維持界限內的時脈差異條件下之由上而下 ADB 分佈…

第四章限制最大延遲時間條件下的 ADB 設定

4.2 維持界限內的時脈差異條件下之由上而下 ADB 分佈…

ADB 移除。給定 Bi為根的子樹，其中連接了 s 個 ADB，{ ADB1 ,.., ADBs }，其指定 的延遲數值分別為 v₁, v₂ ,.., v_s，且有部分的 ADB 指定的延遲數值為最小的延遲數值，

v

min。透過 ADB 的移除運算，可進一步移除指定延遲數值為 vmin的 ADB。經過 ADB 的移除運算後，緩衝器，B_i，被替換成 ADB_i，並指定延遲數值，v_min，於 ADB_i上，

已移除的 ADB 替換成一般緩衝器，而其餘未移除的 ADB，{ ADB1 ,.., ADBs }，指定 的延遲數值為 v_min。

ADB₁ ADB_s

+v_s +v1

+vmin +vmin

ADBi

ADB₁ ADB_s

+v₁-v_min

+vmin

+v_s-v_min

圖 4-13 ADB 的移除運算

在前一節的 ADB 設定中，以由下而上的流程設定 ADB，在各分支點上插入 ADB 並指定適當的延遲數值，使時脈差異達到最小化。然而這一系列的 ADB 設定只在各子樹中作區域地局部處理，而在 ADB 的數量上沒有達到最小化的結果，且指定的延遲數值也沒有最小化，因此有部分的 ADB 為多餘的 ADB(redundant ADB)。本演算法的目標是將這些多餘的 ADB 從時脈樹中移除(eliminate)，且不違反差異的限制條件。

換言之即在維持界限內的時脈差異的大小之條件下，將多餘的 ADB 移除。由於時脈差異越小，需要使用更多的 ADB，或指定 ADB 更大的延遲數值，而這將使 ADB 所 占用的佈局面積變得更大，並浪費額外的硬體資源。假設設定的差異界限為 B，藉由 設定的差異界限之大小，將最小化的時脈差異釋放界限，使時脈差異只要小於或等於

B 即滿足差異的限制條件。給定經過 ADB 設定後的緩衝器時脈樹，T

_ADB，在 T_ADB中

位於根節點的緩衝器之延遲時間區間為[lropt

, u

ropt]，而時脈樹最小化的時脈差異為 uropt

－l_ropt，設定的差異界限，B，必須大於或等於時脈差異，u_ropt－l_ropt，才可滿足差異的

限制條件。根據差異界限，B，的大小，可在根節點上計算出相對的延遲時間區間 (Related latency range)，[u_ropt－B , u_ropt]。給定任意的 ADB，ADB_i，其指定的延遲數值 為 vi，延遲時間區間為[li , ui]。根據相對延遲時間區間之大小，計算出 ADBi的彈性範 圍(slack range)為[sl_i , su_i]＝[(u_ropt－B)－l_i

, u

_ropt－u_i]，代表 ADB_i指定的延遲數值，v_i，可增加或減少的彈性範圍。

在接下來的步驟中，透過由上而下的流程計算時脈樹中所有位於最頂層的 ADB 之彈性範圍，在已知彈性範圍的條件下，計算所有位於最頂層的 ADB 的延遲範圍 (delay range)為[dl_i , du_i]＝[sl_i

+v

, su

+v

_i]。延遲範圍代表 ADB_i指定的延遲數值，v_i， 可能的範圍。若 ADBi的延遲範圍，[dli , dui ]，為非空集合(non-empty)時，則可藉由 ADB 的分佈運算，將各個位於最頂層的 ADB 的延遲範圍分佈至其分支中，並透過重複地分佈這些分支 ADB 的延遲範圍至對應的分支中，直到分佈至時脈樹中位於最底 層的緩衝器上為止。如圖 4-14 所示，ADB_i的延遲範圍為[dl_i , du_i]，透過 ADB 的分佈 運算，將延遲範圍分佈至 ADBi的分支中。而 ADBi將被替換成一般緩衝器，Bi，且 s 個初始的 ADB，{ ADB₁

,.., ADB

_s }，的延遲範圍分別為[dl_i

+v

₁

, du

+v

₁] ,.., [dl_i

+v

, du

+v

s]，而引申 ADB，ADB0

, ADB

s+1 ,.., ADBs+t，其延遲範圍為[dli , dui]。

ADBi

FF1 FFr

ADB1

ADBs

+vs

+v1

[dli, dui]

