緒論 - 加權基本不震盪法結合類神經網路與遺傳演算法應用於一維淺水波方程式之求解

1-1 研究動機與目的

淺水波方程式(shallow-water equations)，亦稱為聖凡南方程式 (Saint-Venant equations)，在數值模擬上已被廣泛地應用於河川水流變化、河口潮汐流況、波浪傳遞等流體運動的模擬；而淺水波方程式屬非線性雙曲線型方程式，在震波的傳遞時可能有除峭且劇烈的變化，

其解亦可能有不連續面的產生。

加權基本不震盪法(WENO - weighted essentially non-oscillatory) 在求解雙曲型方程式，對於震波等不連續面之傳遞分辨率高，且易於推廣至高維度情況和帶有複雜源項之問題，故已成為在求解非線性雙曲線型方程式經常選用的高解析算則之一。後續陸續發展出一些改善原始 WENO 算則之收斂性與解析度的修正法，如守恆 WENO 法 (Vukovic and Sopta 2002)、結合 exact C (conservation)性質(Xing and Shu 2005)、Mapped WENO 法(Henrick et al. 2005)、修正平滑指示器 (MSI - modified smoothness indicator)WENO 法(Zhang and Shu 2007)、

逆擴散通量修正(anti-diffusive flux corrections)WENO 法(Xu and Shu 2005)等算則。

而在上述的修正平滑指示器 WENO 算則，是透過定義之修正平

滑指示器，改進在強震波區域的收斂性，因此吾人將此算則應用於水面分離與穩態流經障礙物形成水躍。經模擬結果發現在水面分離的案例中，對於乾濕點交界上的處理有很好的效果，但對於另一穩態流經障礙物案例有較差的模擬結果，依據文獻(Zhang and Shu 2007)中的數值案例測詴，修正平滑指示器 WENO 算則應用在受邊界條件影響較大的案例上會有較不好的結果，推測是由於受其上游邊界的影響，造成在不連續面上過度收斂而影響了附近水面的連接與流量的守恆性。

為改善此結果與增加修正平滑指示器的適用性，吾人提出一個理論想法，以修正平滑指示器 WENO 算則的理論為基礎，設計一套與組合平滑指示器五點值有其相關性的修正係數(此部份詳細介紹請見 4-1 節)藉以改進平滑指示器，希望在保持其收斂性的同時，亦能盡量保持數值解的精確度與不受邊界之影響。另假設修正係數與五點值的相關性能由一未知的函數式來代表，故本文應用類神經網路類神經網路(ANN - artificial neural network)的黑盒分析概念，結合遺傳演算法 (GA - genetic algorithm)的優選特性，以穩態流經障礙物案例為學習案例，建構類神經網路以擬合此假設的函數式，之後應用建構完成之類神經網路於詴驗案例，作為驗證結果並與各 WENO 算則模擬之結果

1-2 文獻回顧

1-2-1 類神經網路與遺傳演算法

類神經網路是一種以電腦的邏輯運算模擬人類腦神經細胞網路的學問。McCulloch and Pitts (1943)提出神經元數學模型，利用數學模式對人類神經系統中的神經元運作建立數學模型，把生物神經單元視同一個邏輯決策單元；Werbos (1974)在其博士論文中提出了隱藏層的學習演算法，這是首次有人提出倒傳遞網路(back-propagation network) 的概念。之後 Parker (1985)再次提出倒傳遞網路，同年 Rumelheart et al.

(1985)發表了一篇倒傳遞網路的文章，倒傳遞類神經網路才使其廣為人知，而倒傳遞類神經網路模式是目前類神經網路學習模式中最具代表性，應用最普遍的模式。經過近數十年的努力，類神經網路的理論基礎逐漸完善，現已被視為極有效的非線性模型建構工具，因其理論單純、結構單純，容易建立所需的特定模式，因此大量被應用於各領域上。

遺傳演算法的理論基礎可回溯自 1859 年達爾文(Charles Darwin) 的「物種演化」（On the Origin of Species by Means of Nature Selection）

