結論

本研究主要目的是以共旋轉有限元素法，推導ㄧ個雙對稱斷面的薄壁 梁元素，並將其應用在梁結構的幾何非線性動態分析。

本研究推導之梁元素有兩個節點十四個自由度。本文在梁元素當前的 變形位置上建立元素座標，並視其為一個局部的固定的座標系統，所以在 元素座標的速度、加速度、角速度及角加速即為絕對速度、加速度、角速 度及角加速度。本研究利用非線性梁理論、d’Alembert原理、虛功原理及一 致性二階線性化在當前的元素座標上推導梁元素的節點變形力、節點慣性 力。本文用旋轉向量來描述元素節點的旋轉，但用三個旋轉參數來描述元 素的變形旋轉，所以在推導梁元素需要兩組節點參數，此兩組節點參數的 轉換矩陣為節點旋轉參數的函數，本文保留兩組節點參數的轉換矩陣至節 點參數之一次項。本文保留元素的節點變形力至節點參數之二次項，保留 元素的節點慣性力至節點參數之零次項及由兩組節點參數的轉換矩陣引進 的節點參數一次項。本文中推導出完整的元素慣性矩陣，元素慣性矩陣中 的質量矩陣、陀螺矩陣是由元素的節點慣性力分別對節點參數對時間之二 次微分的微分、節點參數對時間之一次微分的微分求得。本研究推導的結 果及分析例題的數值結果可以得到以下結論：

1. 文獻[7]在推導慣性力中不考慮由節點參數的轉換矩陣(2.6.9)式造成的

變形與慣性力間的耦合，而本研究在推導慣性力及慣性矩陣中考慮變形 與其耦合，本研究數值結果與需要的迭代次數，與文獻[7]差異甚小，由 此結果可得在慣性力中(2.6.12)式及慣性矩陣中(2.7.12)、(2.7.13)式，T_

對動態分析的結果及效率並無太大影響。

2. 文獻[4]所提陀螺質量矩陣可大幅改善收斂需要的迭代次數，但由本文第 四章的數值結果發現，考慮陀螺質量矩陣雖然可使總迭代次數減少了，

但平均迭代次數減少有限，故與文獻[7]一樣，本研究所提出的推導法可 只考慮質量矩陣，平均迭代次數及分析的效率並不會有太大的差異。

3. 在三維梁動態分析中，就本作者所知幾乎沒有文獻研究使用中央差分 法，本文於第四章的數值結果發現，使用中央差分法與 Newmark積分 法分析的結果非常接近，但中央差分法需要之時間增量較Newmark積 分法小很多，效率較 Newmark積分法差，故中央差分法可以用在本研 究提出的三維梁動態分析推導法。

4. 本文中除了使用 Newmark trapezoidal rule外，另外使用Newmark-

damping scheme與 HHT scheme，發現後兩者確能消除加速度抖動現

象，且不影響其準確性，但在效率方面，使用 HHT的總迭代次數卻比 Newmark- damping scheme較多。

5. 因文獻上缺乏三維薄壁梁動態分析之結果，故本研究中之於第四章之例 題可以供以後的研究參考及比較。

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表一 例題一Newmark法在 Aij之迭代次數(i為剛度類型，j為慣性矩陣類型)

Number of Element

Δt A11 A12 A13 A14 A21 A22 A23 A24 A31 A32 A33 A34

4 0.15 1252 1056 1085 1056 1245 1057 1083 1057 1258 1057 1082 1057 4 0.2 926 822 866 820 925 815 865 816 929 816 868 816 8 0.15 1020 1006 1092 1006 1013 1006 1092 1006 1017 1005 1091 1004 8 0.2 927 918 1017 918 925 918 1019 919 894 884 988 884

表二 例題一CDM法在 Bi之容許最大時間增量(i質量矩陣類形)

Number of Element

B1 B2

4 0.003 0.002

8 0.001 0.001

表三 例題三之I型斷面性質

Section geometry of I section:

m

d 0.56 ,b0.3m m

t_f 0.03 ,t_w 0.012m A (m²) 0.024

I (my ⁴) 1.4142810^3 I (mz ⁴) 1.3507610^4 KI (m⁶) 1.1641710^4 J (m⁴) 5.7052810^6

I (m ⁶) 9.4922910^6

yz

 (m⁶) 9.4720410^6

表四 例題五之I型斷面性質

Section geometry of I section:

