結論與未來研究方向

總結本論文之研究成果，並提出未來之建議研究方向。

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第二章 餘數系統

2.1 前言

在資訊領域中，二進制數字系統(Binary Number System)通常以 0 和 1 來表 示數值。在進行運算時，每個位元間存在著進位/借位的情況，是屬於權重數字 系統(Weighted Number System)。然而餘數系統(Residue Number System) 其運算 性質無論在加法、減法以及乘法上都具有平行(parallel)、無進位(carry-free)和快 速(high-speed)的特性存在。

2.2 餘數系統定義

餘數系統(Residue Number System)的定義是建構在一組基底(Base)上。假設

該基底由 𝑛 個正整數形成一組集合，此組基底集合(moduil set)表示式為

{𝑚₁, 𝑚₂, 𝑚₃, ⋯ , 𝑚_𝑛−1, 𝑚_𝑛}，其中每個 𝑚_𝑖 (𝑖 = 1,2,3,4, … , 𝑛)皆為一個獨立的模數 組(module)，且𝐺𝐶𝐷(𝑚_𝑖, 𝑚_𝑗) = 1，𝑖 ≠ 𝑗。

給定一個正整數數值 𝑋 ，其經過餘數系統表示如下：

𝑋^𝑅𝑁𝑆→ (𝑥₁, 𝑥₂, 𝑥₃, ⋯ , 𝑥_𝑛−1, 𝑥_𝑛)， (2.1)

其中每個 𝑥_𝑖 為 𝑋 對於第 𝑖 個模數(module)取餘數的結果，即為 𝑥_𝑖 = 𝑋 𝑚𝑜𝑑 𝑚_𝑖 = | 𝑋 |_𝑚𝑖，0 ≤ 𝑥_𝑖 < 𝑚_𝑖。

然而在餘數系統中，每一個整數都只有一個餘數表示式，每一個數就只有一 個最小的餘數，因此我們以 Ｍ 表示餘數系統能夠表示數字的範圍為動態範圍 (dynamic range)，其中：

𝑀 = 𝑚₁× 𝑚₂× 𝑚₃× ⋯ × 𝑚_𝑛−1× 𝑚_𝑛 = ∏^𝑛 𝑚_𝑖

𝑖=1 ， 0 ≤ 𝑋 < 𝑀。

(2.2)

2.3 餘數系統運算特性

假設有一個模數組 𝑇 = {𝑚₁, 𝑚₂, 𝑚₃, ⋯ , 𝑚_𝑛−1, 𝑚_𝑛}，其中每個 𝑚_𝑖 (𝑖 = 1,2,3,4, … , 𝑛)皆為兩兩互質之正整數。給定兩個正整數 𝑋、𝑌，其中動態範圍為 0 ≤ 𝑋 < 𝑀、0 ≤ 𝑌 < 𝑀，𝑀 = ∏^𝑛_𝑖=1𝑚_𝑖。因此我們可以得到，𝑋 的餘數系統表 示式為(𝑥₁, 𝑥₂, 𝑥₃, ⋯ , 𝑥_𝑛−1, 𝑥_𝑛)，其中 𝑥_𝑖 = 𝑋 𝑚𝑜𝑑 𝑚_𝑖；𝑌 的餘數系統表示式為 (𝑦₁, 𝑦₂, 𝑦₃, ⋯ , 𝑦_𝑛−1, 𝑦_𝑛)，其中 𝑦_𝑖 = 𝑌 𝑚𝑜𝑑 𝑚_𝑖。

接著定義餘數系統加法(Modular addition)運算數學式子為[13] ：

𝑋 + 𝑌 = (|𝑥₁+ 𝑦₁|_𝑚1, |𝑥₂+ 𝑦₂|_𝑚2, ⋯ , |𝑥_𝑛+ 𝑦_𝑛|_𝑚𝑛)。 (2.3)

餘數系統減法(Modular subtraction)運算數學式子為：

𝑋 − 𝑌 = (|𝑥₁− 𝑦₁|_𝑚1, |𝑥₂− 𝑦₂|_𝑚2, ⋯ , |𝑥_𝑛− 𝑦_𝑛|_𝑚𝑛)。 (2.4)

餘數系統乘法(Modular multiplication)運算數學式子為：

𝑋 × 𝑌 = (|𝑥₁× 𝑦₁|_𝑚1, |𝑥₂× 𝑦₂|_𝑚2, ⋯ , |𝑥_𝑛× 𝑦_𝑛|_𝑚𝑛)。 (2.5)

7

2.4 中國餘數定理

中國餘數定理最早起源於《老子算經》中的『物不知數』，為提出線性同餘

(congruence) 理論之始祖，南宋秦九韶 (1202-1261) 的一般化解法和德國數學 家高斯 (Gauss) 於 1801 年所發表的剩餘定理相同，因此，西方國家稱此類型 的問題為『中國餘數定理』(Chinese Remainder Theorem,簡稱 CRT)[14] 。中國 餘數定理的計算運用了整數在模數組演算(modular arithmetic)的特性。中國餘數 定理之描述如下：

令 𝑚₁, 𝑚₂, 𝑚₃, ⋯ , 𝑚_𝑛−1, 𝑚_𝑛 為兩兩互質的正整數，其中𝑀 = ∏^𝑛_𝑖=1𝑚_𝑖，對 任意整數𝑎₁, 𝑎₂, 𝑎₃, ⋯ , 𝑎_𝑛−1, 𝑎_𝑛，則有以下特性：

{

X = 𝑎₁ 𝑚𝑜𝑑 𝑚₁ X = 𝑎₂ 𝑚𝑜𝑑 𝑚₂ X = 𝑎₃ 𝑚𝑜𝑑 𝑚₃ X = 𝑎_𝑛 𝑚𝑜𝑑 𝑚⋮ _𝑛

(2.6)

以上等式之系統可使 𝑋 在整數中有唯一解。當有 𝑛 組(𝑎_𝑖, 𝑚_𝑖)時，可由中 國餘數定理解回 𝑀 中的唯一解 𝑋 (1 ≤ 𝑖 < 𝑛)。因此可以得到 𝑋 解公式：

