第三章 研究方法與設計
第一節 研究流程
圖 3-1 是本研究的研究流程圖。一開始先認識色度學理論，了解頻譜與其他 色彩空間的轉換關係。從收集來的相關文獻中，研讀 PCA 與內插法兩大主要重 建方式的計算與其優缺點。接著選擇內插方法中的自然鄰點內插方式建構數學運 算內插模型，將選定的訓練樣本代入計算，重建出待測的測試樣本並初步評估實 驗結果。接著，進行本實驗第二階段的頻帶分段線性修正的演算法運算，新調整 後的估計頻譜同樣再次評估其成效。
圖 3-1 研究流程圖
本研究一共有三組實驗待測試。三組實驗主要都是藉由真實量測的物體頻譜 反射率資料與預先設定好的八條代表 sRGB 邊界頻譜資料其對應的 RGB 值，當 作輸入資料也就是所謂的訓練樣本，先進行第一階段的自然鄰點內插法，建構出 能表示 RGB 與物體頻譜反射率對應關係的模型，接著，將待測的所有 RGB 測 試樣本值透過內插的方式估計出對應的物體頻譜反射率。
在第二階段的方法中，根據這些估計得來的頻譜其對應的 RGB 值與原待測 的 RGB 值差距，將頻譜分成四個頻帶，進行各頻帶間的線性修正來調整頻譜形 狀，得到最終的重建頻譜。最後，再以標準光源 D65進行色彩顯像模擬，評估效 果如何。圖 3-2 到圖 3-4 分別是三組實驗的演算流程圖。
圖 3-2 是第一組實驗的實驗流程圖。以 Macbeth 色票加上代表 sRGB 色域邊 界 8 條共 32 條頻譜資料當作輸入的訓練樣本，而 Munsell 色票總共 1269 色的頻 譜為待測的測試樣本。先進行第一階段的自然鄰點內插法，再用第二階段的線性 修正方法來調整，並評估重建後的頻譜與色差結果。
圖 3-2 第一組實驗的演算法流程圖
第二組實驗的實驗流程圖如圖 3-3。同樣以 Macbeth 色票加上代表 sRGB 色 域邊界八條共 32 條頻譜資料當作輸入的訓練樣本，而所有的測試樣本為 sRGB 色域範圍內共 16777216 條頻譜(256*256*256)。先進行第一階段的自然鄰點內插 法，再用第二階段的線性修正方法來調整，並評估重建後的色差結果。
圖 3-3 第二組實驗的演算法流程圖
圖 3-4 則是第三組實驗的實驗流程圖。這組實驗換成用 Munsell 色票加上同 樣代表 sRGB 色域邊界八條共 1277 條頻譜資料當作輸入的訓練樣本，所有的測 試樣本依舊是 sRGB 色域範圍內共 16777216 條頻譜。一樣進行第一階段的自然 鄰點內插法，再用第二階段的線性修正方法來調整，最後評估重建後的色差結 果。
圖 3-4 第三組實驗的演算法流程圖
為了考量到實驗的一致性，且配合大部分其他研究者的實驗規範，故將所有 訓練樣本與測試樣本正規化為 400nm 至 700nm 波長範圍，每間隔 5nm 取樣一次 的 數 據 。 換 句 話 說 ， 本 研 究 中 的 任 何 一 條 頻 譜 都 是 以 61 個 座 標 點 (61=(700-400)/5+1)形成的。
最後的評估階段，在第一組實驗中，由於訓練樣本與測試樣本都是實際量測 的色票頻譜資料，因此可以運用均方根誤差(Root Mean Square Error，RMSE)與 配適係數(Goodness-of-Fit Coeifficient，GFC)的方式來評估對應頻譜的差異，同 時在 D65光源下進行色彩顯像的模擬，運用色差公式∆𝐸2000來進行色差評估。
因為第二和第三組實驗的測試樣本是 sRGB 整個色域的數值，由於現實情況 是我們不可能得到該色域所有已量測到的頻譜數值，因此只能將重建值與原始值 轉換到 L* a* b*同樣在 D65光源下以色差公式∆𝐸2000來進行色差評估。
第二節 研究設備與工具
本研究的演算法開發軟體 The MathWorks 公司的軟體 Matlab ® R2012a 版本 (張智星，民 89)和運用該軟體的 MPT toolbox (The Multi-Parametric Toolbox for Matlab, 2010)。
