單因子動態模型對合成型擔保債劵憑證之評價與預測 - 政大學術集成
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(2) 謝辭 時光飛逝，感覺好像前陣子才剛進入政大統研所這個大家庭，沒想到現在 居然即將要畢業了。在統研所就讀的兩年中，讓我從一個對許多統計應用、較 深的統計理論以及統計程式撰寫等都還一竅不通的數學系畢業學生，變成逐漸 能夠獨當一面的專業統計人，學到的真的非常多，要感謝的人也很多。在此， 我要向在我研究生涯相當重要的人致謝。 首先，我要感謝我的指導教授劉惠美老師，感謝劉惠美老師這ㄧ年多來的. 政 治 大. 耐心指導，讓我從原本對論文方向懵懂的狀態到最後能夠順利的完成論文；而. 立. 劉老師除了在論文上給予我指導外，也常常分享ㄧ些在生活中以及未來職場上. ‧ 國. 學. 應該具備的態度以及想法，使我在生涯規劃上獲益良多。除此之外，我也要感 謝我的口試委員洪明欽教授與劉家頤教授，兩位教授在我論文口試時給予了我. ‧. 許多寶貴意見，幫助我的論文更趨完善。. y. Nat. sit. 再來我要感謝劉釋璟、張弦鈞以及陳敏勝同學，他們在我寫論文的過程中. n. al. er. io. 給予我許多意見以及幫助，如果沒有他們，我的論文絕對沒有現在這般完善程. i n U. v. 度。我也要感謝我碩班所有同學，因為有你們一起討論以及研究課業上的一切. Ch. engchi. 問題，我才能夠順利修習完所有的課程。. 最後，謹以此文獻給我摯愛的家人以及女友。. -. I-.
(3) 摘要 應用大樣本一致性資產組合(large homogeneous portfolio portfolio ; LHP)假設 之單因子關聯結構模型(One Factor Copula Model)為以往評價合成型擔保債權憑 證最廣為使用的方法。最早是由 O’Kane and Schloegl (2001)所提出的應用 LHP 假 設之單因子常態關聯結構模型，而其針對各分卷的評價結果僅有在權益分券 (equity tranch)得到好的配適。Kalemanova et al. (2007) 提出應用 LHP 假設之單 因子 NIG 關聯結構模型，其評價結果遠優於常態分配，但在中間順位(Mezzanine). 政 治 大 證做評價，且僅挑選特定幾天做分析，因此本文針對 2008 年三月到 2013 年三月 立. 層級以上的分券還是高估。以上的單因子模型皆是對 2008 年以前的擔保債權憑. ‧ 國. 學. 做完整的長期分析，比較不同模型對於擔保債權憑證之評價結果。本文利用了單 因子常態關聯結構模型、單因子 NIG 關聯結構模型以及單因子動態模型來做討. ‧. 論。在常態與 NIG 的單因子關聯結構模型中，最後實證結果分析顯示，期數 n 隨. sit. y. Nat. 著時間遞減的話將能夠大幅改善評價結果；而在動態模型的部分，由於參數估計. n. al. er. io. 的方法不夠完善，因此得到的評價結果不符合預期。. Ch. engchi. i n U. v. 關鍵字 : 合成型擔保債權憑證、單因子關聯結構模型、NIG 分配、動態模型. -. II -.
(4) Abstract The most widely used methods used application of Large Homogeneous Portfolio (LHP) assumption of the one factor copula model for pricing synthetic CDOs. The one factor Gaussian copula model was first used by O'Kane and Schloegl (2001) proposed, however, only in equity tranches get a good evaluation of the results of the fit for each tranches. Kalemanova et al (2007) proposed the application of LHP assumption of one factor NIG copula model. The one factor copula model of NIG distribution evaluation results are far better than normal distribution, but overestimated above mezzanine. 治 政 tranches. The above models are all pricing of Synthetic大 CDOs before 2008, and select 立 only certain days for analysis. Therefore, this paper in March 2008 to March 2013 to ‧ 國. 學. do a complete long-term analysis, comparison of different models for pricing of. ‧. Synthetic CDOs results. In this paper, one factor Gaussian copula model, one factor NIG copula model and one factor dynamic model do discussion. In Gaussian and NIG. y. Nat. io. sit. one factor copula model, the empirical results of the final analysis, diminishing over. n. al. er. time periods n, then will be able to significantly improve the results of Synthetic CDOs. Ch. i n U. v. pricing. In the part of the one factor dynamic model, since the parameter estimation. engchi. method is not perfect, so the results of Synthetic CDOs pricing are not in line with expectations.. Keyword : synthetic CDOs、one factor copula model、NIG distribution、dynamic model. -. III -.
(5) 目錄 謝辭................................................................................................................................ I 摘要............................................................................................................................... II Abstract ......................................................................................................................... II 表目錄..........................................................................................................................VI 圖目錄........................................................................................................................ VII 第一章. 緒論............................................................................................................ 1. 第一節. 研究背景與動機................................................................................ 1. 第二節. 研究目的............................................................................................ 3. 第三節. 政 治 大 擔保債權憑證(Collateralized Debt Obligation ,CDO) ..................... 3 立 合成型擔保債權憑證(Synthetic CDOs ) .......................................... 5. 第五節. ‧ 國. 學. 第四節. ‧. 第六節. 信用違約交換(Credit Default Swaps ,CDS) ..................................... 6. 本文架構.......................................................................................... 11. y. sit. al. er. 文獻回顧.................................................................................................. 12. io. 第二章. Nat. 第七節. 信用違約指數（Credit Default Indexes） ....................................... 7. v. 關聯結構模型(Copula Model) ........................................................ 12. 第二節. 單因子關聯結構模型(One Factor Copula Model) ......................... 13. 第三節. 單因子關聯結構之動態模型.......................................................... 18. 第三章. n. 第一節. Ch. engchi. i n U. 合成型 CDO 之評價方法與單因子關聯結構模型 ............................... 20. 第一節. 單因子高斯關聯結構模型.............................................................. 20. 第二節. NIG 分配性質及定義 ..................................................................... 25. 第三節. 單因子 NIG 關聯結構模型 ............................................................ 28. 第四節. 合成型擔保債權憑證之評價.......................................................... 31. 第四章 第一節. 合成型擔保債權憑證之動態評價方法.................................................. 38 動態損失分配的建構...................................................................... 38 -. IV -.
(6) 第二節 第五章. 合成型擔保債權憑證之動態評價.................................................. 45. 實證分析.................................................................................................. 48. 第一節. 單因子關聯結構模型對 DJ iTraxx 之分券評價............................ 50. 第二節. 動態模型對 DJ iTraxx 之分券評價................................................ 75. 第三節. 比較各模型對於 DJ iTraxx 之評價結果........................................ 82. 第四節. 利用時間序列模型預測 DJ iTraxx 之市場報價.......................... 100. 第六章. 結論與建議............................................................................................ 110. 參考文獻.................................................................................................................... 114. 立. 政 治 大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. -. V-. i n U. v.
(7) 表目錄 表 1. 1 目前全世界主要的信用違約指數名稱 (資料來源 www.markit.com) ............ 9 表 1. 2 信用違約指數及分券市場報價(2008.3.28)(資料來源 Bloomberg .............. 10 表 1. 3. 信用違約指數及分券市場報價(2009.3.27)(資料來源 Bloomberg)............. 10. 表 5. 1 iTraxx Europe Series 9 商品結構表(2008~2013) (資料來源 www.creditfixings.com)........................................................................ 48 表 5. 2 iTraxx Europe Series 9 不同日期下之市場報價(資料來源 Bloomberg) ..... 49. 政 治 大 不同 n 之 NIG(1)平均每日誤差比較 (單位：bp) ....................................... 74 立. 表 5. 3 不同 n 之 Gaussian 平均每日誤差比較 (單位：bp) ................................... 63 表 5. 4. ‧ 國. 學. 表 5. 5 高斯動態模型平均每日誤差(單位：bp) ...................................................... 81 表 5. 6 比較 n 固定下之高斯與 NIG 模型平均每日誤差(單位：bp) ..................... 82. ‧. 表 5. 7 比較 n 遞減下之高斯與 NIG 模型平均每日誤差(單位：bp) ..................... 82. sit. y. Nat. 表 5. 8 比較 n 固定下之高斯模型與動態高斯模型平均每日誤差(單位：bp) ...... 93. al. er. io. 表 5. 9 高斯模型的相關係數代入ㄧ階差分下 ARMA 模型的 AIC 値 ................ 100. v. n. 表 5. 10 高斯模型的相關係數代入ㄧ階差分下 ARMA 模型的預測結果誤差 ... 101. Ch. engchi. i n U. 表 5. 11 NIG 模型的相關係數代入ㄧ階差分下 ARMA 模型的 AIC ................... 105 表 5. 12 NIG 模型的相關係數代入ㄧ階差分下 ARMA 模型的預測結果誤差 ... 105 表 5. 13 NIG 模型的α代入ㄧ階差分下 ARMA 模型的 AIC ............................... 105 表 5. 14 NIG 模型的α代入ㄧ階差分下 ARMA 模型的預測結果誤差 ............... 106 表 5. 15 高斯模型與 NIG 模型的各分卷預測結果誤差比較 ................................ 106. -. VI -.