ADB1 ADBs

FF1 FFr

ADBs+1 ADBs+t

ADB0

[dli, dui]

[dli, dui] [dlⁱ, dui] [dli+v1, dui+v1]

[dli+vs, dui+vs] ADB

的分佈運算

圖 4-14 分佈 ADB 的延遲範圍至分支中

給定經過 ADB 設定後的緩衝器時脈樹，TADB，其中有 m 個一般緩衝器及 n 個正

反器，根據 TADB的資訊定義 ADB 連結圖(ADB-connection graph)，GADB(VADB , EADB)，

其建構方法如下所述：在 V_ADB中各端點(vertex)，v_i，代表在時脈樹中的 ADB，而在

E

ADB中的各個邊(edge)，ei，代表時脈樹中介於兩個連接的 ADB 之間的連接關係。針對時脈樹中所有位於最頂層的 ADB，在已知彈性範圍的條件下，若其延遲範圍為非空集合時，則以由上而下的流程持續分佈 ADB 的延遲範圍至其分支中，直到分佈至 時脈樹中位於最底層的緩衝器上為止。藉由下列的 ADB 分佈(ADB_Distribution)演算 法來分佈 ADB 的延遲範圍：

以下舉例說明 ADB 分佈演算法的步驟，假設給定的差異界限為 7，緩衝器，B₁，在兩種功率模式下之相對延遲時間區間分別為[7 , 14]及[8 , 15]。根據相對延遲時間區間之大小，可得所有位於最頂層的 ADB 之彈性範圍。以模式 1 而言，如圖 4-10 所示 之時脈樹，位於最頂層的 ADB 分別為 ADB1及 ADB3，其延遲範圍分別為[1 , 3]及[-0.5 , 5]。藉由 ADB 的分佈運算，將 ADB₁及 ADB₃的延遲範圍分佈至分支中，並持續分佈 至時脈樹中位於最底層的緩衝器上為止。於 ADB1為根的子樹中，可得所有位於最底 層的分支 ADB 分別為 ADB₂、ADB₆及虛擬的 ADB，ADB₀，其延遲範圍分別為[4.5 , 6.5]、

[1 , 3]及[1 , 3]。於 ADB3為根的子樹中，可得所有位於最底層的分支 ADB 分別為 ADB4

及 ADB₅，其延遲範圍分別為[1 , 6.5]及[-0.5 , 5]。

另一方面，在模式 2 中，如圖 4-11 所示之時脈樹，位於最頂層的 ADB 分別為 ADB 分佈演算法

輸入：緩衝器時脈樹，T_ADB，其中共有 m 個緩衝器和 n 個正反器，及各正反器的 初始延遲時間;

{ 根據 T_ADB建構 ADB 連接圖，G_ADB;

將 T_ADB中所有 ADB 以拓樸排序的方式儲存在 G_ADB中;

for (所有位於時脈樹中最頂層的 ADB)

{ 持續地分佈延遲範圍至分支中，直到時脈樹中最底層的緩衝器上為止; } 輸出所有位於最底層 ADB 的延遲範圍;

}

ADB

1及 ADB2，其延遲範圍分別為[2 , 5]及[2 , 6]。藉由 ADB 的分佈運算，將 ADB1

及 ADB₂的延遲範圍持續地分佈至時脈樹中位於最底層的緩衝器上為止。於 ADB₁為 根的子樹中，可得所有位於最底層的分支 ADB 分別為 ADB5、ADB6及虛擬 ADB，ADB0， 其延遲範圍皆為[2 , 5]。於 ADB₂為根的子樹中，可得所有位於最底層的分支 ADB 分 別為 ADB3及 ADB4，其延遲範圍分別為[4.5 , 8.5]及[2 , 6]。

FF5 FF6 FF4

FF3 FF2

FF1 FF7 FF8 FF9 FF10 FF11 FF12

B4 B5 B6 B7

B8 B9 B10

模式 1 9 12 8.5 10.5 10.5 13.5 10 14 10 11 10.5 11.5 ADB⁵ [4.5 , 6.5]

ADB⁰ ADB²

ADB⁴ ADB⁶

[1 , 3] [1 , 3]

[1 , 6.5] [-0.5 , 5]

