架構於餘數系統之模數組{2p-j,2p+j}進行有效率的奇偶校驗
57
0
0
全文
(2) 架構於餘數系統之模數組{ 𝟐𝒑 − 𝒋, 𝟐𝒑 + 𝒋 }進行有效 率的奇偶校驗 指導教授：陳佳妍 博士 陳建源 博士 國立高雄大學資訊工程學系研究所 學生：洪文彬 國立高雄大學資訊工程學系研究所. 摘要. 餘數系統的運算特性是無論在加法、減法以及乘法上都具有平行、無進位 和快速的性質。然而，餘數系統對於正負符號的偵測、溢位的偵測、數值的比 較和除法的運算就非常困難。其中，除法必須利用數值的比較，數值的比較架 構於溢位的偵測，而溢位的偵測可由正負符號偵測來完成，然正負符號偵測可 以靠奇偶校驗技術來驗證，因此，奇偶校驗技術是目前餘數系統最重要的課題 之一。 本論文主要是在餘數系統下，架構於一對模數組 {2𝑝 − 𝑗, 2𝑝 + 𝑗 }，提出有 效率的奇偶之校驗技術。給定一個餘數系統的數值 𝑋 = {𝑥1 , 𝑥2 }，模數組 𝑇 = {2𝑝 − 𝑗, 2𝑝 + 𝑗 } ，其中 𝑗 為奇數和 𝑝 為整數且滿足 𝑝 = 𝑥1 ≥ 𝑥2 ，且. 𝑗+1 2. 𝑗+1 2. 𝑚𝑜𝑑 𝑗。在. 和 𝑝 為相異奇偶性質時，𝑋 的奇偶判斷取決於 𝑗+1. ⌊((2𝑗 − 1)𝑥1 + 𝑥2 )⁄2𝑗 ⌋ 𝑚𝑜𝑑 2；反之，. 2. 和 𝑝 為相同奇偶性質時，𝑋 的奇偶. 判斷取決於 𝑥1 + 𝑥2 + ⌊((2𝑗 − 1)𝑥1 + 𝑥2 )⁄2𝑗⌋ 𝑚𝑜𝑑 2。又在 𝑥1 < 𝑥2 ， 且. 𝑗+1 2. 和. 𝑝 相異奇偶性質時，𝑋 的奇偶判斷決定於 ⌊((2𝑗 − 1)𝑥1 + 𝑥2 − 1)⁄2𝑗⌋ 𝑚𝑜𝑑 2； i.
(3) 𝑗+1. 反之，. 2. 和 𝑝 為相同奇偶性質時，𝑋 的奇偶判斷決定於 𝑥1 + 𝑥2 +. ⌊((2𝑗 − 1)𝑥1 + 𝑥2 − 1)⁄2𝑗⌋ 𝑚𝑜𝑑 2。. 關鍵字：餘數系統、奇偶校驗方法。. ii.
(4) Residue Number System Parity Detection Technique Using the Two-Moduli Set { 𝟐𝒑 − 𝒋, 𝟐𝒑 + 𝒋 } Advisors : Dr. Chia-Yen Chen Dr. Chien-Yuan Chen Department of Computer Science and Information Engineering National University of Kaohsiung Student: Wen-Bin Hong Department of Computer Science and Information Engineering National University of Kaohsiung. ABSTRACT. Residue Number System (RNS) has computational advantages for addition, subtraction and multiplication because of its properties of parallel, carry free, and highspeed arithmetic. But Residue Number System has computational problem for sign detection, overflow detection, number comparison and division. Division has to use with the number comparison. Number comparison is based on overflow detection. Overflow detection can accomplish the sing detection. Sing detection can confirm by parity detection technique. Therefore, parity detection technique is one of the most important issue in the Residue Number System. This paper discusses Residue Number System parity detection technique using two-moduli set {2𝑝 − 𝑗, 2𝑝 + 𝑗 }. Given an RNS number 𝑋 = {𝑥1 , 𝑥2 } based on the two-moduli set 𝑇 = {2𝑝 − 𝑗, 2𝑝 + 𝑗 },where 𝑗 is odd and 𝑝 is positive integer satisfying 𝑝 =. 𝑗+1 2. 𝑚𝑜𝑑 𝑗 . If 𝑥1 ≥ 𝑥2 ,. 𝑗+1 2. and 𝑝 are the different parity , it found. that the parity of 𝑋 is ⌊((2𝑗 − 1)𝑥1 + 𝑥2 )⁄2𝑗 ⌋ 𝑚𝑜𝑑 2. On the contrary, are the same parity, that the parity of 𝑋 is 𝑥1 + 𝑥2 + iii. 𝑗+1 2. and 𝑝.
(5) ⌊((2𝑗 − 1)𝑥1 + 𝑥2 )⁄2𝑗 ⌋ 𝑚𝑜𝑑 2. If 𝑥1 < 𝑥2 ,. 𝑗+1 2. and 𝑝 are the different parity , it. found that the parity of 𝑋 is ⌊((2𝑗 − 1)𝑥1 + 𝑥2 − 1)⁄2𝑗⌋ 𝑚𝑜𝑑 2. Otherwise, and 𝑝 are the same parity, that the parity of 𝑋 is 𝑥1 + 𝑥2 + ⌊((2𝑗 − 1)𝑥1 + 𝑥2 − 1)⁄2𝑗⌋ 𝑚𝑜𝑑 2.. Keywords: residue number system, parity detection technique. iv. 𝑗+1 2.
(6) 致謝 本論文之所以能夠完成，首先必須要感謝我的兩位指導教授陳佳妍老師及 陳建源老師。跟隨陳佳妍老師六年半以來，每當我遇到學業上或生活上的各種 問題，老師總是以微笑來給我任何建議，非常感謝老師多年來的提攜。陳建源 老師在論文方向及研究的方法上總是給予許多寶貴的建議，使我在研究過程中 有豐碩的成就。承蒙兩位老師的教導，讓我學習到的不只是專業領域知識，還 有處理問題時應有的嚴謹思維與規劃能力，這都令我獲益匪淺，在此致上由衷 的謝意。 同時，也要感謝我的碩士論文口試委員，王振仲教授及楊仁和教授，百忙 之中來參加口試會議並且對於我的碩士論文進行指導與修正，這些寶貴的意見 與建議，使本人的畢業論文更加豐富與完善。 此外，在高大的生活中，特別感謝系辦助理淑真，感謝您無時無刻的給予 我任何的幫助，也感謝新程、宏全、柏森、視覺與圖學實驗室一起奮鬥的夥伴 及曾經幫助過我的朋友們，有你們在的這些日子裡，不論是研究或娛樂各方 面，讓我充滿活力與快樂，使我在高大的學習生活上特別精采。 最後，我將此篇論文獻給我誠摯的父親洪雙龍、母親黃麗惠以及兄長洪俊 義，感謝家人在我漫長的求學生涯中，一路上給予我支持與鼓勵，你們的支持 是成就我最大的力量，感謝你們！. 洪文彬. 謹致於. 蚵子寮塭堵龍興堂 歲次甲午年花月. v.
(7) 目錄. 摘要................................................................................................................................. i ABSTRACT ................................................................................................................ iii 致謝................................................................................................................................ v 目錄............................................................................................................................... vi 圖目錄........................................................................................................................ viii 表目錄........................................................................................................................... ix 第一章 緒論............................................................................................................ 1 1.1 前言............................................................................................................ 1 1.2 研究目的.................................................................................................... 2 1.3 研究方法.................................................................................................... 3 1.4 論文架構.................................................................................................... 3 第二章 餘數系統.................................................................................................... 5 2.1 2.2 2.3 2.4 第三章 3.1 3.2 3.3 第四章. 前言............................................................................................................ 5 餘數系統定義 ........................................................................................... 5 餘數系統運算特性 ................................................................................... 6 中國餘數定理 ........................................................................................... 7 文獻探討.................................................................................................... 8 Lu 和 Chiang 的方法 ............................................................................ 8 Chen 的方法 ............................................................................................ 8 Chen 及 Hsueh 的方法 ............................................................................ 9 研究方法.................................................................................................. 11. 4.1 4.2 4.3 第五章 5.1 5.2 5.3 5.3.1 5.3.2. 前言.......................................................................................................... 11 模數組 𝑻 = {𝟐𝒑 − 𝟑, 𝟐𝒑 + 𝟑 } .............................................................. 12 模數組 𝑻 = {𝟐𝒑 − 𝒋, 𝟐𝒑 + 𝒋 } ................................................................ 15 實驗結果.................................................................................................. 22 前言.......................................................................................................... 22 模數組 𝑻 = {𝟐𝒑 − 𝟓, 𝟐𝒑 + 𝟓 } .............................................................. 22 模數組 𝑻 = {𝟐𝒑 − 𝟓, 𝟐𝒑 + 𝟓 } 結果分析 ............................................ 22 𝒑 = 𝟖 為偶數 ..................................................................................... 22 𝒑 = 𝟏𝟑 為奇數 ................................................................................... 25. 5.4 5.5. 模數組 𝑻 = {𝟐𝒑 − 𝟕, 𝟐𝒑 + 𝟕 } .............................................................. 30 模數組 𝑻 = {𝟐𝒑 − 𝟕, 𝟐𝒑 + 𝟕 } 結果分析 ............................................ 30 vi.
(8) 5.5.1 𝒑 = 𝟏𝟏 為奇數 ................................................................................... 30 5.5.2 𝒑 = 𝟏𝟖 為偶數 ................................................................................... 34 第六章 結論與未來研究方向 ............................................................................. 45 6.1 結論.......................................................................................................... 45 6.2 未來研究方向 ......................................................................................... 45 參考文獻...................................................................................................................... 46. vii.
(9) 圖目錄. 圖 一 使用餘數系統於同態加密演算法流程 ........................................................... 1 圖 二 𝑿 奇偶性質判斷流程 .................................................................................... 17. viii.
(10) 表目錄. 表 一 數值 𝐗 對模數組{ 𝟏𝟏 , 𝟐𝟏 }奇偶校驗結果 .................................................. 23 表 二 數值 𝐗 對模數組{ 𝟐𝟏 , 𝟑𝟏 }奇偶校驗結果 .................................................. 25 表 三 數值 𝐗 對模數組{ 𝟏𝟓 , 𝟐𝟑 }奇偶校驗結果 .................................................. 31 表 四 數值 𝐗 對模數組{ 𝟐𝟗 , 𝟒𝟑 }奇偶校驗結果 .................................................. 35. ix.
(11) 第一章 緒論. 1.1. 前言 在科技日新月異的時代，技術與硬體的不斷改進，人類之需求亦逐漸提. 升，舉凡影像、音訊、視頻、三維物件等數位資料日益普及，使用者透過網際 網路的方式，共享軟硬體資源和訊息，而孕育了雲端運算的誕生。雲端運算 (Cloud Computing)是一個模式，能隨時便利的透過網路存取設定好的共享運算 資源（如網路、伺服器、儲存裝置、應用程式與各類服務）。它透過網路上眾多 電腦，使其可以進行平行運算，為近年來熱門的研究主題之一。 惟雲端運算的便利性，也逐漸了解到隱私及安全性的重要，為了解決安全 上的疑慮，有學者[1] 提出使用餘數系統平行運算特性，運用於同態加密演算 法來確保雲端資料的安全性以及正確性，如圖一所示。. Step 1:將明文加密傳 送至伺服器. Step 2:利用餘數系統 進行運算. Step 3:將運算結果回 傳解密. 圖 一 使用餘數系統於同態加密演算法流程 1.
(12) 另外，為了滿足人類在生活中對於各種電子產品的需求，而透過超大型積 體電路所設計出各式各樣晶片，其中包含手機、平板電腦、電視、以及眾多消 費性電子產品等。超大型積體電路(Very-large-scale integration，簡稱 VLSI)近年 來研究中，也使用餘數系統來提高效能[2] 。利用餘數系統中模數組的各餘數 計算間無進位關係，而減少 VLSI 中的路徑時間，進而提高計算效率；餘數系 統也將 VLSI 的單次複雜計算，利用多個獨立間的簡單計算代替，使得可以用 來節省資源(如矽片面積)，並且運算速度提高，運算後便轉入休眠狀態，進而 降低功率。因此餘數系統也是近年來眾多學者探討的問題之一[15] ,[16] 。. 1.2. 研究目的 餘數系統(Residue Number System,簡稱 RNS)[11] 主要是以中國餘數定理以. 及德國數學家高斯提出同餘運算(Modular Arithmetic)的兩種理論作為基礎，所實 現的一種餘數運算系統。餘數系統的基本概念是將一個大的數值轉化成若干個小 數值，然後以平行的方式執行運算，因為數值較小，所以計算速度較快。 該系統是一套利用獨立數字表示法的運算系統，對每一個數值的表示式皆是 唯一(unique)的，因此數碼系統的應用上，這是一個非常重要的特性。目前可以 應用在密碼學、影像處理、數位訊號處理和平行處理上[9] ,[10] ，其運算性質無 論在加法、減法以及乘法上都具有平行(parallel)、無進位(carry-free)和快速(highspeed)的特性存在，而且它比一般傳統二進制系統(Binary Number System)[3] 不 需要考慮進位的問題，因此對能夠對於大數運算提供很好的效率。 然而，餘數系統對於正負符號的偵測(sign detection)、溢位的偵測(overflow detection)、數值的比較(number comparison)和除法的運算(division)就非常困難。 其中，除法必須利用數值的比較[7] ，而數值的比較架構於溢位的偵測，而溢位 的偵測可由正負符號偵測來完成，然正負符號偵測可靠奇偶校驗技術來驗證，因 此，奇偶校驗技術是目前餘數系統最重要的課題之一。. 2.
