形模具)所量測之物理量(等效密度因子、重量、邊界壓力) Model Analytical
solution
Simulation
LBP01 LBP02 LBP03 LBP04 Stiffness kn (kN/m) 0.5 1.0 5.0 10.0
Density factor fd 1.485 1.545 1.600 1.605 Number of mortar elements 38,180 36,618 35,397 35,217
Average specific gravity 2.000 2.004 2.000 2.002 1.998 Error on average specific gravity (%) 0.192 0.024 0.083 0.115 Boundary contact force caused by liquid
pressure (N) 125.440 122.115 124.843 120.969 125.943 Error on boundary contact force (%) 2.651 0.476 3.565 0.401
圖 8 砂漿元素直徑、等效密度因子與砂漿材料正向勁度之關係 3.4.2 SCC 模擬
在砂漿元素微觀參數的範圍限定之後，可進一步經由物理實驗及對粗骨材材料之瞭解 來定義 SCC 粗骨材元素之微觀參數。將此二種元素混合後即為模擬所需之 SCC 材料。以 下針對 SCC 粗骨材元素之微觀參數及 SCC 試驗模擬結果分別進行敘述：
SCC 粗骨材微觀參數範圍
依據粗骨材材料性質，本研究設定其材料正向勁度為 1,000kN/m；等效密度因子則設 定與砂漿相同(約接近 1.6，此值必須配合選用之砂漿元素尺寸不同而略做調整，以確保模 擬時之一致性)；至於元素尺寸則可依據劉誼曦(2002)建議之常態分佈曲線(如圖 4)，選用平 均值 1cm、標準差 0.3cm 之級配，換算為四類總數與直徑各異的球元素。此外，粗骨材之 體積比對於 SCC 之流動行為亦有明顯之影響，本研究分別選定粗骨材體積比 0.3 與 0.35 來 進行模擬。本研究使用之粗骨材相關微觀參數詳列如表 4。
(a) 重量誤差 (b) 邊界壓力誤差
圖 9 使用不同尺度之砂漿元素，溶液靜止時之重量與邊界壓力的檢核
bn m-m = 0.001 N bn m-m = 0.01N bn m-m = 0.1N
t=1.0 sec. t=2.0 sec. t=3.0 sec. t=5.0 sec.
圖 10 砂漿間正向鍵結強度改變時，對於 V 形漏斗試驗之影響
bn m-m = 0.001 N bn m-m = 0.01N bn m-m = 0.1N
t=0.2 sec. t=0.4 sec. t=0.6 sec. t=1.0 sec.
圖 11 砂漿間正向鍵結強度改變時，對於 L 箱形試驗之影響
表 3 以 DEM 模擬 SCC 砂漿試驗時，建議微觀參數之範圍
參 數 建議值 說明
砂漿元素直徑 D 3 mm
(1) D≤5mm時，可滿足邊界壓力合理性 之需求。
(2) D≤4mm時，可以看出 interaction 中 各參數之顯著影響。
(3) D 值過小時，將導致計算量較大(計算
時間較長)及記憶體可能不足之問題。
砂漿元素等效密度因子 f d 1.600 (3mm) 1.605 (4mm)
(1) 虛擬砂漿元素之正向勁度愈高，使質 量守恆之 f 將愈高。 d
(2) f 最終將收斂至 1.6 左右 d 砂漿元素比重 '
γ
= fd ×γ
3.21 由等效密度因子 f 計算得來。 d時間步幅Δt < 1x10-5 sec.
