結論與建議

第二章 理論模式：說明飽和孔隙介質之壓密沉陷理論。

第三章 數值模擬：說明飽和孔隙介質壓密沉陷之模擬所需的相關參數。

第四章 結果與討論：針對理論模式模擬之結果與圖形進行分析及討論。

第五章 結論與建議：將數值模擬結果統整出結論，並提出相關建議。

7

8

其中a為最終體積壓縮係數 (final compressibility)，定義如下：

1 2

9

10

11

2-4 控制方程式

(1)單層土壤固定載重之壓密控制方程式

考慮如圖 2-1 所示之單層土壤固定載重壓密問題。圖中H為土壤層總厚 度；p₀為加載於地表面之固定載重。

圖 2-1 單層飽和土壤沉陷模式所模擬的土壤情況

分別由(2-13)式及(2-17)式可得控制方程式：

2

c 2

z t

 

 

  (2-18)

2 v 2

c z t

 

 

  (2-19)

(2)單層土壤動態載重之壓密控制方程式

單層土壤動態載重壓密問題之排水形式可以參考圖 2-1，唯一不同的是 地表面之載重形式為一正弦週期性函數 (參考圖 2-2)，其數學式表示如下：

2

( ) 0sin

q t  p t (2-20)

其中為頻率，則載重之週期T為

。將(2-20)式分別代入(2-9)式及(2-15)式，

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可得週期性動態載重之壓密控制方程式：

2

2 0 sin(2 )

c p t

t z

    

   

  (2-21)

2

2 0 sin(2 )

cv p t

t z

   

   

  (2-22)

圖 2-2 正弦週期性載重

(3)三層土壤固定載重之壓密控制方程式

考慮如圖 2-3 所示之固定載重三層土壤單向度壓密問題。圖中 h_i、K_bi、 G_i、k_i 及_i分別為各土壤層i (i1, 2, 3) 的厚度、孔隙介質統體模數、剪力 模數及孔隙率；z_i為土壤層i距地表之距離；H (H=h1+h₂+h₃) 為土壤層總厚 度。

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圖 2-3 三層飽和土壤沉陷模式所模擬的土壤情況

由圖 2-3 及(2-13)式可得三層土壤之壓密控制方程式：

2

2^{i i} , 1, 2, 3

ci i

z t

 

 

 

  (2-23)

其中



_i為i土壤層隨深度z變化的超額孔隙水壓；c_i為各土壤層i之壓密係數。

為了求解以上三種案例超額孔隙水壓之解，須配合初始條件及邊界條件之假 設，並代入方程式求解。

2-5 初始條件

在此定義z 0為土體表面，zH為土體底部，當施加垂直載重q t( )在 飽和土體表面時，在時間t0時土壤尚未排水，此時體積水分含量之變化量 為零，因此由(2-3-2)式可以得到:

z 0 u

z M

^   

 (2-24)

將(2-24)式代入(2-7)式，可以得到超額孔隙水壓之初始條件為：

( , 0)z q(0)

  (2-25)

所以在單層土壤受到固定載重 (q t( ) p₀) 加載時，初始條件為：

14

由 2-4 節之控制方程式(2-18)、(2-19)、(2-21)及(2-22)式，配合 2-5 節之初始 條件及以上之邊界條件，使用分離變數法即可求得單層土壤固定載重以及週 期性載重此兩種情況超額孔隙水壓之通解( , )z t ，分別表示如下：

固定載重：

(1)

15

16 得。以下為各項係數之推導 (Lee et al., 1992)，將(2-37-1)式代入(2-35-1)式可

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18

19

(2-51)式為一齊次方程組 (homogeneous system) ，存在非零解 (non-trivial solution) 的條件為係數矩陣之行列式值為零，因此可得以下



_m1之特徵方程

20 成一擬似正交集合 (quasi-orthogonal set) ( Schiffman and Stein, 1970)，因此須 透過以下正交關係式 (附錄 A)：

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第三章 數值模擬

3-1 土壤分類

美國農業部 (U.S. Department of Agriculture, USDA) 根據土壤間粒徑大 小將土壤區分成三大類：砂土 (粒徑 2.0mm 到 0.05mm)、坋土 (粒徑 0.05mm 到 0.002mm)、黏土 (粒徑小於 0.002mm)。USDA 再依據砂土、坋土、黏土 三者的體積含量百分比，將土壤依土壤質地 (soil texture) 劃分為十二個種類，

分別為：砂土 (sand)、壤質砂土 (loamy sand)、砂質壤土 (sandy loam)、壤土 (loam)、坋質壤土 (silt loam)、坋土 (silt)、砂質黏壤土 (silty clay loam)、黏 質壤土 (clay loam)、坋質黏壤土 (silty clay loam)、砂質黏土 (sandy lcay)、