(13) 1.3. 研究方法 本論文主要的研究方法是在餘數系統下，架構於一模數組 {2𝑝 − 𝑗, 2𝑝 +. 𝑗 }，提出有效率的奇偶校驗技術。首先先以模數組 {2𝑝 − 3,2𝑝 + 3 }，其中 𝑝 為整數且滿足 𝑝 = 2 𝑚𝑜𝑑 3，設計出 𝑋 = {𝑥1 , 𝑥2 } 奇偶校驗分析，利用中國餘 數定理可計算數值 𝑋 的奇偶情形：當 𝑥1 ≥ 𝑥2 ，且 𝑝 為奇數時，𝑋 的奇偶判 斷取決於 ⌊(5𝑥1 + 𝑥2 )/6⌋ 𝑚𝑜𝑑 2；反之， 𝑝 為偶數時，𝑋 的奇偶判斷為 𝑥1 + 𝑥2 + ⌊(5𝑥1 + 𝑥2 )/6⌋ 𝑚𝑜𝑑 2。又當 𝑥1 < 𝑥2 ，且 𝑝 為奇數時，𝑋 奇偶性質為 ⌊((5𝑥1 + 𝑥2 ) − 1)/6⌋ 𝑚𝑜𝑑 2，反之， 𝑝 為偶數時，𝑋 奇偶性質則為 𝑥1 + 𝑥2 + ⌊((5𝑥1 + 𝑥2 ) − 1)/6⌋ 𝑚𝑜𝑑 2。 接著將模數組擴充為 {2𝑝 − 𝑗, 2𝑝 + 𝑗 }，並提出奇偶校驗技術。給定一個餘 數系統的數值 𝑋 = {𝑥1 , 𝑥2 }，模數組 𝑇 = {2𝑝 − 𝑗, 2𝑝 + 𝑗 } ，其中 𝑗 為奇數和 𝑝 為整數且滿足 𝑝 =. 𝑗+1 2. 𝑚𝑜𝑑 𝑗 。在 𝑥1 ≥ 𝑥2 的情況下，. 𝑗+1 2. 和 𝑝 為相異奇偶. 性質時，𝑋 的奇偶判斷取決於 ⌊((2𝑗 − 1)𝑥1 + 𝑥2 )⁄2𝑗 ⌋ 𝑚𝑜𝑑 2；反之，. 𝑗+1 2. 和𝑝. 為相同奇偶性質時，𝑋 的奇偶判斷則為 𝑥1 + 𝑥2 + ⌊((2𝑗 − 1)𝑥1 + 𝑥2 )⁄2𝑗 ⌋ 𝑚𝑜𝑑 2。又在 𝑥1 < 𝑥2 的情況下，. 𝑗+1 2. 和 𝑝 為相異奇偶. 性質時，𝑋 的奇偶判斷決定於 ⌊((2𝑗 − 1)𝑥1 + 𝑥2 − 1)⁄2𝑗⌋ 𝑚𝑜𝑑 2；反之，. 𝑗+1 2. 和. 𝑝 為相同奇偶性質時，𝑋 的奇偶判斷決定於 𝑥1 + 𝑥2 + ⌊((2𝑗 − 1)𝑥1 + 𝑥2 − 1)⁄2𝑗⌋ 𝑚𝑜𝑑 2。 最後將本文方法所得到結果，進行實驗論證。將 𝑗 = 5 及 𝑗 = 7 代入本文 方法所設定之模數組，並分析其結果，結果發現其奇偶性質與實際相符，因此 可以得到本文奇偶校驗方法是有效的。. 1.4. 論文架構 本論文之內容將分為六大章，內容簡述如下： 3.
(14) 第一章、緒論 主要在於介紹本研究之研究背景、研究目的、動機，以及簡介研究方法，再者 即為介紹本文之架構。 第二章、餘數系統 本章將描述本研究所需之餘數系統定義、中國餘數定理概念。 第三章、文獻探討 本章將現有重要文獻進行回顧。 第四章、研究方法 本章將描述推導本論文研究方法之過程及結果。 第五章、實驗結果 利用數據驗證本研究理論最後成果，並展示其結果。 第六章、結論與未來研究方向 總結本論文之研究成果，並提出未來之建議研究方向。. 4.
(15) 第二章 餘數系統. 2.1 前言 在資訊領域中，二進制數字系統(Binary Number System)通常以 0 和 1 來表 示數值。在進行運算時，每個位元間存在著進位/借位的情況，是屬於權重數字 系統(Weighted Number System)。然而餘數系統(Residue Number System) 其運算 性質無論在加法、減法以及乘法上都具有平行(parallel)、無進位(carry-free)和快 速(high-speed)的特性存在。. 2.2 餘數系統定義 餘數系統(Residue Number System)的定義是建構在一組基底(Base)上。假設 該基底由 𝑛 個正整數形成一組集合，此組基底集合(moduil set)表示式為 {𝑚1 , 𝑚2 , 𝑚3 , ⋯ , 𝑚𝑛−1 , 𝑚𝑛 }，其中每個 𝑚𝑖 (𝑖 = 1,2,3,4, … , 𝑛)皆為一個獨立的模數 組(module)，且𝐺𝐶𝐷(𝑚𝑖 , 𝑚𝑗 ) = 1，𝑖 ≠ 𝑗。 給定一個正整數數值 𝑋 ，其經過餘數系統表示如下：. 𝑅𝑁𝑆. 𝑋→. (𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , ⋯ , 𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛 )，. (2.1). 其中每個 𝑥𝑖 為 𝑋 對於第 𝑖 個模數(module)取餘數的結果，即為 𝑥𝑖 = 𝑋 𝑚𝑜𝑑 𝑚𝑖 = | 𝑋 |𝑚𝑖 ，0 ≤ 𝑥𝑖 < 𝑚𝑖 。 然而在餘數系統中，每一個整數都只有一個餘數表示式，每一個數就只有一 個最小的餘數，因此我們以 Ｍ 表示餘數系統能夠表示數字的範圍為動態範圍 (dynamic range)，其中： 5.
(16) 𝑀 = 𝑚1 × 𝑚2 × 𝑚3 × ⋯ × 𝑚𝑛−1 × 𝑚𝑛 = ∏. 𝑛. 𝑚𝑖 ，. 𝑖=1. (2.2). 0 ≤ 𝑋 < 𝑀。. 2.3 餘數系統運算特性 假設有一個模數組 𝑇 = {𝑚1 , 𝑚2 , 𝑚3 , ⋯ , 𝑚𝑛−1 , 𝑚𝑛 }，其中每個 𝑚𝑖 (𝑖 = 1,2,3,4, … , 𝑛)皆為兩兩互質之正整數。給定兩個正整數 𝑋、𝑌，其中動態範圍為 0 ≤ 𝑋 < 𝑀、0 ≤ 𝑌 < 𝑀，𝑀 = ∏𝑛𝑖=1 𝑚𝑖 。因此我們可以得到，𝑋 的餘數系統表 示式為(𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , ⋯ , 𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛 )，其中 𝑥𝑖 = 𝑋 𝑚𝑜𝑑 𝑚𝑖 ；𝑌 的餘數系統表示式為 (𝑦1 , 𝑦2 , 𝑦3 , ⋯ , 𝑦𝑛−1 , 𝑦𝑛 )，其中 𝑦𝑖 = 𝑌 𝑚𝑜𝑑 𝑚𝑖 。 接著定義餘數系統加法(Modular addition)運算數學式子為[13] ：. 𝑋 + 𝑌 = (|𝑥1 + 𝑦1 |𝑚1 , |𝑥2 + 𝑦2 |𝑚2 , ⋯ , |𝑥𝑛 + 𝑦𝑛 |𝑚𝑛 )。. (2.3). 餘數系統減法(Modular subtraction)運算數學式子為：. 𝑋 − 𝑌 = (|𝑥1 − 𝑦1 |𝑚1 , |𝑥2 − 𝑦2 |𝑚2 , ⋯ , |𝑥𝑛 − 𝑦𝑛 |𝑚𝑛 )。. (2.4). 餘數系統乘法(Modular multiplication)運算數學式子為：. 𝑋 × 𝑌 = (|𝑥1 × 𝑦1 |𝑚1 , |𝑥2 × 𝑦2 |𝑚2 , ⋯ , |𝑥𝑛 × 𝑦𝑛 |𝑚𝑛 )。. 6. (2.5).
(17) 2.4 中國餘數定理 中國餘數定理最早起源於《老子算經》中的『物不知數』，為提出線性同餘 (congruence) 理論之始祖，南宋秦九韶 (1202-1261) 的一般化解法和德國數學 家高斯 (Gauss) 於 1801 年所發表的剩餘定理相同，因此，西方國家稱此類型 的問題為『中國餘數定理』(Chinese Remainder Theorem,簡稱 CRT)[14] 。中國 餘數定理的計算運用了整數在模數組演算(modular arithmetic)的特性。中國餘數 定理之描述如下： 令 𝑚1 , 𝑚2 , 𝑚3 , ⋯ , 𝑚𝑛−1 , 𝑚𝑛 為兩兩互質的正整數，其中𝑀 = ∏𝑛𝑖=1 𝑚𝑖 ，對 任意整數𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , ⋯ , 𝑎𝑛−1 , 𝑎𝑛 ，則有以下特性：. X = 𝑎1 𝑚𝑜𝑑 𝑚1 X = 𝑎2 𝑚𝑜𝑑 𝑚2 X = 𝑎3 𝑚𝑜𝑑 𝑚3 ⋮ { X = 𝑎𝑛 𝑚𝑜𝑑 𝑚𝑛. (2.6). 以上等式之系統可使 𝑋 在整數中有唯一解。當有 𝑛 組(𝑎𝑖 , 𝑚𝑖 )時，可由中 國餘數定理解回 𝑀 中的唯一解 𝑋 (1 ≤ 𝑖 < 𝑛)。因此可以得到 𝑋 解公式：. 𝑛. 𝑋 = ∑ 𝑎𝑖 𝑖=1. 其中. 𝑀 𝑚𝑖. 𝑀 𝑦 𝑚𝑜𝑑 𝑀。 𝑚𝑖 𝑖. (2.7). × 𝑦𝑖 = 1 𝑚𝑜𝑑 𝑚𝑖 ，則得到：. 𝑀 −1 𝑦𝑖 = ( ) 𝑚𝑜𝑑 𝑚𝑖 。 𝑚𝑖. 7. (2.8).
(18) 第三章 文獻探討. 3.1. Lu 和 Chiang 的方法 1992 年，Lu 和 Chiang 等學者[6] 提出利用奇偶校驗技術來解決數值比較. 的問題。如果該數為偶數，其奇偶性質為 0；否則它的奇偶性質為 1。Lu 和 Chiang 首先先對兩個數值 𝑋、𝑌 與 𝑋、𝑌 和 𝑋 − 𝑌 的奇偶性質來做討論。根 據 Lu 和 Chiang 所提的定理 3，若 𝑋 和 𝑌 具有相同奇偶性質，且令 Z = 𝑋 − 𝑌，如果 Z 是偶數，則 𝑋 ≥ 𝑌；如果 Z 為奇數，則 𝑋 < 𝑌。又定理 4 所述，若 𝑋 和 𝑌具有不同奇偶性質，且令Z = 𝑋 − 𝑌，如果 Z 是奇數，則 𝑋 ≥ 𝑌；如果 Z 為偶數，則 𝑋 < 𝑌。 根據以上兩個定理，利用奇偶特性來比較兩數的大小，因此他們提出奇偶 校驗方法。首先使用一個額外的模數(modulus)2，對所有的餘數系統奇偶性質 來建立表格，以便日後查詢，不過這樣的表格太大，且不切實際。然而，利用 餘數系統及小數表示方式，來判斷奇偶性質，不過此方法需要太多的計算時間 及儲存空間。. 3.2. Chen 的方法 2006 年 Chen 學者[5] ，提出了改良 Lu 和 Chiang 學者的方法，該方法是利. 用兩個模數組 𝑇 = {2ℎ − 1, 2ℎ + 1 }，且 ℎ 為正整數來進行奇偶校驗。我們可 以得到𝑀 = 22ℎ − 1，| 1⁄𝑚2 |𝑚1 = 𝑚2 −1 mod 𝑚1 = 2ℎ−1 和 | 1⁄𝑚1 |𝑚2 = 𝑚1 −1 mod 𝑚2 = 2ℎ−1，則可以知道：. 8.
(19) Ｘ=. Ｍ𝑥1 2ℎ − 1. 2ℎ−1 +. Ｍ𝑥2 2ℎ + 1. 2ℎ−1 − 𝑟𝑀。. (3.1). 其中Ｘ 和 𝑟 具有相同的奇偶性質，可將上式導出：. 𝑥. 𝑥. 1 2 𝑟 = ⌊2ℎ −1 2ℎ−1 + 2ℎ +1 2ℎ−1 ⌋ = ⌊. 𝑥1 +𝑥2 2. + 𝛿⌋， (3.2). ℎ−1. 其中 |𝛿| = |((𝑥1 − 𝑥2 )/𝑀)2. 1. + (𝑥1 + 𝑥2 )/2𝑀| < 2。. 1. 如果 𝑥1 ≥ 𝑥2 ，我們可以得到0 ≤ 𝛿 < 2，𝑟 的奇偶性質同等於 ⌊(𝑥1 + 𝑥2 𝑚𝑜𝑑 4)/2⌋，如果 𝑥1 < 𝑥2 ，𝑟 的奇偶性質同等於⌊((𝑥1 + 𝑥2 𝑚𝑜𝑑 4) − 1)/2⌋。因此我們可以得到，給定一個數值𝑋 = (𝑥1 , 𝑥2 )，當𝑥1 ≥ 𝑥2 ，𝑋 奇偶性 質同等於⌊(𝑥1 + 𝑥2 𝑚𝑜𝑑 4)/2⌋；反之，當 𝑥1 < 𝑥2 ，𝑋 奇偶性質則同等於 ⌊((𝑥1 + 𝑥2 𝑚𝑜𝑑 4) − 1)/2⌋。明顯地，Chen 的方法不需要建立表格查表以及計算 小數運算。. 3.3. Chen 及 Hsueh 的方法 2011 年由 Chen 和 Hsueh [4] ，為改善模數組 {2ℎ − 1, 2ℎ + 1 }，提出新的. 兩個模數組 𝑇 = {2𝑝 − 1,2𝑝 + 1 } 之奇偶校驗方法。根據模數組 {2𝑝 − 1,2𝑝 + 1 } ， 可以得到𝑀 = 4𝑝2 − 1，| 1⁄𝑚2 |𝑚1 = 𝑝 和| 1⁄𝑚1 |𝑚2 = 𝑝，則可以知道：. Ｘ=. Ｍ𝑥1 2𝑝 − 1. 𝑝+. Ｍ𝑥2 2𝑝 + 1. 其中 𝑟 的關係式表示如下：. 9. 𝑝 − 𝑟𝑀。. (3.3).
(20) 𝑟=⌊. 𝑥1 𝑥2 𝑥1 + 𝑥2 𝑝+ 𝑝⌋ = ⌊ + 𝛿⌋ 2𝑝 − 1 2𝑝 + 1 2. (3.4). 接著藉由 𝑟 的關係，導出 𝑋 的奇偶性質。因此 Chen 和 Hsueh 導出位元 運算結果如下：給定一個數值 𝑋 = (𝑥1 , 𝑥2 )，令 𝑌 = 𝑥1 + 𝑥2 𝑚𝑜𝑑 4。其中使用 二進位表示法表示 𝑌 為 𝑦1 𝑦0 。當 𝑥1 ≥ 𝑥2 ，𝑋 奇偶性質同等於 𝑦1 ⊕ 𝑦0 ；反 之，當 𝑥1 < 𝑥2 ，𝑋 奇偶性質則同等於 𝑦0 ⊕ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑦0 ⊕ 𝑦1 。. 10.
(21) 第四章 研究方法 4.1 前言 給定一個餘數系統的數值 𝑋 = (𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , ⋯ , 𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛 )，模數組 𝑇 = 𝑀. {𝑚1 , 𝑚2 , 𝑚3 , ⋯ , 𝑚𝑛−1 , 𝑚𝑛 }，𝑀 = ∏𝑛𝑖=1 𝑚𝑖 ，𝑚 ̃ 𝑖 = 𝑚 ，𝑥𝑖 = 𝑋 𝑚𝑜𝑑 𝑚𝑖 = | 𝑋 |𝑚𝑖 ， 𝑖. 根據式(2.7)，我們知道：. 𝑛. 𝑥𝑖 | | 。 𝑚 ̃𝑖 𝑚. Ｘ = |∑ 𝑚 ̃𝑖 | 𝑖=1. 𝑖. (4.1). Ｍ. 根據式(4.1)，可以改寫如下：. Ｍ. 𝑥. Ｘ = 𝑚 |𝑚̃1 | 1. 1. 𝑚1. Ｍ. 𝑥. + 𝑚 |𝑚̃2 | 2. 2. 𝑚2. Ｍ. 𝑥. + ⋯ + 𝑚 |𝑚̃𝑛 | 𝑛. 𝑛. 𝑚𝑛. − 𝑟𝑀，. 其中 𝑟 為整數。如果所有的模數組皆為奇數性質，則 Ｍ 和. (4.2). 𝑀 𝑚𝑖. 也是奇數性. 𝑥. 𝑥. 𝑚𝑖 𝑚 𝑖. 𝑚𝑖 𝑚 𝑖. 質。因此可以推論 Ｘ 的奇偶性質則由 | ̃𝑖 | 和 𝑟 來判斷。接著令 | ̃𝑖 |. =. 𝑡𝑖 ，改寫式(4.2)如下：. 𝑟=. 其中 𝑟 為整數且. 𝑋 𝑀. 𝑡1 𝑡2 𝑡𝑛 𝑋 + + ⋯+ − ， 𝑚1 𝑚2 𝑚𝑛 𝑀. < 1。進一步導出：. 11. (4.3).
