結論及未來展望

第二章 理論基礎

本章節將講述本研究硬體架構所須之基本原理，包含有電磁力原理與 永久磁鐵，以便做為後續章節之平台設計基礎原理。我們簡短地複習電磁 的基本理論[20]，這些理論將會應用在我們系統的設計上，特別有關係的 是 羅倫茲力(Lorentz force)、向量電位、向量位置方程式和比爾沙法疊加 (superposition integral of Biot-Savar Law)。

2.1 羅倫茲力原理

在一個可觀測之可控制系統中，所有力量作用於一個電荷q 上，使其 帶有速度v，其式子如下：

B v q E q

F F

F _{e m}

v v v

v v v

× +

= +

= (2-1)

其中上列式子等號右邊的第一項為庫倫力、第二項為羅倫茲力。當沒 有電場存在時，羅倫茲力對於一個無窮小的電流線圈表示可簡化為以下形 式：

(

m

)

B Fv v v

∇

⋅

= (2-2)

其中 mv 為在無窮小的電流線圈中磁雙極的力矩，此方程式指出磁鐵的 應用力與磁場梯度成正比。

羅倫茲力是磁力理論之基礎，此種力是由一個帶有速度 v 的電極質點 在磁場 B 所產生的。磁場是發生在一群正在移動的電極之中一種相對性質 的效果，具有把庫倫力羅倫茲轉換之直接結果。

一個無窮小的電流元件具有dlv

的長度和電流 I 被放置在磁通量Bv 的磁 場中受到一個強度為dFv之力如：

B l Id F

dv = v× v (2-3) 如此的線圈中將所有力相加為：

∫

^×

= Idl B Fv v v

(2-4)

圖2-1 羅倫茲力原理

如圖 2-1 所示，為了簡化方程式(2-3)，在一條長直電線中採用一段長 度為 l 的部份，並使這個部份曝露於在一個磁場強度 B 的均勻磁場中，磁 場垂直於電線，電線返回的路徑則是在磁場的外面。因此積分方程式可寫 成如下方程式：

IlB

F = (2-5) 而如果有一個N 匝的電線穿過磁場，方程式(2-5)可改寫成：

NIlB

F = (2-6) 其中 I 為傳導電線上之電流，l 為傳導電線穿越磁場中的長度，而 B 為磁通密度。我們假設因電流 I 所產生之磁場被忽略時，導線上所和受之 力為方程式(2-5)。

羅倫茲方程式在電磁學中是一基礎的方程式，以質子運動在電場與磁

場中激烈反應的原理大量應用在實際工業上。例如音圈馬達、同步無刷直 流馬達、電子顯微鏡、揚聲器、速調管等等。

2.2 電位向量與向量位移方程式

首先，在準靜磁場(magnetoquasistatics)中，安培定律(Ampere’s law)和 磁通量連續性定律(magnetic flux continuity law)（忽略位移電流密度）可以 表示如下：

J Hv = v

×

∇ (2-7)

0 =0

⋅

∇ μ Hv (2-8)

其中 ₀ 4 10 ⁷( ) Hm

× −

= π

μ 為任意空間之磁通率，Hv

為磁場而Jv

為電流密 度。

在磁通密度Bv

與磁場Hv 存在之關係可用下式表示：

H Bv v

μ0

= (2-9)

利用方程式(2-9)、(2-8)與(2-7)改寫成下式：

J B B J

Hv v v v v

0 0

μ ^{= ⇒∇× =}μ

×

∇

=

×

∇ (2-10)

0 =∇⋅ =0

⋅

∇ μ Hv Bv (2-11)

