簡單加速壽命試驗及型二混合設限之Weibull資料分析 - 政大學術集成

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(1)國立政治大學統計學系碩士學位論文. 政治大. Weibull 資料分析. 學. ‧ 國. 立簡單加速壽命試驗及型二混合設限之 ‧. Analysis for Weibull Data under Nat. n. al. er. io. sit. y. Simple Step-Stress and Type II Hybrid Censoring Ch. engchi. i Un. v. 指導教授：陳麗霞博士研究生: 陳朝逸撰. 中華民國 103 年 7 月.

(2) 謝辭這本論文要獻給最親愛的父母親，謝謝您們從小到大對我的支持，給我充分的自由度選擇自己想做的事，讓我可以無後顧之憂地完成碩士班學業。也感謝親戚們適時的關心，讓我倍感窩心。首先，感謝我的指導教授陳麗霞老師，謝謝您願意無條件地收我當徒弟，總是不厭其煩地教導我，幫助我修正任何的錯誤，在我有困難時，就像燈塔一般指引我方向，很開心能夠當您的學生，著實收穫不少；同時也要感謝口試委員. 政治大感謝研究所的同學們，還記得碩一期中期末的考前加強班、還記得碩二在研立. 林千代老師和高立箴老師在口試時的提點，使我的論文能更加完整。. ‧ 國. 學. 究室一起聊天一起奮鬥的時光、還記得每次一起吃飯的歡樂時光，若沒有你們的陪伴，我的研究所生活一定會很黯淡。特別是欣惠和俞安，雖然妳們只會胡鬧，. ‧. 但也為研究室帶來許多歡樂！還有建佑，你是我研究所生活中最要好的朋友，還. Nat. sit. y. 記得每次做論文疲累時，一同看雜誌消遣、閒話家常，非常開心認識你。. n. al. er. io. 感謝一同奮戰考研究所的戰友們，雖然大家幾乎都考上不同的學校，但我們. i Un. v. 的聯繫從未斷過，時常相互打氣，你們是一群很棒的朋友，相信大家未來都能有很好的發展。. Ch. engchi. 感謝在我學涯中教導過我的老師們，以及曾經的同學、朋友們、系排隊友們，謝謝你們的出現，讓我的學涯更豐富，擁有許多美好的回憶。. 陳朝逸謹誌一○三年七月政大商學院.

(3) 摘要本論文探討的是在簡單加速壽命試驗及型二混合設限下 Weibull 資料的估計問題。由於實驗單位在兩階段的應力水準不同，在累積暴露模型之假定下，解出最大概似估計值並求得觀察到的訊息矩陣。進而介紹各參數之最大概似估計量的漸進信賴區間、基於概似比的漸進信賴區間，以及三種拔靴信賴區間。在不同的樣本數、應力改變的時間及實驗預定的終止時間之下，利用蒙地卡羅法模擬計算各參數估計量的偏差和均方誤差等指標，以評估其與應力改變的時間及實驗預定. 政治大之表現。其中，最大概似估計量的漸進信賴區間不但計算時間短且覆蓋率之表現立終止的時間之關係；再對各參數的各種信賴區間分別計算覆蓋率以評估區間估計. ‧. ‧ 國. 學. 較佳。. n. al. er. io. sit. y. Nat. 關鍵字: 加速壽命試驗、型二混合設限、簡單加速試驗、累積暴露模型、Weibull 分配、最大概似估計量的漸進信賴區間、基於概似比的漸進信賴區間、拔靴信賴區間. Ch. engchi. i Un. v.

(4) Abstract In this thesis, the estimation problems for Weibull data under simple step-stress and type II hybrid censoring are considered. Due to different stress level undertaken by those experiment units surviving through the first stage, the maximum likelihood estimators (MLEs) of the parameters and the corresponding observed information matrix are derived under the cumulative exposure model. Then, asymptotic confidence intervals derived from the asymptotic distributions of the MLEs, likelihood ratio-based confidence intervals and three bootstrap confidence intervals. 政治大 stress-level, and preplanned stopping times, Monte-Carlo simulations are carried out 立 are introduced. With different sample sizes, change-points for changing the. ‧ 國. 學. and the average biases, mean squared errors, and other criterions are computed to discover the relations between these criterions and change-points and preplanned. ‧. stopping times. Coverage rates for confidence intervals are also computed to evaluate. Nat. sit. y. their performances. Finally, the asymptotic confidence interval is recommended due. al. n. methods.. er. io. to taking less computation time and achieving better coverage rate than other. Ch. engchi. i Un. v. Keywords: Accelerated life testing, type II hybrid censoring, simple step-stress testing, cumulative exposure model, Weibull distribution, asymptotic confidence interval, likelihood ratio-based confidence interval, bootstrap confidence interval.

(5) 目錄第一章緒論 .................................................................................... 1 1.1 研究背景、動機與目的 ................................................................................ 1 1.2 論文結構 ........................................................................................................ 2. 第二章文獻探討 ............................................................................. 3 第三章模型簡介及估計.................................................................. 6. 政治大. 3.1 模型假設 ........................................................................................................ 6 3.2 最大概似估計法 ............................................................................................ 9 3.3 參數的區間估計 .......................................................................................... 11 3.3.1 最大概似估計量的漸進信賴區間 ................................................... 11 3.3.2 基於概似比的漸進信賴區間 ........................................................... 11 3.3.3 拔靴信賴區間 ................................................................................... 12 3.3.3.1 百分位數拔靴信賴區間 ...................................................... 14 3.3.3.2 調整百分位數拔靴信賴區間 .............................................. 15 3.3.3.3 拔靴 t 信賴區間 ................................................................... 16. 立. ‧. ‧ 國. 學. er. io. sit. y. Nat. 第四章模擬結果 ........................................................................... 18 a. n. iv l C n 點估計之評估 .............................................................................................. 18 hengchi U 區間估計之評估 .......................................................................................... 19. 4.1 4.2. 第五章結論與建議 ....................................................................... 26 參考文獻 ........................................................................................ 28 附錄................................................................................................ 30. I.

(6) 表目錄表 4-1 (𝑛𝑛, 𝑟𝑟) = (50,40)及不同(𝑡𝑡1 , 𝑡𝑡2 )之下各參數的點估計表現及各信賴區間. 之覆蓋率·······················································19. 表 4-2 (𝑛𝑛, 𝑟𝑟) = (100,80)及不同(𝑡𝑡1 , 𝑡𝑡2 )之下各參數的點估計表現及各信賴區間. 之覆蓋率·······················································20. 表 4-3 固定 𝑡𝑡1 ,變動 𝑡𝑡2 的 SMSE·········································21. 表 4-4 (𝑛𝑛, 𝑟𝑟) = (50,40)之下，𝛽𝛽0 , 𝛽𝛽1 , 𝜎𝜎的相對偏差與相對 MSE···············22. 表 4-5 (𝑛𝑛, 𝑟𝑟) = (100,80)之下，𝛽𝛽0 , 𝛽𝛽1, 𝜎𝜎的相對偏差與相對 MSE··············22. 表 4-6 總相對偏差與總相對 MSE······································23. 政治大. 表 4-7 平均覆蓋率···················································23. 立. ‧ 國. 學. 圖目錄. ‧. 圖 3-1 型二混合設限資料示意圖········································7. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. II. i Un. v.

(7) 第一章緒論. 1.1 研究背景、動機與目的可靠度(Reliability)理論之發展始於 1950 年代，常見的定義是在給定的操作環境、條件和時間之下，產品依照其設定能成功發揮功用的機率。隨著科技進步、工業技術的發展，產品的壽命日漸增長，完整的壽命資料能提供可靠度最佳的估計結果，但所有實驗單位都失敗後才對可靠度進行估計，則會過於耗費時間。因. 政治大. 此，在成本和時間的考量之下，進行產品壽命實驗時，常會採用某種設限計劃甚至搭配加速壽命試驗。. 立. ‧ 國. 學. 傳統的型一設限及型二設限為最普遍的設限方式。型一設限固定了實驗進行的時間而失敗的個數為隨機，型二設限則固定失敗的個數而實驗進行的時間為隨. ‧. 機。混合設限則兼具型一及型二設限的特性，又可分為型一混合設限與型二混合. y. Nat. sit. 設限兩種。前者除保證實驗之進行不會超過預定的終止時間外，若已觀察到預定. n. al. er. io. 的失敗個數則可提前結束實驗；後者則保證實驗結束前至少觀察到預定的失敗個. Ch. 數，且至少進行到預定的終止時間。. engchi. i Un. v. 在加速壽命試驗中，實驗者可在極端或變動的應力水準下測試產品的壽命，而應力則為溫度或壓力等等會影響產品壽命的因素。逐步加速壽命試驗是其中一種方法，實驗者在事先規劃好的時點逐次提高應力，以使產品較在正常環境下提早發生失敗的現象。對於高價位或稀有產品，採用加速壽命試驗能減少試驗的成本與難度。簡單加速壽命試驗為逐步加速壽命試驗的特例，其應力只提升一次。描述產品壽命的分配中以Weibull分配為常見，其優點為適用於瞬間失敗率為遞增或遞減的情況，且另一常被廣泛使用的指數分配為其特例。由於文獻中尚未對結合簡單加速壽命試驗與型二混合設限的Weibull失敗時間資料進行分析，本論文乃以此為動機，探討此種狀況下Weibull分配參數的估計及推論問題。然 1.

(8) 而，產品在兩階段暴露的應力水準不同，本論文以Nelson(1980) 提出的累積暴露模型，使產品於應力改變前後的累積分配得以銜接，除採最大概似估計法對參數進行估計，並提出建構信賴區間的方法，包括：最大概似估計量的漸進信賴區間、基於概似比的漸進信賴區間以及幾種利用拔靴樣本(bootstrap sample) 建構的信賴區間，並進一步對區間估計方法提出建議。. 1.2 論文結構本論文其餘各章之主要內容如下：. 第二章：文獻回顧. 立. 政治大. ‧ 國. 學. 介紹設限計劃以及加速壽命試驗的背景，並探討與本論文相關的文獻，進而提出本論文的想法。. ‧ sit. y. Nat. 第三章：模型簡介與估計. io. al. n. 法。. er. 本章介紹本論文的模型並利用最大概似法估計參數，以及各種區間估計的方. Ch. engchi. i Un. v. 第四章：模擬結果藉由蒙地卡羅法模擬，衡量點估計和各區間估計法的表現，並提出建議方法。. 第五章：結論與建議對本論文做出結論，並為後續研究提出建議與改善方法。. 2.

(9) 第二章文獻探討在壽命試驗的相關研究中，受矚目的往往是某物件或系統的可靠度；根據 Sinha (1986) ，可靠度的定義為: 物件或系統在指定時間之前可成功運作的機率。然而，若能蒐集到各實驗對象的失敗時間，固然對可靠度可得到最佳的估計結果，常見的缺點則是成本過高且實驗時間過長。為了改善此問題，型一設限計劃或型二設限計劃乃應運而生，期能縮短實驗時間、降低實驗成本，而仍能維持估計量的好性質。結合兩種設限特性的混合設限 (hybrid censoring) 則源起於. 政治大的終止時間，r 為預定觀察到的失敗個數，則 HCS I 的主要優點是可控制實驗在立. Esptein(1954) ，他提出了型一混合設限計劃(簡稱 HCS I) 的想法。令 T 為預定. ‧ 國. 學. T 個單位時間內結束，因為終止時間 T * = min{Yr:n , T } ， 𝑌𝑌𝑟𝑟:𝑛𝑛 為第 r 個失敗發生時. ‧. 間，𝑟𝑟 ≤ 𝑛𝑛，n 為實驗個數；主要缺點則是失敗個數可能較少以致估計量的效率. 較低，以及在許多情況下至少需觀察到一個單位失敗，才能進行後續的統計推論。. y. Nat. io. sit. Childs, et al. (2003) 提出的型二混合設限計劃(簡稱 HCS II) ，則可保證在實驗結. er. 束前至少可觀察到 r 個失敗個數，因為終止時間 T * = max{Yr:n , T } 。因而，進行到. al. n. iv n C T 的時候失敗數若不到 r 個，則持續進行實驗直到失敗個數為 r 時才停止；若在 hengchi U T 之前已觀察到 r 個失敗，則終止時間為 T 且失敗個數至少為 r。因此，HCS II. 能改善 HCS I 在估計表現上效率較低的缺點。讓失敗加速發生的應力(stress) 因子，如: 溫度、壓力、伏特、速度等等，被先行認定後，實驗者可在高於正常環境之應力下進行加速壽命試驗(accelerated life testing，簡稱ALT)，使產品提早失敗，不但可縮短測試時間且降低成本，並可對得到的結果以內插法推斷正常操作下的情況。改變測試單位承受應力的方法之一為逐步法，即應力與時間呈現階梯函數之關係，而若應力與時間為上升之階梯函數則為逐步加速壽命試驗 (step stress ALT，簡稱SSALT) 。在SSALT之下， 3.