(22) 𝑟=⌊. 𝑡1 𝑡2 𝑡𝑛 + +⋯+ ⌋。 𝑚1 𝑚2 𝑚𝑛. (4.4). 𝑥. 在上列式(4.4)，對於每個 |𝑚̃𝑖 | 都可化簡如下： 𝑖. 𝑚𝑖. 𝑥𝑖 1 | | = 𝑥𝑖 | | − 𝑘𝑖 𝑚𝑖 。 𝑚 ̃𝑖 𝑚 𝑚 ̃𝑖 𝑚 𝑖. (4.5). 𝑖. 因此可以化簡式(4.2)，得到下列式(4.6)：. Ｘ=. Ｍ𝑥1 1 |. 𝑚1 𝑚 ̃1. | 𝑚1. +. Ｍ𝑥2 1. Ｍ𝑥𝑛 1 | | + ⋯+ | | − 𝑟 ′ 𝑀。 𝑚2 𝑚 ̃ 2 𝑚2 𝑚𝑛 𝑚 ̃𝑛 𝑚. (4.6). 𝑛. 4.2 模數組 𝑻 = {𝟐𝒑 − 𝟑, 𝟐𝒑 + 𝟑 } 本方法一開始先架構於模數組 {2𝑝 − 3,2𝑝 + 3 }，而提出有效率的奇偶校驗 技術。首先我們先假設模數組為 𝑇 = {𝑚1 = 2𝑝 − 3, 𝑚2 = 2𝑝 + 3 } [12] ，其中 𝑝 為整數且滿足 𝑝 = 2 𝑚𝑜𝑑 3，接著可以得到該動態範圍為 𝑀 = 4𝑝2 − 9，並 計算 |1/𝑚2 |𝑚1 = (5𝑝 − 7)/3 和 |1/𝑚1 |𝑚2 = (𝑝 + 1)/3 ，因為 𝑝 = 2 𝑚𝑜𝑑 3， 所以 (5𝑝 − 7)/3 和 (𝑝 + 1)/3 均為整數，將上述式子代入式(4.2)，可以得到 式(4.7)：. 𝑋=. 𝑀𝑥1 5𝑝 − 7 𝑀𝑥2 𝑝 + 1 + − 𝑟𝑀。 2𝑝 − 3 3 2𝑝 + 3 3. (4.7). 根據式(4.7)我們可以知道，當 (𝑝 − 2)/3 為奇數時，𝑋 的奇偶判斷決定於 𝑟 ；反之，𝑋 的奇偶判斷則決定於 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑟 𝑚𝑜𝑑 2。 又 (𝑝 − 2)/3 = 𝑘 為奇數，令 𝑘 = 2𝑛 + 1，𝑝 = 3(2𝑛 + 1) + 2 = 12.
(23) 2(3𝑛 + 2) + 1，則 𝑝 必為奇數。 因此，我們可以化簡為，當 𝑝 為奇數時，𝑋 的奇偶判斷決定於 𝑟 ；反 之，𝑝 為偶數時，𝑋 的奇偶判斷則決定於 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑟 𝑚𝑜𝑑 2。接著，根據式 (4.4)和式(4.7)，代入可得式(4.8)：. 𝑟=⌊. 𝑥1 5𝑝 − 7 𝑥2 𝑝 + 1 + ⌋。 2𝑝 − 3 3 2𝑝 + 3 3. (4.8). 又知道. 1 2𝑝−3. 和. =. 1 2𝑝+3. 1 2𝑝. =. 3. +(. 1 2𝑝. 2𝑝(2𝑝−3). −(. )=. 3. 2𝑝(2𝑝+3). 1 2𝑝. )=. +. 1 2𝑝. 3 𝑀. −. +. 3 𝑀. 9 2𝑝𝑀. +. ，. 9 2𝑝𝑀. 。. (4.9). (4.10). 經由式(4.9)和式(4.10)化簡後，我們可得式(4.11)：. 5𝑥1 + 𝑥2 + 𝛿⌋ ， 6. (4.11). (5𝑥1 − 𝑥2 ) (𝑥1 + 𝑥2 ) (−7𝑥1 + 𝑥2 ) (−21𝑥1 + 3𝑥2 ) 𝑝+ + + 。 𝑀 2𝑀 6𝑝 2𝑝𝑀. (4.12). 𝑟=⌊. 其中. 𝛿=. 接著，我們知道 0 ≤ 𝑥1 < 2𝑝 − 3 和 0 ≤ 𝑥2 < 2𝑝 + 3，因此，可得到：. 13.
(24) |𝛿| = |. (2𝑝 + 3)(2𝑝 − 3) 𝑥1 (2𝑝 + 3) − 𝑥2 (2𝑝 − 3) 1 |<| |= 。 6𝑀 6𝑀 6. (4.13). 根據以上這些式子，我們可以執行 𝑋 奇偶性質之判斷。. 1. 在 𝑥1 ≥ 𝑥2 時，根據式(4.13)可以知道 𝛿 範圍為 0 ≤ 𝛿 < 6 。根據式 (4.11)，𝑟 的奇偶數判斷則為 ⌊ 時，𝑋 的奇偶性質為 ⌊ 𝑥1 + 𝑥2 + ⌊. 5𝑥1 +𝑥2 6. 5𝑥1 +𝑥2 6. 5𝑥1 +𝑥2 6. ⌋ 𝑚𝑜𝑑 2。因此，可以推導出，當 𝑝 為奇數. ⌋ 𝑚𝑜𝑑 2；反之，𝑝 為偶數時，𝑋 的奇偶性質則為. ⌋ 𝑚𝑜𝑑 2。. 接著，當 𝑥1 < 𝑥2 時，將會出現以下兩種情況： (1) 當 |. (𝑥1 −𝑥2 )𝑝 3𝑀. |≥|. (𝑥1 +𝑥2 ) 2𝑀. 𝛿 ≤ 0。如果 𝛿 = 0 ，則 |. 1. | 時，根據式(4.13)可以推導出 𝛿 範圍為 − 6 <. (𝑥1 −𝑥2 )𝑝 3𝑀. |=|. (𝑥1 +𝑥2 ) 2𝑀. | ，我們可以得到 𝑥1 = 𝑥2 =. 1. 0，這與事實不符，所以修正 𝛿 範圍為− 6 < 𝛿 < 0。接著將 𝛿 範圍值恆正， 因此可以得到 𝑟 = ⌊. (2) 當 |. (𝑥1 −𝑥2 )𝑝 3𝑀. 5𝑥1 +𝑥2. |<|. 6. + 𝛿⌋ = ⌊. (𝑥1 +𝑥2 ) 2𝑀. 5𝑥1 +𝑥2 −1. 1. 1. 1. + 6 + 𝛿⌋，滿足 0 < 6 + 𝛿 < 6。. | 時，根據式(4.13)可以推導出 𝛿 範圍為 0 < 𝛿 <. 1. ((𝑥2 −𝑥1 )𝑝). 6. 3𝑀. 。接著，將式子展開後為. 6. <. (𝑥1 +𝑥2 ) 2𝑀. ，經化簡後可得. 2𝑝−3. 𝑥 2𝑝+3 2. <. 𝑥1 ，因知道 𝑥1 < 𝑥2 ，統整後得到式(4.14)： 2𝑝 − 3 𝑥 < 𝑥1 < 𝑥2 。 2𝑝 + 3 2. 14. (4.14).
(25) 明顯的，比較 𝑥1 和 𝑥2 的差異，𝑥2 − 𝑥1 小於 𝑥2 − 6. 𝑥 2𝑝+3 2. 2𝑝−3. 𝑥 2𝑝+3 2. =. < 6。接著，已知 𝑥2 − 𝑥1 < 6，令 𝑥2 = 𝑥1 + 𝑘，其中 0 < 𝑘 < 6，. 5 𝑥1 + 𝑥2 = 6𝑥1 + 𝑘，根據式子，我們知道 5𝑥1 + 𝑥2 不能被 6 整除，因此可以推 論 𝑟=⌊. 5𝑥1 +𝑥2 6. ⌋= ⌊. 5𝑥1 +𝑥2 −1. ⌋。. 6. 最後以上兩種推論情況可以知道，𝑟 皆為 ⌊ 以得到，當 𝑝 為奇數時，𝑋 的奇偶性質為 ⌊ 數時，𝑋 的奇偶性質則為 𝑥1 + 𝑥2 + ⌊. 5𝑥1 +𝑥2 −1. ⌋，因此根據式(4.7)，可. 6. 5𝑥1 +𝑥2 −1 6. ⌋ 𝑚𝑜𝑑 2，反之，當 𝑝 為偶. 5𝑥1 +𝑥2 −1. ⌋ 𝑚𝑜𝑑 2。. 6. 綜上所述，給定一個餘數系統的數值 𝑋 = {𝑥1 , 𝑥2 }，於模數組 𝑇 = {2𝑝 − 3,2𝑝 + 3 }，其中 𝑝 為整數且滿足 𝑝 = 2 𝑚𝑜𝑑 3，我們可以得到，當 𝑥1 ≥ 𝑥2 ， 且 𝑝 為奇數時，𝑋 的奇偶判斷取決於 ⌊ 的奇偶性質為 𝑥1 + 𝑥2 + ⌊ 偶性質為 ⌊ ⌊. 5𝑥1 +𝑥2 −1 6. 5𝑥1 +𝑥2 6. 5𝑥1 +𝑥2 6. ⌋ 𝑚𝑜𝑑 2；反之， 𝑝 為偶數時，𝑋. ⌋ 𝑚𝑜𝑑 2。又當 𝑥1 < 𝑥2 ，且 𝑝 為奇數時，𝑋 奇. ⌋ 𝑚𝑜𝑑 2，反之， 𝑝 為偶數時，𝑋 奇偶性質則為 𝑥1 + 𝑥2 +. 5𝑥1 +𝑥2 −1 6. ⌋ 𝑚𝑜𝑑 2。. 4.3 模數組 𝑻 = {𝟐𝒑 − 𝒋, 𝟐𝒑 + 𝒋 } 接著，將上述模數組 {2𝑝 − 3,2𝑝 + 3 } 的奇偶校驗分析結果，擴展為模數 組 {2𝑝 − 𝑗, 2𝑝 + 𝑗 }。我們先假設模數組為 𝑇 = {𝑚1 = 2𝑝 − 𝑗, 𝑚2 = 2𝑝 + 𝑗 }，其 中 𝑗 為奇數和 𝑝 為整數且滿足𝑝 = 1. 𝑀 = 4𝑝2 − 𝑗 2 ，並計算|𝑚 | 2. 𝑚1. =. 𝑗+1 2. 𝑚𝑜𝑑 𝑗， 接著可以得到該動態範圍為. (4𝑗−2)𝑝+1+𝑗−2𝑗 2 2𝑗. 子代入式(4.2)，可以得到式(4.15)：. 15. 1. 和 |𝑚 | 1. 𝑚2. =. 2𝑝+𝑗−1 2𝑗. ，將上述式.
(26) 𝑋=. 𝑀𝑥1 (4𝑗 − 2)𝑝 + 1 + 𝑗 − 2𝑗 2 𝑀𝑥2 2𝑝 + 𝑗 − 1 + − 𝑟𝑀。 2𝑝 − 𝑗 2𝑗 2𝑝 + 𝑗 2𝑗. 接著已知 𝑝 =. 𝑗+1 2. 𝑚𝑜𝑑 𝑗，因此令 𝑝 = 𝑗𝑡 +. (4.15). 𝑗+1 2. ，其中 𝑡 ≥ 0 且為整數，將式. (4.15)，化簡如下：. 𝑋=. 𝑀𝑥1 𝑀𝑥2 ((2𝑗 − 1)𝑡 + 1) + (𝑡 + 1) − 𝑟𝑀。 2𝑝 − 𝑗 2𝑝 + 𝑗. (4.16). 根據式(4.16)來分析 𝑋 的奇偶性質判斷。當 𝑡 為奇數時，可得到 ((2𝑗 − 1)𝑡 + 1)、(𝑡 + 1) 皆為偶數，所以 𝑋 奇偶性質取決於 𝑟𝑀，又 𝑀 = 4𝑝2 − 𝑗 2 為奇數，因此可以得到 𝑋 的奇偶性質取決於 𝑟 。 接著，當 𝑡 為偶數時，可得到 ((2𝑗 − 1)𝑡 + 1)、(𝑡 + 1) 皆為奇數，又 𝑀. 𝑀𝑥. 2 = 2𝑝 + 𝑗、2𝑝+𝑗 = 2𝑝 − 𝑗、𝑀 = 4𝑝2 − 𝑗 2 也為奇數，因此可以得到 𝑋 的奇. 2𝑝−𝑗. 偶性質取決於 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑟 𝑚𝑜𝑑 2 。 然後，根據上述分析結果，我們可以推論，當 𝑡 為奇數時，𝑋 的奇偶性質 判斷決定於 𝑟 ；反之，當 𝑡 為偶數時， 𝑋 的奇偶性質則決定於 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑟 𝑚𝑜𝑑 2。 因此，根據上述結論，繼續分析 𝑡 的性質。我們知道 𝑗 為奇數，因此令 𝑗 = 2𝑘 − 1，其中 𝑘 為正整數。將 𝑘 代入 𝑡 = 𝑝−𝑘. 𝑝−. 𝑗+1 2. 𝑗. 中，可得到 𝑡 =. 𝑝−. 𝑗+1 2. 𝑗. =. ，因此可以推斷，當 𝑝 、𝑘 為相同奇偶性質時，則 𝑡 為偶數；當 𝑝 、𝑘 為. 2𝑘+1. 相異奇偶性質時，則 𝑡 為奇數。將 𝑘 = 同奇偶性質時，則 𝑡 為偶數；當 最後，當. 𝑗+1 2. 𝑗+1 2. 𝑗+1 2. 轉換後可以得到，當. 𝑗+1 2. 和 𝑝 為. 和 𝑝 為不同奇偶性質時，則 𝑡 為奇數。. 為奇數時，若 𝑝 為奇數，則 𝑋 的奇偶判斷決定於 𝑥1 +. 16.