(8) 圖目錄 圖 1. 1 擔保債權憑證架構流程 ...................................................................................... 4 圖 1. 2 合成型擔保債權憑證架構流程 .......................................................................... 5 圖 1. 3 信用違約交換架構流程 ................................................................................... 6 圖 5.1 高斯模型 n 固定之第一分卷評價結果 ............................................................. 52 圖 5.2 高斯模型 n 固定之第二分卷評價結果 ............................................................. 53 圖 5.3 高斯模型 n 固定之第三分卷評價結果 ............................................................. 54. 政 治 大 圖 5.5 高斯模型 n 固定之第五分卷評價結果 ............................................................. 56 立 圖 5.4 高斯模型 n 固定之第四分卷評價結果 ............................................................. 55. ‧ 國. 學. 圖 5.6 高斯模型 n 遞減之第ㄧ分卷評價結果 ............................................................. 58 圖 5.7 高斯模型 n 遞減之第二分卷評價結果 ............................................................. 59. ‧. 圖 5.8 高斯模型 n 遞減之第三分卷評價結果 ............................................................. 60. sit. y. Nat. 圖 5.9 高斯模型 n 遞減之第四分卷評價結果 ............................................................. 61. al. er. io. 圖 5.10 高斯模型 n 遞減之第五分卷評價結果 ........................................................... 62. v. n. 圖 5.11 NIG 模型 n 固定之第一分卷評價結果 ............................................................ 64. Ch. engchi. i n U. 圖 5.12 NIG 模型 n 固定之第二分卷評價結果 ............................................................ 65 圖 5.13 NIG 模型 n 固定之第三分卷評價結果 ............................................................ 66 圖 5.14 NIG 模型 n 固定之第四分卷評價結果 ............................................................ 67 圖 5.15 NIG 模型 n 固定之第五分卷評價結果 ............................................................ 68 圖 5.16 NIG 模型 n 遞減之第ㄧ分卷評價結果 ............................................................ 69 圖 5.17 NIG 模型 n 遞減之第二分卷評價結果 ............................................................ 70 圖 5.18 NIG 模型 n 遞減之第三分卷評價結果 ............................................................ 71 圖 5.19 NIG 模型 n 遞減之第四分卷評價結果 ............................................................ 72 圖 5.20 NIG 模型 n 遞減之第五分卷評價結果 ............................................................ 73 -. VII -.
(9) 圖 5.21 高斯動態模型之第ㄧ分卷評價結果 ............................................................... 76 圖 5.22 高斯動態模型之第二分卷評價結果 ............................................................... 77 圖 5.23 高斯動態模型之第三分卷評價結果 ............................................................... 78 圖 5.24 高斯動態模型之第四分卷評價結果 ............................................................... 79 圖 5.25 高斯動態模型之第五分卷評價結果 ............................................................... 80 圖 5.26 n 固定下高斯與 NIG(1)模型之第ㄧ分卷評價結果比較 ................................ 83 圖 5.27 n 固定下高斯與 NIG(1)模型之第二分卷評價結果比較 ................................ 84 圖 5.28 n 固定下高斯與 NIG(1)模型之第三分卷評價結果比較 ................................ 85. 政 治 大 圖 5.30 n 固定下高斯與 NIG(1)模型之第五分卷評價結果比較 ................................ 87 立 圖 5.29 n 固定下高斯與 NIG(1)模型之第四分卷評價結果比較 ................................ 86. 圖 5.31 n 固定下高斯與 NIG(1)模型之第ㄧ分卷評價結果比較 ................................ 88. ‧ 國. 學. 圖 5.32 n 遞減下高斯與 NIG(1)模型之第二分卷評價結果比較 ................................ 89. ‧. 圖 5.33 n 遞減下高斯與 NIG(1)模型之第三分卷評價結果比較 ................................ 90. y. Nat. 圖 5.34 n 遞減下高斯與 NIG(1)模型之第四分卷評價結果比較 ................................ 91. er. io. sit. 圖 5.35 n 遞減下高斯與 NIG(1)模型之第五分卷評價結果比較 ................................ 92 圖 5.36 n 固定下高斯模型與動態高斯模型之第ㄧ分卷評價結果比較 ..................... 94. al. n. v i n 圖 5.37 n 固定下高斯模型與動態高斯模型之第二分卷評價結果比較 ..................... 95 Ch engchi U 圖 5.38 n 固定下高斯模型與動態高斯模型之第三分卷評價結果比較 ..................... 96 圖 5.39 n 固定下高斯模型與動態高斯模型之第四分卷評價結果比較 ..................... 97 圖 5.40 n 固定下高斯模型與動態高斯模型之第五分卷評價結果比較 ..................... 98 圖 5.41 n 遞減之高斯模型估計出的相關係數 ........................................................... 100 圖 5.42 n 遞減下高斯模型第一分卷預測結果圖 ....................................................... 101 圖 5.43 n 遞減下高斯模型第二分卷預測結果圖 ....................................................... 102 圖 5.44 n 遞減下高斯模型第三分卷預測結果圖 ....................................................... 102 圖 5.45 n 遞減下高斯模型第四分卷預測結果圖 ....................................................... 103 -. VIII -.
(10) 圖 5.46 n 遞減下高斯模型第五分卷預測結果圖 ....................................................... 103 圖 5.47 n 遞減之 NIG(1)模型估計出的相關係數 ...................................................... 104 圖 5.48 n 遞減之 NIG(1)模型估計出的α .................................................................. 104 圖 5.49 n 遞減下 NIG(1)模型第ㄧ分卷預測結果圖 .................................................. 106 圖 5.50 n 遞減下 NIG(1)模型第二分卷預測結果圖 .................................................. 107 圖 5.51 n 遞減下 NIG(1)模型第三分卷預測結果圖 .................................................. 107 圖 5.52 n 遞減下 NIG(1)模型第四分卷預測結果圖 .................................................. 108 圖 5.53 n 遞減下 NIG(1)模型第五分卷預測結果圖 .................................................. 108. 立. 政 治 大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. -. IX -. i n U. v.
(11) 第一章 緒論 第一節. 研究背景與動機. 費雪‧布萊克1（Fischer Black）曾說： 「有了衍生性商品，你幾乎可以擁 有任何想要的報酬型態。只要你可以把它畫在紙上，或以語言文字描述出來， 就有人可以為你設計出任何你想要的報酬型態的衍生性商品。」信用衍生性商 品的發展最主要是因為要規避風險而興起，企業為了確保風險發生時能將損失. 政 治 大. 降到最低，提供風險保障的信用衍生性商品概念因而在市場開始萌芽。. 立. ‧ 國. 學. 在全球金融市場上，信用衍生性商品真正開始蓬勃發展是源自於 1992 年 Bankers Trust Corporation2發行全球第一檔信用風險型態的衍生性商品而起。由. ‧. 於在 90 年代金融市場發生一連串包括債券、貸款、不動產的信用危機，使得市. y. Nat. sit. 場開始重視關於信用風險保險的課題，因此無論是業界或者學術界，均開始投. n. al. er. io. 入大量人力研究關於信用衍生性商品的定價模型和避險理論，信用衍生性商品. i n U. v. 的市場交易量也因為這些因素而急遽成長，遂成為金融市場上非常重要的商 品。. Ch. engchi. 隨著金融市場的演變，現今的金融機構所面臨的信用風險已從單一標的資 產轉變為多標的資產的組合信用風險，如何控管組合信用風險也變得越來越重 要，因此便發展出組合信用衍生性商品來因應市場的需求。像是一籃子信用違. 1. 費希爾·布萊克（Fischer Black，1938 年 1 月 11 日-1995 年 8 月 30 號）是美國經濟學家，. Black-Sholes 模型的提出者之一 2. Bankers Trust Corporation 成立於 2005 年，總部位於美國維吉尼亞州，是一家銀行控股及. 金融控股公司 -. 1-.
(12) 約交換(Basket Credit Default Swaps)、擔保債權憑證(Collateralized Debt Obligation, CDOs)以及合成型擔保債權憑證( Synthetic Collateralized Debt Obligation, Synthetic CDOs)都是以信用衍生性商品為基礎所發展出一系列能夠 管理組合信用風險的商品，其中擔保債權憑證因為具有固定收益的功能，故成 為市場上一個新興的熱門投資工具。另一方面，金融市場為了增加信用衍生性 商品的流動性及交易透明度，進一步定製了標準化契約之信用違約交換指數 (Credit Default Swaps Index)，此指數提供了金融機構能以較便宜的交易成本達 到一籃子信用違約交換避險效果。目前市場上主要的兩大類 CDS 指數為 Markit. 政 治 大. 集團所提供的 itraxx 指數及 CDX 指數。. 立. 擔保債權憑證是近年來資產證券化3所發展出來的一個最具完整的衍生性金. ‧ 國. 學. 融商品。其商品將投資標的分類為各種不同信用等級，投資人可依自己的預期. ‧. 報酬率及風險偏好來做選擇，且商品的資產群組非常多樣化，可以達到分散風. y. Nat. 險的效果。故自從 1988 年美國第一筆交易開始，成交量就不斷地增加，尤其. er. io. sit. 在 2000-2006 年間更是迅速成長。然而受到 2007 年美國「次級房貸」風暴的影 響，以及因為此次事件而被連帶影響到的整個國際金融情勢，像是歐洲的「歐. al. n. v i n 債危機」 ，這些國際重大經濟事件對於全球的擔保債權憑證價格及發行量帶來了 Ch engchi U 相當大的衝擊，影響了擔保債權憑證之商品結構，使其逐漸產生變化。以往評. 價合成型擔保債權憑證價格時商品結構皆為同一種型式，因此本文便針對自 2008 年起開始出現變化的商品結構，對於不同商品型式之合成型擔保債權憑證 價格進行評價，以了解近年來商品發展趨勢與未來改善之道。. 3. 證劵化(Securitization)即為將個別貸款及其他債務工具重新包裝成為證劵，透過信用增強方式. 並給予適當信用評等，以進一步銷售給投資者個過程。 -. 2-.
(13) 第二節. 研究目的. 本文將以應用 LHP 假設之單因子關聯結構模型(One Factor Copula Model)為 主要的合成型擔保債權憑證評價方法。此模型最早是由 O’Kane and Schloegl (2001)所提出的應用 LHP 假設之單因子常態關聯結構模型，而其針對各分卷的 評價結果僅有在權益分券(equity tranch)得到好的配適。而由文獻顯示，單因子 關聯結構模型若能加入厚尾度(tail-fatness)或偏斜性(skewness)便可以改善對於 分券評價產生之問題，因此 Kalemanova et al. (2007) 提出應用 LHP 假設之單因. 政 治 大 分券還是高估。以上學者所使用的單因子模型皆是對 2008 年以前的擔保債權憑 立. 子 NIG 關聯結構模型，其評價結果遠優於常態分配，但在中間順位層級以上的. ‧ 國. 學. 證做評價，且僅挑選特定幾天做分析，本文則是針對 2008 年三月到 2013 年三 月做完整的長期分析，改善與比較不同模型對於擔保債權憑證之評價結果。. ‧. Nat. io. sit. y. 擔保債權憑證. (Collateralized Debt Obligation ,CDO). n. al. Ch. engchi. er. 第三節. i n U. v. 擔保債權憑證（Collateralized Debt Obligation，CDO），是一種信用衍生產 品。它的概念是將一群性質相近、現金流量類似的風險敏感性資產組合成一個 資產池4（Asset Pool），再藉由證券化（Securitization）的過程，使得市場一般 小額投資人也可以參與投資，並將風險敏感性資產的信用風險分散給眾多的投 資人承擔，同時提高該商品的流動性。何謂證券化過程？就是說有一個創始機 構(如金融機構)持有一大筆債權的資產群組，創始機構將其資產群組轉售給特. 4. 資產池是由特定資產群組預期產生之現金收益(涵蓋不同風險程度、速度及規模之現金流)所構. 成，可視為證券發行的償付基礎與擔保。 -. 3-.
