利率衍生性商品之評價-以cross-currency LIBOR market model為例 - 政大學術集成

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(1)國立政治大學金融學系碩士班碩士論文. 利率衍生性商品之評價--以 cross-currency LIBOR 政治market model 為例. 大. 立. ‧ 國. 學博士. ‧. 指導教授：廖四郎. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i Un. 研究生：連云暄. v. 撰. 中華民國一○○年六月.

(2) 謝辭完成論文的那一刻，心中的喜悅真是無法言喻，很開心能順利的完成本篇論文，首先要感謝的就是我的指導教授廖四郎博士。老師淵博的學識和專業研究的態度，不僅在學術方面給予我許多建議和指導，亦使我工作的態度上有所長進，豐富的學術涵養和工作態度讓我感受到學者的風範。回想剛開始撰寫論文時的徬徨至現在的完稿，這其中的辛苦為有經歷. 政治大來、恩慈和繼文，彼此督促論文進度，是我學習和討論的最佳拍檔，謝謝立. 過的人才能理會，能親手完成論文，要感謝身旁人的支持與協助，謝謝旺. ‧ 國. 學. 逸華和涵如，有你們的陪伴，讓我堅持下去，更勇敢面對口詴的挑戰，謝謝夢萱、來來和偉大，讓我在這辛苦的研究所生活中，留下了許多歡樂的. ‧. 時光，謝謝玉樹、濱雨、小風，熱情參與宵夜團，謝謝淑芳助教、怡婷學. sit. y. Nat. 姐和實變王子，在過程中給予我許多指引和建議，謝謝所有的金融所同學. er. io. 們，讓我這兩年的生活增色不少。. n. al 最後感謝我的最最最親愛，謝謝我親愛的父母、云婷和思揚，無怨無 iv C. Un. hengchi 悔的支持與包容，給我無微不至的愛，在我遭遇挫折時候鼓勵我，謝謝親愛的佳和，一路走來給我滿滿的關愛和照顧，陪伴我生命中重要時刻與分享生活點滴。謝謝你們，成為我求學過程中最大的精神支柱，讓我能心無旁騖的完成學業。. 回首過去在金融所的日子，在這及將完成論文的同時也將和我道別，即將告別學生身分，期許自己能不負期望，獲得更多的成就與榮譽。.

(3) 摘要. 跨通貨型的利率衍生性商品提供一個管道，讓投資人能夠投資國外債券或是兩國立利率差而不牽扯任何匯率風險，本文主要利用跨通貨 LIBOR 市場模型(cross-currency LIBOR market model)及蒙地卡羅模擬法，針對兩種型態的跨國區間浮動利率債券進行評價，一為以國內利率為計息利率而國外利率為指標利率，另一個為以國外利率為計息利率而國內利率為指標利率，分析債券在不同的計息區間下價格之變化，為了協助投資人了解投資利率型連動債所會面臨的報酬與風險，同時針對利率水準以及遠期利率. 治政大波動度進行敏感度分析，敏感分析的結果顯示遠期利率水準之波動度對債立券影響不大，投資人應更加注重利率水準之變化。 ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i Un. v. 關鍵字：跨通貨 LIBOR 市場模型、蒙地卡羅模擬法、跨國區間浮動利率債券.

(4) 目錄第一章. 緒論……………………………………………………………. 1. 第二章. 文獻探討………………………………………………………. 4. 一、均衡模型………………………………………………. .4. 二、無套利模型 ……………………………………………. 5. 研究方法 ………………………………………………………. 9. 第一節 LIBOR 市場模型……………………………………. 9. 第二節跨通貨 LIBOR 市場模型……………………………. 16. 第四節. 21. 數值模擬………………………………………………………. 24. 第一節商品介紹……………………………………………. 24. 第二節評價方法……………………………………………. 26. 第三節敏感度分析…………………………………………. 37. ‧. sit. y. Nat. 結論……………………………………………………………. io. er. 第五章. 18. 學. 第四章. 政治大蒙地卡羅模擬法 …………………………………… 立. 第三節遠期利率波動度結構 ………………………………. ‧ 國. 第三章. 參考文獻 …………………………………………………………………. n. al. Ch. n engchi U. iv. 41 42.

(5) 第一章緒論隨著金融市場的開放及財務工程技術的提升和經驗的累積，不斷組合或創造出新的金融商品，投資大眾所能選擇之標的物也越來越多元，而票面利率設計上的變化是達成債券多樣化的有效方式，利率連動債券的設計架構同於一般結構型商品，它通常是由一張長期的零息債券搭配衍生性商品部位，而其衍生性部位（或稱連結標的）就是利率指標。市場上常見利率連動式債券有：浮動利率債券(Floating Rate Notes)、逆浮動利率債券. 政治大區間浮動利率債券(Floating 立 range notes)的特色為事先設定計息利率、. (Inverse Floating Rate Notes)、區間債券(Range Notes)。. ‧ 國. 學. 指標利率以及利率計息區間，所謂計息利率，其概念與傳統浮動利率債券相同，此利率會依契約雙方所約定的利率作為定期機動調整的基礎，常見. ‧. 的為倫敦銀行同業間拆放款利率（LIBOR-London Interbank Offer. sit. y. Nat. Rate,LIBOR），此外區間浮動利率債券的票息還受指標利率的影響，當指標利率落入利率計息區間才予以用計息利率來計息，因而投資人的獲利同. er. io. 時受計息利率與指標利率落入利率計息區間的天數而定。因此相對於傳統 a. n. iv l C n 浮動利率債券會提供更高的利差(spread)，當投資人認為未來的指標利率走 hengchi U. 勢將落入一定區間時，此商品提供給投資人在低利率的環境中獲得較高報酬的機會，但同時投資人也需承擔當指標利率落在利率計息區間之外的風險。過去有許多文獻探討區間浮動利率債券，Turnball(1995)在一因子 Gaussian HJM 架構下推導出區間浮動利率債券的評價公式，Navatte and Quittard-Pinon(1999)在和Turnball(1995)相同的模型架構下重新評價，在一因子 Gaussian HJM 架構下，將FRNs拆解成選擇權的投資組合，以更直覺的方式推導其解，Nunes(2004)則是改採用多因子Gaussian HJM 架構，將區間浮動利率債券拆解成選擇權投資組合的方式推導出評價公式，使之更 1.

