結論與建議

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而，產品在兩階段暴露的應力水準不同，本論文以Nelson(1980) 提出的累積暴露 模型，使產品於應力改變前後的累積分配得以銜接，除採最大概似估計法對參數 進行估計，並提出建構信賴區間的方法，包括：最大概似估計量的漸進信賴區間、

基於概似比的漸進信賴區間以及幾種利用拔靴樣本(bootstrap sample) 建構的信 賴區間，並進一步對區間估計方法提出建議。

1.2 論文結構

本論文其餘各章之主要內容如下：

第二章： 文獻回顧

介紹設限計劃以及加速壽命試驗的背景，並探討與本論文相關的文獻，進而 提出本論文的想法。

第三章： 模型簡介與估計

本章介紹本論文的模型並利用最大概似法估計參數，以及各種區間估計的方 法。

第四章： 模擬結果

藉由蒙地卡羅法模擬，衡量點估計和各區間估計法的表現，並提出建議方 法。

第五章：結論與建議

對本論文做出結論，並為後續研究提出建議與改善方法。

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第二章 文獻探討

在壽命試驗的相關研究中，受矚目的往往是某物件或系統的可靠度；根據 Sinha (1986) ，可靠度的定義為: 物件或系統在指定時間之前可成功運作的機率。

然而，若能蒐集到各實驗對象的失敗時間，固然對可靠度可得到最佳的估計結果，

常見的缺點則是成本過高且實驗時間過長。為了改善此問題，型一設限計劃或型 二設限計劃乃應運而生，期能縮短實驗時間、降低實驗成本，而仍能維持估計量 的 好 性 質 。 結 合 兩 種 設 限 特 性 的 混 合 設 限 (hybrid censoring) 則 源 起 於 Esptein(1954) ，他提出了型一混合設限計劃(簡稱 HCS I) 的想法。令 T 為預定 的終止時間，r 為預定觀察到的失敗個數，則 HCS I 的主要優點是可控制實驗在 T 個單位時間內結束，因為終止時間T^* =min{Y_{r n:} , }T ， 𝑌𝑌_{𝑟𝑟:𝑛𝑛}為第 r 個失敗發生時 間，𝑟𝑟 ≤ 𝑛𝑛，n 為實驗個數；主要缺點則是失敗個數可能較少以致估計量的效率 較低，以及在許多情況下至少需觀察到一個單位失敗，才能進行後續的統計推論。

Childs, et al. (2003) 提出的型二混合設限計劃(簡稱 HCS II) ，則可保證在實驗結 束前至少可觀察到 r 個失敗個數，因為終止時間T^*=max{Y_{r n:} , }T 。因而，進行到 T 的時候失敗數若不到 r 個，則持續進行實驗直到失敗個數為 r 時才停止；若在 T 之前已觀察到 r 個失敗，則終止時間為 T 且失敗個數至少為 r。因此，HCS II 能改善 HCS I 在估計表現上效率較低的缺點。

讓失敗加速發生的應力(stress) 因子，如: 溫度、壓力、伏特、速度等等，

被先行認定後，實驗者可在高於正常環境之應力下進行加速壽命試驗(accelerated life testing，簡稱ALT)，使產品提早失敗，不但可縮短測試時間且降低成本，並 可對得到的結果以內插法推斷正常操作下的情況。改變測試單位承受應力的方法 之一為逐步法，即應力與時間呈現階梯函數之關係，而若應力與時間為上升之階 梯函數則為逐步加速壽命試驗 (step stress ALT，簡稱SSALT) 。在SSALT之下，

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產品在不同階段會暴露於不同的應力水準中，Nelson (1980) 提出的累積暴露模 型(Cumulative Exposure Model，簡稱CE模型) 有助於相鄰兩階段的累積分配之銜 接，因其假設產品在某時點的剩餘壽命只與至該時點的累積失敗機率及該時點的 應力有關，但與累積的方式無關。Nelson (1990) 並介紹多種失敗分配之下以ALT 進行實驗之統計推論以及進行ALT之計劃。

