數值例題與結果

為了測試本研究提出的方法的有效性、準確性及效率，本章中分析了

多種不同的數值例題。本章中為了比較不同之數值計算方法的準確性及效 率，例題一、例題七、例題八及例題十，除了 Newmark trapezoidal rule 外，

還使用中央差分法(CDM)，其餘的例題皆只使用Newmark trapezoidal rule， 其中第二題為了除掉虛假的高頻振動，另外使用了 Newmark-β damping

scheme 及HHT scheme。在比較數值方法不同時，是以計算次數位移增量及

改正量次數做為探討效率的比較，Newmark法的計算次數即為總迭代次 數，CDM法的計算次數則為增量次數。本章中所有例題之容許誤差皆設為

10^4 tol 

e 。

由第二章的說明可知元素節點內力及剛度矩陣中會有趨近於零的項，

為探討這些項的影響，本研究考慮三種類型的內力及剛度，並說明如下 第一類型內力: (2.6.15)式全部考慮

第二類型內力: (2.6.15)式中去掉加底線











 的項

第三類型內力：(2.6.15)式中去掉加底線











 及



















 的項

第一類型剛度: (2.7.7)式全部考慮 第二類型剛度: (2.7.7)式中去掉加底線











 的項

第三類型剛度：(2.7.7)式中去掉加底線











 及



















 的項

為探討慣性矩陣中不同項的影響，本研究考慮三種類型的慣性矩陣，並說 明如下

第一類型：(2.7.17)式，考慮所有慣性矩陣

第二類型:(2.7.18)式，考慮所有慣性矩陣，但質量矩陣及陀螺矩陣用近似式 m

m 及cc_

第三類型:(2.7.19)式，只考慮質量矩陣且用近似式mm_

第四類型：(2.7.20)式，只考慮質量矩陣及陀螺矩陣且用近似式mm_及 c

c 

本章中若無特別說明，在 Newmark積分法時，一律使用第二類型的內力及 剛度、第四類型的慣性矩陣；在 CDM時，一律使用第二類型的內力，質量 矩陣取mT_^t m_T_。

本章中例題一、例題八、例題十為實際並不存在的梁斷面，為考量本 研究的真實性，另外討論包括矩形斷面及 I型斷面(圖五)。本章中除了例題 十一有考慮抑制翹曲，其餘皆為自由翹曲。計算形心的軸向應變皆僅考慮 元素弦長的變化。

例題一 懸臂直角梁

如圖六所示，考慮一根在X₁X₂平面上成直角的懸臂梁，在其肘處受 X3

 方向上的外力作用，其作用力大小如圖六所示，在時間t 2及移除外 力，讓它自由振動[27,28,29]。此題之幾何及材料性質為：L10，EA10⁶，

103





EI GJ

EI_{y z} ，A 1，I_y I_z 10。數值方法使用Newmark積 分法及 CDM比較。本題結果如圖七至圖十二及表一、表二所示，除另有說 明外，本例題分析時使用八個元素，Newmark積分法時，使用時間增量

2 .

0

t 。圖七為 A、B兩點位移的歷時分析，圖七可發現四個元素與八個 元素的解仍有少許的差異，圖八及圖九中分別為A、B 兩點在X₃^G方向上位 移的歷時分析與文獻[27,28,29]的結果比較，由圖八及圖九可以發現本文的 結果與文獻的結果相當吻合。

圖十Case 1為考慮(2.6.19)式之慣性力所有的項，Case 2為不考慮(2.6.19) 式之加底線的項，即不考慮速度耦合項，因本例題之軸向角速度與側向角 速度的乘積相當大，所以圖十Case 1 及 Case 2的結果在最大位移處約有 10

％的誤差。

表一為 Newmark積分法以不同類型之剛度矩陣、慣性矩陣，元素數目

去及時間增量分析時，所需的迭代次數。由表一可發現分析時用第三類型 的慣性矩陣，即只考慮近似的質量矩陣，比其他類型的慣性矩陣分析時所 需的迭代次數約多了10%。因第三類型的慣性矩陣為傳統的質量矩陣，在 推導上最簡單，計算上所需的空間及時間最少，故本研究提出之三維梁共 旋轉推導法也可只考慮質量矩陣。第四類型的慣性矩陣在計算上所需的時 間及空間比第三類型的慣性矩陣增加不多，但需要的迭代次數可以減少

