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第七節 本文架構
本文的研究架構為：
第一章 緒論：探討研究動機、研究目的，並簡單介紹 CDO、合成型 CDO、
CDS、CDS 指數等重要基本名詞。
第二章 文獻回顧：回顧單因子關聯結構模型的相關文獻。
第三章 合成型 CDO 之評價方法與單因子關聯結構模型：介紹單因子關聯結 構模型應用 LHP 假設對合成型擔保債權憑證之評價方法。
第四章 合成型擔保債權憑證之動態評價方法：介紹單因子關聯結構模型加入 自回歸過程所推導的動態模型對於合成型擔保債權憑證之評價方法。
第五章 實證分析：說明以三種不同模型對於 2008 年 3 月到 2013 年 3 月期間 之合成型擔保債權憑證評價結果，並進行比較分析與預測。
第六章 結論與建議：總結並提出對於後續研究之建議。
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第二章 文獻回顧
在評價合成型 CDO 時，各項資產之間的違約相關性因素是研究人員必須 去考慮的。Li (2000) 所提出的關聯結構模型(copula model)是最早能捕捉違約相 關性的模型，而後來此模型進一步演變成單因子關聯結構模型(One Factor Copula Model)，這也是本研究後面實證分析中主要的評價模型。後來更發展出 用動態模型來評價 CDO，使得評價合成型 CDO 的方法有了更多的突破。本章 節將一一回顧並詳述單因子關聯結構模型與動態評價模型相關之文獻，從中了 解此模型的來龍去脈以及各文獻對於模型的觀點及應用方法。
第一節 關聯結構模型
關聯結構(Copulas)的理論最早由 Sklar (1959) 提出，主要只用於統計上的 應用(Clayton , 1978; Cook 及 Johnson, 1981; Oakes, 1989)，Joe (1997) 與
Nelsen (1999) 建立並整理不同的 Copula 的分配，Li (2000) 則是最早將 Copula 應用在財務領域上，近十多年來越來越多的學者專注在此領域的應用。
Li (2000) 介紹了一個隨機變數”time-until-default”用來表示每個金融標的資 產從合約開始至發生違約事件的總存活時間，也就是各資產違約時點，並且定 義不同的金融標的資產之間會存在著違約相關性(default correlation)。Li (2000) 使用關聯結構函數(copula function)將各個隨機變數的邊際機率分配函數做連 結，形成資產組合違約時點的聯合分配函數。同時，Li(2000) 透過高斯關聯結 構模型(Gaussian copula)及 Sklar’s 定理獲得資產組合違約時點的聯合分配函數如 下：
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F(t1, ⋯ , tn) = C(F(t1), ⋯ , F(tn))
= Φn(Φ−1(F1(t1)), ⋯ , Φ−1(Fn(tn)) ; Σ )
Fi(ti) 為第 i 個標的資產的邊際違約機率，Φn(∙ ; Σ )為一個 n 維度的多變量常態 分配，Σ為其相關係數矩陣。此模型將資產報酬設定為Φ−1(F1(t1)), Φ−1(F2(t2)) , ⋯ , Φ−1(F𝑛(t𝑛))，如此一來，就能以標的資產報酬的相關性來取代違約時點的 相關性，也能夠以蒙地卡羅模擬方法來模擬各資產的違約時點。然而，此方法 必須要透過大量的模擬來得到各個資產的違約時點，因此在大樣本的標的資產 下會提高模擬運算過程中的複雜性及困難度；除此之外，資產間的相關係數矩 陣必須滿足正定矩陣(positive definite matrix)的限制。
第二節 單因子關聯結構模型(One Factor Copula Model)
單因子關聯結構模型的概念最早是由 O’Kane and Schloegl (2001) 所提出 的。由前面可以知道關聯結構模型雖然有著能夠以標的資產的相關性來取代違 約時點的相關性這項優點，但當資產組合數目過多時，蒙地卡羅模擬以及計算 的過程會變得更為複雜且費時。因此，為了解決關聯結構模型的這項缺點，遂 發展出單因子關聯結構模型。