(6) 一般化，Eberlein and Kluge(2006)推導並分析區間浮動利率債券在多因子 Gaussian HJM 架構下以Lévy過程修正其評價模型， Wu and Chen(2008)在 LIBOR市場模型的架構下推導出區間浮動利率債券的評價公式。隨著全球經濟一體化和金融一體化的深入，投資人對於投資標的的需求越來越多樣化，不僅僅侷限於國內，跨國區間浮動利率債券(Quanto Floating range notes,QFRNs)和區間浮動利率債券最大的差別在於QFRNs是個跨通貨商品，其計息利率與指標利率連結的是不同國家的利率，而名目本金是以本國貨幣計價，因此對於本國投資者來說可以免於承受匯率風險，無論兩國匯率如何變化，都是以本國貨幣來計算利息。Liao and Hsu(2009). 政治大本文將採用在跨通貨 LIBOR 市場模型(cross-currency LIBOR market 立. 在HJM模型與Lévy過程下推導QFRNs評價公式與探討避險問題。. ‧ 國. 學. model)的架構，分別評價兩種不同型態的跨國區間浮動利率債券，第一種型態為計息利率為本國利率，而指標利率為國外利率，第二種型態為計息. ‧. 利率為國外利率，指標利率為本國利率。跨通貨 LIBOR 市場模型為. y. Nat. Brace,Gatarek and Musiela (1997,BGM)模型的延伸，在描繪跨國的環境下其. io. sit. 國內、國外利率以及匯率的動態過程，在跨通貨 LIBOR 市場模型下本文. er. 以蒙地卡羅模擬法來模擬利率動態過程，用以評價跨國區間浮動利率債券，. n. a. iv. l C 由於市場上利率衍生性商品可能為美式或者是可贖回可賣回等，蒙地卡羅 n. hengchi U. 模擬法對於這一類型的商品評價，操作較為簡易且運用層面廣泛，有助於作為後續相關研究的參考。. 2.

(7) 本文後續章節架構如下：. 第二章. 文獻回顧本文採用由BGM延伸而來的跨通貨LIBOR市場模型，而早在 BGM模型已有許多人提出不同的利率模型，從最早期的短期利率模型，逐漸發展至最新的市場模型，本章節介紹其他不同的利率模型。. 第三章. 研究方法介紹跨通貨LIBOR市場模型以及遠期利率波動度設定。. 第四章. 數值模擬. 立. 政治大. 本章節將進行兩種型態的QFRNs評價，透過理論利用市場資料. ‧ 國. 學. 估計參數，以跨通貨LIBOR市場模型來進行模擬評價分析，並. ‧. 且針對利率及遠期利率波動度進行敏感度分析，以協助投資人了解投資利率連動式債券所會面臨的報酬與風險。. y. sit. io. n. al. er. 結論. Nat. 第五章. Ch. engchi. 3. i Un. v.

(8) 第二章. 文獻探討. 評價債券及利率衍生性商品時，利率模型的選取很重要，早期的利率模型以短期利率模型(Short Rate Model)為主，相對於短期利率模型， Heath,Jarrow and Morton(HJM 1992)推導出在無套利架構下的遠期利率隨機過程。每種模型背後的假設都不同，常見的利率相關模型可分為均衡模型(Equilibrium Model)與無套利模型(Arbitrage-Free Model)。 (一) 均衡模型(Equilibrium Model) 均衡模型包含有 Vasicek(1977)以及 Cox，Ingersoll and Ross(CIR,1985). 政治大. 等，而 Vasicek 和 CIR 皆為短期模型。均衡模型是推導出在經濟體系達均. 立. 衡情況下的利率期間結構，但因為這類模型的利率期間結構是輸出變數，. ‧ 國. 學. 也就是利率期間結構為模型內生的，雖具經濟意涵，但推導出來的利率期間結構未必會和市場利率期間結構一致，加上參數估計不易，造成使用這. ‧. 類模型評價出的理論價格和實際價格之間易存在誤差。. sit. y. Nat. (1) Vasicek 模型(1977). Vasicek 模型假設短期利率具有均數復歸(Mean Reversion)特性的單. er. io. n. 因子模型，均數復歸的特性讓利率不會有持續上漲或持續下跌的可能性， a v. l. ni. Ch 而單因子模型是指短期利率的變動只受一項布朗運動(Brownian motion) i U e ngch. 影響， Vasicek 模型的短期利率. 動態過程可以表示為：. 其中，a：利率均數復歸的速度，a 越大，利率回歸到長期帄均水準的速度就越快。 b：短期利率的長期帄均水準。：短期利率的波動度。 W(t)：Brownian Motion。此模型為單因子模型，其中的 a、b、均為固定常數，一旦常數確定了，利率的期間結構也跟著確定了。模型中考慮了均數復歸特性，因此短利 4.

(9) 率. 不會無止盡的上升或下降，而會以 a 的速度收斂至長期帄均利率. 水準 b，但此模型最大缺點在於短期利率會有出現負值的機會，這與真實情況不合。. (2) CIR 模型(1985) CIR 模型與 Vasicek 模型相似，仍保留了 Vasicek 模型的均數復歸特性， CIR 模型假設短期利率的波動度與利率水準的開根號有關，短期利率動態過程表示為：. 政治大，利用帄方根過程(Square Root Process)取代 Vasicek 模型的常數波動度，使短期利率 r 服從分中央立修正的部分為將擴散項(Diffusion)定為. ‧ 國. 學. 卡方分配(Non-Central Chi-squared Distribution) ，改善了 Vasicek 模型中短期利率為負的缺點，當利率越高則波動度越大，利率越小則波動度越. io. sit. y. Nat. (二) 無套利模型. ‧. 小。. er. 在均衡模型有個共同的缺點，就是模型中的參數均為期初給定的固. n. a. v. l C 定值，無法隨時間的變動而變動，但市場上瞬息萬變，利率變動的期 ni. hengchi U. 望值及波動度都深受時間及市場新資訊的影響，因此將變數假設為定值並不符合市場情況，由於均衡模型具有無法配適市場利率期間結構的缺點，因此產生了無套利模型來加以改善。無套利模型包含 Ho and Lee(1986)、Hull and White(1990)、Heath,Jarrow and Merton (HJM)及 Brace,Gatarek and Musiela (BGM)等模型。而無套利模型是以市場利率期間結構為基礎，藉由輸入一些變數，讓整個模型完全符合市場上的情況，因此此類模型允許某些參數可以隨時間變動，而其所得出的利率期間結構因為和市場完全吻合，推導出來的利率相關商品之價格會是較準確合理的價格，故稱為無套利模型。 5.

(10) (1) Ho and Lee(1986) Ho and Lee 是最早提出短期利率的無套利模型，將利率期間結構是為已知，利用漂浮項的變動來配適市場上目前的殖利率曲線，在此模型下短期利率動態過程如下：. 其中，：固定常數：時間 t 知函數，是一個為了讓模型與利率期間結構一致的調整項但此模型並無均數復歸的特性(因漂浮項與 r 無關)。 Ho and Lee 模型將漂浮項設為時間的函數，雖然改善了利率期間結構的估計，但不具有均數復歸的優點，且會有利率可能為負的的不. 治政合理情況，且波動度為常數無法準確描述市場上的波動度結構。大立 ‧ 國. 學. (2) Hull and White(1990). Hull and White 模型為 Vasicek 模型的延伸，其保留了均數復歸的特. ‧. 性，且在參數的設定上給予相當的自由度，模型將飄移項的參數設. Nat. sit. y. 定為隨時間變動而變動，以便能夠配適市場的期初利率期限結構，. n. al. er. io. Hull and White 模型下短期利率隨機動態過程如下：. Ch. engchi. i Un. v. 由上式可以看出 Vasicek 和 CIR 模型為 Hull and White 模型的特例，當. 時為延伸型的 Vasicek 模型，當. 時為延伸型的 CIR 模型，. 其中. 是一個能使模型與市場利率期間結構一致的調整項，為短期利率的長期帄均水準，在此設定下可以看出短期利率. 的均數復歸的水準不再是常數，而是會隨時間 t 調整的函數，因此透過. 的校準，可以符合市場的利率期間結構，. 的短期利率波動度。然而，雖然 a(t)和 6. 則決定了未來. 提供了兩個讓其符合期初.