(10) 產品在不同階段會暴露於不同的應力水準中，Nelson (1980) 提出的累積暴露模型(Cumulative Exposure Model，簡稱CE模型) 有助於相鄰兩階段的累積分配之銜接，因其假設產品在某時點的剩餘壽命只與至該時點的累積失敗機率及該時點的應力有關，但與累積的方式無關。Nelson (1990) 並介紹多種失敗分配之下以ALT 進行實驗之統計推論以及進行ALT之計劃。 SSALT 中若應力只提高一次則為簡單加速壽命試驗(simple SSALT)，不少文獻已探究以簡單加速壽命試驗結合多種壽命分配或設限方式之分析。其中， Xiong (1998) 研究型二設限下指數分配的推論問題；Balakrishnan, et al. (2007) 探討型二設限之點估計及區間估計的性質；Balakrishnan and Xie (2007a,b) 分別. 治政考慮型一混合設限下及型二混合設限下指數分配的確切推論，除導出最大概似大立估計量的確切分配進而得到參數的確切信賴區間，也依大樣本性質求出最大概 ‧ 國. 學. 似估計量的漸進信賴區間，並與各種拔靴(bootstrap) 信賴區間估計法比較優劣；. ‧. Kateri and Balakrishnan (2008) 則於型二設限下探討 Weibull 分配中參數的估計. sit. y. Nat. 問題，除以牛頓法求得最大概似估計量的近似解外，並模擬比較最大概似估計. io. er. 量的漸進信賴區間及拔靴信賴區間的表現；Banerjee and Kundu (2008) 在型二混合設限下探討 Weibull 分配下的推論，除了推導出最大概似估計量外，並求. al. n. iv n C 出近似最大概似估計量和貝氏估計量，同時也找出相對應的最高事後密度可信 hengchi U. 區間(highest posterior density credible intervals)，並比較各方法的優劣；洪紹媛 (2013) 研究了型一混合設限下 Weibull 分配的推論，除模擬比較最大概似估計量的漸進信賴區間、基於概似比的漸進信賴區間及拔靴信賴區間的表現外，並提出控制實驗成本之下的最佳實驗計劃。除了 HCS I 及 HCS II，Balakrishnan and Kundu (2013) 亦探究廣義(generalized)、統合(unified)、逐步(progressive)等混合設限的推論問題，說明這些混合設限如何與加速應力或競爭風險結合，並對最佳混合設限計畫的問題提出建議。. 4.

(11) 由於簡單加速壽命試驗及混合型二設限下Weibull資料的推論問題尚未被探討，本論文即以此為研究之目標。本論文所探討的情況是應力於實驗初期先維持在x1，待時間為𝑡𝑡1 時則提高至x2，因而在𝑡𝑡1 之前尚未失敗的產品則改在x2下繼續接受試驗，且若應力水準維持不變則產品的失敗時間服從Weibull分配。. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 5. i Un. v.

(12) 第三章模型簡介及估計. 3.1 模型假設產品的失敗時間常與應力有關，通常在應力的水準提高之下會使失敗加速發生。令 Y 為失敗時間，而 𝑥𝑥1 及 𝑥𝑥2 為實驗所採用的兩個應力，且𝑥𝑥1 < 𝑥𝑥2 。假定. 應力為 𝑥𝑥𝑖𝑖 時 Y 服從 Weibull 分配，其機率密度函數(probability density function，簡稱 pdf) 為. 𝑦𝑦 𝛾𝛾. 𝛾𝛾. 政治大. 𝑓𝑓𝑖𝑖 (𝑦𝑦; 𝜆𝜆𝑖𝑖 , 𝛾𝛾) = 𝜆𝜆𝛾𝛾 𝑦𝑦 𝛾𝛾−1 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 �− �𝜆𝜆 � � ，𝑦𝑦 ≥ 0; 𝜆𝜆𝑖𝑖 , 𝛾𝛾 > 0,. 立. 𝑖𝑖. 𝑖𝑖. (3.1). ‧ 國. 學. 累積分配函數(cumulative distribution function，簡稱 cdf) 為 𝑦𝑦 𝛾𝛾. ‧. 𝐹𝐹𝑖𝑖 (𝑦𝑦; 𝜆𝜆𝑖𝑖 , 𝛾𝛾) = 1 − 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 �− �𝜆𝜆 � � ，𝑦𝑦 ≥ 0; 𝜆𝜆𝑖𝑖 , 𝛾𝛾 > 0, 𝑖𝑖. Nat. y. (3.2). sit. er. al. n. 𝜆𝜆1 > 𝜆𝜆2 。. io. 其中𝛾𝛾 為共同的形狀參數， 𝜆𝜆i 為應力 𝑥𝑥𝑖𝑖 之下的尺度參數。由於 𝑥𝑥1 < 𝑥𝑥2 ，因而. i Un. v. 假定實驗的環境是先將應力設定在 𝑥𝑥1 ，待時間達到 𝑡𝑡1 時應力調升為 𝑥𝑥2 。由. Ch. engchi. 於存活至 𝑡𝑡1 的實驗單位會面臨應力改變的現象，我們乃依據 Nelson (1980) 提出. 的 CE 模型，其在 𝑥𝑥2 之下的餘命(residual life) 只與已承受的累積暴露有關。因此，. 失敗時間的 cdf 可表達為. 𝐺𝐺(𝑦𝑦) = �. 𝐺𝐺1 (𝑦𝑦) = 𝐹𝐹(𝑦𝑦; 𝜆𝜆1 , 𝛾𝛾), 𝐺𝐺2 (𝑦𝑦) = 𝐹𝐹(𝑦𝑦 + 𝑠𝑠 − 𝑡𝑡1 ; 𝜆𝜆2 , 𝛾𝛾) ,. 0 < 𝑦𝑦 < 𝑡𝑡1 𝑡𝑡1 ≤ 𝑦𝑦 < ∞. (3.3). 其中𝑠𝑠 = 𝑡𝑡1 𝜆𝜆2 ⁄𝜆𝜆1 可使 𝐺𝐺2 (𝑡𝑡1 ) = 𝐺𝐺1 (𝑡𝑡1 )；亦即， 𝐹𝐹(𝑠𝑠; 𝜆𝜆2 , 𝛾𝛾) = 𝐹𝐹(𝑡𝑡1 ; 𝜆𝜆1 , 𝛾𝛾)。. 然而，除了直接對失敗時間分析外，亦可對其取自然對數之轉換，而對數失. 敗時間則服從極端值(extreme value)分配。由於𝐺𝐺(𝑦𝑦) = 𝑃𝑃(𝑌𝑌 ≤ 𝑦𝑦) = 𝑃𝑃(𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑌𝑌 ≤ 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑦𝑦)，可利用標準極端值分配的 cdf 將𝐺𝐺(𝑦𝑦) 重新表達為 6.

(13) 𝐺𝐺(𝑦𝑦) = �. 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑦𝑦 −𝜇𝜇1. 𝐺𝐺1 (𝑦𝑦) = 𝛷𝛷 �. 𝐺𝐺2 (𝑦𝑦) = 𝛷𝛷 �. �,. 𝜎𝜎 𝑙𝑙𝑙𝑙(𝑦𝑦+𝑠𝑠−𝑡𝑡1 )−𝜇𝜇2 𝜎𝜎. 0 < 𝑦𝑦 < 𝑡𝑡1. �,. (3.4). 𝑡𝑡1 ≤ 𝑦𝑦 < ∞. 其中𝛷𝛷(𝑢𝑢) = 1 − 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒(− 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒(𝑢𝑢)), −∞ < 𝑢𝑢 < ∞，為標準極端值的 cdf ， 𝜎𝜎 = 1/𝛾𝛾，𝜇𝜇𝑖𝑖 = 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝜆𝜆𝑖𝑖 , 𝑖𝑖 = 1, 2。. 在 simple SSALT 下失敗時間的 pdf，除可依 Weibull 分配的 pdf 表達為:. 𝑔𝑔(𝑦𝑦) = �. 𝑓𝑓(𝑦𝑦; 𝜆𝜆1 , 𝑟𝑟), 𝑓𝑓(𝑦𝑦 + 𝑠𝑠 − 𝑡𝑡1 ; 𝜆𝜆2 , 𝑟𝑟),. 0 < 𝑦𝑦 < 𝑡𝑡1 𝑡𝑡1 ≤ 𝑦𝑦 < ∞. ,. (3.5). 亦可依標準極端值分配的 pdf 表達為: 1. 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑦𝑦 −𝜇𝜇1. 立 𝜎𝜎. ‧ 國. 𝑔𝑔(𝑦𝑦) = � 1 𝑙𝑙𝑙𝑙(𝑦𝑦+𝑠𝑠−𝑡𝑡1 )−𝜇𝜇2 𝑔𝑔2 (𝑦𝑦) = 𝜎𝜎(𝑦𝑦+𝑠𝑠−𝑡𝑡 ) 𝜙𝜙 � �, 𝜎𝜎 1. 1. 𝑡𝑡1 ≤ 𝑦𝑦 < ∞. (3.6). 學. 𝑔𝑔1 (𝑦𝑦) = 𝜎𝜎𝜎𝜎 𝜙𝜙 �. 政治大 �, 0 < 𝑦𝑦 < 𝑡𝑡. ‧. 其中𝜙𝜙(𝑢𝑢) = 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒(𝑢𝑢 − 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒(𝑢𝑢)) ， − ∞ < 𝑢𝑢 < ∞，為標準極端值的 pdf。. Nat. sit. y. 假定實驗之進行除依簡單加速方式於 𝑡𝑡1 時改變應力，並採用 HCS II 為設限. n. al. er. io. 計劃，結束條件為至少進行到時間點t 2 且失敗數至少為𝑟𝑟，而 𝑡𝑡1 , 𝑡𝑡2 及𝑟𝑟均為事先決. i Un. v. 定。假定有𝑛𝑛個單位參與實驗，從實驗開始到 𝑡𝑡1 為第一階段而應力為𝑥𝑥1 ，從 𝑡𝑡1 到. Ch. engchi. 實驗結束則為第二階段而應力增加為 𝑥𝑥2 。令𝑇𝑇2∗ 為實驗的終止時間，則𝑇𝑇2∗ 為隨機變數且𝑇𝑇2∗ = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚{𝑌𝑌𝑟𝑟:𝑛𝑛 , 𝑡𝑡2 }，其中𝑌𝑌𝑟𝑟:𝑛𝑛 為第𝑟𝑟個失敗的發生時間，𝑟𝑟 ≤ 𝑛𝑛。再令𝑛𝑛1 為. 第一階段的失敗數，𝑛𝑛2 為第二階段於𝑡𝑡2 前的失敗數，𝑛𝑛2∗ 則為第二階段的失敗數。. 當𝑡𝑡2 < 𝑌𝑌𝑟𝑟:𝑛𝑛 時，則𝑛𝑛2∗ = 𝑟𝑟 − 𝑛𝑛1 > 𝑛𝑛2 且𝑇𝑇2∗ = 𝑌𝑌𝑟𝑟:𝑛𝑛 ；反之，則𝑛𝑛2∗ = 𝑛𝑛2 ≥ 𝑟𝑟 − 𝑛𝑛1 且 𝑇𝑇2∗ = 𝑡𝑡2 。. 根據觀察到的𝑌𝑌𝑟𝑟:𝑛𝑛 及其與𝑡𝑡1 、𝑡𝑡2 的關係，對於簡單加速壽命試驗結合 HCS II. 得到的樣本其失敗時間之分布，及𝑟𝑟, 𝑛𝑛1 , 𝑛𝑛2 , 𝑛𝑛2∗ ,𝑇𝑇2∗ , 𝑡𝑡1 , 𝑡𝑡2 間之關係，可整理成以. 下三種情況:. (a)若 𝑦𝑦𝑟𝑟:𝑛𝑛 ≤ 𝑡𝑡1 < 𝑡𝑡2 ，則𝑇𝑇2∗ = 𝑡𝑡2 , 𝑟𝑟 ≤ 𝑛𝑛1, 𝑛𝑛2∗ = 𝑛𝑛2 ，且觀察到的失敗時間為: 7.