此後將方程式(2-10)帶入積分方程式中，我們可以重新將安培定律以 下列形式表示：

∫ ∫

∫

CB^v⋅dl^v=

∫

S(^∇×B^v)^⋅dS^v= S(μ₀J^v)^⋅dS^v=μ₀ S(J^v⋅dS^v)⁼μ₀I (2-12) 此外方程式(2-11)之通解為：

A

Bv =∇× v (2-13) 其中Av

為磁向量勢。由Helm-Holtz 理論，為了具體的描述唯一的向量 場，曲度和散度這兩個同時都需給定。 將式(2-16)代入式(2-15)中可得如下：

J

圖2-2 一個在r 向量上具有基本容積的電荷使得在觀察位置^' r 向量上的電 位上升

同樣的，方程式Av

中之x 與 y 軸部份可由此得到，而後將方程式(2-19) 乘上iˆ_z並且加上相對應之 x 與 y 之部份，我們可以得到磁向量勢之疊加積 分如下：

' ' ' 0

'

) ( ) 4

( dv

r r

r r J

A ⁼

∫

v v₋v v v

π

μ (2-20)

其中rv^'為電流密度之位移向量，rv為可觀測位移之座標向量，如圖2-2。

由先前的理論，可以很清楚瞭解方程式(2-20)當電流密度被給定時，

所得到的解在任何地方都是唯一的。為了使∇×Av為物理通量之密度，J(r) 不能是任意的向量場。因為任何向量的曲度都是同樣等於零，安培定律 (Ampe 的散度滿足∇⋅(∇×Hv)=0=∇⋅Jv，因此：

=0

⋅

∇ Jv (2-21) 換句話說，在準靜磁場必須為螺旋管之電流分佈。

2.3 比爾沙法疊加(Superposition integral of Biot-Savar Law)

結合方程式(2-9)、(2-14)與(2-19)，磁場強度(magnetic field intensity)為：

∫

_⎥^⎥

圖2-3 球座標上位於原點上的向量rr ^'

接著，我們將原始座標從原點移動到任意一個位置rv^'，而且在方程式 (2-26)的距離r被距離rv −rv^' 取代。單位向量iˆ_r和原始-觀測的單位向量iˆ_r'_r被 定義為從原始座標指向觀測座標 P，如圖 2-4 所示。

圖2- 4 原始座標上的向量rr^'跟觀察座標上的向量 rr 顯示出單位向量iˆ 的_r'_r

方向是從向量rr 到向量 r^' r

以此原始-觀測的單位向量觀點來看，根據圖 2-4 方程式(2-26)變成：

' 2 '

1 '

r r

i r

r

r rv v

v v

v ⎟=− −

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∇ − (2-27)

最後，將方程式(2-27)代入方程式(2-25)得到磁場的比爾沙法定律，即：

' ' 2 '

'

) '

( 4

1 dv

r r

i r H J

v

r

∫

₋ ^× r

= v v

v v v v

π (2-28)

在接下來的文章，我們將會利用比爾沙法定律來證明磁場之許多特 性，舉例來說，由圓柱形的或矩形的電磁體所產生之磁場。

2.4 電磁鐵造成磁場

2.4.1 圓柱形電磁鐵之磁場

圓柱形電磁鐵如圖 2-5 所示的軸長為h 、內徑為₁ r 與外徑為₁ r 。使電₂ 流I_cyl以同方向穿過每一電匝，此章節比爾沙法定律將被用來延展推導出在 空間任一點的磁場Hv_cyl

。

圖2-5 一個由 N 匝電匝均勻地纏繞的圓柱電磁體長度約為h₁，每一匝承載 電流為I_cyl，而且以向量為觀察座標 rr

根據圖 2-5 所示在圓柱座標的原始體積可以dv^' =r^'dφ^'dr^'dz^'之形式表 達。我們假定電線均勻地纏繞在圓柱電磁體上，因此當螺旋管的外徑等於

r 以及內徑等於2 r 時，通過螺旋管上的電流強度可被近似為： ₁

1

一起提供。但是在半靜電的狀態(quasi-static state)下， D t

∂v∂

遠小於Jv_f

項。這表示實際電流原比位移電流源重要的多。

圖2-6 由承載電流直電線所產生的磁通量 Br

假設在乘載電流的直線上之長度l 比從觀測點到原點的距離₁ r 還大的 多，然後磁通量密度 Br

可以近似為：

π φ

μ e r Bv I r

2

≅ 0 (2-36)