in

d 13.66 ,b7.995in in

t_f 0.53 ,t_w 0.305in A (in²) 12.3177

I (iny ⁴) 4.1628410² I (inz ⁴) 45.1717 KI (in⁶) 2.1331110⁴ J (in⁴) 0.912679

I (in ⁶) 1.9521710³

yz

 (in⁶) 1.9449210³

表五 例題六之I型斷面性質

Section geometry of I section:

m

d 0.28194 ,b0.262636m ,

m

t_f 0.028448 ,t_w 0.017272m A (m²) 1.8822910^2

I (my ⁴) 2.5746410^4 I (mz ⁴) 8.5990710^5 KI (m⁶) 7.7390210^6 J (m⁴) 4.4175710^6

I (m ⁶) 1.3922610^6

yz

 (m⁶) 1.3744610^6

表六 例題七之矩型斷面性質

Section geometry of rectangle section:

m

b0.0254 ,h0.003175m A (m²) 8.064510^5

I (my ⁴) 6.774610^11 I (mz ⁴) 4.3357410^9 KI (m⁶) 4.2697410^13 J (m⁴) 2.4963510^10

I (m ⁶) 3.4016610^15

yz

 (m⁶) 3.5165210^15

表七 例題七之週期與T 與最大位移w_max

Present Ref[30] Ref[32] Ref[33] Ref[34] Ref[35]

)

max(m

w 0.01971 0.0196 0.02286 0.01956 0.01956 0.01946

) ( s

T  2300 2275 2884 2300 2300 2151

) ( s

T  為第一次到最低點所需的時間

表八 例題八 兩個元素之質心位置分析

Time Present Analytical

X₁c X₂^c X₃^c(10^2) X₁^c X₂^c X₃^c

0 -3.0 4.0 0.0 -3.0 4.0 0.0

2.5 -2.3021 3.99996 -0.00065 -2.3056 4.0 0.0

5 1.1676 3.99949 -0.07394 1.1667 4.0 0.0

7.5 5.3355 3.99901 -0.20713 5.3334 4.0 0.0

10 9.5043 3.99740 -0.32818 9.5000 4.0 0.0

12.5 13.6722 3.99612 -0.36104 13.6667 4.0 0.0

15 17.8399 3.99510 -0.42373 17.8334 4.0 0.0

17.5 22.0078 3.99482 -0.55443 22.0001 4.0 0.0

20 26.1766 3.99337 -0.67626 26.1667 4.0 0.0

22.5 30.3446 3.99196 -0.73313 30.3334 4.0 0.0

25 34.5122 3.99074 -0.77492 34.5001 4.0 0.0

27.5 38.6801 3.99061 -0.89592 38.6668 4.0 0.0

30 42.8488 3.98932 -1.0225 42.8334 4.0 0.0

總體座標的原點為 B點t 0時的位置

表九 例題八 十個元素之質心位置分析

Time Present Analytical

X₁c X₂^c X₃^c(10^3) X₁^c X₂^c X₃^c

0 -3.0 4.0 0.0 -3.0 4.0 0.0

2.5 -2.3020 4.0 -0.0003 -2.3056 4.0 0.0

5 1.1667 3.99998 -0.0287 1.1667 4.0 0.0

7.5 5.3334 3.99996 -0.0819 5.3334 4.0 0.0

10 9.5002 3.99990 -0.1309 9.5000 4.0 0.0

12.5 13.6669 3.99984 -0.1440 13.6667 4.0 0.0

15 17.8336 3.99980 -0.1681 17.8334 4.0 0.0

17.5 22.0003 3.99979 -0.2198 22.0001 4.0 0.0

20 26.1671 3.99973 -0.2698 26.1667 4.0 0.0

22.5 30.3338 3.99968 -0.2938 30.3334 4.0 0.0

25 34.5005 3.99963 -0.3091 34.5001 4.0 0.0

27.5 38.6672 3.99962 -0.3559 38.6668 4.0 0.0

30 42.8339 3.99957 -0.4083 42.8334 4.0 0.0

總體座標的原點為 B點t 0時的位置

表十 例題九之矩型斷面性質

Section geometry of rectangle section:

m

b0.1 ,h0.05m

A (m²) 510^3

I (my ⁴) 1.0416710^6 I (mz ⁴) 4.1666710^6 KI (m⁶) 8.3767410^9 J (m⁴) 2.8585210^6

I (m ⁶) 3.1754210^10

yz

 (m⁶) 5.122310^10

表十一 例題九質心位置分析

Present Analytical

Time (sec)

) 10

( ²

1 m

X^{c } X₂^c(m) X₃^c(m) X₁^c(m) X₂^c(m) X₃^c(m)