(11) 利率和波動度期間結構的自由度，但過多的未知參數反而會造成波動度期間結構的不穩定，在作評價時會產生誤差，因此在 Extended Vasicek 模型下假設 a(t)和. 為常數。. (3) HJM(Heath,Jarrow and Morton ,1992) 介紹至目前為止，前面的模型都是以短期利率做為討論的變數，相對於短期利率模型，Heath,Jarrow and Morton(HJM 1992)將 Ho and Lee的二元樹模型概念推廣成為連續時間下的多因子遠期利率模型，並推倒出在無套利架構下的遠期利率隨機過程，在HJM模型下，遠期利率動態過程如下：. 立. ：在 t 時點下觀察 T 時點的瞬間遠期利率。. 學. ‧ 國. 其中，. 政治大. ：瞬間遠期利率動態過程的漂浮項。：瞬間遠期利率動態過程的 diffusion 項，為多維度向. ‧. 量。. y. Nat. er. io. sit. ： Brownian motion 。. n. al 由於其飄移項與波動度皆設定為時間的函數，且為多因子模型， iv n. C. hengchi U 因此除了可以配適整條市場利率期間結構外，更可以符合市場的波動度期間結構，在評價與避險上更趨完備。但此隨機過程為非馬可. 夫鏈(Non-Markovian)，以致在實務應用所使用的利率二元樹無法重和(Recombining)，因此在評價利率衍生性商品時計算複雜，尤其是評價路徑相依(Path Dependent)的商品更是複雜及困難，在進行利率商品評價時會增加數值方法的處理難度及運算時間，此外 HJM 模型參數多，且瞬間遠期利率無法從市場上直接觀察到，校準這些參數將是更艱鉅的工作，因此發展出最新的 LIBOR 市場模型。. 7.

(12) (4) BGM(Brace,Gatarek and Musiela,1997) 由於 HJM 模型下的瞬間遠期利率無法再市場上直接觀察到，因此產生了 BGM 模型，又稱 LIBOR 市場模型(LIBOR market model,LMM)，或稱對數常態遠期 LIBOR 模型(Longnormal Forward-LIBOR model,LFM)，在實務上連續的短期利率以及遠期利率是不存在的，在此模型下可以直接使用市場上觀察得到的利率，如 LIBOR rate。 LMM 模型假設遠期利率為對數常態分配下，在模擬遠期利率的動態過程，不會發生利率為負的情形。常見的市場模型除了 LMM. 治政大 Model(LSM)，其假設遠期 Swap rate 動態過程呈現對數態分配。立. 之外，還有由 Jamshidia(1997)所發展出的 Lognormal Forward Swap. 在 LFM 模型之下可以推導出具有 Black 形式的 cap 價格，藉由. ‧ 國. 學. 市場上所提供的 Cap 波動度報價形式，可以完整的建立遠期利率的. ‧. 波動度期間結構，以及廣泛的用來評價各種利率相關的衍生性金融商品，並且可以直接利用市場資料來進行模型參數的校準。. y. Nat. io. sit. 本文將以 LMM 為基礎而發展的跨通貨 LIBOR 市場模型來評. er. 價跨國利率衍生性商品，在第三章第一節會介紹 LMM 模型，並在. n. a. v. l C LIBOR 市場模型。第二節將其延伸為跨通貨 ni. hengchi U. 8.

(13) 第三章. 研究方法. 本文是以評價跨通貨利率衍生性商品為目的，利率模型的選擇上，除了頇能準確描述目前的利率期間結構，其所需的變數資料能否從市場上直接取得，評價過程是否簡單有效率都列入考量之中，本文採用跨國 LIBOR 市場模型(cross-currency LIBOR market model,CLMM)來評價跨國利率衍生性商品，此模型為 Brace,Gatarek and Musiela(1997,BGM)的延伸，相較於瞬間短利模型(instantaneous short rate model)和後期的瞬間遠期利率模型(instantaneous forward rate model)，BGM 模型所設定之標的. 政治大. 資產為間斷遠期利率，其所使用的 LIBOR 利率為市場上觀察得到的資訊，. 立. 而非市場上無法觀察的瞬間短利以及瞬間遠期利率，使參數容易於市場上. ‧ 國. 學. 校準。. 本章共分四小節，第一節介紹 LIBOR 市場模型以及交換利率與利率上. ‧. 限選擇權之評價，第二節介紹跨通貨 LIBOR 市場模型，第三節介紹遠期利. n. LIBOR 市場模型 a. (一) LIBOR 市場模型. y er. io. 第一節. sit. Nat. 率波動度結構，第四節介紹蒙地卡羅模擬法。. iv l C n hengchi U. 符號定義如下： . ：在時點簽約，時點. . ：在時點 t 觀察到從 T 到 T+. . ：於到期(T)支付$1，在時點 t 下的零息債券價格。. . ：在 t 時點下［t,T]之零息利率。. . ：在 t 時點下的貨幣市場帳戶，其中. 瞬間借貸之遠期利率。. ，. 。. 9. 之間斷遠期利率。.

(14) 首先推導瞬間遠期利率之帄睹(Martingale)過程，以. 為計價單. 位的風險中立 Q 測度之下，假設瞬間遠期利率之動態過程為： (1) 其中，. 國內瞬間遠期利率之期望值國內瞬間遠期利率之波動度 Q 測度下之 Brownian Motion. 又零息債券價格. 可表示為：. 立. 因此可得：. 政治大. ‧ 國. 動態過程表示為：. ‧. 為 Martingale，可將. n. al. ’s Lemma 可得：. Ch. engchi. er. io. 零息債券價格之波動度. sit. y. Nat. 根據. (3). 學. 由於在 Q-measure 下，. 其中，. (2). i Un. v. 因此由(3)和(４)可知：. 故在以. 為計價單位的風險中立 Q 測度之下，瞬間遠期利率之動態過. 程為： (5) 10.

(15) 在無套利條件下，間斷遠期利率與連續遠期利率之關係為：. 在 LIBOR 市場模型下，假設間斷遠期利率. 服從 lognormal 分配 (7). 為了求得漂浮項由. ，令. ’s Lemma 可得：. 立. ‧. ‧ 國. 學. 且. 政治大. io. sit. y. Nat. n. al. er. 將(6)和(9)帶入(8)可得：. Ch. engchi. i Un. v. (10). 將(7)和(10)比較係數，得到關係式： (11). 又(11)可以表示為：. 11.