(14) 殊目的機構(Special Purpose Vehicle,SPV)，而特殊目的機構將其切割和重新包裝 後，以私募或公開發行方式賣出固定收益證券或受益憑證，整個架構流程如圖 1.1。CDO 的層級(Tranche)分為優先順位(Senior)、中間順位 (Mezzanine)，和 次順位(Junior)三個層級；另外尚有一個不公開發行的層級，多為發行者自行買 回，相當於用此部分的信用支撐其它系列的信用，具有權益性質，故又稱為權 益層級(Equity Tranche)。債務人每月定期償還本金和利息給服務機構，服務機 構扣除服務費用後移交給特殊目的機構，特殊目的機構扣除信託費用後交給投 資人，首先由優先順位層級投資人先收到利息，等到優先順位投資人收到足額. 政 治 大 利息後，次順位投資人才開始收到利息，本金的償還也以此方式進行。付清三 立 利息後，中間順位層級投資人才開始收到利息，等到中間順位投資人收到足額. 個層級後，剩餘現金才支付給權益層級投資人。而當有損失發生時，由權益層. ‧ 國. 學. 級投資人首先吸收，然後依次由次順位、中間順位、優先順位的順序來承擔。. ‧. 因此權益層級投資人承擔的風險最大，報酬率最高，相對而言優先順位投資人. 資產群組. n. 真 實 出 售. al. 現 金. 特殊目的機構. Ch. engchi. er. io. 創 始 機 構. sit. y. Nat. 風險最小，報酬率也最小。. i n U. 優 先 順 位 中 間 順 位. 發 行 受 益 證 券. 現 金. 次. 順. 位. 權 益 層 級. 投 資 人 圖 1. 1 擔保債權憑證架構流程. -. 4-. v.
(15) 第四節. 合成型擔保債權憑證(Synthetic CDOs). 合成型 CDO 是建立在信用違約交換(Credit Default Swap,CDS)基礎上的一 種 CDO 形式，其架構流程如圖 1.2：. 創始機構. CDS. 支 付 違 約 事 件. 立. 政 治 大. 學. ‧ 國. 定 期 支 付 費 用. 資 產 群 組. 特殊目的機構. 政府公債. y. 優 先 順 位. sit. 現 金. 中 間 順 位. n. al. er. io. 投. Nat. 發 行 受 益 證 券. ‧. (SPV). 資. 人. Ch. i n U 次. engchi. v. 順. 位. 權 益 層 級. 圖 1. 2 合成型擔保債權憑證架構流程. 合成型 CDO 的商品結構與擔保債權憑證大致相同，最大的差異在於創始 機構與特殊目的機構簽訂信用違約交換合約，將債權群組不確定性的違約風險 轉嫁給特殊目的機構，同時創始機構約定定期給予權利金給特殊目的機構作為 承擔風險的代價。在該類 CDO 下，資產群組並不發生轉移，創始機構僅僅通 過 CDS 將資產群組的信用風險轉移給特殊目的機構(SPV)，並由特殊目的機構. -. 5-.
(16) (SPV)最終轉移給投資人。特殊目的機構會在期初先收到由投資人所投入的大筆 金額，且並不需要付任何費用給予創始機構。特殊目的機構就能藉由此筆金額 去購買穩定的收益商品(如：政府公債)，當發生違約事件時便有能力支付現金 給創始機構。而特殊目的機構可將從創始機構定期收到的費用移轉給投資人作 為定期投資收益。. 第五節. 信用違約交換(Credit Default Swaps ,CDS). 政 治 大 定金額給交易對手 B 公司（保護賣方） ，類似選擇權的權利金（Premium）概 立. 信用違約交換為欲尋求避險部位的一方 A 公司（保護買方），定期支付一. ‧ 國. 學. 念，而 B 公司必須在標的信用資產（例如放款）發生違約時支付 A 公司違約補 償金。B 公司在標的信用資產未發生違約事件前，並不需要支付任何款項給 A. ‧. 公司，可穩穩坐收每一期的權利金收入；而在約定期間內，如債務人發生信用. sit. y. Nat. 風險事件5，則由賣方補償買方標的資產的損失，信用違約交換架構如圖 1.3。. n. al. er. io. 因此在標的信用資產信用品質良好的情況下，很容易吸引到承作的交易對手。. A 公司. Ch. e 權利金 ngchi. i n U. v. B 公司. 保護買方. (違約事件發生). 保護賣方. (風險賣方). 損失補償. (風險買方). 標的資產 圖 1. 3. 5. 信用違約交換架構流程. 信用風險事件，最普遍的定義指債務到期無法支付。而在某些情形，只有在債務人無法支付達. 一定金額時，方屬信用風險事件發生。 -. 6-.
(17) 保護買方希望移轉的信用風險為多個標的資產時，此類型的信用違約交換合 約稱為一籃子信用違約交換。一般最常見的一籃子信用違約為第 N 個違約交換， 意思為雙方約定當所參考的資產群組發生違約事件共有 N 個或以上時，則保護 賣方必須立刻付資產違約損失給予保護買方。若違約事件為達到 N 個標準時， 保護買方必須要定期的支付費用給予保護賣方。. 第六節. 信用違約指數（Credit Default Indexes）. 政 治 大 完全標準化的定製商品，增加了信用商品的流動性以及減少買賣價差。它選擇 立. 信用違約指數是另一種用來避險信用風險的組合信用衍生性商品，為一個. ‧ 國. 學. 一般市場上流動性較高公司的 CDS 作為一籃子資產所合成的綜合信用指數， 大多是將這群資產以平均加權(equally-weighted)的方式計算權利金。第一個. ‧. CDS 指數係由 16 家投資銀行所組成的 Markit 集團於 2004 年 6 月推出，是. sit. y. Nat. 從兩個主要指數家族（index families）使用最具流動的單一 CDS 契約發展而. al. er. io. 來。由於 CDS 指數可規避所有債券投資組合之違約風險，比逐一購個別債券. v. n. 之單一契約 CDS 來的便宜，且流動性優於單一契約 CDS，故買賣價差較小。. Ch. engchi. i n U. CDS 指數每半年（3 月及 9 月）根據一定的規則（如因為單一契約流動量較 差）更新一次，將違約的 CDS 成員剔除，以交易更活躍之成員取代之。指數 成分包含各行業別之公司，年期可分為 3 年、5 年、7 年及 10 年，等級可分 為投資等級(Investment Grade)、高收益等級（High Yield）及高風險（High Vol）三類。Markit 集團所提供之二個主要指數家族分別為 CDX 及 iTraxx 指 數家族；CDX 指數家族主要的參考實體（reference entities）為北美地區及新興 市場，iTraxx 指數家族主要的參考實體則在歐洲及亞洲。CDX 和 iTraxx 指數 之價格可以用來衡量指數內所有企業發行債券之整體違約風險，又 CDX 和 iTraxx 指數家族另針對不同企業或地區，依到期日不同提供不同的子指數. -. 7-.
(18) （sub-indices），但交易量最大的指數為 CDX.NA.IG，主要包含註冊於北美地區 之 125 家投資等級實體，各占權重 0.8%；另一個 CDX.NA.HY，則是由美國發 行高收益債券之投資等級實體所組成。各指數名稱在表 1.1 呈現。. 隨著信用違約指數的發展，合成型CDO商品概念也被導入於信用違約指數 中，也就是將指數切割分成不同層級的標準化分券型式以吸引不同風險偏好的 投資者，並且各分券提供了分層標的資產組合的保護。而剛所提到CDX和 iTraxx兩大信用違約指數，被分成五個分券：權益分券、次順位分券、中間層. 政 治 大 3-7%、7-10%、10-15%以及15-30%， iTraxx指數之標準化分券架構為0~3%、 立. 級分券、優先層級分券、最高層級分券。CDX指數之標準化分券架構為0-3%、. 3~6%、6~9%、9~12%及12~22%。投資人在各分券能獲得的投資報酬主要分成. ‧ 國. 學. 兩大類：第一類為在訂立契約期初時投資人會先收到一筆等同於市場報價的預. ‧. 付費用(upfront payment)，並在每一期會拿到信用價差(running spread)；第二類. y. Nat. 的投資人則只有在定期會得到信用價差。本文以Series6 9為例，在2008年以. er. io. sit. 前，權益分券的投資人屬於第一類報酬方式，其餘分券投資人皆屬於第二類報 酬方式，如表1.2。然而，自2007年美國發生「次級房貸」以來，一連串的金融. al. n. v i n 危機事件連帶影響到了較高層級分券之違約率增加，這也使得以信用違約指數 Ch engchi U. 為標的之合成型CDO商品內容上產生了許多的變化。最主要的變化在於次順位 分劵以上給予投資人的報酬方式漸漸趨向權益分劵方式(第一類)，如表1.3。到 了現今，各分劵的投資人獲利方式皆為第一類，而不同分劵會有不同的信用價. 差價格及期初市場報價金額。. 信用違約指數及指數合成分券的出現，能讓市場上更多人能夠依自己能力. 6. Series，CDS 指數會於每半年(分別於 3 月及 9 月)重新檢視採樣公司並推出新的指數序列，因. 此不同的 Series 就代表不同時期的 CDS 指數。 -. 8-.