%

10 ，所以本章中除另有說明外都是用第四類型的慣性矩陣。

圖十一為 CDM與Newmark積分法的位移-時間曲線。兩種方法都是使 用八個元素的結果，由圖十一可發現 CDM與Newmark積分法數值結果非 常接近，但 CDM使用的時間增量t 10^3，共310⁴個增量，Newmark積 分法使用的迭代次數約 1000次(見表一)，所以本例題CDM使用的計算次

數約為 Newmark積分法的30倍。探討質量矩陣對 CDM的最大容許時間增

量及準確性分析之影響，本例題考慮了以下兩種情況，第一種情況B1：

 

m T T

m ^t 以及第二種情況B2：mm_，表二為 CDM在不同元素數目 的最大容許時間增量。由表二發現在 CDM中，若取四個元素，使用質量矩 陣mT_^t m_T_的最大容許時間較mm_的大，但取八個元素的兩種情況 的最大容許時間增量都是t 10^3。兩種情況所得到的結果都一樣。由圖十 二可知本例題四個元素與八個元素的位移時間曲線有些微的差異，故在本

例題使用 Newmark積分法不管是效率及準確性都比CDM好。

例題二：旋轉薄圓盤的運動

本題考慮如圖十三所示之旋轉薄圓盤的運動，此圓盤藉著一無質量的

剛性桿與一球接頭連接並受重力的作用，由於此系統之運動為剛體運動，

可以應用三維剛體動力學求出此系統之初始速度及加速度見圖十四。為了 模擬此無質量剛性桿的作用，假設此剛性桿之半徑r 0.01，A10^10，

1012



EA ，GJ EI_y EI_z 2.510⁷。本例題中僅使用一個元素來進行分

析，同時將此圓盤視為元素端點上的 lump mass，本例題時間增量 取為t 10^3



t 。

在受拘束的系統中若使用 Newmark trapezoidal rule( 0)，則其加速度 會有不穩定的現象[25]，本文使用了[25]中所建議的 Newmark- damping scheme )( 0.05 及HHT scheme ( 0.05)來改善其收斂性。圖十五為 本研究 0及 0.05時，圓盤中心X 方向之加速度的歷時分析的比較，

由圖中可以發現當 0，X方向加速度會有劇烈抖動的情形，若使用HHT scheme( 0.05)或 Newmark- damping scheme( 0.05)，則抖動情形 會獲得明顯改善。本例題使用 Newmark- damping scheme( 0.05)之結 果與 HHT( 0.05)的結果相同，但在總迭代次數HHT( 0.05)卻是 Newmark- damping scheme( 0.05)的兩倍，圖十六、圖十七及圖十八

皆為使用 Newmark- damping scheme的結果。圖十六為系統角速度的變

化過程，圖十七為圓盤中心在 XY平面上的運動軌跡。圖十八為本研究圓 盤中心 X方向之加速度的歷時分析與文獻結果的比較。由圖十六-十八可知 本文結果與文獻[25]的結果相當吻合。

例題三：一雙對稱I型斷面梁承受均佈側向載重

本題考慮如圖十九所示之一雙對稱 I型斷面梁承受均佈側向載重，此梁 之幾何及材料性質：L 10 m，b0.3m，t_f 0.03m，d 0.56m，

m

t_w 0.012 ，x_C 6.9048m，楊氏係數E 210 GPa，剪力係數 GPa

G 80.77 ，線密度m188.40kg/m。表三為其斷面性質。本例題考慮 A、B兩端的邊界情況如下：(a) u_A u_B 0,w_A w_B 0,w_A w_B 0, (b) 0u_A u_B  , 0w_A w_B  , 0w_A  , (c) u_A u_B 0, 0w_A w_B  , (d) 0u_A  , 0w_A w_B  , (e) u_A 0, 0w_A w_B  , 0w_A  , (f) u_A 0,

0

 _B

A w

w , w_A w_B 0, (g) u_A 0, w_A 0, w_A 0。情況(a)-(f)負載 m

kN

P₀ 3000 / ，情況(g)負載P₀ 300kN/m。本例題中皆使用二十個元素 來進行分析，本例題時間增量 取為t 10^4(sec)。圖二十-圖二十六為C點在 X₁G與X₃^G方向的位移。由圖二十-圖二十六可知本文結果邊界(a)-(c)、(f)及 (g)與文獻[30]的結果相當吻合，情況(d)、(e)與文獻[30]的結果有些差異。這 可能是因為文獻[30]沒有考慮梁的慣性矩造成的。

