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本文後續章節架構如下：
第二章 文獻回顧
本文採用由BGM延伸而來的跨通貨LIBOR市場模型，而早在 BGM模型已有許多人提出不同的利率模型，從最早期的短期利 率模型，逐漸發展至最新的市場模型，本章節介紹其他不同的 利率模型。
第三章 研究方法
介紹跨通貨LIBOR市場模型以及遠期利率波動度設定。
第四章 數值模擬
本章節將進行兩種型態的QFRNs評價，透過理論利用市場資料 估計參數，以跨通貨LIBOR市場模型來進行模擬評價分析，並 且針對利率及遠期利率波動度進行敏感度分析，以協助投資人 了解投資利率連動式債券所會面臨的報酬與風險。
第五章 結論
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均衡模型包含有 Vasicek(1977)以及 Cox，Ingersoll and Ross(CIR,1985) 等，而 Vasicek 和 CIR 皆為短期模型。均衡模型是推導出在經濟體系達均
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Root Process)取代 Vasicek 模型的常數波動度，使短期利率 r 服從分中央 卡方分配(Non-Central Chi-squared Distribution) ，改善了 Vasicek 模型中 短期利率為負的缺點，當利率越高則波動度越大，利率越小則波動度越 Lee(1986)、Hull and White(1990)、Heath,Jarrow and Merton (HJM)及 Brace,Gatarek and Musiela (BGM)等模型。而無套利模型是以市場利率 期間結構為基礎，藉由輸入一些變數，讓整個模型完全符合市場上的 情況，因此此類模型允許某些參數可以隨時間變動，而其所得出的利 率期間結構因為和市場完全吻合，推導出來的利率相關商品之價格會 是較準確合理的價格，故稱為無套利模型。‧
(2) Hull and White(1990)
Hull and White 模型為 Vasicek 模型的延伸，其保留了均數復歸的特
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利率和波動度期間結構的自由度，但過多的未知參數反而會造成波 動度期間結構的不穩定，在作評價時會產生誤差，因此在 Extended Vasicek 模型下假設 a(t)和 為常數。
(3) HJM(Heath,Jarrow and Morton ,1992)
介紹至目前為止，前面的模型都是以短期利率做為討論的變數，
相對於短期利率模型，Heath,Jarrow and Morton(HJM 1992)將 Ho and Lee的二元樹模型概念推廣成為連續時間下的多因子遠期利率模型，
並推倒出在無套利架構下的遠期利率隨機過程，在HJM模型下，遠 期利率動態過程如下：
其中， ：在 t 時點下觀察 T 時點的瞬間遠期利率。
：瞬間遠期利率動態過程的漂浮項。
：瞬間遠期利率動態過程的 diffusion 項，為多維度向 量。
： Brownian motion 。
由於其飄移項與波動度皆設定為時間的函數，且為多因子模型，
因此除了可以配適整條市場利率期間結構外，更可以符合市場的波 動度期間結構，在評價與避險上更趨完備。但此隨機過程為非馬可 夫鏈(Non-Markovian)，以致在實務應用所使用的利率二元樹無法重 和(Recombining)，因此在評價利率衍生性商品時計算複雜，尤其是 評價路徑相依(Path Dependent)的商品更是複雜及困難，在進行利率 商品評價時會增加數值方法的處理難度及運算時間，此外 HJM 模型 參數多，且瞬間遠期利率無法從市場上直接觀察到，校準這些參數 將是更艱鉅的工作，因此發展出最新的 LIBOR 市場模型。
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(4) BGM(Brace,Gatarek and Musiela,1997)
由於 HJM 模型下的瞬間遠期利率無法再市場上直接觀察到，
因此產生了 BGM 模型，又稱 LIBOR 市場模型(LIBOR market model,LMM)，或稱對數常態遠期 LIBOR 模型(Longnormal
Forward-LIBOR model,LFM)，在實務上連續的短期利率以及遠期利 率是不存在的，在此模型下可以直接使用市場上觀察得到的利率，