𝑋 = ∑ 𝑎_𝑖 𝑀 𝑚_𝑖

𝑛

𝑖=1

𝑦_𝑖 𝑚𝑜𝑑 𝑀。 (2.7)

其中 ^𝑀

𝑚_𝑖× 𝑦_𝑖 = 1 𝑚𝑜𝑑 𝑚_𝑖，則得到：

𝑦_𝑖 = (𝑀 𝑚_𝑖)

−1

𝑚𝑜𝑑 𝑚_𝑖。 (2.8)

第三章 文獻探討

3.1 Lu 和 Chiang 的方法

1992 年，Lu 和 Chiang 等學者[6] 提出利用奇偶校驗技術來解決數值比較 的問題。如果該數為偶數，其奇偶性質為 0；否則它的奇偶性質為 1。Lu 和 Chiang 首先先對兩個數值 𝑋、𝑌 與 𝑋、𝑌 和 𝑋 − 𝑌 的奇偶性質來做討論。根 據 Lu 和 Chiang 所提的定理 3，若 𝑋 和 𝑌 具有相同奇偶性質，且令 Z = 𝑋 − 𝑌，如果 Z 是偶數，則 𝑋 ≥ 𝑌；如果 Z 為奇數，則 𝑋 < 𝑌。又定理 4 所述，若 𝑋 和 𝑌具有不同奇偶性質，且令Z = 𝑋 − 𝑌，如果 Z 是奇數，則 𝑋 ≥ 𝑌；如果 Z 為偶數，則 𝑋 < 𝑌。

根據以上兩個定理，利用奇偶特性來比較兩數的大小，因此他們提出奇偶 校驗方法。首先使用一個額外的模數(modulus)2，對所有的餘數系統奇偶性質 來建立表格，以便日後查詢，不過這樣的表格太大，且不切實際。然而，利用 餘數系統及小數表示方式，來判斷奇偶性質，不過此方法需要太多的計算時間 及儲存空間。

3.2 Chen 的方法

2006 年 Chen 學者[5] ，提出了改良 Lu 和 Chiang 學者的方法，該方法是利 用兩個模數組 𝑇 = {2^ℎ− 1, 2^ℎ+ 1 }，且 ℎ 為正整數來進行奇偶校驗。我們可 以得到𝑀 = 2^2ℎ − 1，| 1 𝑚⁄ ₂|_𝑚1 = 𝑚₂⁻¹ mod 𝑚₁ = 2^ℎ−1 和 | 1 𝑚⁄ ₁|_𝑚2 = 𝑚₁⁻¹ mod 𝑚₂ = 2^ℎ−1，則可以知道：

9

Ｘ= Ｍ𝑥₁

2^ℎ− 12^ℎ−1+ Ｍ𝑥₂

2^ℎ+ 12^ℎ−1− 𝑟𝑀。 (3.1)

其中Ｘ 和 𝑟 具有相同的奇偶性質，可將上式導出：

𝑟 = ⌊_2ℎ^𝑥₋₁¹ 2^ℎ−1+_2ℎ^𝑥₊₁² 2^ℎ−1⌋ = ⌊^𝑥1+𝑥₂ ²+ 𝛿⌋，

其中 |𝛿| = |((𝑥₁− 𝑥₂)/𝑀)2^ℎ−1+ (𝑥₁+ 𝑥₂)/2𝑀| < ¹₂。

(3.2)

如果 𝑥₁ ≥ 𝑥₂，我們可以得到0 ≤ 𝛿 < ¹₂，𝑟 的奇偶性質同等於

⌊(𝑥₁+ 𝑥₂ 𝑚𝑜𝑑 4)/2⌋，如果 𝑥₁ < 𝑥₂，𝑟 的奇偶性質同等於⌊((𝑥₁+ 𝑥₂ 𝑚𝑜𝑑 4) − 1)/2⌋。因此我們可以得到，給定一個數值𝑋 = (𝑥₁, 𝑥₂)，當𝑥₁ ≥ 𝑥₂，𝑋 奇偶性 質同等於⌊(𝑥₁+ 𝑥₂ 𝑚𝑜𝑑 4)/2⌋；反之，當 𝑥₁ < 𝑥₂，𝑋 奇偶性質則同等於

⌊((𝑥₁+ 𝑥₂ 𝑚𝑜𝑑 4) − 1)/2⌋。明顯地，Chen 的方法不需要建立表格查表以及計算 小數運算。

3.3 Chen 及 Hsueh 的方法

2011 年由 Chen 和 Hsueh [4] ，為改善模數組 {2^ℎ− 1, 2^ℎ+ 1 }，提出新的 兩個模數組 𝑇 = {2𝑝 − 1,2𝑝 + 1 } 之奇偶校驗方法。根據模數組 {2𝑝 − 1,2𝑝 + 1 } ， 可以得到𝑀 = 4𝑝²− 1，| 1 𝑚⁄ ₂|_𝑚1 = 𝑝 和| 1 𝑚⁄ ₁|_𝑚2 = 𝑝，則可以知道：

Ｘ= Ｍ𝑥₁

2𝑝 − 1𝑝 + Ｍ𝑥₂

2𝑝 + 1𝑝 − 𝑟𝑀。 (3.3)

其中 𝑟 的關係式表示如下：

𝑟 = ⌊ 𝑥₁

2𝑝 − 1𝑝 + 𝑥₂

2𝑝 + 1𝑝⌋ = ⌊𝑥₁+ 𝑥₂

2 + 𝛿⌋ (3.4)

接著藉由 𝑟 的關係，導出 𝑋 的奇偶性質。因此 Chen 和 Hsueh 導出位元 運算結果如下：給定一個數值 𝑋 = (𝑥₁, 𝑥₂)，令 𝑌 = 𝑥₁+ 𝑥₂ 𝑚𝑜𝑑 4。其中使用 二進位表示法表示 𝑌 為 𝑦₁𝑦₀。當 𝑥₁ ≥ 𝑥₂，𝑋 奇偶性質同等於 𝑦₁⊕ 𝑦₀；反 之，當 𝑥₁ < 𝑥₂，𝑋 奇偶性質則同等於 𝑦₀⊕ 𝑦̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅。₀⊕ 𝑦₁