收集來的色票資料分別是 Macbeth 色票與 Munsell 色票中的 Matte Finish Collection(半光澤)的物體頻譜反射率。這兩款實驗樣本皆為在物體頻譜反射率重 建研究中最普遍、也易於取得的實驗數據，於是本研究用來測試本研究開發之方 法是否能廣泛地被使用於整個 sRGB 色域空間，此兩款樣本的類型、數量、應用 範圍整理於表 3-1 中，另外 8 條邊界頻譜與色票樣本在色度圖中分布位置標於圖 3-5。
表 3-1 實驗樣本一覽表
圖 3-5 兩色票樣本與 sRGB 色域邊界 8 條頻譜在色度圖中的位置
第三節 自然鄰點內插物體頻譜反射率重建法
在本節中將先描述此方法的特性，推導其數學演算規則，最後闡述本研究如 何運用自然鄰點內插完成物體頻譜反射率的重建，及在重建過程中遭遇的問題與 可行的改善方式。
自然鄰點內插法(Amidror, 2002)是由 Robin Sibson 所發明，是運用資料點間 的幾何關係來選擇並加以計算各鄰點比例的加權分析方法，先以整體方程式公式 (3-1)來說明：
G(x,y) = ∑𝑛𝑖=1𝑤𝑖𝒇(𝒙𝒊,𝒚𝒊) (3-1)
其中 G(x,y)是指(x,y)該座標點的估計值，n 是指(x,y)點的鄰點個數，𝒇(𝒙𝒊,𝒚𝒊) 是這些鄰點個別的值，𝑤𝑖則是這些點對應的權重關係。將輸入的 n 個資料點的集 合建構為圖 3-6，第二步是代入測試資料點(x,y)求出內插結果，形成的 Voronoi 圖形中的多邊形(在三維稱多面體)，利用這些鄰點的相對位置面積所構成的權重 比例，即黑色區域就是 Voronoi 圖所占了數字 3 該多邊形的面積多寡，加權結果 可推算出符合比例之內插值。此屬於局部內插的方法，其內插的值只會被定義為 內插值的鄰點所決定。
圖 3-6 Delaunay 三角網與 Voronoi 圖形
資料來源：周小平、周瑞忠(民 94) 。用 Voronoi 圖進行新型自然鄰點插值的幾 何學方法與特性。2005 計算力學學報，22(3)，頁 355-359。
圖 3-7 權重比例圖
資料來源：周小平、周瑞忠(民 94) 。用 Voronoi 圖進行新型自然鄰點插值的幾 何學方法與特性。2005 計算力學學報，22(3)，頁 355-359。
本內插法可以應用於二維、三維的計算，當二維時使用的是鄰點與多邊形面 積的關係，在三維空間時則是多面體與體積的比例。圖 3-8 便是二維自然鄰點內 插法 Voronoi 圖形，從圖 3-8 為例開始說明自然鄰點內插建構的每一步幾何意義 細節。
圖 3-8 二維自然鄰點插值法
資料來源：“ Scattered data interpolation methods for electronic imaging systems: A survey,” by Amidror, I, 2002, Journal of Electronic Imaging, 11(2), 157–176. doi:
10.1117/1.1455013
圖 3-9 Delaunay 三角網圖
在圖 3-8 中，粉紅色點 x1 至點 x9 是空間中的散布式資料點，虛線部分是經 過三角剖分後所形成的 Delaunay 三角網，也就是圖 3-9 中的黃色區塊。
圖 3-10 Voronoi 多邊形圖
接著觀察圖 3-10 裡，從這些黃色區塊 Delaunay 三角網各自的三角形外接圓，
找出它們的外接圓圓心(藍色點)，繼續連接凸包上每一條邊的垂直平分線，就會 得到如圖 3-10 右邊圖的綠色區塊 Voronoi 多邊形。
自然鄰點的數量取決於所建構的外接圓，若圖上的兩點都落在同一個外接圓 上，則表示他們互為彼此的自然鄰點。接著，Delaunay 三角網是被拿來決定權重 來進一步內插，至於權重大小是看各點所形成的綠色區塊 Voronoi 多邊形所佔區 域。在這邊特別列出自然鄰點外接圓的限制條件(Interpolate my data - Interview, n.d.)：
1. 單獨一個資料點不能自行形成外接圓。
2. 沒有額外的資料點靠近外接圓的圓心點。
3. 最小半徑通過三個任意資料點為原則。
4. 每個外接圓會通過三個資料點。
圖 3-11 以新插入點 x 內插計算圖
以圖 3-11 為例實際計算，黃色點 x 是預計插入的點，粗實線範圍即是 x 的 Voronoi 多邊形，這塊 Voronoi 多邊形是被環繞在 x 點周圍鄰點群(Neighbor Points) x4、x5、x7、x8、x9 的 Voronoi 多邊形後產生。