如 LIBOR rate。
LMM 模型假設遠期利率為對數常態分配下，在模擬遠期利率 的動態過程，不會發生利率為負的情形。常見的市場模型除了 LMM 之外，還有由 Jamshidia(1997)所發展出的 Lognormal Forward Swap Model(LSM)，其假設遠期 Swap rate 動態過程呈現對數態分配。
在 LFM 模型之下可以推導出具有 Black 形式的 cap 價格，藉由 市場上所提供的 Cap 波動度報價形式，可以完整的建立遠期利率的 波動度期間結構，以及廣泛的用來評價各種利率相關的衍生性金融 商品，並且可以直接利用市場資料來進行模型參數的校準。
本文將以 LMM 為基礎而發展的跨通貨 LIBOR 市場模型來評 價跨國利率衍生性商品，在第三章第一節會介紹 LMM 模型，並在 第二節將其延伸為跨通貨 LIBOR 市場模型。
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第三章 研究方法
本文是以評價跨通貨利率衍生性商品為目的，利率模型的選擇上，除 了頇能準確描述目前的利率期間結構，其所需的變數資料能否從市場上直 接取得，評價過程是否簡單有效率都列入考量之中，本文採用跨國 LIBOR 市場模型(cross-currency LIBOR market model,CLMM)來評價跨國利率衍 生性商品，此模型為 Brace,Gatarek and Musiela(1997,BGM)的延伸，相 較於瞬間短利模型(instantaneous short rate model)和後期的瞬間遠期 利率模型(instantaneous forward rate model)，BGM 模型所設定之標的 資產為間斷遠期利率，其所使用的 LIBOR 利率為市場上觀察得到的資訊，
而非市場上無法觀察的瞬間短利以及瞬間遠期利率，使參數容易於市場上 校準。
本章共分四小節，第一節介紹 LIBOR 市場模型以及交換利率與利率上 限選擇權之評價，第二節介紹跨通貨 LIBOR 市場模型，第三節介紹遠期利 率波動度結構，第四節介紹蒙地卡羅模擬法。
第一節 LIBOR 市場模型 (一) LIBOR 市場模型
符號定義如下：
：在時點 簽約，時點 瞬間借 貸之遠期利率。
：在時點 t 觀察到從 T 到 T+ 之間斷遠期利率。
：於到期(T)支付$1，在時點 t 下的零息債券價格。
：在 t 時點下［t,T]之零息利率。
：在 t 時點下的貨幣市場帳戶，其中 ， 。
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在無套利條件下，間斷遠期利率與連續遠期利率之關係為：
在 LIBOR 市場模型下，假設間斷遠期利率 服從 lognormal 分配 (7)
為了求得漂浮項 ，令 由 ’s Lemma 可得：
且
將(6)和(9)帶入(8)可得：
(10)
將(7)和(10)比較係數，得到關係式：
(11)
又(11)可以表示為：
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利用(12)反覆疊代，且 ，得：
為大於 的最小整數
運用(11)關係式帶回 (10)，則得到間斷遠期利率在風險中立測度下(Q)下 的動態過程：
(二) 遠期交換利率之計算
利率交換(Interest Rate Swap)是一個契約，雙方約定一名目本金，
在約定的有效期限內按期互相交換利息，直到契約終止為止。所謂的支付 者利率交換(Payer IRS,PIRS)指的是一方按期支付固定利息並且從對方收 取浮動利息，假設一單位的名目本金(Nominal Principal)，付息日為
、 、 )，付息日間距為 ，浮動端的指標利 率重設日為 、 、 、 ，於付息日按固定利率(K)支付固定利息
，並收取於 重設的浮動利率 計算的利息，故支付者交換契 約在時點 t 下各期現金流量的現值為(假設目前所處時點 )：
其中， 為在 t 時點下觀察到從 到 的間斷遠期利率。
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(三) 利率上限選擇權之計算
利率上限選擇權(Cap)為一連串歐式利率買權(Caplets)的組合，亦即 由固定期間（例如每六個月）的利率買權所構成的投資組合，一旦約定的 市場利率(例如六個月 LIBOR)超過契約雙方訂定的利率上限(K)時，買方可 要求賣方支付超過約定的利息差額。因此將利率上限選擇權(Cap)內的每 一個利率買權(Caplet)分別評價之後加總，即為 Cap 的合理價格。