(16) 利用(12)反覆疊代，且. ，得：. 為大於. 的最小整數. 運用(11)關係式帶回 (10)，則得到間斷遠期利率在風險中立測度下(Q)下的動態過程：. 立. 政治大. ‧ 國. 學. (二) 遠期交換利率之計算. ‧. 利率交換(Interest Rate Swap)是一個契約，雙方約定一名目本金，在約定的有效期限內按期互相交換利息，直到契約終止為止。所謂的支付. y. Nat. io. sit. 者利率交換(Payer IRS,PIRS)指的是一方按期支付固定利息並且從對方收. er. 取浮動利息，假設一單位的名目本金(Nominal Principal)，付息日為. a. n 、率重設日為. 、. ，並收取於. 、. l C )，付息日間距為. 、. 、. hengchi. i Un. v. ，浮動端的指標利. ，於付息日按固定利率(K)支付固定利息. 重設的浮動利率. 計算的利息，故支付者交換契. 約在時點 t 下各期現金流量的現值為(假設目前所處時點. 其中，. 為在 t 時點下觀察到從. 12. )：. 到的間斷遠期利率。.

(17) 在利率交換期初成立時，為了使此交換契約為公帄合約，即選定一個履約價 K，使其能使期初利率交換契約價值為零，令上式等於零，求解 K 即為交換利率(Swap Rate)。. 又. ，因此上式可表示為：. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學 y. Nat. n. al. er. io. sit. 其中，. Ch. engchi. i Un. v. 最後得出：. 由此式可知，交換利率完全是由現在的利率期限結構所決定。. 13.

(18) (三) 利率上限選擇權之計算. 利率上限選擇權(Cap)為一連串歐式利率買權(Caplets)的組合，亦即由固定期間（例如每六個月）的利率買權所構成的投資組合，一旦約定的市場利率(例如六個月 LIBOR)超過契約雙方訂定的利率上限(K)時，買方可要求賣方支付超過約定的利息差額。因此將利率上限選擇權(Cap)內的每一個利率買權(Caplet)分別評價之後加總，即為 Cap 的合理價格。假設一單位的名目本金(Nominal Principal)，利率的重設日(Reset Date)為. 、. 、. 、. ，在. 日重設的利率為下一期交割日的. 計息利率，交割日(Payment Dates)為. 、. 、. ，固定間距為. 政治大交割，應用立 Black(1976)對於利率買權的評價公式，在. ，則每一個利率買權(Caplet)的到期日為，其履約利率是在. 日重設並在. n. al. er. io. sit. y. Nat. 其中，. ‧. ‧ 國. 學. t=0 起時點下利率買權(Caplet)價值為：. Ch. engchi. ，期間的總波動度的帄均波動度. 14. i Un. v. (17).

(19) 起始點 t=0 之下，Cap 的價格，其價格為. 個. ，在. 的相加：. 其中每個 Caplet 波動度放的是相同的帄均波動度. ，. 稱為. 遠期波動度，市場上即以此波動度作為報價。在這之中，對於到期的 cap 而言，其每個 caplet 都會放相同的帄均波動度(. )，然而相同的 caplet 一但放到不同 cap 中，其帄均波. 動度即改變，例如. 到期的. 其波動度放的是. ，這似乎有些. 政治大. 不一致，因為相同的 caplet 當遇到不同的 cap 就會用不同的帄均波動度，. 立. 因此我們可以為此做修正：. ‧. ‧ 國. 學 sit. y. Nat. io 。. al. n. 均波動度. er. 將其修正為對於到期的 cap 而言，在不同的 caplet 會對應到不同的帄. Ch. engchi. 15. i Un. v.

(20) 第二節. 跨通貨 LIBOR 市場模型. 符號定義如下： . 下標. ，d 為國內資產，f 為國外資產。. . ：國在時點簽約，時點. . ：國在時點 t 觀察到從 T 到 T+. . ：國於到期(T)支付$1，在時點 t 下的零息債券價格。. . ：國在 t 時點下［t,T]之零息利率。. . ｋ. 之間斷遠期利率。. ：國在 t 時點下的貨幣市場帳戶，其中ｋ. . 瞬間借貸之遠期利率。. 立. 政治，大. 。. ｋ. ：t 時點下之即期匯率，以一單位的外幣為多少單位的本國貨. ‧ 國. 學. 幣表示。. 為計價單位的國內. ‧. 由第一小節的(14)，國內間斷遠期利率在以風險中立測度(Q)下的動態過程：. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 同理，國外間斷遠期利率在以. i Un. v. 為計價單位的國外風險中立測度. ( )下的動態過程：. 又. ，其中，. X(t)的波動度. 因此，國外間斷遠期利率在國內風險中立測度下(Q)下的動態過程：. 16.

(21) 其中，. 為 K 國間斷遠期利率. 的波動度，. 為零息債券. 的波動度，且由(13)知：. 為大於. 的最小整數. 由(19)(20)，在跨通貨 LIBOR 市場模型下，以. 為計價單位的國內風. 政治大. 險中立測度(Q)下，國內外間斷遠期利率以及匯率的動態過程：. 立. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 17. i Un. v.

(22) 第三節. 遠期利率波動度結構. 在校準模型的波動度期間結構之前，我們必頇選擇適當的波動度函數型態，一般來說通常假設遠期利率的波動度呈現分段常數 (piecewise-constant)的型態，所謂的分段常數是指遠期利率的波動度會隨著所在的時間區間. 的不同而有所差異，但是在同一個時間區間. 內波動度則維持固定不變，如此可以簡化參數估計的複雜程度。在 Brigo 和 Mercurio(2006)中，提出了五種分段常數型波動度型態，以. 表示為. 到從. 到的間斷遠期利率，五種分段常數型波動度型態分別描述如下：. 立. ‧ 國. 型態. 為在 t 時點下觀察. 政治大. 學. 1.. 的波動度，其中. ，當其所在的時點 t 滿足：. ，因此此種波動. ，所處的時間不同(不同的時間區間)，每一. sit. y. Nat. (t)影響，即. ‧. 度型態指的是波動度同時受到遠期利率的到期日(i)和其所在的時間點. io. n. al. er. 個遠期利率會有不同的波動度。. 表 3-1. 型態. Ch. engchi. i Un. v. 時間區間. 遠. 已到期. 期利率. 18. 已到期. 已到期. 已到期. 已到期.

(23) 2.. 型態在這個假設下，波動度只受到期期限(Time-to-Maturity)影響，因此波動度函數可以表示為. ，遠期利率距離到期時間的長短. 是唯一影響波動度的因素。. 表 3-2. 型態時間區間. 遠. 已到期. 期. 立. 利. 已到期. ‧ 國. ‧ y. 型態. 治政已到期大. Nat. 3.. 已到期. 學. 率. 已到期. er. io. sit. 此類型的假設波動度只受遠期利率的到期日影響，不會隨著所處的時間點改變而改變，個別來看遠期利率，其波動度為常數，因此波動度函數. n. al. 可以表示為. 表 3-3. 。C. hengchi. i Un. v. 型態時間區間. 遠. 已到期. 期利率. 19. 已到期. 已到期. 已到期. 已到期.