(27) 𝑗+1. 𝑥2 + 𝑟 𝑚𝑜𝑑 2 ；反之，若 𝑝 為偶數時，則 𝑋 的奇偶判斷決定於 𝑟 。當. 2. 為偶數情況下，若 𝑝 為偶數時，𝑋 的奇偶判斷決定於 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑟 𝑚𝑜𝑑 2 ； 反之，𝑝 為奇數時，𝑋 的奇偶判斷則決定於 𝑟 。圖二列出 𝑋 奇偶性質判斷之 流程。 (𝑗 + 1)/2. 奇數. 偶數 𝑝. 𝑝 偶數. 奇數 𝑋 奇偶等同𝑥1 + 𝑥2. 奇數 𝑋 奇偶等同 𝑟. 𝑋 奇偶等同 𝑟. + 𝑟 𝑚𝑜𝑑 2. 偶數 𝑋 奇偶等同𝑥1 + 𝑥2 + 𝑟 𝑚𝑜𝑑 2. 圖 二 𝑋 奇偶性質判斷流程. 定理 給定一個餘數系統的數值 𝑋 = {𝑥1 , 𝑥2 }，於模數組 𝑇 = {𝑚1 = 2𝑝 − 𝑗, 𝑚2 = 2𝑝 + 𝑗 }，其中 𝑗 為奇數和 𝑝 為整數且滿足 𝑝 =. 𝑗+1 2. 𝑚𝑜𝑑 𝑗，令 𝑡 =. 𝑝−. 𝑗+1 2. 𝑗. ，我. 們可以得到，在 𝑥1 ≥ 𝑥2 的情形下， 𝑡 為奇數時，𝑋 的奇偶判斷取決於 ⌊. (2𝑗−1)𝑥1 +𝑥2. ⌊. (2𝑗−1)𝑥1 +𝑥2. 2𝑗. 2𝑗. 定於 ⌊. ⌋ 𝑚𝑜𝑑 2；反之， 𝑡 為偶數時，𝑋 的奇偶性質為 𝑥1 + 𝑥2 + ⌋ 𝑚𝑜𝑑 2。又在 𝑥1 < 𝑥2 的情形下， 𝑡 為奇數時，𝑋 的奇偶判斷決. (2𝑗−1)𝑥1 +𝑥2 −1. 𝑥1 + 𝑥2 + ⌊. ⌋ 𝑚𝑜𝑑 2；反之， 𝑡 為偶數時，則 𝑋 的奇偶性質決定於. 2𝑗. (2𝑗−1)𝑥1 +𝑥2 −1 2𝑗. ⌋ 𝑚𝑜𝑑 2。. 17.
(28) 證明 根據式(4.4)和式(4.15)，代入可得式(4.17)：. 𝑥1 (4𝑗 − 2)𝑝 + 1 + 𝑗 − 2𝑗 2 𝑥2 2𝑝 + 𝑗 − 1 𝑟=⌊ + ⌋。 2𝑝 − 𝑗 2𝑗 2𝑝 + 𝑗 2𝑗. (4.17). 又因為. 1 1 𝑗 1 𝑗 𝑗2 = +( )= + + ， 2𝑝 − 𝑗 2𝑝 2𝑝(2𝑝 − 𝑗) 2𝑝 𝑀 2𝑝𝑀. 和. 1 1 𝑗 1 𝑗 𝑗2 = −( )= − + 。 2𝑝 + 𝑗 2𝑝 2𝑝(2𝑝 + 𝑗) 2𝑝 𝑀 2𝑝𝑀. (4.18). (4.19). 經由式(4.18)和式(4.19)化簡後，我們可得式(4.20)：. 𝑟=⌊. (2𝑗 − 1)𝑥1 + 𝑥2 + 𝛿⌋ ， 2𝑗. (4.20). 其中. ((1 + 𝑗 − 2𝑗 2 )𝑥1 + (𝑗 − 1)𝑥2 ) ((2𝑗 − 1)𝑥1 − 𝑥2 )𝑝 (𝑥1 + 𝑥2 ) 𝛿= + + 4𝑝𝑗 𝑀 2𝑀 ((𝑗 + 𝑗 2 − 2𝑗 3 )𝑥1 + (𝑗 2 − 𝑗)𝑥2 ) + 。 4𝑝𝑀. (4.21). 接著，我們知道 0 ≤ 𝑥1 < 2𝑝 − 𝑗 和 0 ≤ 𝑥2 < 2𝑝 + 𝑗，因此，可得到：. 18.
(29) |𝛿| = |. (2𝑝 + 𝑗)(2𝑝 − 𝑗) 𝑥1 (2𝑝 + 𝑗) − 𝑥2 (2𝑝 − 𝑗) 1 |<| |= 。 2𝑗𝑀 2𝑗𝑀 2𝑗. (4.22). 根據以上這些式子，我們可以執行下列 𝑋 奇偶數之判斷。. 1. 情況一：當 𝑥1 ≥ 𝑥2 時，根據式(4.22)可以推導出 𝛿 的範圍為 0 ≤ 𝛿 < 2𝑗，根 據式(4.20)， 𝑟 的奇偶數判斷為⌊ 𝑥1 ≥ 𝑥2 ，當 ⌊. (2𝑗−1)𝑥1 +𝑥2 2𝑗. 𝑗+1 2. (2𝑗−1)𝑥1 +𝑥2 2𝑗. ⌋ 𝑚𝑜𝑑 2。因此，我們可以推論，在. 和 𝑝 為相異奇偶性質時，𝑋 奇偶性質等同於 𝑗+1. ⌋ 𝑚𝑜𝑑 2；反之，當. 等同於 𝑥1 + 𝑥2 + ⌊. (2𝑗−1)𝑥1 +𝑥2 2𝑗. 2. 和 𝑝 為相同奇偶性質時，則 𝑋 奇偶性質. ⌋ 𝑚𝑜𝑑 2. 情況二：當 𝑥1 < 𝑥2 時，將會出現以下兩種情況：. (1) |. (𝑥1 −𝑥2 )𝑝 𝑗𝑀. 當 |. |≥|. (𝑥1 −𝑥2 )𝑝 𝑗𝑀. (𝑥1 +𝑥2 ) 2𝑀. |≥|. |. (𝑥1 +𝑥2 ) 2𝑀. 1. |時，根據式(4.22)可以推論出 𝛿 的範圍為 − 2j <. (𝑥1 −𝑥2 )𝑝. 𝛿 ≤ 0 。如果 𝛿 = 0，則 |. 𝑗𝑀. (𝑥1 +𝑥2 ). |=|. 2𝑀. |，因此我們可以得到 𝑥1 = 𝑥2 = 1. 0，這與事實不符，我們將 𝛿 的範圍修正為 − 2j < 𝛿 < 0。接著，將 𝛿 的範 1. 1. 圍值恆正，所以得到 0 < 2𝑗 + 𝛿 < 2𝑗 ，此時 𝑟 的奇偶判斷式修正為 𝑟 = ⌊. (2𝑗−1)𝑥1 +𝑥2 2𝑗. + 𝛿⌋ 𝑚𝑜𝑑 2 = ⌊. (2𝑗−1)𝑥1 +𝑥2 −1. 在 𝑥1 < 𝑥2 的情況下，當 | ⌊. 2𝑗. (𝑥1 −𝑥2 )𝑝 𝑗𝑀. 1. + 2𝑗 + 𝛿⌋ 𝑚𝑜𝑑 2。因此，根據式(4.15)，. |>|. (2𝑗−1)𝑥1 +𝑥2 −1 2𝑗. ⌋ 𝑚𝑜𝑑 2。. 19. (𝑥1 +𝑥2 ) 2𝑀. |時， 𝑟 的奇偶判斷則為.
(30) (2) |. (𝑥1 −𝑥2 )𝑝 𝑗𝑀. 當 |. |<|. (𝑥1 −𝑥2 )𝑝 𝑗𝑀. (𝑥1 +𝑥2 ) 2𝑀. |<|. 1. 𝛿 < 2𝑗 ，展開後為. |. (𝑥1 +𝑥2 ) 2𝑀. ((𝑥2 −𝑥1 )𝑝) 𝑗𝑀. | 時，根據式(4.22)可以推論出 𝛿 的範圍為 0 < <. (𝑥1 +𝑥2 ). 2𝑝−𝑗. 2𝑀. 2𝑝+𝑗. ，經化簡後得到. 𝑥2 < 𝑥1，又我們. 知道 𝑥1 < 𝑥2 ，統整得到式(4.23)：. 2𝑝 − 𝑗 𝑥 < 𝑥1 < 𝑥2 。 2𝑝 + 𝑗 2. (4.23). 接著，比較 𝑥1 和 𝑥2 的差異：. 𝑥2 −. 2𝑝 − 𝑗 2𝑗 𝑥2 = 𝑥 < 2𝑗。 2𝑝 + 𝑗 2𝑝 + 𝑗 2. (4.24). 根據式(4.24)，可以得知 𝑥2 − 𝑥1 < 2𝑗。令 𝑥2 = 𝑥1 + 𝑘，其中 0 < 𝑘 < 2𝑗， 接著可以得到 (2𝑗 − 1)𝑥1 + 𝑥2 = 2𝑗𝑥1 + 𝑘，根據式子，0 < 𝑘 < 2𝑗，我們可以知 道 (2𝑗 − 1)𝑥1 + 𝑥2 不能被 2𝑗 整除，所以我們推論 𝑟 = ⌊ ⌊. (2𝑗−1)𝑥1 +𝑥2. (2𝑗−1)𝑥1 +𝑥2 −1. (𝑥1 −𝑥2 )𝑝. 2𝑗. 𝑗𝑀. ⌋ 。因此，根據式(4.15)，𝑥1 < 𝑥2 ，於 |. 的奇偶判斷則為 ⌊. 2𝑗. |<|. ⌋=. (𝑥1 +𝑥2 ) 2𝑀. | 時，𝑟. (2𝑗−1)𝑥1 +𝑥2 −1. ⌋ 𝑚𝑜𝑑 2。. 2𝑗. 最後，根據以上兩種情況，我們可以統整推論，當 𝑥1 < 𝑥2 時，𝑟 的奇偶 性質判斷皆為 ⌊. (2𝑗−1)𝑥1 +𝑥2 −1 2𝑗. ⌋ 𝑚𝑜𝑑 2。. 因此，綜上所述，在 𝑥1 ≥ 𝑥2 的情況下，當 時，𝑋 的奇偶判斷取決於 ⌊. (2𝑗−1)𝑥1 +𝑥2 2𝑗. 𝑗+1 2. 和 𝑝 為相異奇偶性質. ⌋ 𝑚𝑜𝑑 2；反之，. 性質時，𝑋 的奇偶判斷等於 𝑥1 + 𝑥2 + ⌊. (2𝑗−1)𝑥1 +𝑥2. 20. 2𝑗. 𝑗+1 2. 和 𝑝 為相同奇偶. ⌋ 𝑚𝑜𝑑 2。又在 𝑥1 < 𝑥2.
(31) 𝑗+1. 的情況下，當 ⌊. 2. 和 𝑝 相異奇偶性質時，𝑋 的奇偶判斷決定於. (2𝑗−1)𝑥1 +𝑥2 −1. 𝑗+1. 2𝑗. 2. ⌋ 𝑚𝑜𝑑 2；反之，. 斷決定於 𝑥1 + 𝑥2 + ⌊. 和 𝑝 為相同奇偶性質時，則 𝑋 的奇偶判. (2𝑗−1)𝑥1 +𝑥2 −1 2𝑗. ⌋ 𝑚𝑜𝑑 2。. 21.
(32) 第五章 實驗結果. 5.1 前言 根據第四章的方法，本章將. 𝑗+1 2. 和 𝑝 對 𝑋 的奇偶性質分析等四種模數組. 情況來驗證，其中包含 {11,21} 、{21,31} 、 {15,29} 、 {29,43} 。即模數組 𝑇 = {2𝑝 − 5,2𝑝 + 5 } ， 𝑝 分成偶數和奇數來討論，並舉例 𝑝 = 8 和 𝑝 = 13 來驗證。另外，模數組 𝑇 = {2𝑝 − 7,2𝑝 + 7 } ， 𝑝 也分成偶數和奇數來討論， 並舉例 𝑝 = 11 和 𝑝 = 18 來實驗。. 5.2 模數組 𝑻 = {𝟐𝒑 − 𝟓, 𝟐𝒑 + 𝟓 } 當 𝑗 = 5 時，模數組為 𝑇 = {𝑚1 = 2𝑝 − 5, 𝑚2 = 2𝑝 + 5 }，其中 𝑝 為整 數且滿足 𝑝 = 3 𝑚𝑜𝑑 5，根據本文的方法，我們可以得到，給定一個餘數系統 的數值 𝑋 = {𝑥1 , 𝑥2 }，於模數組 𝑇 = {2𝑝 − 5,2𝑝 + 5 }，其中 𝑝 為整數且滿足 𝑝 = 3 𝑚𝑜𝑑 5，. 𝑗+1 2. =. 的奇偶判斷取決於 ⌊ 於 𝑥1 + 𝑥2 + ⌊ ⌊. 9𝑥1 +𝑥2 −1. ⌊. 9𝑥1 +𝑥2 −1. 10. 10. 9𝑥1 +𝑥2 10. 5+1 2. = 3 為奇數。因此，在 𝑥1 ≥ 𝑥2 時，當 𝑝 為偶數，𝑋. 9𝑥1 +𝑥2 10. ⌋ 𝑚𝑜𝑑 2；反之，當 𝑝 為奇數，𝑋 的奇偶判斷取決. ⌋ 𝑚𝑜𝑑 2。又在 𝑥1 < 𝑥2 時，當 𝑝 為偶數時，𝑋 奇偶性質為. ⌋ 𝑚𝑜𝑑 2，反之，當 𝑝 為奇數時，𝑋 奇偶性質則為 𝑥1 + 𝑥2 + ⌋ 𝑚𝑜𝑑 2。. ，. 5.3 模數組 𝑻 = {𝟐𝒑 − 𝟓, 𝟐𝒑 + 𝟓 } 結果分析 5.3.1 𝒑 = 𝟖 為偶數 根據上述分析結果，當 𝑝 = 8 時， 𝑋 動態範圍所有的數值呈列如下表 22.
