以自然鄰點內插法與頻帶分段線性修正重建物體頻譜反射率之研究

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(1)國立臺灣師範大學圖文傳播學系碩士論文. 以自然鄰點內插法與頻帶分段線性修正重建物體頻譜反射率之研究 Spectral reflectance recovery using natural neighbor interpolation with band-divided linear correction. 指導教授：周遵儒博士研究生：孫琮傑撰. 中華民國 104 年 6 月.

(2) 中文摘要本研究重點在提出一個新的物體頻譜反射率重建方法，將真實量測的物體頻譜反射率資料與八條虛擬的反射頻譜，使用自然鄰點內插法(Natural Neighbor Interpolation，NNI)並藉由頻譜不同頻帶的線性修正方法來估計待測物體的頻譜反射率。這是一個標準從 RGB 值轉換到頻譜估計頻譜反射率的重建問題，已有許多研究提出各種解決的方法，並且各自有其重建優缺點。基於內插計算與線性修正的處理，新方法不僅提高重建頻譜的準確率，也避免超出色域範圍外會產生的外插情況。本研究方法主要分為兩個步驟。首先，使用真實量測的色票資料以自然鄰點內插法重建出反射頻譜。額外增加八條預先估計的虛擬頻譜，當作是 sRGB 色域的最邊界處，確定所有在色域內的測試樣本都可以被計算出來，不會有外插的問題產生。內插重建後的反射頻譜在 D65 標準照明體打光下，與輸入的 sRGB 色域測試樣本比較，其色差結果是很精確的。接著，三個定義的波長 S、M、L 作為調整內插重建後的頻譜控制點，讓新調整的頻譜色差繼續降低。這個頻帶修正方法分別是由波長 400 nm 到 S 波長、S 波長到 M 波長、M 波長到 L 波長、L 波長到波長 700nm 四個分段的線性轉換所組成。在色彩顯像模擬實驗方面，首先將馬克貝斯頻譜資料加上八條虛擬頻譜為訓練樣本，孟賽爾色票頻譜作為測試樣本這組實驗為例，在標準照明體 D65 下，用色差公式∆E2000 計算其最大色差是 1.6366，平均色差是 0.0915。接著透過頻帶的修正，可得到最大色差 1.4869，平均色差是 0.0726。顏色的差異進一步得到改善。除此之外，同時也針對整個 sRGB 色域進行評估，計算由 RGB 色頻數值重建後的頻譜，其最大色差是 1.6671，平均色差是 0.0315。如果訓練樣本換成孟賽爾色票加上八條虛擬頻譜資料，則最大色差是 1.4915，平均色差是 0.0126。經由實驗數據證實本研究所提出的研究方法，估計的物體頻譜反射率相當準確。關鍵詞：頻譜重建、頻譜反射率、自然鄰點內插法. i.

(3) Abstract In this paper, we proposed an accurate recovery method of object spectral reflectance using the traditional natural neighbor interpolation, shortly named as NNI, with band-divided linear correction. Essentially, such a recovery problem was usually to transform the RGB channel values into a spectrum to simulate the reflectance of an object. There were many previous researches offering various solutions to this problem with more or less advantages and drawbacks. Our work improved the recovery result based on the interpolation approach with further correction of spectral reflectance. This new solution proposed not only gives more accurate results, but also avoids the extrapolation problem causing by the phenomena out of gamut. Our method consists of two stages of recovery procedures. First, the NNI interpolation was used to construct the spectral reflectance from the real samples of color checkers. Eight additional pre-determined spectra were imposed for the corners of the sRGB color space, named virtual extreme spectra, to guarantee all the test samples in the gamut spanned by the known samples; such that, the interpolating scheme worked well without the extrapolation problem. Secondly, the spectra resulting from NNI were further fine-tuned according to the difference between its sRGB color under illuminant of D65 and the original input one of ground true. Three pre-specified wave lengths, denoted S, M, and L, were selected as the control points to correct this NNI spectrum approaching to a new one with less color difference. This correction was composed of 4 piecewise linear transformations related to 4 bands from 400nm to S, from S to M, from M to L, and from L to 700nm respectively. Some experiments were performed to evaluate the performance of the new NNI with the virtual extreme spectra and the additional correction stage. At first, the 1269 checker spectra from Munsell book was used as the test samples under the training samples from Macbeth 24 color checkers. The largest color difference of ∆E2000 was 1.6366 based on the illuminant of D65, and the average difference was 0.0915. And, the color differences were further improved, if the band-divided correction was adopted. Then, the largest ∆E2000 was 1.4869, and the average difference was 0.0726. In addition, the entire gamut of sRGB was also evaluated. The spectra recovered from the specified RGB channel values lead to the largest color difference was 1.6671 and the average one was 0.0315 under the illuminant of D65, based on the training samples of Macbeth color checkers. The largest difference was 1.4915, and the average one was 0.0126, based on the training samples of Munsell book checkers. These experimental results showed that the proposed method was very accurate for the recovery of spectral reflectance. Keyword: Spectral Recovery, Spectral Reflectance, Natural Neighbor Interpolation ii.

(4) 誌謝一直到現在，我才深刻體會到想拿碩士學位跟大學畢業根本是兩回事，當初在接下實驗室學姊林瑋如的研究題目繼續做下去時，花了不算短的時間要先搞懂究竟學姊面臨的研究問題是什麼，首先面臨的就是如何完整重建出 sRGB 色域範圍內所有的物體頻譜反射率，再來就是如何修正現有的內插方法繼續改善，從剛開始學習到進行實驗，甚至到了撰寫論文階段，不斷碰上各種的困難與挫敗，即便如此，還是必須給自己信心也嘗試想想任何的解決辦法。這段當研究生的日子以來，要十分感謝很多人的幫助，我的論文才能夠順利完成。首先，要謝謝我的指導教授－周遵儒老師，當初剛接觸色彩工程這塊領域，我的確學得不輕鬆。我曾經想過也許換個題目作看看，但又想想既然也花了幾個學期學做這研究了，也希望能把研究做好，就埋頭試著繼續做完老師要求的實驗項目。謝謝老師耐心地指導並提點任何我犯錯的地方，讓我有機會能第一次到日本東京同時還參加 MCS 研討會進行英文口頭發表，本論文的摘要英文就是繼續沿用研討會的結果貢獻。寫到這邊，一定還要感謝我的學姊－林瑋如同學，還記得我花了一番功夫請教她論文的研究方法，在本研究中，部分擷取學姊的論文內容盡可能轉化成自己能理解的程度加以論述。也要謝謝我計畫口試與論文口試的口試委員們，提供對本研究任何的寶貴意見，使論文寫得更加完善。特別珍惜跟 DCCLAB 朋友們相處以來的這段時光。謝謝瑋如，在研究所中一個最照顧我同時在研究上幫助最多的好學姊。謝謝仁傑學長、穩容學姊，給了我不少學習生活的重要經驗。還有一起做研究的好夥伴有為、勃翰學弟、我的研究所同學、學弟妹、同樣在北部打拼的大學學長姐和同學們，有你們真好，因為你們豐富了我的碩士生活。最後，我更要對於我的家人表達最深的感謝，謝謝你們一直以來的支持和鼓勵，讓我得以繼續堅持完成我的論文。. 孫琮傑(Tsung-Chieh) 謹誌於國立臺灣師範大學圖文傳播系碩士班 2015.06. iii.

(5) 目次中文摘要......................................................................................................................... i Abstract ..........................................................................................................................ii 目次............................................................................................................................... iv 表次................................................................................................................................ v 圖次............................................................................................................................... vi 第一章緒論............................................................................................................ 8 第一節研究背景與動機...................................................................................... 8 第二節研究目的................................................................................................ 10 第三節研究問題................................................................................................ 11 第四節研究範圍與限制.................................................................................... 12 第五節名詞釋義................................................................................................ 13 第二章文獻探討.................................................................................................. 15 第一節色彩相關原理與公式............................................................................ 15 第二節物體頻譜反射率的量測與估計............................................................ 20 第三節文獻探討小結........................................................................................ 31 第三章研究方法與設計...................................................................................... 31 第一節研究流程................................................................................................ 32 第二節研究設備和工具.................................................................................... 35 第三節自然鄰點內插物體頻譜反射率重建法................................................ 36 第四節頻帶分段線性修正法............................................................................ 46 第五節實驗評估................................................................................................ 52 第四章研究結果與討論...................................................................................... 62 第一節三組實驗的物體頻譜反射率重建結果................................................ 62 第二節與 ISRF 內插方法的比較 ..................................................................... 63 第五章結論與建議.............................................................................................. 79 第一節結論........................................................................................................ 79 第二節未來工作與建議.................................................................................... 80 參考文獻...................................................................................................................... 81. iv.

(6) 表次表 2-1 色彩空間三參數對應與用途表 ...................................................... 17 表 3-1 實驗樣本一覽表 .............................................................................. 36 表 3-2 GFC 配適係數表 ............................................................................. 54 表 4-1 第一組實驗色差結果 ...................................................................... 62 表 4-2 第一組實驗 RMSE 和 GFC 結果 ................................................... 62 表 4-3 第二組實驗色差結果 ...................................................................... 63 表 4-4 第三組實驗色差結果 ...................................................................... 63 表 4-5 ISRF 方法與本研究方法的 RMSE 及 GFC 數值比較表 .............. 68. v.