(19) 管理風險選擇投資，分券的劃分、組成成員都經過標準化具高度的流動性，可 在任何時間取得合理報價，因此評價模型是否能反映現在的債券資產狀況，及 其價格的準確性及有效性就顯得格外的重要。而本文將評價以 Itraxx 指數為標 的之不同商品內容之合成型 CDO 分券。. 表 1. 1 目前全世界主要的信用違約指數名稱 (資料來源 www.markit.com). 指數名稱. 分佈地區 北美. CDX.NA.IG.HVOL. ‧ 國. 北美 新興市場. 投資級. y. io. 歐洲 歐洲. 高風險. sit. 40. n. a l歐洲 Ch. iTraxx Australia. 高收益. 亞洲. e n g投資級 chi. 澳洲. 投資級. -. 9-. 125 30. er. Nat. iTraxx Europe Crossover. 100 14. 新興市場. iTraxx Europe HiVol. iTraxx Asia. 30. ‧. CDX.EM Diversified iTraxx Europe. 高收益. 125. 學. CDX.EM. 標的資產數目. 治 政 投資級 大 北美 高風險 立. CDX.NA.IG. CDX.NA.HY. 信用評等. i n U. v. 50 50 25.
(20) 表 1. 2. 信用違約指數及分券市場報價(2008.3.28)，資料來源 Bloomberg. iTraxx Europe (7 年). CDX.NA.IG (5 年). 信用違約指數. 121.083 bp7. 信用違約指數. 146.6 bp. 分券. 市場報價. 分券. 市場報價. 0%-3%. 43.97 %+500bp. 0%-3%. 55.35 %+500bp. 3%-6%. 529.82 bp. 3%-7%. 615.165 bp. 6%-9%. 333.25 bp. 7%-10%. 332.33 bp. 政 治10%-15% 大 123.185 bp 15%-30% 立. 9%-12%. 224.77 bp. 12%-22%. ‧ 國. 信用違約指數及分券市場報價(2009.3.27)，資料來源 Bloomberg. ‧. Nat. 信用違約指數. 分券. 市場報價. 分券. n. al. i n U. v. 市場報價. 0%-3%. 68.97 %+500bp. 3%-6%. 35.97 %+500bp. 6%-9%. 14.89 %+500bp. 7%-10%. 16.905 %+500bp. 9%-12%. 419.5 bp. 10%-15%. 520.005 bp. 12%-22%. 159.5 bp. 15%-30%. 130.255 bp. Ch. 0%-3%. 253.6 bp. er. 170.81 bp. io. 信用違約指數. y. CDX.NA.IG (5 年). sit. iTraxx Europe (7 年). 7. 92 bp. 學. 表 1. 3. 207.17 bp. i e n g c h3%-7%. bp(basis point)為信用價差的計價單位，其中 1bp=0.01% -. 10 -. 78.53 %+500bp 46.935 %+500bp.
(21) 第七節. 本文架構. 本文的研究架構為： 第一章 緒論：探討研究動機、研究目的，並簡單介紹 CDO、合成型 CDO、 CDS、CDS 指數等重要基本名詞。. 第二章 文獻回顧：回顧單因子關聯結構模型的相關文獻。. 政 治 大 構模型應用 LHP 假設對合成型擔保債權憑證之評價方法。 立. 第三章 合成型 CDO 之評價方法與單因子關聯結構模型：介紹單因子關聯結. ‧ 國. 學. 第四章 合成型擔保債權憑證之動態評價方法：介紹單因子關聯結構模型加入. ‧. 自回歸過程所推導的動態模型對於合成型擔保債權憑證之評價方法。. sit. y. Nat. al. er. io. 第五章 實證分析：說明以三種不同模型對於 2008 年 3 月到 2013 年 3 月期間. v. n. 之合成型擔保債權憑證評價結果，並進行比較分析與預測。. Ch. engchi. i n U. 第六章 結論與建議：總結並提出對於後續研究之建議。. -. 11 -.
(22) 第二章 文獻回顧 在評價合成型 CDO 時，各項資產之間的違約相關性因素是研究人員必須 去考慮的。Li (2000) 所提出的關聯結構模型(copula model)是最早能捕捉違約相 關性的模型，而後來此模型進一步演變成單因子關聯結構模型(One Factor Copula Model)，這也是本研究後面實證分析中主要的評價模型。後來更發展出 用動態模型來評價 CDO，使得評價合成型 CDO 的方法有了更多的突破。本章 節將一一回顧並詳述單因子關聯結構模型與動態評價模型相關之文獻，從中了. 政 治 大. 解此模型的來龍去脈以及各文獻對於模型的觀點及應用方法。. 立 關聯結構模型. ‧. ‧ 國. 學. 第一節. 關聯結構(Copulas)的理論最早由 Sklar (1959) 提出，主要只用於統計上的. y. Nat. sit. 應用(Clayton , 1978; Cook 及 Johnson, 1981; Oakes, 1989)，Joe (1997) 與. n. al. er. io. Nelsen (1999) 建立並整理不同的 Copula 的分配，Li (2000) 則是最早將 Copula. i n U. v. 應用在財務領域上，近十多年來越來越多的學者專注在此領域的應用。. Ch. engchi. Li (2000) 介紹了一個隨機變數”time-until-default”用來表示每個金融標的資 產從合約開始至發生違約事件的總存活時間，也就是各資產違約時點，並且定 義不同的金融標的資產之間會存在著違約相關性(default correlation)。Li (2000) 使用關聯結構函數(copula function)將各個隨機變數的邊際機率分配函數做連 結，形成資產組合違約時點的聯合分配函數。同時，Li(2000) 透過高斯關聯結 構模型(Gaussian copula)及 Sklar’s 定理獲得資產組合違約時點的聯合分配函數如 下：. -. 12 -.
(23) F(t1 , ⋯ , t n ) = C(F(t1 ), ⋯ , F(t n )) = Φn (Φ−1 (F1 (t1 )), ⋯ , Φ−1 (Fn (t n )) ; Σ ). Fi (t i ) 為第 i 個標的資產的邊際違約機率，Φn (∙ ; Σ )為一個 n 維度的多變量常態 分配，Σ為其相關係數矩陣。此模型將資產報酬設定為Φ−1 (F1 (t1 )), Φ−1 (F2 (t 2 )) , ⋯ , Φ−1 (F𝑛 (t 𝑛 ))，如此一來，就能以標的資產報酬的相關性來取代違約時點的 相關性，也能夠以蒙地卡羅模擬方法來模擬各資產的違約時點。然而，此方法 必須要透過大量的模擬來得到各個資產的違約時點，因此在大樣本的標的資產. 政 治 大 陣必須滿足正定矩陣(positive definite matrix)的限制。 立. 下會提高模擬運算過程中的複雜性及困難度；除此之外，資產間的相關係數矩. ‧ 國. 學. 第二節. 單因子關聯結構模型(One Factor Copula Model). ‧ sit. y. Nat. 單因子關聯結構模型的概念最早是由 O’Kane and Schloegl (2001) 所提出. al. er. io. 的。由前面可以知道關聯結構模型雖然有著能夠以標的資產的相關性來取代違. v. n. 約時點的相關性這項優點，但當資產組合數目過多時，蒙地卡羅模擬以及計算. Ch. engchi. i n U. 的過程會變得更為複雜且費時。因此，為了解決關聯結構模型的這項缺點，遂 發展出單因子關聯結構模型。. 單因子關聯結構模型的概念為數個不同的信用標的資產給定相同因子的條 件下，各資產報酬彼此會互相獨立。這種方法除了能夠簡單並快速地計算在不 同時點下的違約損失分配，也避免了如蒙地卡羅模擬的計算費時性，這也是單 因子關聯結構模型取代關聯結構模型而逐漸興起的主因。在 O’Kane and Schloegl (2001) 發表的論文中，主要是介紹對於持有不同數量的標的資產該如 何去建置信用模型(credit model)，分為單一標的資產與多資產組合兩種信用模. -. 13 -.
(24) 型來討論，而信用模型須在無套利8(arbitrage-free)環境下來保證評價的一致性以 及擁有能夠洞察些許違約過程(default process)的價值。. 對於單一標的資產信用模型，其可以分為結構式模型(Structural model)與縮 減式模型(Reduced-form Model)。結構式模型最早是由 Merton(1974) 所提出， 它的概念是以公司本身的資產價值來衡量信用風險，當公司資產價值低於某一 個門檻值時將視為公司違約，因此結構式模型又可稱為公司價值模型(Firm value model)。但是由於此模型的假設過於簡化，在實際應用上有以下缺點：. 政 治 大 時效性，且公司資產包含無衡量標準之資產如：專利權和商標權等，使得公司 立. (1)公司資產價值只能透過財務報表得知，而市場公佈財務報表的時間通常不具. 資產的價值認列和市場交易的價值不一定具有一致性，因此很難評估公司資產. ‧ 國. 學. 價值。(2)公司可能在到期前任一時間點發生違約，因此到期日才發生違約的假. ‧. 設容易造成實際應用誤差。(3)未考慮信用評等相關資訊，模型無法應用於不同. y. Nat. 信用評等之債券評價。因此 Black and Cox(1976) 進一步的延伸 Merton 模型中. er. io. sit. 的違約條件，其將公司在到期日前任意時點到達某個資產邊界(boundary)時視為 公司違約，故又可以稱為通過時點模型(Passage time model) ，符合實務上公司. n. al. Ch. 可能在淨值大於零時即發生違約的現象。. engchi. i n U. v. 結構式模型優點在於風險事件定義上與一般財務上對於公司違約的定義極 為類似，深具經濟及財務上的直覺，但是想要確實地掌握公司整體的資本結構 資訊卻有著許多困難之處。因為部份的資產沒有在市場上交易，故資產價值難 以被真正估計出來，若是無法正確估計出公司的資產價值及負債總額，在計算 信用價差時極有可能出現不合理的價格。相較於結構式模型，縮減式模型不嘗. 8. 套利，通常指在某種實物資產或金融資產（在同一市場或不同市場）擁有兩個價格的情況. 下，以較低的價格買進，較高的價格賣出，從而獲取豐厚的收益。 -. 14 -.