11

𝑟 = ⌊𝑡₁

13

2(3𝑛 + 2) + 1，則 𝑝 必為奇數。

因此，我們可以化簡為，當 𝑝 為奇數時，𝑋 的奇偶判斷決定於 𝑟 ；反 之，𝑝 為偶數時，𝑋 的奇偶判斷則決定於 𝑥₁+ 𝑥₂+ 𝑟 𝑚𝑜𝑑 2。接著，根據式 (4.4)和式(4.7)，代入可得式(4.8)：

𝑟 = ⌊ 𝑥₁ 2𝑝 − 3

5𝑝 − 7

3 + 𝑥₂ 2𝑝 + 3

𝑝 + 1

3 ⌋ 。 (4.8)

又知道

1

2𝑝−3 = _2𝑝 ¹ + ( _{2𝑝(2𝑝−3)} ³ ) = _2𝑝 ¹ + _𝑀 ³ + _2𝑝𝑀 ⁹

^{， (4.9)}

和

¹

2𝑝+3 = _2𝑝 ¹ − ( _{2𝑝(2𝑝+3)} ³ ) = _2𝑝 ¹ − _𝑀 ³ + _2𝑝𝑀 ⁹

^{。 (4.10)}

經由式(4.9)和式(4.10)化簡後，我們可得式(4.11)：

𝑟 = ⌊5𝑥₁+ 𝑥₂

6 + 𝛿⌋ ， (4.11)

其中

𝛿 =(5𝑥₁− 𝑥₂)

𝑀 𝑝 +(𝑥₁+ 𝑥₂)

2𝑀 +(−7𝑥₁+ 𝑥₂)

6𝑝 +(−21𝑥₁+ 3𝑥₂)

2𝑝𝑀 。 (4.12)

接著，我們知道 0 ≤ 𝑥₁ < 2𝑝 − 3 和 0 ≤ 𝑥₂ < 2𝑝 + 3，因此，可得到：

|𝛿| = |𝑥₁(2𝑝 + 3) − 𝑥₂(2𝑝 − 3)

6𝑀 | < |(2𝑝 + 3)(2𝑝 − 3)

6𝑀 | =1

6。 (4.13)

根據以上這些式子，我們可以執行 𝑋 奇偶性質之判斷。

在 𝑥₁ ≥ 𝑥₂ 時，根據式(4.13)可以知道 𝛿 範圍為 0 ≤ 𝛿 <¹₆ 。根據式 (4.11)，𝑟 的奇偶數判斷則為 ⌊^5𝑥1₆^+𝑥2⌋ 𝑚𝑜𝑑 2。因此，可以推導出，當 𝑝 為奇數 時，𝑋 的奇偶性質為 ⌊^5𝑥1₆^+𝑥2⌋ 𝑚𝑜𝑑 2；反之，𝑝 為偶數時，𝑋 的奇偶性質則為 𝑥₁+ 𝑥₂+ ⌊^5𝑥1₆^+𝑥2⌋ 𝑚𝑜𝑑 2。

接著，當 𝑥₁ < 𝑥₂ 時，將會出現以下兩種情況：

(1) 當

|

^{(𝑥1−𝑥2)𝑝}

3𝑀

| ≥ |

^{(𝑥1+𝑥2)}

2𝑀

|

時，根據式(4.13)可以推導出 𝛿 範圍為 −¹₆<

𝛿 ≤ 0。如果 𝛿 = 0 ，則

|

^{(𝑥1−𝑥2)𝑝}

3𝑀

| = |

^{(𝑥1+𝑥2)}

2𝑀

| ，

我們可以得到 𝑥₁ = 𝑥₂ = 0，這與事實不符，所以修正 𝛿 範圍為−¹₆< 𝛿 < 0。接著將 𝛿 範圍值恆正，

因此可以得到 𝑟 = ⌊^5𝑥1₆^+𝑥2+ 𝛿⌋ = ⌊^5𝑥1+𝑥₆²⁻¹+¹₆+ 𝛿⌋，滿足 0 <¹₆+ 𝛿 <¹₆。

(2) 當

|

^(𝑥1_3𝑀^{−𝑥2)𝑝}

| < |

^(𝑥1_2𝑀^+𝑥2)

|

時，根據式(4.13)可以推導出 𝛿 範圍為 0 < 𝛿 <

1

6。接著，將式子展開後為 ^{((𝑥2−𝑥1)𝑝)}

3𝑀

<

^{(𝑥1+𝑥2)}

2𝑀 ，經化簡後可得 ^2𝑝−3

2𝑝+3

𝑥

₂

<

𝑥

₁，因知道 𝑥₁ < 𝑥₂，統整後得到式(4.14)：

2𝑝 − 3

2𝑝 + 3𝑥₂ < 𝑥₁ < 𝑥₂。 (4.14)

15

明顯的，比較 𝑥₁ 和 𝑥₂ 的差異，𝑥₂− 𝑥₁ 小於

𝑥

₂

−

^2𝑝−3_2𝑝+3

𝑥

₂

=

6

2𝑝+3

𝑥

₂

< 6

^{。接著，已知} 𝑥₂− 𝑥₁ < 6，令 𝑥₂ = 𝑥₁+ 𝑘，其中 0 < 𝑘 < 6，

5 𝑥₁+ 𝑥₂ = 6𝑥₁ + 𝑘，根據式子，我們知道 5𝑥₁+ 𝑥₂ 不能被 6 整除，因此可以推 論 𝑟 = ⌊^5𝑥1₆^+𝑥2⌋ = ⌊^5𝑥1+𝑥₆²⁻¹⌋。

最後以上兩種推論情況可以知道，𝑟 皆為 ⌊^5𝑥1+𝑥₆²⁻¹⌋，因此根據式(4.7)，可

以得到，當 𝑝 為奇數時，𝑋 的奇偶性質為 ⌊^5𝑥1+𝑥₆²⁻¹⌋ 𝑚𝑜𝑑 2，反之，當 𝑝 為偶 數時，𝑋 的奇偶性質則為 𝑥₁+ 𝑥₂+ ⌊^5𝑥1+𝑥₆²⁻¹⌋ 𝑚𝑜𝑑 2。