(7) 圖次圖 2-1 判斷顏色圖 ...................................................................................... 15 圖 2-2 L* a* b*色彩空間算色差圖 .............................................................. 19 圖 2-3 各光源的光譜能量分布圖 .............................................................. 20 圖 2-4 Munsell 色票物體頻譜反射率圖形 ................................................ 21 圖 2-5 Macbeth 色票與其物體頻譜反射率圖形 ....................................... 22 圖 2-6 PCA 方法產生的基底函數 ............................................................. 23 圖 2-7 以 hue 色相分類共 11 組頻譜類型................................................. 24 圖 2-8 PCA 與 NNPCA 的基底函數頻譜圖 .............................................. 25 圖 2-9 基底函數圖形 .................................................................................. 27 圖 2-10 RGB 三原色反射率(模擬值) ........................................................ 28 圖 3-1 研究流程圖 ...................................................................................... 32 圖 3-2 第一組實驗的演算法流程圖 .......................................................... 33 圖 3-3 第二組實驗的演算法流程圖 .......................................................... 34 圖 3-4 第三組實驗的演算法流程圖 .......................................................... 34 圖 3-5 兩色票樣本與 sRGB 色域邊界 8 條頻譜在色度圖中的位置 ...... 36 圖 3-6 Delaunay 三角網與 Voronoi 圖形 ................................................... 37 圖 3-7 權重比例圖 ...................................................................................... 37 圖 3-8 二維自然鄰點插值法 ...................................................................... 38 圖 3-9 Delaunay 三角網圖 .......................................................................... 38 圖 3-10 Voronoi 多邊形圖 .......................................................................... 39 圖 3-11 以新插入點 x 內插計算圖 ............................................................ 40 圖 3-12 插入點 x 的 Voronoi 多邊形圖 ..................................................... 40 圖 3-13 鄰點的對應值與權重比例圖 ........................................................ 41 圖 3-14 24 組 RGB 建構的三維 Voronoi 圖 ............................................. 42 圖 3-15 Macbeth 色票訓練建構之模型 ..................................................... 43 圖 3-16 Delaunay 三角網之凸包範圍外的測試樣本圖 ............................ 44 圖 3-17 八條代表 sRGB 色域邊界的虛擬頻譜圖 .................................... 45 圖 3-18 虛擬頻譜在色度圖中的位置分布 ................................................ 46 圖 3-19 S、M、L 三波長控制點位置示意圖 ........................................... 47 圖 3-20 拉動長波長(L)後的頻譜形狀圖(以∆R 增加 20 為例) ................ 49 圖 3-21 拉動中波長(M)後的頻譜形狀圖(以∆G 增加 20 為例) ............... 49 圖 3-22 拉動短波長(S)後的頻譜形狀圖(以∆B 增加 20 為例)................. 50 圖 3-23 內插重建的頻譜與線性頻帶調整後的頻譜位置差異圖 ............ 52 圖 3-24 第一組實驗中 16 筆物體頻譜反射率內插重建曲線比較圖 ...... 57 圖 3-25 Macbeth 色票所形成凸包範圍外的八筆樣本 ............................. 57 圖 3-26 第二組實驗中 8 筆物體頻譜反射率重建曲線與 RGB 值 .......... 59 vi.

(8) 圖 3-27 孟塞爾色票所形成凸包範圍外的八筆樣本 ................................ 60 圖 3-28 第三組實驗物體頻譜反射率重建曲線比較圖 ............................ 61 圖 4-1 大色差重建頻譜與目標頻譜比較圖 .............................................. 68 圖 4-2 ISRF 方法重建頻譜(左)與本研究方法重建頻譜(右)的比較 ....... 78. vii.

(9) 第一章. 緒論. 本章節可分為五個部分，分別是研究背景與動機、研究目的、研究問題、研究範圍與限制及名詞釋義。. 第一節研究背景與動機物體頻譜反射率的量測技術主要應用包括數位典藏、地質與醫學影像圖辨識、高光譜顯微應用等影像技術。在色彩顯示的品質要求日益提高情形下，該技術相當受到各方重視(Berns, Imai, Burns, & Tzeng, 1998;. Brauers, Schulte, & Aach,. 2008; Murakami, Yamaguchi, & Ohyama, 2013; Vilaseca et al, 2008; Westland & Ripamonti, 2004)。在量測物體頻譜的實務上，最直覺的想法就是以光譜儀實際接觸目標物打光進行量測，在電腦或儀器中直接得到測量數據。往往這樣的作法需要大量人力與時間進行，一旦量測的數量大到不是短時間內可完成，或是遇到設備需更新或實驗環境不合條件的情形，便不是一個較有效率的解決方式。實際上，有學者及研究員針對此一議題，提出任何數學和混合計算規則，試著模擬出同樣具可信且誤差可接受的曲線資料(Berns et al., 1998; Brauers et al., 2008; Murakami et al., 2013; Vilaseca et al, 2008; Westland & Ripamonti, 2004)，如此來減緩只能靠儀. 器運作所帶來的困難。. 歷年來有各種重建物體頻譜反射率的方式，這樣以手邊現有的量測資料來推估那些未知的物體頻譜反射率是本研究一直以來要繼續發展的課題。從早期經典方法 PCA 主成分分析法(Principle Component Analysis，PCA)用至少三到六個基底頻譜進行加成後的估計方式(Agahian, Amirshahi, & Amirshahi, 2008; Ansari, Amirshahi, & Moradian, 2006; Ayala, Echávarri, Renet, & Negueruela, 2006; Cohen, 1964; Fairman & Brill, 2004; Maloney, 1986; Parkkinen, Hallikainen, & Jaaskelainen, 1989; Tzeng & Berns, 2005)，到如何以內插式(Interpolation)方法來計算眾多資料點間的內插關係(Abed, Amirshahi, & Abed, 2009; Kim, Han, & Park, 2012)，還有其 8.

(10) 他如迴歸概念來找出相似逼近曲線範圍的頻譜演算方式。各方法都有其優點和缺點，當重建過程極為繁複時，相對會耗費大量演算時間，而若是沒了嚴謹的計算規則，便不能有效正確重建出物體頻譜。可以預期當已量測資料非常多時，理論上應當能更精準推估出欲測試的樣本，因此如何用有限的訓練樣本就能準確重建欲求頻譜是相關研究包括本研究在內的目標。. PCA 方法在近幾年不斷有各種改良的方式呈現，最主要不外乎是要擺脫最原始計算方式沒有特別在基底函數與係數的條件下限制，造成重建後的頻譜經過累加運算後有超出實際物理範圍 0 到 1 的情形。為了改善此現象，限制各種數值條件或是改用乘以不同矩陣運算的改良方式以及進一步做迴歸分析是這些所謂的 modified PCA 近期討論的重點(Amiri & Amirshahi, 2014; Harifi, Amirshahi, & Agahian, 2008)，也有單獨用支持向量機(Support Vector Machine)進行迴歸計算的應用(Zhang, & Dai, 2008)或其他特殊設計的 Matrix-R 方法(Zhao & Berns, 2007)。. 本研究選擇以自然鄰點內插式的重建方法進行本研究所有實驗內容的原因，最主要是研究設計上已在虛擬極限頻譜中確定了最低與最高的兩條頻譜其反射率範圍定在 0 跟 1 上，本研究使用的兩種色票量測資料也確認於範圍內，在實際實驗中，所有指定頻譜都會在此區域內內插而不會跑出已限制的反射率位置外，已經先排除了如 PCA 方法可能發生的問題。再者，曾經提出的理想頻譜反射率族(Ideal Spectral Reflectance Family)(林瑋如，民 102)來內插的重建方法已成功指出該方法能得到相當準確的反射率頻譜，唯獨有部分頻譜有色差過大的缺陷，並且在沒有先實際以整個 sRGB 色域為實驗目標下，某些 RGB 數值是無法被重建出來的。. 9.

(11) 基於想要改善上述這些重建上可能帶來的瑕疵，本研究在研究方法的第一階段是先延續自然鄰點內插方法的準確性，捨棄了原本用六種數學函數型態的理想頻譜族來內插的概念，改以訂定出代表 sRGB 色域的八條虛擬非實際量測的頻譜，來確保在該色域內的所有物體頻譜都能被內插得來，判斷只有補足這些在色域最外圍極限位置(比起理想頻譜族數量更少)之頻譜並個別配合兩款色票，是否就能得到足夠準確的頻譜，也意味著在有限的資料條件下得到準確重建結果是可被接受的。在本實驗的第二階段，找出三個適合控制頻譜曲線的控制點，各自代表短、中、長波長，解出三個波長需要拉動的位移量，按照 5nm 的間隔距離，當三波長控制點被上或下拉動時，該頻譜上的其他內插點會按照控制點所分割出的 4 個頻帶之距離比例原則跟著變動座標位置，待所有點調整後重新形成新的頻譜，讓其對應 RGB 數值與目標數值更為接近，證明在經過本研究的兩階段重建方法後，對於重建頻譜反射率此一技術上有相當的說服力。. 第二節研究目的本研究的兩個目的，其一是要克服 PCA 方法會產生出無法滿足物理上實際範圍的頻譜。另一方面，雖然過去的文獻中有使用內插方法重建頻譜的探討(Abed et al., 2009; Kim et al., 2012)，其內插加權組合的重建結果幾乎都符合物理上對頻譜反射率的基本要求，但這些研究顯示其重建結果雖然準確卻存在一個嚴重的問題，也就是當我們原本輸入的那些量測色票資料，其形成內插所需要計算的凸包 (convex hull)無法包覆待測的樣本資料範圍時，其實驗結果的頻譜是幾乎無法被計算得到，故本研究將設法解決此問題並列為第二項重要的研究目的。在最新運用內插方法的文獻中得知，有研究者提出加入各數學函數型態的理想物體頻譜反射率族(Ideal Spectral Reflectance Family)(林瑋如，民 102)到原本的收集樣本資料中，實驗成果得到這些重建後的頻譜，用標準光源 D65 照射後得到色彩顯像幾乎色差都小於 3，低於人眼對色可分辨的程度。在實驗條件一致的情. 10.