(14) 𝑦𝑦1:𝑛𝑛 < · · · < 𝑦𝑦𝑟𝑟:𝑛𝑛 < ⋯ < 𝑦𝑦𝑛𝑛1 :𝑛𝑛 ≤ 𝑡𝑡 1 < 𝑦𝑦𝑛𝑛1 +1:𝑛𝑛 < · · · < 𝑦𝑦𝑛𝑛1 +𝑛𝑛2 :𝑛𝑛 ≤ 𝑡𝑡 2 ；. (b1)若𝑡𝑡1 < 𝑦𝑦𝑟𝑟:𝑛𝑛 ≤ 𝑡𝑡2，則𝑇𝑇2∗ = 𝑡𝑡2 , 𝑟𝑟 > 𝑛𝑛1 , 𝑛𝑛2∗ = 𝑛𝑛2 ≥ 𝑟𝑟 − 𝑛𝑛1，且觀察到的失敗時間為: 𝑦𝑦1:𝑛𝑛 < · · · < 𝑦𝑦𝑛𝑛1:𝑛𝑛 ≤ 𝑡𝑡 1 < 𝑦𝑦𝑛𝑛1+1:𝑛𝑛 < · · · < 𝑦𝑦𝑟𝑟:𝑛𝑛 <· · ·< 𝑦𝑦𝑛𝑛1+𝑛𝑛2:𝑛𝑛 ≤ 𝑡𝑡 2 ；. (b2)若𝑡𝑡2 < 𝑦𝑦𝑟𝑟:𝑛𝑛 ，則T2∗ > 𝑡𝑡2 , 𝑟𝑟 > 𝑛𝑛1 , 𝑛𝑛2∗ = 𝑟𝑟 − 𝑛𝑛1 > 𝑛𝑛2，且觀察到的失敗時間為: 𝑦𝑦1:𝑛𝑛 < ··· < 𝑦𝑦𝑛𝑛1:𝑛𝑛 ≤ 𝑡𝑡 1 < 𝑦𝑦𝑛𝑛1+1:𝑛𝑛 < ··· < 𝑦𝑦𝑛𝑛1+𝑛𝑛2:𝑛𝑛 ≤ 𝑡𝑡 2 < 𝑦𝑦𝑛𝑛1+𝑛𝑛2+1:𝑛𝑛 ··· <. 𝑦𝑦𝑟𝑟:𝑛𝑛 < ∞.. 我們並將𝑟𝑟, 𝑛𝑛1 , 𝑛𝑛2 , 𝑛𝑛2∗ , 𝑡𝑡1 , 𝑡𝑡2 及𝑇𝑇2∗ 間之關係依上述三種情況繪於圖 3-1。. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i Un. v. 圖 3-1. 型二混合設限資料示意圖. 8.

(15) 3.2 最大概似估計法假定𝜆𝜆𝑖𝑖 與應力𝑥𝑥𝑖𝑖 間具指數函數關係，𝜆𝜆𝑖𝑖 = 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒(𝛽𝛽0 + 𝛽𝛽1 𝑥𝑥𝑖𝑖 )， i =1,2 。再令. * r= n1 + n2* 為觀察到的失敗總數，由圖 3.1 可知三種情況下皆為𝑛𝑛1 個單位在第一階. 段失敗，𝑛𝑛2∗ 個單位在第二階段失敗，及𝑛𝑛 − 𝑟𝑟 ∗ 個單位在𝑇𝑇2∗ 時為右設限，則根據式 (3.4) 和式(3.6) ，可得到參數(𝛽𝛽0 , 𝛽𝛽1 , 𝜎𝜎)的概似函數為: 𝑛𝑛1. 𝑟𝑟 ∗. 𝑘𝑘=1. 𝑘𝑘=𝑛𝑛1 +1. 𝑛𝑛! ∗ 𝐿𝐿(𝛽𝛽0 , 𝛽𝛽1 , 𝜎𝜎) = ∗ �� 𝑔𝑔1 (𝑦𝑦𝑘𝑘:𝑛𝑛 )� � � 𝑔𝑔2 (𝑦𝑦𝑘𝑘:𝑛𝑛 )� [1 − 𝐺𝐺2 (𝑇𝑇2∗ )]𝑛𝑛−𝑟𝑟 (3.7) ∗ (𝑛𝑛 )! 𝑟𝑟 ! − 𝑟𝑟 因此，對數概似函數可表示為: 𝑛𝑛2∗. 𝑛𝑛1. 𝑗𝑗=1. 𝑗𝑗=1. 學. ‧ 國. 立. 政治大. 𝑛𝑛2∗. +(𝑛𝑛 − 𝑛𝑛1 − 𝑛𝑛2∗ ) 𝑙𝑙𝑙𝑙[1 − 𝛷𝛷(𝜂𝜂)] ,. y. sit. n. er. io. al. 𝑧𝑧1,𝑗𝑗. 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑦𝑦𝑗𝑗:𝑛𝑛 −(𝛽𝛽0 + 𝛽𝛽1 𝑥𝑥1 ) = , 𝜎𝜎. 𝑧𝑧2,𝑗𝑗 = 𝜂𝜂 =. 𝑗𝑗=1. (3.8). Nat. 其中. ‧. 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐿𝐿 ∝ −(𝑛𝑛1 + 𝑛𝑛2∗ ) 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝜎𝜎 − � 𝑙𝑙𝑙𝑙�𝑦𝑦𝑛𝑛1 +𝑗𝑗:𝑛𝑛 + 𝑠𝑠 − 𝑡𝑡 1 � + � 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝜙𝜙�𝑧𝑧1,𝑗𝑗 � + � 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝜙𝜙�𝑧𝑧2,𝑗𝑗 �. Ch. engchi. 𝑙𝑙𝑙𝑙�𝑦𝑦𝑛𝑛1 +𝑗𝑗:𝑛𝑛 + 𝑠𝑠 − 𝑡𝑡 1 � −(𝛽𝛽0 + 𝛽𝛽1 𝑥𝑥2 ) , 𝜎𝜎. 𝑙𝑙𝑙𝑙(𝑇𝑇2∗ + 𝑠𝑠 − 𝑡𝑡 1 ) −(𝛽𝛽0 + 𝛽𝛽1 𝑥𝑥2 ) . 𝜎𝜎. i Un. v. 𝑗𝑗 = 1,2, … 𝑛𝑛1 𝑗𝑗 = 1,2, … 𝑛𝑛2∗. 分別就式(3.7) 對各參數做一次偏微再令其為 0，則可得到聯立方程式如下: 𝑛𝑛1. 𝑛𝑛2∗. 𝑗𝑗=1. 𝑗𝑗=1. 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕 1 𝜕𝜕𝑧𝑧1,𝑗𝑗 1 𝜕𝜕𝑧𝑧2,𝑗𝑗 1 𝜕𝜕𝜕𝜕(𝜂𝜂) =� +� − (𝑛𝑛 − 𝑛𝑛1 − 𝑛𝑛2∗ ) = 0， 𝜕𝜕𝛽𝛽0 1 − 𝛷𝛷(𝜂𝜂) 𝜕𝜕𝛽𝛽0 𝜙𝜙�𝑧𝑧1,𝑗𝑗 � 𝜕𝜕𝛽𝛽0 𝜙𝜙�𝑧𝑧2,𝑗𝑗 � 𝜕𝜕𝛽𝛽0 9.

(16) 𝑛𝑛2∗. 𝑛𝑛1. 𝑛𝑛2∗. 𝑗𝑗=1. 𝑗𝑗=1. 𝑗𝑗=1. 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 1 1 𝜕𝜕𝑧𝑧1,𝑗𝑗 1 𝜕𝜕𝑧𝑧2,𝑗𝑗 = −� +� +� 𝜕𝜕𝛽𝛽1 𝑦𝑦𝑛𝑛1 +𝑗𝑗 + 𝑠𝑠 − 𝑡𝑡1 𝜕𝜕𝛽𝛽1 𝜙𝜙�𝑧𝑧1,𝑗𝑗 � 𝜕𝜕𝛽𝛽1 𝜙𝜙�𝑧𝑧2,𝑗𝑗 � 𝜕𝜕𝛽𝛽1 −(𝑛𝑛 − 𝑛𝑛1 − 𝑛𝑛2∗ ) 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑛𝑛1 + =− 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜎𝜎. 𝑛𝑛2∗. 𝑛𝑛1. 1 𝜕𝜕𝜕𝜕(𝜂𝜂) = 0， 1 − 𝛷𝛷(𝜂𝜂) 𝜕𝜕𝛽𝛽1. +� 𝑗𝑗=1. −(𝑛𝑛 − 𝑛𝑛1 − 𝑛𝑛2∗ ) 其中. 𝑛𝑛2∗. 𝜕𝜕𝑧𝑧1,𝑗𝑗 1 𝜕𝜕𝑧𝑧2,𝑗𝑗 +� 𝜙𝜙�𝑧𝑧1,𝑗𝑗 � 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜙𝜙�𝑧𝑧2,𝑗𝑗 � 𝜕𝜕𝜕𝜕 1. 𝑗𝑗=1. 1 𝜕𝜕𝜕𝜕(𝜂𝜂) = 0， 1 − 𝛷𝛷(𝜂𝜂) 𝜕𝜕𝜕𝜕. 政治大. 立. ‧ 國. 學. (𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1 )𝑠𝑠 𝜕𝜕𝑧𝑧2,𝑗𝑗 𝜕𝜕𝜕𝜕 1 𝜕𝜕𝑧𝑧2,𝑗𝑗 1 = (𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1 )𝑠𝑠, =− , = � − 𝑥𝑥2 �, 𝜕𝜕𝛽𝛽1 𝜕𝜕𝛽𝛽0 𝜎𝜎 𝜕𝜕𝛽𝛽1 𝜎𝜎 𝑦𝑦𝑛𝑛1 +𝑘𝑘:𝑛𝑛 +𝑠𝑠 − 𝑡𝑡 1. ‧. 𝑧𝑧2,𝑗𝑗 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑧𝑧2,𝑗𝑗 1 𝜕𝜕𝜕𝜕 1 (𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1 )𝑠𝑠 =− , =− , = � ∗ − 𝑥𝑥2 �, 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜎𝜎 𝜕𝜕𝛽𝛽0 𝜎𝜎 𝜕𝜕𝛽𝛽1 𝜎𝜎 𝑇𝑇2 +𝑠𝑠 − 𝑡𝑡 1. Nat. y. sit. al. n. 𝜕𝜕𝜕𝜕(𝜂𝜂) 𝜂𝜂𝜂𝜂(𝜂𝜂) =− . 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜎𝜎. er. io. 𝜂𝜂 𝜕𝜕𝜕𝜕(𝜂𝜂) ∅(𝜂𝜂) 𝜕𝜕𝜕𝜕(𝜂𝜂) 𝜙𝜙(𝜂𝜂) (𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1 )𝑠𝑠 𝜕𝜕𝜕𝜕 =− , =− , = � ∗ − 𝑥𝑥2 �, 𝜎𝜎 𝜕𝜕𝛽𝛽0 𝜎𝜎 𝜕𝜕𝛽𝛽1 𝜎𝜎 𝑇𝑇2 +𝑠𝑠 − 𝑡𝑡 1 𝜕𝜕𝜕𝜕. Ch. engchi. i Un. v. 然而，各參數最大概似估計量(MLE) 的數學式無法直接被表達出，為解出. 最大概似估計值，可採數值分析方法，如常被廣泛使用的 Newton-Raphson 法。對式(3.8) 偏微分兩次加上負號後，再以估計值取代未知參數，則可得到觀察到的訊息矩陣如下:. 𝐼𝐼𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 �𝜃𝜃�� = �−. 𝜕𝜕 2 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙(𝜃𝜃) � 𝜕𝜕𝜃𝜃𝑖𝑖 𝜕𝜕𝜃𝜃𝑗𝑗 �𝜃𝜃 ,𝜃𝜃. � � 𝑖𝑖 𝑗𝑗 �=�𝜃𝜃𝑖𝑖 ,𝜃𝜃𝑗𝑗 �. 其中𝜃𝜃 = (𝜃𝜃1 , 𝜃𝜃2 , 𝜃𝜃3 ) = (𝛽𝛽0 , 𝛽𝛽1 , 𝜎𝜎), 𝜃𝜃�為𝜃𝜃的 MLE。 10. �. 𝑖𝑖,𝑗𝑗=1,2,3.

(17) −1 由於式(3.7) 滿足正規條件，故可視 𝑁𝑁 �𝜃𝜃, 𝐼𝐼𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 �𝜃𝜃�� 為𝜃𝜃�的漸進分配，而 𝐼𝐼𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 �𝜃𝜃��. 則為𝜃𝜃�之漸進共變異數矩陣。. 3.3 參數的區間估計本節將介紹幾種建構信賴區間(confidence interval,簡稱 CI) 的方法，依序是最大概似估計量的漸進信賴區間、基於概似比的漸進信賴區間(Likelihood RatioBased CI) 以及幾種利用拔靴法建構的信賴區間。. 政治大. 立. ‧ 國. 學. 3.3.1 最大概似估計量的漸進信賴區間. � ℎ −𝜃𝜃ℎ 𝜃𝜃. ，其中 𝑉𝑉ℎℎ 是(𝐼𝐼𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 �𝜃𝜃��)−1 中的第 h 個對. y. �𝑉𝑉ℎℎ. sit. Nat. 出各參數 MLE 的漸進樞紐量為. ‧. 在樣本數夠大且滿足正規條件的情況下，依據 MLE 的漸進常態性質，可得. al. n. 的漸進信賴區間如下:. er. io. 角線元素，ℎ = 1,2,3。以漸進樞紐量可建構出 𝜃𝜃ℎ 的100(1-𝛼𝛼)% 最大概似估計量. Ch. en. hi. i Un. v. gc 𝜃𝜃�ℎ ± 𝑧𝑧1−𝛼𝛼/2 �𝑉𝑉ℎℎ , ℎ = 1,2,3,. 其中 𝑧𝑧1−𝛼𝛼/2 是標準常態分配的第 100(1 − 𝛼𝛼/2)百分位數。. 3.3.2 基於概似比的漸進信賴區間 Venzon and Moolgavkar (1988) 指出 MLE 在小樣本下的性質可能與大樣本下的漸進性質差異懸殊，此時若仍以常態分配為其漸進分配，往往造成如此得到的漸進信賴區間覆蓋率偏低的現象。因此，他們提出一個改善方式，利用概似比檢 11.