綜上所述，給定一個餘數系統的數值 𝑋 = {𝑥₁, 𝑥₂ }，於模數組 𝑇 = {2𝑝 − 3,2𝑝 + 3 }，其中 𝑝 為整數且滿足 𝑝 = 2 𝑚𝑜𝑑 3，我們可以得到，當 𝑥₁ ≥ 𝑥₂， 且 𝑝 為奇數時，𝑋 的奇偶判斷取決於 ⌊^5𝑥1₆^+𝑥2⌋ 𝑚𝑜𝑑 2；反之， 𝑝 為偶數時，𝑋 的奇偶性質為 𝑥₁+ 𝑥₂+ ⌊^5𝑥1₆^+𝑥2⌋ 𝑚𝑜𝑑 2。又當 𝑥₁ < 𝑥₂，且 𝑝 為奇數時，𝑋 奇 偶性質為 ⌊^5𝑥1+𝑥₆²⁻¹⌋ 𝑚𝑜𝑑 2，反之， 𝑝 為偶數時，𝑋 奇偶性質則為 𝑥₁+ 𝑥₂+ ⌊^5𝑥1+𝑥₆²⁻¹⌋ 𝑚𝑜𝑑 2。

4.3 模數組 𝑻 = {𝟐𝒑 − 𝒋, 𝟐𝒑 + 𝒋 }

接著，將上述模數組 {2𝑝 − 3,2𝑝 + 3 } 的奇偶校驗分析結果，擴展為模數 組 {2𝑝 − 𝑗, 2𝑝 + 𝑗 }。我們先假設模數組為 𝑇 = {𝑚₁ = 2𝑝 − 𝑗, 𝑚₂ = 2𝑝 + 𝑗 }，其 中 𝑗 為奇數和 𝑝 為整數且滿足𝑝 =^𝑗+1₂ 𝑚𝑜𝑑 𝑗， 接著可以得到該動態範圍為 𝑀 = 4𝑝²− 𝑗²，並計算|_𝑚¹

2|

𝑚1

= (4𝑗−2)𝑝+1+𝑗−2𝑗²

2𝑗 和 |_𝑚¹

1|

𝑚2

= ^{2𝑝+𝑗−1}_2𝑗 ，將上述式 子代入式(4.2)，可以得到式(4.15)：

𝑋 = 𝑀𝑥₁

17

𝑥₂ + 𝑟 𝑚𝑜𝑑 2 ；反之，若 𝑝 為偶數時，則 𝑋 的奇偶判斷決定於 𝑟 。當 ^𝑗+1₂ 為偶數情況下，若 𝑝 為偶數時，𝑋 的奇偶判斷決定於 𝑥₁+ 𝑥₂+ 𝑟 𝑚𝑜𝑑 2 ； 反之，𝑝 為奇數時，𝑋 的奇偶判斷則決定於 𝑟 。圖二列出 𝑋 奇偶性質判斷之 流程。

圖 二 𝑋 奇偶性質判斷流程

定理

給定一個餘數系統的數值 𝑋 = {𝑥₁, 𝑥₂ }，於模數組 𝑇 = {𝑚₁ = 2𝑝 − 𝑗, 𝑚₂ = 2𝑝 + 𝑗 }，其中 𝑗 為奇數和 𝑝 為整數且滿足 𝑝 =^𝑗+1₂ 𝑚𝑜𝑑 𝑗，令 𝑡 = ^𝑝−

𝑗+1 2

𝑗 ，我

們可以得到，在 𝑥₁ ≥ 𝑥₂ 的情形下， 𝑡 為奇數時，𝑋 的奇偶判斷取決於

⌊^{(2𝑗−1)𝑥}_2𝑗^1+𝑥2⌋ 𝑚𝑜𝑑 2；反之， 𝑡 為偶數時，𝑋 的奇偶性質為 𝑥₁+ 𝑥₂ +

⌊^{(2𝑗−1)𝑥}_2𝑗^1+𝑥2⌋ 𝑚𝑜𝑑 2。又在 𝑥₁ < 𝑥₂ 的情形下， 𝑡 為奇數時，𝑋 的奇偶判斷決 定於 ⌊^{(2𝑗−1)𝑥}_2𝑗^1+𝑥2−1⌋ 𝑚𝑜𝑑 2；反之， 𝑡 為偶數時，則 𝑋 的奇偶性質決定於 𝑥₁+ 𝑥₂+ ⌊^{(2𝑗−1)𝑥}_2𝑗^1+𝑥2−1⌋ 𝑚𝑜𝑑 2。

𝑝

(𝑗 + 1)/2

𝑝

𝑋 奇偶等同𝑥1+ 𝑥2

+ 𝑟 𝑚𝑜𝑑 2 𝑋 奇偶等同 𝑟 ^{𝑋 奇偶等同𝑥1}

+ 𝑥₂+ 𝑟 𝑚𝑜𝑑 2 𝑋 奇偶等同 𝑟

奇數 偶數

奇數 偶數 奇數 偶數

證明

19

|𝛿| = |𝑥₁(2𝑝 + 𝑗) − 𝑥₂(2𝑝 − 𝑗)

2𝑗𝑀 | < |(2𝑝 + 𝑗)(2𝑝 − 𝑗)

2𝑗𝑀 | = 1

2𝑗。 (4.22)

根據以上這些式子，我們可以執行下列 𝑋 奇偶數之判斷。

情況一：當 𝑥₁ ≥ 𝑥₂ 時，根據式(4.22)可以推導出 𝛿 的範圍為 0 ≤ 𝛿 <_2𝑗¹，根 據式(4.20)， 𝑟 的奇偶數判斷為⌊^{(2𝑗−1)𝑥}_2𝑗^1+𝑥2⌋ 𝑚𝑜𝑑 2。因此，我們可以推論，在 𝑥₁ ≥ 𝑥₂ ，當 ^𝑗+1₂ 和 𝑝 為相異奇偶性質時，𝑋 奇偶性質等同於