(12) 況下，此 ISRF 內插重建方法是比 PCA 來得更理想。然而，即使大部分內插重建後的頻譜都可以計算得到，但觀察實驗結果後發現，由於在接近青色系區域的收集樣本較少，因此重建後的估計反射譜其轉化後對應的顏色色差因而過大，甚至有色差大於 7 的情形。因此證實此種內插設計方式在某些色系的重建上還是不夠準確，而且在後續的實驗中，還發現該方法仍有外插現象也就是無法計算的狀況。因此，如何有效增加有限且足夠的收集樣本協助內插資料重建，確定都能實際計算得來後，想辦法繼續修正重建後的頻譜反射率使其更為精確是我們也要考慮的重點。本研究的目的歸納如下：一、設計一套確定可利用自然鄰點內插(Natural Neighbor Interpolation，NNI) 法來重建 sRGB 色域範圍內所有物體頻譜反射率的方法。二、設計頻帶分段的線性修正方法來進一步調整頻譜在座標上的位置，使其形狀更為準確。三、評估這些物體頻譜反射率之重建與色彩模擬效果。. 第三節研究問題關於將一般數位影像採用的 3 維度 RGB 色頻資料透過演算法轉換到更高的 61 維度完整頻譜資料的重建問題，根據上述動機與目的，自然鄰點內插重建物體頻譜反射率與頻帶分段修正方法為本研究的核心，藉由八條預先定義的虛擬頻譜與限定的樣本資料進行內插計算，加上用代表 sRGB 色域中 R、G、B 三端點波長各自代表頻譜的短、中、長波長位置分割來的不同頻帶，頻帶間的線性運算規則，皆會影響研究的成果，因此本研究的研究問題如下：. 一、如何利用自然鄰點內插重建物體頻譜反射率？二、如何設計不同頻帶的線性修正方法來調整頻譜形狀？三、本研究開發之物體頻譜反射率的頻譜重建與色彩顯像模擬效果如何？. 11.

(13) 第四節研究範圍與限制本節對研究的範圍與限制做一說明，以釐清研究主題界定的範圍與其限制。. 一、. 研究範圍：. 本研究之範圍專注於如何有效重建物體頻譜反射率此議題上。照明光頻譜的量測與觀測者配色等相關函數均採用標準 CIE (International Commission on Illumination)(CIE, 2000)的資料，其 CIE 資料的量測與估計並不在本研究討論範圍中。. 二、. 研究限制：. 本研究使用的唯一照明光源是 sRGB 觀測環境下的標準照明體(Standard Illuminant)D65，在此觀測條件下所擷取的數值，才能用於本研究模型的重建步驟。在收集樣本與待測樣本方面的界定上，本實驗研究所收集的樣本侷限於 Macbeth 與 Munsell 兩款色票組，至於整個研究完整 sRGB 色域的 RGB 色頻數值是本研究進行重建物體頻譜反射率的所有待測樣本。. 由於本論文所開發從 RGB 三維數值推導到 61 維度的頻譜過程，並非單純是一個數值只能對應唯一的一條頻譜，因此暫不考慮探討同色異譜現象，而是先確認本研究的新演算方法是否確實能重建出指定色域個別對應的所有數值並降低轉換後對應值的色差。. 12.

(14) 第五節名詞釋義以下針對本研究最為相關之七個專有名詞進行解釋，讓讀者能更加容易了解並提升整篇論文閱讀的流暢程度。. 一、. 物體頻譜反射率(Spectral Reflectance of Object). 入射光與反射光，兩者之間的比值即為反射率，連接對應於每一波長的反射率所形成的曲線即為該物體的物體頻譜反射率，物理學上理想實際的反射率範圍應該要在 0 跟 1 之間。從頻譜曲線的波長分布位置，可略為判斷出物體屬於什麼顏色(羅梅君，民 99)。. 二、. 頻譜重建(Spectral Recovery). 頻譜重建為本研究最著重的核心技術，指的是如何以數學方法計算出估計頻譜。在本研究中重建的頻譜，是物體本身的頻譜，而非光譜。五十幾年來有色彩相關學者提出各式各樣的數學計算模型，依類型大致可分為三大類：PCA 方法、內插方法、其他混合方法。頻譜重建結果的好壞可藉由 GFC 與 RMSE 和色差公式來評估。GFC 跟 RMSE 的值介於 0 到 1 之間，GFC 值越大越好而 RMSE 值則相反。若色差的計算結果在 3 以內，則表示人眼幾乎無法辨識其差異。. 三、. 三刺激值(Tristimulus values). 由物體的頻譜反射率或頻譜透射率、照明光的頻譜分布及人眼的配色函數積分所得到的色彩物理量，以三個數值來表示某顏色時稱為三刺激值。. 13.

(15) 四、. CIE(International Commission on Illumination). 中文名國際照明委員會，致力於全球有關於科學與光的藝術、打光、色彩與視覺、生物學與影像技術等領域的合作與訊息交流。自 1913 年成立以來，已成為一個專業非營利的組織並已被視為該領域的權威以及被 ISO 認證成為國際標準化機構。CIE 訂定了許多色彩學使用的標準，如：CIE 表色系統、CIE 標準照明體、CIE 標準色度系統、CIE 色差公式等(CIE, 2000)。. 五、. 內插法(Interpolation). 「內插」是給定一堆函數值，然後找出一個函數規則，用線性方式穿過所有給定的函數值。該方法廣泛地被運用在工程領域的數學方法(Amidror, 2002)。它可以在一群離散(Discrete)的已知資料中，建立出原本未知條件下的對應資料點。在工程領域中，資料的取得大多藉由量測或是實驗而來，但是這些資料點並不足以來解決問題。同樣的，在本研究主題中的物體頻譜反射率資料，因為已量測資料有限的原因，需要內插方法來繼續推導出其他未知的頻譜。然而，內插方法依數學計算式又可細分成以下幾種類型，如線性內插法、最鄰近距離內插法、自然鄰點內插法，該選擇何種內插方法來求出所有的資料，對於本研究是相當重要而且是否能準確內插出反射率頻譜的最大關鍵。. 六、. 自然鄰點內插法(Natural Neighbor Interpolation). 自然鄰點內插法，其概念是運用資料點間的幾何關係來選擇並加以計算各鄰點比例的加權分析方法，此方法實際的應用分為兩個步驟：第一步先將現有的資料群集合建立出 Voronoi 圖形架構；接著第二步代入測試資料點來求出內插結果(Amidror, 2002)。. 14.

(16) 第二章. 文獻探討. 在本章節中，第一節為基本色度學探討、運算方法與相關計算公式介紹；第二節是針對本實驗有用到的兩種頻譜量測資料，與近幾年各學者們發展的不同物體頻譜反射率重建法進行分析；最後將此兩節整理成第三小節文獻探討小結。. 第一節色彩相關原理與公式人們會受到如圖 2-1 的光源、物體、人眼視覺得到所看到的顏色。以學術上來講，分別對應的就是由照明光源(Source)、被照射物體(Attenuator 或 Object)、觀測者(Detector 或 Observer，能感覺顏色的眼睛及大腦)三者所造成(Berns, Billmeyer, & Saltzman, 2000)。此三個要素大大影響人們觀察顏色呈現。. 圖 2-1 判斷顏色圖在此節依照色度學的數值理論一一簡介本研究所使用到的基本色彩原理，共分為三刺激值計算、色彩空間簡介、色差公式∆𝐸2000 與多頻譜成像四個部分說明。. 一、. 三刺激值計算. 本研究主要是以三刺激值(Tristimulus Values)為基礎的色彩混合表色系統 (Color Mixing System)，運用 CIERGB 表色系統、CIEXYZ 表色系統等(黃日鋒等人，民 100)來計量。. 15.

(17) 三刺激值即是人眼對色彩三種原色刺激程度量的表現數值，以 RGB 三色色光作為原三刺激值的三個顏色。當[R], [G], [B]是所有任意有色光的單位三原色量，則依照各別三原色之混合比值 R, G, B 將可以混色獲得任意混合色光[C]，可以表示如下，公式(2-1)：. [C]=R[R0]+G[G0]+B[B0]. (2-1). 此式稱為色彩方程式，其中，[R0]、[G0]、[B0]代表三原色光，R、G、B 即三刺激值。接下來，本研究依照線性轉換，將原本含有負值的 RGB 配色函數轉換為數值皆為正值的 XYZ 配色函數(CIE 的 XYZ 表色系統)。公式三刺激值 XYZ (2-2)來表示，稱為三刺激值公式。 780. 𝑋 = 𝑘 ∫ P(𝜆) ∙ R(𝜆) ∙ 𝑥(𝜆)𝑑𝜆 380 780. 𝑌 = 𝑘 ∫ 𝑃(𝜆) ∙ R(𝜆) ∙ 𝑦(𝜆)𝑑𝜆 380. (2-2). 780. 𝑍 = 𝑘 ∫ 𝑃(𝜆) ∙ R(𝜆) ∙ 𝑧(𝜆)𝑑𝜆 380. 𝑘=. 100 780 ∫380 𝑃(𝜆). ∙ 𝑦(𝜆)𝑑𝜆. 其中R(𝜆)是物體的頻譜反射率或頻譜透射率，P(𝜆)是照明光源的頻譜分布， 𝑥、𝑦、𝑧為觀測者配色函數，k 為根據 y 值產生的正規化係數。. 二、. 色彩空間(Color Space)簡介. 色彩空間是指各種顏色依照種類與規則依序排列在同一個空間中，每一個顏色都有其對應的空間座標 (黃日鋒等人，民 100)。幾乎大部分的色彩空間都是以三維座標來表示，例如最常被使用的三個參數如 RGB、XYZ、L*a*b*。 16.