(18) 定 (Likelihood Ratio Test，LRT) 的統計量具有分配收斂到卡方分配的性質，而得到以概似比統計量為基礎的信賴區間(Likelihood Ratio-Based CI)。以 LRT 對模式中的參數分別檢定 𝐻𝐻ℎ0 : 𝜃𝜃ℎ = 𝜃𝜃ℎ0 𝑣𝑣𝑣𝑣. 𝐻𝐻ℎ1 : 𝜃𝜃ℎ ≠ 𝜃𝜃ℎ0 ，則統. � � 計量為2 �𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙�𝜃𝜃�� − 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 �𝜃𝜃⃗ℎ0 ��，h=1,2,3，而在𝜃𝜃⃗ℎ0 中，𝜃𝜃ℎ 被設定為𝜃𝜃ℎ0 ，至於另二. � 參數的估計值則是在 𝜃𝜃ℎ = 𝜃𝜃ℎ0 之下所求出的 MLE，亦即𝐿𝐿 �𝜃𝜃⃗ℎ0 �是在 𝐻𝐻ℎ0 成立時 � 的最大概似函數值， 𝐿𝐿 �𝜃𝜃⃗ℎ0 � = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃𝑗𝑗, 𝜃𝜃𝑚𝑚, :𝑗𝑗,𝑚𝑚≠ℎ 𝐿𝐿(𝜃𝜃ℎ0 , 𝜃𝜃𝑗𝑗 , 𝜃𝜃𝑚𝑚 )。由於 LRT 檢定統計量具有以下之分配收斂性質:. 政治大. 𝑑𝑑 � 2 �𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙�𝜃𝜃�� − 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 �𝜃𝜃⃗ℎ0 �� → χ 2 . 1. 立. � �𝜃𝜃ℎ : 2 �𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙�𝜃𝜃�� − 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 �𝜃𝜃⃗ℎ �� ≤ χ 2. 1,1−𝛼𝛼. �.. ‧. ‧ 國. 學. 因此，以概似比為基礎可建構出𝜃𝜃ℎ 的 100(1-α)% 漸進信賴區間為以下之集合. er. io. sit. y. Nat. � � 因而，只要𝜃𝜃ℎ 為某一數值時所求算出的𝜃𝜃⃗ℎ 可滿足 2𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 �𝜃𝜃⃗ℎ � ≥ 2𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙�𝜃𝜃� � − χ 2 該數值即被納入到𝜃𝜃ℎ 的信賴區間中。. n. al. Ch. engchi. i Un. ，. 1,1−𝛼𝛼. v. 3.3.3 拔靴信賴區間在建構拔靴信賴區間之前需先產生出拔靴樣本，因而在本小節中，先介紹生成簡單加速試驗及 HCS II 之有母數(parametric) 拔靴樣本的演算法，再介紹架構在拔靴樣本上的幾種信賴區間。令(𝑦𝑦1:𝑛𝑛 , … 𝑦𝑦𝑛𝑛1 :𝑛𝑛 , 𝑦𝑦𝑛𝑛1 +1:𝑛𝑛 , 𝑦𝑦𝑛𝑛1 +2:𝑛𝑛 , … , 𝑦𝑦𝑛𝑛1 +𝑛𝑛2 ∗:𝑛𝑛 ) 為一組型二混合設限的. Weibull 失敗時間樣本，其來源為應力在𝑡𝑡1 時由𝑥𝑥1 增至𝑥𝑥2，至少被觀察到時間點𝑡𝑡2 12.

(19) 且至少有𝑟𝑟個單位失敗。對於這組資料，先計算出參數的 MLE， 𝜃𝜃� = (𝛽𝛽̂0 , 𝛽𝛽̂1 , 𝜎𝜎�)， �0 − 𝛽𝛽 �1 𝑥𝑥1 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑡𝑡1 −𝛽𝛽. 即可據以估計出在𝑡𝑡1 前失敗時的機率 𝑃𝑃�(𝑌𝑌 ≤ 𝑡𝑡1 ) = 𝛷𝛷[. � 𝜎𝜎. ]. 與 𝑠𝑠̂ = 𝑡𝑡1 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒[𝛽𝛽̂1 (𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1 )] 。以下先介紹在 (n, 𝑡𝑡1 , 𝑡𝑡2 , r, 𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ) 為固定且參數值為𝜃𝜃�之下，產生拔靴樣本的步驟。. 步驟 1.生成 n 個 uniform(0,1)的隨機亂數，由小到大排序後得到 (𝑈𝑈1:𝑛𝑛 , … , 𝑈𝑈𝑛𝑛:𝑛𝑛 ) 。步驟 2. 決定第一階段的失敗個數及失敗時間 (2a)決定第一階段的失敗個數𝑛𝑛1𝑏𝑏 :. 𝑈𝑈𝑛𝑛1𝑏𝑏:𝑛𝑛 ≤ 𝛷𝛷[. 𝑛𝑛1𝑏𝑏 可由下式求得. 政治 ] ≤ 𝑈𝑈𝑛𝑛 大 +1:𝑛𝑛 . � 𝜎𝜎. 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑡𝑡1 −𝛽𝛽� 0 − 𝛽𝛽� 1 𝑥𝑥1. 立. 1𝑏𝑏. ‧ 國. 學. (2b)產生𝑛𝑛1𝑏𝑏 個在 𝑡𝑡1 之前的失敗時間:. ‧. ∗ 𝑦𝑦𝑙𝑙:𝑛𝑛 = 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑝𝑝�𝜎𝜎�𝛷𝛷−1 (𝑈𝑈𝑙𝑙:𝑛𝑛 ) + 𝛽𝛽̂0 + 𝛽𝛽̂1 𝑥𝑥1 � , 𝑙𝑙 = 1,2, … , 𝑛𝑛1𝑏𝑏 .. y. Nat. io. sit. 步驟 3. 決定第二階段的失敗個數及失敗時間. er. (3a)決定失敗時間介於 (𝑡𝑡1 , 𝑡𝑡2 ]間的個數 𝑛𝑛2𝑏𝑏 : 𝑛𝑛2𝑏𝑏 可由下式求得. al. n. v C h𝑙𝑙𝑙𝑙(𝑡𝑡 2+𝑠𝑠̂−𝑡𝑡 1)−𝛽𝛽� −U𝛽𝛽� 𝑥𝑥n2 i 𝑈𝑈𝑛𝑛1𝑏𝑏+𝑛𝑛2𝑏𝑏:𝑛𝑛 ≤ 𝛷𝛷[ e n g c� h i ] ≤ 𝑈𝑈𝑛𝑛1𝑏𝑏+𝑛𝑛2𝑏𝑏+1:𝑛𝑛 𝜎𝜎 0. 1. ∗ ∗ (3b)決定實驗的結束時間 𝑡𝑡2𝑏𝑏 及第二階段的失敗個數𝑛𝑛2𝑏𝑏 : ∗ ∗ 若 𝑟𝑟 ≤ 𝑛𝑛1𝑏𝑏 ，則 𝑡𝑡2𝑏𝑏 = 𝑡𝑡2 且 𝑛𝑛2𝑏𝑏 = 𝑛𝑛2𝑏𝑏 ；. 否則，先計算出第 𝑟𝑟個失敗的發生時間. ∗ 𝑦𝑦𝑟𝑟:𝑛𝑛 = 𝑡𝑡1 − 𝑠𝑠̂ + 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒(𝜎𝜎�𝛷𝛷−1 (𝑈𝑈𝑟𝑟:𝑛𝑛 ) + 𝛽𝛽̂0 + 𝛽𝛽̂1 𝑥𝑥2 ),. ∗ ∗ ∗ 若 𝑡𝑡1 < 𝑦𝑦𝑟𝑟:𝑛𝑛 ≤ 𝑡𝑡2 ，則 𝑡𝑡2𝑏𝑏 = 𝑡𝑡2 且 𝑛𝑛2𝑏𝑏 = 𝑛𝑛2𝑏𝑏 ,. ∗ ∗ ∗ ∗ 若 𝑡𝑡2 < 𝑦𝑦𝑟𝑟:𝑛𝑛 ，則 𝑡𝑡2𝑏𝑏 = 𝑦𝑦𝑟𝑟:𝑛𝑛 且 𝑛𝑛2𝑏𝑏 = 𝑟𝑟 − 𝑛𝑛1𝑏𝑏 .. 13. ..

(20) ∗ (3c)計算出第二階段中 𝑛𝑛2𝑏𝑏 個失敗單位之失敗時間: ∗ ∗ 𝑦𝑦𝑗𝑗:𝑛𝑛 = 𝑡𝑡1 − 𝑠𝑠̂ + 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑝𝑝�𝜎𝜎�𝛷𝛷−1 �𝑈𝑈𝑗𝑗:𝑛𝑛 � + 𝛽𝛽̂0 + 𝛽𝛽̂1 𝑥𝑥2 � , 𝑗𝑗 = 𝑛𝑛1𝑏𝑏 + 1, … , 𝑛𝑛1𝑏𝑏 + 𝑛𝑛2𝑏𝑏 .. ∗ ∗ 步驟 4. 合併步驟 2 及 3 得到的失敗時間，及(𝑛𝑛 − 𝑛𝑛1𝑏𝑏 − 𝑛𝑛2𝑏𝑏 )個於𝑦𝑦𝑛𝑛∗ 1𝑏𝑏+𝑛𝑛2𝑏𝑏 :𝑛𝑛 右設. 限的資料，而得到一組拔靴樣本. + ∗ ∗ ∗ ��⃗ ∗ ∗ 𝑦𝑦 ∗ = �𝑦𝑦1:𝑛𝑛 , … , 𝑦𝑦𝑛𝑛∗1𝑏𝑏:𝑛𝑛 , 𝑦𝑦𝑛𝑛∗ 1𝑏𝑏+1:𝑛𝑛 , … , 𝑦𝑦𝑛𝑛∗ 1𝑏𝑏+𝑛𝑛2𝑏𝑏 :𝑛𝑛 , (𝑛𝑛 − 𝑛𝑛1𝑏𝑏 − 𝑛𝑛2𝑏𝑏 )⨂𝑦𝑦𝑛𝑛1𝑏𝑏 +𝑛𝑛2𝑏𝑏 :𝑛𝑛 � ， +. ∗ ∗ ∗ 而(𝑛𝑛 − 𝑛𝑛1𝑏𝑏 − 𝑛𝑛2𝑏𝑏 )⨂𝑦𝑦𝑛𝑛∗ 1𝑏𝑏+𝑛𝑛2𝑏𝑏 :𝑛𝑛 表示有(𝑛𝑛 − 𝑛𝑛1𝑏𝑏 − 𝑛𝑛2𝑏𝑏 )個資料右設限於. 𝑦𝑦𝑛𝑛∗ 1𝑏𝑏+𝑛𝑛∗. 2𝑏𝑏 :𝑛𝑛. 。. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. 再對此組樣本估計各參數的 MLE，記為 𝜃𝜃� ∗ = (𝜃𝜃�1∗ , 𝜃𝜃�2,∗ 𝜃𝜃�3∗ )𝑇𝑇 = (𝛽𝛽̂0∗ , 𝛽𝛽̂1∗ , 𝜎𝜎� ∗ )𝑇𝑇 。步驟 5. 重複步驟 1 至 4 共計 B 次，即可得到 B 組拔靴樣本及對應的 MLE (簡. io. (𝑏𝑏) 及𝜃𝜃� ∗ ，b=1,…,B。再對各參數的 B 個 BMLE 值. y. (𝑏𝑏). sit. Nat. 𝑦𝑦 ∗ 稱 BMLE) ，分別記為 ��⃗. al. iv n C BMLE，即可提供後續建構各種拔靴信賴區間之依據。 hengchi U n. 取得排序後的. er. [1] [2] [𝐵𝐵] 由小到大排序，得到�𝜃𝜃�ℎ∗ , 𝜃𝜃�ℎ∗ , … , 𝜃𝜃�ℎ∗ � ，ℎ = 1,2,3。. 3.3.3.1 百分位數拔靴信賴區間在信心水準為 100(1-𝛼𝛼)%下，有 2 種方法是以 BMLE 值的百分位數建構百分位數拔靴信賴區間 (Percentile Bootstrap CI)，簡稱為 PBCI1、PBCI2。以參數 𝜃𝜃ℎ , h=1,2,3, 為例說明如下:. [𝑖𝑖] [(1−𝛼𝛼)𝐵𝐵+𝑖𝑖] 1. 先找出 𝛼𝛼𝐵𝐵個區間，其形式為�𝜃𝜃�ℎ∗ , 𝜃𝜃�ℎ∗ � , i=1,…, 𝛼𝛼𝛼𝛼，再以其中寬度 ∗ �∗ 最窄的區間為 𝜃𝜃ℎ 的 100(1-𝛼𝛼)% PBCI1，(𝜃𝜃�ℎ𝐿𝐿 , 𝜃𝜃ℎ𝑈𝑈 )。 14.