SSALT 中若應力只提高一次則為簡單加速壽命試驗(simple SSALT)，不少 文獻已探究以簡單加速壽命試驗結合多種壽命分配或設限方式之分析。其中，

Xiong (1998) 研究型二設限下指數分配的推論問題；Balakrishnan, et al. (2007) 探討型二設限之點估計及區間估計的性質；Balakrishnan and Xie (2007a,b) 分別 考慮型一混合設限下及型二混合設限下指數分配的確切推論，除導出最大概似 估計量的確切分配進而得到參數的確切信賴區間，也依大樣本性質求出最大概 似估計量的漸進信賴區間，並與各種拔靴(bootstrap) 信賴區間估計法比較優劣；

Kateri and Balakrishnan (2008) 則於型二設限下探討 Weibull 分配中參數的估計 問題，除以牛頓法求得最大概似估計量的近似解外，並模擬比較最大概似估計 量的漸進信賴區間及拔靴信賴區間的表現；Banerjee and Kundu (2008) 在型二 混合設限下探討 Weibull 分配下的推論，除了推導出最大概似估計量外，並求 出近似最大概似估計量和貝氏估計量，同時也找出相對應的最高事後密度可信 區間(highest posterior density credible intervals)，並比較各方法的優劣；洪紹媛 (2013) 研究了型一混合設限下 Weibull 分配的推論，除模擬比較最大概似估計 量的漸進信賴區間、基於概似比的漸進信賴區間及拔靴信賴區間的表現外，並 提出控制實驗成本之下的最佳實驗計劃。除了 HCS I 及 HCS II，Balakrishnan and Kundu (2013) 亦探究廣義(generalized)、統合(unified)、逐步(progressive)等混合 設限的推論問題，說明這些混合設限如何與加速應力或競爭風險結合，並對最 佳混合設限計畫的問題提出建議。

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由於簡單加速壽命試驗及混合型二設限下Weibull資料的推論問題尚未被探 討，本論文即以此為研究之目標。本論文所探討的情況是應力於實驗初期先維持 在x₁，待時間為𝑡𝑡1時則提高至x₂，因而在𝑡𝑡1之前尚未失敗的產品則改在x₂下繼續接 受試驗，且若應力水準維持不變則產品的失敗時間服從Weibull分配。

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第三章 模型簡介及估計

3.1 模型假設

產品的失敗時間常與應力有關，通常在應力的水準提高之下會使失敗加速發 生。令 Y 為失敗時間，而 𝑥𝑥₁及 𝑥𝑥₂為實驗所採用的兩個應力，且𝑥𝑥₁ < 𝑥𝑥₂。假定 應力為 𝑥𝑥𝑖𝑖時 Y 服從 Weibull 分配，其機率密度函數(probability density function，

簡稱 pdf) 為

𝑓𝑓_𝑖𝑖(𝑦𝑦; 𝜆𝜆𝑖𝑖, 𝛾𝛾) =_𝜆𝜆^𝛾𝛾

𝑖𝑖𝛾𝛾𝑦𝑦^𝛾𝛾−1𝑒𝑒𝑥𝑥𝑒𝑒 �− �_𝜆𝜆^𝑦𝑦

𝑖𝑖�^𝛾𝛾� ，𝑦𝑦 ≥ 0; 𝜆𝜆_𝑖𝑖, 𝛾𝛾 > 0, (3.1) 累積分配函數(cumulative distribution function，簡稱 cdf) 為

𝐹𝐹𝑖𝑖(𝑦𝑦; 𝜆𝜆𝑖𝑖, 𝛾𝛾) = 1 − 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑒𝑒 �− �_𝜆𝜆^𝑦𝑦