(18) 本研究中有使用到的色彩空間包括： RGB 色彩空間、XYZ 色彩空間、與 L*a*b*三種色彩空間。表 2-1 是本研究計算得到的三種空間數值型態與用途。由於本研究限制探討是以唯一的 sRGB 色域為主，因此在 RGB 色彩空間方面，其他不同類型如 Adobe RGB、Apple RGB 等不在討論的範圍中。得到所有在 RGB 空間的數值後，本研究同時由三刺激值公式來計算得到 CIE 1931 XYZ 色彩空間中的 XYZ 三數值，最後將其再繼續轉換到 L*a*b*色彩空間比較訓練樣本與測試樣本之間的色差程度。表 2-1 色彩空間三參數對應與用途表. 以下繼續說明 RGB (sRGB)至 XYZ 的轉換，與 XYZ 到 L*a*b*的轉換關係與計算公式規則。在 RGB 數值擷取方式上，首先將 8 位元的 RGB 正規化皆除以 255 後，三值的範圍都在 0 到 1 之間如公式(2-3)所示。R 8bit 、G8bit 、B8bit 是 sRGB 空間中使用 8 位元深度的 RGB 數值，範圍是從 0 到 255；R non−linear、Gnon−linear 、 Bnon−linear 為非線性的 RGB 數值範圍在 0 至 1 之間。 𝑅𝑛𝑜𝑛−𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟 = 𝑅8𝑏𝑖𝑡 /255.0 𝐺𝑛𝑜𝑛−𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟 = 𝐺8𝑏𝑖𝑡 /255.0. (2-3). 𝐵𝑛𝑜𝑛−𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟 = 𝐵8𝑏𝑖𝑡 /255.0. 接著進行 Gamma 反轉換處理，將 sRGB 空間中非線性 RGB 數值轉換為線性的 RGB 數值，如公式(2-4)。𝑅𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟 、𝐺𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟 、𝐵𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟 為線性的 RGB 數值，是 RGB 色彩空間中的表示參數，其數值範圍也介於 0 到 1 之間。 17.

(19) 如果 𝑅𝑛𝑜𝑛−𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟 、𝑅𝑛𝑜𝑛−𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟 、𝑅𝑛𝑜𝑛−𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟 ≤ 0.03928 𝑅𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟 = 𝑅𝑛𝑜𝑛−𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟 /12.92 𝐺𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟 = 𝐺𝑛𝑜𝑛−𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟 /12.92 𝐵𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟 = 𝐵𝑛𝑜𝑛−𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟 /12.92 否則 𝑅𝑛𝑜𝑛−𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟 、𝑅𝑛𝑜𝑛−𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟 、𝑅𝑛𝑜𝑛−𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟 > 0.03928. (2-4). 𝑅𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟 = [(𝑅𝑛𝑜𝑛−𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟 + 0.055)/1.055]2.4 𝐺𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟 = [(𝐺𝑛𝑜𝑛−𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟 + 0.055)/1.055]2.4 𝐵𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟 = [(𝐵𝑛𝑜𝑛−𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟 + 0.055)/1.055]2.4. 此部分是本研究整個描述 RGB 數值所使用的計算公式規則。在 RGB 轉換到 XYZ 此過程，是把這些數值透過公式矩陣 M，以線性轉換至 XYZ 空間中。可表示為公式(2-5)。矩陣 M 和參考白點座標、三原色的色度座標參數，可表示為公式(2-6)、公式(2-7)、公式(2-8)： 𝑋 𝑅 [𝑌 ]=[M] [𝐺 ] 𝑍 𝐵 𝑆𝑟 𝑋𝑟 [M]= [ 𝑆𝑟 𝑌𝑟 𝑆𝑟 𝑍𝑟. 𝑆𝑔 𝑋𝑔 𝑆𝑔 𝑌𝑔 𝑆𝑔 𝑌𝑔. 𝑆𝑏 𝑋𝑏 𝑆𝑟 𝑆𝑏 𝑌𝑏 ]=[ 0 0 𝑆𝑏 𝑍𝑏. 𝑋𝑟 𝑆𝑟 [𝑆𝑔 ]= [ 𝑌𝑟 𝑍𝑟 𝑆𝑏 𝑋𝑟 =𝑥𝑟 /𝑦𝑟 𝑌𝑟 =1 𝑍𝑟 =(1-𝑥𝑟 -𝑦𝑟 )/ 𝑦𝑟. 𝑋𝑔 𝑌𝑔 𝑌𝑔. 0 𝑆𝑔 0. (2-5) 0 𝑋𝑟 0 ] [ 𝑌𝑟 𝑆𝑏 𝑍𝑟. 𝑋𝑔 𝑌𝑔 𝑌𝑔. 𝑋𝑏 𝑌𝑏 ] 𝑍𝑏. 𝑋𝑏 −1 𝑋𝑤 𝑌𝑏 ] [ 𝑌𝑤 ] 𝑍𝑤 𝑍𝑏. 𝑋𝑔 =𝑥𝑔 /𝑦𝑔 𝑌𝑔 =1 𝑍𝑔 =(1-𝑥𝑔 -𝑦𝑔 )/ 𝑦𝑔. (2-6). (2-7). 𝑋𝑏 =𝑥𝑏 /𝑦𝑏 𝑌𝑏 =1 𝑍𝑏 =(1-𝑥𝑏 -𝑦𝑏 )/ 𝑦𝑏. (2-8). 其中(𝑥𝑟 , 𝑦𝑟 )、(𝑥𝑔 , 𝑦𝑔 )、(𝑥𝑏 , 𝑦𝑏 )表示在參考白點為(𝑋𝑤 , 𝑌𝑤 , 𝑍𝑤 )三原色的色度座標參數，在前面的段落中有提過 sRGB 的參考白為 D65，將相關數值代入後，可以得到矩陣 M，公式(2-9)。 18.

(20) 0.4124564 [𝑴]=[0.2126729 0.0193339. 0.3575761 0.7151522 0.1191920. 0.1804375 0.0721750] 0.9503041. (2-9). 得到這些 XYZ 值後，為了色差公式計算，本研究必須再將其推導到 L*a*b* 色彩空間，得到 L*a*b*數值進一步比較色差。XYZ 與 L*a*b*對應關係如公式(2-10)，其中，公式中的 𝑋𝑛 , 𝑌𝑛 和 𝑍𝑛 是參照白點的 XYZ 三刺激值(下標. 表示正規化)。. n. 𝐿∗ = 116𝑓(𝑌⁄𝑌𝑛 ) − 16 (2-10). 𝑎∗ = 500[𝑓(𝑋⁄𝑋𝑛 ) − 𝑓(𝑌⁄𝑌𝑛 )] 𝑏 ∗ = 200[𝑓(𝑌⁄𝑌𝑛 ) − 𝑓(𝑍⁄𝑍𝑛 )]. 三、. 色差公式 ∆𝑬𝟐𝟎𝟎𝟎. 獲得所有實驗所需的樣本 L* a* b* 數值後，如圖 2-2，本研究接著使用 CIE 2000 年提出的色差公式 CIEDE(∆𝐸2000 )來做為計算色差之標準(BruceLindbloom, 2009)。此公式的算法規則上較為符合人眼判斷色差的結果，其公式如(2-11)。對於色差好壞的評斷而言，按照美國國家標準局(National Bureau of Standars，NBS) 所提供的色差值標準評價表(Ergun, & Nagas, 2007)規範，色差小於 3 的情況是人眼幾乎無法看出差異的。. 圖 2-2 L* a* b*色彩空間算色差圖資料來源：羅梅君(民 99)。數位色彩管理科學：色彩度量學。頁 177。 𝛥𝐿∗. ∆𝐸2000 = √(𝐾. 𝐿 𝑆𝐿. 2. 𝛥𝐶 ∗. ) + (𝐾. 𝐶 𝑆𝐶. 2. 𝛥𝐻 ∗. ) + (𝐾. 𝐻 𝑆𝐻. 19. 2. 𝛥𝐶 ∗ 2. 𝛥𝐻 ∗. ) + 𝑅𝑇 (𝐾 𝑆 ) (𝐾 𝑐 𝑐. 𝐻 𝑆𝐻. 2. ). (2-11).

(21) 四、. 多頻譜成像. 所謂的多頻譜成像是指將光譜數據、物體頻譜反射率值和人眼配色函數資料以三刺激值(羅梅君，民 99；黃日鋒等人，民 100)計算並轉換到需要評估各個色彩空間值的過程。本研究所使用的唯一照明光源是最常拿來實驗的 D65 光。照明光源同樣是 CIE 規範的數據之一， D65 的相對能量與波長關係如圖 2-3 所表示。. 圖 2-3 各光源的光譜能量分布圖資料來源：黃日鋒等人(民 100)。顯示色彩工程學。頁 95。多頻譜成像方式可在任何不同的光源打光條件下，轉換於不同色彩空間並在顯示設備上輸出其色彩呈現。本研究是先以 D65 光為基礎進行全色域的色彩重建模擬，評估並改善色差結果供後續實驗發展。. 第二節物體頻譜反射率的量測與估計從第一節了解到，色彩觀察的三要素是光源、物體頻譜反射率與觀測者色彩知覺。在本節中，物體頻譜反射率是本研究核心的議題，故本節將針對物體頻譜反射率的量測與估計做進一步地了解。本研究將藉由檢視這些方法，試圖改善其缺點，開發出一套新的物體頻譜反射率估計與修正方法。. 20.

(22) 一、. 物體頻譜反射率的量測. 透過物體頻譜反射率相關量測儀，可以量測出各物體的頻譜反射率。在本研究實驗中蒐集的兩組色票頻譜樣本分別為孟塞爾色票書(Munsell Books of Color，以下簡稱 Munsell 色票)與馬克貝斯色票(GretagMacbeth ColorChecker® ，以下簡稱 Macbeth 色票)。. (一)孟塞爾色票書(Munsell 色票) Munsell 色票被廣泛使用於設計領域中，因為色票顏色種類眾多，涵蓋色相範圍廣，時常成為量測目標的標準選擇(University of Joensuu Color Group, n.d.)。 Munsell 色票共 1269 條頻譜反射率曲線繪製如圖 2-4。. 圖 2-4 Munsell 色票物體頻譜反射率圖形 (二)馬克貝斯色票(Macbeth 色票) Macbeth 色票的 24 種顏色中包含膚色、天空色、綠草色等日常生活中常見的顏色，常被用於數位影像拍攝時的校正(Munsell Color Science Laboratory, 2011)，以及作為物體頻譜反射率重建研究中的實驗訓練樣本(Training Data)與實驗測試樣本(Testing Data)，其色票與 24 條頻譜反射率曲線繪製如圖 2-5。. 21.