假設一單位的名目本金(Nominal Principal)，利率的重設日(Reset Date)為 、 、 、 ，在 日重設的利率為下一期 交割日的 計息利率，交割日(Payment Dates)為 、 、 ，固定間距為
，則每一個利率買權(Caplet)的到期日為 ，其履約利率是 在 日重設並在 交割，應用 Black(1976)對於利率買權的評價公式，在 t=0 起時點下利率買權(Caplet)價值為：
(17)
其中，
，
期間的總波動度
的帄均波動度
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起始點 t=0 之下，Cap 的價格 ，在 ，其價格為 個 的相加：
其中每個 Caplet 波動度放的是相同的帄均波動度 ， 稱為 遠期波動度，市場上即以此波動度作為報價。
在這之中，對於 到期的 cap 而言，其每個 caplet 都會放相同的帄 均波動度( )，然而相同的 caplet 一但放到不同 cap 中，其帄均波 動度即改變，例如 到期的 其波動度放的是 ，這似乎有些 不一致，因為相同的 caplet 當遇到不同的 cap 就會用不同的帄均波動度，
因此我們可以為此做修正：
將其修正為對於 到期的 cap 而言，在不同的 caplet 會對應到不同的帄 均波動度 。
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第二節 跨通貨 LIBOR 市場模型
符號定義如下：
下標 ，d 為國內資產，f 為國外資產。
： 國在時點 簽約，時點 瞬間借 貸之遠期利率。
： 國在時點 t 觀察到從 T 到 T+ 之間斷遠期利率。
： 國於到期(T)支付$1，在時點 t 下的零息債券價格。
： 國在 t 時點下［t,T]之零息利率。
ｋ ： 國在 t 時點下的貨幣市場帳戶，其中
ｋ ， ｋ 。
：t 時點下之即期匯率，以一單位的外幣為多少單位的本國貨 幣表示。
由第一小節的(14)，國內間斷遠期利率在以 為計價單位的國內 風險中立測度(Q)下的動態過程：
同理，國外間斷遠期利率在以 為計價單位的國外風險中立測度 ( )下的動態過程：
又 ，其中， X(t)的波動度
因此，國外間斷遠期利率在國內風險中立測度下(Q)下的動態過程：
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其中， 為 K 國間斷遠期利率 的波動度， 為零息債券 的波動度，且由(13)知：
為大於 的最小整數
由(19)(20)，在跨通貨 LIBOR 市場模型下，以 為計價單位的國內風 險中立測度(Q)下，國內外間斷遠期利率以及匯率的動態過程：
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本文將採用第三種型態，假設波動度只受遠期利率的到期日影響，不 會隨著所處的時間點改變而改變，並以利率上限選擇權(cap)的波動度報 價作校準，詳細過程將於下一章介紹。
第四節 蒙地卡羅模擬法
本文採用蒙地卡羅法來進行商品的評價，已知在以 為計價單 位的國內風險中立測度(Q)下，國內外間斷遠期利率以及匯率的動態過 程：
利用 ’s Lemma 可得：
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在進行多變數模擬，頇考慮彼此間的相關性，因此不能個別抽取隨機 亂數，在此情況下採用 Cholesky Decomposition 法，利用 Cholesky 分解 相關係數矩陣，求得一下三角(Lower Triangular)矩陣 A，再從標準常態 N(0,1)隨機抽取 n 個獨立亂數，並乘上矩陣 A，即可獲得一組有相關性的 隨機亂數。
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第四章 數值模擬
本章以跨國區間浮動利率債券(Quanto Floating Range Notes,QFRNs) 為例，使用第三章所介紹的利率模型以及研究方法來進行評價及分析。
第四章分為三個部分做討論，第一節作商品介紹，第二節介紹評價過 程以及參數的設定，第三節針對利率與遠期利率波動度作敏感度分析。
第一節 商品介紹
區間浮動利率型債券(Floating Range Notes)是指當指標利率落在一定
區間浮動利率型債券(Floating Range Notes)是指當指標利率落在一定