(24) 4.. 型態假設波動度為到期日的函數度函數為. 和所在時點的函數. 之乘積，其波動. 。當所有的所在時間函數. 都假設為 1，則. 可以得到第三種型態的結果(遠期利率波動度只受到期日影響)，因此第三種型態為此型態的特例。. 表 3-4. 型態時間區間. 遠. 治政已到期已到期大. 已到期. 期. 立. 利. 已到期已到期. 型態. y. Nat. 5.. ‧. ‧ 國. 學. 率. 和到期期限函數. n. al. 期日的函數. 為 1 時，即為第二種類型 C. hengchi. 之乘積。當我們假設到. er. io. 度為到期日的函數. sit. 和第四類型一樣，將波動度拆解成兩個函數的相乘，而此處是假設波動. i Un. v. 型態的結果(假設遠期. 利率波動度只和到期期限有關)，因此第二種型態為此型態的特例。. 表 3-5. 型態時間區間. 遠. 已到期. 期利率 20. 已到期. 已到期. 已到期. 已到期.

(25) 本文將採用第三種型態，假設波動度只受遠期利率的到期日影響，不會隨著所處的時間點改變而改變，並以利率上限選擇權(cap)的波動度報價作校準，詳細過程將於下一章介紹。. 第四節. 蒙地卡羅模擬法. 本文採用蒙地卡羅法來進行商品的評價，已知在以. 政治大. 為計價單. 位的國內風險中立測度(Q)下，國內外間斷遠期利率以及匯率的動態過程：. 立. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. 利用. Ch. engchi. ’s Lemma 可得：. 21. i Un. v.

(26) 對上式進行斷續化(Discretization)，得到：. 立. ‧ 國. 學. 因此在時點. 政治大. 下，兩國的遠期利率與匯率可以表式為：. ‧. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i Un. v. 其中，. 為大於. 的最小整數. 利用上述式子，即可進行對遠期利率模擬。. 22.

(27) 在進行多變數模擬，頇考慮彼此間的相關性，因此不能個別抽取隨機亂數，在此情況下採用 Cholesky Decomposition 法，利用 Cholesky 分解相關係數矩陣，求得一下三角(Lower Triangular)矩陣 A，再從標準常態 N(0,1)隨機抽取 n 個獨立亂數，並乘上矩陣 A，即可獲得一組有相關性的隨機亂數。. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 23. i Un. v.

(28) 第四章. 數值模擬. 本章以跨國區間浮動利率債券(Quanto Floating Range Notes,QFRNs) 為例，使用第三章所介紹的利率模型以及研究方法來進行評價及分析。第四章分為三個部分做討論，第一節作商品介紹，第二節介紹評價過程以及參數的設定，第三節針對利率與遠期利率波動度作敏感度分析。. 第一節商品介紹. 政治大區間內該債券才計息，否則不計息。例如若指標利率（如六個月美元 LIBOR）立區間浮動利率型債券(Floating Range Notes)是指當指標利率落在一定. ‧ 國. 學. 介於 3%~3.4%之間時，則票面利率為「美元 LIBOR+y%」，否則票面利率為 0。而跨國區間浮動利率債券(Quanto Floating Range Notes,QFRNs)指標. ‧. 利率與計息利率是分別是兩個不同的國家的利率，並非只有國內利率。例. y. Nat. 如若指標利率（如六個月英鎊 LIBOR）介於 3%~3.4%之間時，則票面利. er. io. sit. 率為「美元 LIBOR+y%」，否則票面利率為 0。. 跨國區間浮動利率債券(Quanto Floating Range Notes,QFRNs)在假設. n. al. iv. 一單位的名目本金下，計息利率以下標 s 表示，指標利率以下標 k 表示， C Un 其中. ，付息日為. hengchi. ，付息區間為. 為天後的第天，為第天的為上限，在. ，. ；為契約雙方所約定的區間. ，. ，，. 為下限，. 時點下支付的利息是以於日重設的浮動利率. 再加上 spread 作為計息利率，其收益率取決於指標利率落於約定區間內的天數，在. 時點下. 期所支付的利息價值為：. 24.

(29) 以. 表示為起始點下第. 期所支付的利息現值，因此跨. 國區間浮動利率債券在起始點下的價格可以表式為：. 其中，. 為在到期贖回一單位名目本金之折現值。. 政治大. 本文將分別模擬兩種型態的 QFRN. 立. 同是兩年期，並且每半年付息，設定 spread=2%之下，. ‧ 國. 學. Type 1 以國內六個月 LIBOR rate 為計息利率，以國外六個月 LIBOR rate 為指標利率。. ‧. Type 2 以國外六個月 LIBOR rate 為計息利率，以國內六個月 LIBOR rate. er. io. sit. y. Nat. 為指標利率。. 以 2011/03/01 為評價日(發行日) ，英鎊六個月 LIBOR rate 為國內利率， a. n. iv l C n 歐元六個月 LIBOR rate 為國外利率，並且分別模擬在約定不同的區間之下 hengchi U QFRN 價格的變化。. 25.

(30) 第二節評價方法以下將以英鎊及歐元市場為例，運用跨國 LIBOR 市場模型 (cross-currency LIBOR market model)配合蒙地卡羅法，模擬出遠期利率，再以跨國區間浮動利率債券的計息條件，計算各期利息，將各期折現至評價日當天，以求算出商品的合理價格。. 1. 殖利率曲線之估計運用蒙地卡羅作模擬時，頇以期初的遠期利率作為起始點，因此首先頇建立出一條殖利率曲線，再利用即期利率與遠期利率的無套利關係式，. 治政大 2.5 年的殖利率曲線。求得最後一日的六個月 LIBOR，因此頇建立長立. 求出期初的遠期利率，因為本文所設定的商品存續期間為兩年，並且頇. 首先由 DataStream 獲得發行日當天的英鎊與歐元的六個月 LIBOR rate. ‧ 國. 學. 和十二個月 LIBOR rate 的報價，因為市場上只有一年以下的 LIBOR rate. 來計算。. ‧. 報價，因此一年以上的需要利用交換利率，並運用拔靴法(Bootstrapping). n. 期限(月). Ch. i Un. e n g cLIBOR hi. 6 month. 1.32813 %. 12 month. 1.51938 %. 表 4-2 2011/03/01 歐元 LIBOR 報價期限(月). LIBOR. 6 month. 1.11 %. 12 month. 1.35763 %. 26. er. io. sit. y. Nat. a l LIBOR 報價表 4-1 2011/03/01 英鎊. v.

(31) 表 4-3. 2011/03/01 英鎊交換利率報價. 期限(年). 交換利率. 1年. 1.168 %. 2年. 1.855 %. 3年. 2.303 %. 表 4-4 2011/03/01 歐元交換利率報價期限(年). 交換利率. 1年. 1.6795 % 2.093 % 政治大 2.3855 %. 2年. 立. 3年. ‧ 國. 學. 以英鎊為例，利用上一章節第(15)式所推導出的交換利率. ‧. n. er. io. sit. y. Nat. al t ，起始點. 在. Ch. ，可得：. engchi. i Un. v. 先以 Matlab 程式軟體中的非線性差補法(Cubic Spline)插補出以半年為單位的交換利率(1.5 年、2.5 年)，並運用上述公式。舉例說明：. 其中，. 由. 差補法求出的年期的殖利率 27. 年期交換利率.