(33) 一。其中， 𝑝 = 8 時，模數組為 𝑇 = {𝑚1 = 11, 𝑚2 = 21 }，該動態範圍為 𝑀 = 231，令數值 𝑋 = (𝑥1 , 𝑥2 )，其中 𝑥1 = 𝑋 𝑚𝑜𝑑 11、𝑥2 = 𝑋 𝑚𝑜𝑑 21。因 𝑝 = 8 為偶數，當 𝑥1 ≥ 𝑥2 時， 𝑋 的奇偶判斷取決於 ⌊ 𝑥1 < 𝑥2 時，𝑋 的奇偶性質判斷為 ⌊. 9𝑥1 +𝑥2 10. ⌋ 𝑚𝑜𝑑 2；又當. 9𝑥1 +𝑥2 −1 10. ⌋ 𝑚𝑜𝑑 2 。. 根據本文的方法，當 𝑋 = 85 = (8,1) 時，因 𝑝 為偶數且 𝑥1 < 𝑥2 ，所以 𝑟2 = ⌊. 9𝑥1 +𝑥2 −1 10. (𝑟1 = ⌊. 9𝑥1 +𝑥2 10. ⌋ 𝑚𝑜𝑑 2 = 1 為奇數。因此，可得知本文方法與實際上相符。. ⌋ 𝑚𝑜𝑑 2 、𝑟2 = ⌊. 9𝑥1 +𝑥2 −1 10. ⌋ 𝑚𝑜𝑑 2). 表 一 數值 𝑋 對模數組{ 11 , 21 }奇偶校驗結果 X 𝑥1 𝑥2 𝑟1 𝑟2. X 𝑥1 𝑥2 𝑟1 𝑟2. X 𝑥1 𝑥2 𝑟1 𝑟2. X 𝑥1 𝑥2 𝑟1 𝑟2. 1. 1. 1. 1. 59. 4 17. 1 117 7 12. 1 175 10 7. 2. 2. 2. 0. 60. 5 18. 0 118 8 13. 0 176 0. 8. 0. 3. 3. 3. 1. 61. 6 19. 1 119 9 14. 1 177 1. 9. 1. 4. 4. 4. 0. 62. 7 20. 0 120 10 15. 0 178 2 10. 0. 5. 5. 5. 1. 63. 8. 0. 1. 121 0 16. 1 179 3 11. 1. 6. 6. 6. 0. 64. 9. 1. 0. 122 1 17. 0 180 4 12. 0. 7. 7. 7. 1. 65 10 2. 1. 123 2 18. 1 181 5 13. 1. 8. 8. 8. 0. 66. 0. 3. 0 124 3 19. 0 182 6 14. 0. 9. 9. 9. 1. 67. 1. 4. 1 125 4 20. 1 183 7 15. 1. 10 10 10 0. 68. 2. 5. 0 126 5. 0. 0. 184 8 16. 0. 1. 11 0 11. 1. 69. 3. 6. 1 127 6. 1. 1. 185 9 17. 1. 12 1 12. 0. 70. 4. 7. 0 128 7. 2. 0. 186 10 18. 0. 13 2 13. 1. 71. 5. 8. 1 129 8. 3. 1. 187 0 19. 1. 14 3 14. 0. 72. 6. 9. 0 130 9. 4. 0. 188 1 20. 0. 15 4 15. 1. 73. 7 10. 1 131 10 5. 1. 189 2. 0. 1. 16 5 16. 0. 74. 8 11. 0 132 0. 6. 0 190 3. 1. 0. 17 6 17. 1. 75. 9 12. 1 133 1. 7. 1 191 4. 2. 1. 18 7 18. 0. 76 10 13. 0 134 2. 8. 0 192 5. 3. 0. 19 8 19. 1. 77. 0 14. 1 135 3. 9. 1 193 6. 4. 1. 20 9 20. 0. 78. 1 15. 0 136 4 10. 0 194 7. 5. 0. 79. 2 16. 1 137 5 11. 1 195 8. 6. 1. 21 10 0. 1. 23.
(34) X 𝑥1 𝑥2 𝑟1 𝑟2. X 𝑥1 𝑥2 𝑟1 𝑟2. 22 0. 1. 0. 80. 3 17. 0 138 6 12. 0 196 9. 7. 0. 23 1. 2. 1. 81. 4 18. 1 139 7 13. 1 197 10 8. 1. 24 2. 3. 0. 82. 5 19. 0 140 8 14. 0 198 0. 9. 0. 25 3. 4. 1. 83. 6 20. 1 141 9 15. 1 199 1 10. 1. 26 4. 5. 0. 84. 7. 0. 0. 142 10 16. 0 200 2 11. 0. 27 5. 6. 1. 85. 8. 1. 1. 143 0 17. 1 201 3 12. 1. 28 6. 7. 0. 86. 9. 2. 0. 144 1 18. 0 202 4 13. 0. 29 7. 8. 1. 87 10 3. 1. 145 2 19. 1 203 5 14. 1. 30 8. 9. 0. 88. 0. 4. 0 146 3 20. 0 204 6 15. 0. 31 9 10. 1. 89. 1. 5. 1 147 4. 0. 1. 205 7 16. 1. 32 10 11. 0. 90. 2. 6. 0 148 5. 1. 0. 206 8 17. 0. 33 0 12. 1. 91. 3. 7. 1 149 6. 2. 1. 207 9 18. 1. 34 1 13. 0. 92. 4. 8. 0 150 7. 3. 0. 208 10 19. 0. 35 2 14. 1. 93. 5. 9. 1 151 8. 4. 1. 209 0 20. 1. 36 3 15. 0. 94. 6 10. 0 152 9. 5. 0. 210 1. 0. 0. 37 4 16. 1. 95. 7 11. 1 153 10 6. 1. 211 2. 1. 1. 38 5 17. 0. 96. 8 12. 0 154 0. 7. 0 212 3. 2. 0. 39 6 18. 1. 97. 9 13. 1 155 1. 8. 1 213 4. 3. 1. 40 7 19. 0. 98 10 14. 0 156 2. 9. 0 214 5. 4. 0. 41 8 20. 1. 99. 0 15. 1 157 3 10. 1 215 6. 5. 1. 42 9. X 𝑥1 𝑥2 𝑟1 𝑟2. X 𝑥1 𝑥2 𝑟1 𝑟2. 0. 0. 100 1 16. 0 158 4 11. 0 216 7. 6. 0. 43 10 1. 1. 101 2 17. 1 159 5 12. 1 217 8. 7. 1. 44 0. 2. 0 102 3 18. 0 160 6 13. 0 218 9. 8. 0. 45 1. 3. 1 103 4 19. 1 161 7 14. 1 219 10 9. 1. 46 2. 4. 0 104 5 20. 0 162 8 15. 0 220 0 10. 0. 47 3. 5. 1 105 6. 0. 1. 163 9 16. 1 221 1 11. 1. 48 4. 6. 0 106 7. 1. 0. 164 10 17. 0 222 2 12. 0. 49 5. 7. 1 107 8. 2. 1. 165 0 18. 1 223 3 13. 1. 50 6. 8. 0 108 9. 3. 0. 166 1 19. 0 224 4 14. 0. 51 7. 9. 1 109 10 4. 1. 167 2 20. 1 225 5 15. 1. 52 8 10. 0 110 0. 5. 0 168 3. 0. 0. 226 6 16. 0. 53 9 11. 1 111 1. 6. 1 169 4. 1. 1. 227 7 17. 1. 54 10 12. 0 112 2. 7. 0 170 5. 2. 0. 228 8 18. 0. 55 0 13. 1 113 3. 8. 1 171 6. 3. 1. 229 9 19. 1. 56 1 14. 0 114 4. 9. 0 172 7. 4. 0. 230 10 20. 0. 57 2 15. 1 115 5 10. 1 173 8. 5. 1. 24.
(35) X 𝑥1 𝑥2 𝑟1 𝑟2 58 3 16. X 𝑥1 𝑥2 𝑟1 𝑟2. 0 116 6 11. X 𝑥1 𝑥2 𝑟1 𝑟2. 0 174 9. 6. X 𝑥1 𝑥2 𝑟1 𝑟2. 0. 5.3.2 𝒑 = 𝟏𝟑 為奇數 接著，我們將討論 𝑝 為奇數時的情形。我們設為 𝑝 = 13 ，並將 𝑋 動態 範圍內所有的數值對於奇偶性質判斷結果呈列如下表二。其中，當 𝑝 = 13 時，模數組為 𝑇 = {𝑚1 = 21, 𝑚2 = 31 }，該動態範圍為 𝑀 = 651，令數值為 𝑋 = (𝑥1 , 𝑥2 )，其中 𝑥1 = 𝑋 𝑚𝑜𝑑 21、𝑥2 = 𝑋 𝑚𝑜𝑑 31。因 𝑝 = 13 為奇數，當 𝑥1 ≥ 𝑥2 時， 𝑋 的奇偶判斷取決於 𝑥1 + 𝑥2 + ⌊ 時，𝑋 奇偶性質為 𝑥1 + 𝑥2 + ⌊. 9𝑥1 +𝑥2 10. ⌋ 𝑚𝑜𝑑 2；又當 𝑥1 < 𝑥2. 9𝑥1 +𝑥2 −1. ⌋ 𝑚𝑜𝑑 2 。. 10. 根據本文的方法，當 𝑋 = 519 = (15,23) 時，因 𝑝 為奇數且 𝑥1 < 𝑥2 ， 所以可以得到 𝑟2 = 𝑥1 + 𝑥2 + ⌊. 9𝑥1 +𝑥2 −1. ⌋ 𝑚𝑜𝑑 2 = 1為奇數。因此，可得知本. 10. 文方法與實際上相符。(𝑟1 = 𝑥1 + 𝑥2 + ⌊ ⌊. 9𝑥1 +𝑥2 10. ⌋ 𝑚𝑜𝑑 2、𝑟2 = 𝑥1 + 𝑥2 +. 9𝑥1 +𝑥2 −1 10. ⌋ 𝑚𝑜𝑑 2). 表 二 X 𝑥1 𝑥2 𝑟1 𝑟2. 數值 𝑋 對模數組{ 21 , 31 }奇偶校驗結果 X 𝑥1 𝑥2 𝑟1 𝑟2. X 𝑥1 𝑥2 𝑟1 𝑟2. X 𝑥1 𝑥2 𝑟1 𝑟2. 1. 1. 1. 1. 166 19 11 0. 331 16 21. 1 496 13 0. 0. 2. 2. 2. 0. 167 20 12 1. 332 17 22. 0 497 14 1. 1. 3. 3. 3. 1. 168 0 13. 0 333 18 23. 1 498 15 2. 0. 4. 4. 4. 0. 169 1 14. 1 334 19 24. 0 499 16 3. 1. 5. 5. 5. 1. 170 2 15. 0 335 20 25. 1 500 17 4. 0. 6. 6. 6. 0. 171 3 16. 1 336 0 26. 0 501 18 5. 1. 7. 7. 7. 1. 172 4 17. 0 337 1 27. 1 502 19 6. 0. 8. 8. 8. 0. 173 5 18. 1 338 2 28. 0 503 20 7. 1. 9. 9. 9. 1. 174 6 19. 0 339 3 29. 1 504 0. 8. 0. 10 10 10 0. 175 7 20. 1 340 4 30. 0 505 1. 9. 1. 25.
(36) X 𝑥1 𝑥2 𝑟1 𝑟2. X 𝑥1 𝑥2 𝑟1 𝑟2. X 𝑥1 𝑥2 𝑟1 𝑟2. X 𝑥1 𝑥2 𝑟1 𝑟2. 11 11 11 1. 176 8 21. 0 341 5. 0. 1. 506 2 10. 0. 12 12 12 0. 177 9 22. 1 342 6. 1. 0. 507 3 11. 1. 13 13 13 1. 178 10 23. 0 343 7. 2. 1. 508 4 12. 0. 14 14 14 0. 179 11 24. 1 344 8. 3. 0. 509 5 13. 1. 15 15 15 1. 180 12 25. 0 345 9. 4. 1. 510 6 14. 0. 16 16 16 0. 181 13 26. 1 346 10 5. 0. 511 7 15. 1. 17 17 17 1. 182 14 27. 0 347 11 6. 1. 512 8 16. 0. 18 18 18 0. 183 15 28. 1 348 12 7. 0. 513 9 17. 1. 19 19 19 1. 184 16 29. 0 349 13 8. 1. 514 10 18. 0. 20 20 20 0. 185 17 30. 1 350 14 9. 0. 515 11 19. 1. 21 0 21. 1 186 18 0. 0. 351 15 10 1. 516 12 20. 0. 22 1 22. 0 187 19 1. 1. 352 16 11 0. 517 13 21. 1. 23 2 23. 1 188 20 2. 0. 353 17 12 1. 518 14 22. 0. 24 3 24. 0 189 0. 3. 1 354 18 13 0. 519 15 23. 1. 25 4 25. 1 190 1. 4. 0 355 19 14 1. 520 16 24. 0. 26 5 26. 0 191 2. 5. 1 356 20 15 0. 521 17 25. 1. 27 6 27. 1 192 3. 6. 0 357 0 16. 1 522 18 26. 0. 28 7 28. 0 193 4. 7. 1 358 1 17. 0 523 19 27. 1. 29 8 29. 1 194 5. 8. 0 359 2 18. 1 524 20 28. 0. 30 9 30. 0 195 6. 9. 1 360 3 19. 0 525 0 29. 1 0. 31 10 0. 1. 196 7 10. 0 361 4 20. 1 526 1 30. 32 11 1. 0. 197 8 11. 1 362 5 21. 0 527 2. 0. 1. 33 12 2. 1. 198 9 12. 0 363 6 22. 1 528 3. 1. 0. 34 13 3. 0. 199 10 13. 1 364 7 23. 0 529 4. 2. 1. 35 14 4. 1. 200 11 14. 0 365 8 24. 1 530 5. 3. 0. 36 15 5. 0. 201 12 15. 1 366 9 25. 0 531 6. 4. 1. 37 16 6. 1. 202 13 16. 0 367 10 26. 1 532 7. 5. 0. 38 17 7. 0. 203 14 17. 1 368 11 27. 0 533 8. 6. 1. 39 18 8. 1. 204 15 18. 0 369 12 28. 1 534 9. 7. 0. 40 19 9. 0. 205 16 19. 1 370 13 29. 0 535 10 8. 1. 41 20 10 1. 206 17 20. 0 371 14 30. 1 536 11 9. 0. 42 0 11. 0 207 18 21. 1 372 15 0. 0. 537 12 10 1. 43 1 12. 1 208 19 22. 0 373 16 1. 1. 538 13 11 0. 44 2 13. 0 209 20 23. 1 374 17 2. 0. 539 14 12 1. 45 3 14. 1 210 0 24. 0 375 18 3. 1. 540 15 13 0. 46 4 15. 0 211 1 25. 1 376 19 4. 0. 541 16 14 1. 26.