坋質黏土 (silty clay)及黏土 (clay)，並繪成土壤質地三角圖，如圖 3-1 所示。

圖 3-1 土壤質地三角圖

22

3-2 彈性模數

在模擬飽和土壤壓密沉陷行為時，須先求得土壤之彈性模數如：統體模 數K_b及剪力模數G。在假設土壤為均質且等向的線彈性孔隙介質的前提之下，

可得以下土壤之統體模數和剪力模數與土壤楊氏模數E與柏松比之關係式 (Girsang, 2001)：

b 3(1 2 ) K E

 

 (3-1-1)

2(1 ) G E

 

 (3-1-2)

故若能得知土壤的楊氏模數E及柏松比，即可由上式推算出土壤的_Kb和G 值。因此根據砂土及黏土之典型楊氏模數E及柏松比如表 3-1 (Das, 1997)，

分別將 Das 所列的數值平均即可得到砂土及黏土的楊氏模數和柏松比如表 3-2，再代入(3-1)式，即可求得砂土及黏土之統體模數與剪力模數；而坋土之 統體模數及剪力模數則參照 Girsang (2001) 所建議之數值。砂土、坋土及黏 土之統體模數及剪力模數如表 3-3。根據美國農業部之土壤質地三角圖如圖 3-1，其十二種土壤是由砂土、坋土與黏土三種土壤依照不同體積百分比所組 合而成如表 3-4，故 Rawls et al. (1982) 所列之十一種土壤 (坋土除外) 的統 體模數及剪力模數可分別依此三種土壤所佔之不同體積百分比計算求得 (Lo et al., 2007) 如表 3-5。

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表 3-1 砂土及黏土之典型楊氏模數及柏松比 (Das, 1997)

土壤種類

楊氏模數E

柏松比ν (psi) (kN m/ ²)

鬆砂(Loose sand) 1500–4000 10,350–27,600 0.20–0.40 中緊砂(Medium sand) ― ― 0.25–0.40 緊砂(Dense sand) 5000–10,000 34,500–69,000 0.30–0.45 坋質砂(Silty sand) ― ― 0.20–0.40 軟黏土(Soft clay) 250–500 1380–3450 0.15–0.25 中硬黏土(Medium clay) ― ― 0.20–0.50

硬黏土(Hard clay) 850–2000 5865–13,800 ―

表 3-2 砂土及黏土之平均楊氏模數和柏松比

土壤種類 楊氏模數E(MPa) 柏松比

砂土(Sand) 35.3625 0.333

黏土(Clay) 6.1237 0.275

表 3-3 砂土、坋土及黏土之統體模數及剪力模數 (Girsang, 2001) 土壤種類 統體模數 K_b(MPa) 剪力模數G(MPa)

砂土(Sand) 35.3 13.3

坋土(Silt) 12.4 3.7

黏土(Clay) 4.5 2.4

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表 3-4 十二種土壤質地之配比比率

土壤質地 體積百分比(%)

砂土(Sand) 坋土(Silt) 黏土(Clay)

砂土 (Sand) 100 0 0

壤質砂土(Loamy sand) 80 10 10 砂質壤土(Sandy loam) 60 30 10 砂質黏壤土(Sandy clay loam) 60 10 30 砂質黏土(Sandy clay) 50 10 40

坋土(Silt) 0 100 0

坋質壤土(Silt loam) 20 70 10 坋質黏壤土(Silty clay loam) 10 60 30 坋質黏土(Silty clay) 10 50 40

黏土(Clay) 0 0 100

黏質壤土(Clay loam) 30 0 70

壤土(Loam) 40 0 60

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表 3-5 十一種土壤之統體模數及剪力模數 (Lo et al., 2007)

土壤質地 統體模數 K_b(MPa) 剪力模數G(MPa)

砂土 (Sand) 35.3 13.3

壤質砂土(Loamy sand) 29.9 11.3 砂質壤土(Sandy loam) 25.4 9.3 砂質黏壤土(Sandy clay loam) 23.8 9.1 砂質黏土(Sandy clay) 20.7 8.0 坋質壤土(Silt loam) 16.2 5.5 坋質黏壤土(Silty clay loam) 12.3 4.3 坋質黏土(Silty clay) 11.5 4.1

黏土(Clay) 4.5 2.4

黏質壤土(Clay loam) 13.7 5.7

壤土(Loam) 16.8 6.8

3-3 模式相關參數

除了前一節所述的土壤彈性模數外，模擬飽和孔隙介質之沉陷，尚須假 設各土壤層之厚度及在土體表面所施加之垂直方向載重；並須了解孔隙介質 相關參數及水之相關參數，列如表 3-6 及表 3-7。