(23) 圖 2-5 Macbeth 色票與其物體頻譜反射率圖形資料來源：Munsell Color Science Laboratory (2011). CIE standard illuminant data. Retrieved from: http://www.cis.rit.edu/research/mcsl/online/cie.php.. 二、. 物體頻譜反射率的估計. 本研究針對頻譜的估計方法，整理出最多相關研究所使用以主成分分析法為主與本研究使用到的內插方法這兩種類型，也簡單介紹其他物體頻譜反射率重建方法共三部分，簡述其操作方式並歸納其優缺點。. (一)主成分分析法（Principle component Analysis，PCA）藉由畫 2D 散布圖來觀察兩個變數之間的相關性。同理，也可以畫 3D 立體圖了解三個變數關係情況。然而，當變數非常多時，就有可能發生某一群變數間有較高的相依性，某些變數的影響程度卻非常有限。主成分分析法（Principal component analysis）其目的就在於將原有資料中多個變數予以縮減，也就是降低維度(Dimensionality Reduction)的概念，找出真正核心的變數，成為數量較少且互相獨立的線性組合變項（主成分），藉此達到化繁為簡的效果。(Agahian et al., 2008; Ansari et al., 2006; Ayala et al., 2006; Cohen, 1964; Fairman & Brill, 2004; Maloney, 1986; Parkkinen et al., 1989; Tzeng & Berns, 2005). 以頻譜反射率資料為例，運用 PCA 分析資料時，能使資料組原本龐大的資訊，以數個主要的基底頻譜做為代表。如圖 2-6，即為 Macbeth 24 色色票使用 PCA 方法求得的三個基底函數。再將這些頻譜經由線性累加的方式，就能重建原始資料中的任一頻譜。 22.

(24) 圖 2-6 PCA 方法產生的基底函數近年來，針對各家學者使用 PCA 方法來重建頻譜的研究相當多，大致上，一般認為大約需要至少六個主成分才可以準確估計出反射頻譜。在 2004 年的研究中(Fairman, & Brill, 2004)，運用典型的 PCA 來重建三千多筆反射率資料，並公開反射率的前六個主成分基底函數。同年出版的 Computational Colour Science using MATLAB 一書中(Westland & Ripamonti, 2004)，以實際量測的 404 筆自然界物質的頻譜反射率，求出前三個主成分資料。. 2006 年後發表的 PCA 文獻特點，主要是各研究者們提出先將收集到的色彩樣本先分類，依照頻譜形狀特性或是以顏色來分成不同樣本組。舉例來說，2006 年的研究是將 PCA 用特定歸納好的樣本作測試(Ansari et al., 2006)，不僅提高重建精準度也省下許多計算時間。同一年裡，Ayala 等人(Ayala et al., 2006)將色彩空間分成十個區域，讓原本的訓練樣本對應到孟賽爾色相，以三個特徵向量來重建反射頻譜。同樣的概念，研究者在 2008 年的研究中建議了新的調整方法來改善傳統的 PCA(Zhang & Xu, 2008)，首先將待測試的色彩樣本分類，提出以 hue 色相來進行分組，依色相的類型把頻譜(圖 2-7 由左而右，由上而下)分成紅色 R、黃紅色 YR、黃色 Y、綠黃色 GY、綠色 G、藍綠色 BG、藍色 B、紫藍色 PB、紫色 P、紅紫色 RP 與灰階色調組，如圖 2-8，發現該研究以色相來區分頻譜形狀類型進而得到各組的基底函數，對於重建頻譜而言是非常有效的。 23.

(25) 圖 2-7 以 hue 色相分類共 11 組頻譜類型資料來源： “ Reconstructing spectral reflectance by dividing spectral space and extending the principal components in principal component analysis, ” by Zhang, X., & Xu, H, 2008, Journal of the Optical Society of America A, 25(2), 371-378. Agahian 與其共事者(Agahian et al., 2008)也於 2008 同年提出了「加權」的 PCA 方法來重建物體頻譜反射率，其主要目的是最小化加權平方重建的誤差值 e，如公式(2-12)。與傳統的 PCA 方法最大不同在於，他們根據不同測試樣本透過矩陣運算會得到不同的特徵向量來估計反射率頻譜，其實驗結果會比傳統 PCA 方法來得更理想。 𝑘 𝐞 = ∑𝟕𝟎𝟎 λ=𝟒𝟎𝟎 𝒘 (𝑟λ − (𝑽𝟎 + ∑𝑗=1 𝑐𝑗 𝑉𝑗 λ) ). 2. (2-12). 幾年後，非負主成分分析(Nonnegative Principal Component Analysis)的新設計方式在 2012 年被提出，其與傳統 PCA 方法的差別在於 NNPCA(Nonnegative Principal Component Analysis)先定義係數與基底函數這兩者必須都為正的值(Lee, Park, Ryu, & Park, 2012)，重建後的效果雖然與傳統 PCA 差異不明顯，但其最大優點是計算時間上會更為迅速。比較傳統 PCA 與 NNPCA 兩者的基底函數如圖 2-8： 24.

(26) 圖 2-8 PCA 與 NNPCA 的基底函數頻譜圖資料來源：“ Fast model-based multispectral imaging using nonnegative principal component analysis, ” by Lee, M. H., Park, H., Ryu, I., & Park, J.I., 2012, Optics Letters, 37(11), 1937-1939. 最新的相關文獻顯示，有研究者(Wu, Tian, & Tang, 2014)強調由於 PCA 方法針對某一樣本組所產生出來的基底函數，如果將其基底函數重建於其他色票樣本的反射頻譜，並不見得能得到理想準確的值。因此，他們提出一個可以適用各種頻譜最適合基底函數的計算方法，也就是以不同的權重來進一步改良傳統 PCA 的計算方式，接著再進一步做迴歸分析，即便此改良方法會讓計算時間相對變得更久，但其重建準確率卻是提升的(Wu, Tian, & Tang, 2014)。 PCA 的相關延伸方法相當多，其估計的表現都算不錯，但是隨著特徵向量的增加，其運算速度也會隨之降低，而且大部分實驗結果顯示透過主成分估計出來的頻譜反射率，最主要的大問題還是有數值超過 1 或是出現負值的現象，是近年來各研究仍然持續要努力的目標。. (二)內插法(Amidror, 2002) 內插方法有許多不同的種類，主要包括線性(Linear) 內插法、最鄰近內插法 (Nearest neighbor interpolation)、三次板條樣(Cubic Spline)內插法、自然鄰點內插 25.

(27) 法(Natural Neighbor interpolation)等，每一種內插法的計算方式皆不相同，各自都有其優點與適合應用的對象與時機。若是以內插的影響範圍來區分，又分為全域 (Global)與局部(Local)兩種方法，全域方法指的是內插值會被所有其他資料點所影響，因此較適用於樣本數較小的資料；相對來說，局部的內插方法，其內插值只會被鄰近的點所影響，更適合應用在解決資料點分布不均勻的問題中(Amidror, 2002)。由於本實驗的 RGB 色頻數值與其物體頻譜反射率關係正是呈現不均勻分布的散布式資料(Scatter Data)，因此較適合用特定的局部內插方法來計算。. 近幾年關於使用內插方法重建頻譜的主要文獻中，Abed 等人於 2009 年提到選擇線性三角網內插法(Linear Triangulated Interpolation) 隨著輸入的量測資料數量增加，內插方法的實驗結果會好於 PCA 方法(Abed et al., 2009)。此內插方法能夠產生相當精準的頻譜重建結果。值得一提的是，無限制地增加量測樣本雖然可以提高重建精確度，但並無法保證所有的目標樣本都可以被重建得到，同時計算所耗費的時間也會拉長。. 2012 年的相關研究中同樣使用此內插法為基礎(Kim et al., 2012)，並針對之前碰到的問題提出了 hybrid 混合方法。實驗步驟是先選擇三維的線性內插法內插出待測的資料點，若資料點落在輸入資料範圍外，再繼續選擇以二維的內插方式來內插，最後階段再調整非負轉換矩陣 (Adaptive Non-negative Matrix Transformatin，NMT)試圖解決當使用前兩次內插法時，資料點仍落在凸包外的問題。這樣混合依序計算的方式的確避免了無法計算得到頻譜的狀況，整個實驗過程卻在 NMT 執行的步驟階段會使計算時間拉長，顯然在效率上仍需改善。. (三)其他頻譜重建方法在這裡也簡介其他重建頻譜的數學應用，按順序分別是同色異譜的多頻譜估計法、快速反射譜模擬方法、迴歸類的分析方法包括支援向量迴歸與典型相關迴歸法和最後類似 PCA 計算規則的非負矩陣分解方法等四種型態的重建方式。 26.

(28) (1)同色異譜的多頻譜估計法依據同色異譜的現象，利用虛反矩陣(Pseudo Inverse)的運算，將由數萬組的 RGB 色頻數值資料模擬出近似三原色刺激值的頻譜作為模擬頻譜反射率的基底 (呂億德，民 98)，如圖 2-9，其模擬函數分別為𝑟𝑅 (𝜆)、𝑟𝐺 (𝜆)、𝑟𝐵 (𝜆)。. 圖 2-9 基底函數圖形資料來源：呂億德(民 98)。自然影像中最佳化物體反射譜估計及其後製應用之研究(未出版之碩士論文)。頁 46。利用𝑟𝑅 (𝜆)、𝑟𝐺 (𝜆)、𝑟𝐵 (𝜆)進行加成方式，與 RGB 分量值之係數𝑐𝑅 、𝑐𝐺 、𝑐𝐵 累加過後，在公式 2-13 中，可求得任意色的最佳化物體頻譜反射率𝑅0 (𝜆)。此種以 RGB 三原色為模擬反射率的基底，求得任意色的反射率(Chou & Lin, 2012)。實踐結果發現整體色差平均值低，但是仍有幾個顏色出現大色差的現象。另外，其估計的頻譜範圍會有出現負值的缺點。 𝑹𝟎 (𝜆) = 𝑪𝑹 ∗ 𝒓𝑹 (𝜆) + 𝑪𝑮 ∗ 𝒓𝑮 (𝜆) + 𝑪𝑩 ∗ 𝒓𝑩 (𝜆). (2-13). (2)快速反射譜模擬方法快速反射譜模擬法，是以 Sigmoid 函數及 Gaussian 函數，分別模擬 R、G、 B 三原色的反射譜，其餘色彩則運用三原色反射譜的比例關係進行模擬(周遵儒、陳怡君，民 97)。依照比例來進行加成的方式，可快速獲得反射譜的模擬結果， 27.