(37) X 𝑥1 𝑥2 𝑟1 𝑟2. X 𝑥1 𝑥2 𝑟1 𝑟2. X 𝑥1 𝑥2 𝑟1 𝑟2. 47 5 16. 1 212 2 26. 0 377 20 5. 48 6 17. 0 213 3 27. 1 378 0. 6. 0 543 18 16 1. 49 7 18. 1 214 4 28. 0 379 1. 7. 1 544 19 17 0. 50 8 19. 0 215 5 29. 1 380 2. 8. 0 545 20 18 1. 51 9 20. 1 216 6 30. 0 381 3. 9. 1 546 0 19. 0. 52 10 21. 0 217 7. 0. 1. 382 4 10. 0 547 1 20. 1. 53 11 22. 1 218 8. 1. 0. 383 5 11. 1 548 2 21. 0. 54 12 23. 0 219 9. 2. 1. 384 6 12. 0 549 3 22. 1. 55 13 24. 1 220 10 3. 0. 385 7 13. 1 550 4 23. 0. 56 14 25. 0 221 11 4. 1. 386 8 14. 0 551 5 24. 1. 57 15 26. 1 222 12 5. 0. 387 9 15. 1 552 6 25. 0. 58 16 27. 0 223 13 6. 1. 388 10 16. 0 553 7 26. 1. 59 17 28. 1 224 14 7. 0. 389 11 17. 1 554 8 27. 0. 60 18 29. 0 225 15 8. 1. 390 12 18. 0 555 9 28. 1. 61 19 30. 1 226 16 9. 0. 391 13 19. 1 556 10 29. 0. 227 17 10 1. 392 14 20. 0 557 11 30. 1. 62 20 0. 0. 1. X 𝑥1 𝑥2 𝑟1 𝑟2 542 17 15 0. 63 0. 1. 1 228 18 11 0. 393 15 21. 1 558 12 0. 0. 64 1. 2. 0 229 19 12 1. 394 16 22. 0 559 13 1. 1. 65 2. 3. 1 230 20 13 0. 395 17 23. 1 560 14 2. 0. 66 3. 4. 0 231 0 14. 1 396 18 24. 0 561 15 3. 1. 67 4. 5. 1 232 1 15. 0 397 19 25. 1 562 16 4. 0. 68 5. 6. 0 233 2 16. 1 398 20 26. 0 563 17 5. 1. 69 6. 7. 1 234 3 17. 0 399 0 27. 1 564 18 6. 0. 70 7. 8. 0 235 4 18. 1 400 1 28. 0 565 19 7. 1. 71 8. 9. 1 236 5 19. 0 401 2 29. 1 566 20 8. 0. 72 9 10. 0 237 6 20. 1 402 3 30. 0 567 0. 73 10 11. 1 238 7 21. 0 403 4. 0. 74 11 12. 0 239 8 22. 1 404 5. 75 12 13. 1 240 9 23. 76 13 14. 9. 1. 1. 568 1 10. 0. 1. 0. 569 2 11. 1. 0 405 6. 2. 1. 570 3 12. 0. 0 241 10 24. 1 406 7. 3. 0. 571 4 13. 1. 77 14 15. 1 242 11 25. 0 407 8. 4. 1. 572 5 14. 0. 78 15 16. 0 243 12 26. 1 408 9. 5. 0. 573 6 15. 1. 79 16 17. 1 244 13 27. 0 409 10 6. 1. 574 7 16. 0. 80 17 18. 0 245 14 28. 1 410 11 7. 0. 575 8 17. 1. 81 18 19. 1 246 15 29. 0 411 12 8. 1. 576 9 18. 0. 82 19 20. 0 247 16 30. 1 412 13 9. 0. 577 10 19. 1. 27.
(38) X 𝑥1 𝑥2 𝑟1 𝑟2. X 𝑥1 𝑥2 𝑟1 𝑟2. X 𝑥1 𝑥2 𝑟1 𝑟2. X 𝑥1 𝑥2 𝑟1 𝑟2. 83 20 21. 1 248 17 0. 0. 413 14 10 1. 578 11 20. 0. 84 0 22. 0 249 18 1. 1. 414 15 11 0. 579 12 21. 1. 85 1 23. 1 250 19 2. 0. 415 16 12 1. 580 13 22. 0. 86 2 24. 0 251 20 3. 1. 416 17 13 0. 581 14 23. 1. 87 3 25. 1 252 0. 4. 0 417 18 14 1. 582 15 24. 0. 88 4 26. 0 253 1. 5. 1 418 19 15 0. 583 16 25. 1. 89 5 27. 1 254 2. 6. 0 419 20 16 1. 584 17 26. 0. 90 6 28. 0 255 3. 7. 1 420 0 17. 0 585 18 27. 1. 91 7 29. 1 256 4. 8. 0 421 1 18. 1 586 19 28. 0. 92 8 30. 0 257 5. 9. 1 422 2 19. 0 587 20 29. 1 0. 93 9. 0. 1. 258 6 10. 0 423 3 20. 1 588 0 30. 94 10 1. 0. 259 7 11. 1 424 4 21. 0 589 1. 0. 1. 95 11 2. 1. 260 8 12. 0 425 5 22. 1 590 2. 1. 0. 96 12 3. 0. 261 9 13. 1 426 6 23. 0 591 3. 2. 1. 97 13 4. 1. 262 10 14. 0 427 7 24. 1 592 4. 3. 0. 98 14 5. 0. 263 11 15. 1 428 8 25. 0 593 5. 4. 1. 99 15 6. 1. 264 12 16. 0 429 9 26. 1 594 6. 5. 0. 100 16 7. 0. 265 13 17. 1 430 10 27. 0 595 7. 6. 1. 101 17 8. 1. 266 14 18. 0 431 11 28. 1 596 8. 7. 0. 102 18 9. 0. 267 15 19. 1 432 12 29. 0 597 9. 8. 1. 103 19 10 1. 268 16 20. 0 433 13 30. 1 598 10 9. 0. 104 20 11 0. 269 17 21. 1 434 14 0. 0. 599 11 10 1. 105 0 12. 1 270 18 22. 0 435 15 1. 1. 600 12 11 0. 106 1 13. 0 271 19 23. 1 436 16 2. 0. 601 13 12 1. 107 2 14. 1 272 20 24. 0 437 17 3. 1. 602 14 13 0. 108 3 15. 0 273 0 25. 1 438 18 4. 0. 603 15 14 1. 109 4 16. 1 274 1 26. 0 439 19 5. 1. 604 16 15 0. 110 5 17. 0 275 2 27. 1 440 20 6. 0. 605 17 16 1. 111 6 18. 1 276 3 28. 0 441 0. 7. 1 606 18 17 0. 112 7 19. 0 277 4 29. 1 442 1. 8. 0 607 19 18 1. 113 8 20. 1 278 5 30. 0 443 2. 9. 1 608 20 19 0. 114 9 21. 0 279 6. 0. 1. 444 3 10. 0 609 0 20. 1. 115 10 22. 1 280 7. 1. 0. 445 4 11. 1 610 1 21. 0. 116 11 23. 0 281 8. 2. 1. 446 5 12. 0 611 2 22. 1. 117 12 24. 1 282 9. 3. 0. 447 6 13. 1 612 3 23. 0. 118 13 25. 0 283 10 4. 1. 448 7 14. 0 613 4 24. 1. 28.
(39) X 𝑥1 𝑥2 𝑟1 𝑟2. X 𝑥1 𝑥2 𝑟1 𝑟2. X 𝑥1 𝑥2 𝑟1 𝑟2. X 𝑥1 𝑥2 𝑟1 𝑟2. 119 14 26. 1 284 11 5. 0. 449 8 15. 1 614 5 25. 0. 120 15 27. 0 285 12 6. 1. 450 9 16. 0 615 6 26. 1. 121 16 28. 1 286 13 7. 0. 451 10 17. 1 616 7 27. 0. 122 17 29. 0 287 14 8. 1. 452 11 18. 0 617 8 28. 1. 123 18 30. 1 288 15 9. 0. 453 12 19. 1 618 9 29. 0 1. 124 19 0. 0. 289 16 10 1. 454 13 20. 0 619 10 30. 125 20 1. 1. 290 17 11 0. 455 14 21. 1 620 11 0. 0. 126 0. 2. 0 291 18 12 1. 456 15 22. 0 621 12 1. 1. 127 1. 3. 1 292 19 13 0. 457 16 23. 1 622 13 2. 0. 128 2. 4. 0 293 20 14 1. 458 17 24. 0 623 14 3. 1. 129 3. 5. 1 294 0 15. 0 459 18 25. 1 624 15 4. 0. 130 4. 6. 0 295 1 16. 1 460 19 26. 0 625 16 5. 1. 131 5. 7. 1 296 2 17. 0 461 20 27. 1 626 17 6. 0. 132 6. 8. 0 297 3 18. 1 462 0 28. 0 627 18 7. 1. 133 7. 9. 1 298 4 19. 0 463 1 29. 1 628 19 8. 0. 134 8 10. 0 299 5 20. 1 464 2 30. 0 629 20 9. 1. 135 9 11. 1 300 6 21. 0 465 3. 0. 1. 630 0 10. 0. 136 10 12. 0 301 7 22. 1 466 4. 1. 0. 631 1 11. 1. 137 11 13. 1 302 8 23. 0 467 5. 2. 1. 632 2 12. 0. 138 12 14. 0 303 9 24. 1 468 6. 3. 0. 633 3 13. 1. 139 13 15. 1 304 10 25. 0 469 7. 4. 1. 634 4 14. 0. 140 14 16. 0 305 11 26. 1 470 8. 5. 0. 635 5 15. 1. 141 15 17. 1 306 12 27. 0 471 9. 6. 1. 636 6 16. 0. 142 16 18. 0 307 13 28. 1 472 10 7. 0. 637 7 17. 1. 143 17 19. 1 308 14 29. 0 473 11 8. 1. 638 8 18. 0. 144 18 20. 0 309 15 30. 1 474 12 9. 0. 639 9 19. 1. 145 19 21. 1 310 16 0. 0. 475 13 10 1. 640 10 20. 0. 146 20 22. 0 311 17 1. 1. 476 14 11 0. 641 11 21. 1. 147 0 23. 1 312 18 2. 0. 477 15 12 1. 642 12 22. 0. 148 1 24. 0 313 19 3. 1. 478 16 13 0. 643 13 23. 1. 149 2 25. 1 314 20 4. 0. 479 17 14 1. 644 14 24. 0. 150 3 26. 0 315 0. 5. 1 480 18 15 0. 645 15 25. 1. 151 4 27. 1 316 1. 6. 0 481 19 16 1. 646 16 26. 0. 152 5 28. 0 317 2. 7. 1 482 20 17 0. 647 17 27. 1. 153 6 29. 1 318 3. 8. 0 483 0 18. 1 648 18 28. 0. 154 7 30. 0 319 4. 9. 1 484 1 19. 0 649 19 29. 1. 29.
(40) X 𝑥1 𝑥2 𝑟1 𝑟2. X 𝑥1 𝑥2 𝑟1 𝑟2. X 𝑥1 𝑥2 𝑟1 𝑟2. X 𝑥1 𝑥2 𝑟1 𝑟2. 155 8. 0. 1. 320 5 10. 0 485 2 20. 1 650 20 30. 156 9. 1. 0. 321 6 11. 1 486 3 21. 0. 157 10 2. 1. 322 7 12. 0 487 4 22. 1. 158 11 3. 0. 323 8 13. 1 488 5 23. 0. 159 12 4. 1. 324 9 14. 0 489 6 24. 1. 160 13 5. 0. 325 10 15. 1 490 7 25. 0. 161 14 6. 1. 326 11 16. 0 491 8 26. 1. 162 15 7. 0. 327 12 17. 1 492 9 27. 0. 163 16 8. 1. 328 13 18. 0 493 10 28. 1. 164 17 9. 0. 329 14 19. 1 494 11 29. 0. 165 18 10 1. 330 15 20. 0 495 12 30. 1. 0. 5.4 模數組 𝑻 = {𝟐𝒑 − 𝟕, 𝟐𝒑 + 𝟕 } 接著，探討本文方法的另一種情形，我們設 𝑗 = 7 作為實驗驗證。當 𝑗 = 7 時，模數組則為 𝑇 = {𝑚1 = 2𝑝 − 7, 𝑚2 = 2𝑝 + 7 }，其中 𝑝 為整數且滿足 𝑝 = 4 𝑚𝑜𝑑 7。給定一個餘數系統的數值 𝑋 = {𝑥1 , 𝑥2 }，於模數組 𝑇 = {2𝑝 − 7,2𝑝 + 7 }，其中 𝑝 為整數且滿足 𝑝 = 4 𝑚𝑜𝑑 7，. 𝑗+1 2. =. 7+1 2. = 4 為偶數。因. 此，我們可以得到，當 𝑥1 ≥ 𝑥2 時， 𝑝 為奇數，𝑋 的奇偶判斷取決於 ⌊. 13𝑥1 +𝑥2. ⌊. 13𝑥1 +𝑥2. ⌊. 13𝑥1 +𝑥2 −1. ⌊. 13𝑥1 +𝑥2 −1. 14. 14. 14. 14. ⌋ 𝑚𝑜𝑑 2；反之， 𝑝 為偶數時，𝑋 的奇偶判斷則為 𝑥1 + 𝑥2 + ⌋ 𝑚𝑜𝑑 2。又當 𝑥1 < 𝑥2 時，𝑝 為奇數，𝑋 奇偶性質判斷為 ⌋ 𝑚𝑜𝑑 2，反之， 𝑝 為偶數時，𝑋 奇偶性質判斷則為 𝑥1 + 𝑥2 + ⌋ 𝑚𝑜𝑑 2。. 5.5 模數組 𝑻 = {𝟐𝒑 − 𝟕, 𝟐𝒑 + 𝟕 } 結果分析 5.5.1 𝒑 = 𝟏𝟏 為奇數 30.
(41) 根據上述分析結果，我們先以 𝑝 = 11 為奇數做驗證， 𝑋 動態範圍內所有 的數值對於奇偶性質判斷結果呈列如下表三。其中， 𝑝 = 11 時，模數組為 𝑇 = {𝑚1 = 15, 𝑚2 = 29 }，該動態範圍為 𝑀 = 435，令數值為 𝑋 = (𝑥1 , 𝑥2 )，其 中 𝑥1 = 𝑋 𝑚𝑜𝑑 15、𝑥2 = 𝑋 𝑚𝑜𝑑 29。因 𝑝 = 11 為奇數，根據本文的方法知 道，當 𝑥1 ≥ 𝑥2 時， 𝑋 的奇偶判斷取決於 ⌊ 時，𝑋 奇偶性質判斷則為 ⌊. 13𝑥1 +𝑥2 14. ⌋ 𝑚𝑜𝑑 2；又當 𝑥1 < 𝑥2. 13𝑥1 +𝑥2 −1. ⌋ 𝑚𝑜𝑑 2 。. 14. 根據本文的方法，當 𝑋 = 227 = (2,24) 時，因 𝑝 為奇數且 𝑥1 < 𝑥2 ，所 以 𝑟2 = ⌊. 13𝑥1 +𝑥2 −1 14. 符。(𝑟1 = ⌊. 13𝑥1 +𝑥2 14. ⌋ 𝑚𝑜𝑑 2 = 1 為奇數。因此，可得知本文方法與實際上相. ⌋ 𝑚𝑜𝑑 2、𝑟2 = ⌊. 13𝑥1 +𝑥2 −1. ⌋ 𝑚𝑜𝑑 2). 14. 表 三 數值 𝑋 對模數組{ 15 , 29 }奇偶校驗結果 X 𝑥1 𝑥2 𝑟1 𝑟2. X 𝑥1 𝑥2 𝑟1 𝑟2. X 𝑥1 𝑥2 𝑟1 𝑟2. X 𝑥1 𝑥2 𝑟1 𝑟2. 1. 1. 1. 1. 111 6 24. 1 221 11 18. 1 331 1 12. 1. 2. 2. 2. 0. 112 7 25. 0 222 12 19. 0 332 2 13. 0. 3. 3. 3. 1. 113 8 26. 1 223 13 20. 1 333 3 14. 1. 4. 4. 4. 0. 114 9 27. 0 224 14 21. 0 334 4 15. 0. 5. 5. 5. 1. 115 10 28. 1 225 0 22. 1 335 5 16. 1. 6. 6. 6. 0. 116 11 0. 0. 226 1 23. 0 336 6 17. 0. 7. 7. 7. 1. 117 12 1. 1. 227 2 24. 1 337 7 18. 1. 8. 8. 8. 0. 118 13 2. 0. 228 3 25. 0 338 8 19. 0. 9. 9. 9. 1. 119 14 3. 1. 229 4 26. 1 339 9 20. 1. 10 10 10 0. 120 0. 4. 0 230 5 27. 0 340 10 21. 0. 11 11 11 1. 121 1. 5. 1 231 6 28. 1 341 11 22. 1. 12 12 12 0. 122 2. 6. 0 232 7. 0. 0. 342 12 23. 0. 13 13 13 1. 123 3. 7. 1 233 8. 1. 1. 343 13 24. 1. 14 14 14 0. 124 4. 8. 0 234 9. 2. 0. 344 14 25. 0. 15 0 15. 1 125 5. 9. 1 235 10 3. 1. 345 0 26. 1. 16 1 16. 0 126 6 10. 0 236 11 4. 0. 346 1 27. 0. 17 2 17. 1 127 7 11. 1 237 12 5. 1. 347 2 28. 1. 18 3 18. 0 128 8 12. 0 238 13 6. 0. 348 3. 31. 0. 0.