⌊^{(2𝑗−1)𝑥}_2𝑗^1+𝑥2⌋ 𝑚𝑜𝑑 2；反之，當 ^𝑗+1₂ 和 𝑝 為相同奇偶性質時，則 𝑋 奇偶性質

等同於 𝑥₁+ 𝑥₂+ ⌊^{(2𝑗−1)𝑥}_2𝑗^1+𝑥2⌋ 𝑚𝑜𝑑 2

情況二：當 𝑥₁ < 𝑥₂時，將會出現以下兩種情況：

(1)

|

^{(𝑥1−𝑥2)𝑝}

𝑗𝑀

| ≥ |

^{(𝑥1+𝑥2)}

2𝑀

|

當

|

^{(𝑥1−𝑥2)𝑝}

𝑗𝑀

| ≥ |

^{(𝑥1+𝑥2)}

2𝑀

|

時，根據式(4.22)可以推論出 𝛿 的範圍為 −_2j¹ <

𝛿 ≤ 0 。如果 𝛿 = 0，則 |^{(𝑥1−𝑥}_𝑗𝑀^2)𝑝| = |^(𝑥1_2𝑀^+𝑥2)|，因此我們可以得到 𝑥₁ = 𝑥₂ = 0，這與事實不符，我們將 𝛿 的範圍修正為 −_2j¹ < 𝛿 < 0。接著，將 𝛿 的範

圍值恆正，所以得到 0 < _2𝑗¹ + 𝛿 < _2𝑗¹ ，此時 𝑟 的奇偶判斷式修正為 𝑟 =

⌊^{(2𝑗−1)𝑥}_2𝑗^1+𝑥2+ 𝛿⌋ 𝑚𝑜𝑑 2 = ⌊^{(2𝑗−1)𝑥}_2𝑗^1+𝑥2−1+_2𝑗¹ + 𝛿⌋ 𝑚𝑜𝑑 2。因此，根據式(4.15)，

在 𝑥₁ < 𝑥₂ 的情況下，當

|

^{(𝑥1−𝑥2)𝑝}

𝑗𝑀

| > |

^{(𝑥1+𝑥2)}

2𝑀

|

時， 𝑟 的奇偶判斷則為

⌊^{(2𝑗−1)𝑥}_2𝑗^1+𝑥2−1⌋ 𝑚𝑜𝑑 2。

(2)

|

^{(𝑥1−𝑥}_𝑗𝑀^2)𝑝

| < |

^(𝑥1_2𝑀^+𝑥2)

|

當

|

^{(𝑥1−𝑥}_𝑗𝑀^2)𝑝

| < |

^(𝑥1_2𝑀^+𝑥2)

|

時，根據式(4.22)可以推論出 𝛿 的範圍為 0 <

𝛿 <_2𝑗¹ ，展開後為 ^{((𝑥2−𝑥1)𝑝)}

𝑗𝑀

<

^{(𝑥1+𝑥2)}

2𝑀 ，經化簡後得到

^2𝑝−𝑗

2𝑝+𝑗

𝑥

₂

< 𝑥

₁，又我們 知道 𝑥₁ < 𝑥₂，統整得到式(4.23)：

2𝑝 − 𝑗

2𝑝 + 𝑗𝑥₂ < 𝑥₁ < 𝑥₂。 (4.23)

接著，比較 𝑥₁ 和 𝑥₂ 的差異：

𝑥₂−2𝑝 − 𝑗

2𝑝 + 𝑗𝑥₂ = 2𝑗

2𝑝 + 𝑗𝑥₂ < 2𝑗。 (4.24)

根據式(4.24)，可以得知 𝑥₂− 𝑥₁ < 2𝑗。令 𝑥₂ = 𝑥₁+ 𝑘，其中 0 < 𝑘 < 2𝑗，

接著可以得到 (2𝑗 − 1)𝑥₁+ 𝑥₂ = 2𝑗𝑥₁+ 𝑘，根據式子，0 < 𝑘 < 2𝑗，我們可以知 道 (2𝑗 − 1)𝑥₁+ 𝑥₂ 不能被 2𝑗 整除，所以我們推論 𝑟 = ⌊^{(2𝑗−1)𝑥}_2𝑗^1+𝑥2⌋ =

⌊^{(2𝑗−1)𝑥}_2𝑗^1+𝑥2−1⌋ 。因此，根據式(4.15)，𝑥₁ < 𝑥₂ ，於 |^{(𝑥1−𝑥}_𝑗𝑀^2)𝑝| < |^(𝑥1_2𝑀^+𝑥2)| 時，𝑟

的奇偶判斷則為 ⌊^{(2𝑗−1)𝑥}_2𝑗^1+𝑥2−1⌋ 𝑚𝑜𝑑 2。

最後，根據以上兩種情況，我們可以統整推論，當 𝑥₁ < 𝑥₂ 時，𝑟 的奇偶 性質判斷皆為 ⌊^{(2𝑗−1)𝑥}_2𝑗^1+𝑥2−1⌋ 𝑚𝑜𝑑 2。

因此，綜上所述，在 𝑥₁ ≥ 𝑥₂ 的情況下，當 ^𝑗+1₂ 和 𝑝 為相異奇偶性質 時，𝑋 的奇偶判斷取決於 ⌊^{(2𝑗−1)𝑥}_2𝑗^1+𝑥2⌋ 𝑚𝑜𝑑 2；反之， ^𝑗+1₂ 和 𝑝 為相同奇偶

(2𝑗−1)𝑥₁+𝑥₂

21

的情況下，當 ^𝑗+1₂ 和 𝑝 相異奇偶性質時，𝑋 的奇偶判斷決定於

⌊^{(2𝑗−1)𝑥}_2𝑗^1+𝑥2−1⌋ 𝑚𝑜𝑑 2；反之， ^𝑗+1₂ 和 𝑝 為相同奇偶性質時，則 𝑋 的奇偶判 斷決定於 𝑥₁+ 𝑥₂+ ⌊^{(2𝑗−1)𝑥}_2𝑗^1+𝑥2−1⌋ 𝑚𝑜𝑑 2。

第五章 實驗結果

5.1 前言

根據第四章的方法，本章將 ^𝑗+1₂ 和 𝑝 對 𝑋 的奇偶性質分析等四種模數組 情況來驗證，其中包含 {11,21} 、{21,31} 、 {15,29} 、 {29,43} 。即模數組 𝑇 = {2𝑝 − 5,2𝑝 + 5 } ， 𝑝 分成偶數和奇數來討論，並舉例 𝑝 = 8 和 𝑝 = 13 來驗證。另外，模數組 𝑇 = {2𝑝 − 7,2𝑝 + 7 } ， 𝑝 也分成偶數和奇數來討論，