單因子關聯結構模型的概念為數個不同的信用標的資產給定相同因子的條 件下，各資產報酬彼此會互相獨立。這種方法除了能夠簡單並快速地計算在不 同時點下的違約損失分配，也避免了如蒙地卡羅模擬的計算費時性，這也是單 因子關聯結構模型取代關聯結構模型而逐漸興起的主因。在O’Kane and Schloegl (2001) 發表的論文中，主要是介紹對於持有不同數量的標的資產該如 何去建置信用模型(credit model)，分為單一標的資產與多資產組合兩種信用模
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型來討論，而信用模型須在無套利8(arbitrage-free)環境下來保證評價的一致性以 及擁有能夠洞察些許違約過程(default process)的價值。
對於單一標的資產信用模型，其可以分為結構式模型(Structural model)與縮 減式模型(Reduced-form Model)。結構式模型最早是由 Merton(1974) 所提出，
它的概念是以公司本身的資產價值來衡量信用風險，當公司資產價值低於某一 個門檻值時將視為公司違約，因此結構式模型又可稱為公司價值模型(Firm value model)。但是由於此模型的假設過於簡化，在實際應用上有以下缺點：
(1)公司資產價值只能透過財務報表得知，而市場公佈財務報表的時間通常不具 時效性，且公司資產包含無衡量標準之資產如：專利權和商標權等，使得公司 資產的價值認列和市場交易的價值不一定具有一致性，因此很難評估公司資產 價值。(2)公司可能在到期前任一時間點發生違約，因此到期日才發生違約的假 設容易造成實際應用誤差。(3)未考慮信用評等相關資訊，模型無法應用於不同 信用評等之債券評價。因此 Black and Cox(1976) 進一步的延伸 Merton 模型中 的違約條件，其將公司在到期日前任意時點到達某個資產邊界(boundary)時視為 公司違約，故又可以稱為通過時點模型(Passage time model) ，符合實務上公司 可能在淨值大於零時即發生違約的現象。
結構式模型優點在於風險事件定義上與一般財務上對於公司違約的定義極 為類似，深具經濟及財務上的直覺，但是想要確實地掌握公司整體的資本結構 資訊卻有著許多困難之處。因為部份的資產沒有在市場上交易，故資產價值難 以被真正估計出來，若是無法正確估計出公司的資產價值及負債總額，在計算 信用價差時極有可能出現不合理的價格。相較於結構式模型，縮減式模型不嘗
8 套利，通常指在某種實物資產或金融資產（在同一市場或不同市場）擁有兩個價格的情況
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試去解釋違約事件的發生原因(ex:公司的資產價值)，而是改以描述違約時點的 統計性質來進行資產信用風險的評估。在縮減式模型裡，違約被視為一個外生 事件(exogenous event)，利用 poisson 過程來建置違約過程，其中隨機違約行為 會被違約率函數 λ(t)所決定，並且得到資產的存活時間為指數分配。縮減式模 型評價方法與結構式模型是相同的，不同之處在於縮減式模型所考慮的違約機 率、回復率、市場利率等皆是由外生所決定，與公司的資產價值無關，因此和 必須取得確實的公司資產價值和負債總額才能做風險評估的結構式模型是相當 不同的。不過也正因為如此，缺乏經濟及財務理論的支持是縮減式模型最大的 缺點。
而對於多資產組合的信用風險模型，最早是由O’Kane and Schloegl (2001) 提出單因子關聯結構模型，此模型假定標的資產組合具有共同的因子 M(t)，則 各資產從契約開始到第 t 時間的總資產報酬 Ai(t) 為 :
Ai(t) = 𝑎𝑖 M(t) + √1 − 𝑎i2 Xi(t) , i = 1, … , N
其中 M(t) 為共同因子， Xi(t)為資產本身因子，M(t)與 Xi(t)為相同且相互獨立的 隨機變數，並假設它們服從標準常態分配。由於 Ai(t)為 M(t) 與 Xi(t)的線性組合 函數，因此由常態分配的性質可以知道 Ai(t)也為一個服從標準常態的隨機變數。