(32) 公式中只有. 為未知數，因此可求解出 1.5 年期的殖利率，以同. 樣的方法:. S. S. S. S. S. S S S. 繼續求出. S. 、. 。. 立. 政治大. 相同的方法可以求出歐元長 2.5 年的殖利率曲線。接著再利用非線性. ‧ 國. 英鎊 LIBOR 殖利率曲線. sit er. al. n. 利率. io. 0.02. y. Nat. 0.025. ‧. 圖 4-2. 學. 差補法，差補出 2.5 年內每天的殖利率，即可獲得完整的殖利率曲線。. 0.015 0.01. Ch. engchi. i Un. v. 0.005 0 1. 181. 361. 541 到期日(天). 28. 721. 901.

(33) 圖 4-3 歐元 LIBOR 殖利率曲線 0.025 0.02 0.015 利率 0.01 0.005 0 1. 181. 361. 541. 721. 901. 治政到期日(天) 大. 立. ‧ 國. 學. 2. 期初的遠期利率. ‧. 求出每日的殖利率曲線後，利用即期利率與遠期利率之無套利機會關. al. n. Ti Ti. F. 其中， F. Ti. j. Ti. er. io. sit. y. Nat. 係式來求出遠期利率：. Ti j Ti j. F Ti j Ti Ti Ti j. iv n C hT T i ni e g c h i UTi j Ti Ti. Ti. j. j. Ti ：到期殖利率 Ti. j. Ti ：在 t 時點觀察，從Ti j 到Ti 之間的間斷遠期利率。. (為了表達上的方便，以下小段落的時間參數將以天為單位) 由於評價的產品 QFRN 在指標利率頇要模擬出兩年內每日的六個月 LIBOR rate： F. F. F 29.

(34) 因此頇求出： F. F. F. ，共 720 個即期的遠期利率。同時將. 遠期利率分組，作為蒙地卡羅起始資料的依據。. 表 4-5. 遠期利率分組. 組別. 遠期利率. 1. F. F. F. 2. F. F. F. 180. F. F. 學. ‧ 國. 立. F. 政治大. 3. 遠期利率波動度校準. ‧. 在第三章中對於遠期利率波動度的設定提供了五種型態，本文採用第. sit. y. Nat. 三種型態的設定，假設波動度只受遠期利率的到期日影響，不會隨著所處的時間點改變而改變。. er. io. 過去對於波動度的研究之中，通常把焦點集中在以時間序列的觀點來 a. n. iv l C n 描述波動度的行為，不過站在評價商品的角度來看，以時間序列來做為捕 hengchi U. 捉波動度的方法並不盡理想。原因出自時間序列在估計波動度時，是以歷史資料來估計波動度，其中缺點在於這樣的方法為後顧式(backward looking)的，然而這樣的方法並無法消化市場上所傳遞出來的資訊，因為在評價商品時，所需要的是即時的將市場資料轉化為對未來的預期，也就是具有前瞻式(forward looking)的估計方法，本文採用隱含波動度來估計波動度。利用市場上價帄的利率上限選擇權(Cap)作為校準(Calibration)遠期利率波動度的依據，利率上限選擇權的市場報價是以波動度作為報價，此波動度代表的是利率上限選擇權其所涵蓋的區間內帄均波動度。 30.

(35) 由 Datastream 獲得 2011/03/01 當日以六個月 LIBOR rate 為標的之價帄利率上限選擇權市場報價。. 表 4-6 2011/03/01 英鎊 Cap 波動度報價到期日(年). Cap 波動度報價(%). 1年. 50.68 %. 2年. 50 %. 3年. 45.57 %. 治政 Cap 大波動度報價(%). 表 4-7 2011/03/01 歐元 Cap 波動度報價到期日(年). 立. 39.45 % 35.44 %. ‧. 3年. 學. 2年. 35.82 %. ‧ 國. 1年. sit. y. Nat. a. er. io. 利率上限選擇權可視為一連串歐式利率買權(Caplet)的組合，以六個. n. iv 月 LIBOR 為標的每半年重設一次的利率上限選擇權來說，一年期的利率 l. n U i e h ngc 上限選擇權包含一個 Caplet，其利率重設時點為第 0.5 年，交割時間為第 1. Ch. 年，而兩年期的利率上限選擇權包含三個 Caplet，重設時點分別為 0.5 年、 1 年、1.5 年，而交割時點分別為 1 年、1.5 年、2 年，以此類推。利用第三章第(18)式所介紹的 Cap 波動度和 Caplet 波動度之間的關係 n. p. l. Tn. iP. Ti. S. Fi. K. Ti. n. i n iP. Ti. i. 31. S. Fi. K. Ti. pl i. p.

(36) 推演出每一個 Caplet 的波動度，以下舉例說明遠期利率波動度求算的過程：因為一年期 Cap 包含一個 Caplet，因此可以表式為：. P. F. S. p. K P. F. S. pl. K. 可得 pl. p. 政治大 P. 又兩年期的 Cap 包含三個 Caplet：. pl. pl. P. S. F. S. F. p. aKl. pl. p. CKh. ，即 P. p. engchi pl. K. S. p. K S. F. pl. K. F. pl. K. 帶入上式，並且假設同一年內到期的. pl. n. P. F. io. S. P. 和已知的. 遠期利率之波動度相同 P. pl. K. Nat. 我們將剛剛求出的. P. F. y. F. p. K. S. ‧. ‧ 國 S. 立. F. S. P. p. K. 學. P. F. 可求出 1 年到 2 年之間的波動度. sit. S. er. P. i U nP. v. P pl. S. F. p. K S S. F. F. pl. K pl. K. ，按此步驟不斷重複，即可獲. 得以 1 年為區間的遠期利率波動度。在本文對於遠期利率波動度的假設下，假設波動度只受遠期利率的到期日影響，不會隨著所處的時間點改變而改變，利用所求算出來的 Caplet 隱含波動度來估計遠期利率波動度，可以表示為： Ti. pl. Si. 表示重設時點為Ti ，交割日為Ti 的 Caplet 波動度等於遠期利率Fi 波動度，且此波動度不會隨著時間 t 的改變而改變。 32. 的.

(37) 表 4-8 校準後的英鎊遠期利率波動度結構期間. 遠期利率波動度. 0-1 年. 50.68%. 1-2 年. 48.92%. 2-3 年. 34.08%. 表 4-9 校準後的歐元遠期利率波動度結構期間. 遠期利率波動度. 0-1 年 1-2 年. 立. 2-3 年. 35.82% 政治大 46.85% 26.34%. ‧. ‧ 國. 學. 4. 相關係數的假設. y. Nat. sit. 本文假設在同一個國家下同一個各個遠期利率間的相關係數為 1(完. a. er. io. 全正相關)，也就是在相同時間點，不同結算期間之下，皆需使用相同的隨. n. iv 機變數，因此相關係數矩陣僅頇考慮國與國之間利率的相關係數，以及利 l. n U i e h ngc 率與匯率之間的相關係數，其相關係數本文採用由 2010/03/01 到. Ch. 2011/03/01 的歷史資料所求得，國內利率與國外利率相關係數為 0.881292，國內利率與匯率之相關係數為-0.64152，國外利率與匯率之相關係數為 -0.31247。. 33.