𝑖𝑖�^𝛾𝛾� ，𝑦𝑦 ≥ 0; 𝜆𝜆𝑖𝑖, 𝛾𝛾 > 0, (3.2) 其中𝛾𝛾 為共同的形狀參數， 𝜆𝜆_i 為應力 𝑥𝑥_𝑖𝑖之下的尺度參數。由於 𝑥𝑥₁ < 𝑥𝑥₂ ，因而 𝜆𝜆1 > 𝜆𝜆2。

假定實驗的環境是先將應力設定在 𝑥𝑥₁，待時間達到 𝑡𝑡₁時應力調升為 𝑥𝑥₂。由 於存活至 𝑡𝑡1的實驗單位會面臨應力改變的現象，我們乃依據 Nelson (1980) 提出 的 CE 模型，其在 𝑥𝑥₂之下的餘命(residual life) 只與已承受的累積暴露有關。因此，

失敗時間的 cdf 可表達為

𝐺𝐺(𝑦𝑦) = �𝐺𝐺¹(𝑦𝑦) = 𝐹𝐹(𝑦𝑦; 𝜆𝜆₁, 𝛾𝛾), 0 < 𝑦𝑦 < 𝑡𝑡₁

𝐺𝐺₂(𝑦𝑦) = 𝐹𝐹(𝑦𝑦 + 𝑠𝑠 − 𝑡𝑡₁; 𝜆𝜆₂, 𝛾𝛾) , 𝑡𝑡₁ ≤ 𝑦𝑦 < ∞ (3.3) 其中𝑠𝑠 = 𝑡𝑡₁𝜆𝜆₂⁄ 可使 𝐺𝐺𝜆𝜆_{1 2}(𝑡𝑡₁) = 𝐺𝐺₁(𝑡𝑡₁)；亦即， 𝐹𝐹(𝑠𝑠; 𝜆𝜆₂, 𝛾𝛾) = 𝐹𝐹(𝑡𝑡₁; 𝜆𝜆₁, 𝛾𝛾)。

然而，除了直接對失敗時間分析外，亦可對其取自然對數之轉換，而對數失 敗時間則服從極端值(extreme value)分配。由於𝐺𝐺(𝑦𝑦) = 𝑃𝑃(𝑌𝑌 ≤ 𝑦𝑦) = 𝑃𝑃(𝑙𝑙𝑛𝑛 𝑌𝑌 ≤ 𝑙𝑙𝑛𝑛 𝑦𝑦)，

可利用標準極端值分配的 cdf 將𝐺𝐺(𝑦𝑦) 重新表達為 6

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𝐺𝐺(𝑦𝑦) = �𝐺𝐺₁(𝑦𝑦) = 𝛷𝛷 �𝑙𝑙𝑛𝑛 𝑦𝑦 −𝜇𝜇1

𝜎𝜎 � , 0 < 𝑦𝑦 < 𝑡𝑡₁ 𝐺𝐺2(𝑦𝑦) = 𝛷𝛷 �𝑙𝑙𝑛𝑛(𝑦𝑦+𝑠𝑠−𝑡𝑡₁)−𝜇𝜇₂

𝜎𝜎 �, 𝑡𝑡1 ≤ 𝑦𝑦 < ∞ (3.4) 其中𝛷𝛷(𝑢𝑢) = 1 − 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑒𝑒(− 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑒𝑒(𝑢𝑢)), −∞ < 𝑢𝑢 < ∞， 為標準極端值的 cdf ， 𝜎𝜎 = 1/𝛾𝛾，𝜇𝜇_𝑖𝑖 = 𝑙𝑙𝑛𝑛 𝜆𝜆_𝑖𝑖, 𝑖𝑖 = 1, 2。

在 simple SSALT 下失敗時間的 pdf，除可依 Weibull 分配的 pdf 表達為:

𝑔𝑔(𝑦𝑦) = �𝑓𝑓(𝑦𝑦; 𝜆𝜆₁, 𝑟𝑟), 0 < 𝑦𝑦 < 𝑡𝑡₁

𝑓𝑓(𝑦𝑦 + 𝑠𝑠 − 𝑡𝑡₁; 𝜆𝜆₂, 𝑟𝑟), 𝑡𝑡₁ ≤ 𝑦𝑦 < ∞ , (3.5) 亦可依標準極端值分配的 pdf 表達為:

𝑔𝑔(𝑦𝑦) = �𝑔𝑔₁(𝑦𝑦) =_{𝜎𝜎𝑦𝑦}¹ 𝜙𝜙 �𝑙𝑙𝑛𝑛 𝑦𝑦 −𝜇𝜇1

𝜎𝜎 � , 0 < 𝑦𝑦 < 𝑡𝑡₁ 𝑔𝑔2(𝑦𝑦) =𝜎𝜎(𝑦𝑦+𝑠𝑠−𝑡𝑡¹ ₁)𝜙𝜙 �𝑙𝑙𝑛𝑛(𝑦𝑦+𝑠𝑠−𝑡𝑡₁)−𝜇𝜇₂

𝜎𝜎 �, 𝑡𝑡1 ≤ 𝑦𝑦 < ∞ (3.6) 其中𝜙𝜙(𝑢𝑢) = 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑒𝑒(𝑢𝑢 − 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑒𝑒(𝑢𝑢)) ， − ∞ < 𝑢𝑢 < ∞，為標準極端值的 pdf。

假定實驗之進行除依簡單加速方式於 𝑡𝑡1時改變應力，並採用 HCS II 為設限 計劃，結束條件為至少進行到時間點t₂且失敗數至少為𝑟𝑟，而 𝑡𝑡₁, 𝑡𝑡₂及𝑟𝑟均為事先決 定。假定有𝑛𝑛個單位參與實驗，從實驗開始到 𝑡𝑡1為第一階段而應力為𝑥𝑥1，從 𝑡𝑡1到 實驗結束則為第二階段而應力增加為 𝑥𝑥₂。令𝑇𝑇₂^∗為實驗的終止時間，則𝑇𝑇₂^∗為隨機 變數且𝑇𝑇₂^∗ = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑥𝑥{𝑌𝑌𝑟𝑟:𝑛𝑛, 𝑡𝑡2}，其中𝑌𝑌𝑟𝑟:𝑛𝑛為第𝑟𝑟個失敗的發生時間，𝑟𝑟 ≤ 𝑛𝑛。再令𝑛𝑛1為 第一階段的失敗數，𝑛𝑛₂為第二階段於𝑡𝑡₂前的失敗數，𝑛𝑛₂^∗則為第二階段的失敗數。

當𝑡𝑡2 < 𝑌𝑌𝑟𝑟:𝑛𝑛 時，則𝑛𝑛₂^∗ = 𝑟𝑟 − 𝑛𝑛1 > 𝑛𝑛2且𝑇𝑇₂^∗ = 𝑌𝑌𝑟𝑟:𝑛𝑛；反之，則𝑛𝑛₂^∗ = 𝑛𝑛2 ≥ 𝑟𝑟 − 𝑛𝑛1且 𝑇𝑇₂^∗ = 𝑡𝑡₂。

根據觀察到的𝑌𝑌𝑟𝑟:𝑛𝑛及其與𝑡𝑡1、𝑡𝑡2的關係，對於簡單加速壽命試驗結合 HCS II 得到的樣本其失敗時間之分布，及𝑟𝑟, 𝑛𝑛₁, 𝑛𝑛₂, 𝑛𝑛₂^∗ ,𝑇𝑇₂^∗ , 𝑡𝑡₁, 𝑡𝑡₂間之關係，可整理成以 下三種情況:

(a)若 𝑦𝑦_{𝑟𝑟:𝑛𝑛} ≤ 𝑡𝑡₁ < 𝑡𝑡₂，則𝑇𝑇₂^∗ = 𝑡𝑡₂, 𝑟𝑟 ≤ 𝑛𝑛₁, 𝑛𝑛₂^∗ = 𝑛𝑛₂，且觀察到的失敗時間為:

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𝑦𝑦

_1:𝑛𝑛

< · · · < 𝑦𝑦

_{𝑟𝑟:𝑛𝑛}

< ⋯ < 𝑦𝑦

_{𝑛𝑛1:𝑛𝑛}

≤ 𝑡𝑡

₁

< 𝑦𝑦

_{𝑛𝑛1+1:𝑛𝑛}

< · · · < 𝑦𝑦

_{𝑛𝑛1+𝑛𝑛2:𝑛𝑛}

≤ 𝑡𝑡

₂

；

(b1)若𝑡𝑡₁ < 𝑦𝑦_{𝑟𝑟:𝑛𝑛}≤ 𝑡𝑡₂，則𝑇𝑇₂^∗ = 𝑡𝑡₂, 𝑟𝑟 > 𝑛𝑛₁, 𝑛𝑛₂^∗ = 𝑛𝑛₂ ≥ 𝑟𝑟 − 𝑛𝑛₁，且觀察到的失敗時間 為:

_𝑦𝑦

_1:𝑛𝑛

< · · · < 𝑦𝑦

_{𝑛𝑛1:𝑛𝑛}

≤ 𝑡𝑡

₁

< 𝑦𝑦

_{𝑛𝑛1+1:𝑛𝑛}

< · · · < 𝑦𝑦

_{𝑟𝑟:𝑛𝑛}

<· · ·< 𝑦𝑦

_{𝑛𝑛1+𝑛𝑛2:𝑛𝑛}

≤ 𝑡𝑡

₂

；

(b2)若𝑡𝑡₂ < 𝑦𝑦_{𝑟𝑟:𝑛𝑛} ，則T₂^∗ > 𝑡𝑡₂, 𝑟𝑟 > 𝑛𝑛₁, 𝑛𝑛₂^∗ = 𝑟𝑟 − 𝑛𝑛₁ > 𝑛𝑛₂，且觀察到的失敗時間為:

𝑦𝑦_1:𝑛𝑛 < ··· < 𝑦𝑦_{𝑛𝑛1:𝑛𝑛}≤ 𝑡𝑡 ₁ < 𝑦𝑦_{𝑛𝑛1+1:𝑛𝑛} < ··· < 𝑦𝑦_{𝑛𝑛1+𝑛𝑛2:𝑛𝑛} ≤ 𝑡𝑡 ₂ < 𝑦𝑦_{𝑛𝑛1+𝑛𝑛2+1:𝑛𝑛}··· <

𝑦𝑦_{𝑟𝑟:𝑛𝑛}< ∞.

我們並將𝑟𝑟, 𝑛𝑛₁, 𝑛𝑛₂, 𝑛𝑛₂^∗, 𝑡𝑡₁, 𝑡𝑡₂及𝑇𝑇₂^∗間之關係依上述三種情況繪於圖 3-1。

圖 3-1. 型二混合設限資料示意圖

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由於式(3.7) 滿足正規條件，故可視 𝑁𝑁 �𝜃𝜃, 𝐼𝐼_{𝑜𝑜𝑜𝑜𝑠𝑠}�𝜃𝜃��⁻¹� 為𝜃𝜃�的漸進分配，而 𝐼𝐼_{𝑜𝑜𝑜𝑜𝑠𝑠}�𝜃𝜃��

則為𝜃𝜃�之漸進共變異數矩陣。

3.3 參數的區間估計

本節將介紹幾種建構信賴區間(confidence interval,簡稱 CI) 的方法，依序是 最大概似估計量的漸進信賴區間、基於概似比的漸進信賴區間(Likelihood Ratio- Based CI) 以及幾種利用拔靴法建構的信賴區間。

3.3.1 最大概似估計量的漸進信賴區間

在樣本數夠大且滿足正規條件的情況下，依據 MLE 的漸進常態性質，可得 出各參數 MLE 的漸進樞紐量為

^𝜃𝜃�

^ℎ

^−𝜃𝜃

^ℎ

�𝑉𝑉

ℎℎ ，其中 𝑉𝑉_ℎℎ 是(𝐼𝐼_{𝑜𝑜𝑜𝑜𝑠𝑠}�𝜃𝜃��)⁻¹中的第 h 個對 角線元素，ℎ = 1,2,3。以漸進樞紐量可建構出 𝜃𝜃_ℎ的100(1-𝛼𝛼)% 最大概似估計量 的漸進信賴區間如下:

𝜃𝜃� _ℎ

± 𝑧𝑧_{1−𝛼𝛼/2}

�

^𝑉𝑉ℎℎ , ℎ = 1,2,3,

其中 𝑧𝑧_{1−𝛼𝛼/2} 是標準常態分配的第 100(1 − 𝛼𝛼/2)百分位數。

3.3.2 基於概似比的漸進信賴區間

Venzon and Moolgavkar (1988) 指出 MLE 在小樣本下的性質可能與大樣本下 的漸進性質差異懸殊，此時若仍以常態分配為其漸進分配，往往造成如此得到的 漸進信賴區間覆蓋率偏低的現象。因此，他們提出一個改善方式，利用概似比檢

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定 (Likelihood Ratio Test，LRT) 的統計量具有分配收斂到卡方分配的性質，而 得到以概似比統計量為基礎的信賴區間(Likelihood Ratio-Based CI)。

以 LRT 對模式中的參數分別檢定 𝐻𝐻ℎ0: 𝜃𝜃ℎ = 𝜃𝜃ℎ0 𝑣𝑣𝑠𝑠. 𝐻𝐻ℎ1: 𝜃𝜃ℎ ≠ 𝜃𝜃ℎ0 ，則統 計量為2 �𝑙𝑙𝑛𝑛𝐿𝐿�𝜃𝜃�� − 𝑙𝑙𝑛𝑛𝐿𝐿 �𝜃𝜃⃗�ℎ0��，h=1,2,3，而在𝜃𝜃⃗�ℎ0中，𝜃𝜃ℎ被設定為𝜃𝜃ℎ0，至於另二 參數的估計值則是在 𝜃𝜃ℎ = 𝜃𝜃ℎ0 之下所求出的 MLE，亦即𝐿𝐿 �𝜃𝜃⃗�ℎ0�是在 𝐻𝐻ℎ0 成立時

的最大概似函數值， 𝐿𝐿 �𝜃𝜃⃗�ℎ0� = 𝑠𝑠𝑢𝑢𝑒𝑒𝜃𝜃_𝑗𝑗,𝜃𝜃_𝑚𝑚,:𝑗𝑗,𝑚𝑚≠ℎ𝐿𝐿(𝜃𝜃ℎ0, 𝜃𝜃𝑗𝑗, 𝜃𝜃𝑚𝑚)。由於 LRT 檢定統計 量具有以下之分配收斂性質:

2 �𝑙𝑙𝑛𝑛𝐿𝐿�𝜃𝜃�� − 𝑙𝑙𝑛𝑛𝐿𝐿 �𝜃𝜃⃗�_ℎ0��→ χ^𝑑𝑑 ₁².

因此，以概似比為基礎可建構出𝜃𝜃ℎ的 100(1-α)% 漸進信賴區間為以下之集合

�𝜃𝜃_ℎ: 2 �𝑙𝑙𝑛𝑛𝐿𝐿�𝜃𝜃�� − 𝑙𝑙𝑛𝑛𝐿𝐿 �𝜃𝜃⃗�_ℎ�� ≤ χ_{1,1−𝛼𝛼}² �.