(29) 並能將反射率控制在實際範圍內。然而，高明度的色彩(RGB 值均大於 200)其重建的反射譜會出現大幅度上下波動的現象，不符合一般非特殊物質應該會有的反射頻譜曲線，因此進一步修正方程式找出較為平滑的曲線來取代震盪的現象。下圖 2-10 為此重建方法的 RGB 三色模擬頻譜： 1.2. 1.2. 1. 1. 0.8. 0.8. 0.6. radiation. 1. 0.8. radiation. radiation. RGB reflectance (Sigmoid and Normal Distribution). RGB reflectance (Sigmoid and Normal Distribution). RGB reflectance (Sigmoid and Normal Distribution) 1.2. 0.6. 0.6. 0.4. 0.4. 0.4. 0.2. 0.2. 0.2. 0 300. 400. 500 600 wavelength(nm). 700. 800. 0 300. (a) R 反射率. 400. 500 600 wavelength(nm). 700. 800. 0 300. (b) G 反射率. 400. 500 600 wavelength(nm). 700. 800. (c) B 反射率. 圖 2-2 RGB 三原色反射率(模擬值) 資料來源：周遵儒、陳怡君(民 97)。快速反射譜模擬方法。2008 色彩學研討會論文集。頁 113-120。 (3)迴歸分析法(Regression Analysis) 迴歸(Regression)的意思指的是用已知的一組數值來推測要求的未知數。支援向量回歸的作法即是要找出可推估資料樣本分布的平面。基本的線性迴歸公式 2-14 如下： Y  y0  y1K1  y2 K 2  ......  yp K p  e. (2-14). 公式 2-19 中的 y 是偏迴歸係數值，e 是誤差項，而 p 則為自變量 K 的數量。 Harifi 等人於 2008 年的研究中用六個主成分的 PCA 方法並加入迴歸分析的概念(Harifi et al., 2008)，將實際量測的 1269 筆頻譜資料分成兩組，作為訓練與測試樣本，其效果比典型的 PCA 好。從多數樣本顏色中，使用迴歸分析法找出色彩的轉換矩陣，同理也可從感應器的資訊利用迴歸分析法找出頻譜反射率的轉換矩陣。不過迴歸分析法可提高自變數的次方，使自變數與應變數之間成為非線性關係，提高其準確度，相對地計算時間也提高了。. 過去的機率統計分類方法，是假定這些資料是屬於常態分佈的情形，在隨機取樣後找出最能夠描述整體資料分布型態的訓練樣本。一般而言，隨著資料的維 28.

(30) 度增加，所需要的訓練樣本數目也要增多。支援向量迴歸 (Support Vector Regression，SVR)是 Drucker 等人以支援向量機(Support Vector machine，SVM) 為基礎發展成的回歸方法。SVM 是機器學習領域的演算方法，可廣泛運用於遙測資料分類，已預先決定好的核函數(kernel function)將原資料映射至高維度的特徵空間。其優勢是在解決小樣本及高維度模式下都有很好的效果，同時具有清楚的理論與完整的架構，並且實作分類效果良好。研究者同樣於 2008 年透過 SVR 搭配不同數量的訓練樣本組與不同程度的雜訊計算來求出反射頻譜(Zhang & Dai, 2008)。其實驗發現重建的效果大致好於傳統的 Wiener 模擬方法。此類以 SVR 重建的研究方法，關於核心(kernel)的選定將嚴重影響其重建的好壞，即便持續增加訓練樣本同樣也可提高重建準確度，卻也相對耗費大量的計算時間。因此，如何找出更好的核心與設計更有效率的 SVR 演算方式，仍需要持續做改善。. 2009 年，Eslahi 等人又提出以典型相關分析(Canonical Correction Analysis， CCA)來設計頻譜的重建方式(Eslahi, Amirshahi, & Agahian, 2009)。所謂的典型相關指的是兩組變數都是一個變數以上，量測此兩組變數間的相關性即是典型相關，目的要找出依變數與自變數兩者線性組合的最大相關。CCA 最早是由 Hotelling 所設計來量測兩組多變數間線性關係的方法。接著經過權重處理後的典型相關迴歸(Canonical Correlation Regression，CCR)目標是要最小化權重平方重建誤差值 ε，如公式 2-15。其中 Ra(λ)與 Rr(λ)各自代表實際的量測頻譜以及重建後的模擬頻譜，而 ω 權重取決於樣本組的種類。 ε = ∑𝑞λ=1 ω(Ra(λ) - Rr(λ))2 → min. (2-15). 該研究同時以傳統 PCA 方法、加入權重處理後的 PCA、CCR 與權重處理後的 CCR 方法四種方法比較其重建兩組色票的優劣，發現以權重處理後的 CCR 方法重建效果最佳。不同的典型係數(Canonical coefficients)與相關型態關鍵取決於目標顏色的特徵。 29.

(31) (4)非負矩陣分解方法(Non-negative Matrix Fatorization，NMF) 先前有先介紹過以矩陣分解概念来解決問題的分析方法，比如最著名的 PCA 方法。簡單來講，可以把此概念看作是將一個大矩陣 C 近似分解成 C=AB 矩陣相乘型態。其 A 和 B 中的數值可為正數或負數。也因為如此，計算分解得到的結果是可能為負數的，然而問題就回到原先在此研究議題上用 PCA 方法的缺陷：負值無法解釋實際的現象，是沒有意義的。直到 1999 年，Lee 和 Seung 兩位學者才提出非負矩陣分解(NMF)此矩陣解法理論，NMF 是應用於矩陣因式分解的演算法。藉著 NMF 的計算，可以得到一個非負矩陣 I 跟一個同樣也是非負的矩陣 J，如式子。即 NMF 是限制條件為矩陣內不能有負值的矩陣分解方法。公式 2-16 裡的參數 r 有(n+m)*r<n*m 的限制。. [K] n*m = [I] n*r * [J] r*m. (2-16). 此方法概念上同樣能將高維的數據矩陣降維計算，適合處理大量的資料，其優點是計算時間更快且更能解釋數據意義。[K]由受測樣本群所組成，其中 m 為受測樣本集合的樣本數目，n 是樣本的特徵維度。[I]是受測樣本的基底特徵。[J] 是指[I]對應到[J]特徵組合的比例。. 2012 年，Farajikhah 等人提出導入高斯初始向量(Gaussian initializing vectors) 於 NMF 方法中來計算重建頻譜方法(Farajikhah & Amirshahi, 2012)。此設計方式可以得到都是正數的基底並增進高斯方法的準確性與 NMF 的可靠性，於是如何找到更適當的初始函數來進行 NMF 運算是此種矩陣分解方法的關鍵。以下整理此演算法的特點與優勢主要： 1. 非負元素值的限制條件，相對於 PCA 方法而言，符合自然界對於數值範圍的實際定義。 2. 該演算法的特徵值同樣也非負值，相較其他方法來講，計算方便且更好理解。 3. 類似於簡單的類神經網路計算架構。. 30.

(32) 第三節文獻探討小結如何掌握色彩的三要素，光源、物體頻譜反射率與觀測者知覺等條件，是能否做好色彩重現的關鍵。以估計方式來重建物體頻譜反射率，比起實際量測動作而言，更有效率且能省下大量成本。良好的估計方法要不僅速度快且足夠精確。. 眾多重建方法中，以 PCA 與內插法為基礎的重建方法和兩者各自的延伸發展是本研究議題需要繼續研讀的方向。整體而言，傳統 PCA 方法隨著特徵向量的增加，運算速度也會相對降低；而且其估計出來的反射率，不全然符合實際現象，估計的頻譜範圍時常出現超過 1 的數值與負值。即便有 NNPCA 的概念已提出，在運算速度方面加快許多但無法真正有效提高重建精確度。相關的內插方法，最主要碰到的問題是當輸入的訓練樣本(training data)無法涵蓋整個待測樣本 (testing data)範圍時，就會產生無法內插的計算情形。其他類的重建方法各自有其優缺點但最重要的還是必須想辦法找出一個歸納過後的適當運算模型來進行重建。因此，宜整理前兩大研究方法的缺點，持續嘗試從中找到解決的辦法。. 本研究希望能開發一套物體頻譜反射率估計模型，以有限的真實量測之頻譜反射率作為樣本，利用內插重建法原理並整合常見的估計方法之優點，加上在頻譜的不同頻帶分段進行對形狀的線性細部調整方法，試圖重建出更接近 sRGB 色域範圍內的所有物體頻譜反射率並模擬出更為真實的色彩。. 第三章研究方法與設計本研究是採取實驗研究法。本章節分為五個部分，首先訂定出整個研究的流程圖，並以演算流程圖說明三組實驗各別的執行步驟，接著介紹本研究有使用到的資料與開發工具，再依照第一章的三個研究問題分別討論自然鄰點內插物體頻譜反射率重建法、不同頻帶的線性修正方法、實驗評估方式等三項主要實驗內容。. 31.