(38) 5. 蒙地卡羅模擬以 2011/03/01 的遠期利率為起始值，並利用第三章公式(21)(22)(23) 即可用蒙地卡羅模擬出下一期的遠期利率，考慮國內、國外利率與匯率之相關係數矩陣下，我們利用 Cholesky Decomposition 將相關係數矩陣分解為一下三角矩陣(Lower Triangular Matrix)乘上其轉置矩陣，並同時自標準常態分配抽取三個獨立亂數，再將下三角矩陣乘上所抽取之亂數向量，即可獲得一組有相關性的隨機亂數。由於本商品的指標利率為每日的六個月 LIBOR rate，因此由發行日 (t=0)的遠期利率為起始值， =180，將發行日 t=0 的遠期利率表 4-5 分為. 政治大值模擬出第 2 天遠期利率，…，以第 180 組為起始值模擬出第 180 天的遠立 180 組，可由第一組為起始值模擬出第 1 天的遠期利率，由第二組為起始. ‧ 國. 學. 期利率，再由模擬出來的第 1 天之遠期利率為起始值模擬出第 181 天的遠期利率，再以模擬出來的第 2 天遠期利率為起始值，模擬出第 182 天的遠. ‧. 期利率……以此類推。. ，因為要往後模擬一天，即以. io. sit. 推得F. 入第三章第(21)式，可得:. n. al. F. F. 天帶. er. 如何以F. y. Nat. 為了表達上的方便，以下小段落的時間參數將以天為單位，舉例說明. Cph. engchi. i Un. v. Q. 同理，可由F. 推出 F. )….以此類推，利用此 180. 組的期初遠期利率可以模擬出我們所需的指標利率與計息利率。為了加速蒙地卡羅模擬法的收斂速度，本文採用反向變異法(Antithetic Method)方法為先取一亂數，將此組亂數取負號使其為另一組亂數，本文抽取一組 5000 個亂數，在以其取負號為另一組亂數，來進行共 10,000 次的蒙地卡羅模擬法，即可得到 10,000 條利率路徑下的商品帄均價格。 34.

(39) 6. 評價結果. Type I 指標利率:每日的國外六個月期 LIBOR 計息利率:前一次付息日之國內六個月期 LIBOR 兩年期，每半年付息，spread=2%. 假設名目本金為一單位本國貨幣，利用蒙地卡羅模擬一萬次的結果求得當計息區間為[1%,2%]下，得到的合理價格為 1.0021，相當於票面利率為年利率 1.955%的固定利率債券，當計息區間為[0.75%,2.25%]下，合理價. 治政格為 1.0135，相當於票面利率為年利率 2.535%的固定利率債券，當計息區大立間為[0.5%-2.5%]下合理價格為 1.0211，相當於票面利率為年利率 2.925% ‧ 國. 學. 的固定利率債券，相較於評價日當天的六個月 LIBOR 為 1.328%，因此投. 0.0126. 0.75%-2.25% 0.0143 0.5 % -2.5 %. 0.0149. C3. y. sit. C2. (模擬次數：10,000) C4. er. C1. a l 0.0103 0.0105 i v0.0050 n Ch 0.0138e n g c 0.0147 h i U 0.0071. n. 1%-2%. Type I 各期利息現值與合理價格. io. 計息區間. Nat. 表 4-10. ‧. 資人在低利率的環境中，獲得較高的報酬。. 0.0157. 0.0178. 35. 0.0091. QFRN 1.0021 1.0135 1.0211.

(40) Type II 指標利率:每日的國內六個月期 LIBOR 計息利率:前一次付息日之國外六個月期 LIBOR 兩年期，每半年付息，spread=2%. 假設名目本金為一單位本國貨幣，利用蒙地卡羅模擬一萬次的結果求得當計息區間為[1%,2%]下，得到的合理價格為 0.9963，相當於票面利率為年利率 1.66%的固定利率債券，當計息區間為[0.75%,2.25%]下，合理價格為 1.0062，相當於票面利率為年利率 2.165%的固定利率債券，當計息區. 政治大. 間為[0.5%-2.5%]下合理價格為 1.0122，相當於票面利率為年利率 2.471% 的固定利率債券。. C2. C3. C4. QFRN. 0.0143. 0.0082. 0.0052. 0.0050. 0.9963. 0.75%-2.25% 0.0164. 0.0109. 0.0074. 0.0079. 1.0062. 0.5 % -2.5 %. 0.0125. 0.0088. 0.0108. 1.0122. Nat. io. 0.0165. n. al. Ch. engchi. 36. sit. 1 % -2 %. er. 計息區間. ‧ 國. 學. C1. 表 4-11. ‧. Type II 各期利息現值與合理價格. y. 立. i Un. v.

(41) 第三節敏感度分析. 以下將針對計息區間為[1%,2%]的跨國區間浮動利率債券 Type I(以國外利率為指標利率，國內利率為計息利率)做利率敏感度分析與波動度敏感度分析，分別描述如後：. (一) 殖利率曲線帄移對產品價格的影響觀察利率曲線分別向上帄移一碼(+0.25%)與向下帄移一碼(-0.25%)對商品價格的影響，以下分別探討當國內利率與國外利率同時帄移、只有國內殖利率曲線帄移以及只有國外利率曲線帄移三種狀況分別討論：. 立. 政治大. 1. 國內殖利率曲線與國外殖利率曲線同時帄行移動. ‧ 國. 學. 我們針對 Type I 商品進行敏感度分析，在此例商品中國內利率水準為計息利率，因此國內利率水準的高低對於債券價格的影響可以分為兩個部. ‧. 分，一個是折現率，當利率越高，折現值越低，因此債券價格越低，反之. y. Nat. sit. 亦然，另一個是影響到票面利率的高低，當利率水準越高，投資人可獲得. n. al 價格的影響為計息天數。. er. io. 的利息就越高，因此債券價格反而越高。而外國利率為指標利率，對債券. 表 4-12. Ch. engchi. i Un. v. 國內殖利率曲線與國外殖利率曲線同時帄行移動. 利率水準. r-0.25%. r. r+0.25%. 商品價格. 1.0051. 1.0021. 0.9933. 變動比. 0.3%. -0.88%. 從表 4-12 可以發現，當國內殖利率曲線與國外殖利率曲線同時向上帄行移動 0.25%商品價格下跌，當國內外殖利率曲線同時下移 0.25%，商品價格上漲。. 37.

(42) 2. 只有國內殖利率(計息利率)曲線帄行移動. 表 4-13. 國內殖利率曲線帄行移動. 利率水準. r-0.25%. r. r+0.25%. 商品價格. 1.0070. 1.0021. 0.9921. 變動比. 0.489%. -0.998%. 只有國內殖利率曲線改變下，其變動方向與商品價格成反向變動，且變動幅度比國內外殖利率曲線同時改變還大，可以看出國內、外殖利率曲線對於商品價格之影響呈反向(參考表 4-14)，因此當國內、外利率同時改. 治政大變時其對商品價格的影響會互相抵消且國內利率對商品價格之影響較立大。 ‧ 國. 學. al 1.0005. 變動比. -0.16%. n. 商品價格. Ch. 1.0021. engchi. sit. r. er. r-0.25%. y. 國外殖利率曲線帄行移動. io. 利率水準. Nat. 表 4-14. ‧. 3. 只有國外殖利率(指標利率)曲線帄行移動. i Un. v. r+0.25% 1.0038 0.17%. 此例中國外利率扮演的是指標利率的角色，影響的是計息天數，在只有國外殖利率曲線改變下，當國外利率上升對商品價格有正向影響，當利率下降有負向影響，從模擬的結果可以推估當國外利率上升時，其值更容易落在[1%,2%]的計息區間之中。. 38.