圖 4-15 模式 1 下的 ADB 的分佈運算

FF5 FF6

FF4

FF3

FF2

FF1 FF7 FF8 FF9 FF10 FF11 FF12

B4 B5 B6 B7

B8 B9 B10

模式 2 10.5 12.5 11.5 12.5 9.5 13.5 10 15 9.5 12.5 10 12

ADB⁰ ADB⁵

ADB³ ADB⁴

[2 , 5]

[4.5 , 8.5]

ADB⁶

[2 , 5] [2 , 5] [2 , 6]

圖 4-16 模式 2 下的 ADB 的分佈運算

4.3 維持界限內的時脈差異條件下之由上而下 ADB 移除

在上一節的步驟中，可得時脈樹中所有位於最底層的分支 ADB 之延遲範圍。藉由在這些延遲範圍中找到交集的延遲範圍，利用 ADB 的移除運算，進一步將多餘的 ADB 移除。演算法可分成下面兩個步驟：

第一步驟：ADB 的移除運算(ADB elimination) 第二步驟：ADB 的延遲指定(Delay assignment)

首先在第一個步驟中，如圖 4-17 所示，給定 B_i為根的子樹，其中連接了 s 個初 始 ADB，{ ADB1 ,.., ADBs }，其指定的延遲數值分別為{v1, v2 ,.., vs}，延遲範圍分別為 [dl_i

+v

₁

, du

+v

₁] ,.., [dl_i

+v

, du

+v

_s]，及 t+1 個引申 ADB，{ADB₀, ADB_s+1 ,.., ADB_s+t}，

其延遲範圍為[dli , dui]。根據 ADBi的彈性差值(Slack Difference)，dui

-dl

i，之大小，判 斷是否可找到各分支 ADB 的延遲範圍之間的交集。若在 s 個初始 ADB 中，其指定的 延遲數值小於 ADBi的彈性差值，換言之 vj

 du

-dl

i(1^≦j^≦s)，則可在各分支 ADB 的延遲 範圍中找到共同交集的延遲範圍；但若 v_j＞du_i

-dl

_i，則無法找到交集。假設 ADB 可調 的延遲數值範圍為{D1, D2

,.., D

p}，透過下面的設定方式，可計算出共同交集的延遲範圍為：

[ dli

+v

c , dui] ( dli

+v

 D

p , vc＝Max{ vj | vj

 du

-dl

, 1  j  s } )。

ADBi

FF₁ FF_r ADB1

ADBs

B_j

+v1 +vs

ADB 的精簡運算 Bi

ADB1 ADBs

FF₁ FF_r

ADBs+1 ADBs+t

ADB0

[dli, dui]

[dli, dui] [dlⁱ, dui] [dli+v1, dui+v1]

[dli+vs, dui+vs]

[dli+vc, dui]

圖 4-17 找到共同交集的延遲範圍，並移除多餘的 ADB

給定任意的分支 ADB，ADB_j ₍₁≦j^≦s)，其指定的延遲數值為 v_j，若 v_j

 du

-dl

_i，則 可將 ADBj移除；若 vj＞dui

-dl

i，則保留 ADBj，並指定延遲數值，vj。如圖 4-17 右所

示，經過 ADB 的移除運算後，所有引申 ADB 將被移除，且緩衝器，Bi，被替換成

ADB

_i，其延遲範圍為[dl_i

+v

_c, du_i]。

透過重複地執行 ADB 移除運算，以由下而上的流程將時脈樹中所有位於最頂層的 ADB 為根的子樹中多餘的 ADB 移除，並將各分支 ADB 共同交集的延遲範圍向上吸收到根節點中，最後可得所有位於最頂層的 ADB 之更新後的延遲範圍。

接下來，在第二個步驟中，如圖 4-18 所示，根據各分支 ADB 所共同交集的延遲 範圍，從 ADB 可調的延遲數值範圍中找到最小的不連續延遲數值，Dmin，並指定於

ADB

_i上。透過下面的定義來找到最小的延遲數值，D_min：

D

_min ＝ Min { D_k | dl_i

+ v

 D

 du

_i, 1

 k  p }。

ADB 的延遲指定 ADBi

FF1 FFr

ADB1

B_t ADBs

B₁ Bj

+v1 +vs

[dli+vc, dui]