(25) 試去解釋違約事件的發生原因(ex:公司的資產價值)，而是改以描述違約時點的 統計性質來進行資產信用風險的評估。在縮減式模型裡，違約被視為一個外生 事件(exogenous event)，利用 poisson 過程來建置違約過程，其中隨機違約行為 會被違約率函數 λ(t)所決定，並且得到資產的存活時間為指數分配。縮減式模 型評價方法與結構式模型是相同的，不同之處在於縮減式模型所考慮的違約機 率、回復率、市場利率等皆是由外生所決定，與公司的資產價值無關，因此和 必須取得確實的公司資產價值和負債總額才能做風險評估的結構式模型是相當 不同的。不過也正因為如此，缺乏經濟及財務理論的支持是縮減式模型最大的 缺點。. 立. 政 治 大. 而對於多資產組合的信用風險模型，最早是由 O’Kane and Schloegl (2001). ‧ 國. 學. 提出單因子關聯結構模型，此模型假定標的資產組合具有共同的因子 M(t)，則. Nat. y. ‧. 各資產從契約開始到第 t 時間的總資產報酬 Ai (t) 為 :. er. io. sit. Ai (t) = 𝑎𝑖 M(t) + √1 − 𝑎i 2 Xi (t) , i = 1, … , N. al. n. v i n 其中 M(t) 為共同因子， Xi (t)為資產本身因子，M(t)與 X (t)為相同且相互獨立的 Ch engchi U i. 隨機變數，並假設它們服從標準常態分配。由於 Ai (t)為 M(t) 與 Xi (t)的線性組合 函數，因此由常態分配的性質可以知道 Ai (t)也為一個服從標準常態的隨機變數。 所以當給定共同因子M(t)的條件下，各資產報酬 Ai (t) 彼此會互相獨立。此外， 若在標的資產組合數目夠多的情形下，增加大樣本投資組合 (Large homogenous portfolio , LHP)的額外假設條件，視各個資產為同質性資產(homogenous assets)， 就能夠快速地計算出資產組合損失的分配函數以及 CDO 分券的期望損失。由於 單因子結構模型擁有以上所說的優點及其方便性，所以此模型逐漸成為市場上評 價擔保債權憑證的主要方法，之後有許多文獻針對此模型去做更深入地探討以及 延伸出更多不同的單因子關聯結構模型。 -. 15 -.
(26) Laurent and Gregory (2003) 同樣使用單因子關聯結構模型來評價籃子違約 交換(basket default swaps)和合成型擔保債權憑證分券，但與 O’Kane and Schlogl (2001) 的最大差異在於標的資產發生違約時的損失分配是使用快速傅立葉轉換 法(Fast Fourier Transforms , FFT)來計算，也就是利用資產組合損失之特徵函數來 取得資產組合之損失分配，與先前提到 O’Kane and Schlogl (2001) 使用的 LHP 假設方法不同。此方法相較於蒙地卡羅法來說，具有大幅度減少計算時間的優點， 但是數學運算過程複雜卻是此模型的最大缺點。. 政 治 大 法去建構投資組合違約機率及總違約的損失分配，並且能夠取代 Laurent, J-P and 立 Hull and White (2004) 利用因子關聯結構模型的假設，發展出兩種不同的方. J. Gregory (2003) 所提的快速傅立葉轉換法。這兩種方法主要差異是在於損失分. ‧ 國. 學. 配的計算，第一種方法為遞迴法(Recursive Method)，是假定投資組合中各標的資. ‧. 產有相等的權重比例與固定的回覆率，利用遞迴關係(recurrence relationship)去求. y. Nat. 出在特定時點 K 個資產違約的損失機率，其中整個資產的總損失可以視為二項. er. io. sit. 式分配。第二種方法稱為機率杓斗法(probability bucketing method)，或稱機率水 桶法，與第一種方法不同之處在於機率杓斗法沒有限制各標的資產的權重比例為. al. n. v i n 相等，而且回覆率可以為隨機的(stochastic)，在此假設下，去計算到期日前特定 Ch engchi U. 時點的總損失分配。此外，Hull and White (2004) 對於單因子關聯結構模型還提 出了一個嶄新的觀點，也就是模型除了應用常態分配外，只要在給定分配之期望 值為零且變異數為一的條件下，任何的分配都可以套用在單因子關聯結構模型裡， 而不同的分配就代表不同的關聯結構模型。Hull and White (2004) 也提出利用雙 t 分配關聯結構(Double t-distribution) 來評價 iTraxx 及 CDX 指數之分券市場資 料，用於比較 Li (2000) 的單因子常態關聯結構模型的評價結果，而實證結果顯 示利用雙 t 分配關聯結構較能捕抓到資產的厚尾情形，實際評價的結果也與市場 的價格較為接近。由這個結果可以看出單因子常態關聯結構模型的缺點，就是在. -. 16 -.
(27) 計 算 各 分 券 的 隱 含 相 關 (Implied correlations) 及 基 底 隱 含 相 關 (Base implied correlations )時，會出現所謂的相關性微笑曲線(correlation smile)與隱含相關偏斜 (Implied correlations skew)現象，此現象主要為常態關聯結構缺少厚尾性質所造成。 雖然從文獻上得知運用雙 t 關聯結構來做為 CDO 商品之評價結果會很接近市場 報價，但是其在實際運算上並不能完整的分析計算，主要問題在於 Student t 分 配本身並沒有穩定摺積性(convolution)，也不具備像常態分配的封閉性，對於違 約門檻值(資產報酬分配的百分位數)計算需要透過尋找極值的數值分析技巧，而 這也使得數值積分計算時間大大增加。當決定最適資產組合之應用時，計算時間. 政 治 大 提出以 NIG 分配取代 t 分配評價 CDO 分券。NIG 分配本身具有許多良好的性 立. 其實是ㄧ個重要的考慮因素，因此為了解決以上的問題，Kalemanova et al. (2007). 質：(1)NIG 分配擁有多個參數，因此能夠在建構投資組合的相關性結構上給予. ‧ 國. 學. 較多的彈性調整。(2) NIG 分配在做重複計算過程中具有良好的穩定性。(3)單. ‧. 因子 NIG 關聯結構模型能夠簡單快速地計算得到違約門檻值(default thresholds)。. er. io. sit. y. Nat. 因此，應用 NIG 分配能夠改善 t 分配的耗時性及不穩定性。. Kalemanova et al. (2007) 比較常態、t、NIG 三種關聯結構方法，在對於. al. n. v i n C h NIG 分配的評價結果皆遠優於常態分配， iTraxx 分券的實證分析中，t 分配與 engchi U 兩者皆在 0~3%及 3%~6%兩個分卷得到好的配適結果，但皆高估了 6%~9%以上 的分券。另外，文內也將 NIG 模型分成 NIG(1)及 NIG(2)，兩者模型差別在於 使用 NIG 分配之參數數目，由實證發現 NIG 分配第二個參數並沒有帶來改善的 評價效果。. -. 17 -.
(28) 第三節. 單因子關聯結構之動態模型. 在前面文獻中所提到的單因子關聯結構模型有一個共通點，就是它們都是 靜態的。在評價合成型 CDO 中，靜態模型的特點就是對於不同到期日的風險 是從單個時間點的角度來模擬，因此不會產生一致的分券定價。此外，套期保 值9（Hedging）的分析在靜態模式是很困難的，因為從一個週期到下一個週 期，它沒有一致的框架來檢驗價格改變行為。基於這些原因，許多研究人員開 始致力於推導動態模型的 CDO 評價. 政 治 大 回顧最近的研究，值得注意的是在最早的 CDO 評價研究之一，Duffie and 立. ‧ 國. 學. Gärleanu(2001)採用全動態模型。Duffie and Gärleanu(2001) 假設違約強度相關 性具有跳躍過程10(jump process)，利用風險中立評價法對一般 CDO 各分券進行. ‧. 評價。該模型假設違約強度過程皆由兩個仿射過程11（affine process）組成，捕. sit. y. Nat. 捉違約相關性。該研究結果顯示，由蒙地卡羅模擬法模擬違約時間，不僅違約. al. er. io. 時間相關性顯著影響個別分券的市場價格，權益分券的價格增加也與違約時點. v. n. 成正相關。但與實證資料進行比較時，該模型所估計之違約相關性仍然過低。. Ch. engchi. i n U. Chapovsky、Rennie and Tavares（2006）提出了一個類似的模型。在他們的架構 中，由動態下風險率等於普通隨機過程的總和來推導個別違約以及校準個別名 稱的確定性函數。. 9. 套期保值的基本做法就是買進或賣出與現貨市場交易數量相當、交易地位相反的商品期貨合. 約，以期待在未來某一時間通過賣出或買進相同的期貨合約，結清期貨交易帶來的盈利或虧 損，以此來補償或抵消現貨市場價格變動所帶來的實際價格風險或利益，使交易者的經濟收益 穩定在一定的水準。 10. 跳躍過程是一種擁有離散變化的隨機過程。. 11. 仿射過程是種取值於 m 個正實數值及 n 個實數值的馬可夫過程，而仿射過程的特殊性質能廣. 泛的處理財務上的問題。 -. 18 -.
(29) 近年，Sidenius、Piterbarg and Anderson（2006 年），Schonbucher（2006） 和 Brigo、Pallavicini and Torresetti（2007 年）等等使用動態方法對於投資組合 損失的建模方法不斷在演變。Sidenius et al.（2006）和 Schonbucher（2006） 所提出的模型在本質上非常相似。這兩個模型都如同對 Heath-Jarrow-Morton 利率期限結構的架構，在損失過程中模擬了 full forward 分配。. Schonbucher (2006)著眼於損失過程的轉移率，依據馬可夫鏈的轉移機率分 布來推斷。Brigo et al. (2007)假定損失過程是一個獨立 Poisson 過程的總和，並. 政 治 大. 結合相關性到模型中。他後來建立動態模型藉由允許 Poisson 過程的 λ 是動態 的。. 立. ‧ 國. 學. Lamb and Perraudin (2006)藉由共同因子是自回歸時間序列過程，展示了如. ‧. 何使動態被導入簡單 Vasicek (1991)。他們得出一個封閉的形式表達了對信用資. er. io. sit. y. Nat. 產組合損失的簡單轉換，然後應用在美國大型銀行的總貸款組合建模損失。. Lamb、Perraudin and Landschoot (2009) 為 Lamb and Perraudin (2006)的延. al. n. v i n 伸，提出新的動態信用損失率模型來作為評價合成 CDO 的基準，這個是利用 Ch engchi U. Vasicek (1991) 評價合成 CDO 的方法所作的延伸。推導過程中，利用共同因子 的自回歸過程(autoregressive processes) 來建構動態過的損失分配，並利用此基 準來評價合成 CDO，證明它能夠在不同到期日都可以準確配適出一致的分卷定 價。作者也建構ㄧ個廣義 Vasicek 模型，是藉由允許風險因子作任意複雜的自 回歸過程，並利用 CDS 的評價方法為基準，證明它也能夠始終如一準確地使用 在各層分卷之定價。. -. 19 -.