所以當給定共同因子M(t)的條件下，各資產報酬 Ai(t) 彼此會互相獨立。此外，
若在標的資產組合數目夠多的情形下，增加大樣本投資組合 (Large homogenous portfolio , LHP)的額外假設條件，視各個資產為同質性資產(homogenous assets)，
就能夠快速地計算出資產組合損失的分配函數以及 CDO 分券的期望損失。由於 單因子結構模型擁有以上所說的優點及其方便性，所以此模型逐漸成為市場上評 價擔保債權憑證的主要方法，之後有許多文獻針對此模型去做更深入地探討以及 延伸出更多不同的單因子關聯結構模型。
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Laurent and Gregory (2003) 同樣使用單因子關聯結構模型來評價籃子違約 交換(basket default swaps)和合成型擔保債權憑證分券，但與 O’Kane and Schlogl (2001) 的最大差異在於標的資產發生違約時的損失分配是使用快速傅立葉轉換 法(Fast Fourier Transforms , FFT)來計算，也就是利用資產組合損失之特徵函數來 取得資產組合之損失分配，與先前提到 O’Kane and Schlogl (2001) 使用的 LHP 假設方法不同。此方法相較於蒙地卡羅法來說，具有大幅度減少計算時間的優點，
但是數學運算過程複雜卻是此模型的最大缺點。
Hull and White (2004) 利用因子關聯結構模型的假設，發展出兩種不同的方 法去建構投資組合違約機率及總違約的損失分配，並且能夠取代 Laurent, J-P and J. Gregory (2003) 所提的快速傅立葉轉換法。這兩種方法主要差異是在於損失分 配的計算，第一種方法為遞迴法(Recursive Method)，是假定投資組合中各標的資 產有相等的權重比例與固定的回覆率，利用遞迴關係(recurrence relationship)去求 出在特定時點 K 個資產違約的損失機率，其中整個資產的總損失可以視為二項 式分配。第二種方法稱為機率杓斗法(probability bucketing method)，或稱機率水 桶法，與第一種方法不同之處在於機率杓斗法沒有限制各標的資產的權重比例為 相等，而且回覆率可以為隨機的(stochastic)，在此假設下，去計算到期日前特定 時點的總損失分配。此外，Hull and White (2004) 對於單因子關聯結構模型還提 出了一個嶄新的觀點，也就是模型除了應用常態分配外，只要在給定分配之期望 值為零且變異數為一的條件下，任何的分配都可以套用在單因子關聯結構模型裡，
而不同的分配就代表不同的關聯結構模型。Hull and White (2004) 也提出利用雙 t 分配關聯結構(Double t-distribution) 來評價 iTraxx 及 CDX 指數之分券市場資 料，用於比較 Li (2000) 的單因子常態關聯結構模型的評價結果，而實證結果顯 示利用雙 t 分配關聯結構較能捕抓到資產的厚尾情形，實際評價的結果也與市場 的價格較為接近。由這個結果可以看出單因子常態關聯結構模型的缺點，就是在
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計 算 各 分 券 的 隱 含 相 關 (Implied correlations) 及 基 底 隱 含 相 關 (Base implied correlations )時，會出現所謂的相關性微笑曲線(correlation smile)與隱含相關偏斜 (Implied correlations skew)現象，此現象主要為常態關聯結構缺少厚尾性質所造成。
計 算 各 分 券 的 隱 含 相 關 (Implied correlations) 及 基 底 隱 含 相 關 (Base implied correlations )時，會出現所謂的相關性微笑曲線(correlation smile)與隱含相關偏斜 (Implied correlations skew)現象，此現象主要為常態關聯結構缺少厚尾性質所造成。