ADBi

FF1 FFr

ADB₁

ADB_s B1

B_j

+v1 +vs

+Dmin

圖 4-18 指定位於最頂層 ADB 的延遲數值

最後若仍有剩餘的彈性差值，則可對時脈樹中指定延遲數值為最大值的 ADB 作延遲數值最小化的運算，進一步將 ADB 指定的延遲數值作最小化。透過這樣的方式，

使 ADB 可調的延遲數值範圍中的延遲數值之上限降低，使 ADB 消耗的電容減少，

進一步降低 ADB 占用的佈局面積。針對指定延遲數值為最大值的 ADB，根據其延遲 範圍，從 ADB 可調的延遲數值範圍中找到最小的延遲數值，Dmin，透過下面的定義 決定 D_min的大小：

D

_min ＝ Min { D_k | dl_i

 D

 du

_i, 1

 k  p }。

給定緩衝器時脈樹，T_ADB，針對所有位於時脈樹中最頂層 ADB 為根的子樹，以由下而上的流程找到子樹中各分支 ADB 的延遲範圍之交集，並將共同交集的延遲範

圍向上吸收到根節點中，進一步移除分支 ADB，重複地執行步驟直到時脈樹中位於最頂層的 ADB 為止。最後在各子樹中將多餘的 ADB 移除，而各個位於最頂層的 ADB 也重新指定適當的延遲數值。透過下列的 ADB 移除演算法完成此步驟：

以下舉例說明 ADB 移除演算法的步驟，以模式 1 而言，如圖 4-19 所示，首先對 右邊三角形的 ADB 子樹作運算，ADB₄及引申 ADB，ADB₅，的延遲範圍分別為[1 , 6.5]

及[-0.5 , 5]。由於兩者的延遲範圍之間有共同交集，透過 ADB 的移除運算可將 ADB4

及 ADB₅移除，並得到交集的延遲範圍為[1 , 5]。落於這個延遲範圍中，從 ADB 可調 的延遲數值範圍內找到最小的延遲數值，1.5，並重新指定 ADB3的延遲數值為 1.5。

接下來再對左邊三角形的子樹作運算，ADB₂及引申 ADB，ADB₆的延遲範圍分別為 [4.5 , 6.5]及[1 , 3]。由於兩者的延遲範圍之間無任何交集，因此保留 ADB2，並指定原

ADB 移除演算法

輸入：緩衝器時脈樹，TADB，其中共有 m 個緩衝器和 n 個正反器，和各正反器的 初始延遲時間，及所有位於最底層的 ADB 的延遲範圍;

{ 根據 TADB建構 ADB 連接圖，GADB;

將 TADB中所有 ADB 以拓樸排序的方式儲存在 GADB中;

for (所有位於最頂層的 ADB 為根的子樹)

{ while(以由下而上的流程對所有分支 ADB 作運算) { if (處理的 ADB 為時脈樹中位於最頂層的 ADB)

{ 從 ADB 可調的延遲範圍中指定適當的延遲數值; } else

{

if (分支 ADB 所指定的延遲數值



位於最頂層 ADB 的彈性差值) 移除分支 ADB;

else

保留分支 ADB 並指定原本的延遲數值;

} }

while(所有指定延遲數值為最大值的 ADB)

{ 將 ADB 所指定延遲數值作最小化; } } 輸出緩衝器時脈樹，TADB，並維持界限內的時脈差異;

}

本的延遲數值，3.5，而 ADB1的延遲範圍為[1 , 3]，落於這個延遲範圍中，從 ADB 可 調的延遲數值範圍內找到最小的延遲數值，1.5，並重新指定 ADB₁的延遲數值為 1.5。

最後再進一步對指定延遲數值為最大值的 ADB2 作延遲數值最小化的運算。ADB2 的延遲範圍為[2.5 , 6.5]，落於這個延遲範圍中，從 ADB 可調的延遲數值範圍內找到最 小的延遲數值，2.5，並重新指定 ADB2的延遲數值為 2.5。如圖 4-20 所示，經過 ADB 移除運算後，其時脈差異被調整為 6.5，符合差異的限制條件。

FF5 FF6 FF4

FF3 FF2

FF1 FF7 FF8 FF9 FF10 FF11 FF12

B4 B5 B6 B7

B8 B9 B10

模式 1 9 12 8.5 10.5 10.5 13.5 10 14 10 11 10.5 11.5 ADB5

[4.5 , 6.5]

ADB0

ADB2

ADB4

ADB6

[1 , 3] [1 , 3]

[1 , 6.5] [-0.5 , 5]

(2) (1)

ADB 可調的延遲數值範圍：

延遲 = +1.5 延遲 = +2.5 延遲 = +3.5 延遲= 0

ADB5

ADB4

[-0.5 , 5]