(30) 第三章 合成型 CDO 之評價方法與 單因子關聯結構模型 本章節將介紹單因子關聯結構模型對於合成型 CDO 之評價方法。首先推 導單因子高斯關聯結構模型，接著介紹 NIG 分配的定義與性質以及利用同樣的 方法來推導單因子 NIG 關聯結構模型，最後再分別利用高斯及 NIG 兩種單因子 關聯結構模型來對合成型 CDO 做評價。而為了計算上的便利性，整個推導過 程都會建立在 LHP 假設之下。. 單因子高斯關聯結構模型. 學. 第一節. ‧ 國. 立. 政 治 大. ‧. y. Nat. 假設一個信用資產組合具有 N 個標的資產，其中若 N 個資產數是夠多的情. er. io. sit. 況下，本文將對此信用資產組合假設為大樣本一致性資產組合(large homogeneous portfolio portfolio ; LHP)，假定資產組合中的各資產為相同權重比例和具有同質. al. n. v i n ，便能夠較容易的去預測真實之信用資產組合。在進行模型建構前首先必須 Ch engchi U. 12. 性. 有各資產的違約機率資料；但在定義各資產的違約機率之前，必須先定義信用違 約強度(default intensity)。. 信用違約強度為資產違約機率之期間結構，即未來「某特定時點至該時點 一年以後」之資產平均違約率，一般是透過市場上現有不同到期日之具違約風 險債券(Defaultable Bond)之票面利率或是資產交換的價差(Asset Swap Spread)反 推求得。由於本文的研究對象為合成型 CDO，標的為數個 CDS 所構成的資產. 12. 同質性 指各個資產具有相同的違約機率、復原率，以及對共同因子的相關性。 -. 20 -.
(31) 組合，因此標的之信用違約強度可直接由數個不同到期日之信用違約交換價差 （市場報價）反推求得。假設各標的之信用違約強度於契約期間內為常數，在 此假設下，違約事件服從卜瓦松過程(Poisson Process)，且違約強度可由下列信 用違約交換的評價公式反推求得：. 𝑇. 𝐶𝐷𝑆 𝑠𝑝𝑟𝑒𝑎𝑑 ≈. λ=. (1−𝑅) ∫0 λ𝑒 −(𝑟+λ)𝑡 𝑑𝑡 𝑇 ∫0. 𝑒 −(𝑟+λ)𝑡 𝑑𝑡. = (1 − 𝑅)λ. 𝐶𝐷𝑆 𝑠𝑝𝑟𝑒𝑎𝑑 (1 − 𝑅). 立. 政 治 大. (3.1). λ 為該資產的信用違約強度，r 為無風險利率。其中 R 為回復率(Recovery. ‧ 國. 學. Rate)，也就是當第 i 個資產違約時，可以拿回的補償金額比例。. ‧. 求得各標的的信用違約強度後，假定各個資產的違約時間為指數分配，便. y. Nat. n. er. io. al. sit. 可以得到在各時點 t 之前的第 i 個資產違約機率為. 𝑃𝑖 (t) = 𝑝𝑖 (𝑡𝑖 ≤ t) = 1 − 𝑒 (−λt). Ch. i n U (3.2). engchi. v. 其中1 ≤ i ≤ N 。. 接著開始介紹單因子結構模型，給定此標的資產組合具有共同的因子 M(t)，第 i 個資產從契約開始到第 t 時間的資產報酬 Ai (t) 可以寫成:. 𝐴𝑖 (𝑡) = 𝑎𝑖 𝑀(𝑡) + √1 − 𝑎𝑖2 𝑋𝑖 (𝑡) , 𝑖 = 1, … , 𝑁. (3.3). 其中𝑎𝑖 為常數， M(t) 為共同因子， Xi (t)為資產本身因子，M(t)與 Xi (t)為相互 -. 21 -.
(32) 獨立的隨機變數，並且假定它們服從標準常態. iid M t N (0,1) , X i (t ) N (0,1) , M t X i (t ). 由於 Ai (t)為 M(t) 與 Xi (t)的線性組合函數，因此可以由常態分配的性質知道 Ai (t)也為服從標準常態的隨機變數. 𝐴𝑖 (𝑡) = 𝑎𝑖 𝑀(𝑡) + √1 − 𝑎𝑖2 𝑋𝑖 (𝑡) →. 立. 𝑖𝑖𝑑. 𝑁(0,1). 政 治 大. (3.4). 從(3.4)式可以看出，在給定共同因子 M(t)的條件下，若 Xi (t)為相互獨立的隨機. ‧ 國. 學. 變數，則資產報酬 Ai (t)亦為相互獨立。. ‧. n. al. sit. io. 𝑃𝑖 (t) = 𝑝𝑖 (𝑡𝑖 ≤ t) = 1 − 𝑒 (−λt). er. Nat. y. 在前面已經定義第 i 個標的資產在時點 t 之前的違約機率為. Ch. engchi. i n U. v. 假設具相關性的隨機變數 Ai (t)為標準常態分配，Φi 為 Ai (t)的累積分配函數， 可透過機率映成(Mapping)之概念，將標的資產 i 的違約機率值𝑃𝑖 (𝑡)對應至 Φ𝑖 (𝐶𝑖 (𝑡))：. 𝑃𝑖 (𝑡) = 𝑝𝑖 (𝑡𝑖 ≤ 𝑡) = 𝜑𝑖 ( 𝐴𝑖 (𝑡) ≤ 𝐶𝑖 (𝑡)) = Φi (𝐶𝑖 (𝑡)). 則能夠得到違約門檻值 𝐶𝑖 (𝑡) = Φi−1 (Pi (t)). -. 22 -. (3.5).
(33) 因為是在給定 LHP 的假設下，因此所有標的資產都會擁有相同的違約門檻 值 𝐶(𝑡)，而且資產之間的相關係數會是相同的 (ai = a)。因此在給定共同因子 M(t)下，就能夠計算第 i 個標的資產報酬會小於違約門檻值 𝐶(𝑡)的條件違約機 率為. 𝑃𝑖 (𝑡|𝑀) = Φi (𝐶(𝑡)|𝑀) =𝜑𝑖 ( 𝐴𝑖 (𝑡) ≤ 𝐶(𝑡)|𝑀). 政 治 大. =𝜑𝑖 (𝑎𝑀(𝑡) + √1 − 𝑎2 𝑋𝑖 (𝑡) ≤ 𝐶(𝑡)|𝑀). √1−𝑎2. 𝐶(𝑡)−𝑎𝑀(𝑡). ). (3.6). ‧. √1−𝑎2. |𝑀). 學. =Φ (. 立. 𝐶(𝑡)−𝑎𝑀(𝑡). ‧ 國. =𝜑𝑖 (𝑋𝑖 (𝑡) ≤. y. Nat. n. al. er. K 𝐶(𝑡)−𝑎𝑀(𝑡) 違約機率為二項式分配Bin (N, Φ ( √1−𝑎2 ))，此時對 N. io. 合損失百分比 L(t ) . sit. 為了公式推導的方便，先假設復原率為零。則發生 k 個標的資產違約之資產組. 共同因子 M(t) 積分. 𝑘. ∞. 𝑃 (𝐿(𝑡) = 𝑁) = ∫−∞(𝑁𝑘)Φ (. Ch. engchi. 𝐶(𝑡)−𝑎𝑀(𝑡) 𝑘 √1−𝑎2. i n U. 𝐶(𝑡)−𝑎𝑀(𝑡). ) (1 − Φ (. √1−𝑎2. v. ))𝑁−𝑘 𝑑Φ(m). (3.7). (3.7)式為非條件下的資產組合損失百分比違約機率，接著就能計算資產組合損 失百分比的累積機率，考慮其不會大於 x. -. 23 -.
(34) [𝑁𝑥]. 𝐹𝑁 (𝑡, 𝑥) = ∑ 𝑃 (𝐿(𝑡) = 𝑘=0. [𝑁𝑥]. 𝑘 ) 𝑁. ∞. 𝑘. 𝑁 𝐶(𝑡) − 𝑎𝑚 𝐶(𝑡) − 𝑎𝑚 = ∑ ∫ ( )Φ( ) (1 − Φ ( )) 𝑘 √1 − 𝑎2 √1 − 𝑎2. 𝑁−𝑘. 𝑑Φ(m). 𝑘=0 −∞. (3.8) 其中 x ∈ [0,1]。由於已經假定在 LHP 情形下，因此可以利用由 Vasicek(2002)所 提出的 Large portfolio limit approximation 去推導出損失分配。首先將式子化 簡，令 τ = Φ (. 𝐶(𝑡)−𝑎𝑀(𝑡) √1−𝑎2. )並將其代入到(3. 8)式. 立𝑁. 政 治 大. 1 [𝑁𝑥]. 𝑘. ‧ 國. 0 𝑘=0. √1 − 𝑎2 Φ−1 (τ) − 𝐶(𝑡) 𝑑Φ ( ) 𝑎. 學. 𝐹𝑁 (𝑡, 𝑥) = ∫ ∑ ( ) τ (1 − τ) 𝑘. 𝑁−𝑘. ‧. Nat. sit. y. (3.9). n. al. er. io. (3.9)式為新的資產組合損失百分比的累積機率。假設 N 為無限多，也就是考慮 一個具有無限多資產之資產組合損失分配函數. Ch. engchi. i n U. v. 1 [𝑁𝑥]. 𝑁 𝑘 √1 − 𝑎2 Φ−1 (τ) − 𝐶(𝑡) 𝑁−𝑘 𝐹∞ (𝑡, 𝑥) = lim [∫ ∑ ( ) τ (1 − τ) 𝑑Φ ( )] 𝑁→∞ 𝑘 𝑎 0 𝑘=0. (3.10). 其中因為 [𝑁𝑥]. 𝑁 1, 𝑖𝑓 𝑥 > τ lim ∑ ( ) τ𝑘 (1 − τ)𝑁−𝑘 = { 0, 𝑖𝑓𝑥 < τ 𝑁→∞ 𝑘 𝑘=0. -. 24 -. (3.11).