(42) X 𝑥1 𝑥2 𝑟1 𝑟2. X 𝑥1 𝑥2 𝑟1 𝑟2. X 𝑥1 𝑥2 𝑟1 𝑟2. 19 4 19. 1 129 9 13. 1 239 14 7. 20 5 20. 0 130 10 14. 0 240 0. 21 6 21. 1 131 11 15. 1 241 1. 22 7 22. 349 4. 1. 1. 8. 0 350 5. 2. 0. 9. 1 351 6. 3. 1. 0 132 12 16. 0 242 2 10. 0 352 7. 4. 0. 23 8 23. 1 133 13 17. 1 243 3 11. 1 353 8. 5. 1. 24 9 24. 0 134 14 18. 0 244 4 12. 0 354 9. 6. 0. 25 10 25. 1 135 0 19. 1 245 5 13. 1 355 10 7. 1. 26 11 26. 0 136 1 20. 0 246 6 14. 0 356 11 8. 0. 27 12 27. 1 137 2 21. 1 247 7 15. 1 357 12 9. 1. 28 13 28. 0 138 3 22. 0 248 8 16. 0 358 13 10 0. 139 4 23. 1 249 9 17. 1 359 14 11 1. 29 14 0. 1. 1. X 𝑥1 𝑥2 𝑟1 𝑟2. 30 0. 1. 0 140 5 24. 0 250 10 18. 0 360 0 12. 0. 31 1. 2. 1 141 6 25. 1 251 11 19. 1 361 1 13. 1. 32 2. 3. 0 142 7 26. 0 252 12 20. 0 362 2 14. 0. 33 3. 4. 1 143 8 27. 1 253 13 21. 1 363 3 15. 1. 34 4. 5. 0 144 9 28. 0 254 14 22. 0 364 4 16. 0. 35 5. 6. 1 145 10 0. 1. 255 0 23. 1 365 5 17. 1. 36 6. 7. 0 146 11 1. 0. 256 1 24. 0 366 6 18. 0. 37 7. 8. 1 147 12 2. 1. 257 2 25. 1 367 7 19. 1. 38 8. 9. 0 148 13 3. 0. 258 3 26. 0 368 8 20. 0. 39 9 10. 1 149 14 4. 1. 259 4 27. 1 369 9 21. 1. 40 10 11. 0 150 0. 5. 0 260 5 28. 0 370 10 22. 0. 41 11 12. 1 151 1. 6. 1 261 6. 0. 1. 371 11 23. 1. 42 12 13. 0 152 2. 7. 0 262 7. 1. 0. 372 12 24. 0. 43 13 14. 1 153 3. 8. 1 263 8. 2. 1. 373 13 25. 1. 44 14 15. 0 154 4. 9. 0 264 9. 3. 0. 374 14 26. 0. 45 0 16. 1 155 5 10. 1 265 10 4. 1. 375 0 27. 1. 46 1 17. 0 156 6 11. 0 266 11 5. 0. 376 1 28. 0. 47 2 18. 1 157 7 12. 1 267 12 6. 1. 377 2. 0. 1. 48 3 19. 0 158 8 13. 0 268 13 7. 0. 378 3. 1. 0. 49 4 20. 1 159 9 14. 1 269 14 8. 1. 379 4. 2. 1. 50 5 21. 0 160 10 15. 0 270 0. 9. 0 380 5. 3. 0. 51 6 22. 1 161 11 16. 1 271 1 10. 1 381 6. 4. 1. 52 7 23. 0 162 12 17. 0 272 2 11. 0 382 7. 5. 0. 53 8 24. 1 163 13 18. 1 273 3 12. 1 383 8. 6. 1. 54 9 25. 0 164 14 19. 0 274 4 13. 0 384 9. 7. 0. 32.
(43) X 𝑥1 𝑥2 𝑟1 𝑟2. X 𝑥1 𝑥2 𝑟1 𝑟2. X 𝑥1 𝑥2 𝑟1 𝑟2. X 𝑥1 𝑥2 𝑟1 𝑟2. 55 10 26. 1 165 0 20. 1 275 5 14. 1 385 10 8. 1. 56 11 27. 0 166 1 21. 0 276 6 15. 0 386 11 9. 0. 57 12 28. 1 167 2 22. 1 277 7 16. 1 387 12 10 1. 58 13 0. 0. 168 3 23. 0 278 8 17. 0 388 13 11 0. 59 14 1. 1. 169 4 24. 1 279 9 18. 1 389 14 12 1. 60 0. 2. 0 170 5 25. 0 280 10 19. 0 390 0 13. 0. 61 1. 3. 1 171 6 26. 1 281 11 20. 1 391 1 14. 1. 62 2. 4. 0 172 7 27. 0 282 12 21. 0 392 2 15. 0. 63 3. 5. 1 173 8 28. 1 283 13 22. 1 393 3 16. 1. 64 4. 6. 0 174 9. 0. 0. 284 14 23. 0 394 4 17. 0. 65 5. 7. 1 175 10 1. 1. 285 0 24. 1 395 5 18. 1. 66 6. 8. 0 176 11 2. 0. 286 1 25. 0 396 6 19. 0. 67 7. 9. 1 177 12 3. 1. 287 2 26. 1 397 7 20. 1. 68 8 10. 0 178 13 4. 0. 288 3 27. 0 398 8 21. 0. 69 9 11. 1 179 14 5. 1. 289 4 28. 1 399 9 22. 1. 70 10 12. 0 180 0. 6. 0 290 5. 0. 0. 400 10 23. 0. 71 11 13. 1 181 1. 7. 1 291 6. 1. 1. 401 11 24. 1. 72 12 14. 0 182 2. 8. 0 292 7. 2. 0. 402 12 25. 0. 73 13 15. 1 183 3. 9. 1 293 8. 3. 1. 403 13 26. 1. 74 14 16. 0 184 4 10. 0 294 9. 4. 0. 404 14 27. 0. 75 0 17. 1 185 5 11. 1 295 10 5. 1. 405 0 28. 1. 76 1 18. 0 186 6 12. 0 296 11 6. 0. 406 1. 0. 0. 77 2 19. 1 187 7 13. 1 297 12 7. 1. 407 2. 1. 1. 78 3 20. 0 188 8 14. 0 298 13 8. 0. 408 3. 2. 0. 79 4 21. 1 189 9 15. 1 299 14 9. 1. 409 4. 3. 1. 80 5 22. 0 190 10 16. 0 300 0 10. 0 410 5. 4. 0. 81 6 23. 1 191 11 17. 1 301 1 11. 1 411 6. 5. 1. 82 7 24. 0 192 12 18. 0 302 2 12. 0 412 7. 6. 0. 83 8 25. 1 193 13 19. 1 303 3 13. 1 413 8. 7. 1. 84 9 26. 0 194 14 20. 0 304 4 14. 0 414 9. 8. 0. 85 10 27. 1 195 0 21. 1 305 5 15. 1 415 10 9. 1. 86 11 28. 0 196 1 22. 0 306 6 16. 0 416 11 10 0. 87 12 0. 1. 197 2 23. 1 307 7 17. 1 417 12 11 1. 88 13 1. 0. 198 3 24. 0 308 8 18. 0 418 13 12 0. 89 14 2. 1. 199 4 25. 1 309 9 19. 1 419 14 13 1. 0 200 5 26. 0 310 10 20. 0 420 0 14. 90 0. 3. 33. 0.
(44) X 𝑥1 𝑥2 𝑟1 𝑟2. X 𝑥1 𝑥2 𝑟1 𝑟2. X 𝑥1 𝑥2 𝑟1 𝑟2. X 𝑥1 𝑥2 𝑟1 𝑟2. 91 1. 4. 1 201 6 27. 1 311 11 21. 1 421 1 15. 1. 92 2. 5. 0 202 7 28. 0 312 12 22. 0 422 2 16. 0. 93 3. 6. 1 203 8. 0. 1. 313 13 23. 1 423 3 17. 1. 94 4. 7. 0 204 9. 1. 0. 314 14 24. 0 424 4 18. 0. 95 5. 8. 1 205 10 2. 1. 315 0 25. 1 425 5 19. 1. 96 6. 9. 0 206 11 3. 0. 316 1 26. 0 426 6 20. 0. 97 7 10. 1 207 12 4. 1. 317 2 27. 1 427 7 21. 1. 98 8 11. 0 208 13 5. 0. 318 3 28. 0 428 8 22. 0. 99 9 12. 1 209 14 6. 1. 319 4. 0. 1. 429 9 23. 1. 100 10 13. 0 210 0. 7. 0 320 5. 1. 0. 430 10 24. 0. 101 11 14. 1 211 1. 8. 1 321 6. 2. 1. 431 11 25. 1. 102 12 15. 0 212 2. 9. 0 322 7. 3. 0. 432 12 26. 0. 103 13 16. 1 213 3 10. 1 323 8. 4. 1. 433 13 27. 1. 104 14 17. 0 214 4 11. 0 324 9. 5. 0. 434 14 28. 0. 105 0 18. 1 215 5 12. 1 325 10 6. 1. 106 1 19. 0 216 6 13. 0 326 11 7. 0. 107 2 20. 1 217 7 14. 1 327 12 8. 1. 108 3 21. 0 218 8 15. 0 328 13 9. 0. 109 4 22. 1 219 9 16. 1 329 14 10 1. 110 5 23. 0 220 10 17. 0 330 0 11. 0. 5.5.2 𝒑 = 𝟏𝟖 為偶數 接著，我們再提出 𝑝 = 18 為偶數的情形，𝑋 動態範圍內所有的數值對於 奇偶性質判斷結果呈列如下表四。其中，當 𝑝 = 18 時，模數組為 𝑇 = {𝑚1 = 29, 𝑚2 = 43 }，該動態範圍為 𝑀 = 1247，令數值為 𝑋 = (𝑥1 , 𝑥2 )，其中 𝑥1 = 𝑋 𝑚𝑜𝑑 29、𝑥2 = 𝑋 𝑚𝑜𝑑 43。接著因 𝑝 = 18 為偶數，根據本文的方法可以得 到，當 𝑥1 ≥ 𝑥2 時， 𝑋 的奇偶判斷取決於 𝑥1 +𝑥2 + ⌊ 𝑥1 < 𝑥2 時，𝑋 奇偶性質為 𝑥1 +𝑥2 + ⌊. 13𝑥1 +𝑥2 14. ⌋ 𝑚𝑜𝑑 2；又當. 13𝑥1 +𝑥2 −1 14. ⌋ 𝑚𝑜𝑑 2 。. 根據本文的方法，當 𝑋 = 646 = (8,1) 時，因 𝑝 為偶數且 𝑥1 ≥ 𝑥2 ，所. 34.
(45) 以 𝑟2 = 𝑥1 +𝑥2 + ⌊. 13𝑥1 +𝑥2 14. 上相符。(𝑟1 = 𝑥1 +𝑥2 + ⌊. ⌋ 𝑚𝑜𝑑 2 = 0 為奇數。因此，可得知本文方法與實際. 13𝑥1 +𝑥2 14. ⌋ 𝑚𝑜𝑑 2、𝑟2 = 𝑥1 +𝑥2 + ⌊. 13𝑥1 +𝑥2 −1 14. ⌋ 𝑚𝑜𝑑 2). 表 四 數值 𝑋 對模數組{ 29 , 43 }奇偶校驗結果 X 𝑥1 𝑥2 𝑟1 𝑟2. X 𝑥1 𝑥2 𝑟1 𝑟2. X 𝑥1 𝑥2 𝑟1 𝑟2. X. 𝑥1 𝑥2 𝑟1 𝑟2. 1. 1. 1. 1. 321 2 20. 1 641 3 39. 1 961 4 15. 1. 2. 2. 2. 0. 322 3 21. 0 642 4 40. 0 962 5 16. 0. 3. 3. 3. 1. 323 4 22. 1 643 5 41. 1 963 6 17. 1. 4. 4. 4. 0. 324 5 23. 0 644 6 42. 0 964 7 18. 0. 5. 5. 5. 1. 325 6 24. 1 645 7. 0. 1. 965 8 19. 1. 6. 6. 6. 0. 326 7 25. 0 646 8. 1. 0. 966 9 20. 0. 7. 7. 7. 1. 327 8 26. 1 647 9. 2. 1. 967 10 21. 1. 8. 8. 8. 0. 328 9 27. 0 648 10 3. 0. 968 11 22. 0. 9. 9. 9. 1. 329 10 28. 1 649 11 4. 1. 969 12 23. 1. 10 10 10 0. 330 11 29. 0 650 12 5. 0. 970 13 24. 0. 11 11 11 1. 331 12 30. 1 651 13 6. 1. 971 14 25. 1. 12 12 12 0. 332 13 31. 0 652 14 7. 0. 972 15 26. 0. 13 13 13 1. 333 14 32. 1 653 15 8. 1. 973 16 27. 1. 14 14 14 0. 334 15 33. 0 654 16 9. 0. 974 17 28. 0. 15 15 15 1. 335 16 34. 1 655 17 10 1. 975 18 29. 1. 16 16 16 0. 336 17 35. 0 656 18 11 0. 976 19 30. 0. 17 17 17 1. 337 18 36. 1 657 19 12 1. 977 20 31. 1. 18 18 18 0. 338 19 37. 0 658 20 13 0. 978 21 32. 0. 19 19 19 1. 339 20 38. 1 659 21 14 1. 979 22 33. 1. 20 20 20 0. 340 21 39. 0 660 22 15 0. 980 23 34. 0. 21 21 21 1. 341 22 40. 1 661 23 16 1. 981 24 35. 1. 22 22 22 0. 342 23 41. 0 662 24 17 0. 982 25 36. 0. 23 23 23 1. 343 24 42. 1 663 25 18 1. 983 26 37. 1. 24 24 24 0. 344 25 0. 0. 664 26 19 0. 984 27 38. 0. 25 25 25 1. 345 26 1. 1. 665 27 20 1. 985 28 39. 1. 26 26 26 0. 346 27 2. 0. 666 28 21 0. 986 0 40. 0. 27 27 27 1. 347 28 3. 1. 667 0 22. 1 987 1 41. 1. 28 28 28 0. 348 0. 4. 0 668 1 23. 0 988 2 42. 0. 1 349 1. 5. 1 669 2 24. 1 989 3. 29 0 29. 35. 0. 1.