[1 , 6.5]

ADB3

B9 B10

[1 , 5]

ADB3

B9 B10

+1.5

(1)

ADB6

[1 , 3]

[4.5 , 6.5]

ADB1

+1.5 B5

ADB2

+2.5

(2)

ADB1

[1 , 3]

ADB2

+3.5

ADB1

ADB2

+1.5

[2.5 , 6.5]

圖 4-19 模式 1 下 ADB 的移除運算

FF5 FF6 FF4

FF3 FF2

FF1 FF7 FF8 FF9 FF10 FF11 FF12

B₁

B2 B3

B₄ B5 B6 B₇

B8 B₉ B₁₀

模式 1 7 10 7.5 9.5 9.5 13.5 10 14 7.5 8.5 9.5 10.5 ADB1=+1.5

ADB2=+2.5 ADB3=+1.5

[7.5 , 14] ADB 可調的延遲數值範圍：

延遲 = +1.5 延遲 = +2.5 延遲 = +3.5 延遲= 0

圖 4-20 經過 ADB 移除運算後於模式 1 下的時脈樹

另一方面，在模式 2 中，如圖 4-21 所示，首先對右邊三角形的 ADB 子樹作運算，

ADB

₃及引申 ADB，ADB₄，的延遲範圍分別為[4.5 , 8.5]及[2 , 6]。雖然兩者的延遲範圍之間有共同交集的延遲範圍，但從 ADB 可調的延遲數值範圍中無法找到落於此延 遲範圍內之延遲數值，因此保留 ADB₃，並指定原本的延遲數值，2.5。而 ADB₂的延 遲範圍為[2 , 6]，更新 ADB2的指定延遲數值為 2.5。而左邊三角形子樹的延遲範圍為 [2 , 5]，更新 ADB₁的指定延遲數值為 2.5。如圖 4-22 所示，經過 ADB 移除運算後，

時脈差異被調整成 6.5，符合差異的限制條件。

FF5 FF6 FF4

FF3 FF2

FF1 FF7 FF8 FF9 FF10 FF11 FF12

B4 B5 B6 B7

B8 B9 B10

模式 2 10.5 12.5 11.5 12.5 9.5 13.5 10 15 9.5 12.5 10 12 B0

ADB0

ADB5

ADB3

ADB4

[2 , 5]

[4.5 , 8.5]

ADB6

[2 , 5] [2 , 5] [2 , 6]

ADB 可調的延遲數值範圍：

延遲 = +1.5 延遲 = +2.5 延遲 = +3.5 延遲= 0

ADB3

ADB2

+2.5

[2 , 6]

ADB3

+2.5 ADB3

ADB4

[4.5 , 8.5]

[2 , 6]

ADB2

+2.5

(1)

ADB6

[2 , 5]

ADB5

(2)

ADB1

[2 , 5]

ADB1

+2.5

圖 4-21 模式 2 下 ADB 的移除運算

FF5 FF6 FF4

FF3 FF2

FF1 FF7 FF8 FF9 FF10 FF11 FF12

B4 B5 B6 B7

B8 B9 B10

模式 2 9.5 11.5 10.5 11.5 8.5 12.5 10 15 8.5 11.5 9 11 ADB¹=+2.5

ADB³=+2.5

ADB⁴=+2.5

[8.5 , 15] ADB 可調的延遲數值範圍：

延遲 = +1.5 延遲 = +2.5 延遲 = +3.5 延遲= 0

圖 4-22 經過 ADB 移除運算後於模式 2 下的時脈樹

在文檔中中華大學 (頁 49-59)

第四章 限制最大延遲時間條件下的 ADB 設定

4.2 維持界限內的時脈差異條件下之由上而下 ADB 分佈…

v

B 即滿足差異的限制條件。給定經過 ADB 設定後的緩衝器時脈樹，T

, u

, u

+v

, su

+v

,.., ADB

+v

, du

+v

+v

, du

+v

, ADB

E

ADB

4.3 維持界限內的時脈差異條件下之由上而下 ADB 移除

+v

, du

+v

+v

, du

+v

-dl

 du

-dl

-dl

,.., D

+v

+v

 D

 du

-dl

, 1  j  s } )。

 du

-dl

-dl

ADB

+v

ADB

D

+ v

 D

 du

 k  p }。

D

 D

 du

 k  p }。



(2) (1)

(2)

ADB

(2)

第四章限制最大延遲時間條件下的 ADB 設定