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表 3-6 十一種土壤質地之孔隙率及飽和水力傳導度 (Rawls et al., 1982) 土壤質地 孔隙率 飽和水力傳導度k(m/s) 砂土 (Sand) 0.437 5.8333310^-5 壤質砂土(Loamy sand) 0.437 1.6972210^-5 砂質壤土(Sandy loam) 0.453 7.1944410^-6 砂質黏壤土(Sandy clay loam) 0.398 1.1944410^-6 砂質黏土(Sandy clay) 0.430 3.3333310^-7 坋質壤土(Silt loam) 0.501 1.8888910^-6 坋質黏壤土(Silty clay loam) 0.471 4.1666710^-7 坋質黏土(Silty clay) 0.479 2.5000010^-7 黏土(Clay) 0.475 1.6666710^-7 黏質壤土(Clay loam) 0.464 6.3888910^-7 壤土(Loam) 0.463 3.6666710^-6

表 3-7 模式相關參數 (Lo et al., 2007)

參數 符號 數值 單位

土壤層 1 厚度 h₁ 1 m

土壤層 2 厚度 h₂ 1 m

土壤層 3 厚度 h₃ 1 m

固體顆粒之統體模數 K_s 35 GPa

流體統體模數 K_f 2.25 GPa

水之密度 ρ_w 997 kg/m³

重力加速度 g 9.81 m/s²

垂直方向載重 p0 110⁵ Pa

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第四章 結果與討論

將第二章所述之方程式解析解，配合第三章提及之土壤及水相關參數值 應用 Matlab 軟體運算即可求得單層及三層飽和土壤壓密沉陷之數值模擬結 果。本研究主要探討兩個主題：(1)在考慮單向度壓密沉陷時，Terzaghi 及 Biot 之土壤壓密理論於固定載重或正弦週期性載重時之差異，和土壤在受到正弦 週期性載重壓密時，土壤質地、週期性載重之週期及時間對超額孔隙水壓之 影響；(2)地層由不同質地土壤所組成時，其在地層中不同的排列順序對無因 次超額孔隙水壓 (

p0

 ) 、土壤總沉陷量 (S)、各層土壤沉陷量 (s_i, i1, 2, 3)

及各層土壤沉陷量貢獻百分比 (sⁱ 100%, 1, 2, 3

S i ) 之影響。

4-1 固定載重

圖 4-1 為十一種質地之土壤之無因次深度與無因次超額孔隙水壓關係圖，

土壤總厚度H 取一公尺，圖(a)至圖(k)分別為(a)黏土 (clay)、(b)坋質黏土 (silty clay)、(c)坋質黏壤土 (silty clay loam)、(d)黏質壤土 (clay loam)、(e)坋 質壤土 (silty loam)、(f)壤土 (loam)、(g)砂質黏土 (snady clay)、(h)砂質黏壤 土 (sandy clay loam)、(i)砂質壤土 (sandy loam)、(j)壤質砂土 (loamy sand)及 (k)砂土 (sand)。每張圖之紅色及藍色曲線分別代表 Terzaghi 及 Biot 之單向度 壓密理論。每張圖模擬之時間皆為六十秒。

由(2-18)式及(2-19)式可以看出兩者理論之壓密係數形式不相同，然而在 假設土粒及水為不可壓縮時，可將 Biot 之壓密係數c簡化成 Terzaghi 之壓密 係數c_v。由(2-25)式及(2-29)式可得知兩者理論所假設之初始條件也不相同，

兩者理論初始之超額孔隙水壓相差一個無因次參數，但由圖 4-1 可發現兩條 不同理論所繪出之曲線幾乎完全相同。

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為了探討此項結果，將十一種質地土壤之壓密係數 (c及c_v) 與影響初始 條件之無因次參數，計算並列於表 4-1。由表 4-1 可看出兩者理論之壓密係 數差相值很小，因此兩者理論之控制方程式幾乎相同，且施加於地表面之載 重為p₀，Terzaghi 假設載重初始完全由水來承受，因此初始條件為



( ,0)z  p₀， 相當於無因次參數為 1，由表 4-1 可得十一種質地土壤之值皆為 0.99 左右，

與 Terzaghi 所假設之值幾乎相同。

Biot 之三維土壤壓密理論為一組互制之偏微分方程式，然而在假設忽略 側向變形時，可將互制現象除去，即簡化為單向度，此時超額孔隙水壓與土 壤變形間已無互制關係，因此 Biot 與 Terzaghi 兩者理論間之差異僅為是否考 慮土粒及水之壓縮性。土壤顆粒之統體模數值 K_s為 35×10⁹Pa；水之統體模數 K_f值為 2.25×10⁹Pa，由以上數值可得知，水及土粒之統體模數值極大，壓縮 性極低，因此可忽略，且施加於地表面之載重 p₀大小僅為10⁵Pa，使得水及 土粒之變形量極小，因此無法顯現出兩者間之差異。

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Dimensionless Pressure(/p₀)

Distance to the bottom(z/H)