(21) 2. 以 BMLE 的第[0.5𝛼𝛼𝛼𝛼]順序統計量為區間之下界，第[(1 − 0.5𝛼𝛼)𝐵𝐵]順序統計量為區間之上界。因此， 𝜃𝜃ℎ 的 100(1-𝛼𝛼)% PBCI2 為�𝜃𝜃�ℎ∗. [0.5𝛼𝛼𝛼𝛼]. , 𝜃𝜃�ℎ∗. [(1−0.5𝛼𝛼)𝐵𝐵]. �。. 3.3.3.2 調整百分位數拔靴信賴區間當 𝜃𝜃�ℎ 的分配有所偏斜時， DiCiccio and Efron (1996)提出以偏差修正 (bias-. correction)因子與加速 (acceleration)因子，調整直接由 𝜃𝜃�ℎ 的拔靴樣本得到的百分. 政治大 � �. 位數，藉以增加拔靴信賴區間的準確性，如此得到的信賴區間簡稱為BC𝑎𝑎 。. 立. ‧ 國. 𝑧𝑧̂ ℎ0 +𝑧𝑧𝛼𝛼/2. 1−𝑎𝑎�ℎ (𝑧𝑧̂ ℎ0 +𝑧𝑧𝛼𝛼/2 ). , 𝜃𝜃ℎ∗. [(1−𝛼𝛼ℎ𝑈𝑈 )𝐵𝐵]. )，. + 𝑧𝑧̂ℎ0 � , 𝛼𝛼ℎ𝑈𝑈 = 𝛷𝛷𝑍𝑍 (. 1−𝑎𝑎�ℎ (𝑧𝑧̂ ℎ0 +𝑧𝑧1−𝛼𝛼/2 ). sit. n. [𝑗𝑗] 1 𝑧𝑧̂ℎ0 ＝𝛷𝛷𝑍𝑍−1 �𝐵𝐵 ∑𝐵𝐵𝑗𝑗=1 𝛿𝛿( �𝜃𝜃ℎ∗ < 𝜃𝜃�ℎ )�,. 𝑎𝑎�ℎ 為估計的加速因子: 𝑎𝑎�ℎ =. − 𝜃𝜃�ℎ (∙). 3 2 ]2 �. ,. i Un. ℎ = 1,2,3,. engchi. 𝑟𝑟 ∗ � ∑𝑖𝑖=1 [𝜃𝜃ℎ (∙) − 𝜃𝜃�ℎ (−𝑖𝑖) ]3. 𝑟𝑟 ∗ � 6 �∑𝑖𝑖=1 [𝜃𝜃ℎ (−𝑖𝑖). er. io. 𝑧𝑧̂ℎ0 為估計的偏差修正因子:. Ch. + 𝑧𝑧̂ℎ0 ),. y. Nat. 𝛷𝛷𝑍𝑍 �．�是標準常態分配的 cdf，. al. 𝑧𝑧̂ ℎ0 +𝑧𝑧1−𝛼𝛼/2. ‧. 其中 𝛼𝛼ℎ𝐿𝐿 = 𝛷𝛷𝑍𝑍 �. [𝛼𝛼ℎ𝐿𝐿 𝐵𝐵]. 學. 𝜃𝜃ℎ 的 100(1-𝛼𝛼)% BC𝑎𝑎 信賴區間為 (𝜃𝜃ℎ∗. v. ℎ = 1,2,3,. 而𝜃𝜃�ℎ (−𝑖𝑖) 是原樣本中去掉第 i 個失敗時間後對𝜃𝜃ℎ 得到的 MLE，且原樣本中 1 𝑟𝑟 𝜃𝜃�ℎ (−𝑖𝑖) . 共有𝑟𝑟 ∗ 個實驗單位失敗;而 𝜃𝜃�ℎ (⋅) = ∗ ∑𝑖𝑖=1 𝑟𝑟 ∗. 15.

(22) 3.3.3.3 拔靴 t 信賴區間對估計量標準化時，若分母帶入的是該估計量的估計標準差，則在形式上類 � �𝜃𝜃�ℎ �]1/2 為基礎，只要知道𝑇𝑇ℎ,𝛼𝛼/2 及同於 t 統計量，故可採𝑇𝑇ℎ = (𝜃𝜃�ℎ − 𝜃𝜃ℎ )/[𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 𝑇𝑇ℎ,1−𝛼𝛼/2 ，其中𝑃𝑃(𝑇𝑇ℎ ≤ 𝑇𝑇ℎ,𝑝𝑝 ) = 𝑝𝑝，即可得到信賴區間為. �𝜃𝜃�ℎ − 𝑇𝑇ℎ,1−𝛼𝛼 �𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉�𝜃𝜃�ℎ �, 𝜃𝜃�ℎ − 𝑇𝑇ℎ,𝛼𝛼 �𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉�𝜃𝜃�ℎ ��. 2. 2. 然而，𝑇𝑇ℎ,𝛼𝛼/2 及𝑇𝑇ℎ,1−𝛼𝛼/2 均為未知，但可由拔靴樣本估計之，如此求得之區間被稱之為拔靴 t 信賴區間(bootstrap T CI，簡稱 BTCI)。此外，如同百分位數拔靴信賴. 治政區間，又可按照對𝑇𝑇 的分配之百分位數的選取方法而區分為大 BTCI1 及 BTCI2，立建構之步驟如下: ℎ. � ∗ [𝑘𝑘] ) �𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 � (𝜃𝜃. sit. y. ℎ. , 𝑘𝑘=1,…,B ，. al. er. [𝑘𝑘] 為𝜃𝜃�ℎ∗ 之估計標準誤；再將其由小到大排序為. n. 1/2. )�. io. [𝑘𝑘]. Nat. � (𝜃𝜃�ℎ∗ 其中�𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉. =. � ∗ [𝑘𝑘] −𝜃𝜃 �ℎ 𝜃𝜃 ℎ. ‧. ‧ 國. 學. 步驟 1.. [𝑘𝑘] 先計算出各 BMLE 的類 t 統計量之值， 𝑇𝑇ℎ∗. [𝑘𝑘] [1] [2] (𝑇𝑇ℎ∗ , 𝑇𝑇ℎ∗ , … , 𝑇𝑇ℎ∗ ). Ch. engchi. i Un. v. 步驟 2. 計算出 BTCI1 或 BTCI2: [𝑖𝑖]. 方法 1. 先找出𝑇𝑇ℎ∗ 的𝛼𝛼𝐵𝐵個區間，其形式為�𝑇𝑇ℎ∗ , 𝑇𝑇ℎ∗. [(1−𝛼𝛼)𝐵𝐵+𝑖𝑖]. � , 𝑖𝑖=1,…, 𝛼𝛼𝛼𝛼，再取. ∗ ∗ 其中寬度最窄的區間，令其為(𝑇𝑇ℎ𝐿𝐿 , 𝑇𝑇ℎ𝑈𝑈 )。是以 𝜃𝜃ℎ 的 100(1-𝛼𝛼)% TBCI1 為 ∗ �𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 ∗ �𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 � �𝜃𝜃�ℎ � ， 𝜃𝜃�ℎ − 𝑇𝑇ℎ𝐿𝐿 � �𝜃𝜃�ℎ �� . �𝜃𝜃�ℎ − 𝑇𝑇ℎ𝑈𝑈. 方法 2. 分別以𝑇𝑇ℎ∗ 的第[0.5𝛼𝛼𝛼𝛼]順序統計量帶入區間之下界，第[(1 − 0.5𝛼𝛼)𝐵𝐵]順序統計量帶入區間之上界，則𝜃𝜃ℎ 的 100(1-α)% BTCI2 為 16.

(23) 𝛼𝛼. 𝛼𝛼𝛼𝛼. ��1− �𝐵𝐵� � �𝜃𝜃�ℎ � ， 𝜃𝜃� − 𝑇𝑇ℎ∗ � 2 � �𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 � �𝜃𝜃�ℎ �� . 2 �𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 �𝜃𝜃�ℎ − 𝑇𝑇ℎ∗. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 17. i Un. v.

(24) 第四章模擬結果為了檢視點估計和各種區間估計方法的表現，我們將參數值設定在 𝛽𝛽0= 1,. 𝛽𝛽1 =−2, 𝜎𝜎 = 3，應力水準設定為 (𝑥𝑥1 , 𝑥𝑥2 ) = (0.2, 1)，考慮了(𝑛𝑛, 𝑟𝑟)分別為(50, 40). 和(100, 80)，與 10 組不同的(𝑡𝑡1 , 𝑡𝑡2 )，共計 20 種(𝑛𝑛, 𝑟𝑟)及(𝑡𝑡1 , 𝑡𝑡2 )的情況。在各種情況下以蒙地卡羅法模擬出 1000 組 HCS II 樣本，先計算出各組樣本的 MLE，. 據以計算各參數的平均偏差(bias)、均方誤差 (Mean Square Error, 簡稱 MSE)和其他評估指標；亦對這 1000 組樣本分別求算各參數的最大概似估計量的漸進信. 政治大 MLE 值再生成 500 組拔靴樣本立，以分別求算第三章所介紹的 5 種拔靴信賴區間；賴區間及基於概似比的漸進信賴區間；再利用拔靴法，對各組樣本依其對應之. ‧. ‧ 國. 學. 再求算各種信賴區間的覆蓋率(coverage rate)。. sit. y. Nat. 4.1 點估計之評估. n. al. er. io. 點估計方面，分別以各參數的平均偏差及 MSE 為評估之依據。其中參數 𝜃𝜃ℎ 的. 平均偏差及 MSE 分別為. 𝑏𝑏(𝜃𝜃ℎ ) =. � ∑1000 𝑗𝑗=1 𝜃𝜃ℎ,𝑗𝑗 1000. 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀(𝜃𝜃ℎ ) =. Ch. engchi. i Un. v. − 𝜃𝜃ℎ ,. 2 � ∑1000 𝑗𝑗=1 (𝜃𝜃ℎ,𝑗𝑗 − 𝜃𝜃ℎ ). 1000. ,. ℎ = 1,2,3. 而𝜃𝜃�ℎ,𝑗𝑗 是由第 j 組蒙地卡羅法樣本得到之 𝜃𝜃ℎ 的 MLE。比較表 4-1 及 4-2，各參數的 MSE 及絕對偏差皆為樣本數較少(𝑛𝑛=50)下的數值大於樣本數較大(𝑛𝑛=100)下的數值，顯示增加樣本數可降低絕對偏差及 MSE。從平均偏誤而言，𝛽𝛽1被高估，𝛽𝛽0及𝜎𝜎被低估。就絕對偏差而言，𝛽𝛽1的絕對偏差在 18.

(25) 三個參數中均為最大；𝑛𝑛=50 時，𝜎𝜎的絕對偏差在三個參數中均為最小；𝑛𝑛=100 時，則𝜎𝜎與𝛽𝛽0的絕對偏差相當接近。固定 𝑡𝑡2 之下，𝑛𝑛=100 時，𝛽𝛽0及𝜎𝜎的 MSE 及絕對偏差隨𝑡𝑡1 增加而遞減，但𝛽𝛽1則只有絕對偏差隨𝑡𝑡1 增加而遞減；𝑛𝑛=50 時，𝜎𝜎的 MSE. 及絕對偏差隨𝑡𝑡1 增加而遞減。然而，固定𝑡𝑡1 之下，各參數的 MSE 及絕對偏差在. 不同的 𝑡𝑡2 下則差異不大且未必隨 𝑡𝑡2 而遞增。將各參數的 MSE 加總可得到 SMSE，. 表 4-3 顯示固定𝑡𝑡1 之下，SMSE 大致隨著 𝑡𝑡2 而遞減。. 由於三個參數的設定值大小不一，因而計算出相對絕對偏差及相對的 MSE，. 分別列於表 4-4 及 4-5。在𝑛𝑛=100 且𝑡𝑡1 =1 及𝑛𝑛=50 時，𝜎𝜎的絕對偏差最小，但𝑛𝑛=100. 且𝑡𝑡1 =2 或 3 時，則β0 的絕對偏差最小。就總相對偏差及總相對 MSE 的表現來看，. 治政由表 4-6 可發現，固定 𝑡𝑡 之下，兩者均隨𝑡𝑡 而遞減：而固定𝑡𝑡 之下，總相對偏差大立及總相對 MSE 在不同的 𝑡𝑡 之間差異不大。 1. 2. 1. 學. ‧. ‧ 國. 2. 4.2 區間估計之評估. sit. y. Nat. io. er. 對於區間估計之評估採用的是覆蓋率，乃某方法在某情況下的所有信賴區間. al. iv n C hengchi U 4-1 及 4-2 可發現，各種情況下皆為樣本數較大(𝑛𝑛=100)時的覆蓋率較接近信心水 n. 中包含設定之參數值的比率，理想表現為覆蓋率與信心水準相當接近。比較表. 準，且某些方法在樣本數較小(𝑛𝑛=50)時會出現覆蓋率過高或過低的現象，如: 1 − 𝛼𝛼 =0.90，(𝑡𝑡1 , 𝑡𝑡2 ) = (3,4)時𝛽𝛽1的覆蓋率為 98.4%，而(𝑡𝑡1 , 𝑡𝑡2 ) = (2,6)時𝜎𝜎的覆. 蓋率為 79.9%。由於共有 7 種信賴區間，先從兩種 PBCI 和兩種 BTCI 中各自選出較佳的方法作為代表。PBCI1 及 BTCI1 均以長度最短為原則選取百分位數，當原始樣本數較少時，較易受到各種拔靴樣本之偏斜程度的影響，導致 PBCI1 和 BTCI1 的覆蓋率不穩定，如：在小樣本(𝑛𝑛=50)及𝑡𝑡1 =2 或 3 時，BTCI1 在𝛽𝛽1的信賴區間之覆蓋率上明顯高於信心水準，但在 𝛽𝛽0 和𝜎𝜎 方面則低於信心水準，而. BTCI2 的覆蓋率則較接近信心水準；同樣在小樣本(𝑛𝑛=50)下，PBCI1 在𝜎𝜎的信賴 19.