書中的「物競天擇，適者生存」的演化及淘汰觀念。將這種自然界的選擇方法系統化並發展為可用之模式，最早是由密西根大學的

Holland (1975)發展出遺傳演算法搜尋技術的基本架構，並且由其學生 Goldberg (1989)成功地運用在工程問題上。而利用此法來搜索演化類神經網路的架構，此即為混合遺傳演算法 (HGA - hybrid genetic algorithm)，在許多研究上，相對於倒傳遞類神經網路有不易陷入局部最小值的優點，在預測上亦能有較佳的穩定性與誤差。

類神經網路與遺傳演算法在水利方面的應用上，國內外的相關研究自然也不少。諸如應用於降雨與逕流，或結合地形條件做預測模擬 (French 1992, Sajikumar and Thandaveswara 1992, Lorrai and Sechi 1995, Loke et al. 1997 ,Zhang and Rao 2000)，(陳昶憲等 1996、孫建平 1997)、地下水位預報(Shigidi and Grcia 2003, Daliakopoulos et al.

2005,)、水質分析(郭異銘 1999、范正成等 2006)、土石流災害預警(李心平和張斐章 1995、張東炯 2000、曾國源 2003)與水庫系統操作(Jain et al. 1999, Chaves and Chang 2008)等，應用的範圍可說是相當地廣泛。

1-2-2 高解析算則的發展

由於雙曲線方程式存在著不連續解，這些不連續解在使用許多傳統數值方法模擬時，易產生 spurious oscillations 的震盪問題，為了處理震盪的問題，Harten (1983) 以 Van Leer (1974, 1979) 提出的通量修

函數(limiter)來限制守恆量或通量的梯度變化，來減低數值傳遞產生的震盪，而後許多高階(指超過一階精度) TVD 算則被陸續發展出來，

廣泛的介紹與文獻回顧可參考 Roe (1986)、Yee (1989)及 LeVeque (1990)，高階精度的 TVD 算則發展提升了雙曲線型方程式數值解的品質，也正式開啟了高解析算則的時代。

Harten et al. (1987)提出 ENO (essentially non-oscillatory)算則，該算則的特點是依據所定義的平滑指示器(indicator of smoothness)，選取出最為平滑代表的計算元(stencil)進行差分，得到均勻高階精確度且具有基本不震盪的特性，計算元是指求某一點差分值時，其所包含之相關點的集合，r 階精度 ENO 算則採用 r 組計算元做為差分選擇的候選，例如計算 i+1/2 介面的數值通量正的部份，i 為自身的點位，

以三階精度為例，使用三點差分而有三組計算元可選擇，分別為：

[i-2, i-1, i] ﹑[i-1, i, i+1] ﹑[i, i+1, i+2]。此算則是屬於守恆變數型態 (variables version)，其所使用的重建(reconstruction)計算是擴充 Harten and Osher (1987)所發展的二階重建模式，此外 Shu and Osher (1988, 1989)進一步發展逐點式(pointwise)的 ENO 算則來取代原先單元平均的計算，在二維或是更高維度的計算上能獲得較佳的效率。ENO 算則特別適用於包含震波及複雜的平滑流場結構，如紊流與震波交互作用、渦漩流與震波交互作用等流場。ENO 算則已被應用及擴展在許

多方面，如在選取計算元的過程加入偏量(bias)以加強穩定及精度 (Fatemi et al. 1991, Shu 1990)、利用 sub-cell resolution 使接觸面更為除峭(Harten 1989) 、多維的三角網格分析 (Abgrall 1994)等。

Liu et al. (1994)針對 ENO 算則的缺點，提出了加權型基本不振盪(WENO)算則，取代 ENO 算則僅選取一組計算元來近似數值通量的作法，以定義的平滑指示器來決定各計算元的代表平滑程度，依此分配每組計算元一個加權係數，將所有採用的計算元全部組合起來。

而有關配置的原則，在平滑區儘量使其最佳化藉以達到高階準確度的要求，而在不連續面附近則令含有不連續面之計算元的加權係數盡量減小，最後再以外凸組合(convex combination)的方式來近似數值通量，

在單調平滑的區域，r 階精度 ENO 算則經由組合後在能提高為(r + 1) 階精度的 WENO 算則，然而無法達到最理想(2r - 1)的精度。之後 Jiang