(35) 則資產組合損失百分比的累積分配函數為. 𝑥. 𝐶(𝑡) − √1 − 𝑎2 Φ−1 (τ) 𝐹∞ (𝑡, 𝑥) = ∫ 𝑑Φ ( ) 𝑎 0. 𝐶(𝑡) − √1 − 𝑎2 Φ−1 (𝑥) = 1−Φ( ) 𝑎. √1 − 𝑎2 Φ−1 (𝑥) − 𝐶(𝑡) = Φ( ) 𝑎. 立. 政 治 大. (3.11). 在得到單因子高斯關聯結構模型的資產組合損失百分比之累積分配函數後，接. ‧ 國. 學. 著下來本文將介紹 NIG 分配，並用相同的概念將 NIG 分配導入單因子關聯結構. io. sit. NIG 分配性質及定義. y. ‧. Nat. 第二節. er. 模型。. al. n. v i n NIG 分配是一個為常態分配與反高斯分配( inverse Gaussian distribution， Ch engchi U. IG)的混合分配。定義一個非負隨機變數 Y 為反高斯分配，其為兩個正參數為 α、 β，可將隨機變數 Y 表示成 Y ~ IG( , ) ，則 Y 的機率密度函數為：. 𝛼 𝑓𝐼𝐺 (𝑦; 𝛼, 𝛽) = {√2𝜋𝛽. 𝑦. −. 3 −(𝛼−𝛽𝑦) 2𝛽𝑦 2𝑒. 0. 2. ,𝑦 > 0 ,𝑦 ≤ 0. (3.12). -. 25 -.
(36) 若一個隨機變數 X 為 NIG 分配，則此隨機變數 X 會符合條件如下:. 𝑋|𝑌 = 𝑦~𝑁(𝜇 + 𝛽𝑦, 𝑦). 𝑌~𝐼𝐺(𝛿𝛾, 𝛾 2 )，其中𝛾 = √𝛼 2 − 𝛽 2. (3.13). 其中參數滿足下列條件 : 0 和 δ > 0。. 政 治 大. 將一個隨機變數 X 表示為 X ~ NIG( , , , ) ，為有𝛼, 𝛽, 𝜇, 𝛿四個參數的 NIG 分. 立. 配，其機率密度及分配函數的表示式分為 f NIG x;. , , , 與. ‧ 國. 學. FNIG x; , , , 。則 X 的機率密度函數為:. ‧. io ∞. al. n. 1. 𝐾1 (𝛼√𝛿 2 + (𝑥 − 𝜇)2 ). 1. y. (3.14). er. 𝜋√𝛿 2 +(𝑥−𝜇)2. sit. 𝛿𝛼 exp(𝛿𝛾+𝛽(𝑥−𝜇)). Nat. 𝑓𝑁𝐼𝐺 (𝑥; 𝛼, 𝛽, 𝜇, 𝛿) =. 其中 𝐾1 = 2 ∫0 exp (− 2 𝜔(𝑡 + 𝑡 −1 )) 𝑑𝑡 。. Ch. engchi. i n U. v. 接下來介紹 NIG 分配之定理：. 定理一 : X~NIG(α, β, μ, δ)之動差母函數 M(t)=E(exp(tx)). M NIG x : , , , . -. . exp 2 2. . . exp 2 ( t )2. 26 -. .
(37) 定理二 : X~NIG(𝛼, 𝛽, 𝜇, 𝛿)之中央動差 (平均數、變異數、偏態、峰度). 2 Var x 3 . E x . S(X ) 3. . 𝛽 2. 1. 𝐾(𝑋) = 3 + 3 (1 + 4 ( ) ) 𝛼 𝛿𝛾. 政 治 大 X ~ NIG( , , , ) 與 Y ~ NIG( , , , ) ，則 立. 最後介紹 NIG 分配之尺度及摺積性質(scaling and convolution property)，假設有 兩相互獨立之隨機變數. 1. 1. 2. ‧ 國. 學. , 1 , 1 ) , cY ~ NIG( , , 2 , 2 ) c c c c. ‧. (1) 給定一個常數 c ⟹ cX ~ NIG( ,. n. al. Ch. engchi. er. io. X Y ~ NIG( , , 1 2 , 1 2 ). sit. y. Nat. (2). 2. i n U. v. 以上就是 NIG 分配定義及性質，而在計算方面，NIG 分配之密度函數、分 配函數、反函數、生成樣本，這都已有現成的函數能夠去使用。在 R 軟體裡， 能夠在 fBasics 套件得到這些函數的資訊。. -. 27 -.
(38) 第三節. 單因子 NIG 關聯結構模型. 將 NIG 分配導入單因子關聯結構模型，推導過程就如同單因子常態關聯結 構模型，假定有 N 個標的資產之信用資產組合，則第 i 個標的資產報酬𝐴𝑖 (𝑡)與 前面的形式相同：. 𝐴𝑖 (𝑡) = 𝑎𝑖 𝑀(𝑡) + √1 − 𝑎𝑖2 𝑋𝑖 (𝑡) , 𝑖 = 1, … , 𝑁. 政 治 大. 其中 M(t) 為共同因子， Xi (t)為資產本身因子，M(t)與 X i (t)為相互獨立的隨機變. 立. 數，這邊假定它們皆服從 NIG 分配。為了要使兩個因子及資產報酬標準化，也. ‧ 國. 學. 就是讓資產報酬𝐴𝑖 (𝑡)的期望值為 0，變異數為 1，則此兩個互相獨立的 NIG 變數 的參數如下:. ‧. Nat. n. al. er. io. sit. y. 𝛽𝛾 𝛾 3 𝑀(𝑡)~𝑁𝐼𝐺(𝛼, 𝛽, − 2 , 2 ) 𝛼 𝛼. iid. 𝑋𝑖 (𝑡)~𝑁𝐼𝐺(. √1 − 𝑎𝑖2 𝑎𝑖. 𝛼,. Ch. √1 − 𝑎𝑖2 𝑎𝑖. √1 − 𝑎𝑖2 𝛽𝛾 2i e ngch , 𝛽, − 𝑎𝑖. 𝛼2. iv n U − 𝑎2 √1 𝑖. 𝑎𝑖. 𝛾3 ) 𝛼2. 從上一節可知道 NIG 分配具有之尺度性與封閉性質，因此利用這個性質可以得 到資產報酬 Ai (t)的分配: 𝛼. 𝛽. 𝑖. 𝑖. 1 𝛽𝛾2 1 𝛾3. 𝐴𝑖 (𝑡)~𝑁𝐼𝐺 (𝑎 , 𝑎 , − 𝑎 iid. 𝑖. 𝛼2. ,𝑎. 𝑖. 𝛼2. ). (3.19). -. 28 -.
(39) 首先定義分配函數𝐹𝑁𝐼𝐺(ℎ) (𝑥)為𝐹𝑁𝐼𝐺 (ℎ𝛼, ℎ𝛽, −ℎ. 𝛽𝛾2 𝛼2. 𝛾3. , ℎ 𝛼2 )，由此便可定義共同因. 子 M 的分配函數為 FNIG1 ( x) ，而資產因子𝑋𝑖 的分配函數則為 F. 1 a 2 i NIG ai . . ( x) 。. 接著利用一樣的推導方法來求違約門檻值 𝐶𝑖 (𝑡)：. 𝑃𝑖 (t) = 𝐹. 1 ( 𝑁𝐼𝐺( ) 𝑎𝑖. 違約門檻值𝐶𝑖 (𝑡) = 𝐹. 1 𝑁𝐼𝐺( ) 𝑎𝑖. −1. 立. 𝐶𝑖 (𝑡)) ⇒ 𝐶𝑖 (𝑡) = 𝐹. 1 𝑁𝐼𝐺( ) 𝑎𝑖. −1. (𝑃𝑖 (t)). 政 治 大. (𝑃𝑖 (t))，而𝑃𝑖 (t)為第 i 個標的資產之違約機率。. ‧ 國. 學. 一樣是給定 LHP 的假設，因此在假設之下所有標的資產會有相同的違約門. ‧. 檻值 C(t)、本金與復原率，此外，資產間的相關係數會是相同的 (𝑎i = 𝑎)。在給. sit. io. n. al. er. 率為：. y. Nat. 定共同的因子 M(t)下，第 i 個標的資產報酬會小於違約門檻值 C(t)的條件違約機. P(t | M ) F. (C (t ) | M ) . 1 a NIG a . . f. f. 2. f. 1 a 2 N I G a . . 1 a 2 NIG a . . NIG . i. Ch. engchi. i n U. A ( t() C t( )|M ). aM (t) . 1 a 2 X i (t ) C (t ) | M. C (t ) aM (t ) X ( t ) | M i 1 a 2 2 1 a a . -. 29 -. . v.
(40) F. 1 a 2 NIG a . . C (t ) aM (t ) 2 1 a . (3.20). 依然先假設復原率為零，則發生 k 個標的資產違約之資產組合損失百分比. . K 違約機率為二項式分配 Bin N , F L(t ) N NIG . 再來對共同因子 M(t) 積分. 立. . k C (t ) am 1 F 1 a 2 2 NIG 1 a a . C (t ) am 1 a 2 2 1 a a . N k. dFNIG (1) (m). ‧. ‧ 國. . 政 治 大. 學. k P L(t ) F N NIG . . C (t ) aM (t ) 1 a 2 2 1 a a . sit. y. Nat. 接下來如同前面(3.8)~(3.11)的步驟，最後就可以得到單因子 NIG 關聯結構模型. n. al. er. io. 的資產組合損失百分比之累積分配函數. Ch. e n g c( xh) i. C (t ) 1 a 2 F 1 NIG F (t , x) 1 FNIG (1) a . 1 a 2 a . -. 30 -. . i n U. v. , x ∈ (0,1). (3.21).