因而，只要𝜃𝜃_ℎ為某一數值時所求算出的𝜃𝜃⃗�_ℎ可滿足 2𝑙𝑙𝑛𝑛𝐿𝐿 �𝜃𝜃⃗�_ℎ� ≥ 2𝑙𝑙𝑛𝑛𝐿𝐿�𝜃𝜃�� − χ_{1,1−𝛼𝛼}² ， 該數值即被納入到𝜃𝜃ℎ的信賴區間中。

3.3.3 拔靴信賴區間

在建構拔靴信賴區間之前需先產生出拔靴樣本，因而在本小節中，先介紹生 成簡單加速試驗及 HCS II 之有母數(parametric) 拔靴樣本的演算法，再介紹架構 在拔靴樣本上的幾種信賴區間。

令(𝑦𝑦1:𝑛𝑛, … 𝑦𝑦𝑛𝑛₁:𝑛𝑛 , 𝑦𝑦𝑛𝑛₁+1:𝑛𝑛, 𝑦𝑦𝑛𝑛₁+2:𝑛𝑛 , … , 𝑦𝑦𝑛𝑛₁+𝑛𝑛₂^∗:𝑛𝑛) 為一組型二混合設限的

Weibull 失敗時間樣本，其來源為應力在𝑡𝑡₁時由𝑥𝑥₁增至𝑥𝑥₂，至少被觀察到時間點𝑡𝑡₂ 12

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且至少有𝑟𝑟個單位失敗。對於這組資料，先計算出參數的 MLE， 𝜃𝜃� = (𝛽𝛽̂0, 𝛽𝛽̂1, 𝜎𝜎�)，

即可據以估計出在𝑡𝑡₁前失敗時的機率 𝑃𝑃�(𝑌𝑌 ≤ 𝑡𝑡₁) = 𝛷𝛷[^{𝑙𝑙𝑛𝑛 𝑡𝑡1−𝛽𝛽�}_𝜎𝜎�^{0− 𝛽𝛽�1𝑥𝑥1}]

與 𝑠𝑠̂ = 𝑡𝑡₁𝑒𝑒𝑥𝑥𝑒𝑒 [𝛽𝛽̂₁(𝑥𝑥₂− 𝑥𝑥₁)] 。以下先介紹在 (n, 𝑡𝑡₁, 𝑡𝑡₂, r, 𝑥𝑥₁, 𝑥𝑥₂) 為固定且參數 值為𝜃𝜃�之下，產生拔靴樣本的步驟。

步驟 1.生成 n 個 uniform(0,1)的隨機亂數，由小到大排序後得到 (𝑈𝑈1:𝑛𝑛, … , 𝑈𝑈𝑛𝑛:𝑛𝑛) 。 步驟 2. 決定第一階段的失敗個數及失敗時間

(2a)決定第一階段的失敗個數𝑛𝑛1𝑜𝑜: 𝑛𝑛1𝑜𝑜可由下式求得

𝑈𝑈 _𝑛𝑛

_1𝑏𝑏

_:𝑛𝑛 ≤ 𝛷𝛷[ ^{𝑙𝑙𝑛𝑛 𝑡𝑡}

¹

⁻

^𝛽𝛽

^� _𝜎𝜎�

⁰

⁻

^𝛽𝛽

^�

¹

^𝑥𝑥

¹

] ≤ 𝑈𝑈 _𝑛𝑛

_1𝑏𝑏

_+1:𝑛𝑛

^.

(2b)產生𝑛𝑛_1𝑜𝑜個在 𝑡𝑡₁之前的失敗時間:

𝑦𝑦_{𝑙𝑙:𝑛𝑛}^∗ = 𝑒𝑒𝑥𝑥 𝑒𝑒�𝜎𝜎�𝛷𝛷⁻¹(𝑈𝑈𝑙𝑙:𝑛𝑛) + 𝛽𝛽̂0

+

𝛽𝛽̂1

𝑥𝑥 1

� , 𝑙𝑙 = 1,2, … , 𝑛𝑛1𝑜𝑜.