(1) 應小於臨界時間步幅(與元素質量、元 素間正向及剪切向彈簧勁度有關)，至 少應低於 3.38x10-5秒。
(2) 測試當阻尼比提升超過 25%時，能量 變化較急劇，應適度降低Δt值，最低 須降至 2.5x10-6秒。
砂漿-砂漿 正向彈簧勁度
n
km m− 5x103 N/m
(1) km mn− 過高會降低臨界時間步幅，以致 於增加計算量。
(2) km mn− 過低會使 f 變化較大，因而無法d 控制其影響。
表 3 以 DEM 模擬 SCC 砂漿試驗時，建議微觀參數之範圍(續)
表 3 以 DEM 模擬 SCC 砂漿試驗時，建議微觀參數之範圍(續)
表 4 以 DEM 模擬 SCC 試驗時，建議粗骨材相關之微觀參數範圍(續)
Model SCCVFP30 SCCVFP35
Volume Ratio 0.300 0.350 Stiffness kn (kN/m) 1,000 1,000
Density factor fd 1.605 1.605
Number of Coarse Aggregates elements 7,234 8,485 Number of mortar elements 178,866 175,763 Average specific gravity
Simulation 2.261 2.295
Analytical Solution 2.120 2.140 Error (%) 6.638 7.267 Boundary contact force caused
by liquid pressure (N)
Simulation 6,968.469 7,088.689 Analytical Solution 6,927.912 7,033.399
Error (%) 0.585 0.786
SCC 充填均勻度
圖 13 表示當「粗骨材體積比」與「砂漿流動性」不同時，SCC 之 L 箱形試驗最終靜 止狀態的截面積變化；圖 14 則為「粗骨材-砂漿截面積比」變化，均顯示高流動性砂漿或 低粗骨材體積比可提高 SCC 的流動性與充填能力，以上結果亦可由模擬視算之結果看出(如 圖 15)，此結果與實驗室預期之趨勢相同。
(a) 粗骨材體積比 Vaggr = 0.30 (a) 粗骨材體積比 Vaggr = 0.35 圖 13 不同粗骨材體積比、不同砂漿流動性之 L 箱形試驗截面積變化圖
(a) 粗骨材體積比 Vaggr = 0.30 (a) 粗骨材體積比 Vaggr = 0.35 圖 14 不同粗骨材體積比、不同砂漿流動性之 L 箱形試驗「粗骨材-砂漿截面積比」變化圖 結論與建議
SCC 砂漿之研究結果顯示：經由適當調整砂漿元素的微觀模擬參數，確可使其表現出 不同的工作性(流動性與黏滯性)，且範圍大致可涵蓋 SCC 所關心的工作性指標範圍(黏滯性 指標小於 5，流動性指標小於 1)。此外，藉由檢核砂漿溶液靜置時的諸項物理性質(如重量 及邊界壓力檢測)、佐以合理的工作性指標及模擬視算，亦可協助訂定 SCC 砂漿微觀參數
的範圍。但究竟應如何調整諸項微觀參數以對應實驗室 SCC 漿試驗之配比參數，應是未來 進一步關心的研究課題。
SCC 之研究結果顯示：砂漿材料及粗骨材體積比對 SCC 流動行為均具有相當程度之影 響，並如實驗室所預測的趨勢相同(高流動性砂漿及低粗骨材體積比可提高 SCC 的充填能 力)。未來建議應對 SCC 粗骨材之參數再進行更細部的研究，以確定其他可能的影響因素。
最後，本研究所使用的 SCC 數值案例均耗費較大的計算量(以 16 顆目前主流之 Pentium IV 等級處理器，每秒鐘之模擬約需 5 至 6 小時方可完成)，未來亦可以考量進一步與其他數 值方法結合(例如有限元素法或計算流體動力學等連體力學之理論)、或嘗試簡化模擬流程以 提高計算之效率，方能進行較多的數值模擬，以歸納出模擬之微觀參數與實驗室 SCC 配比 參數間的關係。
t=0.25 sec. t=0.50 sec. t=0.75 sec. t=1.00 sec.
0.001
n
bm m− = N (Bm=0.653) bm mn− =0.1N (Bm =0.285)
圖 15 SCC 之 L 箱形試驗頂視圖，淺色部份為粗骨材元素，深色部份為砂漿元素。當砂漿 流動性較低時，明顯可看出 SCC 充填均勻度較差。
（四）參考文獻
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本研究之成果涵蓋了離散元素模擬與自充填混凝土兩方面，應對各領域均具有參考價 值及相當之貢獻。