0 0.0 0.0 0.83333 0.0 0.0 0.83333

2.5 -0.00032 0.1608 0.83333 0.0 0.1606 0.83333

5 -0.00149 1.2860 0.83325 0.0 1.2850 0.83333

7.5 0.01745 4.3403 0.83321 0.0 4.3369 0.83333

10 0.05090 10.2881 0.83335 0.0 10.2800 0.83333

12.5 0.06459 19.9334 0.83331 0.0 19.9237 0.83333

15 0.14539 33.4373 0.83329 0.0 33.4250 0.83333

17.5 0.25509 50.7987 0.83368 0.0 50.7838 0.83333

20 0.37435 72.0184 0.83387 0.0 72.0000 0.83333

總體座標的原點為 C點t 0時的位置

表十二 例題十一之I型斷面性質

Section geometry of I section:

in

d 21.62 ,b8.42in in

t_f 0.93 ,t_w 0.58in A (in²) 27.122

I (iny ⁴) 2.0500910³ I (inz ⁴) 92.8482 KI (in⁶) 2.2275710⁵ J (in⁴) 5.80026

I (in ⁶) 5.80026

yz

 (in⁶) 9.9059210³

P

Q z

y X₂G

X₃G

X₂S

X₃S

x1

x2

x3

s

1

2

x xp

u P

P

X₁G

) 0 , 0 , (l v w

O

X₂S

X₁S

X₃S

圖一 元素座標與元素截面座標

b ^ a b ~

圖二 旋轉向量圖

X X

P

Rigid arm

X

P 1

P

P

R

3

2

圖三 剛性桿受力作用機制圖

圖四 中央差分法示意圖

 t  t

1

t

n

t

_n

t

_n1

1

u

n

u

_n1

u

_n1

u

n

u

n

u

n

1

u

n

computed already

computed be

to

圖五 I型斷面示意圖

x

^S₂

x

S₃

t w

tf tf

d

b

b

Load of

History Time

U , X

₁^G

W

, X

^G₃

V , X

^G₂

0 . 50

P(t)

L L

B A

P(t)

0 .

0 1 . 0 2 . 0

圖六 例題一懸臂直角梁之幾何及受力圖

0 10 20 30 -10

-5 0 5 10

Displacement

Time 8 Elem.

4 Elem.

WB

WA

圖七 例題一Newmark法元素數不同之A、B點X₃^G方向位移比較

0 10 20 30 -8

-4 0 4 8

Displacement WA

Time

Present [27]

[28]

[29]

圖八 例題一Newmark積分法A 點在X₃^G方向之位移

0 10 20 30 -8

-4 0 4 8

Displacement WB

Time

Present [27]

[28]

[29]

圖九 例題一Newmark法積分法B 點在X₃^G方向之位移

0 10 20 30 -10

-5 0 5 10

Displacement

Time Case1 Case2

WB

WA

圖十 例題一Newmark法速度項影響之A、B點X₃^G方向位移比較

0 10 20 30 -10

-5 0 5 10

Displacement

Time 8 Elem.

4 Elem.

圖十一 例題一數值方法不同之A、B點X₃^G方向位移比較

0 10 20 30 -10

-5 0 5 10

Displacement

Time

Newmark CDM

WB

WA

圖十二 例題一CDM法元素數不同之 A、B點X₃^G方向位移比較

Z

Y g

a



_x

= 0







y

z

0

=

=

=



0

2 +4L 150



₀

a

²

a

2



y

M a L

g

= 15 0.25 1

9.81

=

=

=

X L



z



x

圖十三 例題二旋轉圓盤之幾何及受力圖

k

i j

k

j

i j

k i

Z

X

150 Y

-4.6154

4.6154 150

-4.6154

Z

X

Y 661.3469

-21.302

-30.9608 661.3469

(a)

(b)

圖十四 例題二旋轉圓盤之初始速度

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 -50

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40

X-Acceleration

Time





圖十五 例題二Newmark法之旋轉圓盤中心在X 方向的加速度

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 -150

-100 -50 0 50 100 150

Angular Velocity

Time

Present [25]



x



z



y

圖十六 例題二旋轉圓盤之角速度變化過程

-0.8 -0.4 0.0 0.4 0.8 -0.2

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

Y

X Present

[25]

圖十七 例題二旋轉圓盤中心在XY平面的運動軌跡

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 -60

-40 -20 0 20 40

X-Acceleration

Time



Present



Newmark





圖十八 例題二旋轉圓盤中心在X方向的加速度

End cross section x

^S3

2S

x

Time History of Load

0.0 t (sec)