(33) 第一節研究流程圖 3-1 是本研究的研究流程圖。一開始先認識色度學理論，了解頻譜與其他色彩空間的轉換關係。從收集來的相關文獻中，研讀 PCA 與內插法兩大主要重建方式的計算與其優缺點。接著選擇內插方法中的自然鄰點內插方式建構數學運算內插模型，將選定的訓練樣本代入計算，重建出待測的測試樣本並初步評估實驗結果。接著，進行本實驗第二階段的頻帶分段線性修正的演算法運算，新調整後的估計頻譜同樣再次評估其成效。. 圖 3-1 研究流程圖本研究一共有三組實驗待測試。三組實驗主要都是藉由真實量測的物體頻譜反射率資料與預先設定好的八條代表 sRGB 邊界頻譜資料其對應的 RGB 值，當作輸入資料也就是所謂的訓練樣本，先進行第一階段的自然鄰點內插法，建構出能表示 RGB 與物體頻譜反射率對應關係的模型，接著，將待測的所有 RGB 測試樣本值透過內插的方式估計出對應的物體頻譜反射率。. 32.

(34) 在第二階段的方法中，根據這些估計得來的頻譜其對應的 RGB 值與原待測的 RGB 值差距，將頻譜分成四個頻帶，進行各頻帶間的線性修正來調整頻譜形狀，得到最終的重建頻譜。最後，再以標準光源 D65 進行色彩顯像模擬，評估效果如何。圖 3-2 到圖 3-4 分別是三組實驗的演算流程圖。. 圖 3-2 是第一組實驗的實驗流程圖。以 Macbeth 色票加上代表 sRGB 色域邊界 8 條共 32 條頻譜資料當作輸入的訓練樣本，而 Munsell 色票總共 1269 色的頻譜為待測的測試樣本。先進行第一階段的自然鄰點內插法，再用第二階段的線性修正方法來調整，並評估重建後的頻譜與色差結果。. 圖 3-2 第一組實驗的演算法流程圖第二組實驗的實驗流程圖如圖 3-3。同樣以 Macbeth 色票加上代表 sRGB 色域邊界八條共 32 條頻譜資料當作輸入的訓練樣本，而所有的測試樣本為 sRGB 色域範圍內共 16777216 條頻譜(256*256*256)。先進行第一階段的自然鄰點內插法，再用第二階段的線性修正方法來調整，並評估重建後的色差結果。. 33.

(35) 圖 3-3 第二組實驗的演算法流程圖圖 3-4 則是第三組實驗的實驗流程圖。這組實驗換成用 Munsell 色票加上同樣代表 sRGB 色域邊界八條共 1277 條頻譜資料當作輸入的訓練樣本，所有的測試樣本依舊是 sRGB 色域範圍內共 16777216 條頻譜。一樣進行第一階段的自然鄰點內插法，再用第二階段的線性修正方法來調整，最後評估重建後的色差結果。. 圖 3-4 第三組實驗的演算法流程圖 34.

(36) 為了考量到實驗的一致性，且配合大部分其他研究者的實驗規範，故將所有訓練樣本與測試樣本正規化為 400nm 至 700nm 波長範圍，每間隔 5nm 取樣一次的數據。換句話說，本研究中的任何一條頻譜都是以 61 個座標點 (61=(700-400)/5+1)形成的。. 最後的評估階段，在第一組實驗中，由於訓練樣本與測試樣本都是實際量測的色票頻譜資料，因此可以運用均方根誤差(Root Mean Square Error，RMSE)與配適係數(Goodness-of-Fit Coeifficient，GFC)的方式來評估對應頻譜的差異，同時在 D65 光源下進行色彩顯像的模擬，運用色差公式∆𝐸 2000 來進行色差評估。. 因為第二和第三組實驗的測試樣本是 sRGB 整個色域的數值，由於現實情況是我們不可能得到該色域所有已量測到的頻譜數值，因此只能將重建值與原始值轉換到 L* a* b*同樣在 D65 光源下以色差公式∆𝐸 2000 來進行色差評估。. 第二節研究設備與工具本研究的演算法開發軟體 The MathWorks 公司的軟體 Matlab ® R2012a 版本 (張智星，民 89)和運用該軟體的 MPT toolbox (The Multi-Parametric Toolbox for Matlab, 2010)。. 收集來的色票資料分別是 Macbeth 色票與 Munsell 色票中的 Matte Finish Collection(半光澤)的物體頻譜反射率。這兩款實驗樣本皆為在物體頻譜反射率重建研究中最普遍、也易於取得的實驗數據，於是本研究用來測試本研究開發之方法是否能廣泛地被使用於整個 sRGB 色域空間，此兩款樣本的類型、數量、應用範圍整理於表 3-1 中，另外 8 條邊界頻譜與色票樣本在色度圖中分布位置標於圖 3-5。. 35.

(37) 表 3-1 實驗樣本一覽表. 圖 3-5 兩色票樣本與 sRGB 色域邊界 8 條頻譜在色度圖中的位置. 第三節自然鄰點內插物體頻譜反射率重建法在本節中將先描述此方法的特性，推導其數學演算規則，最後闡述本研究如何運用自然鄰點內插完成物體頻譜反射率的重建，及在重建過程中遭遇的問題與可行的改善方式。. 自然鄰點內插法(Amidror, 2002)是由 Robin Sibson 所發明，是運用資料點間的幾何關係來選擇並加以計算各鄰點比例的加權分析方法，先以整體方程式公式 (3-1)來說明： G(x,y) = ∑𝑛𝑖=1 𝑤𝑖 𝒇(𝒙𝒊 ,𝒚𝒊 ) 36. (3-1).

(38) 其中 G(x,y)是指(x,y)該座標點的估計值，n 是指(x,y)點的鄰點個數，𝒇(𝒙𝒊 ,𝒚𝒊 ) 是這些鄰點個別的值，𝑤𝑖 則是這些點對應的權重關係。將輸入的 n 個資料點的集合建構為圖 3-6，第二步是代入測試資料點(x,y)求出內插結果，形成的 Voronoi 圖形中的多邊形(在三維稱多面體)，利用這些鄰點的相對位置面積所構成的權重比例，即黑色區域就是 Voronoi 圖所占了數字 3 該多邊形的面積多寡，加權結果可推算出符合比例之內插值。此屬於局部內插的方法，其內插的值只會被定義為內插值的鄰點所決定。. 圖 3-6 Delaunay 三角網與 Voronoi 圖形資料來源：周小平、周瑞忠(民 94) 。用 Voronoi 圖進行新型自然鄰點插值的幾何學方法與特性。2005 計算力學學報，22(3)，頁 355-359。. 圖 3-7 權重比例圖資料來源：周小平、周瑞忠(民 94) 。用 Voronoi 圖進行新型自然鄰點插值的幾何學方法與特性。2005 計算力學學報，22(3)，頁 355-359。. 37.

(39) 本內插法可以應用於二維、三維的計算，當二維時使用的是鄰點與多邊形面積的關係，在三維空間時則是多面體與體積的比例。圖 3-8 便是二維自然鄰點內插法 Voronoi 圖形，從圖 3-8 為例開始說明自然鄰點內插建構的每一步幾何意義細節。. 圖 3-8 二維自然鄰點插值法資料來源：“ Scattered data interpolation methods for electronic imaging systems: A survey,” by Amidror, I, 2002, Journal of Electronic Imaging, 11(2), 157–176. doi: 10.1117/1.1455013. 圖 3-9. Delaunay 三角網圖. 38.

(40) 在圖 3-8 中，粉紅色點 x1 至點 x9 是空間中的散布式資料點，虛線部分是經過三角剖分後所形成的 Delaunay 三角網，也就是圖 3-9 中的黃色區塊。. 圖 3-10 Voronoi 多邊形圖接著觀察圖 3-10 裡，從這些黃色區塊 Delaunay 三角網各自的三角形外接圓，找出它們的外接圓圓心(藍色點)，繼續連接凸包上每一條邊的垂直平分線，就會得到如圖 3-10 右邊圖的綠色區塊 Voronoi 多邊形。. 自然鄰點的數量取決於所建構的外接圓，若圖上的兩點都落在同一個外接圓上，則表示他們互為彼此的自然鄰點。接著，Delaunay 三角網是被拿來決定權重來進一步內插，至於權重大小是看各點所形成的綠色區塊 Voronoi 多邊形所佔區域。在這邊特別列出自然鄰點外接圓的限制條件(Interpolate my data - Interview, n.d.)： 1. 單獨一個資料點不能自行形成外接圓。 2. 沒有額外的資料點靠近外接圓的圓心點。 3. 最小半徑通過三個任意資料點為原則。 4. 每個外接圓會通過三個資料點。. 39.

(41) 圖 3-11 以新插入點 x 內插計算圖以圖 3-11 為例實際計算，黃色點 x 是預計插入的點，粗實線範圍即是 x 的 Voronoi 多邊形，這塊 Voronoi 多邊形是被環繞在 x 點周圍鄰點群(Neighbor Points) x4、x5、x7、x8、x9 的 Voronoi 多邊形後產生。. 圖 3-12 插入點 x 的 Voronoi 多邊形圖從圖 3-12 來繼續理解，粗實線範圍(灰色色塊)中的點線(Dot-line)範圍就是 x 點周圍鄰點的 Voronoi 多邊形被 x 的 Voronoi 多邊形畫分掉的範圍，而其範圍面積將決定鄰點值對 x 值的影響力。x 點這個內插值，將由 x 點周圍每一個鄰點的值及其權重的乘積加總後決定，而各鄰點的權重則是在 x 的 Voronoi 多邊形中， 40.