(a)clay t=60s

Dimensionless Pressure(/p₀)

Distance to the bottom(z/H)

(b)silty clay t=60s

Terzaghi

Dimensionless Pressure(/p₀)

Distance to the bottom(z/H)

(c)silty clay loam t=60s

Terzaghi

Dimensionless Pressure(/p₀)

Distance to the bottom(z/H)

(d)clay loam t=60s

Terzaghi

Dimensionless Pressure(/p₀)

Distance to the bottom(z/H)

(e)silt loam t=60s

Terzaghi

Dimensionless Pressure(/p₀)

Distance to the bottom(z/H)

(f)loam t=60s

Terzaghi Biot

30

Dimensionless Pressure(/p₀)

Distance to the bottom(z/H)

(g)sandy clay t=60s

Terzaghi

Dimensionless Pressure(/p₀)

Distance to the bottom(z/H)

(h)sandy clay loam t=60s

Terzaghi

Dimensionless Pressure(/p₀)

Distance to the bottom(z/H)

(i)sandy loam t=60s

Terzaghi

Dimensionless Pressure(/p₀)

Distance to the bottom(-z/H)

(j)loamy sand t=60s

Terzaghi

Dimensionless Pressure(/p₀)

Distance to the bottom(z/H)

(k)sand t=60s

Terzaghi Biot

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表 4-1 壓密係數及無因次參數

土壤質地 壓密係數 c (m²/s) 壓密係數 c_v (m²/s) γ

砂土 0.3134 0.3163 0.9899

壤質砂土 0.0774 0.0780 0.9915

砂質壤土 0.0276 0.0278 0.9926

砂質黏壤土 0.0044 0.0044 0.9937

砂質黏土 0.0011 0.0011 0.9941

坋質壤土 0.0045 0.0045 0.9949

坋質黏壤土 0.0008 0.0008 0.9963

坋質黏土 0.0004 0.0004 0.9965

黏土 0.0001 0.0001 0.9984

黏質壤土 0.0014 0.0014 0.9957

壤土 0.0097 0.0097 0.9948

32

4-2 正弦週期性載重

圖 4-2 為模擬十一質地之土壤在受到正弦週期性載重時，於土壤層中央 之深度即z0.5m處，孔隙水壓隨著時間的變化，模擬時間至一千秒，每張圖 模擬三種週期(T)分別為 180sec、36sec 及 18sec。圖(a)至圖(k)分別為(a)黏土 (clay)、(b)坋質黏土 (silty clay)、(c)坋質黏壤土 (silty clay loam)、(d)黏質壤 土 (clay loam)、(e)坋質壤土 (silty loam)、(f)壤土 (loam)、(g)砂質黏土 (snady clay)、(h)砂質黏壤土 (sandy clay loam)、(i)砂質壤土 (sandy loam)、(j)壤質砂 土 (loamy sand) 及 (k) 砂 土 (sand) 。 每 張 圖 之 紅 色 及 藍 色 曲 線 分 別 代 表 Terzaghi 及 Biot 之單向度壓密理論。

如前一節所述，兩者理論之差異在於控制方程式之壓密係數 (c及c_v) 及 影響初始條件之無因次參數 ( )，由於加載於土壤表面之載重型式為一正弦 函數，因此兩者之初始孔隙水壓皆為零，因此由動態載重之控制方程式(2-21) 式及(2-22)式，可知兩者之差異還是在於壓密係數及等號右邊非齊次項之無因 次參數 ( )，所以從表 4-1 可知兩者理論之壓密係數及無因次參數相差極小，

因此控制方程式幾乎完全相同，所以圖 4-2 所繪出之兩條曲線完全重疊，不 因時間、載重週期及土壤質地之變化而有所不同。

由此十一張圖得知，當土壤在受到週期性載重作用時，超額孔隙水壓也 會呈現一週期性變化，載重之週期相當於孔隙水壓變化之週期。當土壤受到 固定載重作用時，超額孔隙水壓則會隨著時間逐漸消散，且水壓之數值皆為 正值，然而在受到週期性載重作用時，超額孔隙水壓不會完全消散，但會隨 著時間趨近於動態平衡，且產生負值之水壓，不同於固定載重。在第二章理

由此十一張圖得知，當土壤在受到週期性載重作用時，超額孔隙水壓也 會呈現一週期性變化，載重之週期相當於孔隙水壓變化之週期。當土壤受到 固定載重作用時，超額孔隙水壓則會隨著時間逐漸消散，且水壓之數值皆為 正值，然而在受到週期性載重作用時，超額孔隙水壓不會完全消散，但會隨 著時間趨近於動態平衡，且產生負值之水壓，不同於固定載重。在第二章理

在文檔中 應用孔彈性理論分析單層週期性載重及三層固定載重下之飽和土壤壓密行為 (頁 21-80)