步驟 3. 決定第二階段的失敗個數及失敗時間

(3a)決定失敗時間介於 (𝑡𝑡₁, 𝑡𝑡₂]間的個數 𝑛𝑛_2𝑜𝑜: 𝑛𝑛_2𝑜𝑜可由下式求得

𝑈𝑈 _𝑛𝑛

_1𝑏𝑏

_+𝑛𝑛

_2𝑏𝑏

_:𝑛𝑛 ≤ 𝛷𝛷[ ^{𝑙𝑙𝑛𝑛(𝑡𝑡}

²

^{+𝑠𝑠̂−𝑡𝑡} _𝜎𝜎�

¹

⁾⁻

^𝛽𝛽

^�

⁰

⁻

^𝛽𝛽

^�

¹

^𝑥𝑥

²

] ≤ 𝑈𝑈 _𝑛𝑛

_1𝑏𝑏

_+𝑛𝑛

_2𝑏𝑏

_+1:𝑛𝑛

^.

(3b)決定實驗的結束時間 𝑡𝑡_2𝑜𝑜^∗ 及第二階段的失敗個數𝑛𝑛_2𝑜𝑜^∗ : 若 𝑟𝑟 ≤ 𝑛𝑛_1𝑜𝑜，則 𝑡𝑡_2𝑜𝑜^∗ = 𝑡𝑡₂ 且 𝑛𝑛_2𝑜𝑜^∗ = 𝑛𝑛_2𝑜𝑜；

否則，先計算出第 𝑟𝑟個失敗的發生時間

𝑦𝑦_{𝑟𝑟:𝑛𝑛}^∗ = 𝑡𝑡₁− 𝑠𝑠̂ + 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑒𝑒 (𝜎𝜎�𝛷𝛷⁻¹(𝑈𝑈_{𝑟𝑟:𝑛𝑛}) + 𝛽𝛽̂₀

+

𝛽𝛽̂₁𝑥𝑥₂), 若 𝑡𝑡1 < 𝑦𝑦𝑟𝑟:𝑛𝑛∗ ≤ 𝑡𝑡2，則 𝑡𝑡_2𝑜𝑜^∗ = 𝑡𝑡2 且 𝑛𝑛_2𝑜𝑜^∗ = 𝑛𝑛2𝑜𝑜 ,

若 𝑡𝑡₂ < 𝑦𝑦_{𝑟𝑟:𝑛𝑛}^∗ ，則 𝑡𝑡_2𝑜𝑜^∗ = 𝑦𝑦_{𝑟𝑟:𝑛𝑛}^∗ 且 𝑛𝑛_2𝑜𝑜^∗ = 𝑟𝑟 − 𝑛𝑛_1𝑜𝑜 .

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(3c)計算出第二階段中 𝑛𝑛_2𝑜𝑜^∗ 個失敗單位之失敗時間:

𝑦𝑦_{𝑗𝑗:𝑛𝑛}^∗ = 𝑡𝑡1− 𝑠𝑠̂ + 𝑒𝑒𝑥𝑥 𝑒𝑒�𝜎𝜎�𝛷𝛷⁻¹�𝑈𝑈𝑗𝑗:𝑛𝑛� + 𝛽𝛽̂0

+

𝛽𝛽̂1𝑥𝑥2� , 𝑗𝑗 = 𝑛𝑛1𝑜𝑜+ 1, … , 𝑛𝑛1𝑜𝑜+ 𝑛𝑛_2𝑜𝑜^∗ .

步驟 4. 合併步驟 2 及 3 得到的失敗時間，及(𝑛𝑛 − 𝑛𝑛1𝑜𝑜− 𝑛𝑛_2𝑜𝑜^∗ )個於𝑦𝑦_𝑛𝑛^∗_{1𝑏𝑏+𝑛𝑛2𝑏𝑏}^∗ _:𝑛𝑛右設

步驟 4. 合併步驟 2 及 3 得到的失敗時間，及(𝑛𝑛 − 𝑛𝑛1𝑜𝑜− 𝑛𝑛_2𝑜𝑜^∗ )個於𝑦𝑦_𝑛𝑛^∗_{1𝑏𝑏+𝑛𝑛2𝑏𝑏}^∗ _:𝑛𝑛右設

在文檔中 簡單加速壽命試驗及型二混合設限之Weibull資料分析 - 政大學術集成 (頁 8-38)