(41) 第四節 合成型擔保債權憑證之評價. 建立完單因子關聯結構模型的資產組合損失百分比之累積分配函數後，本 章節開始探討如何來評價合成型 CDO。在第一章有介紹過 CDS 是保護賣方會 定期(通常每季)收到一筆由保護買方所支付的信用價差費用(credit spread)，而當 標的資產組合的總違約損失超過分劵的面額(notionals)時，保護賣方將補償分券 損失費用給予保護買方。所以當考慮一個僅包含 CDS 之標的資產組合的合成型 CDO，這時合成型 CDO 分劵的持有者就是保護賣方，發行者便是保護買方。. 政 治 大 法，基本上會與評價 CDS 立的方法相同。. 而對於標的資產組合之合成型 CDO 的𝑈1 ~𝑈2 分券 (0 ≤ U1 < U2 ≤ 1)之評價方. ‧ 國. 學. 首先定義在評價過程中所需符號的意義：. ‧. t1 tn T : 為信用價差的付費日，其中 T 是合成型 CDO 的到期日，. y. sit. n. al. er. (t0 t1 ) 則為評價日。. io. 而 t0. Nat. 1.. Ch. engchi. i n U. v. 2.. s. 3.. 𝐿(𝑈1 ,𝑈2 ) (𝑡): 合成型 CDO 之𝑈1 ~𝑈2 分券在 t 時點之損失百分比。. 4.. 𝐸𝑄 [𝐿(𝑈1 ,𝑈2 ) (𝑡)]: 合成型 CDO 之𝑈1 ~𝑈2 期望分券損失。其中在𝐸𝑄 [𝐿(𝑈1 ,𝑈2 ) (𝑡)]. : 每期的信用價差費用。. 中的 Q 表示風險中立測度 Q (the risk-neutral measure Q )，文章中整個評價 過程都是假定此測度，因此𝐸𝑄 [𝐿(𝑈1 ,𝑈2 ) (𝑡)]也可以表示為𝐸[𝐿(𝑈1 ,𝑈2 ) (𝑡)]。. 5.. r (t ) : 為無風險短期利率並且假定此利率與分券損失獨立。 -. 31 -.
(42) 6.. 𝐵(𝑡0 , 𝑡𝑖 ) = 𝐸𝑄 [𝑒. 𝑡 0. − ∫𝑡 𝑖 𝑟(𝑣) 𝑑𝑣. ]:為折現因子，其中的意義是在第. 的 1 元，經過每期無風險短期利率 r (t ) 折現後在評價日. ti 時點所拿到. t0 之現值。. 定義完符號的意義後，假設標的資產組合在第 ti 時點之標的資產組合損失 為𝐿𝑝𝑜𝑟𝑡𝑓𝑜𝑙𝑖𝑜 (t i )，則可以將𝑈1 ~𝑈2 分券之損失百分比表示為. 𝐿(𝑈1 ,𝑈2 ) (t i ) =. (min(𝐿𝑝𝑜𝑟𝑡𝑓𝑜𝑙𝑖𝑜 (t i ), 𝑈2 ) − 𝑈1 )+ , 𝑈1 − 𝑈2. 0 ≤ 𝐿(𝑈1 ,𝑈2 ) (t i ) ≤ 1 (3.22). 政 治 大. 立. 𝐹∞ (𝑡, 𝑥)，所以𝑈1 ~𝑈2 分券在第 t 時點之期望分券損失為. ) U 1 dF (t , x). y. 2. sit. U1. ‧. min( x,U 1. er. io. 1 1 U2 ) t( ,x) U 2 U 1 dFv (t ,x) U xa( U 1 dF U1 i U 1 U 2 1 l. n. . 1 U1 U 2. Nat. EL(U1 ,U 2 ) (t ) . 學. ‧ 國. 在前面已經分別得到高斯與 NIG 的資產組合損失百分比之累積分配函數. Ch. n U engchi. . 1 1 1 1 ) t( ,x) U 2 U 1 dF (t ,x) U x U(1 dF )t x ( ,)U x ( U 1 dF U1 2 U 1 U 2 1. . 1 1 1 ( x U 1U 2 U 1 dF ) (t ,x) U x ( U 1 dF) t (x, ) U 1 2 U 1 U 2. . 1 1 1 ) (t ,x) U x U(1 dF )t x ( ,)U x ( U 2 dF 2 U 1 U 2 1. . 1 U1 U 2. U2. . U1. ( x U 1 )dF (t , x) (1 F (t ,U 2 )). -. 32 -. (3.23).
(43) 接下來分成兩個 CASE 來一一推導高斯與 NIG 的期望分券損失。. CASE I：高斯 計算期望分券損失(3.23)時，必須要先求得資產組合的損失密度函數，因此對高 斯的資產組合損失百分比之累積分配函數(3.11)作微分，可得到:. 1 a2 a. f (t , x) . 1 a 2 Φ 1 ( x) C (t ) a 1 (Φ ( x)). . 立. 其中 𝜑 為標準常態密度函數。. (3.24). 政 治 大. ‧ 國. 學. 得到損失密度函數(3.24)式後，可以把(3.23)式的左半部分積分寫成以下的形式. . U1. ‧. U2. ( x U 1 ) f (t , x)dx. (3.25). io. sit. y. Nat. 1 U 2 U1. er. 由於如果將(3.24)式直接代入(3.25)式作計算的話，積分上可能有些困難，因. al. n. v i n y 1 ( x) ，兩邊 Ch 此在這裡可以藉由變數變換的方式來避免此情形。首先令 U engchi 1 同時微分可以得到 dy . 1 x . dx ，接著便可以利用這兩個等式來計算. (3.24)式：. 1 U 2 U1. U2. . U1. ( x U 1 ) f (t , x)dx. 1 1 a2 U 2 U1 a. 1 a 2 y C (t ) dy ( Φ(y) - U1 ) a 1 Φ (U1 ) . Φ 1 (U 2 ). CASE II：NIG -. 33 -. (3.26).
(44) 與推導高斯時的方式一樣，為了求得資產組合的損失密度函數，一樣先對(3.21) 式作微分. 1 a2 a. f (t , x) . C (t ) 1 a 2 F 1 ( x) 1 a 2 NIG a f NIG (1) a 1 f 2 ( F 2 ( x)) NIG . 1 a a . (3.27). 1 a a . NIG . 得到損失密度函數(3.27)式後，同樣的方法可以將(3.23)式左半部分的積分可以 寫成以下的形式：. . U1. ‧ 國. U2. 學. 1 U 2 U1. 立. 政 治 大. ( x U 1 ) f (t , x)dx. (3.28). ‧. Ch. NIG . engchi a. . ( x) 1 a 2 a . er. f. n. al. 1 F NIG 1 a 2 . sit. dx. ( x) ，則可以推得 dy . io. 1 a NIG a 2. Nat. y F 1 . y. 接下來依然與單因子高斯關聯結構的推導方法相同，先作變數變換，令. i n U. v. 利用變數變換得到的式子，最後就能計算(3.28)式為 F 1. 1 1 a2 U 2 U1 a. NIG . F 1. NIG . 1 a 2 a . (U 2 ). FNIG (U1 ) 1 a 2 a . C (t ) 1 a 2 y dy ( y ) U 1 f NIG (1) 1 a 2 a a . . NIG 之密度函數、分配函數及反函數可以藉由 R 軟體中的 fabsics 套件之 dnig、 pnig 及 qnig 函數能夠快速計算此積分。 -. 34 -.
(45) 以上均為復原率假設為零之 𝑈1 ~𝑈2 期望分券損失推導過程及結果，因此若 在資產的復原率並不為零的情形下，高斯與 NIG 的𝑈1 ~𝑈2 之期望分券損失會形 成一個關係式 :. ELRU 1,U 2 EL U 1 U 2 (t ). (3.29). , 1 R 1 R . ELRU1 ,U 2 即為復原率為 R 之 𝑈1 ~𝑈2 期望分券損失。. 政 治 大. 有了高斯與 NIG 的期望分券損失後，便有足夠的資訊來對合成型 CDO 做. 立. 評價。首先要計算此分券的保護收入（Premium leg）與違約給付金額. ‧ 國. 學. （Protection leg），並且假設在風險中立測度下這兩筆預期現值金額為相等，以 此來計算信用價差之價格。而本文在第一章有提到，投資人在各分券能獲得的. ‧. 投資報酬主要分成兩大類，接下來就要分別探討兩種不同型式分券的保護收. n. al. er. io. sit. y. Nat. 入。. i n U. v. 首先來看第一種型式，也就是第一章提到的第一類報酬方式，保護賣方除. Ch. engchi. 了在每一期收到來自保護買方的信用價差，在契約訂立期初時也會收到一筆等 同於𝑈1 ~𝑈2 分券市場報價(market quote)的預付費用，而每期的信用價差會是一 個固定金額，需要計算則為期初 𝑈1 ~𝑈2 分券市場報價的預付費用。此類型式之 分券的保護收入可以表示成 :. 𝑛. Premium leg = ∑ ∆𝑡𝑖 ∙ 𝑠 ∙ 𝐸𝑄 [1 − 𝐿(𝑈1 ,𝑈2 ) (𝑡𝑖 )]𝑒 𝑖=1 -. 35 -. 𝑡 0. − ∫𝑡 𝑖 𝑟(𝑣) 𝑑𝑣. + 𝑚𝑞.
(46) 𝑛. = ∑ ∆𝑡𝑖 ∙ 𝑠[1 − 𝐸𝐿(𝑈1 ,𝑈2 ) (𝑡𝑖 )]𝐵(𝑡0 , 𝑡𝑖 ) + 𝑚𝑞. (3.30). 𝑖=1. 其中(3.30)式的 ti. ti ti 1 ，mq 則為𝑈1 ~𝑈2 分券市場報價的預付費用。. 違約給付金額則為當未來發生違約事件時，保護賣方必須給予保護買方的 補償金額現值：. i r ( v ) dv t0 dLU1 ,U 2 ( s ) Protection leg EQ e . 政 治 大. t. 學. ‧ 國. 立. i r ( v ) dv t0 E Q e ( L(U1 ,U 2 ) (t i ) L(U1 ,U 2 ) (t i 1 )) i 1 t. n. . . sit. y. ‧. Nat. n. al. n. i 1. Ch. er. io. EL(U1 ,U 2 ) (ti ) EL(U1 ,U 2 ) (ti 1 ) B(t0 , ti ). i n U. engchi. (3.31). v. 原本違約給付金額應當在發生違約事件時立即付費，但為了計算上的方便，定義 在 ti 1 到 ti 時間的總違約金額僅在 ti 時點付費。因此藉由分券的保護收入相等於違 約給付金額的等式，再經由移項可得到𝑈1 ~𝑈2 分券預付費用 mq 為： n. . . n. . . mq EL(U1 ,U 2 ) (t i ) EL(U1 ,U 2 ) (t i 1 ) B(t 0 , t i ) t i s 1 EL(U1 ,U 2 ) (t i ) B(t 0 , t i ) i 1. i 1. (3.32). 接著探討分卷保護收入的另一種型式，也就是第一章提到的第二類報酬方. -. 36 -.
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