(26) 區間之覆蓋率上往往低於信心水準許多，而 PBCI2 的覆蓋率則較接近信心水準。因此，較佳的方法為 PBCI2 和 BTCI2，接下來只針對 ASCI、LRCI、PBCI2、BCa 及 BTCI2 討論。. 各方法在不同的樣本數及𝑡𝑡1 , 𝑡𝑡2 下，𝛽𝛽0的信賴區間之覆蓋率幾乎都低於信心. 水準；在𝑛𝑛=100 且1 − 𝛼𝛼 =0.90 以及𝑛𝑛=50 之下，𝜎𝜎的信賴區間之覆蓋率幾乎都低於. 信心水準。n=100 時，以 ASCI、LRCI、PBCI2 及BCa 方法得到𝛽𝛽1的 90%信賴區. 間，在 12 種情況中覆蓋率至少 90%與未達 90%各佔一半，但這四種方法得到的 𝛽𝛽1的 95%信賴區間中，則只在 3 或 4 種情況下覆蓋率至少達 95%。 ASCI 和 LRCI. 不論在大樣本(n=100)或小樣本(n=50)的覆蓋率都接近設定的信心水準。而在拔靴. 治政信賴區間法中，PBCI2 的覆蓋率略低於 ASCI 和 LRCI；BC 大在大樣本(n=100)或立小樣本(n=50)情況下，覆蓋率皆能修正 PBCI 的缺點，BC 的覆蓋率稍高於 PBCI2； ‧ 國. 學. a. a. BTCI2 在 n=50 時，對𝛽𝛽1 、𝜎𝜎的信賴區間之覆蓋率皆高於 PBCI2，對𝛽𝛽0的信賴區. ‧. 間之覆蓋率則低於 PBCI2；在 n=100 時，BTCI2 和 PBCI2 對𝛽𝛽1 、𝜎𝜎的信賴區間之. sit. y. Nat. 覆蓋率相近，BTCI2 對𝜎𝜎的信賴區間之覆蓋率皆高於 PBCI2。. io. er. 各參數在 12 種情況下的平均覆蓋率列於表 4-7。大體而言，n=100 時的平均覆蓋率較 n=50 時得到的平均覆蓋率較接近信心水準；n=50 得到的平均覆蓋率較. al. n. iv n C 1 − 𝛼𝛼 =0.90 時之於𝛽𝛽 ，以及1 − 𝛼𝛼 =0.95 時BCa 之於𝛽𝛽0 h ePBCI2 n g c h i1 U. 接近信心水準的是:. 與 BTCI2 之於𝛽𝛽1。表 4-7 中也列出對 3 個參數的平均覆蓋率再平均後的整體平均. 覆蓋率，及整體平均覆蓋率與信心水準之絕對差，除 BTCI2 之外，其餘四種方法均為 n=100 時的整體平均覆蓋率較 n=50 時接近信心水準；雖然 BTCI2 在樣本數較少時(n=50)反而整體平均覆蓋率較為接近信心水準，但各參數平均覆蓋率間的變異性卻較 n=100 時大。. 20.

(27) 表 4-1. (𝒏𝒏, 𝒓𝒓) = (𝟓𝟓𝟓𝟓, 𝟒𝟒𝟒𝟒)及不同(𝒕𝒕𝟏𝟏 , 𝒕𝒕𝟐𝟐 )之下各參數的點估計表現及各信賴區間之覆蓋率 t1 t2. 90%. BIAS. MSE. AS. LR. PB1. PB2. 95%. BCA. BT1. BT2. AS. LR. PB1. PB2. BCA. BT1. BT2. -0.10388 0.46863 87.8% 87.4% 86.4% 87.9% 87.5% 87.3% 86.6% 93.2% 92.9% 91.6% 92.9% 92.3% 93.4% 92.7% 1. 2. 1. 3. 0.12388 0.65250 89.2% 89.7% 88.6% 89.0% 89.1% 97.9% 93.0% 93.7% 93.3% 93.6% 94.3% 93.0% 98.9% 95.8% -0.07565 0.24936 89.2% 88.0% 88.6% 89.0% 89.1% 97.9% 93.0% 93.7% 92.4% 93.6% 94.3% 93.4% 98.9% 95.8% -0.09411 0.47253 87.4% 87.3% 87.1% 88.5% 87.1% 87.7% 88.2% 93.3% 93.4% 92.5% 93.1% 92.6% 93.9% 92.2% 0.12696 0.66248 89.0% 89.0% 87.6% 88.5% 89.3% 97.9% 93.3% 93.2% 92.6% 93.4% 93.7% 93.6% 99.0% 95.7% -0.06361 0.24166 87.1% 88.3% 80.5% 85.7% 86.7% 83.9% 91.9% 91.8% 93.1% 86.0% 90.0% 90.8% 92.3% 96.0% -0.08967 0.47748 87.8% 87.8% 85.6% 87.0% 87.5% 87.0% 87.8% 92.7% 94.2% 91.2% 91.8% 94.3% 92.7% 93.5%. 1. 4. 政治大. 0.12441 0.66656 89.0% 89.2% 87.3% 88.0% 88.7% 88.0% 88.5% 93.4% 92.8% 92.8% 93.6% 93.7% 93.5% 93.6% -0.05899 0.23284 86.9% 85.7% 83.7% 85.9% 88.0% 88.8% 89.3% 92.7% 91.4% 90.2% 91.3% 93.7% 92.6% 93.8%. 1. 5. -0.08898 0.47431 88.0% 88.5% 86.1% 87.2% 87.3% 87.0% 87.4% 92.7% 93.1% 91.9% 92.2% 92.9% 93.3% 93.5% 0.12356 0.66369 89.0% 88.0% 87.8% 88.6% 89.3% 88.2% 88.7% 93.3% 93.4% 93.2% 94.0% 94.3% 93.5% 93.8%. 立. -0.05795 0.22105 87.7% 86.9% 84.2% 85.6% 87.0% 88.0% 89.4% 92.4% 91.6% 89.7% 91.3% 92.0% 93.9% 94.1%. ‧ 國. 6. 學. -0.08921 0.46963 87.6% 87.5% 86.1% 87.7% 87.6% 88.4% 88.7% 93.3% 94.3% 93.2% 93.3% 92.2% 93.3% 94.0% 1. 0.12360 0.66273 89.2% 88.6% 87.2% 88.8% 89.5% 88.5% 88.8% 93.5% 94.1% 93.6% 94.0% 94.5% 93.6% 94.5% -0.05784 0.21351 87.4% 87.0% 84.8% 86.4% 84.0% 89.0% 89.7% 92.6% 92.2% 90.4% 91.8% 91.5% 93.6% 94.5%. 3. -0.07269 0.39094 88.5% 88.6% 88.5% 89.6% 87.9% 87.7% 88.1% 92.8% 93.5% 92.3% 93.5% 95.8% 93.0% 91.7% 0.09685 0.63977 90.5% 90.1% 90.4% 90.3% 90.8% 98.3% 92.7% 95.6% 93.7% 94.0% 94.5% 94.7% 98.5% 96.5%. ‧. 2. -0.05219 0.21879 86.2% 84.5% 88.5% 89.6% 89.0% 87.7% 88.1% 92.8% 91.0% 92.3% 93.5% 93.2% 93.0% 91.7%. y. sit. 5. -0.07094 0.39434 88.6% 88.2% 89.0% 89.9% 88.5% 87.9% 87.3% 92.9% 93.6% 92.7% 93.5% 93.0% 93.0% 91.9% 0.10869 0.63537 89.4% 89.0% 88.7% 89.0% 89.7% 98.0% 92.9% 94.1% 92.6% 93.2% 93.8% 94.0% 98.5% 95.9%. n. al. er. 2. 0.10540 0.62957 90.1% 89.8% 89.4% 89.2% 90.3% 97.9% 92.6% 95.1% 94.2% 93.7% 93.4% 95.0% 98.4% 95.6% -0.04751 0.21422 86.8% 85.9% 83.0% 84.7% 85.0% 86.0% 93.6% 93.0% 92.0% 85.2% 91.6% 91.9% 93.7% 95.8%. io. 4. Nat. -0.07064 0.39416 88.4% 87.9% 88.9% 89.4% 88.2% 86.7% 86.7% 92.7% 93.9% 91.9% 92.2% 97.2% 92.6% 92.3% 2. iv n U 94.6% 94.3% 89.1% 97.9% 92.8% i e h n c g 85.8% 86.5% 84.5% 92.9% 93.6% 93.4%. -0.04670 0.20423 87.0% 87.6% 81.5% 85.2% 87.4% 86.4% 92.7% 93.7% 94.3% 86.0% 91.4% 94.7% 92.8% 95.9% -0.06891 0.39798 88.5% 88.0% 88.5% 89.0% 89.2% 87.1% 86.3% 92.8% 94.7% 92.5% 93.2% 93.5% 92.5% 91.2% 2. 6. 0.10763 0.63482 89.6% 89.5%. Ch 88.7% 88.8%. 93.1% 94.0% 95.1% 98.5% 96.5%. -0.04416 0.20102 87.7% 87.5% 79.9% 86.3% 91.2% 92.3% 93.0% 95.6% -0.04926 0.37011 89.1% 89.0% 90.6% 91.6% 90.1% 87.5% 88.6% 94.4% 94.6% 95.1% 95.3% 98.6% 92.2% 92.5% 3. 4. 0.06902 0.68200 91.5% 90.4% 91.5% 91.0% 91.0% 98.4% 92.5% 96.4% 95.2% 93.4% 94.9% 93.7% 98.7% 96.5% -0.03268 0.20678 87.3% 87.1% 80.9% 86.4% 87.1% 85.5% 91.9% 92.4% 92.2% 86.7% 92.1% 92.1% 92.0% 95.4% -0.04738 0.37033 88.2% 88.9% 89.7% 89.9% 90.2% 86.0% 86.9% 94.5% 93.7% 93.6% 93.5% 94.4% 91.2% 91.0%. 3. 5. 0.07257 0.64775 90.3% 90.0% 90.6% 89.6% 90.3% 97.6% 92.7% 95.1% 94.5% 94.7% 94.7% 94.5% 98.1% 95.6% -0.02987 0.20461 87.5% 85.9% 81.4% 87.4% 88.1% 85.8% 92.6% 92.2% 90.5% 87.7% 92.4% 94.1% 92.9% 95.5%. 3. 6. -0.04733 0.37138 88.4% 88.1% 89.2% 89.6% 89.7% 85.6% 85.0% 94.5% 93.7% 93.6% 93.6% 94.6% 91.6% 91.7% 0.07385 0.64491 89.5% 89.0% 90.1% 89.3% 90.1% 97.9% 92.0% 94.8% 93.9% 93.3% 93.9% 93.9% 98.4% 95.5% -0.02928 0.19911 88.2% 86.4% 81.0% 86.5% 89.3% 85.0% 92.0% 92.3% 90.4% 87.2% 92.0% 93.4% 92.0% 96.0%. 21.