圖 3-12 插入點 x 的 Voronoi 多邊形圖
從圖 3-12 來繼續理解，粗實線範圍(灰色色塊)中的點線(Dot-line)範圍就是 x 點周圍鄰點的 Voronoi 多邊形被 x 的 Voronoi 多邊形畫分掉的範圍，而其範圍面 積將決定鄰點值對 x 值的影響力。x 點這個內插值，將由 x 點周圍每一個鄰點的 值及其權重的乘積加總後決定，而各鄰點的權重則是在 x 的 Voronoi 多邊形中，
從周圍鄰點畫分而來的區域面積佔 x 點的 Voronoi 多邊形全部面積的比值，比值 愈大，表示該鄰點對 x 值的影響愈大。例如，這樣的相對比例關係可以圖 3-13 來理解。由於 x4 點所劃分到的面積範圍相對於其他鄰點是最多的。因此，x4 點 對於影響 x 這個內差點有相對最大的權重比例(綠色面積越大，表示權重越大)。
圖 3-13 鄰點的對應值與權重比例圖
在本研究中，將 RGB 與對應的物體頻譜反射率值作為輸入，是屬於三維空 間的內插(林瑋如，民 102)，同上面敘述之二維模型建構方式，第一步同樣是先 建構出 Voronoi 多面體，每一多面體的公式如公式(3-2):
𝑻𝑖 = {𝒙 ∈ ℝ3|𝑑(𝒙, 𝒙𝐢) ≤ 𝑑(𝒙, 𝒙𝒋)∀j = 1 … 𝑛}， (3- 2)
d(a, b) 是 a 點與 b 點的歐基里德距離，如果 Ti與 Tj有共同的面或是邊的連 結，xi就是 xj的自然鄰點。每一個 xi自然鄰點的數量至少為 N+1，其中 N 為維 度，而且最多為 n-1，而 n 是所有訓練樣本的數量。假設用 Macbeth 色票其 24 組物體頻譜反射率與 RGB 值作為輸入，可建構出如圖 3-10 的 Voronoi 多面體。
圖 3-14 24 組 RGB 建構的三維 Voronoi 圖
每一個新的內插點 x 的值可被定義如下，公式(3-6)
𝒇̂𝒏(𝒙)=∑ 𝒉𝒊 𝒊(𝐱)𝒛𝒊 (3-6) 其中
𝒉𝒊(𝒙) =𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒[𝑻𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒[𝑻(𝒙)]𝒊(𝒙)] , 0≤ 𝒉𝒊(𝒙) ≤ 𝟏, ∑ 𝒉𝒊 𝒊(𝒙) = 𝟏 (3-7)
公式(3-7)中，hi(x)涵蓋了 0 到 1 的範圍，數值為 1 時，表示 x 恰好等同於某 個鄰點 xi的值；數值為 0 時，表示內插值 xi不是 x 的自然鄰點。
簡單來說，即一個顏色的 RGB 色頻數值，經過本模型的內插計算，可得到 一組共 61 個數值所組成的物體頻譜反射率。整理以上說明的概念與演算規則，
可以說在自然鄰點內插法中，x 點的內插結果是被 x 之鄰點所決定的。在本研究 中意味著，待重建的物體頻譜反射率，會受到相鄰的 RGB 數值，也就是類似的 顏色所影響。以本研究的第一組實驗為例，若純粹只以 1269 色的 Munsell 色票 作為測試樣本，來測試由 24 色的 Macbeth 色票訓練建構之模型(圖 3-15)的內插 效果，在三維空間進行頻譜重建後，初步實驗結果顯示：所有 1269 個測試色樣 當中，有 337 個值無法正常被估計出來。從產生的結果中可推測出原因，是由於 這些內插點(部分紅色點)恰好都落在訓練樣本形成的 Delaunay 三角網之凸包範 圍之外，如圖 3-16。
圖 3-9 Macbeth 色票訓練建構之模型
圖 3-16 Delaunay 三角網之凸包範圍外的測試樣本圖
圖中清楚地顯示紅點是 Munsell 色票樣本且有無法估計的三百多筆測試樣本 資料點，皆落在訓練樣本形成的 Delaunay 三角網凸包範圍之外，造成內插方法 無法計算。加入更多元與更多數量的訓練樣本，是被考慮用來作為解決問題的方
圖中清楚地顯示紅點是 Munsell 色票樣本且有無法估計的三百多筆測試樣本 資料點，皆落在訓練樣本形成的 Delaunay 三角網凸包範圍之外，造成內插方法 無法計算。加入更多元與更多數量的訓練樣本，是被考慮用來作為解決問題的方