& Shu (1996)以上述之 WENO 算則為基礎，重新定義了新的平滑指示器，發展了 WENO5 算則，使用了三階精度的 ENO 算則組合之 WENO 算則，在特定條件下能保持五階的精度，震波的傳遞計算也依然能維持基本不震盪的原則。自 Jiang and Shu 在 1996 年發表新式 WENO 算則以來，此篇文章在 SCI 資料庫中廣被引用，其應用包括：算則發展有關(Gerritsen and Olsson 1998, Liu and Osher 1998, Choi and Liu 1998, Suresh and Huynh 1997, Jiang and Yu 1998, Jiang and

Tadmor 1998) ，應用在二維非結構性網格 (Friedrich 1998, Ollivier-Gooch 1997) ，應用在不可壓縮流(Minion and Brown 1997, Yang et al. 1998, Chen et al. 1999)，應用在可壓縮流(Yang et al. 1998, Yang et al. 1992, Hsieh et al. 2008)，與 Shallow-water 有關(Kuo and Polvani 1999, Liska and Wendroff 1999)等。

WENO 算則由於加權係數的值是由流場的物理量運算後所求得，

不需如 ENO 算則用到邏輯判斷平滑度來選擇使用之計算元，因此電腦程式的計算方式可以向量化處理，而數值通量不再因為計算元的選取而有跳動現象，相對地也改善了收斂的效率，WENO 算則除了保持 ENO 算則的均勻高階的優點，同時改善了 ENO 算則的收斂性。

近年來有一些研究針對原始 WENO 算則，提高其收斂性與解析的精度。Despres and Lagoutiere (2001)首先提出一階限制函數下風算則(limited downwind scheme)，可有效的避免流場中不連續接觸面的糢糊化(smearing)並同時保有非線性的穩定性，之後 Bouchut (2004) 修正此算則使其滿足熵條件且提出一簡化的顯式逆擴散通量公式，在前兩項研究的基礎下，Xu and Shu (2005)提出了高階有限差分逆擴散通量修正之 WENO 算則，此一算則不僅在流場平滑區可維持高階精度外，在流場不連續區域也可保持不震盪的特性與不連續接觸面除峭的高解析度；Henrick et al. (2005)提出了 Mapped WENO 算則，此一

算則改善了原始 WENO 算則在臨界點處的精確度；Zhang and Shu (2007)針對高階 WENO 算則提出了修正平滑指示器的觀念，依據數值詴驗的測詴結果，顯示在邊界無震波穿越的影響下，一維與二維的高強度震波問題使用此一修正算則可改進其收斂性至機械零點 (machine zero)。

1-2-3 守恆定律的探討

長久以來，許多文章探討數學模型之守恆律(conservation law)，

即流體在某一控制體積之物理量需守恆。Berm dez and V´azquez (1994)於推求淺水波方程數學差分過程中，使用 Q-scheme 與源項採上風法(upwinding)，考慮質量及動量守恆之觀念來計算通量梯度與源項，故當求解問題為穩態靜止時，所得解皆能符合守恆律，此稱之為 exact C (conservation)性質，Hubbard and Garcia-Navarro (2000)則延伸其數值方法發展出二階 MUSCL 有限體積法。其它另有針對源項及數值通量作守恆性質探討，如：Greenberg and LeRoux (1996)提出 well-balanced 算則、LeVeque (1998)發展出準穩態(quasi-steady)波傳的運算法則、Jenny and Muller (1998)針對源項採用 Rankine-Hugoniot 黎曼解來做修正、Chinnayya and LeRoux (1999)發展出一套新的黎曼求解方式，運用於一維淺水波方程式、Botchorishvilli et al. (2000)結合

或 Roe 型態的分離與上風法，建構出一個補抓穩定型態的方法、Zhou et al. (2001)在源項的處理上，有別於一般所提倡的上風法，而引用 surface gradient method (SGM)的概念等。

Gosse (2001) 則進一步提出加權基本不震盪法之守恆法則， Vukovic and Sopta (2002)則利用 Goss 所得之法則，求解一維淺水波方

在文檔中加權基本不震盪法結合類神經網路與遺傳演算法應用於一維淺水波方程式之求解 (頁 12-23)