(28) 表 4-2. (𝒏𝒏, 𝒓𝒓) = (𝟏𝟏𝟏𝟏𝟎𝟎, 𝟖𝟖𝟎𝟎)及不同(𝒕𝒕𝟏𝟏 , 𝒕𝒕𝟐𝟐 )之下各參數的點估計表現及各信賴區間之覆蓋率 t1 t2 1. 2. 90%. 95%. MSE AS LR PB1 PB2 BCA BT1 BT2 AS LR PB1 PB2 BCA BT1 BT2 BIAS -0.03983 0.23430 88.5% 88.3% 87.2% 88.8% 89.0% 88.0% 89.5% 93.9% 94.6% 93.4% 94.1% 94.3% 93.5% 94.6% 0.04651 0.29664 90.9% 90.1% 89.7% 90.3% 91.3% 89.9% 90.7% 95.0% 94.8% 94.4% 95.0% 95.2% 94.2% 94.0% -0.04059 0.11640 88.9% 87.2% 86.2% 87.6% 88.7% 88.3% 90.1% 93.4% 92.0% 90.9% 92.2% 92.3% 93.9% 95.2% -0.03117 0.23444 89.3% 89.0% 86.8% 88.4% 88.9% 88.5% 90.4% 94.1% 95.5% 93.1% 93.6% 94.0% 94.3% 95.2%. 1. 3. 0.04965 0.30225 90.3% 90.4% 89.9% 90.3% 90.5% 89.9% 90.9% 94.7% 94.4% 93.9% 94.1% 94.3% 95.0% 94.7% -0.02963 0.11092 89.6% 88.6% 86.6% 88.0% 89.3% 89.0% 89.7% 94.3% 94.1% 92.0% 92.6% 93.1% 93.4% 94.9% -0.03240 0.23184 88.2% 88.0% 88.2% 89.1% 89.7% 87.5% 89.7% 93.9% 94.3% 94.5% 94.4% 94.3% 94.5% 95.0%. 1. 4. 政治大. 0.04953 0.30236 90.2% 89.7% 90.7% 91.4% 90.0% 90.4% 91.4% 94.7% 93.4% 94.4% 95.2% 94.8% 94.8% 94.6% -0.03075 0.10748 89.2% 89.1% 87.9% 89.3% 90.2% 88.9% 90.9% 93.8% 94.2% 92.9% 93.2% 94.6% 94.5% 95.3% -0.03276 0.22953 87.4% 87.9% 86.6% 87.3% 88.1% 89.0% 89.8% 94.3% 95.2% 93.8% 94.0% 94.2% 94.2% 95.1%. 1. 5. 立. 0.04935 0.30154 90.4% 90.5% 89.5% 90.4% 90.3% 91.0% 91.1% 94.6% 95.7% 94.6% 94.6% 95.4% 94.5% 94.9% -0.03093 0.10331 89.8% 89.7% 86.8% 88.7% 89.7% 89.6% 91.1% 93.5% 94.9% 91.8% 92.7% 93.7% 94.0% 95.3%. ‧ 國. 6. 學. -0.03366 0.22654 88.2% 88.5% 86.3% 86.9% 89.7% 86.3% 88.2% 94.1% 95.2% 92.8% 94.1% 94.3% 93.9% 94.1% 1. 0.04993 0.30045 90.4% 89.9% 89.5% 89.8% 90.1% 90.2% 90.9% 94.9% 94.1% 93.7% 95.0% 95.2% 94.4% 94.5% -0.03175 0.10011 89.6% 90.1% 87.9% 89.2% 90.4% 89.3% 90.1% 94.1% 95.1% 92.8% 93.1% 94.2% 94.1% 95.6% -0.02495 0.20156 88.4% 88.7% 88.7% 88.8% 88.9% 88.4% 88.4% 93.9% 93.5% 93.5% 93.4% 93.4% 93.1% 94.0%. 3. 0.03396 0.31066 90.6% 89.3% 89.3% 90.1% 89.5% 88.3% 89.3% 95.0% 94.2% 94.2% 94.2% 94.7% 93.2% 93.3%. ‧. 2. -0.02836 0.10022 90.8% 89.3% 87.8% 89.2% 90.3% 89.3% 89.3% 93.8% 94.0% 92.4% 93.3% 93.8% 94.3% 95.1% 0.04233 0.30794 89.4% 90.4% 89.5% 89.2% 89.6% 88.3% 89.1% 95.2% 95.0% 94.1% 94.8% 95.1% 93.9% 94.2%. y. 4. Nat. -0.02292 0.20222 88.7% 87.9% 87.9% 88.6% 89.0% 87.7% 88.1% 93.8% 92.8% 92.8% 93.6% 93.8% 93.0% 93.3% 2. sit. -0.02369 0.09701 90.8% 87.2% 88.1% 90.1% 90.1% 90.2% 90.8% 94.7% 92.9% 93.9% 94.4% 93.9% 94.6% 96.0% 0.04308 0.31068 88.9% 90.5% 88.4% 88.9% 89.3% 88.4% 89.3% 94.9% 95.9% 93.7% 93.9% 94.6% 93.1% 94.1% -0.02616 0.09489 90.6% 90.1% 88.3% 89.5% 90.4% 89.9% 90.1% 94.3% 94.8% 92.9% 93.8% 94.4% 94.9% 96.1%. n. al. er. 5. io. -0.02520 0.20033 88.9% 88.0% 87.8% 87.5% 87.9% 87.2% 87.7% 93.6% 93.2% 93.0% 93.0% 93.4% 92.1% 92.9% 2. iv n 89.6% 94.6% 95.7% i U94.9% e89.5% n g88.0% c h90.7% 89.3% 90.7% 89.3% 93.3%. -0.02453 0.20146 89.0% 89.0% 88.0% 87.7% 88.3% 87.1% 87.4% 93.5% 94.1% 93.0% 93.6% 93.4% 92.7% 92.8% 2. 6. 0.04211 0.31045 89.4% 89.7%. Ch 87.9% 88.6%. -0.02546 0.09233 91.4% 88.3% 88.4%. 93.8% 94.5% 94.7% 93.5% 93.7% 93.4% 94.3% 94.7% 95.6% 95.3%. -0.01278 0.19211 88.9% 89.8% 88.9% 88.9% 89.3% 87.2% 87.1% 93.7% 94.4% 93.5% 93.6% 93.6% 93.5% 93.2% 3. 4. 3. 5. 3. 6. 0.02373 0.34523 89.5% 89.9% 90.5% 90.1% 90.2% 89.1% 88.7% 94.5% 93.6% 94.2% 94.3% 94.5% 92.5% 92.5% -0.01701 0.09326 90.6% 89.7% 88.5% 89.2% 90.7% 90.1% 90.9% 94.2% 93.6% 92.3% 93.6% 94.1% 94.6% 95.6% -0.01194 0.19215 89.0% 90.0% 87.4% 87.5% 88.2% 88.2% 87.0% 93.7% 95.5% 92.7% 93.2% 94.3% 92.9% 94.1% 0.02659 0.32646 89.0% 90.0% 88.2% 88.6% 88.8% 88.0% 88.1% 93.7% 94.6% 92.7% 93.3% 94.0% 92.6% 92.7% -0.01537 0.09226 90.6% 90.2% 89.0% 90.3% 91.1% 90.8% 91.3% 94.5% 94.4% 93.1% 93.8% 94.4% 95.5% 96.5% -0.01329 0.19090 88.7% 89.0% 88.1% 88.1% 88.6% 86.8% 88.0% 93.7% 93.4% 92.5% 93.3% 94.1% 93.0% 94.0% 0.02610 0.32458 88.7% 89.3% 89.2% 89.3% 89.7% 87.9% 88.7% 93.4% 93.0% 92.9% 93.4% 93.7% 92.8% 93.1% -0.01714 0.09005 90.1% 90.3% 88.7% 89.7% 89.8% 90.3% 90.6% 94.1% 94.9% 93.2% 94.0% 94.0% 95.0% 96.8%. 22.

(29) 表 4-3. 固定𝒕𝒕𝟏𝟏 ,變動𝒕𝒕𝟐𝟐 的 SMSE t1 t2. n=100 0.6473369 0.6476075 0.6416801 0.6343786 0.6270960 0.6124424 0.6071793 0.6058993 0.6042373 0.6306021 0.6108673 0.6055312. 政治大. Nat. sit. y. ‧. ‧ 國. 立. n=50 1.3704911 1.3766730 1.3768749 1.3590522 1.3458727 1.2495055 1.2379550 1.2339431 1.2338242 1.2588958 1.2226856 1.2153952. 學. 2 3 1 4 5 6 3 4 2 5 6 4 3 5 6. SMSE. er. al. n. t1 t2 2 3 1 4 5 6 3 4 2 5 6 4 3 5 6. io. 表 4-4. (𝒏𝒏, 𝒓𝒓) = (𝟓𝟓𝟓𝟓, 𝟒𝟒𝟒𝟒)之下，𝜷𝜷𝟎𝟎 , 𝜷𝜷𝟏𝟏 , 𝝈𝝈的相對偏差與相對 MSE 0.103878 0.094109 0.089669. ni C h 0.025217 0.468631 U i e n g c h0.472535 0.063480 0.021204 0.061941. v. 0.163126. 0.027706. 0.165620. 0.026851. 0.062207. 0.019663. 0.477477. 0.166640. 0.025871. 0.088976. 0.061781. 0.019316. 0.474308. 0.165923. 0.024562. 0.089207. 0.061800. 0.019280. 0.469631. 0.165683. 0.023723. 0.072694. 0.048424. 0.017395. 0.390941. 0.159944. 0.024310. 0.070636. 0.052701. 0.015836. 0.394161. 0.157393. 0.023802. 0.070941. 0.054346. 0.015568. 0.394342. 0.158844. 0.022692. 0.068906. 0.053813. 0.014719. 0.397982. 0.158706. 0.022335. 0.049257. 0.034510. 0.010893. 0.370114. 0.170501. 0.022975. 0.047381. 0.036284. 0.009955. 0.370331. 0.161937. 0.022734. 0.047334. 0.036923. 0.009759. 0.371376. 0.161228. 0.022123. 註 1: |Bias|/|θi |, i = 1,2,3, 為相對偏差. 註 2: MSE/θi 2 , i = 1,2,3, 為相對 MSE. 23.

(30) 表 4-5. (𝒏𝒏, 𝒓𝒓) = (𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎, 𝟖𝟖𝟎𝟎)之下，𝜷𝜷𝟎𝟎 , 𝜷𝜷𝟏𝟏 , 𝝈𝝈的相對偏差與相對 MSE 0.039831. 0.023254. 0.013529. 0.234298. 0.074159. 0.012934. 0.031169. 0.024826. 0.009877. 0.234438. 0.075562. 0.012325. 0.032403. 0.024767. 0.010250. 0.231841. 0.075590. 0.011942. 0.032756. 0.024673. 0.010310. 0.229529. 0.075385. 0.011479. 0.033657. 0.024964. 0.010585. 0.226536. 0.075112. 0.011124. 0.024949. 0.016982. 0.009452. 0.201564. 0.077664. 0.011136. 0.022918. 0.021164. 0.007896. 0.202224. 0.076986. 0.010779. 0.025202. 0.021539. 0.008720. 0.200326. 0.077670. 0.010544. 0.077613. 0.010258. 0.086308. 0.010362. 0.011936. 治0.201459 0.021057 政 0.008486 大 0.011866 0.005671 0.192113 立 0.005125 0.192151 0.013296. 0.081614. 0.010251. 0.013292. 0.013050. 0.081145. 0.010005. 0.005715. 0.190903. ‧. ‧ 國. 0.012783. Nat. io. sit. 表 4-6. 總相對偏差與總相對 MSE. 1. 2. 3. er. n =50 n=100 al t2 rel(|Bias|) rel(MSE) rel(|Bias|)i v rel(MSE) n 0.321391 C h 0.659463 0.076615 2 0.191036 U i e h n g c 0.065872 0.322324 3 0.178792 0.665006 4 0.171539 0.669988 0.067421 0.319373 5 0.170074 0.664792 0.067739 0.316393 6 0.170287 0.659038 0.069206 0.312771 3 0.138513 0.575195 0.051383 0.290364 4 0.139172 0.575356 0.051978 0.289989 5 0.140855 0.575878 0.055461 0.288540 6 0.137438 0.579023 0.054076 0.289330 4 0.094660 0.563590 0.030320 0.288783 5 0.093620 0.555002 0.030356 0.284016 6 0.094016 0.554726 0.032056 0.282053. n. t1. y. 0.024532. 學. t1 t2 2 3 1 4 5 6 3 4 2 5 6 4 3 5 6. 註 1: rel(|Bias|)=∑3𝑖𝑖=1|𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵|/|𝜃𝜃𝑖𝑖 |,為總絕對偏差註 2: rel(MSE)=∑3𝑖𝑖=1 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀/𝜃𝜃𝑖𝑖 2 ,為總相對 MSE. 24.

