緒論

學術上有許多探討非線性三維梁動態反應的研究[1-12]，而這些研究通 常是以 Newmark 積分法[13]並搭配 Newton-Raphson 法迭代作計算。如文獻 [1]中使用 Conserving energy 其主要原理於文獻[2,3]，搭配 The mid point scheme 這建立在 Newmark 積分法的變形。

文獻[4]使用 Co-rotational formulation，由線性元素的移動動能及轉動動 能求得慣性力及慣性矩陣，並利用不同的方式表示旋轉參數及初始增量探 討運算效率，並提出陀螺矩陣對於迭代次數之改善。

文獻[5]以建立在文獻[6]Co-rotational formulation 提出依簡單有效的梁 元素及數值程序來分析三維梁的動態問題，但其梁元素並非由完整之非線 性梁理論推導，變形力只考慮軸向應變對撓曲力之耦合，而慣性力僅考慮 陀螺效應的速度耦合項。

文獻[7,8]以 Co-rotational formulation 及完整之幾何非線性梁理論推導 梁元素，此梁元素為使用二個節點，十二個自由度，並無考慮翹曲的自由 度，並利用 D’Alembert 原理及虛功原理求得元素節點變形力及慣性力，變

形力保留至節點參數二次項，慣性力則忽略變形對其之影響。文獻[7,8]使 用旋轉向量來描述元素節點的旋轉，但用三個旋轉參數來描述元素的變形 旋轉，所以在推導梁元素需要兩組節點參數，此兩組節點參數的轉換矩陣 為節點旋轉參數的函數，文獻[7,8]不考慮轉換矩陣對慣性力之影響。

文獻[9,10]以文獻[8]之推導為基礎，探討動態分析之薄壁梁，此梁元素 二個節點，十四個自由度，多考慮翹曲的自由度，文獻[10]所提，非線性動 態分析較無文獻探討翹曲對動態分析之影響。

根據本作者所知，探討三維薄壁梁之動態分析研究很少，雖然如文獻 [9,10]之探討，並非完整之慣性矩陣推導，故本研究將使用共旋轉有限元素 法(Co-rotational finite element formulation)並配合數值方法 Newmark 積分法 來探討非線性三維梁的動態分析，本文與文獻[7-10]皆在推導慣性力及慣性 矩陣時，將慣性項與變形之耦合忽略，但考慮轉換矩陣對慣性力之影響，

而文獻[7-10]皆無考慮陀螺質量矩陣，故本研究將加入陀螺質量矩陣。

而在三維梁結構之非線性動態反應時，我們需使用解非線性運動方程 式的數值計算方法，一般使用直接積分法(Direct integration method)。所謂 直接積分法[13]，也就是直接處理積分過程，利用原運動方程式搭配積分法 對速度加速度之簡化假設，而不是先將運動方程式利用數學轉換變成不同 形式作運算。

直接積分法又分為顯積分法(Explicit method)[14]及隱積分法(Implicit

method)[13]，顯積分法常為條件穩定(Conditionally stable)，其原理為將運動 方程式建立在t時刻，推算t t時刻的待求物理量。目前常用的顯積分法 有中央差分法(Central difference method)、runge-kutta 法。而隱積分法常為 無條件穩定(Unconditionally stable)，計算上假設運動方程式於待求物理量之

t

t  時刻達平衡狀態，計算待求物理量時，除了t時刻之前的已知物理量 外，在某種程度上必須具備tt時刻的物理量，於tt時刻之平衡位置，

速度及加速度由迭代法取得。目前常用的隱積分法有 Newmark 法、Wilson-θ 法及 Houbolt 法，還有許多以 Newmark 積分法所作的變形，如 Average acceleration、Linear acceleration 及 Fox-Goodwin formula[13]，

在一般使用顯積分法為條件的研究中，較適合應用在非常短暫時間的衝擊 [15]，如文獻[16]中，為了求出微型行星齒輪組三維的衝擊分析下其行星臂 震盪情形及各個嚙合齒對間之負載分配、接觸齒面應力分布，利用有限元 素法分析，在求解動態過程中及採用顯積分法中的中央差分法。或是高度 非線性的分析，如文獻[17]中所提，在研究門閂的接合情況時所用到較大的 Finite Element Model 顯積分所運算出的結果會比隱積分的結果更符合實際 的狀況。

文獻[18]中所提及，在三維含有有限旋轉中的研究中較少搭配顯積分法 作計算，就本作者所知，也僅有文獻[19]中使用顯積分法搭配新的計算方法 VFIFE(Vector form intrinsic finite element)應用在三維的網狀型的構架建築

上，此方法與 FEM(Finite element method)大致相似。

非線性三維梁的動態分析文獻上，本作者所知皆無比較使用顯積分法 及隱積分法，而文獻[20]所提，在顯積分法中，中央差分法在計算二階運動 方程中擁有最高的精確度及穩定度，故在數值計算選擇中央差分法，並與 隱積分法的 Newmark 積分法作比較。

本研究用文獻上的例題說明本研究推導之梁元素的正確性及本文提出 之顯積分法的數值程序的可行性。本研究並以數值例題探討慣性力及慣性 矩陣中之轉換矩陣及還有慣性矩陣中不同的項對非線性動態分析之效率及 準確性的影響。本研究也以數值例題比較使用顯積分法的中央差分法與使 用的隱積分法的 Newmark 積分法並配合 Newton-Raphson 增量迭代法之效 率及準確性。