並舉例 𝑝 = 11 和 𝑝 = 18 來實驗。

5.2 模數組 𝑻 = {𝟐𝒑 − 𝟓, 𝟐𝒑 + 𝟓 }

當 𝑗 = 5 時，模數組為 𝑇 = {𝑚₁ = 2𝑝 − 5, 𝑚₂ = 2𝑝 + 5 }，其中 𝑝 為整

數且滿足 𝑝 = 3 𝑚𝑜𝑑 5，根據本文的方法，我們可以得到，給定一個餘數系統

的數值 𝑋 = {𝑥₁, 𝑥₂ }，於模數組 𝑇 = {2𝑝 − 5,2𝑝 + 5 }，其中 𝑝 為整數且滿足 𝑝 = 3 𝑚𝑜𝑑 5， ^𝑗+1₂ = ⁵⁺¹₂ = 3 為奇數。因此，在 𝑥₁ ≥ 𝑥₂ 時，當 𝑝 為偶數，𝑋 的奇偶判斷取決於 ⌊^9𝑥1₁₀^+𝑥2⌋ 𝑚𝑜𝑑 2；反之，當 𝑝 為奇數，𝑋 的奇偶判斷取決 於 𝑥₁+ 𝑥₂+ ⌊^9𝑥1₁₀^+𝑥2⌋ 𝑚𝑜𝑑 2。又在 𝑥₁ < 𝑥₂時，當 𝑝 為偶數時，𝑋 奇偶性質為

⌊^9𝑥1+𝑥₁₀²⁻¹⌋ 𝑚𝑜𝑑 2，反之，當 𝑝 為奇數時，𝑋 奇偶性質則為 𝑥₁+ 𝑥₂+

⌊^9𝑥1+𝑥₁₀²⁻¹⌋ 𝑚𝑜𝑑 2。

，

5.3 模數組 𝑻 = {𝟐𝒑 − 𝟓, 𝟐𝒑 + 𝟓 } 結果分析

5.3.1

𝒑 = 𝟖 為偶數

23

X

𝑥₁ 𝑥₂ 𝑟₁ 𝑟₂ X 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑟₁ 𝑟₂ X 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑟₁ 𝑟₂ X 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑟₁ 𝑟₂

25

X

𝑥₁ 𝑥₂ 𝑟₁ 𝑟₂ X 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑟₁ 𝑟₂ X 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑟₁ 𝑟₂ X 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑟₁ 𝑟₂ 58 3 16 0 116 6 11 0 174 9 6 0

5.3.2

𝒑 = 𝟏𝟑 為奇數

接著，我們將討論 𝑝 為奇數時的情形。我們設為 𝑝 = 13 ，並將 𝑋 動態 範圍內所有的數值對於奇偶性質判斷結果呈列如下表二。其中，當 𝑝 = 13 時，模數組為 𝑇 = {𝑚₁ = 21, 𝑚₂ = 31 }，該動態範圍為 𝑀 = 651，令數值為 𝑋 = (𝑥₁, 𝑥₂)，其中 𝑥₁ = 𝑋 𝑚𝑜𝑑 21、𝑥₂ = 𝑋 𝑚𝑜𝑑 31。因 𝑝 = 13 為奇數，當 𝑥₁ ≥ 𝑥₂ 時， 𝑋 的奇偶判斷取決於 𝑥₁+ 𝑥₂+ ⌊^9𝑥1₁₀^+𝑥2⌋ 𝑚𝑜𝑑 2；又當 𝑥₁ < 𝑥₂

時，𝑋 奇偶性質為 𝑥₁+ 𝑥₂+ ⌊^9𝑥1+𝑥₁₀²⁻¹⌋ 𝑚𝑜𝑑 2 。

根據本文的方法，當 𝑋 = 519 = (15,23) 時，因 𝑝 為奇數且 𝑥₁ < 𝑥₂ ， 所以可以得到 𝑟₂ = 𝑥₁+ 𝑥₂+ ⌊^9𝑥1+𝑥₁₀²⁻¹⌋ 𝑚𝑜𝑑 2 = 1為奇數。因此，可得知本 文方法與實際上相符。(𝑟₁ = 𝑥₁+ 𝑥₂+ ⌊^9𝑥1₁₀^+𝑥2⌋ 𝑚𝑜𝑑 2、𝑟₂ = 𝑥₁+ 𝑥₂+

⌊^9𝑥1+𝑥₁₀²⁻¹⌋ 𝑚𝑜𝑑 2)

表 二 數值 𝑋 對模數組{ 21 , 31 }奇偶校驗結果

X

𝑥₁ 𝑥₂ 𝑟₁ 𝑟₂ X 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑟₁ 𝑟₂ X 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑟₁ 𝑟₂ X 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑟₁ 𝑟₂ 1 1 1 1 166 19 11 0 331 16 21 1 496 13 0 0 2 2 2 0 167 20 12 1 332 17 22 0 497 14 1 1 3 3 3 1 168 0 13 0 333 18 23 1 498 15 2 0 4 4 4 0 169 1 14 1 334 19 24 0 499 16 3 1 5 5 5 1 170 2 15 0 335 20 25 1 500 17 4 0 6 6 6 0 171 3 16 1 336 0 26 0 501 18 5 1 7 7 7 1 172 4 17 0 337 1 27 1 502 19 6 0 8 8 8 0 173 5 18 1 338 2 28 0 503 20 7 1 9 9 9 1 174 6 19 0 339 3 29 1 504 0 8 0 10 10 10 0 175 7 20 1 340 4 30 0 505 1 9 1

X

𝑥₁ 𝑥₂ 𝑟₁ 𝑟₂ X 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑟₁ 𝑟₂ X 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑟₁ 𝑟₂ X 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑟₁ 𝑟₂

27

X

𝑥₁ 𝑥₂ 𝑟₁ 𝑟₂ X 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑟₁ 𝑟₂ X 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑟₁ 𝑟₂ X 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑟₁ 𝑟₂

29

X

𝑥₁ 𝑥₂ 𝑟₁ 𝑟₂ X 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑟₁ 𝑟₂ X 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑟₁ 𝑟₂ X 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑟₁ 𝑟₂ 155 8 0 1 320 5 10 0 485 2 20 1 650 20 30 0 156 9 1 0 321 6 11 1 486 3 21 0