(31) 表 4-7. 平均覆蓋率及整體平均覆蓋率 95%. 90% AS 88.19% 89.69%. LR 88.10% 89.36%. PB2 88.94% 89.18%. BCA 88.40% 89.77%. BT2 87.30% 91.71%. AS 93.32% 94.40%. LR 93.81% 93.71%. PB2 93.18% 94.07%. BCA 94.28% 94.17%. BT2 92.35% 95.46%. 87.42% 88.43%. 86.73% 88.06%. 86.52% 88.21%. 87.27% 88.48%. 91.43% 90.14%. 92.77% 93.49%. 92.04% 93.19%. 91.91% 93.05%. 92.76% 93.74%. 95.01% 94.27%. 1.57% 88.60%. 1.94% 88.68%. 1.79% 88.13%. 1.52% 88.80%. 0.14% 88.44%. 1.51% 93.85%. 1.81% 94.30%. 1.95% 93.66%. 1.26% 93.93%. 0.73% 94.03%. average. 89.81% 90.17% 89.53%. 89.98% 89.15% 89.27%. 89.75% 89.18% 89.02%. 89.90% 90.12% 89.61%. 89.82% 90.47% 89.58%. 94.60% 94.13% 94.19%. 94.54% 94.00% 94.28%. 94.36% 93.42% 93.81%. 94.68% 93.93% 94.18%. 93.86% 95.64% 94.51%. |diff|. 0.47%. 0.73%. 0.98%. 0.39%. 0.42%. 0.81%. 0.72%. 1.19%. 0.82%. 0.49%. n=50 average |diff|. n=100. 立. 政治大. 註 1: average 為 3 個參數的平均覆蓋率之再平均，即整體平均覆蓋率. ‧. ‧ 國. 學. 註 2: | diff | 為整體平均覆蓋率與信心水準之絕對差. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 25. i Un. v.

(32) 第五章結論與建議本論文探討簡單加速壽命試驗下來自 Weibull 分配之型二混合設限資料的推論問題，首先介紹統計模型，接著導出 cdf、pdf 及概似函數，並於對各參數解出最大概似估計值的過程中，利用牛頓法求得各參數的近似解，進而介紹區間估計的方法，包括: 最大概似估計量的漸進信賴區間、基於概似比的漸進信賴區間以及各種拔靴信賴區間。最後，經由數值模擬分別對各參數之點估計及區間估計的表現予以評估。. 政治大則樣本數不宜太少，應力不須太早調升。就各種區間估計方法之表現而言，經由立. 就點估計之表現而言，為降低平均偏差、MSE、總相對偏差及總相對 MSE，. ‧ 國. 學. 覆蓋率、平均覆蓋率及整體平均覆蓋率的比較後，建議如下： 1. 若只考慮覆蓋率的表現，則在小樣本(n=50)時，我們推薦使用 ASCI、LRCI. ‧. Nat. 和BC𝑎𝑎；在大樣本(n=100)時，各方法之間沒有太大差異，可優先使用 ASCI。. n. al. er. io. 計算過程繁複，則優先推薦 ASCI。. sit. y. 2. 若同時考慮覆蓋率的表現和計算的困難度，由於 LRCI 及各拔靴信賴區間的. i Un. v. 本論文採用的五種拔靴信賴區間法中 PBCI1、PBCI2 和 BTCI1 在覆蓋率的. Ch. engchi. 表現欠佳，而BCa 則與 ASCI、LRCI 的表現相近，BTCI2 則在小樣本及信心水準. 較低時覆蓋率會有過高或過低的現象。然而，拔靴信賴區間的產生過程相當繁複. 且耗時，限於時間在論文中我們對每組模擬樣本再產生 500 組拔靴樣本，即 B=500。經檢查若干組拔靴樣本後，發現其分配多為偏斜的。因此，在拔靴信賴區間中建議採用BCa ，不然在時間允許之下，應增加拔靴樣本的組數，以降低拔靴樣本偏斜度的影響，可望藉此改善這些未經調整的拔靴信賴區間在覆蓋率的表現。. 本論文雖考慮樣本數分別為 50 及 100，但預定觀察到的失敗個數(r)佔樣本數的比率皆為 80%，後續可研究在不同的預定失敗比率之下，點估計及區間估計的表現之變化。此外，在多階段逐步加速壽命試驗下的推論問題，以及在實驗總 26.

(33) 成本受到限制下如何決定最佳試驗計畫(optimal test plan) ，均為值得後續研究的方向。. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 27. i Un. v.

(34) 參考文獻英文 Balakrishnan, N. and Kundu, D. (2013). Hybrid censoring: models, inferential results and applications. Computational Statistics & Data Analysis, 57(1), 166-209. Balakrishnan, N., Kundu, D. , Ng, H.K.T. and Kannan, N. (2007). Point and interval estimation for a simple step-stress model with Type-II censoring. Journal of Quality Technology, 39(1), 35-47.. 政治大. Balakrishnan, N. and Xie, Q. (2007a). Exact inference for a simple step-stress model with Type-I hybrid censored data from the exponential distribution. Journal of Statistical Planning and Inference, 137(11), 3268-3290.. 立. ‧ 國. 學. ‧. Balakrishnan, N. and Xie, Q. (2007b). Exact inference for a simple step-stress model with Type-II hybrid censored data from the exponential distribution. Journal of Statistical Planning and Inference, 137(8), 2543-2563.. y. Nat. sit. n. al. er. io. Banerjee, A. and Kundu, D. (2008). Inference based on type-II hybrid censored data from a Weibull distribution. IEEE Transactions on Reliability, 57(2), 369-378.. Ch. i Un. v. Childs, A., Chandrasekar, B., Balakrishnan, N. and Kundu, D. (2003). Exact likelihood inference based on Type-I and Type-II hybrid censored samples from the exponential distribution. Annals of the Institute of Statistical Mathematics, 55(2), 319-330.. engchi. Epstein, B. (1954). Truncated life tests in the exponential case. The Annals of Mathematical Statistics, 25(3), 555-564. Nelson, W. (1980). Accelerated life testing-step-stress models and data analyses. IEEE Transactions on Reliability, 29(2), 103-108. Nelson,W.B. (1990). Accelerated Testing, Statistical Models, Test Plans and Data Analysis, Wiley, New York, NY., .. 28.

(35) Kateri, M. and Balakrishnan, N. (2008). Inference for a simple step-stress model with Type-II censoring, and Weibull distributed lifetimes. IEEE Transactions on Reliability, 57(4), 616-626. Sinha, S. K. (1986). Reliability and life testing. John Wiley & Sons, Inc. Venzon, D. J. and Moolgavkar, S. H. (1988). A method for computing profile-likelihood-based confidence intervals. Applied Statistics, 87-94. Xiong, C. (1998). Inferences on a simple step-stress model with type-II censored exponential data. IEEE Transactions on Reliability, 47(2), 142-146. 中文. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. 洪紹媛(2013)，韋伯型 I 混合設限資料之加速壽命試驗的推論，淡江大學數學學系碩士班碩士論文. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 29. i Un. v.

(36) 附錄對式(3.8)偏微分兩次加上負號後，則可得到訊息矩陣如下: 𝜕𝜕 2 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙(𝜃𝜃) 𝐼𝐼(𝜃𝜃) = 𝐸𝐸 �− � 𝜕𝜕𝜃𝜃𝑖𝑖 𝜕𝜕𝜃𝜃𝑗𝑗. 𝑖𝑖,𝑗𝑗=1,2,3. 其中𝜃𝜃 = (𝜃𝜃1 , 𝜃𝜃2 , 𝜃𝜃3 ) = (𝛽𝛽0 , 𝛽𝛽1 , 𝜎𝜎 ), ∂z 1,j. 1. (. 政治大. ∂Φ (η ) 1 ∂ [ ] ∂β0 1 − Φ (η ) ∂β0. ). 立. *. Nat. io. n1. ) ∂∂β. ∂Φ (η ) 1 [ ] ∂β0 1 1 − Φ (η ). y. (. ∂z 1,j. sit. 1. ‧. n2 ∂z 2,j ∂ ∂ 1 1 1 × + × ∑ ∑ ∂β1 φ ( z 1,j ) j 1 φ ( z 2,j ) ∂β0 ∂β1 φ ( z 2,j ) φ ( z 1,j ) ∂β0 j 1= n1. + n − n1 − n2*. n*. 2 ∂ 1 1 1 ∂ 1 × + × ∑ ∑ 2 2 ∂σ φ ( z 1,j ) j 1 φ ( z 2,j ) σ ∂σ φ ( z 2,j ) φ ( z 1,j ) σ j 1=. 1. 1. al. n. ∂ 2 ln L = ∂σ ∂β0. * 2. 學. ‧ 國. − n − n1 − n. ∂ 2 ln L = ∂β1∂β0. *. n2 ∂z 2,j ∂ ∂ 1 1 1 × + ∑ × ∑ ∂β0 φ ( z 1,j ) j 1 φ ( z 2,j ) ∂β0 ∂β0 φ ( z 2,j ) φ ( z 1,j ) ∂β0 j 1= n1. er. ∂ 2 ln L = ∂ 2 β0. ,. (. + n − n1 − n2*. Ch. ∂Φ (η )i ] ) ∂∂σ [1 − Φ1e(nη )g c∂βh. i Un. v. 0. *. n2 n1 ∂z 1,j ∂ 2 ln L ∂s ∂ 1 = −∑ + ∑ *× φ ( z 1,j ) × [φ ( z 1,j )]−2 ∂β0∂β= ∂β1 j 1 φ ( z 1,j ) ∂β1 ∂β0 j 1= 1. +. n2*. 1. ∑ φ (z ) j j =1. (. 2,. ∂z 2,j ∂β1. − n − n1 − n2*. ×. ) ∂∂β. ∂ φ ( z 2,j ) × [φ ( z 2,j )]−2 ∂β0 [. 0. ∂Φ (η ) 1 ] × 1 − Φ (η ) ∂β1. 30.

(37) *. n2 n1 ∂z 1,j ∂ 2 ln L ∂s 2 1 −2 = y + s − t ( ) ( ) [φ ( z 1,j )]−2 − φ ( z 1,j ) tt ∑ ∑ n1 + j :n 1 2 ∂β1 ∂β1 ∂β1 j 1= j 1 ∂β1 =. −. n2*. [φ ( z j )] ∑ ∂β φ ( z j ) tt j 1. −2. 2,. =1. 2,. 1. ) ∂∂β. (. − n − n1 − n2*. [ 1. ∂z 2,j ∂β1. ∂( (η ) 1 ] t 1 − ( (η ) ∂β1. *. n2 n1 ∂z ∂ 2 ln L ∂s ∂ 1 = −∑ −∑ φ ( z 1,j ) [φ ( z 1,j )]−2 t 1,j ∂σ ∂β1 y n1 + j :n + s − t 1 ∂β1 j 1 ∂σ ∂β1 j 1= =. +. n2*. ∂. ∑ ∂σ φ ( z j ) [φ ( z j )] j. −2. 2,. 2,. t. ∂z 2,j ∂β1. =1. (. − n − n1 − n2* . ∂((η) 1 t ] ) ∂∂σ [1政治 − ( (η ) ∂β 1. 立 n. n. 大. *. ‧ 國. 0. 1 ∂((η) × [ ] ∂σ 1 − ( (η ). n. *. sit. y. Nat. n. ) ∂∂β. ‧. (. − n − n1 − n2* . 學. 1 2 ∂ 2 ln L ∂ ∂ = −∑ φ ( z 1,j ) [φ ( z 1,j )]−2 − ∑ φ ( z 2,j ) [φ ( z 2,j )]−2 ∂ ∂ ∂ ∂ β σ β β j 1= j 1 = 0 0 0. al∂ ∂((η) i v 1 − n ) C[ × ]n ∂β 1h−e( (η ) h∂iσ U ngc n. (. − n − n1 . er. io. 1 2 ∂ 2 ln L ∂ ∂ = −∑ φ ( z 1,j ) [φ ( z 1,j )]−2 − ∑ φ ( z 2,j ) [φ ( z 2,j )]−2 ∂β1∂σ ∂β1 j 1= j 1 ∂β1 =. * 2. 1. *. n1 n2 ∂z 1,j ∂z n1 + n2* ∂ 2 ln L ∂ ∂ −2 [ ] φ φ φ ( z 2,j ) [φ ( z 2,j )]−2 × 22,j z z = − × − ( ) ( ) ∑ ∑ 1,j 1,j 2 2 2 σ ∂σ ∂σ ∂σ ∂σ j 1= j 1 ∂β1 =. (. − n − n1 − n2* . ) ∂∂β. 1 ∂((η) × [ ] ∂σ 1 1 − ( (η ). 31.

(38) 其中. ∂ ln L ∂ 1 = − φ ( z 1,j ) × [φ ( z 1,j )]−2 ∂β0 φ ( z 1,j ) ∂β0. ∂ ln L ∂ 1 = − φ ( z 1,j ) × [φ ( z 1,j )]−2 ∂β1 φ ( z 1,j ) ∂β1. 1 ∂ ln L ∂ φ ( z 1,j ) × [φ ( z 1,j )]−2 = − ∂σ φ ( z 1,j ) ∂σ. 政治大. 1 ∂ ln L ∂ φ ( z 2,j ) × [φ ( z 2,j )]−2 = − ∂β0 φ ( z 2,j ) ∂β0. 立. ‧ 國. 學 ‧. 1 ∂ ln L ∂ φ ( z 2,j ) × [φ ( z 2,j )]−2 = − ∂β1 φ ( z 2,j ) ∂β1. n. Ch. engchi. 32. er. io. al. sit. y. Nat. 1 ∂ ln L ∂ φ ( z 2,j ) × [φ ( z 2,j )]−2 = − ∂σ φ ( z 2,j ) ∂σ. i Un. v.

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