(t)

3

,W X

X

A

L

2

,V X

G

X

G

B ,U P

1G

X X

P

P

₀

C

x

C

0.02

圖十九 例題三I型斷面梁之幾何及受力圖

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 -0.05

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

Case (a)

Displacement (m)

Time (sec)

Present [30]

U

C

W

C

-圖二十 例題三之C點在X₁^G與X₃^G方向的位移(Case (a) )

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.0

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Case (b)

Displacement (m)

Time (sec)

Present [30]

U

C

W

C

-圖二十一 例題三之 C點在X₁^G與X₃^G方向的位移(Case (b) )

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 -0.2

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8

Case (c)

Displacement (m)

Time (sec)

Present [30]

U

C

W

C

-圖二十二 例題三之 C點在X₁^G與X₃^G方向的位移(Case (c) )

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 -1.0

-0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

Case (d)

Displacement (m)

Time (sec)

Present [30]

U

C

W

C

-圖二十三 例題三之 C點在X₁^G與X₃^G方向的位移(Case (d) )

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 -0.2

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8

Case (e)

Displacement (m)

Time (sec)

Present [30]

U

C

W

C

-圖二十四 例題三之 C點在X₁^G與X₃^G方向的位移(Case (e) )

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 -0.05

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

Case (f)

Displacement (m)

Time (sec)

Present [30]

U

C

W

C

-圖二十五 例題三之 C點在X₁^G與X₃^G方向的位移(Case (f) )

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 -0.4

0.0 0.4 0.8 1.2 1.6

Present [30]

Displacement (m)

Time (sec) Case (g)

U

C

W

C

-圖二十六 例題三之 C點在X₁^G與X₃^G方向的位移(Case (g) )

W , X

^G₃

P

V , X

^G₂

L

U , X

₁^G

(sec)

0.0 t

P

0

0.02 P(t)

A B

圖二十七 例題四 I型斷面懸臂梁之幾何及受力圖

S3

X

P

_S

X

2

e

P

S3

X

S2

X

e

圖二十八 例題四I 型斷面懸臂梁之偏心受力於頂部圖 (Case a)

圖二十九 例題四 I型斷面懸臂梁之偏心受力於底部圖 (Case b)

0.00 0.04 0.08 0.12 0.16 0.20 -4

-3 -2 -1 0 1

Displacement UB (10-3 m)

Time (sec)

Present [31]

圖三十 例題四B 點在X₁^G方向的位移(Case (a) e0.03m)

0.00 0.04 0.08 0.12 0.16 0.20 -2

0 2 4 6 8

Displacement VB (10-2 m)

Time (sec)

Present [31]

圖三十一 例題四 B點在X₂^G方向的位移(Case (a) e0.03m)

0.00 0.04 0.08 0.12 0.16 0.20 0.00

0.05 0.10 0.15 0.20 0.25

Displacement WB (m)

Time (sec)

Present [31]

圖三十二 例題四 B點在X₃^G方向的位移(Case (a) e0.03m)

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0

50 100 150 200

P (kN/m)

Time (sec)

Case (a) U

B

W

B

V

B

圖三十三 例題四B點之負荷－位移曲線圖(Case (a) e0.03m)

0.00 0.04 0.08 0.12 0.16 0.20 -2.5

-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5

Displacement UB (10-2 m)

Time (sec)

Present [31]

圖三十四 例題四 B點在X₁^G方向的位移(Case (b) e0.03m)

0.00 0.04 0.08 0.12 0.16 0.20 -0.2

0.0 0.2 0.4 0.6

Displacement VB (m)

Time (sec)

Present [31]

圖三十五 例題四 B點在X₂^G方向的位移(Case (b) e0.03m)

0.00 0.04 0.08 0.12 0.16 0.20 0.0

0.1 0.2 0.3 0.4

Displacement WB (m)

Time (sec)

Present [31]

圖三十六 例題四 B點在X₃^G方向的位移(Case (b) e0.03m)

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0

50 100

P (kN/m)

Displacement (m) Case (b) U

B

W

B

V

B

圖三十七 例題四 B點之負荷－位移曲線圖(Case (b) e0.03m)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 0

50 100 150 200

P (kN/m)

Displacement (m)

Case (a) e = 0.03 m Case (a) e = 0 m U

B

W

B

V

B

圖三十八 例題四 B點之負荷－位移曲線圖

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 0

20 40 60 80 100

P (kN/m)

Displacement (m)