其中er 遵守右手守則，_φ

H m

7 0 =4π×10⁻

μ 為任意空間中的導磁率，以

及 I 為穿過導線之電流強度。磁通量可以利用卡氏座標重新表示如下：

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

+ + +

= − j

y x i x y x

y

B I ˆ ˆ

2 ^{2 2 2 2}

0π μ

r (2-37)

其中 iˆ 與 jˆ 為卡氏座標之單位向量。

2.6 永久磁鐵

在目前所熟知眾多磁性體材料中，僅有鐵磁性及陶鐵磁性的材料才擁 有較強磁性能。因此，具有工業實用價值的永久磁石都為上述二大類。具 有鐵磁性及陶鐵磁性的物質都會有磁滯曲線(Hysteresis Loop)的產生。而磁 滯曲線形狀及大小即關係著磁石材料的優與劣。

一般磁性體材料的磁滯曲線有二種圖型：一為B-H 曲線，另一為 M-H 曲線，如圖 2-7 所示。磁化曲線一般來說是非線性的，由曲線上可看出 2 個特點，磁飽和現象及磁滯現象。即當磁場強度H足夠大時，磁化強度M 達到一個確定的飽和值Ms，繼續增大H，Ms保持不變；以及當材料的M 值達到飽和後，外磁場H降低為零時，M 並不恢復為零，而是沿MsMr曲 線變化。材料的工作狀態相當於 M-H 曲線或 B-H 曲線上的某一點，該點 常稱為工作點。

圖2-7 永久磁石之磁滯曲線圖

磁性材料的常用磁性能參數，飽和磁感應強度Bs，其大小取決於材料

的成分，它所對應的物理狀態是材料內部的磁化量整齊排列。剩餘磁感應 強度Br，是磁滯迴線上的特徵參數，H回到0時的B值。矩形比：Br Bs矯 頑力Hc，是表示材料磁化難易程度的量，取決於材料的成分及缺陷（雜質、

應力等）。磁導率μ ：是磁滯迴線上任何點所對應的B與H的比值，與物件 工作狀態密切相關[21]。

硬磁材料在做過磁化處理後，磁性不易消失，可用來做為永久磁鐵使 用，目前工業應用上最普遍的永久磁鐵材質包括鋁鎳鈷磁鐵(AlNiCo)、鐵 氧磁鐵(Ferrite)、釤鈷磁鐵(SmCo)及釹鐵硼磁鐵(NdFeB)。圖 2-8 為永久磁 鐵磁積(Magnetic Energy Product)的發展史及各類永久磁石的特性表 2-1 與 優缺點比較表2-2。

0 20 30 40 50

10 60

1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000

AlNiCo 磁石 Ferrite 磁石 SmCo 磁石 NdFeB 磁石

Maximum Energy Product (BH)max (MGOe)

Year

圖2- 8 永久磁鐵的磁積發展史

釹鐵硼是第三代稀土永久磁石，在 1984 年，釹鐵硼磁鐵被美國通用 和日本住友特殊金屬公司同時開發出來，並註冊了專利。釹鐵硼磁石自誕 生時，磁能積便已達到35 MGoe，當時一般氧化係的磁石其磁積能才約為 5MGoe。此後釹鐵硼磁石一直保有磁能積最強的稱號，直至今日仍尚未出

現可與之取代的新硬磁材料。目前工業量產可獲得的釹鐵硼磁鐵最高磁能 積高達52-55MGoe，已達其理論最高磁能積64MGoe的84%。

釹鐵硼永磁材料是以金屬間化合物Nd₂Fe₁₄B為基礎的永磁材料。釹鐵 硼的優點是性能價格比高，具良好的機械特性；不足之處在於居禮溫度 (Curie Temperature)點較低，溫度特性差，且易於粉化腐蝕，必須通過調整 其化學成分，和採取表面處理方法使之得以改進機械能，方能達到實際應 用的要求。

