第一章 緒論
1.1 前言
在科技日新月異的時代，技術與硬體的不斷改進，人類之需求亦逐漸提 升，舉凡影像、音訊、視頻、三維物件等數位資料日益普及，使用者透過網際 網路的方式，共享軟硬體資源和訊息，而孕育了雲端運算的誕生。雲端運算 (Cloud Computing)是一個模式，能隨時便利的透過網路存取設定好的共享運算
資源（如網路、伺服器、儲存裝置、應用程式與各類服務）。它透過網路上眾多
電腦，使其可以進行平行運算，為近年來熱門的研究主題之一。
惟雲端運算的便利性，也逐漸了解到隱私及安全性的重要，為了解決安全 上的疑慮，有學者[1] 提出使用餘數系統平行運算特性，運用於同態加密演算 法來確保雲端資料的安全性以及正確性，如圖一所示。
圖 一 使用餘數系統於同態加密演算法流程 Step 1:將明文加密傳
送至伺服器
Step 2:利用餘數系統 進行運算
Step 3:將運算結果回 傳解密
另外，為了滿足人類在生活中對於各種電子產品的需求，而透過超大型積 體電路所設計出各式各樣晶片，其中包含手機、平板電腦、電視、以及眾多消 費性電子產品等。超大型積體電路(Very-large-scale integration，簡稱 VLSI)近年 來研究中，也使用餘數系統來提高效能[2] 。利用餘數系統中模數組的各餘數 計算間無進位關係，而減少 VLSI 中的路徑時間，進而提高計算效率；餘數系 統也將 VLSI 的單次複雜計算，利用多個獨立間的簡單計算代替，使得可以用 來節省資源(如矽片面積)，並且運算速度提高，運算後便轉入休眠狀態，進而 降低功率。因此餘數系統也是近年來眾多學者探討的問題之一[15] ,[16] 。
1.2 研究目的
餘數系統(Residue Number System,簡稱 RNS)[11] 主要是以中國餘數定理以 及德國數學家高斯提出同餘運算(Modular Arithmetic)的兩種理論作為基礎，所實 現的一種餘數運算系統。餘數系統的基本概念是將一個大的數值轉化成若干個小 數值，然後以平行的方式執行運算，因為數值較小，所以計算速度較快。
該系統是一套利用獨立數字表示法的運算系統，對每一個數值的表示式皆是 唯一(unique)的，因此數碼系統的應用上，這是一個非常重要的特性。目前可以 應用在密碼學、影像處理、數位訊號處理和平行處理上[9] ,[10] ，其運算性質無 論在加法、減法以及乘法上都具有平行(parallel)、無進位(carry-free)和快速(high-speed)的特性存在，而且它比一般傳統二進制系統(Binary Number System)[3] 不 需要考慮進位的問題，因此對能夠對於大數運算提供很好的效率。
然而，餘數系統對於正負符號的偵測(sign detection)、溢位的偵測(overflow detection)、數值的比較(number comparison)和除法的運算(division)就非常困難。
其中，除法必須利用數值的比較[7] ，而數值的比較架構於溢位的偵測，而溢位 的偵測可由正負符號偵測來完成，然正負符號偵測可靠奇偶校驗技術來驗證，因 此，奇偶校驗技術是目前餘數系統最重要的課題之一。
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1.3 研究方法
本論文主要的研究方法是在餘數系統下，架構於一模數組 {2𝑝 − 𝑗, 2𝑝 + 𝑗 }，提出有效率的奇偶校驗技術。首先先以模數組 {2𝑝 − 3,2𝑝 + 3 }，其中 𝑝 為整數且滿足 𝑝 = 2 𝑚𝑜𝑑 3，設計出 𝑋 = {𝑥1, 𝑥2 } 奇偶校驗分析，利用中國餘
數定理可計算數值 𝑋 的奇偶情形：當 𝑥1 ≥ 𝑥2，且 𝑝 為奇數時，𝑋 的奇偶判
斷取決於 ⌊(5𝑥1+ 𝑥2)/6⌋ 𝑚𝑜𝑑 2；反之， 𝑝 為偶數時，𝑋 的奇偶判斷為 𝑥1+ 𝑥2 + ⌊(5𝑥1+ 𝑥2)/6⌋ 𝑚𝑜𝑑 2。又當 𝑥1 < 𝑥2，且 𝑝 為奇數時，𝑋 奇偶性質為
⌊((5𝑥1+ 𝑥2) − 1)/6⌋ 𝑚𝑜𝑑 2，反之， 𝑝 為偶數時，𝑋 奇偶性質則為 𝑥1+ 𝑥2+ ⌊((5𝑥1+ 𝑥2) − 1)/6⌋ 𝑚𝑜𝑑 2。
接著將模數組擴充為 {2𝑝 − 𝑗, 2𝑝 + 𝑗 }，並提出奇偶校驗技術。給定一個餘 數系統的數值 𝑋 = {𝑥1, 𝑥2 }，模數組 𝑇 = {2𝑝 − 𝑗, 2𝑝 + 𝑗 } ，其中 𝑗 為奇數和 𝑝 為整數且滿足 𝑝 =𝑗+12 𝑚𝑜𝑑 𝑗 。在 𝑥1 ≥ 𝑥2 的情況下， 𝑗+12 和 𝑝 為相異奇偶
性質時，𝑋 的奇偶判斷取決於 ⌊((2𝑗 − 1)𝑥1+ 𝑥2) 2𝑗⁄ ⌋ 𝑚𝑜𝑑 2；反之， 𝑗+12 和 𝑝 為相同奇偶性質時，𝑋 的奇偶判斷則為 𝑥1+ 𝑥2+
⌊((2𝑗 − 1)𝑥1+ 𝑥2) 2𝑗⁄ ⌋ 𝑚𝑜𝑑 2。又在 𝑥1 < 𝑥2 的情況下， 𝑗+12 和 𝑝 為相異奇偶
性質時，𝑋 的奇偶判斷決定於 ⌊((2𝑗 − 1)𝑥1+ 𝑥2− 1) 2𝑗⁄ ⌋ 𝑚𝑜𝑑 2；反之，𝑗+12 和 𝑝 為相同奇偶性質時，𝑋 的奇偶判斷決定於 𝑥1+ 𝑥2 +
⌊((2𝑗 − 1)𝑥1+ 𝑥2− 1) 2𝑗⁄ ⌋ 𝑚𝑜𝑑 2。
最後將本文方法所得到結果，進行實驗論證。將 𝑗 = 5 及 𝑗 = 7 代入本文 方法所設定之模數組，並分析其結果，結果發現其奇偶性質與實際相符，因此 可以得到本文奇偶校驗方法是有效的。
1.4 論文架構
本論文之內容將分為六大章，內容簡述如下：
第一章、緒論
主要在於介紹本研究之研究背景、研究目的、動機，以及簡介研究方法，再者 即為介紹本文之架構。