(42) 從周圍鄰點畫分而來的區域面積佔 x 點的 Voronoi 多邊形全部面積的比值，比值愈大，表示該鄰點對 x 值的影響愈大。例如，這樣的相對比例關係可以圖 3-13 來理解。由於 x4 點所劃分到的面積範圍相對於其他鄰點是最多的。因此，x4 點對於影響 x 這個內差點有相對最大的權重比例(綠色面積越大，表示權重越大)。. 圖 3-13 鄰點的對應值與權重比例圖在本研究中，將 RGB 與對應的物體頻譜反射率值作為輸入，是屬於三維空間的內插(林瑋如，民 102)，同上面敘述之二維模型建構方式，第一步同樣是先建構出 Voronoi 多面體，每一多面體的公式如公式(3-2): 𝑻𝑖 = {𝒙 ∈ ℝ3 |𝑑(𝒙, 𝒙𝐢 ) ≤ 𝑑(𝒙, 𝒙𝒋 )∀j = 1 … 𝑛}，. (3- 2). d(a, b) 是 a 點與 b 點的歐基里德距離，如果 Ti 與 Tj 有共同的面或是邊的連結，xi 就是 xj 的自然鄰點。每一個 xi 自然鄰點的數量至少為 N+1，其中 N 為維度，而且最多為 n-1，而 n 是所有訓練樣本的數量。假設用 Macbeth 色票其 24 組物體頻譜反射率與 RGB 值作為輸入，可建構出如圖 3-10 的 Voronoi 多面體。. 41.

(43) 圖 3-14 24 組 RGB 建構的三維 Voronoi 圖資料來源：林瑋如，以 ISRF 內插法應用於物體頻譜反射率重建之研究(未出版之碩士論文) 。國立臺灣師範大學，臺北市，頁 40。圖中每一個黑色點為 RGB 座標值，不同灰階值之範圍則是每一點對應的 Voronoi 多面體。由圖 3-14 可以看出所有輸入資料的關係。等建構完所有訓練樣本資料的 Voronoi 多面體之後，接著便可以將待測試的資料組輸入模型，以公式 (3-1)的形式表示，每一個資料點皆可形成新的 Voronoi 多面體，如公式(3-3). 𝑻(𝒙)= {𝒛 ∈ ℝ3 |𝑑(𝒛 , 𝒙) ≤ 𝑑(𝒙, 𝒙𝒋 )∀j = 1 … 𝑛},. (3-3). 而其與舊的 Voronoi 多面體𝑻𝒊 的交集，可表示為公式(3-4)， 𝑻𝒊 (𝒙)= T(x)∩ 𝑻𝒊. (3-4). 𝑻𝒊 (𝒙)可表示新的 Voronoi 多面體𝑻(𝒙)與舊有 Voronoi 多面體 𝑻𝒊 的交集，意即 𝑻(𝒙)從鄰點多面體畫分而來的體積，在此將以 volume(T)來表示每一個 T 的體積。 ̂𝒐 ，包含𝒇𝟏 , 𝒇𝟐 , 𝒇𝟑 ……𝒇𝟔𝟎 , 𝒇𝟔𝟏 ，也實際上，每一組頻譜反射率可被表示為𝑹 就是從 400nm 至 700nm 共 61 個新的內插點，如公式(3-5). ̂𝑜 = 𝑅. 𝑓1 𝑓2 ⋮ , ⋮ 𝑓60 (𝑓61 ). 42. (3-5).

(44) 每一個新的內插點 x 的值可被定義如下，公式(3-6) 𝒇̂𝒏 (𝒙)=∑𝒊 𝒉𝒊 (𝐱)𝒛𝒊. (3-6). 其中 𝒉𝒊 (𝒙) =. 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒[𝑻𝒊 (𝒙)] 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒[𝑻(𝒙)]. , 0≤ 𝒉𝒊 (𝒙) ≤ 𝟏, ∑𝒊 𝒉𝒊 (𝒙) = 𝟏. (3-7). 公式(3-7)中，hi(x)涵蓋了 0 到 1 的範圍，數值為 1 時，表示 x 恰好等同於某個鄰點 xi 的值；數值為 0 時，表示內插值 xi 不是 x 的自然鄰點。. 簡單來說，即一個顏色的 RGB 色頻數值，經過本模型的內插計算，可得到一組共 61 個數值所組成的物體頻譜反射率。整理以上說明的概念與演算規則，可以說在自然鄰點內插法中，x 點的內插結果是被 x 之鄰點所決定的。在本研究中意味著，待重建的物體頻譜反射率，會受到相鄰的 RGB 數值，也就是類似的顏色所影響。以本研究的第一組實驗為例，若純粹只以 1269 色的 Munsell 色票作為測試樣本，來測試由 24 色的 Macbeth 色票訓練建構之模型(圖 3-15)的內插效果，在三維空間進行頻譜重建後，初步實驗結果顯示：所有 1269 個測試色樣當中，有 337 個值無法正常被估計出來。從產生的結果中可推測出原因，是由於這些內插點(部分紅色點)恰好都落在訓練樣本形成的 Delaunay 三角網之凸包範圍之外，如圖 3-16。. 圖 3-9. Macbeth 色票訓練建構之模型 43.

(45) 圖 3-16. Delaunay 三角網之凸包範圍外的測試樣本圖. 圖中清楚地顯示紅點是 Munsell 色票樣本且有無法估計的三百多筆測試樣本資料點，皆落在訓練樣本形成的 Delaunay 三角網凸包範圍之外，造成內插方法無法計算。加入更多元與更多數量的訓練樣本，是被考慮用來作為解決問題的方法。即便如此，增加大量的資料雖然有利於擴充訓練樣本涵蓋的範圍，但過多的資料在內插時會造成計算上非常耗時沒效率且無法保證在 sRGB 色域中的所有顏色都能被計算出來。為了避免此問題發生，先確定色域範圍內所有 RGB 值都能被計算得到是本研究方法設計的第一步關鍵要點。本研究先找出 sRGB 色域空間的八個非實際量測的虛擬頻譜當作整個色域最極限的地方，並與本實驗有使用到的兩種色票資料當作訓練樣本開始往整個色域內進行內插計算。. 本研究所選定所謂的八條虛擬頻譜是純粹以數學方式模擬出來的曲線，並非藉由實驗或測量而來的真實物體頻譜反射率資料。根據研究者對蒐集之物體頻譜反射率資料進行的觀察，依頻譜形狀差異在眾多數學函數中用逼近的方式修正出各自代表 RGB 數值(255,0,0)的紅色、(0,255,0)的綠色、(0,0,255)的藍色、(0,255,255) 的青色、(255,0,255)的洋紅色、(255,255,0)的黃色、(0,0,0)的黑色以及(255,255,255) 的白色共八條波長範圍皆為 400nm 至 700nm，反射率數值介於 0 至 1 的虛擬頻譜。八條頻譜圖形的形狀表示如圖 3-17，圖 3-18 是其在色度圖中的分布。. 44.

(46) 紅色頻譜. 綠色頻譜. 藍色頻譜. 青色頻譜. 洋紅色頻譜. 黃色頻譜. 黑色頻譜. 白色頻譜. 圖 3-10 八條代表 sRGB 色域邊界的虛擬頻譜圖 45.

(47) 圖 3-11 虛擬頻譜在色度圖中的位置分布. 第四節頻譜分段線性修正方法透過自然鄰點內插重建法運算後，確認整個 sRGB 空間的所有 RGB 數值皆可被計算得出。因此，在第二階段的重建過程，針對各條重建後的頻譜，用不同頻帶的線性修正方法調整頻譜座標來改變形狀，使原本的內插重建法獲得更好的精準度，也就是使其轉換後的 RGB 值更接近原輸入的 RGB 樣本值，這是本研究第二階段的探討重點。. 由於一條頻譜轉換成 RGB 值會有三個數值呈現，分別代表紅色 R 值、綠色 G 值和藍色 B 值的量。如果可以想出一個辦法來自動調整重建後的頻譜形狀，讓其轉換後的 RGB 值與原先輸入測試的 RGB 樣本值更為接近，即表示其修正方法有助於物體頻譜反射率的重建。換句話說，當知道如何在一條頻譜上，在適當的波長位置點分好不同的頻帶來調整頻譜，經過移動後，觀察 RGB 的紅色 R 值、綠色 G 值和藍色 B 值的相對變化，以∆R、∆G 和∆B 表示，就可以正確解出該頻譜需要移動的位移值。這個線性的修正方法可藉由解出以下公式 3-8 至公式 3-10 的三元一次聯立方程組獲得答案。目標要求出如圖 3-19 所表示的短波長(S)、中波長(M)和長波長(L) 三個位置其各自代表的位移量∆ℎ𝑠 、∆ℎ𝑚 和∆ℎ𝑙 來變動頻 46.

(48) 譜上各點的座標位置，也就是得到根據方程組解出來的位移量調整後所產生的新頻譜。. 圖 3-12. S、M、L 三波長控制點位置示意圖. 在圖 3-19 中，以 y 軸反射率為 1 的地方，作為移動短波長(S)、中波長(M) 和長波長(L)的初始位置。至於三個波長對應到的 x 軸的定義方式，我們設計的短波長(S)、中波長(M)和長波長(L)，就是對應 sRGB 色域的紅色 R 值、綠色 G 值和藍色 B 值延伸到馬蹄形色度圖上最邊界的交點處，最接近此三色的波長位置。根據相關文獻的量測(Bergquist, 2012)，實際紅色 R 值的波長位置約是 611.4 nm，綠色波長約 549.4 nm 而藍色的波長約在 464.5 nm。由於現在的頻譜是從 400 nm 到 700 nm 間隔 5 nm 估計得來的值，共 61 個點座標，因此在本研究中 sRGB 色域的短波長(S)取在最接近的 465 nm，中波長(M)在 550 nm 以及長波長(L)在 610 nm 位置處，成為之後調整任一條頻譜的三個主要控制點。. 此聯立方程組的∆R、∆G 和∆B 分別代表內插重建後與原待測樣本的兩組 RGB 紅色 R 值、綠色 G 值及藍色 B 值的數值差。係數 c3 是估計當∆R增加 1 的條件下，與需要移動多少∆ℎ𝑙 位移量之間的比值。同時也相對決定 c6 和 c9 兩者， c6 代表當∆R增加 1 時，∆G的變化與∆ℎ𝑙 位移量的比值。c9 代表當∆R增加 1 時，∆B的變化與∆ℎ𝑙 位移量的比值。 47.