表2-1 永久磁鐵的特性

AINiCo Ferrite Rare Earth

Property Unit AINiCo Magnet

Sintered Ferrite Magnet

Bonded Ferrite Magnet

Sintered SmCo Magnet

Bonded SmCo Magnet

Sintered NdFeB Magnet

Bonded NdFeB Magnet

Residual Induction (Br)

kG 11.5 4.4 3.1 11.6 8.5 14.2 7.3

Coercive

Force (bHc) kOe 1.6 2.8 2.4 10.1 7.6 11.7 5.7 Intrinsic

Coercivity (iHc)

kOe 1.7 3.5 3.0 >5.3 11 >11 9

Maximum Energy Product (BH)max

MGOe 11 4.6 2.2 32 17 48 11

Temperature Coefficient

α (Br)

%/K -0.02 -0.18 -0.18 -0.03 -0.03 -0.11 -0.10

Temperature Coefficient

β(iHc)

%/K ~0 +0.4 +0.4 -0.2 -0.2 -0.6 -0.4

Curie Temperature Tc

°C 845 460 460 795 795 335 335

Flexure Strength

Kgf/m

m 28 13 6 12 25

Density g/cm 7.3 5.0 3.6 8.4 7.0 7.5 6.0 Hardness Hv 650 530 550 80-120 600 80-120

Electrical Resistivity

• μΩ c

m 60 >10¹⁰ 80 44000 150 26000

(Data from Spin Technology Corp. in Taiwan)

表2-2 永久磁鐵的優缺點比較

優點 缺點

鋁鎳鈷磁鐵 AlNiCo

殘留感應磁力 Br 高 溫度係數最滴低

矯頑磁力iHc極低，易退磁

主原料中鈷及鎳價格不穩定 鐵氧燒結磁鐵

Ferrite Sintered

主要原料豐富，價格最低廉 化學安定優異，不需表面處理

磁性能較差 溫度係數偏高 鉁鈷燒結磁鐵

SmCo Sintered

磁性能優異 溫度穩定性佳 不需表面處理

主要原料鉁及鈷價格高昂 機械強度低，加工不易

釹鐵硼燒結磁鐵 NdFeB Sintered

磁性能最優異

主要原料較鉁鈷磁鐵低 機械強度較鉁鈷磁鐵高

溫度穩定性較差 易氧化需表面處理

釹鐵硼粘結磁鐵 NdFeB Bonded

形狀自由度高 尺度精度高 可製成軟性磁鐵

可與其他零件一體成形

磁性能較燒結磁鐵低

相對於一般鑄造鋁鎳鈷磁鐵系永磁材料和鐵氧體永磁材料，釹鐵硼具 有極高的磁能積和矯頑磁力，可吸起相當於自身質量的 640 倍的物體。高 磁通能量密度的優點使釹鐵硼永磁材料在現代工業和電子技術中獲得了 廣泛應用，從而使儀器儀表、電聲電機、磁選磁化等設備的小型化、輕量 化、薄型化成為可能。且造型尺度可依需求自行設計，所以相當適合本研 究開發出輕巧、長行程與高輸出力的定位平台的目標，表 2-3 為本研究採 用之釹鐵硼磁鐵各項規格。

表2-3 釹鐵硼磁鐵規格

Specifications NdFeB

Remanence (T) 1.29

Coercivity (kA /m) 990 Maximum energy product (kJ/ m³) 320 Density (g/ cm³) 7.49 Curie temperature (°C) 310 Resistivity (μΩm) 6

第三章 系統組成設計與配置

本章節將依據第二章理論基礎，發展其本研究目的所需之定位平台架 構，其中包含有運動平台設計、致動器設計與感測器量測架設…等。

3.1 設計流程規劃

本論文之研究目的為達成長行程(厘米等級)之機構設計，並且依據第

本論文之研究目的為達成長行程(厘米等級)之機構設計，並且依據第

在文檔中 以電磁驅動之二維高精度定位平台設計與控制 (頁 20-111)