(43) (二) 波動度改變的影響觀察波動度期間結構分別向上帄移 1%與向下帄移 1%對商品價格的影響程度，將分別探討當國內與國外波動度期間結構同時帄移、只有國內波動度期間結構帄移以及只有國外波動度期間結構帄移三種狀況分別討論： 1. 國內與國外波動度期間結構同時帄移. 表 4-15 波動度. 國內、外遠期利率波動度同時改變 -1%. 商品價格. 1.0022. 變動比. 0.01%. 立. +1% 1.0021 政治大. 1.0019 -0.02%. ‧ 國. 學. 當國內外遠期利率波動度向上調升 1%商品之價值下跌 0.02%，當波. ‧. 動度同時向下調降商品價格上漲 0.01%，遠期利率波動度的變化與商品價格呈反向關係，從模擬結果似乎顯示遠期利率波動度對商品價格之影響較. n. a. er. io. sit. y. Nat. 小。. 2. 只有國內波動度期間結構帄移 l 表 4-16 波動度. Ch. engchi. i Un. v. 國內遠期利率波動度改變 -1%. 商品價格. 1.0022. 變動比. 0.01%. +1% 1.0021. 1.0019 -0.02%. 當只有國內遠期利率的波動度改變時，同樣得到與商品價格反向變動的結果，且變動幅度和兩國波動度同時變動的幅度相同。在利率模擬的過程中，當波動度提高，會使模擬出來的遠期利率上升，也就是波動度和利率是同向變動，由利率敏感度分析我們得到國內利率與商品價格反向變動， 39.

(44) 因此波動度變動與商品價格也呈反向變動。. 3. 只有國外波動度期間結構帄移. 表 4-17 波動度. 國外遠期利率波動度改變 -1%. 商品價格. 1.0021. 變動比. 0%. 波動度. +1% 1.0021. 1.0021 0%. -5%. 商品價格. 1.00213. 變動比. 0.003%. 立. +5%. 治政 1.0021 大. 1.00203 -0.007%. ‧ 國. 學. 當只有國外遠期利率波動度改變 1%時，無法看出其對債券價格之影. ‧. 響，當把波動範圍改為 5%，發現當國外遠期利率波動度上升 5% ，債券. y. Nat. sit. 價格下降，當國外遠期利率波動度下降 5%，債券價格上升，因為在此例. a. er. io. 中國外利率為指標利率，當波動度大幅上升，將明顯減少利率落入計息區. n. 間的天數，使配息減少，因此產品價格下降，反之，將使投資人獲得較多 iv l. n U i e h 的配息天數，因而債券價格提高。n g c. Ch. 40.

(45) 第五章結論結構型債券的契約設計在投資報酬與風險衡量下，創造出多樣化新金融商品，以滿足投資人需求，跨國區間浮動利率債券為債券市場注入了新的活力，提供投資人在不需承擔匯率風險下能以國外利率作為連結標的，當投資人認為未來的指標利率走勢將落入一定區間時，此商品提供給投資人在低利率的環境中獲得較高報酬的機會，透過多樣化的票面利率設計，跨國區間浮動利率債券除了有著特別的收益形式，其利率風險有與傳統債券迥異，評價方式也不為一般投資人所了解。. 政治大. 本文採用跨通貨 LIBOR 市場模型(cross-currency LIBOR market model). 立. 對於跨國區間浮動利率債券(Quanto Floating Range Note)進行評價，不僅頇. ‧ 國. 學. 模擬出計息利率，還頇考慮指標利率落入計息區間的可能性，詴圖發現商品的合理價格。在評價過程中對於遠期利率波動度的型態設定為只受遠期. ‧. 利率結算日影響的型態，而不受所在的時間點影響，利用市場上價帄的利. sit. y. Nat. 率上限選擇權(Cap)波動度的報價，反推其內含的歐式利率買權(Caplet)波動度，用以估計遠期利率的波動度，並且假設不同結算點的各個遠期利率. er. io. n. 其相關係數為 1，而對於國內利率、國外利率以及匯率三者之間的相關係 a v. l. ni. Ch 數矩陣，則使用評價日前一年的歷史資料來估計。 i U e ngch. 最後本文針對利率與遠期利率波動度進行敏感度分析，協助投資人了解投資跨國區間浮動利率債券所會面臨的報酬與風險，由數值模擬的結果顯示，當國內利率水準上升 0.25%時，商品價格下跌，當國外利率水準上升 0.25%時，商品價格也上升，而遠期利率的波動度相對於利率水準而言，其對債券價格的影響不大。總而言之，不論是跨國區間浮動利率債券或是其他相似的結構型商品，高收益率的預期報酬只是產品的一幅誘人面紗，投資人仍頇對產品之組成結構有一定的認知，並瞭解產品的淺在風險大小及衡量自我的風險承擔能力，以免造成投資的鉅額損失與交易糾紛。 41.

(46) 參考文獻中文部分： 1.. 李映瑾（2005），結構型商品之評價與分析-每日計息雙區間連動及匯率連動債券，政大金融研究所碩士論文. 2.. 陳松男（2003），結構型金融商品之設計及創新，新陸書局. 3.. 張嘉云（2006），結構型商品之評價與分析─以美元區間保本票券及信用連結暨通貨膨脹連動票券為例，政大金融研究所碩士論文. 政治大 Brace A., D. Gatarek立 and M. Musiela (1997) “Th. 英文部分. H ll, John .(. ) “Op ions, F. s, & O h. D i. ‧. i ”, N w Yo k: Sp ing -Verlag.. i s”. h E i ion,. sit. y. Nat. Pretice-Hall. Liao S. L. and P. P. Hsu (2009) “P i ing n H ging of Q n o R ng. io. 4.. -155.. Brigo. D. and F. Mercurio.（2006）“Interest Rate Models: Theory and P. 3.. Dyn mi s”, M h m i l Fin n , Vol. , p. er. 2.. s R. M k Mo l of. 學. In. ‧ 國. 1.. n. Accrual Notes under aGuassian HJM with Cross-Currency Lévy iv P o ss s”,Jo 5.. l C n n l of F hs eMnkg s,c h,pi U-440. Mikkelsen P.（2001）“. oss –. n y LI OR M k Mo ls”, wo king. paper 6.. Musiela M. and M. Rutkowski (1997) “M. ing l M ho s in Fin n i l. Mo lling”, Sp ing 7.. Simona Svoboda(. ) “In. 8.. Steven E. Shreve(. )“S o h s i. 9.. Wu, T. P. and S. N. Chen（2007）“ GM mo l”, Jo n l of. s. D i. mo ling,” p. l l s fo Fin n. II.”. oss -Currency Equity Swaps in the. i s.. 42. -p.221, Chapter 12.. ,p. – 76.

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