Case (b) e = 0.03 m Case (b) e = 0 m U

B

W

B

V

B

圖三十九 例題四 B點之負荷－位移曲線圖

X

X

X X ,W

X ,V

X ,U B

A

₁^G

G2 G3

P P

0.5in

5in C

x

^S₂

x

S₃

End cross section

Loading point

L/2 L/2

0.0 t (sec)

(t) P

P

0

Time History of Load

圖四十 例題五I 型斷面簡支梁之幾何及受力圖

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -0.5

-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2

Displacement (in)

Time (sec)

P

₀

= 50 kip U

B

-V

C

W

_C

圖四十一 例題五端點B 在X₁^G方向、中點C 在及X₂^G方向及X₃^G方向之位 移

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -2.0

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5

Displacement (in)

Time (sec)

P

₀

= 100 kip U

B

-V

C

W

C

圖四十二 例題五端點B 在X₁^G方向、中點C 在及X₂^G方向及X₃^G方向之位 移

0.0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0 -16

-12 -8 -4 0 4

Dsisplacement (in)

Time (sec)

P

₀

= 150 kip U

B

-V

C

W

C

圖四十三 例題五端點B 在X₁^G方向、中點C 在及X₂^G方向及X₃^G方向之位 移

0 20 40 60 80 100 120 0

50 100 150 200 250

P (kip)

Displacement (in) W

C C

-V

-U

B

-圖四十四 例題五端點 B 在X₁^G方向、中點C 在X₂^G及X₃^G方向之負荷－位 移曲線圖

X

X

X X ,W

X ,V

B X ,U

A

₁^G

G2 G3

L

C M

0.01M

Cross section

x

^S₂

x

S₃

M

0.0 t (sec)

M (t) M

0

Time History of Load

圖四十五 例題六 I 型斷面簡支梁之幾何及受力圖

圖四十六 例題六端點B 在X₁^G方向、中點C 在及X₂^G方向及X₃^G方向之位 移

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30

-0.25 -0.20 -0.15 -0.10 -0.05 0.00 0.05

Displacement (m)

Time (sec)

M

₀

= 1 MN-m

U

B

W

C

V

C

圖四十七 例題六端點B 在X₁^G方向、中點C 在及X₂^G方向及X₃^G方向之位 移

0.0 0.1 0.2 0.3

-0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6

Displacement (m)

Time (sec)

M

₀

= 2 MN-m

U

B

W

C

V

C

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 0

1 2 3 4 5

M (MN-m)

Displacement (m)

W

C

-U

B

C

-V

-圖四十八 例題六端點 B 在X₁^G方向、中點C 在X₂^G及X₃^G方向之負荷－位 移曲線圖

Load of

History Time

U , X

₁^G

W

, X

₃^G

V , X

^G₂

F

(sec) t

844 . 2

A C B

b

h ^X

^S2

S3

X

N) (10 F(t)

³

D

e D C

F L

圖四十九 例題七矩形斷面固端梁之幾何及受力圖

0 1 2 3 4 5 0

5 10 15 20

Displacement -WC (10-3 m)

Time (10

^-3

sec)

Present [30]

[35]

圖五十 例題七中點 C 之位移(Case (a) )

0 5 10 15 20 25 30 35 0

5 10 15 20

Displacement -WC (10-3 m)

Time (10

^-3

sec)

圖五十一 例題七中點 C 之位移至t3.510^-2(sec)(Case (a) )

0 1 2 3 4 5 0

5 10 15 20

Displacement -WC (10-3 m)

Time (10

^-3

sec)

Newmark CDM

圖五十二 例題七數值方法不同之中點 C 位移(Case (a) )

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 -1.2

-0.6 0.0 0.6

Displacement VC (10-3 m)

Time (10

^-3

sec)

6 ELEM.

10 ELEM.

15 ELEM.

圖五十三 例題七元素數不同中點 C 在X 方向的位移(Case (b) )^G₂

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 -20

-10 0

Displacement WC (10-3 m)

Time (10

^-3

sec)

6 ELEM.

10 ELEM.

15 ELEM.

圖五十四 例題七元素數不同中點 C 在X 方向的位移(Case (b) )^G₃

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 -0.25

-0.20 -0.15 -0.10 -0.05 0.00

Displacement Crad

Time (10

^-3

sec)

6 ELEM.

10 ELEM.

15 ELEM.

圖五十五 例題七元素數不同中點 C 的轉角(Case (b) )

在文檔中 雙對稱斷面薄壁梁之幾何非線性動態分析 (頁 70-183)