例題四：一雙對稱I型斷面懸臂梁承受偏心的均佈側向載重

本例題延續例題三的討論，如圖二十七所示之懸臂梁A 端為固定端，B

端為自由端，本例題與例題三之梁有相同的材料性質及斷面，但其長度改 為L 8 m，該梁承受如圖二十七所示的均佈側向負載，其中P₀ 60kN/m， 該負載為偏心載重，其作用位置有兩種，如圖二十八及二十九所示，(a)頂 部且偏心距離e0.03m，(b)底部且偏心距離e0.03m。本題中使用二十一 個元素來進行分析，時間增量t 10^4(sec)。剛度為第一類型，內力為第

一類型，慣性矩陣為第三類型。

圖三十至三十二，為Case (a) B點之位移的歷時分析，由圖三十至三十 二可見 B點X₁^G與X₃^G軸方向位移-時間曲線與文獻[31]的結果幾乎相同，但 在X₂^G方向的位移-時間曲線則有很大的差別，本例題另外探討靜態分析，

圖三十三為 Case (a)靜態分析的負荷-位移曲線，由圖三十三可見，

m kN

P₀ 60 / 時，B點X₂^G及X₃^G方向之位移V_B 2.434710^2(m)、 )

( 1059 . 0

W_B  m ，由圖三十一及三十二可見本研究之V_B(t)及W_B(t)的最大 值都遠大於靜態分析的位移，這應是合理的，但文獻[31]之動態分析V_B(t)的 最大值接近本研究靜態分析的位移，所以文獻[31]之V_B(t)的曲線可能是不 正確的。圖三十四至三十六為 Case (b) B點之位移的歷時分析，由圖三十四 至三十六可見本文的結果與文獻[31]的結果在t 0.08(sec)後有很大的差 異，圖三十七為 Case (b)靜態分析的負荷-位移曲線，由圖三十七可見當

m kN

P₀ 60 / 時，應早已挫屈。

本題另討論靜態分析時負載分別施於頂部及底部時，偏心距離e 0 m 的情況，圖三十八為負載施於頂部且偏心距離e 0 m時的負荷-位移曲線 圖，其挫屈點約為P₀ 140kN/m，圖三十九負載施於底部且偏心距離

m

e 0 時的負荷-位移曲線圖，其挫屈點約為P₀ 72kN/m。

例題五：一雙對稱 I型斷面簡支梁承受二偏心力的軸向力

本題考慮如圖四十所示之簡支梁受到偏心力，此梁之幾何及材料性 質：L264.6in，b7.995in，t_f 0.53in，d 13.66in，t_w 0.305in，楊 氏係數E 29000 ksi，剪力係數G 11200 ksi，密度

3

10 3

789 .

8  ^ slug in

  ，表四為其斷面性質。本例題中使用二十個元素來

進行分析，軸向力分別探討P₀ 50kip，P₀ 100kip，P₀ 150kip三種情況，

在P₀ 50kip、P₀ 100kip時的時間增量t 210^4 (sec)，P₀ 150kip時 的時間增量為t 210^5 (sec)，其結果如圖四十一至四十三所示，由圖四 十一至四十三可見P₀ 150kip的位移-時間曲線與P₀ 50kip和P₀ 100kip 的位移-時間曲線明顯的不同，圖四十四為靜態分析的負荷-位移曲線，由圖 四十四可知P₀ 150kip時早已超過挫屈點，這應可說明為何圖四十三與圖 四十一、圖四十二明顯的不同。

例題六：一雙對稱 I型斷面簡支梁承受兩端彎矩

本題考慮如圖四十五所示之簡支梁兩端分別受到X₂^G及 X₂^G的彎矩 M，其中B 點還受到X₃^G的彎矩0.01M，此梁之幾何及材料性質：L6.1m，

m

b0.262636 ，t_f 0.028448m，d 0.28194m，t_w 0.017272m，楊氏係 數E199.94804GPa，剪力係數G 82.73712GPa，密度 7800kg m³ ， 表五為其斷面性質。本例題中使用二十個元素來進行分析，彎矩分別探討

m MN

M₀ 1  ，M₀ 2MN m兩種情況，時間增量為t 10^4 (sec)，其 結果如圖四十六及四十七所示，由圖四十六及四十七所見M₀  2MN m的 位移-時間曲線與M₀  1MN m的位移-時間曲線明顯的不同，圖四十八為 靜態分析的負荷-位移曲線，由圖四十八所示M₀  2MN m應早已超過挫 屈點，這應可說明為何圖四十七與圖四十六明顯的不同。

例題七 矩形斷面固端梁受側向負載

例題七 矩形斷面固端梁受側向負載

在文檔中 雙對稱斷面薄壁梁之幾何非線性動態分析 (頁 57-70)