(46) X 𝑥1 𝑥2 𝑟1 𝑟2. X 𝑥1 𝑥2 𝑟1 𝑟2. X 𝑥1 𝑥2 𝑟1 𝑟2. X. 𝑥1 𝑥2 𝑟1 𝑟2. 30 1 30. 0 350 2. 6. 0 670 3 25. 0 990 4. 1. 0. 31 2 31. 1 351 3. 7. 1 671 4 26. 1 991 5. 2. 1. 32 3 32. 0 352 4. 8. 0 672 5 27. 0 992 6. 3. 0. 33 4 33. 1 353 5. 9. 1 673 6 28. 1 993 7. 4. 1. 34 5 34. 0 354 6 10. 0 674 7 29. 0 994 8. 5. 0. 35 6 35. 1 355 7 11. 1 675 8 30. 1 995 9. 6. 1. 36 7 36. 0 356 8 12. 0 676 9 31. 0 996 10 7. 0. 37 8 37. 1 357 9 13. 1 677 10 32. 1 997 11 8. 1. 38 9 38. 0 358 10 14. 0 678 11 33. 0 998 12 9. 0. 39 10 39. 1 359 11 15. 1 679 12 34. 1 999 13 10 1. 40 11 40. 0 360 12 16. 0 680 13 35. 0 1000 14 11 0. 41 12 41. 1 361 13 17. 1 681 14 36. 1 1001 15 12 1. 42 13 42. 0 362 14 18. 0 682 15 37. 0 1002 16 13 0. 43 14 0. 1. 363 15 19. 1 683 16 38. 1 1003 17 14 1. 44 15 1. 0. 364 16 20. 0 684 17 39. 0 1004 18 15 0. 45 16 2. 1. 365 17 21. 1 685 18 40. 1 1005 19 16 1. 46 17 3. 0. 366 18 22. 0 686 19 41. 0 1006 20 17 0. 47 18 4. 1. 367 19 23. 1 687 20 42. 1 1007 21 18 1. 48 19 5. 0. 368 20 24. 0 688 21 0. 0. 1008 22 19 0. 49 20 6. 1. 369 21 25. 1 689 22 1. 1. 1009 23 20 1. 50 21 7. 0. 370 22 26. 0 690 23 2. 0. 1010 24 21 0. 51 22 8. 1. 371 23 27. 1 691 24 3. 1. 1011 25 22 1. 52 23 9. 0. 372 24 28. 0 692 25 4. 0. 1012 26 23 0. 53 24 10 1. 373 25 29. 1 693 26 5. 1. 1013 27 24 1. 54 25 11 0. 374 26 30. 0 694 27 6. 0. 1014 28 25 0. 55 26 12 1. 375 27 31. 1 695 28 7. 1. 1015 0 26. 1. 56 27 13 0. 376 28 32. 0 696 0. 8. 0 1016 1 27. 0. 57 28 14 1. 377 0 33. 1 697 1. 9. 1 1017 2 28. 1. 58 0 15. 0 378 1 34. 0 698 2 10. 0 1018 3 29. 0. 59 1 16. 1 379 2 35. 1 699 3 11. 1 1019 4 30. 1. 60 2 17. 0 380 3 36. 0 700 4 12. 0 1020 5 31. 0. 61 3 18. 1 381 4 37. 1 701 5 13. 1 1021 6 32. 1. 62 4 19. 0 382 5 38. 0 702 6 14. 0 1022 7 33. 0. 63 5 20. 1 383 6 39. 1 703 7 15. 1 1023 8 34. 1. 64 6 21. 0 384 7 40. 0 704 8 16. 0 1024 9 35. 0. 65 7 22. 1 385 8 41. 1 705 9 17. 1 1025 10 36. 1. 36.
(47) X 𝑥1 𝑥2 𝑟1 𝑟2. X 𝑥1 𝑥2 𝑟1 𝑟2. 66 8 23. 0 386 9 42. 67 9 24. 1 387 10 0. 68 10 25. X 𝑥1 𝑥2 𝑟1 𝑟2. X. 𝑥1 𝑥2 𝑟1 𝑟2. 0 706 10 18. 0 1026 11 37. 0. 1. 707 11 19. 1 1027 12 38. 1. 0 388 11 1. 0. 708 12 20. 0 1028 13 39. 0. 69 11 26. 1 389 12 2. 1. 709 13 21. 1 1029 14 40. 1. 70 12 27. 0 390 13 3. 0. 710 14 22. 0 1030 15 41. 0. 71 13 28. 1 391 14 4. 1. 711 15 23. 1 1031 16 42. 1. 72 14 29. 0 392 15 5. 0. 712 16 24. 0 1032 17 0. 0. 73 15 30. 1 393 16 6. 1. 713 17 25. 1 1033 18 1. 1. 74 16 31. 0 394 17 7. 0. 714 18 26. 0 1034 19 2. 0. 75 17 32. 1 395 18 8. 1. 715 19 27. 1 1035 20 3. 1. 76 18 33. 0 396 19 9. 0. 716 20 28. 0 1036 21 4. 0. 77 19 34. 1 397 20 10 1. 717 21 29. 1 1037 22 5. 1. 78 20 35. 0 398 21 11 0. 718 22 30. 0 1038 23 6. 0. 79 21 36. 1 399 22 12 1. 719 23 31. 1 1039 24 7. 1. 80 22 37. 0 400 23 13 0. 720 24 32. 0 1040 25 8. 0. 81 23 38. 1 401 24 14 1. 721 25 33. 1 1041 26 9. 1. 82 24 39. 0 402 25 15 0. 722 26 34. 0 1042 27 10 0. 83 25 40. 1 403 26 16 1. 723 27 35. 1 1043 28 11 1. 84 26 41. 0 404 27 17 0. 724 28 36. 0 1044 0 12. 0. 85 27 42. 1 405 28 18 1. 725 0 37. 1 1045 1 13. 1. 406 0 19. 0 726 1 38. 0 1046 2 14. 0. 86 28 0. 0. 87 0. 1. 1 407 1 20. 1 727 2 39. 1 1047 3 15. 1. 88 1. 2. 0 408 2 21. 0 728 3 40. 0 1048 4 16. 0. 89 2. 3. 1 409 3 22. 1 729 4 41. 1 1049 5 17. 1. 90 3. 4. 0 410 4 23. 0 730 5 42. 0 1050 6 18. 0. 91 4. 5. 1 411 5 24. 1 731 6. 0. 1. 1051 7 19. 1. 92 5. 6. 0 412 6 25. 0 732 7. 1. 0. 1052 8 20. 0. 93 6. 7. 1 413 7 26. 1 733 8. 2. 1. 1053 9 21. 1. 94 7. 8. 0 414 8 27. 0 734 9. 3. 0. 1054 10 22. 0. 95 8. 9. 1 415 9 28. 1 735 10 4. 1. 1055 11 23. 1. 96 9 10. 0 416 10 29. 0 736 11 5. 0. 1056 12 24. 0. 97 10 11. 1 417 11 30. 1 737 12 6. 1. 1057 13 25. 1. 98 11 12. 0 418 12 31. 0 738 13 7. 0. 1058 14 26. 0. 99 12 13. 1 419 13 32. 1 739 14 8. 1. 1059 15 27. 1. 100 13 14. 0 420 14 33. 0 740 15 9. 0. 1060 16 28. 0. 101 14 15. 1 421 15 34. 1 741 16 10 1. 1061 17 29. 1. 37.
(48) X 𝑥1 𝑥2 𝑟1 𝑟2. X 𝑥1 𝑥2 𝑟1 𝑟2. X 𝑥1 𝑥2 𝑟1 𝑟2. X. 𝑥1 𝑥2 𝑟1 𝑟2. 102 15 16. 0 422 16 35. 0 742 17 11 0. 1062 18 30. 0. 103 16 17. 1 423 17 36. 1 743 18 12 1. 1063 19 31. 1. 104 17 18. 0 424 18 37. 0 744 19 13 0. 1064 20 32. 0. 105 18 19. 1 425 19 38. 1 745 20 14 1. 1065 21 33. 1. 106 19 20. 0 426 20 39. 0 746 21 15 0. 1066 22 34. 0. 107 20 21. 1 427 21 40. 1 747 22 16 1. 1067 23 35. 1. 108 21 22. 0 428 22 41. 0 748 23 17 0. 1068 24 36. 0. 109 22 23. 1 429 23 42. 1 749 24 18 1. 1069 25 37. 1. 110 23 24. 0 430 24 0. 0. 750 25 19 0. 1070 26 38. 0. 111 24 25. 1 431 25 1. 1. 751 26 20 1. 1071 27 39. 1. 112 25 26. 0 432 26 2. 0. 752 27 21 0. 1072 28 40. 0. 113 26 27. 1 433 27 3. 1. 753 28 22 1. 1073 0 41. 1. 114 27 28. 0 434 28 4. 0. 754 0 23. 0 1074 1 42. 0. 115 28 29. 1 435 0. 5. 1 755 1 24. 1 1075 2. 0. 1. 116 0 30. 0 436 1. 6. 0 756 2 25. 0 1076 3. 1. 0. 117 1 31. 1 437 2. 7. 1 757 3 26. 1 1077 4. 2. 1. 118 2 32. 0 438 3. 8. 0 758 4 27. 0 1078 5. 3. 0. 119 3 33. 1 439 4. 9. 1 759 5 28. 1 1079 6. 4. 1. 120 4 34. 0 440 5 10. 0 760 6 29. 0 1080 7. 5. 0. 121 5 35. 1 441 6 11. 1 761 7 30. 1 1081 8. 6. 1. 122 6 36. 0 442 7 12. 0 762 8 31. 0 1082 9. 7. 0. 123 7 37. 1 443 8 13. 1 763 9 32. 1 1083 10 8. 1. 124 8 38. 0 444 9 14. 0 764 10 33. 0 1084 11 9. 0. 125 9 39. 1 445 10 15. 1 765 11 34. 1 1085 12 10 1. 126 10 40. 0 446 11 16. 0 766 12 35. 0 1086 13 11 0. 127 11 41. 1 447 12 17. 1 767 13 36. 1 1087 14 12 1. 128 12 42. 0 448 13 18. 0 768 14 37. 0 1088 15 13 0. 129 13 0. 1. 449 14 19. 1 769 15 38. 1 1089 16 14 1. 130 14 1. 0. 450 15 20. 0 770 16 39. 0 1090 17 15 0. 131 15 2. 1. 451 16 21. 1 771 17 40. 1 1091 18 16 1. 132 16 3. 0. 452 17 22. 0 772 18 41. 0 1092 19 17 0. 133 17 4. 1. 453 18 23. 1 773 19 42. 1 1093 20 18 1. 134 18 5. 0. 454 19 24. 0 774 20 0. 0. 1094 21 19 0. 135 19 6. 1. 455 20 25. 1 775 21 1. 1. 1095 22 20 1. 136 20 7. 0. 456 21 26. 0 776 22 2. 0. 1096 23 21 0. 137 21 8. 1. 457 22 27. 1 777 23 3. 1. 1097 24 22 1. 38.
(49) X 𝑥1 𝑥2 𝑟1 𝑟2 138 22 9. X 𝑥1 𝑥2 𝑟1 𝑟2. X 𝑥1 𝑥2 𝑟1 𝑟2. X. 𝑥1 𝑥2 𝑟1 𝑟2. 0. 458 23 28. 0 778 24 4. 0. 1098 25 23 0. 139 23 10 1. 459 24 29. 1 779 25 5. 1. 1099 26 24 1. 140 24 11 0. 460 25 30. 0 780 26 6. 0. 1100 27 25 0. 141 25 12 1. 461 26 31. 1 781 27 7. 1. 1101 28 26 1. 142 26 13 0. 462 27 32. 0 782 28 8. 0. 1102 0 27. 0. 143 27 14 1. 463 28 33. 1 783 0. 9. 1 1103 1 28. 1. 144 28 15 0. 464 0 34. 0 784 1 10. 0 1104 2 29. 0. 145 0 16. 1 465 1 35. 1 785 2 11. 1 1105 3 30. 1. 146 1 17. 0 466 2 36. 0 786 3 12. 0 1106 4 31. 0. 147 2 18. 1 467 3 37. 1 787 4 13. 1 1107 5 32. 1. 148 3 19. 0 468 4 38. 0 788 5 14. 0 1108 6 33. 0. 149 4 20. 1 469 5 39. 1 789 6 15. 1 1109 7 34. 1. 150 5 21. 0 470 6 40. 0 790 7 16. 0 1110 8 35. 0. 151 6 22. 1 471 7 41. 1 791 8 17. 1 1111 9 36. 1. 152 7 23. 0 472 8 42. 0 792 9 18. 0 1112 10 37. 0. 153 8 24. 1 473 9. 0. 1. 793 10 19. 1 1113 11 38. 1. 154 9 25. 0 474 10 1. 0. 794 11 20. 0 1114 12 39. 0. 155 10 26. 1 475 11 2. 1. 795 12 21. 1 1115 13 40. 1. 156 11 27. 0 476 12 3. 0. 796 13 22. 0 1116 14 41. 0. 157 12 28. 1 477 13 4. 1. 797 14 23. 1 1117 15 42. 1. 158 13 29. 0 478 14 5. 0. 798 15 24. 0 1118 16 0. 0. 159 14 30. 1 479 15 6. 1. 799 16 25. 1 1119 17 1. 1. 160 15 31. 0 480 16 7. 0. 800 17 26. 0 1120 18 2. 0. 161 16 32. 1 481 17 8. 1. 801 18 27. 1 1121 19 3. 1. 162 17 33. 0 482 18 9. 0. 802 19 28. 0 1122 20 4. 0. 163 18 34. 1 483 19 10 1. 803 20 29. 1 1123 21 5. 1. 164 19 35. 0 484 20 11 0. 804 21 30. 0 1124 22 6. 0. 165 20 36. 1 485 21 12 1. 805 22 31. 1 1125 23 7. 1. 166 21 37. 0 486 22 13 0. 806 23 32. 0 1126 24 8. 0. 167 22 38. 1 487 23 14 1. 807 24 33. 1 1127 25 9. 1. 168 23 39. 0 488 24 15 0. 808 25 34. 0 1128 26 10 0. 169 24 40. 1 489 25 16 1. 809 26 35. 1 1129 27 11 1. 170 25 41. 0 490 26 17 0. 810 27 36. 0 1130 28 12 0. 171 26 42. 1 491 27 18 1. 811 28 37. 1 1131 0 13. 1. 812 0 38. 0 1132 1 14. 0. 1 813 1 39. 1 1133 2 15. 1. 172 27 0. 0. 492 28 19 0. 173 28 1. 1. 493 0 20. 39.
相關文件
03/2011 receiving certificate of Honorary Chair Professor from National Taiwan University of Science & Technology... 05/2013 receiving certificate of Honorary Chair Professor
Chen, Properties of circular cone and spectral factorization associated with circular cone, to appear in Journal of Nonlinear and Convex Analysis, 2013.
Transparency International (2013), Global Corruption Barometer, National Results (Taiwan), 2014/10/12 Retrieved from http://www.transparency.org/gcb2013/country/?country=taiwan
The continuity of learning that is produced by the second type of transfer, transfer of principles, is dependent upon mastery of the structure of the subject matter …in order for a
Lu, Linear-time compression of bounded-genus graphs into information-theoretically optimal number of bits, in Proceedings of the Thirteenth Annual ACM-SIAM Symposium on
The Hong Kong Musical Composition Ratings (HKMCR) 能力呎..
[3] Haosong Gou, Hyo-cheol Jeong, and Younghwan Yoo, “A Bit collision detection based Query Tree protocol for anti-collision in RFID system,” Proceedings of the IEEE
Taiwan customer satisfaction index (TCSI) model shown in Figure 4-1, 4-2 and 4-3, developed by the National Quality Research Center of Taiwan at the Chunghua University in