157 10 2 1 322 7 12 0 487 4 22 1 158 11 3 0 323 8 13 1 488 5 23 0 159 12 4 1 324 9 14 0 489 6 24 1 160 13 5 0 325 10 15 1 490 7 25 0 161 14 6 1 326 11 16 0 491 8 26 1 162 15 7 0 327 12 17 1 492 9 27 0 163 16 8 1 328 13 18 0 493 10 28 1 164 17 9 0 329 14 19 1 494 11 29 0 165 18 10 1 330 15 20 0 495 12 30 1

5.4 模數組 𝑻 = {𝟐𝒑 − 𝟕, 𝟐𝒑 + 𝟕 }

接著，探討本文方法的另一種情形，我們設 𝑗 = 7 作為實驗驗證。當 𝑗 =

7 時，模數組則為 𝑇 = {𝑚₁ = 2𝑝 − 7, 𝑚₂ = 2𝑝 + 7 }，其中 𝑝 為整數且滿足 𝑝 = 4 𝑚𝑜𝑑 7。給定一個餘數系統的數值 𝑋 = {𝑥₁, 𝑥₂ }，於模數組 𝑇 = {2𝑝 − 7,2𝑝 + 7 }，其中 𝑝 為整數且滿足 𝑝 = 4 𝑚𝑜𝑑 7， ^𝑗+1₂ =⁷⁺¹₂ = 4 為偶數。因 此，我們可以得到，當 𝑥₁ ≥ 𝑥₂ 時， 𝑝 為奇數，𝑋 的奇偶判斷取決於

⌊^13𝑥₁₄^1+𝑥2⌋ 𝑚𝑜𝑑 2；反之， 𝑝 為偶數時，𝑋 的奇偶判斷則為 𝑥₁+ 𝑥₂+

⌊^13𝑥₁₄^1+𝑥2⌋ 𝑚𝑜𝑑 2。又當 𝑥₁ < 𝑥₂時，𝑝 為奇數，𝑋 奇偶性質判斷為

⌊^13𝑥1₁₄^+𝑥2−1⌋ 𝑚𝑜𝑑 2，反之， 𝑝 為偶數時，𝑋 奇偶性質判斷則為 𝑥₁ + 𝑥₂ +

⌊^13𝑥1₁₄^+𝑥2−1⌋ 𝑚𝑜𝑑 2。

5.5 模數組 𝑻 = {𝟐𝒑 − 𝟕, 𝟐𝒑 + 𝟕 } 結果分析

𝒑 = 𝟏𝟏 為奇數

31

根據上述分析結果，我們先以 𝑝 = 11 為奇數做驗證， 𝑋 動態範圍內所有

的數值對於奇偶性質判斷結果呈列如下表三。其中， 𝑝 = 11 時，模數組為 𝑇 = {𝑚₁ = 15, 𝑚₂ = 29 }，該動態範圍為 𝑀 = 435，令數值為 𝑋 = (𝑥₁, 𝑥₂)，其 中 𝑥₁ = 𝑋 𝑚𝑜𝑑 15、𝑥₂ = 𝑋 𝑚𝑜𝑑 29。因 𝑝 = 11 為奇數，根據本文的方法知 道，當 𝑥₁ ≥ 𝑥₂ 時， 𝑋 的奇偶判斷取決於 ⌊^13𝑥₁₄^1+𝑥2⌋ 𝑚𝑜𝑑 2；又當 𝑥₁ < 𝑥₂

時，𝑋 奇偶性質判斷則為 ⌊^13𝑥1₁₄^+𝑥2−1⌋ 𝑚𝑜𝑑 2 。

根據本文的方法，當 𝑋 = 227 = (2,24) 時，因 𝑝 為奇數且 𝑥₁ < 𝑥₂ ，所 以 𝑟₂ = ⌊^13𝑥1₁₄^+𝑥2−1⌋ 𝑚𝑜𝑑 2 = 1 為奇數。因此，可得知本文方法與實際上相 符。(𝑟₁ = ⌊^13𝑥₁₄^1+𝑥2⌋ 𝑚𝑜𝑑 2、𝑟₂ = ⌊^13𝑥1₁₄^+𝑥2−1⌋ 𝑚𝑜𝑑 2)

表 三 數值 𝑋 對模數組{ 15 , 29 }奇偶校驗結果

X

𝑥₁ 𝑥₂ 𝑟₁ 𝑟₂ X 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑟₁ 𝑟₂ X 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑟₁ 𝑟₂ X 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑟₁ 𝑟₂ 1 1 1 1 111 6 24 1 221 11 18 1 331 1 12 1 2 2 2 0 112 7 25 0 222 12 19 0 332 2 13 0 3 3 3 1 113 8 26 1 223 13 20 1 333 3 14 1 4 4 4 0 114 9 27 0 224 14 21 0 334 4 15 0 5 5 5 1 115 10 28 1 225 0 22 1 335 5 16 1 6 6 6 0 116 11 0 0 226 1 23 0 336 6 17 0 7 7 7 1 117 12 1 1 227 2 24 1 337 7 18 1 8 8 8 0 118 13 2 0 228 3 25 0 338 8 19 0 9 9 9 1 119 14 3 1 229 4 26 1 339 9 20 1 10 10 10 0 120 0 4 0 230 5 27 0 340 10 21 0 11 11 11 1 121 1 5 1 231 6 28 1 341 11 22 1 12 12 12 0 122 2 6 0 232 7 0 0 342 12 23 0 13 13 13 1 123 3 7 1 233 8 1 1 343 13 24 1 14 14 14 0 124 4 8 0 234 9 2 0 344 14 25 0 15 0 15 1 125 5 9 1 235 10 3 1 345 0 26 1 16 1 16 0 126 6 10 0 236 11 4 0 346 1 27 0 17 2 17 1 127 7 11 1 237 12 5 1 347 2 28 1 18 3 18 0 128 8 12 0 238 13 6 0 348 3 0 0

X

𝑥₁ 𝑥₂ 𝑟₁ 𝑟₂ X 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑟₁ 𝑟₂ X 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑟₁ 𝑟₂ X 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑟₁ 𝑟₂

33

X

𝑥₁ 𝑥₂ 𝑟₁ 𝑟₂ X 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑟₁ 𝑟₂ X 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑟₁ 𝑟₂ X 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑟₁ 𝑟₂ 91 1 4 1 201 6 27 1 311 11 21 1 421 1 15 1 92 2 5 0 202 7 28 0 312 12 22 0 422 2 16 0 93 3 6 1 203 8 0 1 313 13 23 1 423 3 17 1 94 4 7 0 204 9 1 0 314 14 24 0 424 4 18 0 95 5 8 1 205 10 2 1 315 0 25 1 425 5 19 1 96 6 9 0 206 11 3 0 316 1 26 0 426 6 20 0 97 7 10 1 207 12 4 1 317 2 27 1 427 7 21 1 98 8 11 0 208 13 5 0 318 3 28 0 428 8 22 0 99 9 12 1 209 14 6 1 319 4 0 1 429 9 23 1 100 10 13 0 210 0 7 0 320 5 1 0 430 10 24 0 101 11 14 1 211 1 8 1 321 6 2 1 431 11 25 1 102 12 15 0 212 2 9 0 322 7 3 0 432 12 26 0 103 13 16 1 213 3 10 1 323 8 4 1 433 13 27 1 104 14 17 0 214 4 11 0 324 9 5 0 434 14 28 0 105 0 18 1 215 5 12 1 325 10 6 1

106 1 19 0 216 6 13 0 326 11 7 0

107 2 20 1 217 7 14 1 327 12 8 1 108 3 21 0 218 8 15 0 328 13 9 0 109 4 22 1 219 9 16 1 329 14 10 1 110 5 23 0 220 10 17 0 330 0 11 0

5.5.2

𝒑 = 𝟏𝟖 為偶數

接著，我們再提出 𝑝 = 18 為偶數的情形，𝑋 動態範圍內所有的數值對於

奇偶性質判斷結果呈列如下表四。其中，當 𝑝 = 18 時，模數組為 𝑇 = {𝑚₁ = 29, 𝑚₂ = 43 }，該動態範圍為 𝑀 = 1247，令數值為 𝑋 = (𝑥₁, 𝑥₂)，其中 𝑥₁ = 𝑋 𝑚𝑜𝑑 29、𝑥₂ = 𝑋 𝑚𝑜𝑑 43。接著因 𝑝 = 18 為偶數，根據本文的方法可以得 到，當 𝑥₁ ≥ 𝑥₂ 時， 𝑋 的奇偶判斷取決於 𝑥₁+𝑥₂+ ⌊^13𝑥₁₄^1+𝑥2⌋ 𝑚𝑜𝑑 2；又當 𝑥₁ < 𝑥₂ 時，𝑋 奇偶性質為 𝑥₁+𝑥₂+ ⌊^13𝑥1₁₄^+𝑥2−1⌋ 𝑚𝑜𝑑 2 。

根據本文的方法，當 𝑋 = 646 = (8,1) 時，因 𝑝 為偶數且 𝑥₁ ≥ 𝑥₂ ，所

35

X

𝑥₁ 𝑥₂ 𝑟₁ 𝑟₂ X 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑟₁ 𝑟₂ X 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑟₁ 𝑟₂

X

𝑥₁ 𝑥₂ 𝑟₁ 𝑟₂

37

X

𝑥₁ 𝑥₂ 𝑟₁ 𝑟₂ X 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑟₁ 𝑟₂ X 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑟₁ 𝑟₂

X

𝑥₁ 𝑥₂ 𝑟₁ 𝑟₂

39

X

𝑥₁ 𝑥₂ 𝑟₁ 𝑟₂ X 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑟₁ 𝑟₂ X 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑟₁ 𝑟₂

X

𝑥₁ 𝑥₂ 𝑟₁ 𝑟₂

41

X

𝑥₁ 𝑥₂ 𝑟₁ 𝑟₂ X 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑟₁ 𝑟₂ X 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑟₁ 𝑟₂

X

𝑥₁ 𝑥₂ 𝑟₁ 𝑟₂

43

X

𝑥₁ 𝑥₂ 𝑟₁ 𝑟₂ X 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑟₁ 𝑟₂ X 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑟₁ 𝑟₂

X

𝑥₁ 𝑥₂ 𝑟₁ 𝑟₂ 318 28 17 0 638 0 36 0 958 1 12 0

319 0 18 1 639 1 37 1 959 2 13 1 320 1 19 0 640 2 38 0 960 3 14 0

45

第六章 結論與未來研究方向

6.1 結論

本文主要是討論利用餘數系統進行奇偶校驗，我們一開始先將模數組 𝑇 = {2𝑝 − 3,2𝑝 + 3 } 作分析，接著將此分析擴充為模數組 {2𝑝 − 𝑗, 2𝑝 + 𝑗 }，因 此，可以得到，在 𝑥₁ ≥ 𝑥₂ 情況下，當 ^𝑗+1₂ 和 𝑝 為相異奇偶性質時，𝑋 的

奇偶判斷取決於 ⌊((2𝑗 − 1)𝑥₁+ 𝑥₂) 2𝑗⁄ ⌋ 𝑚𝑜𝑑 2；反之，當 ^𝑗+1₂ 和 𝑝 為相同奇 偶性質時，𝑋 的奇偶判斷等於 𝑥₁+ 𝑥₂+ ⌊((2𝑗 − 1)𝑥₁+ 𝑥₂) 2𝑗⁄ ⌋ 𝑚𝑜𝑑 2。又在 𝑥₁ < 𝑥₂情況下， 當 ^𝑗+1₂ 和 𝑝 相異為奇偶性質時，𝑋 的奇偶判斷決定於

⌊((2𝑗 − 1)𝑥₁+ 𝑥₂− 1) 2𝑗⁄ ⌋ 𝑚𝑜𝑑 2；反之，當 ^𝑗+1₂ 和 𝑝 為相同奇偶性質時，

⌊((2𝑗 − 1)𝑥₁+ 𝑥₂− 1) 2𝑗⁄ ⌋ 𝑚𝑜𝑑 2；反之，當 ^𝑗+1₂ 和 𝑝 為相同奇偶性質時，

在文檔中 架構於餘數系統之模數組{2p-j,2p+j}進行有效率的奇偶校驗 (頁 14-57)